Opgaver til Kapitel 6 MatB

Transkript

1 Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver større. Opgave 2 Fortjenesten på salg af jordbær er på 5,00 kr. pr. bakke. og fortjenesten på kirsebær er 8,00 kr. pr. bakke Lad betegne antal solgte bakker jordbær og antal solgte kirsebær og z = f(, ) den samlede fortjeneste i kr. a) Bestem en forskrift for f b) Bestem ligningen for niveaulinjerne N(0), N(40), N(80) og N(200), og tegn disse linjer i samme koordinatsstem c) Illustrér ved hjælp af en pil den retning, hvori fortjenesten bliver større Opgave 3 En virksomhed sælger duge og servietter. Dækningsbidraget på en dug er kr. 40 mens det er kr. 5 på en serviet. Lad funktionen f(, ) angive det samlede dækningsbidrag ved et salg på duge og servietter. a) Opstil forskriften for f b) Lav en tabel der viser mindst 5 forskellige kombinationsmuligheder af salget hvis dækningsbidraget er på 2000 kr. c) Tegn niveaulinjerne for N(0), N(0) og N(2000) Opgave 4 Tegn polgonområdet, P, der er begrænset ved: <-+40 >+40 >-20 Bestem i hvilken punkter funktionerne f, g, h og i antager sin hhv. største og mindsteværdi og beregn de givne værdier a) f(,) = b) g(,) = c) h(,) = d) i(,) = Opgave 5 Punktmængden M er bestemt ved < <1 < 8 > 2 og funktionen f er bestemt ved forskriften: f(, ) = a. Indtegn punktmængden M i et koordinatsstem b. Bestem en ligning for hver af de to niveaulinjer, som er bestem ved f(,) = 0 og f(,) = 15 og indtegn disse c. I hvilket punkt antager f sin mindsteværdi inden for M? Beregn denne Side 1

2 Opgave 6 Et polgonområde, Q, er givet ved følgende: (6,12) Q (14,4) En funktion f(, ) er givet ved forskriften: f(, ) = a) Bestem maksimum for funktionen f En anden funktion g(, ) er givet ved. G(, ) = + 2 b) Bestem maksimum for funktionen g Opgave 7 En fabrik fremstiller to slags borde, Kvadrat og Runde, der skal bearbejdes i en samle- og en lakeringsafdeling. I samleafdelingen bruges 2 timer på samling af bord kvadrat og 3 timer på bord Runde. I lakeringsafdelingen bruges 3 timer på bord Kvadrat og 2 timer på bord B. Samleafdelingen råder over i alt 36 arbejdstimer, mens lakeringsafdelingen råder over maksimalt 30 timer. Dækningsbidraget for bord Kvadrat er kr. 150,- og for bord Runde er dækningsbidraget kr. 300,- a) Hvorledes skal produktionen tilrettelægges, hvis man vil opnå størst muligt dækningsbidrag? b) Hvor stort dækningsbidrag kan opnås ved denne produktion? Side 2

3 Opgave 8 En virksomhed har 1440 arbejdstimer til rådighed og 400 kg råvarer til at producere to forskellige varer A og B. Produktion af 1 stk. vare A kræver 30 arbejdstimer og 4 kg. råvarer. Produktion af 1 stk. vare B kræver 12 arbejdstimer og 4 kg. råvarer. Dækningsbidraget pr. stk. af vare A er kr. 40,-, og dækningsbidraget pr. stk. vare B er kr. 20,- Bestem den produktionssammensætning, der giver virksomheden det størst mulige samlede dækningsbidrag. Opgave 9 Fabrikken KEMIX fremstiller produkterne Xa og Yi Fremstillingen af en enhed Xa kræver 20 arbejdstimer i fabrikkens afdeling I, og arbejdstimer i fabrikkens afdeling II De tilsvarende tal for fremstillingen af Yi er hhv. 40 timer og timer. Afdeling I kan maksimalt de 3600 arbejdstimer. Produktionen skal tilrettelægges sådan, at der mindst anvendes 700 timer i afdeling I. Der skal produceres mindst 30 enheder Xa og højst 90 enheder Xa. Produktionen af Yi må ma. være på 60 enheder. Salgsprisen for Xa er kr ,-; mens salgsprisen for Yi er kr ,- Bestem hvor mange enheder Xa og Yi der skal produceres, hvis omsætningen skal maksimeres. Hvor stor er den maksimale omsætning? Opgave En virksomhed producerer såvel bukser som skjorter. Det tager ½ time at tilskære et par bukser og 1 time at tilskære en skjorte. I afdelingen er der højest 525 timer til rådighed. Det tager 45 min. ( 4 3 time) at s et par bukser og 30 min. (½ time) at s en skjorte. Der er i alt ma. 360 timer til rådighed til sning. Endelig skal tøjet pakkes. Det tager 5 min. ( 12 1 time) at pakke et par bukser og 6 min ( 1 time) at pakke en skjorte. Her er der 60 timer til rådighed Dækningsbidraget på et par bukser er på kr. 12,- og på en skjorte på kr. 15,- Bestem hvordan den bedste produktion skal være, hvis dækningsbidraget skal være så stort som muligt Opgave 11 Et firma producerer bærbare - og stationære computere. Fremstillingen skal omkring 3 afdelinger: Produktion, samling og afprøvning. Der oplses: Det tager 3/4 time at producere en bærbar. Det tager 3 timer at producere en stationær. Til rådighed i alt i produktionen er 42 timer Det tager ½ time at samle såvel en skrive- som en bærbar. Der er i alt timer til rådighed i samleafdelingen. Det tager ½ time at afprøve en bærbar. Det tager 1/4 time at afprøve en stationær. Til afprøvning rådes der over 9 timer. Fortjenesten på en bærbar er kr. 600,- og på en stationær er fortjenesten kr. 00,- Hvordan skal produktionen sammensættes hvis fortjenesten skal maksimeres? Side 3

4 Opgave 12 En virksomhed har 200 arbejdstimer til rådighed og 80 kg råvarer til at producere to forskellige varer A og B. Produktion af 00 stk. vare A kræver 60 arbejdstimer og 8 kg. råvarer. Produktion af 00 stk. vare B kræver 20 arbejdstimer og kg. råvarer. Dækningsbidraget pr. stk. af vare A er kr. 40,-, og dækningsbidraget pr. stk. vare B er kr. 20,- a) Bestem den produktionssammensætning, der giver virksomheden det størst mulige samlede dækningsbidrag. b) Beregn det største dækningsbidrag, virksomheden kan opnå Opgave 13 delopgave b og c er ikke kernestof Der er givet følgende kriteriefunktion f (, ) = under bibetingelserne 5+ > > 126 > 0, > 0 Polgonområdet, der fremkommer ud fra de nævnte betingelser, er vist som det ikke skraverede område i koordinatsstemet herunder > > 126 > 0, > a) Bestem ved beregning det punkt indenfor polgonområdet, hvor f antager sin mindsteværdi. b) Angiv det interval hvor koefficienten til kan variere, så man stadigvæk fastholder den optimale løsning fundet i spørgsmål c) Angiv det interval hvor koefficienten til kan variere, så man stadig fastholder den løsning, der blev beregnet i a) Side 4

5 Opgave 14 Dansk Blindesamfund laver diverse legetøj i træ. De producerer og sælger to slags børneuroer UROABE og UROKANIN. Begge slags uroer skal bearbejdes i virksomhedens to afdelinger, afdeling I og afdeling II. UROABE bearbejdes 15 minutter i afdeling I og 20 minutter i afdeling II. UROKANIN bearbejdes 30 minutter i afdeling I og 20 minutter i afdeling II. I hver afdeling har virksomheden 50 timer pr. uge til bearbejdning af uroerne. Dækningsbidraget pr. stk UROABE er 30 kr., og dækningsbidraget pr. stk UROKANIN er 40 kr. a) Definér variablene og og bestem en forskrift for funktionen f (, ) = a + b, der angiver det samlede dækningsbidrag. b) Opstil begrænsningerne og tegn polgonområdet i et koordinatsstem. c) Indtegn niveaulinjen N(2000) svarende til f (, ) = 2000, og bestem hvor mange stk UROABE og hvor mange stk UROKANIN, der skal producere og sælges pr. uge for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag. Opgave 15 En virksomhed fremstiller to produkter, aske og benne. Til produktionen af en enhed aske anvendes 4 meter træ og 2 arbejdstimer. De tilsvarende tal for benne er 2 meter træ og 5 arbejdstimer. Virksomheden råder over 3 mand á 40 timer til denne produktion og virksomheden får leveret 80 meter træ. Bestem det største dækningsbidrag virksomheden kan opnå, når dækningsbidraget for aske er kr. 30,- pr enhed og kr. 70,- pr. enhed for benne. Opgaver i følsomhedsanalse Bemærk opgave 16, 17, 18 og 19 er ikke kernestof Side 5

6 Opgaver med følsomhedsanalse Bemærk: Der er tale om flere opgaver, der alle knttes til dette polgonområde Et polgonområde ser ud som nedenstående og er udarbejdet ud fra følgende betingelser: > > > -½ + 15 > >0, > f()= Skravering 1 f()=-2+18 Skravering 4 f()= Skravering 2 f()=-4+27 Skravering 3 <0 or < For bedre at kunne se området og de begrænsninger der er aktuelle, ses linjerne også i nedenstående koordinatsstem, hvor hjørnepunkterne fremgår samt de respektive linjers hældninger. Side 6

7 16 (0,15) 14 a= -½ (2,14) f()= f()=-2+18 f()= f()=-4+27 a= (3,12) 8 6 a= -3 4 (6,3) 2 a = - 4 (6.75,0) Opgave 16 Kriteriefunktionen er givet som f(,) = a) Bestem maksimumpunktet. b) Hvis kriteriefunktionen ændres, så den hedder F(,) = a + 20, hvor meget kan a da variere uden optimum flttes? Opgave 17 Kriteriefunktionen er givet som F(,) = a) Bestem maksimumpunktet. b) Hvis kriteriefunktionen ændres, så den hedder F(,) = a + 20, hvor meget kan a da variere uden optimum flttes? Opgave 18 Kriteriefunktionen er givet som F(,) = a) Bestem maksimumpunktet. b) Hvis kriteriefunktionen ændres, så den hedder F(,) = 20 + b, hvor meget kan b da variere uden optimum flttes? Opgave 19 Kriteriefunktionen er givet som F(,) = + 30 a) Hvor er maksimum? b) Hvis kriteriefunktionen ændres, så den hedder F(,) = + b, hvor meget kan b da variere uden optimum flttes? Side 7