Opgaver i matematik. Opgaver i Modul A 2. Facits til opgaver i Modul A 10. Opgaver i Modul B 12. Facits til opgaver i Modul B 20. Opgaver i Modul C 22

Transkript

1 x Matematik og databehandling 2014 t Opgaver i matematik Dette opgavesæt indeholder alle de opgaver i matematik, der stilles i kurset i 2014 Vi er i gang med at revidere opgaverne i bogen Matematik for biovidenskab, og opgaverne i bogen kan derfor ikke benyttes i 2014 Henrik Laurberg Pedersen & Thomas Vils Pedersen KU-SCIENCE, august 2014 Indhold Opgaver i Modul A 2 Facits til opgaver i Modul A 10 Opgaver i Modul B 12 Facits til opgaver i Modul B 20 Opgaver i Modul C 22 Facits til opgaver i Modul C 28 Opgaver i Modul D 30 Facits til opgaver i Modul D 37 1

2 Opgaver i matematik Matematik og databehandling 2014 Opgaver i Modul A Opgave AX1 Jo større kropsvægt et pattedyr har, jo større vil vi forvente at dets blodmængde er I denne opgave vil vi undersøge hvordan sammenhængen er mellem kropsvægt og blodmængde (Tilsvarende handler Anvendelseseksempel A8 og Opgave AX2 om hvordan hhv stofskifte og skeletvægt afhænger af kropsvægten I følgende skema er angivet typiske værdier af kropsvægt og blodmængde for en række pattedyr: Dyr Mus Rotte Kat Hund Ged Menneske Hest Elefant Kropsvægt Blodmængde På Figur 1 har vi afsat disse værdier med kropsvægten ud af førsteaksen og blodmængden ud af andenaksen Bemærk, at vi har udeladt elefanten og at man knapt kan skelne de første målepunkter fra (0,0 Vi har endvidere tegnet den rette linie gennem (0,0, der ser ud til at passe bedst med målingerne blodmængde kropsvægt Figur 1: Blodmængde som funktion af kropsvægt (a Udregn forholdet mellem blodmængde og kropsvægt for hvert dyr, dvs blodmængden pr kg kropsvægt Angiv disse tal i skemaet Dyr Mus Rotte Kat Hund Ged Menneske Hest Elefant Kropsvægt Blodmængde Liter blod pr kg Hvad kan man konkludere? (b Vi betegner kropsvægten med K og blodmængden med B Det oplyses, at linien tegnet på Figur 1 går igennem punkterne (0,0 og (500,385 Benyt dette til at bestemme et tal a, så der med god tilnærmelse gælder B = ak Hvilken sammenhæng er der mellem tallet a og de forhold mellem blodmængde og kropsvægt, som blev udregnet i (a? 2

3 (c Hvor mange liter blod vil man forvente i en gris på 100 kg? (d Hvilken kropsvægt vil man forvente for en hamster med en blodmængde på 725 ml? (e Hvis et dyr vejer 3 gange så meget som et andet dyr, hvilket forhold vil man så forvente mellem deres blodmængder? [Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE?] Opgave AX2 I denne opgave skal vi undersøge sammenhængen mellem kropsvægt og skeletvægt hos pattedyr I følgende skema er angivet typiske værdier af kropsvægt K (målt i kg og skeletvægt S (målt i kg for forskellige pattedyr Dyr Spidsmus Kat Menneske Hest Elefant Kropsvægt, K Skeletvægt, S (a Vi vil først undersøge, om skeletvægten er proportional med kropsvægten, dvs om skelettets vægt udgør en fast procentdel af kroppens vægt Undersøg forholdet mellem skeletvægt og kropsvægt ved at udfylde skemaet Dyr Spidsmus Kat Menneske Hest Elefant Kropsvægt, K Skeletvægt, S S/K Vokser eller aftager dette forhold, når kropsvægten vokser? (b Vi ønsker nu at vise, at der med rimelig tilnærmelse gælder S = bk 109, hvor b er en konstant (Eksponenten 109 er fundet ved samme fremgangsmåde som i Anvendelseseksempel A8 Udregn for hvert dyr størrelsen S/K 109 og angiv disse tal i skemaet Dyr Spidsmus Kat Menneske Hest Elefant Kropsvægt, K Skeletvægt, S S/K 109 Ser disse tal ud til at være nogenlunde konstante? (c Beregn gennemsnittet af tallene i nederste række i skemaet i (b, og lad b være lig med dette gennemsnit Indsæt den fundne værdi af b i udtrykket S = bk 109 Benyt dette til at beregne forventede værdier af S for hvert af dyrene Hvordan stemmer disse forventede værdier med de målte værdier af S? (d Hvis et dyr er dobbelt så tungt som et andet, hvor mange gange tungere er dets skelet så? 3

4 (e Baluchiterium er såvidt vides det største landlevende pattedyr, der nogensinde har levet Den var i familie med næsehornet og havde en kropsvægt på ca 30 tons Benyt formlen i (c til at vurdere dens skeletvægt Hvor stor en del af dens vægt udgjorde skelettet? (f Hvilken kropsvægt vil man forvente for en gris med en skeletvægt på 10 kg? Opgave AX3 Ved fremstilling af ost tilsættes enzymet chymosin til mælk Enzymet spalter et af mælkens proteiner, og mælken stivner til en gel, når 96% af dette protein er spaltet Enzymet tilsættes til tiden t = 0, og begyndelseskoncentrationen af proteinet betegnes S 0 Man kan vise, at koncentrationen S t af proteinet til tiden t (målt i sekunder (s er givet ved hvor k er en konstant (reaktionskonstanten S t = S 0 e kt, (a Lad k = s 1 Hvor lang tid går der, før 96% af proteinet er spaltet? (b Tegn graferne (i det samme koordinatsystem for S t når S 0 = 100 og k er henholdsvis s 1 og s 1 Hvor lang tid tager det at nå 96% spaltning, når k = s 1? (c Af produktionsmæssige hensyn ønsker man, at 96% af proteinet er spaltet efter 1000 s Hvor stor skal k være, for at dette er opfyldt? (d Lad P t være koncentrationen til tiden t af det protein, der er spaltet Opstil et udtryk for P t, og tegn graferne (i det samme koordinatsystem for P t når S 0 = 100 og k er henholdsvis s 1 og s 1 Opgave AX4 Arrhenius ligning ( k = Aexp E RT (husk at exp(x = e x udtrykker hastighedskonstanten k for en reaktion ved en konstant A, aktiveringsenergien E (målt i J/mol for reaktionen (en konstant, gaskonstanten R = 831 J/(K mol og temperaturen T (målt i Kelvin; 0 C = 273 K (a Vis at der gælder lnk = a 1 T + b (dvs at lnk er en lineær funktion af 1 T, og udtryk konstanterne a og b ved A, E og R (b For en vis reaktion oplyses det, at k = ved temperaturen T = 15 C samt at k = ved temperaturen T = 60 C Bestem aktiveringsenergien for reaktionen [Vink: Bestem først a ved at indsætte hver af de to oplysninger i ligningen lnk = a 1 T +b fra (a] 4

5 Opgave AX5 Sammenhængen mellem en fugls vægt M fugl (målt i gram og vægten M æg (målt i gram af hvert af de æg, den lægger, kan tilnærmes med udtrykket hvor c er en konstant M æg = cm 077 fugl, (a Hvis en fugl er dobbelt så tung som en anden fugl, hvad er så forholdet mellem vægtene af de to fugles æg? (b Det oplyses, at en normal læggehøne på 15 kg lægger æg på 70 gram Benyt dette til at bestemme konstanten c (c Bestem vægten af et kolibriæg, idet en kolibri vejer 3 gram (d Bestem vægten af en struds, idet et strudseæg vejer 14 kg (e Under udklækningen taber et æg vægt pga fordampning gennem skallen I dette spørgsmål undersøger vi sammenhængen mellem vægttabet og æggets vægt (i Inkubationstiden t ink er længden af udklækningsperioden målt i dage Den kan tilnærmes med udtrykket t ink = 91M 017 fugl Udtryk t ink ved æggets vægt M æg (ii Vægttabet pr dagm tab/dag kan antages at være konstant gennem udklækningsperioden, og kan tilnærmes med udtrykket M tab/dag = 0012M 078 æg Bestem det samlede vægttab M tab i løbet af hele udklækningsperioden udtrykt ved M æg Fortolk resultatet Opgave AX6 Bestem differentialkvotienten f (x af hver af følgende funktioner: (a f(x = x4 e 3x (b f(x = xex x+e x Opgave AX8 Denne opgave bygger på Anvendelseseksempel A13 om priselasticitet (a Antag at sammenhængen mellem prisen p og efterspørgslen q på en vare er givet ved q = p Bestem priselasticiteten som funktion af p og udregn derefter værdien af priselasticiteten når p = 40 hhv p = 100 (b Antag nu at sammenhængen mellem p og q er givet ved q = Ap b, hvor A og b er positive konstanter Bestem priselasticiteten som funktion af p og udregn derefter værdien af priselasticiteten når p = 40 hhv p = 100 (Vi vender tilbage til dette fænomen i Opgave C21 5

6 Opgave AX11 Udregn de uegentlige integraler (a (b x 3 dx x 06 dx Opgave AX12 Fra et stykke forurenet jord sker der nedsivning af et vist stof til grundvandet med hastigheden f(t = 12e 002t kg pr år, hvor t er tiden målt i år Det oplyses, at den mængde stof, der siver ned i jorden i løbet af et tidsrum fra t 1 til t 2, kan udregnes som t 2 t 1 f(tdt Nedsivningen starter til tiden t = 0 Hvor meget stof siver der i det lange løb ned i grundvandet? Opgave AX16 Foretag en funktionsundersøgelse af funktionen f(x = ex x 2 +a, hvor a > 0 er en parameter Læg særlig vægt på at udtrykke lokale maksima og mimima ved parameteren a Tegn grafen forf(x for de firea-værdier 05, 1, 15 og 2 i samme koordinatsystem Opgave AX17 (a Foretag en funktionsundersøgelse af funktionen f(x = x 2 e x for x 0 [Vink: Ved bestemmelse af grænseværdien for x kan man benytte omskrivningen x 2 e x = x2 e x ] (b Foretag en funktionsundersøgelse af funktionen f(x = x 2 e ax for x 0, hvor a > 0 er en parameter Læg særlig vægt på at udtrykke lokale maksima og mimima ved parameteren a Tegn grafen forf(x for de tre a-værdier 05, 1 og 2 i samme koordinatsystem 6

7 Opgave AX21 På en vis mark er jordens sammensætning således, at udbyttet af vårbyg uden anvendelse af gødning er 20 tons pr ha For udbyttet (målt i tons pr ha som funktion af gødningsmængden antages endvidere modellen U(t = 10(1 e 05t +20 (hvor t er gødningsmængden i tons pr ha, dvs en Mitscherlich model (se Afsnit A84 (a Bestem det asymptotiske merudbytte pr ha, dvs lim t U(t U(0 (b Det oplyses, at der anvendes en gødning til 5000 kr pr tons samt at afgrøden kan sælges til 4000 kr pr tons Bestem det optimale gødningsniveau (c For at mindske forurening af søer og åer ønsker man at begrænse mængden af gødning Man kan vælge at indføre grænseværdier for hvor meget gødning, der må anvendes pr ha, eller man kan som i dette spørgsmål vælge at hæve prisen på gødningen (i Prisen på gødning stiger fra 5000 kr pr tons til 5500 kr pr tons, mens prisen på afgrøden fortsat er 4000 kr pr tons Undersøg hvilken effekt denne prisstigning har på det optimale gødningsniveau Hvilken effekt har prisstigningen på landmandens fortjeneste? (ii Lad nu prisen p på gødning variere, mens prisen på afgrøden fortsat er 4000 kr pr tons Udtryk det optimale gødningsniveau ved p For at begrænse brugen af gødning ønsker man at sætte prisen på gødning så højt, at den optimale gødningsmængde er 2 tons pr ha Hvor høj skal prisen på gødning være, for at dette er opfyldt? Opgave AX22 På en mark anvendes gødning i mængden t (målt i enheder af 100 kg Udbyttet U(t (målt i tons af en vis afgrøde som funktion af gødningsmængden er givet ved udtrykket ( U(t = (t 0 t+2 Afgrøden sælges til 1000 kr pr tons, og gødningen koster 200 kr pr 100 kg (a Opskriv fortjenesten F(t (dvs indtægter minus udgifter som funktion af t (b Hvilken mængde gødning giver den størst mulige fortjeneste? (c Lad nu salgsprisen q pr tons af afgrøden variere, mens gødningen fortsat koster 200 kr pr 100 kg Det oplyses, at t = 6 giver den størst mulige fortjeneste Bestem værdien af q [Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE?] (d Bestem parametrene a, b og c, så U(t kan skrives på formen U(t = at t+b +c (Dette betyder, at U(t er en hyperbolsk model; se Afsnit A84 [Vink: Start evt med at bestemme c ved at sætte t = 0] 7

8 Opgave AX30 Bestem grænseværdierne (a lim x 0 1 cos2x x 2 (b lim x 1 lnx x 1 Opgave AX31 Bestem grænseværdierne e x +e x 2 (a lim x 0 x ln(3x 2 (b lim x 1 x 2 1 (c lim x 0 x 2 sinx x sinx Opgave AX39 Reducér udtrykkene (a 2(4 3(x+1 (b x ( x 2 e x+y x 2y +e x e y (x 2 y +ax 3, hvor a er en parameter Opgave AX40 Reducér udtrykket hvor a,b og c er parametre x a x b x c, Opgave AX41 Løs ligningerne (a ln(x+2 = 0 (b xe x 2x = 0 (c ax+b = c hhv a(x+b = c, hvor a 0, b og c er parametre Opgave AX42 Løs ligningerne (a e 2x+3 = 7 (b x 3 4x = 0 8

9 Opgave AX43 Bestem differentialkvotienten f (x af hver af følgende funktioner: (a f(x = e cosx (b f(x = (x /2 Opgave AX44 Bestem differentialkvotienten f (x af hver af følgende funktioner: (a f(x = e x sinx (b f(x = ln(x 2 +1 (c f(x = e2x x 5 Opgave AX45 Bestem integralerne (a (b e 5x dx (M +2Ax+3Tx 2 +7Hx 6 dx, hvor M,A,T og H er konstanter Opgave AX46 Benyt integration ved substitution til at bestemme integralerne (a (b (2x+1 2 dx x 2 e x3 dx Opgave AX47 Bestem grænseværdierne (a lim x (b lim x x 2 x 3 +7 e 2x x

10 Facits til opgaver i Modul A Opgave AX1 (b a = 0077 (c 77 liter (d 943 gram (e 3 Opgave AX2 (a Vokser (b Ja (c b = 0058, (d 213 stemmer godt Opgave AX6 (a 4x3 3x 4 e 3x (b ex (e x +x 2 (x+e x 2 Opgave AX8 (a ε = 025p p, p = 40 ε = 05, p = 100 ε = 5 (b ε = b i alle tilfælde Opgave AX11 (a 1 2 (e 44 tons, 147% (f 113 kg Opgave AX3 (a 1288 sekunder (b 644 sekunder (c k = (d P t = S 0 (1 e kt Opgave AX4 (a a = E R, b = lna (b J/mol Opgave AX5 (a 171 (b c = 025 (c 058 gram (d 73 kg (e (i t ink = 123M 022 æg (ii M tab = 015M æg (b 25 Opgave AX kg Opgave AX16 For a < 1: Lokalt maksimum i 1 1 a; lokalt minimum i 1+ 1 a For a 1: Ingen lokale maksima eller minima Opgave AX17 (a Nulpunkt i x = 0, globalt maksimum i x = 2 (b Nulpunkt i x = 0, globalt maksimum i x = 2 a Opgave AX21 (a 10 tons pr ha (b 277 tons pr ha (c (i 258 tons pr ha, mindre indtjening (ii 2ln p tons pr ha, 7358 kr pr tons 10

11 Opgave AX22 (a F(t = 20000(1 1 t+2 200t (b Gødningsmængde 800 kg, (fortjeneste kr (c 640 (d a = 10, b = 2, c = 10 Opgave AX30 (a 2 (b 1 Opgave AX31 (a 0 (b 3 2 (c 6 Opgave AX39 (a 2 6x (b (1+ax 3 Opgave AX40 x a+b c Opgave AX41 (a x = 1 (b x = 0 eller x = ln2 (c x = c b a hhv x = c a b Opgave AX42 (a x = 3 ln7 2 (b x = 0, x = 2 eller x = 2 Opgave AX43 (a f (x = sinxe cosx (b f (x = x(x /2 Opgave AX44 (a e x sinx+e x cosx (b 2x x 2 +1 (c e2x (2x 5 x 6 Opgave AX45 (a 1 ( 5 1 e 10 (b M +A+T +H Opgave AX46 (a 1 3 (b 1 3 (e8 1 Opgave AX47 (a 0 (b 11

12 Opgaver i Modul B Opgave BX1 Lad Udregn Mv M = ( og v = ( 2 6 Opgave BX2 Lad M = ( (a Udregn MN og NM Gælder der MN = NM? og N = ( (b Udregn determinanterne af M,N, MN og NM Kontrollér, at der gælder det(mn = detm detn og det(nm = detn detm Gælder der det(mn = det(nm? (c Bestem det(m 5 [Vink: Det er ikke nødvendigt at udregne M 5 ] Opgave BX3 Udregn matricen (M+2N(M+N (M+N(M+2N, hvor ( ( M = og N = [Vink: Det kan betale sig at starte med at reducere udtrykket] Opgave BX4 Bestem den inverse matrix til hver af matricerne ( 2 3 og 5 7 hvor a er et tal ( 1 a, 0 1 Opgave BX5 Åge og Yrsa er uenige om, hvordan ligningerne x = 3x+4y og y = x+2y kan opskrives på formen ( x ( y = M x y, hvor M er en matrix Åge mener, at M er lig med ( 3x 4y, x 2y mens Yrsa mener, at M er lig med ( Hvem har ret? 12

13 Opgave BX6 (a Opskriv ligningssystemet { 2x y = 5 på formen x + 3y = 1 ( x M = y ( p, q hvor M er en matrix og ( p q er en vektor Løs derefter ligningssystemet ved matrixinvertering (b Løs ligningssystemet i (a ved lige store koefficienters metode eller substitutionsmetoden Opgave BX8 To vandhaner er forbundet til to kar Når vandhane 1 er åben, løber der 61 liter vand i kar I og 54 liter vand i kar II pr minut; når vandhane 2 er åben, løber der 49 liter vand i kar I og 78 liter vand i kar II pr minut Denne opgave går ud på at foretage en matematisk modellering af situationen (a Lav en tegning, der illustrerer situationen (b Vi lader vandhane 1 og 2 være åbne i hhv 2 og 3 minutter Hvor meget vand er der så løbet i hvert af karrene? (Benyt evt (a (c Vi lader vandhane 1 og 2 være åbne i hhv x 1 og x 2 minutter Endvidere lader vi y 1 og y 2 være det samlede antal liter vand, der derved er løbet i hhv kar I og kar II Benyt (a til at udtrykke y 1 og y 2 ved x 1 og x 2, og opskriv denne sammenhæng på matrixform (d Hvor længe skal hver af hanerne være åbne, for at der er løbet netop 1000 liter vand i hvert af karrene? [Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE?] Opgave BX9 Vi betragter en kaninpopulation som i Anvendelseseksempel B1 Det oplyses, at unge og gamle hunkaniner i gennemsnit har hhv 80% og 60% chance for at overleve til året efter, samt at de i gennemsnit får hhv 17 og 10 hununger om året (I forhold til anvendelseseksemplet er føden er mere begrænset, så fødselsraterne er mindre, mens der til gengæld er færre rovdyr, så overlevelseschancerne er større (a Opstil matricen M således at ovenstående kan sammenfattes i matrixmodellen v t+1 = Mv t [Vink: Lav først et kompartmentdiagram som i Anvendelseseksempel B1] (b Lad v 0 = ( 20 og udregn v1,v 2 og v 3 (c Antag, at der et år er dobbelt så mange unge som gamle hunkaniner (i Vis, at der ifølge modellen også vil være dobbelt så mange unge som gamle hunkaniner det følgende år (ii Bestem den faktor som populationen af såvel unge som gamle hunkaniner vokser med til det følgende år Hvor mange år går der inden den samlede bestand er mindst 10-doblet? 13

14 Opgave BX10 Indholdet af de to sporstoffer S 1 og S 2 fra Anvendelseseksempel B2 afhænger af den producerede mængde af de to foderstoffer F 1 og F 2 på følgende måde: ( ( ( z x1 =, z 2 hvor z 1 og z 2 angiver det samlede indhold af S 1 hhv S 2 i et parti foderstoffer på x 1 tons F 1 og x 2 tons F 2 (a Bestem determinanten af matricen ovenfor og bestem den inverse matrix (b Hvor meget foderstof skal produceres, hvis det samlede indhold af S 1 skal være 10 enheder og det samlede indhold af S 2 skal være 30 enheder? (c Er det muligt at producere et parti foderstoffer, hvor det samlede indhold af S 1 er 10 enheder og det samlede indhold af S 2 er 20 enheder? x 2 Opgave BX12 Et opinionsinstitut spørger med mellemrum det samme panel på 1000 personer om deres stilling til et bestemt samfundsspørgsmål og paneldeltagerne kan kun svare JA eller NEJ Vi antager, at en JA-siger i 22% af tilfældene vil svare NEJ næste gang, og at en NEJ-siger i 15% af tilfældene vil svare JA næste gang Vi lader x n betegne antallet af JA-sigere og y n antallet af NEJ-sigere ved den n te rundspørge (n = 1,2,3, Vi lader endvidere ( ( xn v n = og M = (a Gør rede for, at oplysningerne kan beskrives ved modellen for n = 1,2,3, y n v n+1 = Mv n og x n +y n = 1000 (b Bestem alle ligevægte for matricen M Bestem derefter en ligevægt (bestående af et antal JA- og NEJ-sigere for modellen (c Ved første optælling var der 600 JA-sigere og 400 NEJ-sigere Udregn, gerne vha computer, antallene af JA- og NEJ-sigere ved hver af de følgende 10 optællinger Ser antallene af JAog NEJ-sigere ud til at stabilisere sig? Opgave BX13 Lad M være en 2 2 matrix og lad v være en ligevægt for M (a Vis, at v ligeledes er en ligevægt for M 2 [Vink: Benyt at M 2 v = M(Mv ] (b Angiv en ligevægt for hver af matricerne M 3,M 4, 14

15 Opgave BX14 (a Afgør, om (b Lad M = ( er en overgangsmatrix Bestem derefter samtlige ligevægte for matricen M = ( a 07, b 03 hvor a og b er parametre Det oplyses, at ( 7 9 er en ligevægt for M Bestem a og b Er M en overgangsmatrix med disse værdier af a og b? Opgave BX16 Lad M = ( og lad f være den til M hørende lineære afbildning (a Trekanten T med hjørner i (0,0, (4,0 og (0,1 afbildes ved f over i et område T Bestem arealet af T (b Åge har spildt en blækklat B med et areal på 2 cm 2 Denne blækklat afbildes ved f over i en anden blækklat B Bestem arealet af B Opgave BX20 Bestem samtlige ligevægte for den affine afbildning f givet ved ( ( ( ( x 5 3 x 3 f = + y 2 0 y 4 Opgave BX22 På en fårefarm inddeles fårene i to typer afhængigt af deres årlige uldproduktion: type I får med en høj uldproduktion og type II får med en normal uldproduktion Hvert år oprykkes 20% fra type II til type I, mens 30% rykker fra type I til type II Endvidere udtages der hvert år 10% type I får og 30% type II får til slagtning Endelig tilføres der hvert år 200 type I får og 400 type II får Vi lader x n betegne antallet af type I får i år n og y n betegne antallet af type II får i år n Man kan vise, at ovenstående oplysninger fører til modellen { xn+1 = 06x n + 02y n y n+1 = 03x n + 05y n (a Bestem en matrix M og en vektor q sådan at ( xn+1 = M y n+1 ( xn y n +q 15

16 (b Det oplyses, at ( x 0 ( y 0 = 200 ( 100 Udregn x1 y 1 (c Et år er der 300 får af type I og 500 får af type II Hvor mange får af type I og II var der året før? (d Bestem en ligevægt for modellen, dvs en fårebesætning, hvor antallene af får af type I og af type II ikke ændrer sig fra et år til det næste (e Det oplyses, at andelen af type II får, der hvert år udtages til slagtning, øges fra 30% til 40%, mens alle andre oplysninger er som i starten af opgaven Opstil den model der herved fremkommer [Vink: Det kan være nyttigt at tegne et kompartmentdiagram] Opgave BX23 Vi betragter hunnerne i en museart, der maksimalt lever i 2 år En mus kaldes ung i dens første leveår og voksen i dens andet leveår I gennemsnit får ungmus 12 unger, som overlever til året efter, mens voksne mus i gennemsnit får 25 overlevende unger Endvidere overlever 80% af ungmusene til voksne mus Lad x n betegne antallet af ungmus og y n antallet af voksne mus i år n (a Gør rede for, at oplysningerne ovenfor kan beskrives ved ligningerne x n+1 = 12x n +25y n og y n+1 = 08x n [Vink: Det kan være nyttigt at tegne et kompartmentdiagram] (b Sæt v n = ( x n yn Bestem en matrix M, så der gælder vn+1 = Mv n (c Man udsætter 1000 ungmus i et område, hvor arten ikke tidligere har levet Hvor mange mus kan forventes i hver af de to aldersgrupper efter hhv 1 og 2 års forløb? (d Et år optælles 2800 ungmus og 1200 voksne mus Hvor mange ungmus og voksne mus var der året før? (e (i Findes der et antal ungmus og et antal voksne mus, så der året efter er 1400 ungmus og 1200 voksne mus? [Vink: Hvor mange ungmus og voksne mus ville der i givet fald skulle være?] (ii For hvilke værdier af x 0 findes der et antal ungmus og et antal voksne mus, så der året efter er x ungmus og 1200 voksne mus? Opgave BX24 I Opgave BX23 betragtede vi modellen x n+1 = 12x n +25y n og y n+1 = 08x n, hvor x n er antallet af ungmus og y n er antallet af voksne mus i år n Nu hæmmes populationen i sin vækst ved, at man hvert år lige inden optællingen fjerner 880 ungmus og 330 voksne mus (a Udtryk x n+1 og y n+1 ved x n og y n Bestem derefter en matrix M og en vektor q, så der gælder v n+1 = Mv n +q, hvor v n = ( x n yn (b Eftervis at ( er en ligevægtspopulation for modellen 16

17 Opgave BX25 Lad M = ( (a Bestem samtlige egenværdier for M (b Udregn ( ( 1 1 M, M 0 1 og ( 1 M 2 Benyt dette til at afgøre hvilke af vektorerne ( 1 0, ( 1 1 og ( 1 2, der er egenvektorer for M Angiv de tilhørende egenværdier og sammenlign med resultatet i (a (c Bestem samtlige egenvektorer for M hørende til egenværdien λ = 2 [Vink: Benyt fremgangsmåden fra Eksempel B62] Opgave BX26 Vi betragter modellen hvor t = 0,1,2, ( xt+1 y t+1 = ( ( xt y t + ( 10, 0 (a Begrund at modellen har netop én ligevægt og bestem denne (b Bestem egenværdierne for matricen ( (c Lad ( x 0 ( y 0 = 7 13 Benyt svarene til (a og (b til at bestemme grænseværdierne limt x t og lim t y t Opgave BX28 Lad M = (a Undersøg om M er en overgangsmatrix (b Bestem tallet a således at er en ligevægt for M 4 v = 7 a 17

18 Opgave BX29 Tre vandhaner er forbundet med tre kar Situationen er følgende: Når vandhane 1 er åben, så løber der 61 liter vand i kar I pr minut, 54 liter vand i kar II pr minut, og intet i kar III Når vandhane 2 er åben, så løber der 49 liter vand i kar I pr minut, 68 liter vand i kar II pr minut, og 10 liter vand i kar III pr minut Når vandhane 3 er åben, så løber der 10 liter vand i kar I pr minut, 5 liter vand i kar II pr minut, og 52 liter vand i kar III pr minut (Systemet i Opgave BX8 er altså blevet udvidet med en tredje vandhane og et tredje kar (a Lad y 1, y 2 og y 3 være det samlede antal liter vand, der er løbet i hhv kar I, II og III, når vandhane 1, 2 og 3 har været åbne i hhv x 1, x 2 og x 3 minutter Udtryk y 1, y 2 og y 3 ved x 1, x 2 og x 3 [Vink: Lav evt en tegning som i Opgave BX8 ] (b Opskriv sammenhængen fundet i (a på matrixform (c Vandhane 3 har været åben i 5 minutter, og der er kommet dobbelt så meget vand i kar I som i kar III Endvidere er der i kar II og kar III tilsammen 1000 liter vand Hvor længe har vandhane 2 været åben? [Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE?] Opgave BX31 Hvilke af følgende matrixprodukter er defineret? (I (II (III ( ( (

19 Opgave BX33 Ved en ny produktionsmetode kan foderstoffabrikken fra Anvendelseseksempel B2(d forbedre kvaliteten af de to typer kraftfoder ved at benytte ikke kun en tredje råvare R 3, men også en fjerde råvare R 4 Til fremstilling af 1 tons F 1 vil der nu blive brugt 160 kg R 1, 300 kg R 2, 340 kg R 3 og 100 kg R 4 (samt 100 kg fyldstof, mens der til 1 tons F 2 vil blive brugt 120 kg R 1, 400 kg R 2, 430 kg R 3 og 25 kg R 4 (samt 25 kg fyldstof (a Opstil en matrixmodel for sammenhængen mellem produktionen af de to typer kraftfoder og forbruget af de fire råvarer (b Den nye råvare R 4 indeholder 5 enheder af hvert af sporstofferne S 1 og S 2 pr tons (De øvrige råvarer indeholder de samme mængder sporstoffer som i Anvendelseseksempel B2(d Opstil en matrixmodel for sammenhængen mellem forbruget af de fire råvarer og mængderne af de to sporstoffer (c Opstil en matrixmodel for sammenhængen mellem produktionen af de to typer kraftfoder og mængderne af de to sporstoffer (d Om en mængde råvarer vides det, at den indeholder 30 enheder af S 1 og 60 enheder af S 2 Desuden vides det, at der er lige så meget af R 1 som af R 2 samt dobbelt så meget af R 4 som af R 3 Hvor meget er der af hver af de fire råvarer? [Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE?] 19

20 Facits til opgaver i Modul B Opgave ( BX Opgave BX2 (a MN = ( ( NM = Nej (b detm = 3, detn = 2, det(mn = 6, det(nm = 6 Ja (c 243 Opgave BX3 ( (c (ii 22, 3 år Opgave BX10 (a detm = 077 og M 1 = ( (b ( 260 (c Nej Opgave BX12 (b v = ( (c Ja Opgave BX13 Opgave BX4 ( , ( 1 a 0 1 Opgave BX5 Yrsa Opgave BX6 (b v Opgave BX14 (a Ja, k ( (b a = 01 og b = 09, ja (a ( 2 1 x ( 1 3( y = 5 x = 2, y = 1 (b x = 2, y = 1 Opgave BX8 1 (b 269 liter i kar I og 342 liter i kar II (c ( y 1 y 2 = ( ( x 1 x 2 (d Vandhane 1: 137 minutter, vandhane 2: 33 minutter Opgave BX9 (a M = ( (b v 0 = ( 20 20, 28, v 1 = ( 54 v 2 = ( , v 3 = ( Opgave BX16 (a 14 (b 14 cm 2 Opgave BX20 ( 15 1 Opgave BX22 (a M = ( , q = ( (b ( x 1 y 1 = ( (c 125 af hver (d ( (e x n+1 = 06x n +02y n +200, y n+1 = 03x n +04y n

21 Opgave BX23 (b M = ( (c v 1 = ( (d ( (e (i Nej 08 0 (ii x < 1800 Opgave BX24, v2 = ( (a x n+1 = 12x n +25y n 880, y n+1 = 08x n 330 M = ( , q = ( 880 Opgave BX25 (a λ = 2 og λ = (b M ( 1 ( 0 = 4 ( 2, M 1 ( 1 = 3 3, M ( 1 ( 2 = 2 4 ( 1 ( 1 og 1 2 er egenvektorer med tilhørende egenværdier 3 og 2 ( 1 0 er ikke en egenvektor (c k ( 1 2, hvor k 0 Opgave BX26 (a ( (b 075 og 095 (c lim t x t = 125 og lim t y t = 1125 Opgave BX28 (a M er en overgangsmatrix (b a = 22 Opgave BX29 ( y1 (b y 2 = y 3 ( (c 571 minutter Opgave BX31 (II og (III Opgave BX33 ( y1 (a = y 2 y 3 y 4 ( (b ( ( z 1 y1 z 2 = ( y 2 y 3 ( x1 2 x 3 (x1 x 2 det daglige forbrug i tons af R 4 y 4 (c ( z 1 z 2 = ( ( x 1 x 2 (d y 1 = 4, y 2 = 4, y 3 = 1, y 4 = 2 (hvor y 4 er 21

22 Opgaver i Modul C Opgave CX1 (a Bestem den fuldstændige løsning til hver af følgende differentialligninger: dy dx = 39y, dy dx = 7y, dy dx = 9y og dy dx = 13y (b For hvilke af differentialligningerne i (a gælder der om løsningerne y = y(x, at y(x 0 for x? (c Bestem den partikulære løsning y = y(x til som opfylder y(1 = 2 dy dx = 13y, Opgave CX4 Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen dy = 10y 3 dx Opgave CX5 Som i Anvendelseseksempel C8 betragter vi forureningen af en sø, men antager nu at søens volumen er 4000 m 3, der tilføres 6 gram af det forurenende stof pr minut, gennemstrømningen er 4 m 3 pr minut samt at der til tiden t = 0 er 8000 gram af det forurenende stof i søen (a Bestem mængden af det forurenende stof i søen som funktion af tiden Bestem endvidere koncentrationen af stoffet i søen i det lange løb (b Det er muligt at regulere den mængde, der tilføres af det forurenende stof pr minut Bestem denne mængde således at der i det lange løb er en koncentration af stoffet i søen på 12 gram/m 3 Hvor længe går der i denne situation før koncentration er mindre end 13 gram/m 3? [Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE?] Opgave CX6 Efter tilberedning afkøles en mængde fødevarer i et køleskab med den konstante temperatur T køl Ifølge Newtons afkølingslov er ændringen i fødevarernes temperatur proportional med forskellen i temperaturen til omgivelserne, dvs dt dt = k(t T køl, hvor T = T(t er temperaturen (målt i C af fødevarerne til tiden t (målt i minutter, og hvor k er en positiv konstant 22

23 (a Bestem den løsning til differentialligningen, som svarer til at fødevarernes temperatur er 80 C til at starte med (Løsningsudtrykket vil indeholde de to parametre k og T køl (b Antag fortsat, at fødevarernes temperatur er 80 C til at starte med Det kræves, at fødevarernes temperatur efter 30 minutter er højst 10 C (i Det oplyses at T køl = 5 C Bestem k således at temperaturen efter 30 minutter er netop 10 C [Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE?] (ii På køleskabe kan man ikke justere værdien af k, men derimod temperaturen T køl Det oplyses at k = 008 Bestem T køl således at temperaturen efter 30 minutter er netop 10 C Opgave CX7 Bestem bærekapaciteten for en population, hvis størrelse y = y(x bestemmes af den logistiske differentialligning dy dx = 3y(1 05y Opgave CX8 (a Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen dy (1 dx = 05y y 4 (b Bestem de to partikulære løsninger y 1 (x og y 2 (x til differentialligningen, der opfylder hhv y 1 (0 = 2 og y 2 (0 = 5 Tegn graferne for y 1 (x og y 2 (x for x 0 i samme koordinatsystem Opgave CX9 Fire sømænd med mæslinger ankommer til en ø med 5000 indbyggere Øen har indtil da været isoleret og forskånet for mæslinger Det antages, at udviklingen i antallet af smittede personer til tiden t (målt i dage beskrives som i Anvendelseseksempel C12 med r = 02 (a Opstil en differentialligning, der beskriver udviklingen i antallet af smittede personer på øen (b Hvor lang tid går der, før 80% af befolkningen er smittet? Opgave CX11 (a Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen dy dx + 1 y = x+1 (x > 0 x (b Bestem den partikulære løsning y = y(x til differentialligningen, som opfylder y(1 = 1 23

24 Opgave CX13 Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen vha nålestiksmetoden (Sætning C23 dy +4y = e2x dx Opgave CX14 Bestem den fuldstændige løsning til hver af følgende differentialligninger [Vink: Overvej for hver af differentialligningerne hvilken af de to metoder panserformlen (Sætning C22 og nålestiksmetoden (Sætning C23, der er bedst egnet] (a dy +y = cos3x dx (b dy +2xy = x dx Opgave CX15 (a Bestem den partikulære løsning y = y 1 (x til differentialligningen som opfylder y 1 (0 = 1 dy dx 2y = ex, (b Bestem den partikulære løsning y = y 2 (x til differentialligningen som opfylder y 2 (0 = 1 dy 2y = 1+x, dx (c Tegn graferne for y 1 (x og y 2 (x for x [ 2,2] i samme koordinatsystem (d Ud fra graferne i (c bør det fremgå, at de to funktioner y 1 (x og y 2 (x stemmer godt overens i nærheden af 0 Begrund dette ud fra de to differentialligninger [Vink: Betragt højresiderne af differentialligningerne] Opgave CX16 En kapitals størrelse til tiden t (målt i år betegnes med K(t Den forrentes løbende med en rentesats på 5%, og der foretages løbende udtræk af størrelsen 200t Dette fører til differentialligningen dk dt = 005K 200t 1000 dvs dk 005K = 200t 1000 dt (a Vis at K = K 0 (t = 4000t er løsning til differentialligningen (b Bestem den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene differentialligning (c Benyt (a og (b til at bestemme den fuldstændige løsning til differentialligningen 24

25 (d Bestem de to partikulære løsninger K 1 (t og K 2 (t til differentialligningen, der opfylder hhv K 1 (0 = og K 2 (0 = (svarende til en begyndelseskapital på hhv og Hvad sker der med K 1 (t og K 2 (t for t? (e Hvor stor skal begyndelseskapitalen K(0 være, for at kapitalen ikke opbruges i det lange løb? Opgave CX17 Som i Anvendelseseksempel C8(c betragter vi forureningen af en sø (med voksende volumen, men antager nu, at søens volumen til tident = 0 er 4000 m 3, der tilføres 6 gram af det forurenende stof pr minut, indstrømningen er 4 m 3 pr minut samt at udstrømningen er 3 m 3 pr minut (a Opstil som i Anvendelseseksempel C8(c den differentialligning, der beskriver mængden af det forurenende stof i søen som funktion af tiden (b Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen fra (a (c Bestem koncentration af stoffet i søen i det lange løb Opgave CX19 Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen dy dx = x3 y 2 Opgave CX20 I forbindelse med nedfrysning af madvarer er man interesseret i tykkelsen af det lag is, som dannes på fryselegemet i fryseren Lad y(t være islagets tykkelse (målt i cm til tiden t (målt i uger Til bestemmelse af y(t har man opstillet følgende 1 ordens differentialligning hvor k er en positiv konstant dy dt = k y, (a Forklar uden at løse differentialligningen, at den er i overensstemmelse med følgende to naturlige betingelser: (i Islagets tykkelse vokser med tiden (ii Jo tykkere islaget er, jo langsommere vokser det (b Sæt k = 1 Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen Bestem endvidere den partikulære løsning y = y(t, som opfylder y(0 = 0 (svarende til at fryseren er blevet afrimet til tiden t = 0 (c Lad nu k være en vilkårlig positiv konstant Bestem den partikulære løsning y = y(t til differentialligningen, som opfylder y(0 = 0 (d Vi afrimer fryseren til tiden t = 0 For hvilke værdier af k vil islagets tykkelse efter 2 uger være mindre end 1 cm? 25

26 (e Vi betragter følgende mere generelle model for isdannelsen i fryseren dy dt = k y α, hvor k og α er positive konstanter Bestem den partikulære løsning y = y(t til differentialligningen, som opfylder y(0 = 0 Opgave CX22 Åge er blevet tørstig og har købt en dåseøl Han har dog ikke lyst til at åbne den på almindelig vis, så han skærer et hul af størrelsen A hul (målt i cm 2 i bunden af dåsen, og lader øllet løbe ud af hullet Vi lader h = h(t være højden (målt i cm af det øl, der til tiden t (målt i sekunder er tilbage i dåsen Ifølge Torricellis lov gælder der hvor konstanten k kan beregnes som Her angiver A dåse arealet af dåsens bund dh dt = k h, k = 27 A hul A dåse (a Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen (b Det oplyses, at A dåse = 27 cm 2 samt at der til at starte med er 11 cm øl i dåsen (i Det oplyses, at A hul = 25 cm 2 Hvor lang tid går der, før dåsen er tom? [Vink: Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE? Overvej evt først fortegnet for konstanten c i den fuldstændige løsning] (ii Åge ønsker, at dåsen skal tømmes på 10 sekunder Hvor stor skal A hul være for at dette er opfyldt? Opgave CX26 Bestem den fuldstændige løsning til hver af følgende differentialligninger (a d2 y dy 5 +6y = 0 dx2 dx (b d2 y dy 5 dx2 dx +6y = e4x (c d2 y dy 5 dx2 dx +6y = e3x 26

27 Opgave CX27 Vi betragter svingdøren fra Anvendelseseksempel C17 Vi antager at m = 1, α = 4 og k = 13, hvilket giver differentialligningen d 2 x dx x = 0 dt2 dt (a Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen (b Til tiden t = 0 er døren i ligevægtsstillingen (dvs x(0 = 0, og gives et skub, så den får begyndelseshastigheden x (0 = 60 cm/s Bestem den løsning x = x(t, der opfylder disse begyndelsesbetingelser (c Vi antager nu, at α = 0 (ingen friktion og k = 25 Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen, og beskriv i ord svingdørens bevægelse Opgave CX28 Afgør i hvert af følgende tilfælde (a-(i, hvilken slags differentialligning der er tale om [Differentialligningerne skal ikke løses] (a dy ( dx = 001y 1 y 300 (b dz ds = 2z (c dm dq = M1/3 q 1/4 (1 Eksponentiel vækst (2 Eksponentiel vækst med konstantled (d dk dx = 17K 18 (e dy dx = cosx cosy (f dµ dx +3µ = e x (g dn dt = 4N 01N2 (h 2+3y +y t 2 = 0 (i dy dx + 1 x y = x5 (3 Logistisk vækst (4 Separabel differentialligning (5 Lineær 1 ordens differentialligning (6 2 ordens differentialligning 27

28 Facits til opgaver i Modul C Opgave CX1 (a y = ce 39x, y = ce 7x, y = ce 9x, y = ce 13x (b De to første (c y = 2e 13 e 13x Opgave CX4 y = 03+ce 10x Opgave CX5 (a M(t = e 0001t, 15 gram/m 3 (b S = 48 gram/minut, t = 35 timer Opgave CX6 (a T(t = T køl +(80 T køl e kt (b (i k = 009 (ii T køl = 3 C Opgave CX7 2 Opgave CX8 (a y = 4 1+ce 05x (b y 1 (x = 4 1+e 05x, y 2 (x = e 05x Opgave CX9 (a dn dt = 02N(1 N 5004 (b 43 dage Opgave CX11 (a y = 1 3 x x+ c x (b y = 1 3 x x+ 1 6x Opgave CX13 y = 1 6 e2x +ce 4x Opgave CX14 (a y = 01cos3x+03sin3x+ce x (b y = 1 2 +ce x2 Opgave CX15 (a y 1 (x = 2e 2x e x (b y 2 (x = 7 4 e2x 1 2 x 3 4 Opgave CX16 (b K = ce 005t (c K = ce 005t +4000t (d K 1 (t = 50000e 005t t , K 2 (t = 50000e 005t t (e K( Opgave CX17 (a dm dt = t M (b M(t = 15(4000+t+ c(4000+t 3 (c 15 Opgave CX19 y = ( 3 4 x4 +c 1/3 Opgave CX20 (b y = 2t+c, y = 2t (c y = 2kt+c, y = 2kt (d k < 1 4 (e y = ((α+1kt 1/(α+1 28

29 Opgave CX22 (c y = c 1 e 2x +c 2 e 3x +xe 3x (a h(t = (c 1 2 kt2 (b (i 27 sekunder (ii 07 cm 2 Opgave CX26 (a y = c 1 e 2x +c 2 e 3x (b y = c 1 e 2x +c 2 e 3x e4x Opgave CX27 (a x = c 1 e 2t cos(3t+ c 2 e 2t sin(3t (b x = 20e 2t sin(3t (c x = c 1 cos(5t+c 2 sin(5t 29

30 Opgaver i Modul D Opgave DX1 Figur 2 viser grafen for en funktion f(x,y af to variable På figuren er også indtegnet den vandrette plan z = 1 De følgende spørgsmål skal besvares skønsmæssigt ud fra figuren Da der er tale om en 3-dimensional graf tegnet i 2 dimensioner, kan man ikke aflæse præcist ud fra figuren x y Figur 2: Grafen for f(x,y (a Skitsér på grafen niveaukurven hørende til niveauet 1 Gæt på hvordan niveaukurven hørende til niveauet 0 kunne se ud (b Skitsér på figuren graferne for snitfunktionerne g(x = f(x, 1 og h(y = f(0, y (c Find et punkt på grafen for f(x,y, hvori tangentplanen er vandret Hvad medfører det om gradienten af f(x, y i dette punkt? Opgave DX4 Grafen på Figur 3 er grafen for en af følgende tre funktioner Hvilken? f(x,y = e x2 y 2 +1, e x2 g(x,y = y 2, 30 h(x,y = e x y 2 +1

31 y x Figur 3: Grafen for en funktion af to variable Opgave DX5 Grafen for en funktion f(x, y er tegnet på Figur 4 Den fremhævede kurve svarer til grafen for en snitfunktion af én variabel Hvilken? x y 1 2 Figur 4: Graf og snitgraf (I: g(x = f(x, 1 (II: h(y = f( 1,y Opgave DX6 Hvilke af punkterne A = (1,1 og B = (1,2 ligger på niveaukurven for funktionen f(x,y = x 2 +y 2 i niveauet 2? 31

32 Opgave DX7 Data indsamlet ved en klimastation i det sydlige Himalaya antyder en temperatur ved jordoverfladen givet ved T 0 (t = sin( π 6 t, hvor tiden t måles i måneder og t = 0 svarer til den 15 april Jordens sammensætning leder til en temperaturkonstant k på 043 (a Brug den generelle model i Anvendelseseksempel D2(c og oplysningerne ovenfor til at opstille en funktion T(t,x, der beskriver temperaturen til tiden t og i dybden x Bestem derefter temperaturen i 1 meters dybde den 15 august (b Bestem de tidspunkter, hvor der ifølge modellen er en temperatur på 22 C i 05 meters dybde Hvilke måneder er der tale om? (c Bestem den maksimale dybde, hvor der ifølge modellen kan opnås en temperatur på 22 C [Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE?] (d Bestem niveaukurven i niveauet 187 Opgave DX8 Bestem de partielle afledede af hver af følgende funktioner: (a f(x,y = x 3 4x 2 y y(x+y (b g(x,y = sin(xy (c h(x,y = e 3x y Opgave DX10 Lad f(x,y = x y + y x (a Bestem en ligning for tangentplanen for f(x,y i punktet (2,1 (b Benyt ligningen for tangentplanen til at bestemme tilnærmelser (med to decimaler til funktionsværdierne [Vink: Se Bemærkning D32] f(208, 095, f(212, 103, og f(193, 090 Opgave DX11 Når man blander x mol syre med y mol vand, så frigives der varme Den frigivne varme V = V(x,y kan beskrives ved udtrykket V(x,y = 15xy 20x+y (a Beregn den frigivne varme ved blanding af 50 mol syre og 40 mol vand 32

33 (b Bestem niveaukurven for V(x,y i niveauet 30 ved at udtrykke y som en funktion y(x af x (c Bestem grænseværdien af funktionen V(x,4 for x Hvor meget varme afgives, hvis 4 mol vand blandes med en meget stor mængde syre? (d Eftervis en af formlerne V x (x,y = 15y 2 (20x+y 2 og V y (x,y = 30x 2 (20x+y 2 (e Bestem en ligning for tangentplanen for V(x,y i punktet (50,40 Benyt denne til at bestemme en tilnærmet værdi af V(51,41 (f Kontrollér, at V x(50,40 < V y(50,40 Giv en fortolkning af dette: Hvad udvikler mest varme ved blanding af 50 mol syre og 40 mol vand: en lille ekstra molmængde vand og intet ekstra syre eller omvendt? Opgave DX13 Lad f(x,y = xy(6 2x y og lad Ω være trekanten begrænset af linierne x = 0, y = 0 og y = 6 2x (a Tegn Ω Vis derefter, at f(x,y = 0 langs omkredsen af trekanten Ω (b Vis, at f(x, y > 0 i ethvert punkt (x, y inde i Ω [Vink: Vis først, at y < 6 2x i ethvert punkt (x,y inde i Ω] (c Bestem maksimum for f(x,y inde i Ω (d Tegn vha et computerprogram grafen for f(x, y over rektanglet [0, 15] [0, 3] Sammenlign med svaret til (c Opgave DX15 (a Lad f(x,y = 2x 2 xy y2 Vis, at (x,y = (0,0 er et stationært punkt for denne funktion Undersøg, om der er lokalt maksimum eller minimum i (0,0 (b Samme spørgsmål som i (a for funktionen g(x,y = 2x 2 xy 1 6 y2 33

34 Opgave DX19 Lad f(x,y = x 2 +y 2 xy +3x 3y +5 (a Vis, at f(x,y har netop et stationært punkt Vis derefter, at der er tale om et lokalt minimumspunkt (b Tegn vha et computerprogram grafen for f(x,y over et område, der indeholder det stationære punkt Tegn endvidere nogle af funktionens niveaukurver vha et computerprogram (c Bestem en ligning for tangentplanen for f(x,y i punktet (a,b = (05,05 Benyt denne ligning til at beregne en tilnærmet værdi af f(055, 045 Sammenlign med den eksakte værdi af f(055,045 Opgave DX21 En medicinalvirksomhed udvikler en ny type kosttilskud Omkostningerne O (målt i tusind kroner ved denne udvikling antages at være givet ved O(x,y = x 3 24xy y2, hvor x angiver antallet af ansatte i marketingsafdelingen, og hvor y angiver antallet af ansatte i laboratorieafdelingen Bestem det antal ansatte i hver af de to afdelinger, som giver den mindst mulige omkostning i forbindelse med udviklingen af den nye type kosttilskud Opgave DX23 Lad U(s,t = s 2 t 2 +st+30s+40t+300 For en vis afgrøde antages det, at U(s,t er en model for udbyttet målt i tons pr ha under anvendelse af s tons gødning af type S og t tons gødning af type T pr ha Udbyttet sælges til en pris på 20 kr pr tons, mens næringsstofferne S og T koster hhv 300 og 200 kr pr tons (a Opstil fortjenesten som funktion af s og t Bestem endvidere fortjenesten, hvis der ikke anvendes noget gødning (b Bestem det økonomisk optimale gødningsniveau (c Prisen på hvert af de to næringsstoffer øges med 10%, og det gør prisen på udbyttet ligeledes Ændrer det optimale gødningsniveau sig? Ændrer den optimale fortjeneste sig? Opgave DX25 Bestem minimum for funktionen under bibetingelsen g(x,y = e x +e y 2x+y ln4 = 0 34

35 Opgave DX27 Lad Ω = [0, 2] [0, 1] Udregn følgende dobbeltintegraler: (a x 3 ydxdy (b (c Ω Ω Ω (x 3 +e y dxdy x+ydxdy Opgave DX28 Udregn dobbeltintegralet Ω (2x 3 y + 1y 2 dxdy, hvor Ω er rektanglet med hjørner i (0, 1, (3, 1, (3, 2 og (0, 2 Opgave DX29 Udtrykket 1 kan skrives som et dobbeltintegral på formen for en mængde Ω Hvordan ser Ω ud? 0 ( 0 3y 2 dy dx x Ω 3y 2 dxdy, y 1 + x 1 + x x y y (I (II (III Opgave DX32 Lad f(x,y = x 3 +y 3 3xy (a Bestem samtlige stationære punkter for f(x,y (b Afgør for hvert af de stationære punkter om der er tale om et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller et sadelpunkt for f(x,y 35

36 Opgave DX33 Bestem dobbeltintegralet hvor Ω = {(x,y 0 x 1, 0 y 2x} Ω (2xy +3xdxdy, Opgave DX34 (a Tegn trekanten Ω med hjørner i (0, 0,(1, 0 og (1, 4 Opskriv Ω på formen Ω = {(x,y a x b og g(x y h(x} (b Lad Ω = {(x,y 1 x 2 og 0 y x 2 } Tegn Ω 36

37 Facits til opgaver i Modul D Opgave DX4 f(x,y Opgave DX5 (I Opgave DX6 A Opgave DX7 (a T(t,x = e 043x sin( π 6 t 043x; T(4,1 = 234 C (b t = 156 (48 dage, dvs juni måned; t = 526 (160 dage, dvs september måned (c 181 meter (d Den består bla af linierne t = 082x og t = 082x+6 Opgave DX8 (a f x (x,y = 3x2 8xy y, f y (x,y = 4x2 x 2y (b g x (x,y = ycos(xy, (x,y = xcos(xy g y (c h x(x,y = 3e 3x y, h y (x,y = e3x y Opgave DX10 (a z = (x (y 1 (= 3 4 x 3 2 y (b 264, 255, 260 Opgave DX11 (a 214 (b y(x = 4x x 2 (c 3 3 (e z = (x (y 40, tilnærmet værdi 219 (f Vand Opgave DX13 (c (x,y = (1,2 Opgave DX15 (a Lokalt minimum (b Sadelpunkt Opgave DX19 (a ( 1,1 (c z = (x 05 25(y 05 (= 35x 25y +475 Tilnærmelse = 555, f(055,045 = Opgave DX21 x = 12, y = 54 Opgave DX23 (a F(s,t = 20s 2 20t 2 +20st +300s+600t+6000, 6000 (b (s,t = (20,25 (c Nej, ja Opgave DX25 g(ln2,0 = 3 Opgave DX27 (a 2 (b 2+2e = 74 (c 4 15 ( = 24 37

38 Opgave DX Opgave DX29 (II Opgave DX32 (a (0,0 og (1,1 (b Sadelpunkt i (0,0 Lokalt minimum i (1,1 Opgave DX33 3 Opgave DX34 (a Ω = {(x,y 0 x 1 og 0 y 4x} 38