Kursus Introduktion til Statistik. Oversigt, Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Transkript

1 Kuru Introduktion til Statitik Forelæning 5: Kapitel 7: Inferen for gennemnit (One-ample etup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statitik og Dataanalye Bygning 324, Rum 220 Danmark Teknike Univeritet 2800 Lyngby Danmark Per Bruun Brockhoff Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Overigt, Inferen for gennemnit (One-ample etup) 1 Central Græneværdiætning 2 Makimal fejl på et etimat Ekempel 1 3 Betemmele af tikprøvetørrele Ekempel 2 4 Udvidele til "ukendt varian-etup Maximal fejl Ekempel 3 5 Konfideninterval Ekempel 4 6 Kendt eller ukendt varian 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Motiverende ekempel Kapitel 7: Inferen for gennemnit En bilproducent er intereeret i at fatlægge benzinforbruget ved kørel på motorvej for et nyt bilmærke. Fra et pilottudie vide, at varianen af forbruget, σ 2, er (l/100 km) 2. Der udføre nu 25 forøgture (amme fører), hvor hver bil kører 100 km, og fra die målinger etimere middelværdien. Hvad bliver V ar[ X]? Beregn makimal fejl med 95% andynlighed, dv. E 0.95 Etimation ( ) Makimal fejl på etimat af middelværdi Intervaletimation Kapitel 6: Stikprøvefordelinger Definition af population og tilfældig tikprøve Stikprøvefordeling for gennemnit fra en normalfordeling en R Beregn makimal fejl med 99% andynlighed, dv. E 0.99 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40

2 Definition af population og tilfældig tikprøve (Kap. 6.1) Ved hjælp af en tikprøve forøger man at generaliere om en population Det er derfor vigtigt, at tikprøven er repræentativ for populationen Tilfældig tikprøve fra en endelig population: Obervationerne X 1, X 2,..., X n er en tilfældig tikprøve af tørrele n fra en endelig population af tørrele N, åfremt værdierne er valgt ålede, at enhver delmængde af tørrele n af de N elementer fra populationen har den amme andynlighed for at blive valgt. Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Definition af tilfældig tikprøve (Kap. 6.1) Inferen for middelværdier Tilfældig tikprøve fra en uendelig population: Et æt obervationer X 1, X 2,..., X n er en tilfældig tikprøve af tørrele n fra en uendelig population f(x) åfremt: 1 Hvert X i er en tokatik variabel med tæthedfunktion f(x) 2 De n tokatike variable er uafhængige Parameter: middelværdi af population µ Data: en tilfældig tikprøve med udfald x 1, x 2,..., x n fra tokatike variable: X 1, X 2,..., X n Etimator - gennemnittet: X Varian på gennemnit:(fra Kap. 6.2) V ar[ X] = σ2 n Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40

3 Stikprøvefordeling for gennemnittet når varianen er kendt (Theorem 6.1, ide 180) Stikprøvefordeling for gennemnittet når varianen er kendt (Theorem 6.1, ide 180) Uendelig population: Lad X være gennemnittet af en tikprøve af tørrele n fra en fordeling med middelværdi µ og varian σ 2 Da er X en tokatik variabel og følger en fordeling med middelværdi µ og varian σ2 n Endelig population: Lad X være gennemnittet af en tikprøve af tørrele n fra en fordeling med middelværdi µ og varian σ 2 Da er X en tokatik variabel og følger en fordeling med middelværdi µ og varian σ2 n N n N 1 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Central Græneværdiætning Begreber Den centrale græneværdiætning (Theorem 6.3, ide 184) Central Etimator: En etimator ˆθ er central (eller ikke-biaed), hvi og kun hvi, middelværdien af tikprøvefordelingen for etimatoren er lig θ Efficient Etimator En etimator ˆθ 1 er en mere efficient etimator af θ end etimatoren ˆθ 2 hvi: 1 ˆθ1 og ˆθ 2 begge er centrale etimatorer af θ 2 Varianen af tikprøvefordelingen for ˆθ 1 er mindre end for ˆθ 2 Lad X være gennemnittet af en tikprøve fra en fordeling med middelværdi µ og varian σ 2. Da vil Z = X µ σ/ følge en N(0, 1 2 ) fordeling for n HVIS data i ig elv følger en normalfordeling, å er tikprøvefordelingen ogå normal: X i N(µ, σ 2 ) Z N(0, 1). Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40

4 Makimal fejl på et etimat Makimal fejl på et etimat Ekempel 1 Makimal fejl på et etimat Ekempel 1 For tore n gælder (den centrale græneværdi ætning): X µ σ/ N(0, 12 ) Den makimale fejl, E, på et etimat med andynlighed (1 α) bliver: E = z α/2 σ En bilproducent er intereeret i at fatlægge benzinforbruget ved kørel på motorvej for et nyt bilmærke. Fra et pilottudie vide, at varianen af forbruget, σ 2, er (l/100 km) 2. Der udføre nu 25 forøgture (amme fører), hvor hver bil kører 100 km, og fra die målinger etimere middelværdien. Hvad bliver V ar[ X]? hvor z α/2 finde i tandard normalfordelingen (tabel 3) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Makimal fejl på et etimat Ekempel 1 Ekempel 1 Beregn makimal fejl med 95% andynlighed, dv. E 0.95 Beregn makimal fejl med 99% andynlighed, dv. E 0.99 Betemmele af tikprøvetørrele Betemmele af tikprøvetørrele Den makimale fejl med andynlighed (eller konfiden) 1 α er: E = z α/2 σ Når σ er kendt og vi ønker at betemme tikprøvetørrele n for en makimal fejl med andynlighed 1 α få: n = ( z α/2 σ E )2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40

5 Ekempel 2 Betemmele af tikprøvetørrele Ekempel 2 Bilproducenten belutter ig for at afprøve nogle juteringer, der antage at have indflydele på benzinforbruget. Baeret på pilottudiet antage indledningvit, at varianen af forbruget, σ 2, er (l/100 km) 2. Der køre igen ture á 100 km. Betem den nødvendige tikprøvetørrele (antal ture), åfremt man ønker, at den makimale fejl med 95% andynlighed højt er E 95 = 0.10 (l/100 km)? Udvidele til "ukendt varian-etup Stikprøvefordeling for middelværdien når varianen ikke er kendt Lad X være middelværdien af en tikprøve af tørrele n fra en fordeling med middelværdi µ og varian σ 2 og hvor tikprøven varian er etimeret: S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Udvidele til "ukendt varian-etup Udvidele til "ukendt varian-etup Stikprøvefordeling for middelværdien når varianen ikke er kendt en t fordeling med 10 frihedgrader Da er S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 t = X µ S/ en tokatik variabel og følger en med parameter v = n 1 tæthed x Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40

6 Udvidele til "ukendt varian-etup Udvidele til "ukendt varian-etup en Tabeloplag i en ammenligning af en normal og t fordeling (n 1=10) tæthed Tabeloplag i en gøre vha tabel 4 Ved t α (n 1) fortå den værdi, ålede at P (t t α ) = α x Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Udvidele til "ukendt varian-etup Maximal fejl Udvidele til "ukendt varian-etup Ekempel 3 Makimal fejl på et etimat (σ ukendt) Når σ er ukendt, anvende etimatet for σ. I tedet for z α/2 anvende t α/2 og den makimale fejl, E med (1 α) konfiden, bliver E = t α/2 Ekempel 3 Med de nye jutering udføre 16 forøg. Fra die etimere varianen 2 = Betem den makimale fejl, E 0.95, dv. med 95% andynlighed. Forklar hvorfor etimatet af E 0.95 i dette tilfæde er tørre end 0.10 (l/100 km). hvor t α/2 = t(n 1) α/2 finde i en (tabel 4) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40

7 Intervaletimation Konfideninterval Konfideninterval Konfideninterval Det er ofte mere informativt at angive intervaletimater end blot en enkelt værdi, f.ek. kan man være intereeret i et interval, der dækker (1 α)%. Idet vi kan krive for kendt σ: z α/2 < X µ σ/ < z α/2 Ved omkrivning få (1 α) konfidenintervallet: x z α/2 σ < µ < x + z α/2 σ Såfremt man ikke kender σ, men har en tor tikprøve (n 30) anvende den amme formel, blot ertatte σ med etimatet : x z α/2 < µ < x + z α/2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Konfideninterval Konfideninterval Ekempel 4 Konfideninterval Ekempel 4 Såfremt man ikke kender σ og har en lille tikprøve (n < 30), ertatte σ med etimatet, og z α/2 ertatte med t α/2 : x t α/2 < µ < x + t α/2 (Under antagele af, at data er normalfordelt!) I et amerikank tudie ønkede man at ammenligne indhold af arenik i drikkevandet ved 8 forkellige lokaliteter: lokalitet vandprøve (ppm) x = 2.2 og 2 x = 1.64 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40

8 Ekempel 4 Konfideninterval Ekempel 4 Ekempel 4 Konfideninterval Ekempel 4 Det antage nu, at vandprøvemålingerne følger en normalfordeling. Angiv et 95% konfideninterval for middelindholdet µ x af arenik i drikkevandet. Fra et tidligere tudie oplye, at et konfideninterval for middelværdien af arenik i drikkevandet er [1.63; 2.37]. Det oplye, at oventående konfideninterval var baeret på en tikprøve med n = 50 obervation med etimeret middelindhold x = 2 og varian 2 = Hvor tort konfideninterval 1 α (i %) er der tale om? Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 Generelt Kendt eller ukendt varian R (R note 6) R (R note 6) I de anførte formler anvende: 1 Når varianen er kendt, anvende σ og z α/2 2 Når varianen ikke er kendt, men tikprøven er tor, anvende og z α/2 3 Når varianen ikke er kendt og tikprøven er lille, anvende og t α/2 NB: "Ukendt betyder at man bruger foreliggende data til at betemme varianen (Og erkender begrænningen/uikkerheden i dette) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40 R t chiq f Betegnele en χ 2 -fordelingen F-fordelingen d Tæthedfunktion f(x) (probability ditribution). p Fordelingfunktion F (x) (cumulative probability function). q Fraktil (quantile) i fordeling. r Simulering (random ampling from ditribution). Ekempel: P (t 2) pt(2) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40

9 Overigt R (R note 6) 1 Central Græneværdiætning 2 Makimal fejl på et etimat Ekempel 1 3 Betemmele af tikprøvetørrele Ekempel 2 4 Udvidele til "ukendt varian-etup Maximal fejl Ekempel 3 5 Konfideninterval Ekempel 4 6 Kendt eller ukendt varian 7 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statitik, Forelæning 5 Foråret / 40