Den astronomiske enhed

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den astronomiske enhed"

Transkript

1 Bestemmelse af Den astronomiske enhed Snapshot fra Stellarium Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus Juni (Redigeret maj 2015.)

2 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 1/10 Indholdsfortegnelse Indledning 2 Ækvatorealsystemet 2 Timevinkel 2 Parallaksemetoden 3 Beregning af kordelængden, AB 4 Retning til Venus i Jordkoordinater 5 Afstanden mellem Jorden og Venus 6 Ved formørkelser 6 Ved beregning 6 Sammenfatning 7 Konklusion 7 Opgaver 9 Referencer 10

3 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 2/10 Indledning 5. juni 2012 har der været en Venustransit, som er en relativt sjælden begivenhed. F. eks. kommer den næste transit først den 11. december En Venustransit kan bruges til at finde et absolut mål for den astronomiske enhed, og da denne enhed er grundlaget for basisenheden parsec, som bruges til at angive afstande i astronomien, har det altid været interessant at få den astronomiske enhed bestemt. Richer og Cassini målte længden af den astronomiske enhed i 1672 ved at betragte Mars [8], og Edmund Halley bestemte i 1716 en lidt anderledes metode til at finde længden af den astronomiske enhed. I 1769 lykkedes det andre at få målt værdien ved hjælp af Halleys metode. Halley selv døde i [2]. Halleys metode gav en astronomisk enhed på 151 millioner km, som kun er 1,4 millioner km større end den nuværende bestemmelse af enheden. [3] Se [1] og [2] for at læse mere om Halleys metode. I denne note vil vi finde den astronomiske enhed ved at simulere nogle samtidige observationer fra observatorier med gode kikkerter og ure. Det forudsættes, at læseren har kendskab til det ækvatoreale koordinatsystem. (Se evt. noten Kapitel 1 Introduktion til astronomi i [4].) Systemet repeteres kort nedenfor. Ækvatorealsystemet Når astronomer angiver himmellegemers positioner, angives de oftest i ækvatoreale koordinater, dvs. man laver en himmelkugle med Jorden i centrum, projicerer Jordens ækvator ud på himmelkuglen, vælger nulpunkt i forårspunktet og måler deklinationen vinkelret på himmelens ækvator. Se ill. 1. Man skal altså forestille sig, at alle himmellegemerne er klistret fast på en sfære i en fast afstand. 1. koordinaten, rektascensionen, måles i timer, minutter og sekunder, og 2. koordinaten, deklinationen, måles i grader, bueminutter og buesekunder. Timevinkel Jorden spinner om sin egen akse med en periode på T=23 h 56 m 4,1 s. Da denne periode altså er en smule mindre end 24 h, anvender astronomer derfor også et andet tidssystem, som kaldes siderisk tid på dansk stjernetid. Ligesom civiltid afhænger af, hvor man er på Jorden, afhænger stjernetiden også af ens position. Den lokale stjernetid forkortes LST. Illustration 1: Ækvatorealsystemet. LST er 0 når forårspunktet krydser den lokale meridian. Hvis forårspunktet krydser nulmeridianen, som går gennem Greenwich ved London, kaldes tidspunktet for GST. (Greenwich Sidereal Time.)

4 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 3/10 Hvis man definerer længdegrader, λ, på Jorden til at være negative, når man går østpå gælder følgende sammenhæng mellem LST og GST: LST=GST-λ. Eksempel Århus er 10º12'36 øst for Greenwich. Lad os antage at GST=23 h 40 m 10 s. Vi vil beregne LST for Århus. Vinkelmålet for Århus skal omregnes til h m s, og da Århus er øst for Greenwich, skal man sætte et minus foran talværdien. Dvs. LST = GST λ= 23 h + 40m (10+12 / /3600) +10s 24 h = 23, h +0, h m/h h/ s LST = 24, h = 0, = 0 h 21 m 4 s. Bemærk at LST altså er længere fremme i Århus end i Greenwich, akkurat som civil tid for Danmark er længere fremme end i Greenwich. Astronomer laver dog ikke tidszoner, som civillivet gør hver observatør har sin helt egen lokale tid. Timevinklen, θ, for et himmellegeme defineres som den vinkelafstand (målt i h m s), legemet er fra observatørens meridian. Dvs. når legemet krydser meridianen er timevinklen, θ=0, og når legemet fortsætter over på den vestlige del af himmelen stiger timevinklen. [5] Man kan bruge timevinklen til at bestemme positionen af forårspunktet samt et himmellegeme, Venus for eksempel, ved at bruge reglen: θ=lst-α klode. Specielt gælder for forårspunktet,, som jo har α=0 at θ =LST. Parallaksemetoden Prøv at stirre på et punkt på en væg, som er ca 2-3m væk. Kig på punktet skiftevis med højre og venstre øje det ser ud som om, punktet hopper til højre og venstre, mens du blinker. Vi ved jo godt, at punktet står stille, men fordi vore øjne er placeret et lille stykke fra hinanden, er synsretningerne til punktet fra de to øjne en smule forskellige. Denne effekt kaldes for parallakseeffekten. Fænomenet optræder også, hvis to observatører langt fra hinanden på Jordens overflade, på samme tid betragter det samme himmellegeme. I forhold til baggrundsstjernerne vil de to observatører altså måle små forskelle i himmellegemets placering på himmelen. Dette er forsøgt vist på illustration 2. Øvelsen består derfor i at måle p og derefter finde afstanden A'B'. Derefter kan vi finde en sammenhæng mellem A'B', p og d. Øvelse Tegn illustration 2 over på et stykke papir. Tegn en cirkel med radius, d, og centrum i midten af Venus. Ræsonner dig p frem til, at følgende formel må gælde: 2 π = A' B ' 2 π d. Reducer formlen og isoler d.

5 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 4/10 Illustration 2: To observatører i A og B måler positionen af Venus eller en anden klode. De to observatørers indbyrdes afstand er markeret ved den rødfarvede korde, der er stiplet med fed. (Liniestykket AB.) Den sortstiplede korde A'B' er den del af AB, der er vinkelret på afstandsstregen, d, til Venus. De to observatører har gode teleskopophæng, der gør det muligt at måle (α, δ) for Venus, og fordi de står forskellige steder, måler de forskellige koordinatsæt. Parallaksevinklen, p, er uhyre lille, og derfor gælder Pythagoras' sætning fra plangeometrien også her, selvom himmelsfæren jo netop ikke er plan. Dvs. vi kan finde parallaksevinklen p= (α A α B ) 2 +(δ A δ B ) 2. Her skal man huske, at omregne α og δ til radianer. Eksempel To observatører i hhv. Århus og Canberra måler den 5/ kl. 0300ET følgende koordinatsæt for Venus: (α, δ) A = (5 h 0 m 26 s ;+23 o s 2 5' 57' ' ) (α, δ) B = (5 h 0 m 24 s ;+23 o 6 ' 50 ' ' ) Parallaksen er: p= ( s 2 π) +( 53o 3600 π ) = 2, rad. Øvelse Download og installer Stellarium på din pc. Se [7] for et link. Prøv at måle værdierne, som er angivet i eksemplet ovenfor. Beregning af Kordelængden, AB Geografiske positioner er angivet ved en længdegrad, λ, og en breddegrad, β. Hvis vi antager, at Jorden er kugleformet, kan vi udtrykke enhver position på Jorden ved en vektor, r. I kartesiske koordinater er vektoren givet ved følgende udtryk: r=( x y z) ( R cos(β) cos(λ) = R cos(β) sin (λ) R sin (β) ). [6] Eksempel I forrige eksempel betragtede vi nogle observationer målt i Århus og Canberra. Koordinaterne for de to byer er som følger: Århus: (λ, β) = (-10º12'36 ;+56º9'36 ) Canberra: (λ, β) = (-149º7'48,02 ;-35º18'36 ) Vi antager Jordens radius til at være ens overalt og R=6372km. Dermed bliver de to vektorer:

6 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 5/10 =( x r Århus y =( x r Canberra y z) =(cos(56,16 0 ) cos( 10,21 0 ) 0 ) sin( 10,21 0 ) sin(56,16 0 ) z) =(cos( 35,31 0 ) cos( 149,13 0 ) cos( 35,31 0 ) sin( 149,13 0 ) sin( 35,31 0 ) 5293) km. ) 6372km=( ,0 ) 6372km=( ) km. Kordevektoren mellem de to byder er dermed r Canberra r Århus =( ) km r Canberra r Århus = AB= km. I eksemplet ovenfor har vi nu beregnet den direkte afstand mellem to observationsbyer, men vi er jo ude efter den del af AB, der peger vinkelret på retningsvektoren mellem Venus og Jorden. Dvs. vi skal finde retningen til Venus. Retning til Venus i Jordkoordinater I eksemplet på side 4 fandt vi de ækvatoreale koordinater for Venus set fra to byer. Hvis vi transformerer de koordinater til geografiske koordinater, kan vi konstruere en enhedsvektor for d i illustration 2. Der er heldigvis et vist fællesskab mellem de to koordinatsystemer, idet de to ækvatorplaner er fælles i de to koordinatsystemer. Derfor vil δ Venus = β Venus. Længdegrad og rektascension er dog ikke helt ens, da rektascension måles udfra forårspunktet og længdegrader måles ud fra Greenwich-meridianen. Ud fra timevinklen af Venus kan vi beregne lokal stjernetid for de to positioner. Derefter kan vi regne Greenwichs sideriske tidspunkt, GST, ud. (Se side 3.) Når GST er kendt kan timevinklen for forårspunktet bestemmes, og så har vi fået placeret nulpunktet for rektascension i forhold til Greenwich-meridianen. Formlerne er: LST observationssted = θ himmellegeme +α himmellegeme GST = LST observationssted +λ observationssted. Eksempel Vi fortsætter eksempelrækken ved at betragte Århus og Canberra. Tallene er aflæst i Stellarium på datoen 5/6 kl ET. LST Århus = 15 h 36 m 12 s +5 h 0 m 26 s = 20 h 36 m 12,6 s. LST Canberra = 0 h 51 m 54 s +5 h 0 m 24 s = 5 h 52 m 18 s. GST 1 = 20 h 36 m 12,6 s (10+12/60+36/3600)o 360 o 24 h = 19 h 55 m 22 s. GST 2 = 5 h 52 m 18 s (149+7/60+48,02/3600)o 360 o 24 h = 4,0703 h = 19,92967 h = 19 h 55 m 47 s GST = 19 h 55 m 35 s. Da GST = θ Forårspunktet ifølge definitionen af ækvatorealsystemet, har vi altså timevinklen på forårspunktet. I geografiske koordinater er positive længdegrader mod vest og rektascension måles mod øst, og derfor må Venus' geografiske længdegrad være θ forårpunkt α Venus = 19 h 55 m 35 s 5 h 0 m 26 s = 14 h 55 m 9 s = 223,79 o. Altså kan vi nu bruge formlen nederst på side 4 til at finde retningsvektoren for d:

7 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 6/10 )=( e d =(cos(23,099 0 ) cos(223,79 0 ) 0, ) sin(223,79 0 ) 0,6365 sin(23,099 0 ) 0,3923). For at finde A'B' kan vi bruge nogle resultater fra vektorregningen. Vi ved jo, at for to vektorer a og b gælder, at a b= a b cos(v). Dvs. vinklen mellem d og AB kan findes ved følgende formel: v= cos 1( AB d AB d ) = cos 1( AB e d AB ). Endelig kan man ved at betragte illustration 2 se, at A ' B ' = AB sin (v). Øvelse Prøv at overbevise dig om, at A' B '= AB sin (v) gælder. Eksempel Med de dansk-australske data kan vi altså beregne vinklen, v: AB e d ( km = ) km ( 0, km 0,6365 0,3923) = 0,2316 v= cos 1 (0,2316)= 76,61 0. Dermed bliver A' B '= km sin (76,61 0 )= km. I eksemplerne har vi nu beregnet A'B' samt parallaksen p. Dermed kan den absolutte afstand mellem Jorden og Venus bestemmes, og den bliver: d = A' B ' km = p 2, rad =3, km. Afstanden mellem Jorden og Venus Ved formørkelser Ved at observere Venus' synodiske omløbstid, altså tidsrummet fra nedre konjunktion til nedre konjunktion, kan man bestemme Venus' sideriske omløbstid. Dernæst kan man ved hjælp af Keplers 3. lov bestemme Venus' halve storakse i astronomiske enheder. En måling viser, at Venus' synodiske omløbstid er på 584 dage = 1,599yr. Dermed kan den sideriske 1 omløbstid beregnes af formlen: = = 1yr T sid T Jorden T syn 1,599 yr T sid= 0,6153 yr. Ved indsættelse i Keplers 3. lov fås: a= T 2/ 3 = 0,6153 2/3 = 0,723 AU. Da Jordens afstand er 1AU, hvis vi ser bort fra eccentriciteten, vil afstanden mellem Venus og Jorden være 0,277AU, såfremt vi er meget tæt på nedre konjunktion. [4: Kapitel 1 - Introduktion til astronomi. ] Dermed får vi at 0,277 AU =3, km 1 AU=1, km. Altså en afvigelse på 4%. Skal man være mere omhyggelig, bør man inkludere de to baners eccentricitiet, og man skal vide, hvordan formen af banerne er fastlagt.

8 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 7/10 Ved beregning Stellarium kan angive afstanden mellem Venus og Jorden endnu mere præcist end metoden ovenfor, og metoden gælder altid altså også når der ikke er nedre konjunktion. For den 5/ er afstanden mellem de to planeter 0,2888AU. Med denne afstand får man følgende sammenhæng mellem den astronomiske enhed og meteren: 0,2888 AU = 3, km 1AU= 1, km. Bestemmelsen er altså ca. 8% for lille, og da vi har elimineret fejl i baneafstandene, så må det være vinkelmålingerne, der er skyld i afvigelsen. Man kan også benytte almanakprogrammer til at finde afstande og gode programmer med forklaringer på, hvordan de virker kan man se i referencelisten. [6]. Sammenfatning Vi har nu gennemført en bestemmelse af den astronomiske enhed. Metoden kan sammenfattes til: 1. Benyt to gode teleskoper og to gode stjerneure til at betragte en klode, vi valgte Venus, på nøjagtigt samme tidspunkt. Timevinkel og målte koordinater for kloden skal nedskrives. Har man ikke to gode observatorier, kan man f. eks. bruge Stellarium. 2. Parallaksen for kloden beregnes. 3. Ved kendskab til observationsstedernes geografiske koordinater, skal man bestemme kordelængden mellem de to observatorier samt orienteringen af denne vektor. 4. Ved kendskab til klodens timevinkel og dens rektascension, kan man finde forårspunktets placering i geografiske koordinater og dernæst klodens retningsvektor. (Deklination og breddegrad er ens.) 5. Ved hjælp af vektorregning findes vinklen mellem kordevektoren og retningsvektoren til kloden. 6. Man beregner den vinkelrette del af kordelængden i forhold til retningsvektoren til kloden. 7. Man beregner den absolutte afstand mellem Jorden og kloden. 8. Man skal dernæst finde afstanden mellem kloden og Jorden i astronomiske enheder. Er der tale om konjunktion eller opposition ved observationstidspunktet, kan man efter at have målt klodens synodiske omløbstid, anvende Keplers 3. lov til at bestemme klodens halve storakse. Da Jordens halve storakse er 1, kan afstanden mellem de to kloder nemt bestemmes. 9. Er der ikke konjuktion/opposition, kan man anvende Stellarium eller tilsvarende program til at finde afstanden i astronomiske enheder. 10. Endelig kan den astronomiske enhed beregnes. Når den astronomiske enhed er bestemt, kan man finde et absolut mål for grund-enheden for kosmologiske afstande i Universet, parsec'en, som er defineret som ,8AU=1pc. Da parsec'en bygger på den astronomiske enhed, er det altså af største vigtighed at få den astronomiske enhed bestemt så nøjagtigt som muligt. Konklusion En gymnasieelev, som går i gang med denne opgave, vil sandsynligvis betragte opgaven som værende indviklet, fordi det ofte kan være svært at visualisere rumlige strukturer. Men virkeligheden for Cassini, Halley, Hornsby, Green og alle de andre var meget værre, fordi de skulle foretage lange og farefulde rejser, før de kunne foretage observationerne. Derudover var urene ikke så gode, som i dag, så selve målingerne var meget komplekse at udføre. Endelig skulle de beregne

9 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 8/10 de relative planetafstande i hånden! Det var også en kompliceret affære. Da James Cook tog til Tahiti i 1768 for at gøre klar til Venus-passagen i 1769, vidste han udmærket, at en pæn andel af besætningen aldrig ville kom hjem igen. Det viste sig, at over halvdelen af besætningen døde undervejs, inkl. skibsastronomen Charles Green. [9] De fleste imponeres sikkert over den iver, videnskabsmændene havde - også dengang, og deres villighed til at foretage store ofre, for at få samlet observationerne sammen. Det er nok ikke nogen overdrivelse at postulere, at datidens eventyrere var lige så dristige som nutidens astronauter, der risikerer liv og lemmer for at bibringe menneskeheden ny viden. Historien om Jean Richers rejse til Fransk Guyana ( ) og Cooks rejse til Tahiti i ( ) er fantastiske historier, som den ivrige 3. g'er kunne tage op i en SRP-opgave.

10 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 9/10 Opgaver Nedenstående opgaver kan løses kort eller mere omfattende. Noten, inklusive opgaverne, burde være nok til et tværfagligt forløb mellem Fysik/astronomi/historie, men man kan sagtens gå mere i dybden og overveje at skrive SRP-opgave med opgaverne som udgangspunkt. Bestemmelse af den astronomiske enhed ved egne observationer Bestem den astronomiske enhed ved at udvælge to observationssteder på Jorden, og udfør målinger og beregninger som vist i denne note. Du bestemmer selv hvilken klode, du vil observere. (Husk at jo tættere kloden og Jorden er på hinanden, des bedre resultater får du.) Cassinis og Richers rejse Find litteratur om Richers rejse til Fransk Guyana og sæt dig ind i historien. Forbered et foredrag, som du kan holde for dine klassekammerater. James Cooks rejse Find litteratur om James Cooks rejse til Fransk Guyana og sæt dig ind i historien. Forbered et foredrag, som du kan holde for dine klassekammerater. Cassini Find litteratur om Cassini og skriv en kort biografi om Cassini. Skriv derefter en artikel om en af Cassinis videnskabelige resultater. Edmond Halley Find litteratur om Halley og skriv en kort biografi om Halley. Skriv derefter en artikel om en af Halleys videnskabelige resultater. Skibsfart i gamle dage Sæt dig ind i navigation, f. eks. bestemmelse af længdegrader. Skriv en artikel om udfordringerne ved at rejse før Greenwich-observatoriets hjemmeside kan muligvis være dig behjælpelig med information.

11 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 10/10 Referencer 1. (En side, der viser hvordan E. Halley bestemte afstanden til Venus ved at betragte Venus-transitter.) T. Hornsby, The quantity of the Sun's parallax, as deduced from the observations of the transit of Venus, on June 3, Philosophical Transactions of the Royal Society 61 (1771), Min hjemmeside, hvor udvalgte noter offentliggøres. 5. D. Scott Birney: Observational Astronomy, Cambridge University Press, O. Montenbruck & T. Pfleger: Astronomy on the Personal Computer, Springer Verlag Programmet Stellarium til at simulere observationer %2FIAU2004_IAUC196%2FS a.pdf&code=f5e0756c d990e75 cf703ee45

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Formelsamling i astronomi. November 2015.

Formelsamling i astronomi. November 2015. Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Spørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål.

Spørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål. Spørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål. Jorden Alt - Az Time vinkel DEC RA - DEC Ækvator Horisonten Himlens ækvator Himlens ækvator

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Verdensbilleder Side 1 af 7

Verdensbilleder Side 1 af 7 Verdensbilleder ide 1 af 7 Verdensbilleder A. elvstændigt arbejde som forberedelse: 1. Følgende tekster læses grundigt forud, og der tages notater om personer, årstal, betydningsfulde opdagelser, samt

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser 1. Jordkloden 1.1 Inddelinger og betegnelser 1! Bredde Grad! [ ]! =! 10.000 / 90! =! 111 km 1! Bredde Minut! [ ]! =! 111 / 60! =! 1,850 km * 1! Bredde Sekund! [ ]! =! 1850 / 60! =! 31 m 1! Sømil *!!! =!

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009

Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009 agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 009 Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 009 Øvelse nr. 1: Keplers og Newtons love Keplers 3. lov giver en sammenhæng

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Observationelle Værktøjer

Observationelle Værktøjer Observationelle Værktøjer Et værktøjskursus. Afsluttes med en rapport på ca. 10-15 sider (IKKE et Bachelor Projekt!). Tenerife Kursus (Januar 2010?). Matlab programmering. Øvelser i 1525-319, Instruktor:

Læs mere

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 010 Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 010 Computerøvelse (brug MatLab) Det er tanken at I - i forbindelse med hver øvelsesgang - får en opgave som kræver

Læs mere

Introduktion til Astronomi

Introduktion til Astronomi Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen Kontor: 1520-230 Email: hans@phys.au.dk Tlf.: 8942 3779 Introduktion til Astronomi 1 Introduktion til Astronomi Studieretning Astronomi 3. år Valgfag Relativistisk

Læs mere

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Keplers Love Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet Middelalderens astronomi var en fortsættelse

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Mikkel Gundersen Esben Milling

Mikkel Gundersen Esben Milling Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,

Læs mere

Mælkevejens rotation

Mælkevejens rotation Kineæstetisk øvelse. September 2014. Side 1/5 Mælkevejens rotation Kineæstetisk aktivitet - Lærervejledning 1 Alexander L. Rudolph Professor i fysik og astronomi, Cal Poly Pomona Professeur Invité, Université

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Afstande Afstande i universet

Afstande Afstande i universet Side 1 Til læreren i universet Her får man en fornemmelse af rummeligheden i universet at stjernerne ikke, som antaget i Middelalderen, sidder på indersiden af en kugleflade, men i stedet er spredt i rummet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Ole Christensen Rømer 1644-1710

Ole Christensen Rømer 1644-1710 Ole Christensen Rømer 1644-1710 Ole Rømer Født den 25. september 1644 i Kannikegade i Aarhus Boede i en ejendom ved Mindet (nær Åboulevarden 12) Flyttede til en ejendom i Skolegade efter en brand Student

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Exoplanetdetektion ved lyskurvemåling. Michael A. D. Møller. November side 1/6

Exoplanetdetektion ved lyskurvemåling. Michael A. D. Møller. November side 1/6 Exoplanetdetektion ved lyskurvemåling. Michael A. D. Møller. November 2011. side 1/6 Exoplanetdetektion I denne øvelse skal du måle en lyskurve for en stjerne, når den krydses af en af sine planeter. Dataene

Læs mere

Venuspassage - en astronomisk meterstok

Venuspassage - en astronomisk meterstok Downloaded from orbit.dtu.dk on: Dec 19, 2015 Venuspassage - en astronomisk meterstok Linden-Vørnle, Michael Published in: Aktuel Naturvidenskab Publication date: 2012 Document Version Forlagets endelige

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

En studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende:

En studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende: Geodæsi Lars Stenseng stenseng@space.dtu.dk Læringsål En studerende der har genneført Geodæsi eleentet af kurset vil kunne følgende: Beskrive den grundlæggende virkeåde for GNSS systeer Beskrive de tre

Læs mere

HAF Sfærisk astronomi

HAF Sfærisk astronomi Forside1 Plane trekanter B Vinkelsum = 180 c a a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) b 2 = c 2 + a 2 2 a c cos(b) c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c) A b C a sin(a) = b sin(b) = c sin(c) 1 Sfæriske trekanter N v Lillecirkel

Læs mere

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Partiel solformørkelse, fredag den 20. marts 2015, kl. 9:40-12:05

Partiel solformørkelse, fredag den 20. marts 2015, kl. 9:40-12:05 Partiel solformørkelse, fredag den 0. marts 015, kl. 9:40-1:05 Nærum Gymnasium, Esbjerg gymnasium, Birkerød Gymnasium, Sønderborg Gymnasium m. fl. Vejledning: Fredag formiddag byder på en enestående oplevelse

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Astronomi & Universet, del I.

Astronomi & Universet, del I. 2 Astronomi & Universet, del I. Selv om det grundlæggende tema i Star Trek er at udforske, og undersøge Universet, virker det som de har det "meget nemt derude i fremtiden". Al den viden de kan trække

Læs mere

Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT

Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT Analyse af data fra to forskningssatellitter Af Hans Kjeldsen, Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet I denne artikel demonstreres det hvordan man kan

Læs mere

Knud Erik Sørensen HAF

Knud Erik Sørensen HAF Planeten Opdaget 23. september 1846 af Urban Le Verrier, John Couch Adams og Gottfried Galle Tsid = 164 år 323 dage, 21 t 41 min 11 s. Dvs. første fulde omløb den 12. juli 2011 1 Planetdata Data for og

Læs mere

Solen og dens 8(9) planeter. Set fra et rundt havebord

Solen og dens 8(9) planeter. Set fra et rundt havebord En gennemgang af Størrelsesforhold i vort Solsystem Solen og dens 8(9) planeter Set fra et rundt havebord Poul Starch Sørensen Oktober / 2013 v.4 - - - samt meget mere!! Solen vores stjerne Masse: 1,99

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningmateriale for gymnasieklasser om begrebet parallakse og statistik. Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573. Oversat fra latin står der

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

F O R S I D E N. STJERNE OBS SALLING ALMANAKKEN. DÆKNINGSKORT. REDIGERING Jens Th. Carlsen

F O R S I D E N. STJERNE OBS SALLING ALMANAKKEN. DÆKNINGSKORT. REDIGERING Jens Th. Carlsen F O R S I D E N. I STJERNE OBS SALLING SER PÅ: P ALMANAKKEN. REDIGERING Jens Th. Carlsen DE FØRSTE F SIDER FORTÆLLER OM: ALMANAKKENS HISTORIE. HVILKET ÅR R EFTER??? GYLDENTAL M.M. PÅSKEDAGENE I 40 ÅRIG

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus

Læs mere

Vinkelmåling med sekstant

Vinkelmåling med sekstant Vinkelmåling med sekstant I dette lille projekt skal vi se på princippet i hvordan man måler vinkler med en sekstant, og du skal forklare hvorfor det virker! Hvis du er i besiddelse af en sekstant, eventuelt

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have).

Opgave: GPS og koordinater (Geo-øvelse i Kongens Have). Flemming Sigh, Odense Katedralskole, 23-08-2011. 1 / 5 Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have). 1. Indstillinger på GPS eren. a) Valg af koordinater. I Google Earth kan du få et overblik

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Ole Rømer, Gian Cassini og lysets tøven

Ole Rømer, Gian Cassini og lysets tøven Ole Rømer, Gian Cassini og lysets tøven Af Kurt Møller Pedersen, Institut for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet Vi er i Paris på det nye, velindrettede observatorium i august 1676. Gennem flere uger

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Hubble relationen Øvelsesvejledning

Hubble relationen Øvelsesvejledning Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen Transit af XO-2b Udarbejdet af: Kasper Lind Jensen Jonas Bregnhøj Nielsen Lars Fogt Paulsen Indholdsfortegnelse Baggrund... 3 XO-2b... 4 Beskrivelse af observationer... 4 Datareduktion... 5 Diskussion...

Læs mere

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken:

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken: Vektorer i Maple En arbejdsseddel Vælg eventuelt >View>Expand all sections. Husk også, at du kan få brug for at markere udregninger og trykke Enter i det følgende. Rammer for arbejdet Gruppe 1 Kristine,

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Nattehimlen marts 2015

Nattehimlen marts 2015 Nattehimlen marts 2015 Om ikke andet i denne måned, kommer foråret til de betrængte stjernekiggere i det østlige Nordamerika, som har udholdt endnu en absurd kold vinter. Denne måned kaldes Ormemåned,

Læs mere

koordinatsystemer og skemaer

koordinatsystemer og skemaer brikkerne til regning & matematik koordinatsystemer og skemaer basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik Koordinatsystemer og skemaer, basis 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Erhvervsgymnasiet Grindsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTx Astronomi

Læs mere

Astronomernes værktøj

Astronomernes værktøj Astronomernes værktøj Teleskoper Spejlkikkerter Refraktorer Kikkertens fordele Den samler lys ind på et stort overfladeareal i forhold til øjet. Den kan opløse små detaljer bedre end øjet kan gøre. Den

Læs mere

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?.

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?. Hvor høj er skolens flagstang? Undersøgelsesbaseret matematik 8.a på Ankermedets Skole i Skagen Marts 2012 Klassen deltog for anden gang i Fibonacci Projektet, og der var afsat ca. 8 lektioner, fordelt

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen

ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium Version: 18. august 2007 side 1 af 15 Astronomisk navigation hvad er

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 10/11 Institution Uddannelsescenter Herning, Teknisk Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Månedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer

Månedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer Månedens astronom februar 2006 side 1 Verdensbilleder * Det geocentriske * Det geo-heliocentriske * Det heliocentriske 1: kosmologiens fødsel og problemer Astronomien er den ældste af alle videnskaber

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Et temanummer om astronomi og astronomiundervisning

Et temanummer om astronomi og astronomiundervisning NATUR 2008 Et temanummer om astronomi og astronomiundervisning i folkeskolen Udarbejdet af: Fagkonsulent for naturfag Lars Poort Inerisaavik 2008 NATUR 2008 Astronomi i folkeskolen Med evalueringsbekendtgørelse

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Introduktion til astronomi

Introduktion til astronomi Introduktion til astronomi Efteråret 2015 Illustration 1:Orion. Kilde: NASA. Side 1/36 Side 2/36 Indholdsfortegnelse Introduktion til astronomi...1 1.1. Stjernebilleder...3 1.2. Hvordan ser stjernebillederne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Teknisk gymnasium, EUC-VEST htx Astronomi C Lars

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere