Kvantefysik med Bose-Einstein Kondensater

Transkript

1 Kvantefysik med Bose-Einstein Kondensater Michael Budde og Nicolai Nygaard Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet 21. oktober 2009

2

3 Naturkonstanter Følgende naturkonstanter er anvendt i teksten. Vi angiver her de bedst kendte værdier taget fra P. Mohr og B. N. Taylor, Reviews of Modern Physics 72, 351 (2000), men i teksten angiver vi kun de første få decimaler. Størrelse Symbol Værdi Enhed Plancks konstant h 6, J s (Plancks konstant)/2π 1, J s Elementarladningen e 1, C Elektronmassen m e 9, kg Boltzmanns konstant k B 1, J/K Atomare masseenhed amu 1, kg Lysets hastighed c m/s Coulombkonstanten G C 8, Nm 2 /C 2 Vi benytter desuden omregningsfaktoren mellem elektronvolt og Joule: 1 ev= J.

4 Indhold Indhold iv 1 Indledning 1 2 Stof er bølger - bølger er stof 3 3 Kvantisering 5 4 Bose-Einstein kondensering Temperaturbegrebet og stofbølger Stofbølger United Kan man ikke bare øge tætheden? To slags partikler Fangede atomer En magnetisk skål for atomer Bølgemekanik Schrödingerligningen for et atom i et harmonisk oscillator potential Heisenbergs ubestemthedsrelation Heisenbergs ubestemthedsrelation for et harmonisk oscillator potential Sådan laves et Bose-Einstein kondensat Laserkøling Bose-Einstein kondensat eksperimentet i Århus Billeder af atomskyer Rumlige tæthedsfordelinger Termiske atomskyer Ekspansion af en termisk sky Bose-Einstein kondensater Ekspansion af et Bose-Einstein kondensat Perspektiver 51 A Mere om temperaturbegrebet 53 iv

5 Kapitel 1 Indledning Kvantemekanikken beskriver atomernes mikroverden. Hvor vi i vores dagligdag er underlagt den klassiske mekaniks love, som blev opstillet for mere end tre hundrede år siden af Isaac Newton og hans samtidige, er opførslen af elementarpartikler, atomer og molekyler bestemt af de kvanteregler, der først blev forstået og formuleret i begyndelsen af det tyvende århundrede. Kvantefysikken bliver ofte betegnet som sær eller uforståelig, fordi den tilsyneladende er i modstrid med sund fornuft, og fortæller os, at naturen grundlæggende er indrettet på en måde, der strider mod vores opfattelse af, hvordan ting opfører sig i vores dagligdag. I kvantefysikken kan det hænde, at partikler befinder sig flere steder på én gang, eller at bjergbestigere billedligt talt kan skyde genvej tværs gennem et bjerg, via en ikke eksisterende tunnel, i stedet for at tage den krævende vej over toppen. Når den slags kvantekrumspring forekommer os uvante og besynderlige skyldes det, at kvantemekanikken normalt ikke bemærkes i vores makroverden. Den er godt nok essentiel for mange af de teknologier vi drager nytte af i hverdagen, såsom lasere, computerchips og mikrobølgeovne, men vi oplever eksempelvis aldrig, at et bord kan stå to steder på samme tid. Niels Bohr forklarede, at de besynderlige kvantelove afløses af den velkendte klassiske mekanik, når de objekter, vi ønsker at beskrive, bliver tilpas store. Men hvor går grænsen? Med et Bose-Einstein kondensat kan man nedbryde grænsen mellem den kvantemekaniske og den klassiske verden. Kondensatet er en sky af atomer, der kollektivt opfører sig som ét sammenhængende kvantemekanisk objekt. Men samtidig er kondensatet så stort, at det næsten kan ses med det blotte øje. Et Bose-Einstein kondensat efterlever således kvantemekanikkens love, på trods af, at det hører til i makroverdenen. For at se denne kvantemekaniske opførsel er det nødvendigt at nedkøle atomerne til ekstremt lave temperaturer - 10 millioner gange lavere end temperaturen af mikrobølgestrålingen fra Big-Bang, der med sine 3 grader Kelvin har den koldeste naturligt forekommende temperatur i universet. Isaac Newton ( ) Niels Bohr ( ) 1

6 2 På trods af at kvantemekanikken er sær, er der i dag ikke nogen tvivl om, at den er korrekt. Det er ligeledes et faktum at nutidens fysikstuderende på universiteterne bruger væsentligt mere tid på kvantemekanik end på klassisk fysik. Set i lyset af dette føler vi, at kvantemekanikken fortjener en mere fremtrædende plads i gymnasiets fysikundervisning end den har i dag. Vi har udarbejdet dette undervisningssæt for at bidrage til, at en sådan forfremmelse af kvantemekanikken finder sted. Desuden giver undervisningsættet eleverne mulighed for at arbejde med Bose-Einstein kondensater, som i dag er et af de mest aktive forskningsområder indenfor fysikken. Undervisningssættet består af dette hæfte samt en øvelsesvejledning med et computerprogram, som eleverne kan bruge til at lave deres egne studier af Bose-Einstein kondensater. Vi forestiller os at undervisningssættet kan bruges til både kortere og længere undervisningsforløb. Til korte forløb vil kapitel 2-5 alene kunne bruges. Disse kapitler giver en introduktion til kvantemekanik og Bose-Einstein kondensation, og indeholder også opgaver, som giver eleverne mulighed for selv at bruge kvantemekanikken. Kapitel 7 beskriver, hvordan vi laver et Bose-Einstein kondensat i laboratoriet. Til længere undervisningsforløb kan man medtage kapitel 6 og 8. Disse to kapitler er noget tungere matematisk end de øvrige, men er nødvendige, hvis man ønsker at bruge computerprogrammet til at analysere rigtige billeder af Bose-Einstein kondensater, da de beskriver, hvad billederne forestiller, og hvad analysen går ud på. Den tilhørende øvelsesvejledning beskriver fire forskellige analyse-øvelser, der kan udføres med computerprogrammet. Der følger en brugervejledning med til computerprogrammet.

7 Kapitel 2 Stof er bølger - bølger er stof I fysikken betegner stof alt, hvad der besidder en materiel eksistens - materie om man vil. Betegnelsen stof omfatter alt fra de mindste elementarpartikler til de største galaksehobe, og inkluderer alle de ting vi omgiver os med, såsom computeren, hvorpå denne tekst er forfattet, og skrædderens foretrukne materiale. Ja stof er stof! Bølger lever derimod deres eget separate liv. Matematisk set er en bølge en forstyrrelse, der udbreder sig i tid og rum. Det kan være en krusning på en vandoverflade eller de svingninger i luftens tæthed, vi sætter i bevægelse med vores stemmebånd. De fleste bølger udbreder sig i et medie. Tænk på vandbølger og lydbølger, som bæres af henholdsvis vandet og luftens molekyler. Lys er derimod et eksempel på bølger, der udbreder sig i det tomme rum. Men matematisk set er der ingen forskel på de nævnte bølgeformer. λ v bølge Figur 2.1: En bølge er karakteriseret ved bølgelængden λ, som angiver afstanden mellem bølgetoppene. Hvis bølgen udbreder sig med hastigheden v bølge er frekvensen givet ved f = v bølge /λ. Det er antallet af bølgetoppe, der passerer et givet punkt per sekund. I modsætning til stof er bølger ikke massive: Går en bølge gennem et hul fører det til diffraktion, og to bølger, der krydser hinanden, vil interferere. Forestil dig det samme med to kampesten! 3

8 4 Plancks konstant er h = J s En af kvantefysikkens tidligste indsigter var, at lys under de rette omstændigheder opfører sig, som om det består af partikler. I bestemte eksperimenter fandt man, at lysets energi er koncentreret i adskilte og udelelige pakker også kaldet kvanter, der hver især bærer en energi, som er proportional med lysets frekvens, f. E = hf. (2.1) Proportionalitetskonstanten, h, kaldes for Plancks konstant og er en meget lille størrelse. Einstein identificerede disse kvanter med lyspartikler, som i dag kaldes for fotoner. Lys med en høj frekvens som ultraviolet og røntgen stråling svarer altså til fotoner, der bærer meget energi, mens fotoner i infrarød stråling og radiobølger er mindre energirige. Albert Einstein ( ) Dualitet indikerer, at to aspekter af samme sag er i indbyrdes modsætning. Bohr talte også om, at partikel- og bølgebeskrivelsen er komplementære. Under andre eksperimentelle forhold opfører lyset sig derimod som bølger. At lyset derfor besidder såvel partikel- som bølgenatur affødte betegnelsen partikel-bølge-dualiteten. Denne dobbelte natur kan virke paradoksal, men den afspejler blot, at de klassiske begreber bølge og partikel ikke hver for sig er fuldt egnede til at beskrive kvantefænomener. Sandheden er, at lys hverken er bølger eller partikler, men at disse er, hvad vi ser, når vi betragter lyset fra forskellige eksperimentele perspektiver. Louis de Broglie ( ) Vi skelner mellem hastigheden, der som vektor har både en størrelse og en retning, og farten, der er størrelsen på hastighedsvektoren. Plancks konstant er h = J s Et andet af de mest fundamentale elementer af kvantemekanikken er, at stof også kan opføre sig som bølger. Franske Louis de Broglie postulerede dette i 1923 i sin ph.d. afhandling. Han gav partikler en karakteristisk bølgelængde, som vi i dag kalder for de Broglie bølgelængden. Denne er omvendt proportional med partiklernes fart og masse: λ de Broglie = h mv. (2.2) Proportionalitetskonstanten, h, kaldes for Plancks konstant og er en meget lille størrelse. Det er derfor vi til daglig ikke bemærker den underliggende kvantenatur af tingene omkring os. En bowlingkugle er eksempelvis så tung, at den med en hastighed på nogle få meter i sekundet har en de Broglie bølgelængde på blot m. Derfor oplever vi aldrig bowlingkuglen som en bølge, men som en god gammeldags solid kugle. Men for atomare partikler, som f.eks. elektroner, kan de Broglie bølgelængden blive betydelig, eftersom deres masse er lille. I det tilfælde bliver den underliggende bølgenatur vigtig. Louis de Broglie blev i 1929 tildelt Nobelprisen for at have forenet partikler og bølger på kvanteniveau.

9 Kapitel 3 Kvantisering Som navnet antyder er en af kerneelementerne i kvantemekanikken kvantiseringstanken, ifølge hvilken eksempelvis energien for et system kun kan antage ganske bestemte, kvantiserede, værdier. Det betyder, som vi snart skal se, at kun bestemte tilstande hørende til disse specielle energier er tilladte. Lad os illustrere dette ved at betragte et af de simpleste kvantemekaniske systemer: Brintatomet. Det består af en enkelt negativt ladet elektron, der kredser om en meget tungere positivt ladet kerne bestående af en proton. Størrelsen af både elektronens og kernens ladning er elementarladningen, e. Den elektriske kraft mellem partikler med ladning q 1 og q 2, er den såkaldte Coulomb-kraft, hvis størrelse er q 1 q 2 F Coulomb = G C r 2. (3.1) Coulombkraften minder meget om gravitationskraften mellem to masser m 1 og m 2 : F gravitation = G m 1m 2 r 2, (3.2) og Coulombkonstanten G C spiller samme rolle som gravitationskonstanten G. Hvis en elektron var beskrevet ved klassisk mekanik ville vi derfor forvente, at dens bevægelse ville svare til Jordens bevægelse om Solen. Men i praksis giver elektronens kvantenatur, som vi skal se, anledning til en opførsel, der er helt anderledes end Jordens banebevægelse. Elementarladningen er e = C og angives i enheden Coulomb (C). Opgave 1 Regn kraften ud på en elektron som er 5, m fra kernen i et brintatom. Brug Newtons 2. lov til at betemme hvor stor accelerationen er på elektronen. Sammenlign med tyngdeaccelerationen g = 9, 81 m/s. Lad os, som Niels Bohr gjorde det, antage, at elektronen bevæger sig i en cirkelformet bane om kernen, som i Figur 3.1. Eftersom kernen er næsten to- 5

10 6 + Figur 3.1: Bohrs model for brintatomet. Den negativt ladede elektron (grøn) kredser om den positivt ladede kerne (rød). - tusind gange tungere end elektronen, kan vi se bort fra kernens bevægelse og antage, at den ligger stille. Når elektronen bevæger sig i en stabil cirkelformet bane betyder det, at den altid holder samme afstand r, til kernen, mens den har en fast fart v. Det kan den kun, hvis Coulombkraften, Elektron-massen er m e = kg. F Coulomb = G C e 2 r 2, (3.3) som repræsenterer den elektriske tiltrækning mellem den negativt ladede elektron og den positivt ladede kerne, og centripitalkraften F centripital = m ev 2, (3.4) r der forsøger at rive elektronen væk fra kernen, præcis balancerer hinanden, således at F Coulomb = F centripital. Det giver en sammenhæng mellem banefarten og banens radius: v = Farten er altså større jo tættere elektronen er på kernen. G C e 2 m e r. (3.5) Da elektronens fart i denne tænkte model for brintatomet er konstant, har den en veldefineret de Broglie bølgelængde. Det specielle i kvanteteorien er nu, at elektronens bølgenatur dikterer, at kun bestemte baner er tilladte. Forestil dig elektronbølgen lukket om sig selv i en cirkel, som i Figur 3.2. Hvis cirklens omkreds er præcist et helt antal bølgelængder, vil bølgetop møde bølgetop, og bølgedal møde bølgedal efter et helt omløb. Elektronbølgen vil derfor interferere konstruktivt med sig selv og forstærkes. Hvis banens omkreds derimod ikke svarer til et helt antal bølgelængder, vil der være destruktiv interferens mellem bølgetop og bølgedal fra forskellige omløb som vist i Figur 3.2. Bølgen udslukker derfor sig selv, og sådanne tilstande eksisterer ikke. De er forbudte i kvantefysikken på grund af elektronens bølgenatur. Vi kan derfor opstille følgende kvantiseringsbetingelse: 2πr n = nλ de Broglie, (3.6)

11 7 2πr =8λ 2πr =8.3λ Tilladt Forbudt Figur 3.2: Forbudte og tilladte elektronbaner. Banen til højre har lidt for stor radius, så elektronbølgen vil interferere destruktivt med sig selv. Banen til venstre har derimod en omkreds svarende til et helt antal bølgelængder, og stofbølgen vil derfor interferere konstruktivt med sig selv, således at denne bane vil forekomme. hvor n skal være et helt tal (n = 1, 2, 3,...). Det vil sige, at de baneradier, som kvantefysikken tillader, er givet ved udtrykket r n = n 2π λ de Broglie = h 2π n m e G C e 2 m er n. (3.7) Hvis man isolerer elektronens tilladte baneradier, r n, i dette udtryk finder man at de er givet ved r n = n 2 2 G C m e e 2. (3.8) Vi har indført symbolet = h/2π (udtales h-streg), for Plancks konstant divideret med 2π, da denne kombination ofte optræder. Husk på, at i den klassiske mekanik, som jo beskriver eksempelvis Jordens rotation omkring Solen, er alle baneradier tilladte. Kvantemekanikken indebærer altså en begrænsning i de mulige baner. Tilsvarende er farten begrænset til bestemte værdier = J s. v n = G C e 2 n, (3.9) med det samme n som før. Elektronens energi er givet ved summen af den kinetiske energi (bevægelsesenergien), 1 2 m ev 2, og den potentielle energi, som i dette tilfælde er G C e 2 /r. Kvantiseringen af banens radius og omløbsfart betyder derfor, at også energien er kvantiseret, og kan antage værdierne: E n = 1 2 m ev 2 n G C e 2 r n = G Cm e e n 2 = 13.6 ev 1 n 2. (3.10) Den potentielle energi aftager jo tættere elektronen er på kernen, fordi de to partikler tiltrækker hinanden. Da man samtidig vælger, at den potentielle energi er nul, når elektronen er uendeligt langt væk fra kernen, betyder det, at den potentielle energi er negativ. Denne såkaldte Bohr formel, beskriver de diskrete linier i brintspektret (se Figur 3.3 og Opgave 2 nedenfor). 1 ev= J.

12 8 Det var i begyndelsen af det tyvende århundrede kendt, at grundstofferne kun absorberer og udsender lys ved ganske bestemte bølgelængder. Niels Bohr postulerede i 1913, at de diskrete linier i brintspektret skyldes, at elektronen, der kredser om atomkernen, kun kan følge baner svarende til ganske bestemte energier. Vi har ovenfor bestemt netop disse energier, E n. Elektronen vil helst befinde sig i tilstanden med den laveste energi som kaldes for grundtilstanden. Bohr beskrev hvordan elektronen kan foretage et kvantespring fra en bane med lav energi til en anslået tilstand med højere energi, hvis den absorberer en foton med en frekvens, der præcis svarer til energiforskellen mellem de to baner. Herved overtager elektronen nemlig fotonens energi, da den samlede energi altid skal være bevaret. Mere specifikt kan elektronen springe fra en bane med n = n 1 til en bane med højere energi, dvs. en højere n-værdi n 2 > n 1, hvis den absorberer en foton, hvis frekvens præcis svarer til energiforskellen mellem de to niveauer f n1 n 2 = E n 2 E n1. (3.11) h Da elektronen foretrækker at være i den laveste energitilstand vil den senere springe tilbage hertil. Den den energi, som elektronen taber herved, bæres væk i form af en udsendt foton, hvis frekvens f n2 n 1 = E n 2 E n1 h (3.12) igen svarer til energiforskellen mellem de to baner. Dette simple billede af brintatomet bliver noget mere kompliceret, når man ser på atomer med mere end en elektron. Men den vigtige konklusion er, at man også her kun finder ganske bestemte energitilstande, og at elektroner kan springe mellem disse adskilte niveauer under udsendelse eller absorption af en foton med en frekvens, der svarer til energiforskellen. n = 4 λ 3 2 λ 4 2 λ 6 2 n = 3 n = 2 n = 1 λ 5 2 Bølgelængde Figur 3.3: Tegningen til venstre illustrerer hvordan den såkaldte Balmer serie fremkommer ved elektronspring ned til energitilstanden med n 2 = 2. Kun de første to overgange er vist. Billedet til højre viser linierne i Balmer serien som de ses i et spektrometer.

13 9 Opgave 2 Brug frekvensformlen sammen med formlen for brintatomets energier til at bestemme bølgelængden for de første 4 linier i den såkaldte Balmer-serie, hvor n 2 = 2, det vil sige, udregn bølgelængderne λ 3 2, λ 4 2, λ 5 2 og λ 6 2. Sammenlign resultaterne med de observerede bølgelængder: Overgang Bølgelængde(nm) Farve Rød Blå-gøn Violet Violet Lysets bølgelængde, λ, og frekvens, f, er relaterede via formlen c = f λ, hvor c = 3, m/s er lysets hastighed i vakuum.

14

15 Kapitel 4 Bose-Einstein kondensering I 1924 sendte den ukendte bengalske fysiker Satyendra Nath Bose et manuskript til Einstein, hvori han ved hjælp af kvantemekaniske betragtninger genudledte en vigtig lov om lysets opførsel, der oprindeligt blev opstillet af Planck. Som en af de første benyttede Bose fotonbeskrivelsen af lyset, som Einstein tidligere havde indført. Bose forsøgte at få artiklen publiseret i tidsskriftet Philosophical Magazine, men eftersom fotonbegrebet dengang var noget kontroversielt, blev artiklen afvist. Han sendte i stedet manuskriptet til Einstein og bad ham oversætte det til tysk og sørge for, at det blev publiseret i tidsskriftet Zeitschrift für Physik. Som sagt så gjort. Einstein tilføjede en personlig kommentar til den trykte udgave af Boses artikel: Satyendra Nath Bose ( ) Det er min opfattelse, at Boses udledning af Planckformlen udgør et væsentligt fremskridt. Den anvendte metode leder også til en kvanteteori for den ideale gas, hvilket jeg vil udlede i detalje andetsteds. A. Einstein, Zeitschrift für Physik, 26, 178 (1924). Einstein gjorde med andre ord opmærksom på, at Boses tanker kunne overføres fra lys til materielle partikler, såsom atomer, med interessante konsekvenser til følge. Året efter udkom Einsteins videreudvikling af Boses ideer til stofpartikler. Heri forudsagde han en helt ny tilstandsform for stoffet, en makroskopisk stofbølge, som vi i dag kender som et Bose-Einstein kondensat. 4.1 Temperaturbegrebet og stofbølger Lad os først se på, hvad vi kan sige om stofbølger i en gas af atomer. De Broglies formel λ debroglie = h mv siger, at bølgelængden for stofbølgerne er omvendt proportional med atomernes fart. Men atomerne i en gas har ikke alle den 11

16 12 samme fart. Derimod består gassen af atomer med en bred vifte af hastigheder. Man kan derfor ikke udtale sig om et bestemt atoms fart, men kun om sandsynligheden er for at et atom har en given fart v. Hvis vi skal danne os et indtryk af, hvordan atomets stofbølge ser ud, må vi finde gennemsnittet af alle de forskellige bølger, som atomets hastighedsfordeling fortæller os er mulige. Det vil sige, at vi lægger mange bølger sammen, som hver især svarer til en lidt forskellig fart (og dermed lidt forskellige bølgelængder) sammen. Når man gør det, vil de forskellige bølger interferere destruktivt udenfor et område på størrelse med den gennemsnitlige de Broglie bølgelængde (se Figur 4.1): λ de Broglie = h m v (4.1) Vi bruger symbolet for middelværdien. Den effektive størrelse af atomet er derfor ca. lig med λ de Broglie. λ de Broglie Figur 4.1: Midling over bølger med lidt forskellige bølgelængder. Fem forskellige bølger vist med rødt lægges sammen. Deres gennemsnit er vist med blåt (til venstre). I midten af billedet mødes bølgetop med bølgetop og bølgerne interfererer konstruktivt. Væk fra dette punkt kommer bølgerne mere og mere ud af fase, og de begynder gradvist at udslukke hinanden. Det sker over en afstand givet ved middel de Broglie bølgelængden, som derfor bestemmer atombølgens effektive størrelse. Billedet til højre viser det samme, når der midles over 1000 forskellige bølger. k B kaldes for Boltzmanns konstant. k B = J/K. Atomernes gennemsnitsfart v afhænger af gassens temperatur. Eller mere præcist: Temperaturen er et mål for, hvor hurtigt atomerne i gassen i gennemsnit bevæger sig rundt mellem hinanden. Jo hurtigere atomerne i gennemsnit bevæger sig, desto højere er gassens temperatur. Gassens temperatur, T, og atomernes gennemsnitlige fart, v, er relaterede på flg. måde: m v mk B T. (4.2) Det er vigtigt at understrege, at det er den absolutte temperatur på Kelviskalaen, der indgår i dette udtryk, og iflg. dette udtryk falder atomernes gennemsnitshastighed til 0 når temperaturen skrues ned til det absolutte nulpunkt, T = 0 K (T = C). Vi skal om lidt se, hvordan atomskyen på dramatisk vis ændrer karakter, når vi nærmer os denne ultimative temperaturgrænse.

17 13 Relationen mellem atomernes middelhastighed og gassens temperatur betyder, at den gennemsnitlige de Broglie bølgelængde, som vi kan tilskrive de atomare stofbølger i en gas, er omvendt proportional med kvadratroden af temperaturen λ de Broglie h m v h mkb T. (4.3) For normale jordiske temperaturer vil den gennemsnitlige de Broglie bølgelængde være forsvindende lille. Det betyder, at atomerne opfører sig som klassiske, punktformede partikler: Deres bølgenatur er uden betydning. Men hvis vi sænker temperaturen bliver de Broglie bølgelængden større og større, og atomerne bliver mere og mere udtværede og diffuse. Bølgedelen af deres natur træder i karakter, og vi kan ikke længere betragte dem som veldefinerede partikler. Vi vil nu se på konsekvenserne af dette. Opgave 3 I vort eksperiment arbejder vi med rubidium atomer, specifikt isotopen 87 Rb, der har massen 87 amu. Hvor stor er den gennemsnitlige de Broglie bølgelængde for en gas af 87 Rb atomer ved stuetemperatur? Den atomare masseenhed er amu= kg. 4.2 Stofbølger United Vi ved nu, at de Broglie bølgelængden vokser, når temperaturen falder. Det betyder, at atomerne mister deres partikelnatur i takt med at de køles, og at de i stedet bliver mere og mere udtværede bølger. Det betyder ikke så meget, så længe der stadig er god afstand mellem de enkelte stofbølger. Men på et tidspunkt bliver udstrækningen af disse bølger, som er givet ved de Broglie bølgelængden, sammenlignelig med middelafstanden mellem atomerne, og de enkelte stofbølger begynder at overlappe. Eftersom alle atomerne i gassen er 100% identiske, kan vi ikke længere kende forskel på dem når de overlapper, og de enkelte stofbølger begynder derfor at smelte sammen. Det giver ikke længere mening at tale om forskellige bølger hørende til de enkelte atomer. Tværtimod udgør alle atomerne nu én og samme bølge. Atombølgerne begynder med andre ord at svinge i takt og forstærke hinanden. Dette er essensen i Bose-Einstein kondensation. De atomer, der er i den sammensmeltede stofbølge, udgør Bose-Einstein kondensatet, der skiller sig ud fra den øvrige del af gassen (se Figur 4.2). Når temperaturen kommer ned i nærheden af det absolutte nulpunkt er alle atomerne en del af kondensatet, som udgør én stor stofbølge, en slags superatom. Alle atomerne i kondensatet er beskrevet ved den samme stofbølge. De er i nøjagtig den samme kvantetilstand. Det interessante er, at man kan lave et Bose-Einstein kondensat i en gas med hundrede tusinder af atomer. Dvs. at man frembringer et kvantemekanisk objekt med et makroskopisk antal atomer,

18 14 Figur 4.2: Billede af en atomsky, som er kølet ned til en temperatur på ca K, som er under den kritiske temperatur for Bose-Einstein kondensation. Den centrale grøn-blålige klump er Bose-Einstein kondensatet, mens den rødlige del af atomskyen udenom såkaldt termiske, atomer, der ikke er en del af kondensatet. Øvelserne tilknyttet disse noter giver mulighed for at analysere billeder som dette. som er så stort, at man næsten kan se det med det blotte øje. Her flytter vi derfor virkelig grænsen mellem den kvantemekaniske og den normale verden. Vejen til et Bose-Einstein kondensat er illustreret i Figur 4.3. Disse tegninger viser skematisk situationen i gassen for høje temperaturer, hvor atomerne opfører sig som små veldefinerede kugler (til venstre). Når temperaturen sænkes antager atomerne gradvist bølgekarakter, og ved en kritisk temperatur T c begynder de enkelte stofbølger at overlappe (i midten). Nær det absolutte nulpunkt udgør atomerne én sammenhængende makroskopisk stofbølge (til højre). Vi kan sjusse os frem til størrelsen af den kritiske temperatur, hvor Bose- Einstein kondensatet dannes. Kriteriet er som sagt, at de enkelte stofbølger begynder at overlappe, hvilket betyder, at den gennemsnitlige de Broglie bølgelængde er ca. lige så stor som middelafstanden mellem atomerne. Den gennemsnitlige afstand mellem atomerne er bestemt alene af atomtætheden af gassen. Hvis vi antager at atomerne er jævnt fordelt er atomtætheden blot antallet af atomer, N, divideret med gassens volumen, V, dvs. n = N/V. Vi kan indføre et effektivt volumen, V atom, for et enkelt atom ved at definere en fiktiv lille kasse, der har en størrelse svarende til, at kassen i gennemsnit indeholder præcist ét atom. Volumen af denne fiktive kasse må da være V atom = V/N = 1/n. Vores fiktive kasse har derfor sidelængden L atom = 3 V atom = n 1/3. Vi kan vurdere atomernes omtrentlige indbyrdes afstand ved at se på to atomer i tilstødende

19 15 T T c T T c T = 0 Figur 4.3: En atomsky ved tre forskellige temperaturer. Når temperaturen er høj (til venstre) opfører atomerne sig som partikler. I takt med at temperaturen falder, bliver atomernes bølgenatur mere og mere tydelig. Ved en kritisk temperatur, T c, begynder de enkelte stofbølger at overlappe, og et Bose-Einstein kondensat dannes (midten). Ved det absolutte nulpunkt, T = 0, indgår alle atomerne i kondensatet (til højre). De grønne kurver illustrerer en fælde, som holder atomerne fanget, som beskrevet i kapitel 5. L atom L atom Figur 4.4: Middelafstanden mellem atomerne i en gas kan estimeres som sidelængden i en kasse, der netop omslutter ét atom. Volumenet af en sådan kasse vil være V atom = L 3 atom = 1/n. Afstanden mellem to atomer er derfor i middel L atom = n 1/3. fiktive kasser. Hvis atomerne sidder i midten af hver deres kasse, må deres afstand være L atom. Det betyder, at middelafstanden mellem atomerne i gassen er n 1/3. Derfor kan vi sige, at stofbølgerne vil begynde at smelte sammen når λ de Broglie > n 1/3 T < T c h2 n 2/3 mk B. (4.4) Den kritiske temperatur afhænger altså dels af tætheden af gassen, dels af hvilke atomer vi har med at gøre, da deres masse indgår i udtrykket for T c. Ved de atomtætheder man typisk arbejder med i laboratoriet, dannes Bose- Einstein kondensater ved temperaturer mindre end 1 µk (se opgave 3). Man skal altså køle atom-gassen ned til mindre end én milliontedel grad over det absolutte nulpunkt. Da eksperimenterne starter med en gas ved stuetemperatur, T 293 K, skal gassens temperatur gøres 100,000,000 gange mindre. Hvordan dette gøres i praksis er beskrevet i kapitel 7. Carl Wieman (1957-, til venstre) og Eric Cornell (1961-, til højre). På grund af de ekstreme kuldekrav for at danne et Bose-Einstein kondensat gik Wolgang Ketterle (1957-)

20 16 der næsten 70 år fra fænomenet blev forudsagt af Einstein, til det blev observeret i laboratoriet. Først i 2005 lykkedes det for Eric Cornell og Carl Wieman ved JILA, Boulder, USA, og Wolfgang Ketterle ved Massachusetts Institute of Technology, Boston, USA, at lave de første Bose-Einstein kondensater. De tre modtog i 2001 Nobelprisen i fysik for deres bedrift. Kondensering Gas Bose-Einstein kondensat Normal afkøling Væske Fast stof Figur 4.5: Bose-Einstein kondensatet en den 4. tilstandsform for stoffet. Da atomerne i kondensatet er smeltet sammen til én stor stofbølge har de mistet deres identitet. Derfor kan vi ikke længere tegne dem med små kugler. Vi kan tænke på et Bose-Einstein kondensat som en ny tilstandsform for stoffet. Den form som atomerne organiserer sig på afhænger af temperaturen. Når temperaturen er høj har vi en gas, som er kendetegnet ved at den fylder det tilgængelige volumen helt ud, samt at atomerne er fordelt helt tilfældigt. Når temperaturen sænkes vil gassen først fortættes til en væske, som har et mindre volumen, men en højere tæthed. Ved endnu lavere temperaturer finder vi atomerne organiseret i et fast stof, hvor de sidder nydeligt organiseret som perler på en snor. Det var de tre tilstandsformer, som indtil for nylig var kendte. Men som vi har set, vil atomerne ved ekstremt lave temperaturer begynde at opføre sig som stofbølger, der kan smelte sammen og danne et Bose-Einstein kondensat, hvis egenskaber er helt forskellige fra dem der kendetegner de øvrige tilstandsformer.

21 17 Man kan vise, at atomerne i et Bose-Einstein kondensat virkeligt opfører sig som én sammensmeltet bølge ved at lade to Bose-Einstein kondensater overlappe med hinanden som vist til venstre i figur 4.6. De to kondensater placeres ved siden af hinanden og man lader dem udvide sig. Der, hvor de overlapper, dannes et smukt inteferensmønster med lyse og mørke striber. Figur 4.6: To Bose-Einstein kondensater der overlappes (til venstre) udviser et tydeligt interferensmønster (til højre). Det demonstrerer, at atomerne i hvert af kondensateterne opfører sig som én sammenhængende stofbølge (W. Ketterle, Massachusetts Institute of Technology). Opgave 4 Brug formlen for den kritiske temperatur givet ovenfor til at beregne, hvor kold vores gas af 87 Rb atomer skal være, før den kan danne et Bose-Einstein kondensat, hvis atomtætheden er cm 3, som er den typiske atomtæthed i vort eksperiment. 4.3 Kan man ikke bare øge tætheden? Som beskrevet ovenfor kræver det en meget lav temperatur at fremstille et Bose-Einstein kondensat i en atomar gas. Men som det fremgår af ligning (4.4) kan man hæve den kritiske temperatur T c blot ved at øge tætheden i skyen. Man kan derfor spørge sig selv, hvorfor man ikke bare klemmer atomerne lidt tættere sammen i eksperimentet, så den kritiske temperatur for at lave et Bose- Einstein kondensat bliver nemmere at nå. Problemet er blot, at hvis man øger tætheden vil atomerne begynde at finde sammen og danne små krystaller, som vokser sig større og større, indtil man har et fast stof. I stedet for et Bose- Einstein kondensat vil man derfor ende med en kold klump af fast stof. Det er den naturlige tilstandsform for lave temperaturer og høje tætheder, som illustreret i figur 4.7.

22 Temperatur 18 Tricket er at holde tætheden lav, så gassen er meget tynd. Herved er der tilpas langt mellem atomerne til at det tager noget tid for dem at finde hinanden og begynde at klistre sammen i krystaller. Man siger, at gassen er ude af ligevægt. På denne måde kan man trodse tilstandsdiagrammet et stykke tid og køle atomskyen så langt ned, at den danner et Bose-Einstein kondensat. Det svarer til at blæse samtidig med at man har mel i munden. Men det ender altid galt: Efter nogle få sekunder vil kondensatet dø, på grund af krystaldannelse. Men der er rigeligt tid til at måle på kondensatet. Eksperimentalfysikerne er altså nød til at nå et område af tilstandsdiagrammet, der er forbudt. Men det betyder ikke, at det er umuligt. Eric Cornell har sagt det således: Hvis det virkeligt var umuligt ville Vorherre ikke have gjort sig den ulejlighed at forbyde det. Prisen man betaler for at trodse tilstandsdiagrammet er, at tætheden skal været meget lav, og dermed bliver den kritiske temperature for at danne et Bose-Einstein kondensat også meget lav. Man skal derfor arbejde hårdt for at køle atomskyen ned. Det fortæller vi mere om i kapitel 7. Når man endelig får dannet sit Bose-Einstein kondensat har man så kun kort tid til at beundre det og måle på det, før det forsvinder igen. Gas T c ikke BEC Forbudt! BEC Væske eller fast stof Tæthed Figur 4.7: Skematisk diagram over tilstandsformen som funktion af temperaturen og tætheden (begge akser er logaritmiske). Ved høje temperaturer og lave tætheder har man en gas, mens man for lave temperaturer og høje tætheder har et fortættet system, der enten vil være en væske eller et fast stof. Det grønne område, hvor både temperaturen og tætheden er lav, er forbudt. Den stiplede linje viser den kritiske temperatur for at danne et Bose-Einstein kondensat. Under denne linje kan man have et kondensat, men over linjen er temperaturen for høj til at have et kondensat. Eksperimentet svarer til den blå stjerne.

23 To slags partikler Vi har beskrevet Bose-Einstein kondensater som en naturlig følge af at atomer ifølge kvantemekanikken opfører sig som stofbølger. Men kan alle atomer danne et Bose-Einstein kondensat? Svaret er nej. Alle atomer opfører sig som stofbølger, når de køles ned, og deres hastighed bliver meget lille. Men når de enkelte stofbølger bliver så store, at de begynder at overlappe med hinanden, kan der ske to ting. Hvis stofbølgerne smelter sammen til én stor bølge, hvori alle atomerne er i den samme kvantetilstand, ja så har vi et Bose-Einstein kondensat. Men man finder i naturen, at der er andre atomer, hvis stofbølger aldrig smelter sammen. Det er som om disse atomer er associale. De deler ikke deres kvantetilstand med andre atomer af samme slags. Naturen byder altså på to fundamentalt forskellige slags partikler: De sociale og de associale. De sociale kaldes for bosoner, og kan danne Bose-Einstein kondensater ved tilstrækkeligt lave temperaturer. De associale kaldes for fermioner og kan ikke stimle sammen i et Bose-Einstein kondensat. I stedet vil fermioner altid holde en vis afstand til hinanden. Reglen om at to identiske fermioner aldrig kan dele den samme kvantetilstand kalder vi for Paulis udelukkelsesprincip. Det viser sig, at det der afgør om en partikel er en boson eller en fermion er kædet sammen med en kvantemekanisk egenskab kaldet spin. Fermioner har halvtalligt spin, mens bosoners spin er et helt tal. Eftersom såvel elektroner som kernepartiklerne protoner og neutroner alle har et spin på 1/2 er de alle fermioner. Denne trio udgør de legoklodser som alle atomer i grundstoffernes periodiske system er bygget op af. Hvilket grundstof man får er bestemt af, hvor mange protoner atomkernen indeholder. Brint har en enkelt proton i kernen. Helium har to, og så fremdeles. Da atomer er elektrisk neutrale har de altid lige mange af de positivt ladede protoner og de negative elektroner. Neutroner har ingen ladning, men er med til at binde atomkernen sammen. For hvert grundstof findes der forskellige isotoper, som adskiller sig i antallet af neutroner i kernen. Når man skal finde det samlede spin for et atom, lægger man blot spinnene fra elektronerne, protonerne og neutronerne sammen. Hvis det samlede spin er halvtalligt er atomet en fermion. Er det samlede spin derimod et helt tal, er atomet en boson og det er derfor muligt at danne et Bose-Einstein kondensat, hvis man har en gas med mange af denne type atomer. Eftersom der altid er lige mange protoner og elektroner i et atom, er det antallet af neutroner, der bestemmer om et atom er en fermion eller en boson. Et ulige antal neutroner giver en fermion, mens et lige antal svarer til en boson. For eksempel findes grundstoffet lithium i to forskellige udgaver. Isotopen 6 Li har tre neutroner i kernen (sammen med tre protoner), mens isotopen 7 Li har fire neutroner i kernen. Derfor er 6 Li en fermion og 7 Li er en boson. I vores eksperiment bruger vi 87 Rb atomer, som har 40 neutroner i kernen (en Rb kerne har 37 protoner). Vores 87 Rb atomer er altså bosoner, og vi kan derfor Bose-Einstein kondensere dem. At fermioner skal opfylde Paulis udelukkelsesprincip og dermed er udelukket fra

24 20 6 Li Fermion 7 Li Boson Figur 4.8: Illustration af atomkernerne for de to lithium isotoper. De røde kugler er protonerne, og neutronerne er vist med de blå kugler. Begge isotoper har tre protoner, men de har et forskelligt antal neutroner. 6 Li er en fermion, mens 7 Li er en boson. at deles om en kvantetilstand er af afgørende betydning for os. Elektronerne i et atom er som nævnt fermioner, og for et atom med mange elektroner betyder det, at elektronerne ikke kan klumpe sig sammen i en enkelt tilstand tæt på atomkernen. I stedet må de sprede sig over mange kvantetilstande, så nogle af elektronerne befinder sig langt fra kernen i atomet. Da kemi dybest set drejer sig om, hvad der sker med elektronerne, når flere atomer mødes, er det derfor vigtigt for forløbet af kemiske reaktioner og bindinger mellem de forskellige atomer i et molekyle, hvordan elektronerne er fordelt omkring et atom. Det er Paulis udelukkelsesprincip. Denne leveregel om associal adfærd blandt fermioner giver derfor brint og kulstof forskellige kemiske egenskaber, som er fundamentalt for den kemi, der ligger bag livet.

25 Kapitel 5 Fangede atomer I foregående kapitel så vi på, hvad der sker, når en en gas af atomer køles ned til temperaturer tæt på det absolutte nulpunkt, og vi argumenterede for, at de atomare gasser man arbejder med i laboratoriet skal køles ned til T K før Bose-Einstein kondensater dannes. For at dette kan lade sig gøre i praksis, er det en absolut nødvendighed, at atomerne ikke kan udveksle varme med resten af laboratoriet, som jo har stuetemperatur. For at opfylde dette krav fjernes atmosfæren omkring atomerne, så de befinder sig i lufttomt rum. Man gør dette ved at lave en lufttæt beholder, et såkaldt vakuum-kammer, som man først pumper tomt for luft, og derefter placerer sine atomer i. I praksis kan man ikke fjerne alle luftmolekylerne, men man kan komme meget, meget tæt på. Typisk er trykket i vakuum-kammeret mindre end atmosfære, hvilket betyder at mere end % af luftmolekylerne er pumpet bort. Det ekstremt lave tryk er nødvendigt, men det er ikke nok. For hvis man placerer en gas af atomer i midten af vakuum-kammeret, så vil atomerne i løbet af en brøkdel af et sekund sprede sig ud og ramme indersiden af beholderen, hvor de vil binde sig fast og blive varmet op til stuetemperatur. For at undgå, at atomerne spreder sig ud, skal man fastholde atomerne i midten af vakuumkammeret, og dette skal gøres uden nogen direkte kontakt mellem atomerne og det, der holder på dem. Du kender sikkert allerede et eksempel på en sådan kontakt-løs påvirkning; nemlig frastødningen mellem to stangmagneter som føres sammen nordpol mod nordpol. 5.1 En magnetisk skål for atomer I Bose-Einstein kondensat eksperimentet på Aarhus Universitet fastholder vi atomerne i en såkaldt magnetfælde, hvor det er et magnetfelt, der holder atomerne samlet. Magnetfeltet er designet således, at dets styrke har et minimum i fældens midte og vokser kvadratisk i alle retninger væk fra dette minimum. Hvert atom har sin egen lille indre stangmagnet, og vi kan i eksperimentet kontrollere orienteringen af atomernes nord- og sydpoler i forhold det ydre mag- 21

26 22 netfelt. Vi sørger for, at alle de atomare stangmagneter peger i samme retning, og at denne retning er sådan, at atomerne bliver frastødt af fældens magnetfelt. Det betyder, at de atomare nordpoler og magnetfeltets nordpol mødes, således at de atomare stangmagneter frastødes af magnetfeltet. Jo større styrken af magnetfeltet er, desto større er denne frastødning. På grund af magnetfeltets udformning er frastødningen mindst i midten af fælden, og atomerne vil derfor samles der. Hvis atomerne bevæger sig væk fra fældens midte, så vil de blive skubbet tilbage af de magnetiske kræfter. Derfor er de fanget i en usynlig skål skabt af magnetfeltet. Resultatet er en sky af atomer, der svæver i midten af vakuum-kammeret (se figur 7.4b). Atomernes potentielle energi er proportional med magnetfeltet, og vil vokse kvadratisk med afstanden fra fældens centrum i alle retninger. Det matematiske udtryk for den potentielle energi kan skrives som: E pot (x, y, x) = 1 2 mω2 xx mω2 yy mω2 zz 2, (5.1) hvor m er atomernes masse, og ω x, ω y og ω z er fældens vinkelfrekvenser. Det er svært at forestille sig hvordan den potentielle energi i fælden ser ud i tre dimensioner. Men hvis vi vælger en bestemt z-værdi, f.eks. z = 0, svarende til at vi ser på formen af fælden i xy-planen, kan vi tegne den potentielle energi. Resultatet er vist i Figur 5.1. Epot y 0 0 x Figur 5.1: Den potentielle energi for et atom i fælden, når vi sætter z = 0. Et atom kan svinge frem og tilbage omkring fældens minimum, som indikeret med den røde dobbeltpil. Som man kan se, er den potentielle energi i fælden formet som en skål. På samme måde som en marmorkugle i en rigtig skål vil rulle op og ned ad siderne, hvis man placerer den i en vis afstand fra skålens midte og giver slip, kan et atom bevæge sig frem og tilbage omkring fældens centrum. Hvis man eksempelvis

27 23 placerer et atom i en position (x 0, y = z = 0), og slipper det, så vil atomet ifølge 2. Newtons lov svinge frem og tilbage langs x aksen mellem +x og x med en periode T x. Denne periode er det reciprokke af fældens svingningsfrevens: T x = 1/f x. Vinkelfrekvensen ω i er defineret som svingningsfrekvensen ganget med 2π, dvs. ω i = 2πf i, hvor i {x, y, z}. Svingningsfrekvenser angives typisk i enheden Hertz (Hz). Konventionelt angives vinkelfrekvenserne i enheden 2π Hz. Den slags svingninger eller oscillationer gør, at vi kalder fælden for et harmonisk oscillator-potential. Formen af skålen er bestemt af konstanterne ω x, ω y og ω z, der afhænger af den specifikke udformning af magnetfeltet. Som vi har set, beskriver de hvor hurtigt et atom bevæger sig frem og tilbage i fælden. Jo større vinkelfrekvenserne er, desto stejlere er skålen, hvilket giver hurtigere svingninger. Vores fælde er designet således, at to af vinkelfrekvenserne er ens (ω x = ω y = 2π 224 Hz) og meget større end den tredje (ω z = 2π 19 Hz). Det vil sige, at et atom, der bevæger sig langs x- eller y-aksen i fælden, vil svinge frem og tilbage 224 gange i sekundet. Langs z aksen vil atomet svinge frem og tilbage 19 gange i sekundet. Vinkelfrekvenserne bestemmer også hvordan atomskyen ser ud. Jo højere vinkelfrekvenserne er, desto tættere klemmer fælden atomerne sammen. Man kan tilsvarende sænke tætheden ved at gøre vinkelfrekvenserne mindre. I vores fælde antager atomskyen en aflang form, som en cigar eller en Zeppeliner. Atomskyen er mere end 10 gange så lang som den er bred. x y Figur 5.2: Skematisk tegning af atomskyen i fælden. Tætheden er størst i midten af fælden og aftager gradvist, når man bevæger væk fra midten. z Ligesom vi brugte de Broglies stofbølgebeskrivelse til at finde de kvantiserede energier for brintatomet, kan vi forsøge at gøre noget tilsvarende for det harmoniske oscillator-potential. Men for svingningsbevægelsen, hvor et atom bevæger sig frem og tilbage i fælden, er farten ikke konstant. Atomet har sin højeste fart, når det krydser fældens midte, og bremses eller accelereres når det bevæger sig op eller ned af fældens usynlige vægge. Det svarer til at potentiel energi omdannes til kinetisk energi, og tilbage igen, mens den totale energi er konstant. Den varierende fart betyder, at vi ikke kan opstille én de Broglie bølgelængde for denne bevægelse. Det betyder, at de Broglies beskrivelse af stofbølgerne er for primitiv til at beskrive generelle kvantesystemer. Den blev derfor allerede i kvantemekanikkens ungdom i 1920-erne erstattet af den såkaldte Schrödingerligning, som den dag i dag bliver brugt til at beskrive kvantemekaniske systemer. Det er emnet for næste afsnit.

28

29 Kapitel 6 Bølgemekanik Som vi har set giver stofbølgebegrebet en intuitiv forståelse af mange kvantesystemer. Men vi har også set i tilfældet med den harmoniske oscillator, at det simple billede af en stofbølge, udelukkende karakteriseret ved en de Broglie bølgelængde, ikke altid er tilstrækkeligt. Det stod også klart i midten af 1920 erne, og den ganske unge kvantefysik syntes at være i knibe. Hvor Bohrs beskrivelse af brintatomet var en triumf for den nye fysiske teori, stod det hurtigt klart, at liniespektrene for tungere grundstoffer ikke kunne beskrives med Bohrs metode. Der var derfor brug for et mere sofistikeret matematisk værktøj til at beskrive stofbølgerne. Den østrigske fysiker Erwin Schrödinger løste knuden ved i 1925 at opstille den ligning, som idag bærer hans navn, og som blev fundamentet i den udgave af kvantemekanikken, der ligger til grund for det meste af den moderne fysik. Før vi opskriver Schrödingerligningen, er det værd at dvæle lidt ved, hvad den er en ligning for. Hvis du er bekendt med stående bølger på en udspændt streng, ved du, at bølgen fremkommer ved at elementer af strengen svinger omkring deres hvileposition, hvor strengen er en lige linie, se figur 6.1. Nogle steder er udsvinget stort, andre steder er det småt, og i nogle punkter, kaldet knudepunkter, er der ikke noget udsving. Vi kan beskrive denne situation matematisk ved en funktion y(x, t), der for hvert punkt på strengen, beskrevet ved positionen x, angiver udsvinget som funktion af tiden t. Denne bølgefunktion er løsning til en bestemt ligning, kaldet bølgeligningen. Kender vi y(x, t) til et bestemt tidspunkt, kan vi ved hjælp af bølgeligningen beregne bølgefunktionen for strengen til ethvert andet tidspunkt. Det væsentlige at hæfte sig ved her er, at bølgefunktionen for strengen beskriver noget mekanisk, nemlig strengens form. Erwin Shrödinger ( ) Det er værd at minde om en ekstra pointe fra eksemplet med stående bølger på en streng. Knudepunkterne på en stående bølge ligger regelmæssigt langs strengen, adskilt af en halv bølgelængde. Eftersom strengens ender er fastgjorte, må der nødvendigvis være et knudepunkt i hver ende. Det betyder, at strengens længde, L, må svare til præcis et helt antal halve bølgelængder: 25

30 26 E Figur 6.1: Tegning af stående bølger på en vibrerende streng. Strengen er fastgjort i enderne, så bølgen er tvunget til at have knudepunkter der. Bølgen svarende til grundtonen har kun knuder i de to ender, mens hver af overtonerne tilføjer en ekstra knude mellem enderne. Grundtonen og de første tre overtoner er vist, og ordnet efter stigende energi. L = nλ/2, hvor n = 1, 2, 3,.... Antallet af knudepunkter (ud over enderne) er n 1. Bølgen med det laveste antal knuder kaldes for grundtonen, og har den største bølgelængde. De øvrige bølgeformer kaldes for overtoner. Som for alle bølger er bølgelængden omvendt proportional med frekvensen. Det vil sige, at grundtonen svarer til den lavest mulige frekvens, og at overtonernes frekvens stiger med antal af knudepunkter. Da kun bestemte bølgelængder er tilladte betyder det, at strengens svingningsfrekvenser er kvantiserede. Max Born ( ) Til gymnasielærere og andre som kender til komplekse tal bør vi nok nævne, at ψ(x, t) generelt er en kompleks funktion, og at sandsynligheden for at finde partiklen i området δx omkring x er givet ved ψ(x, t) 2 δx. Men i de tilfælde, vi skal behandle her, er ψ(x, t) reel og ψ(x, t) 2 = [ψ(x, t)] 2. Størrelsen af bølgernes udsving kan være hvad som helst. Men hvis man begrænser sig til kun at se på bølger, der alle har den samme amplitude, finder man, at grundtonen og overtonerne svarer til bestemte, diskrete energier. Virker det bekendt? På samme måde som vi kan opnå en matematisk beskrivelse af de stående bølger på strengen, kan vi tilskrive en bølgefunktion til de kvantemekaniske stofbølger. For at skelne mellem den klassiske bølgefunktion og den kvantemekaniske bølgefunktion bruger man et andet symbol for den sidste, nemlig det græske bogstav psi, der skrives som ψ. Denne kvantefysiske bølgefunktion adlyder Schrödingerligningen, som vi opskriver om lidt. Matematisk set minder Schrödingerligningen om den bølgeligning, der beskriver de stående bølger på en streng. Men hvor bølgefunktionen for strengen beskrev noget meget håndgribeligt, er fortolkningen af ψ mere speget. Max Born postulerede, at kvadratet på bølgefunktionen for en kvantepartikel, [ψ(x, t)] 2, hænger sammen med sandsynligheden for at finde partiklen i positionen x til tiden t. Mere præcist er sandsynligheden for at finde et atom i et lille område af størrelsen δx omkring punktet x givet ved [ψ(x, t)] 2 δx. Lad os se lidt nærmere på, hvad der

31 27 menes med det. [ψ(x)] 2 x min x i δx x max Figur 6.2: Vi har delt intervallet fra x min til x max op i små dele af størrelsen δx. Sandsynligheden for at finde et atom i det skraverede område [x i, x i + δx] er [ψ(x i )] 2 δx. Sandsynligheden for at finde atomet et eller andet sted mellem x min og x max er summen over sandsynligheden for alle del-intervallerne. Når afstanden mellem punkterne går mod nul, bliver summen til et integral. Hvis vi er interesserede i at beregne sandsynligheden for at finde et atom i intervallet x [x min, x max ] kan vi dele intervallet op i små bidder af størrelsen δx som i Figur 6.2. Som sagt fortæller kvantemekanikken os, at sandsynligheden for at finde atomet i området [x i, x i + δx] er [ψ(x i )] 2 δx. Den samlede sandsynlighed, P, for at finde atomet et eller andet sted mellem x min og x max er summen af del-sandsynlighederne fra alle de små stykker, altså P = i [ψ(x i )] 2 δx. (6.1) Det er klart, at inddelingen af intervallet i mindre stykker kun giver mening, hvis opdelingen er så fin, at [ψ(x i )] 2 er nogenlunde konstant indenfor hvert interval. Men som man kan se på figuren, vil den antagelse aldrig være helt perfekt. Derfor tager man matematisk grænsen, hvor længden af del-intervallerne nærmer sig nul. I den grænse bliver summen overde små stykker til integralet langs x-aksen: P = i [ψ(x i )] 2 δx xmax x min [ψ(x)] 2 dx. (6.2) Hvis man kender funktionsudtrykket for bølgefunktionen, ψ(x), kan man derved beregne sandsynligheden for at finde atomet mellem punkterne x min og x max ved at integrere [ψ(x)] 2. Der er i sig selv ikke noget mærkeligt i, at man på denne måde kan finde sandsynligheden for at atomet befinder sig mellem x min og x max. Det der kan virke rystende er, at bølgefunktionen er det eneste vi har mulighed for at vide om systemet. I kvantemekanikken kan vi altså ikke sige med sikkerhed, hvor et atom befinder sig, men kun angive sandsynligheden for at finde det et bestemt sted i rummet. Denne sandsynlighed er som sagt bestemt af netop bølgefunktionen, der er en løsning til Schrödingerligningen, som vi nu er klar til skrive op.