En statistisk analyse af aktieafkast

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En statistisk analyse af aktieafkast"

Transkript

1 En statistisk analyse af aktieafkast Af cand.scient.oecon. Erik Christiansen IBC Kolding Efterår 2008

2 Forord Kan man ved bruge af statistiske modeller og de historiske aktiekurser forudsige fremtidens kursudvikling? Hvis det er muligt så er man bedre kvalificeret til at vurdere hvilke aktier der skal investeres i og især hvilke man ikke skal investere i. Ideen er at investere i den aktie som giver det største afkast, med den mindste risiko. Hvorledes finder vi den aktie? Det kan blandt andet gøres ved brug af statistisk dataanalyse. Kompendiet er et forsøg på en trin-for-trin opskrift til aktieafkastanalyse. Analysen anvender termer og begreber inden for statistisk som 2.-års elever på gymnasiale uddannelser (stx, hhx ol.) kan forstå og anvende. Der tages udgangspunkt i en akties kursudvikling og begreber som afkast, forventede afkast, risiko og Sharpe ratio kobles til statistiske begreber såsom (middelværdi, standardafvigelse, tidsserieanalyse, normalfordeling, konfidensinterval mv.). Kompendiet er tænkt som et tværfagligt emne mellem finansiering, virksomhedsøkonomi, statistik og matematik og gør eleven i stand til at anvende matematik og statistik som beslutningstagende værktøjer inden for finansiering/virksomhedsøkonomi. Efteråret 2008 Adjunkt Erik Christiansen

3 Aktier og aktieafkast Gevinst ved aktiehandel Aktier og obligationer er værdipapir som kan erhverves og som den dygtige eller heldige investor kan tjene penge på at besidde. Ideen er at købe aktier og obligationer når kursen er hensigtsmæssig lav og sælge den igen når kursen en tilstrækkelig høj. Forskellen mellem købskursen og slagskursen udgør gevinsten som investoren har tjent ved handlen. Det er selvfølgelig ikke gratis at købe og sælge værdipapir, så det må påregnes at der både ved køb og slag tilløber omkostninger, så skal afholdes. De skal selvfølgelig fratrækkes gevinsten. Det er ofte en bank som foretager handlen og derfor afregnes handelssalæret (kurtage) til dem. De pågældende virksomheder kan endvidere vælge at udbetale udbytte til deres aktionærer. Udbyttet er en form for overskudsdeling og kan i perioden udgøre en væsentlig størrelse. Virksomhederne er ikke forpligtet til at udbetale et udbytte og kan i perioder vælge at undlade dette og derved holde hele overskuddet i virksomheden. Herved henstilles de som egenkapital og kan anvendes som aktiver af virksomhedens, som måske senere kommer aktionærerne til gode. Aktiekurs Aktiekursen er prisen for værdipapiret. Det er virksomheden som vælger at udstede aktier og evt. sætte dem til slag. Salget sker ofte på en børs, som er et særligt sted, hvor der handles med værdipapir ol. Aktien har en pålydende værdi evt. 100,-, hvilket betyder at køberen har mulighed for at købe en andel af virksomheden. Den pris som værdipapiret handles til er aktiekursen. Lad os antage at købernes prisvurdering af aktien kun er på 50,- og at sælger har samme overbevisning, så bliver aktiekursen 50,- og køber har mulighed for at købe en andelen i virksomheden til 50,-. Kursen på en aktie med et pålydende på 100,- er derfor ikke nødvendigvis 100,- men kan svinge fra få kroner til flere tusinde kroner, alt efter investorernes forventning til virksomhedens værdi og potentiale. Der er mange faktorer som påvirker en akties kurs, fra investorernes forventninger af virksomhedens til virksomhedens evne til at generere værdier på baggrund af deres aktivere. Andre faktorer så som lovgivning, råstofpriser, afsætningsmarkedet, trends, konkurrence, teknologi, ressourcer mv., er også med til at fastsætte aktiekursen. Som investor er det selvfølgelig nødvendigt at have et indgående kendskab til netop disse faktorer, ellers bliver det svært at vurdere om købet er hensigtsmæssig eller ej. Spørgsmålet er nu hvilken aktie skal man investere i? Der er mange at vælge imellem og i nogle perioder kan man tjene penge på nogle og tabe på andre. Tit har man hørt at fok som har tjent mange penge på aktiehandel og andre som har tabt mange penge. I skrivende stund er der mange som har tabt mange penge på aktiehandel. Finanskrisen 2008 har været et mareridt for mange investorer og skal minde os alle om at aktiehandel er behæftet med stor usikkerhed og risiko. I nogle perioder større end andre. Kunsten er at handle på rette tidspunkt til rette kurs. Kursen udvikler sig som funktion af tiden. For hver dag er der en ny situation for virksomheden og derfor også ofte en ny kurs. Kurserne registreres af børsen og andre virksomheder og disse daglige aktiekurser udgør grundlaget for vores aktieanalyse. Antag er t er tiden og at x t er aktiekursen på tidspunkt t. t kan være et hvilket som helst tidspunkt, men i denne analyse vil det være den pågældende dags start eller slutkurs, eller gennemsnittet for disse. Vores ak-

4 tieafkast for en periode, hvor vi køber aktien til kurs x t og sælger igen til kurs x t+1 kan beregnes som er en stokastisk variabel som kan analyseres ved hjælp af almindelige statistiske metoder. Ganges størrelse med 100 fås afkastet i procent. er derved et udtryk for den procentvise ændring i aktiekursen for en perioden. kan antage en positive eller negative størrelse. Er størrelsen positiv så har investor tjent penge på investeringen og er størrelsen negativ så har investor tabt penge på investeringen, når vi ser bort for kurtage. Alternativt kan afkastet beregnes som følgende Herved bliver afkastet udtrykt i absolut størrelser og bliver derved kursændringen fra dag til dag opgjort i kroner. Denne metode tager ikke højde for inflation (prisstigninger). Husk på at en krone i dag er mindre værd end en krone for 10 år siden. Investor har en profitmaksimerende adfærd og ønsker derfor at investere i de aktier som giver et stort positivt afkast. Der er ingen ide i at investere i aktier som giver negativt afkast. Handler som resulter i et negativt afkast betragtes som dårlige handler og skal for så vidt muligt undgås. Investering på det korte eller lange sigt Det er vigtigt at der i forbindelse med aktiekøb indtænkes investeringens tidshorisont. Kortsigt investeringer er handler hvor aktien købes og sælges hurtigt igen, ofte efter få timer eller få dage. En lille hensigtsmæssig ændring i aktiekursen kan derved udløse en lille gevinst. Men hvis investor foretagere et forholdsvis stort opkøb, så kan en lille hensigtsmæssig ændring i kursen udløse en stor samlet gevinst. Hvis investeringen foretages som en langsigtede investering så har man den overbevisning at aktiekursen vil udvikle sig hensigtsmæssig på lang sigt. Man går altså ikke så meget op i, hvorledes de daglige kursudsving er, men derimod hvorledes kursen udvikler sig fra måned til måned eller fra år til år. Udvikler kursen sig hensigtsmæssig over længere sigt, så kan et beskedent opkøb udløse en forholdsvis stor gevinst. Ens investeringsstrategi er altså med til at bestemme hvornår man vil sælge sin aktie igen. Investorer som foretagere langsigtede investeringer lader sig ofte ikke påvirke så meget af de daglige kursudsving, for der er tid i deres investeringshorisont til at aktien vil eller kan rette sig. Risiko Der er forbundet risiko ved aktiehandel. Man kan tabe mange penge, hvis der foretages forkerte beslutninger. Investeres der penge i en virksomhed som viser sig at være tæt på konkurs, så kan alle ens penge være tabt i løbet af kort tid men der kan derimod også tjenes mange penge på aktiehandle. En virksomhed i vækst eller som står over for at markedsføre et helt

5 unikt produkt, kan resultere i en stigning i aktiekursen og efterfølgende gevinst til dens investorer. Betragtes aktiekursudviklingen for en virksomhed, konkluderes det måske at kursen er meget fluktuerende, dvs. svinger meget fra dag til dag, eller måned til måned. Vi forventer derved at kursen i morgen eller om en måned, alt efter vores investerings tidshorisont, er meget forskellig fra i dag. Spørgsmålet er nu om aktiekursen har udviklet sig negativt eller positivt? Hvad forventer vi? Det er klart at sådan en aktie kan udløse store gevinster, men den kan også udløse store tab. En anden virksomheds kursudvikling kan måske være mindre fluktuerende og vi forventer derfor at dens aktiekurs i fremtiden, vil ligge tæt på det nuværende niveau. Lidt over eller lidt under. Denne virksomhed vil altså udløse mindre gevinster, men derimod vil det eventuelle tab også være mindre. Tidsserieanalyse Tidsserieanalyse er en statistisk metode som anvendes til at analysere stokastiske processer (udviklinger) som afhænger af tiden. Metoden tager blandt andet udgangspunkt i en grafisk præsentation af processen. Derfor indtegnes aktiekursen som funktion af tiden i et koordinatsystem. Nedenfor se den grafiske præsentation af kursudviklingen for OMXC20 indekset for perioden 19/ / Kursen er opgjort som dagskurs. Grafen indeholder information som gør os i stand til at vurdere om investering i aktien er fordelagtig eller ej. Vi kan se at kursen svinger svagt fra dag til dag, men også at de i starten af perioden har været en stigende tendens og at der sidst i perioden har været en faldende tendens. Faldet i slutningen af perioden har været kraftigt og dækker over finanskrisen i Bemærk at OMXC20 ikke er en aktie, men et indeks som måler værdien (prisen) af de 20 mest omsatte aktier på den danske børs. OMXC20 er derved et indeks som angiver de største danske virksomheders værdiudvikling. Indeks bruges ofte til at vurdere tilstande af de danske aktier. De indledende skridt i tidsserieanalysen er at identificere tendenser og sæsonsvingninger for processen. Tendenser dækker over processens tilbøjelighed til at stige eller falde, over en læn-

6 gere periode. Sæsonsvingninger dækker over systemer i processens udvikling, dvs. et mønster i processen eksempelvis at processen stiger i vinterperioden og falder i sommerperioden. Nedenstående graf indeholder både en stigende tendens og sæsonsvingning. Grafens data stammer fra internationale flyselskabers antal af passagerer opgjort pr måned over en længere periode. Det ses tydeligt at der er flest rejsende i sommerperioden og at folk rejser mere og mere. Tendensanalysen Der er ikke en entydig måde til at identificere en tendens i en proces. Den visuel vurdering af grafen er af stor betydning men nogle gange kan det være nødvendigt at fjerne støj fra processen. Med støj menes observationer som afviger meget fra tendensen. Metoden hertil er glidende gennemsnit. Ideen bag det glidende gennemsnit er at foretage flere efterfølgende gennemsnitsberegninger for korte perioder, eksempelvis for 5 eller 10 observationer (dage/måneder). Alle aktiekurser udskiftes derved med et gennemsnit, som er beregnet på baggrund af den pågældende kurs naboværdier. Nedenstående tabel viser hvorledes disse beregninger kan foretages i Excel. Bemærk at dag 3 er en afviger, i form af en forholdsvis høj kurs på 150. Dag dag 1 dag 2 dag 3 dag 4 dag 5 dag 6 dag 7 osv kurs osv Glidende gennemsnit middel(b2;f2) middel(c2;g2) middel(d2;h2) osv osv osv Metoden udglatter processen så den bliver mere glat i sit udsende. Det er nu muligt at afbillede værdierne for det glidende gennemsnit i en graf, og processens tendens vil fremstå mere tydelig. Det er også muligt at undersøge om processen følger en specifik funktionsudvikling. Dette gøres gennem regression, som er en statistisk metode der undersøgere hvor godt processen følger en specifik funktions forløb (lineær, eksponentiel, potens, polynomium, ect.). Følger processen en specifik funktionsudvikling evt. en lineær funktionsudvikling, så kan der konkluderes at processen har en tendens. Excel er et glimrende software til at undersøge om processen følger en lineær funktionsudvikling. Antag at processen følger en lineær funktionsudvikling,

7 hvilket betyder at aktiekursen bliver bestemt på baggrund af tidspunktet, en hældningskoefficient a og et konstant led b. Hvis a ikke er 0 så er der en tendens i processen. Husk på at en lineær funktion med en hældningskoefficient på 0 er en vandret konstant funktion, hvilket jo betyder at det er en konstant funktion. Det betyder igen at der ingen tendens er i processen. Analysen af aktiekursens tendens kan bruges til at afklare om kursudviklingen er aftagende eller stigende. Hvis den er stigende så kan man måske med fordel investere i aktien, hvorimod hvis den er aftagende, så er det ikke hensigtsmæssigt at investere i aktien. Sæsonsvingning Næste skridt er at undersøge om processen indeholder sæsonsvingninger. Har processen en tilbøjelighed til at ligge på et højt eller lavt niveau på bestemte tidspunkter at måneden, kvartalet eller året og at mønster gentager sig fra måned til måned, kvartal til kvartil eller år til år. Vi så tidligere i grafen fra analysen af antallet af flypassagerer, at der var flest passagerer i sommermånederne og at det mønster gentog sig år efter år. Hvis der ikke er for meget støj (for mange afvigere) i processen så er det muligt at identificere sæsonsvingningen i processen. Hvis sæsonsvingningen gentages efter k perioden så er det muligt at udtrække hver k ne kurs og afbillede dem i et koordinatsystem. Man undlader altså alle de observationer som ligger mellem hvert k te observation. Hvis disse nye grafer er forholdsvise glatte så er der sæsonsvingning i processen. Det kræver at man er i stand til at identificere størrelsen k, hvilket kan være en udfordring især for aktiekurser. Nedenstående proces over en fiktiv kursudvikling har en sæsonsvingning samt en tendens. Tendensen er en stigning på 20 % hvert år og sæsonsvingningen er at 1. kvartal ligger højt, 2. kvartal lavere, 3. kvartal lavest og 4. kvartal lidt højere. Kvartal Kurs 100,00 80,00 60,00 70,00 120,00 96,00 72,00 84,00 144,00 115,20 86,40 100,80 1. kvartal 100,00 120,00 144,00 2. kvartal 80,00 96,00 115,20 3. kvartal 60,00 72,00 86,40 4. kvartal 70,00 84,00 100,80 Hvis kursen afbilledes får vi følgende graf.

8 160,00 Kurs 140,00 120,00 100,00 80,00 60,00 Kurs 40,00 20,00 0, Det ses at kursen er højest for første kvartil for alle årene. Afbilledes værdierne for første kvartil i et koordinatsystem fås følgende graf. Der er tilføjet flere observationer end tabellen viser, for at gøre den grafiske analyse mere tydelige. 400,00 350,00 300,00 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00 1. kvartal kvartal Det ses tydeligt at observationerne ligger på en glat linje. Endvidere ses det at den er eksponentiel stigende, hvilket stemmer godt overens med at den stiger med 20 % hvert år. Blev disse observationer afbilledet i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem ville de ligge på en ret linje. Tilføjes observationerne for de 3 andre kvartaler fås følgende graf.

9 400,00 350,00 300,00 250,00 200,00 150,00 100,00 1. kvartal 2. kvartal 3. kvartal 4. kvartal 50,00 0, Observationerne for de andre kvartaler viser sammen tendens og er ligeledes glatte linjer. Tilføjes kursen fås følgende graf hvilket viser samme mønster som den første graf. 400,00 350,00 300,00 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 1. kvartal 2. kvartal 3. kvartal 4. kvartal Kurs 0, Sæsonsvingninger kan identificeres ved at udvælge hver k ne observation og foretage en visuel analyse af den grafiske præsentation. Ligger observationerne tilnærmelsesvis på en glat linje så tyder det på at der er sæsonsvingninger i processen. Alternativt kan anvendes glidende gennemsnit, hvorved afvigerne fjernes og derved vil sæsonsvingningerne fremstå tydeligere. Proceduren er omstændig og det kræver at sæsonsvingningen er forholdsvis tydelig således det er muligt at identificere størrelsen k. En alternativ metode til den visuelle er analyse af autokorrelationen. Den faglige sværhedsgrad ligger ud over dette niveau og kræver endvidere kendskab til statistikprogrammer så som SPSS eller SAS.

10 Sæsonsvingningsanalysen gør investor i stand til at vurdere om kursen på nuværende tidspunkt er på sit høje eller lave niveau. Det er mest hensigtsmæssig at investere når kursen er lav og sælge igen når kursen er høj. Forventede afkast og risiko Vi har på nuværende tidspunkt behov for to mål i vores aktieanalyse. Et mål som fortæller os noget om størrelsen på den forventede gevinst og et mål som angiver risikoen ved investeringen. Man kan stille sig selv spørgsmålet Hvor gammel forventer jeg at blive? Mit svar vil være omkring 76 år som pt. er middellevetiden for mænd i Danmark. Det kan så godt være at mit arvemateriale eller min livsstil gør at jeg ikke bliver helt så gammel, eller at jeg måske bliver ældre, men et fornuftigt udgangspunkt er middellevetiden. Middellevetiden beregnet som middelværdien af alderen på dødstidspunktet. Det siger altså noget om hvor gammel vi i gennemsnit bliver. På samme måde kan vi anvende middelafkastet for en aktie til at bestemme det forventede afkast. Spørgsmålet må lyde hvad forventer du at få i afkast på denne aktie?. og svaret må derfor være Jeg forventer et afkast svarende til middelværdien af alle tidligere afkast. Det finder ved at beregne afkastet ( ) for alle tidligere perioder og så beregne middelværdien af dem. Det forventede afkast for næste periode bliver derved følgende: ˆµ = n t= 1 x n t Er positiv så forventes et positivt afkast for næste periode, men er derimod negativ, så forventes et negativt afkast for næste perioden. Er den positive værdi af stor så forventes en stor gevinst eller tab, alt efter s fortegn. Investor ønsker altså en stor positiv værdi, men samtidig ønskes en lav risiko. Bemærk at Excel nemt kan foretage denne beregning. Hertil skal bruges funktionen =middel(xx;xx). En akties risiko kan beregnes på flere måder. Her vil anvendes standardafvigelsen på afkastet. Standardafvigelsen er et statistisk begreb og er et udtryk for hvor meget en proces svinger omkring middelværdien. En høj standardafvigelse betyder at aktiekursen svinger meget og fortolkningen er at aktiens risiko er høj, hvorimod en lav standardafvigelse angiver en lav risiko, da aktien ikke svinger særlig meget (kaldes også at aktien er kursstabil). Standardafvigelsen er altid positiv da den ser bort fra om afkastet svinger positivt eller negativt i forhold til middelværdien. Standardafvigelsen beregnes på baggrund af middelværdien og afkastende. Standardafvigelsen beregnes efter følgende formel. ˆ σ = n ( ˆ µ ) xt t= 1 n 2

11 En investors ønske er at have så lav ens risiko som mulig, dvs. det er mest fordelagtig, hvis er lille. Denne størrelse skal jo sættes i forhold til andre aktiers standardafvigelse. Bemærk af Excel nemt kan foretage denne beregning. Hertil skal bruges funktionen =stdafv(xx;xx). Middelværdien og standardafvigelsen af en akties afkast gør os i stand til at vurdere en akties forventede afkast samt risiko. En fornuftig investering må derved være en aktie med høj positiv forventede afkast samt lav risiko. Målene kan kombineres i en brøk kaldt Sharpe ratio. Brøken er et udtryk for aktiens afkast i forhold til risikoen og defineres som følgende. Sharpe ratio bliver derved et risikojusteret afkastmål og jo større den er, jo bedre investering forventes det at være. Den statistiske fordeling af afkastet Det er fordelagtigt at have kendskab til aktieafkastets statistiske fordeling og dette gøres ved at foretage en statistisk analyse af afkastet. Analysen skal indeholde følgende. Middelværdien for afkastet (fortolkes som forventede afkast) Standardafvigelsen for afkastet (fortolkes som risikoen) Frekvensfunktionen som et søjlediagram (skabes efter metoden grupperede variable fra mat. C.) Sumfunktionen som en sumkurv (skabes efter metoden grupperede variable fra mat. C.) Skævhedsmål. Har fordelingen positiv- eller negativskævhed (hertil bruges funktionen skævhed(xx;xx) fra Excel) Topstejlhed. Er fordelingen topstejl (hertil bruges funktionen topstejl(xx;xx) fra Excel. Test for om afkastet er normalfordelt (hertil bruges normalfordelingspapir eller Excel) Analysen gør os i stand til at vurdere om afkastet er fordelt statistisk tilfældigt. Statistisk tilfældighed er når der er lige stor sandsynlighed for at afkastet bliver negativ eller positiv, samt at afkastet i gennemsnit ligger på nul. En sådan fordeling kaldes normalfordeling og frekvensfunktionen har følgende grafiske udsende.

12 Frekvens 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Tæthedsfunktionen for normalfordelingen 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,75-2,5-2, ,75-1,5-1, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 Afkast i procent Bemærk at det er frekvensen f i;i+1 som afbilledes op af y-aksen og at denne er beregnet op baggrund af intervalfrekvensen (grupperede variable). I grafen er indtegnet intervalfrekvensen for en normalfordelt statistisk variabel (de blå søjler) og frekvensværdierne (tæthedsfunktionen eller frekvensfunktionen) for normalfordelingen (den røde kurve). Ad. Middelværdien og standardafvigelsen så er det tidligere vist hvorledes disse kan beregnes. Mangler noget om konfidensintervallet for middelværdien. Ad. Frekvensfunktionen så handler det om at få et grafisk billede af frekvensfunktionen. Afkastene inddeles i intervaller og hyppigheden tælles op. Hertil kan bruges Excelfunktionen Frekvens(xx;xx,yy;yy). Se hjælpefunktionen i Excel for mere information. Når hyppighederne er talt op så beregnes intervalfrekvensen og denne indtegnes i et koordinatsystem i Excel. Man har nu et grafisk billede at frekvensfunktionen for afkastet og dette analyseres. Er fordelingen centreret omkring værdien 0? Er den symmetrisk? Er den spids eller flad? Og meget mere. Ad. Sumkurven så handler det om at få et grafisk billede af sumkurven. Sumkurven tegnes på baggrund af den summerede intervalfrekvens. Intervalfrekvensen ligges sammen således at frekvensen summeres op til det pågældende interval. Metoden er beskrevet i mat. C. bogen. Værdien for den summerede frekvens indtegnes i et koordinatsystem og denne analyseres. Ad. Skævhedsmål. Fordelingen kan være negativ eller positiv skæv. Med skævhed menes, at observationerne er skubbet henholdsvis til højre eller venstre for middelværdien. I følgende graf er observationerne skubbet til venstre i forhold til middelværdien og dette betegnes som negativ skævhed.

13 Count Count ,00 10,00 12,00 14,00 skew2 Funktionen skævhed returnerer skævheden for statistikvariablen. Skævhed er den grad af asymmetri, der er i en fordeling omkring dens middelværdi. Positiv skævhed indikerer en fordeling med en asymmetrisk hale, der hælder mod mere positive værdier. Negativ skævhed indikerer en fordeling med en asymmetrisk hale, der hælder mod mere negative værdier. Skævheden for en standard normalfordeling er 0 og angiver at fordelingen ikke er asymmetrisk eller skæv. Negativ værdi angiver altså at afkastet oftere er lavere end middelværdien og positiv skævhed angiver at afkastet oftere er større end middelværdien. En positiv skævhed er derved at foretrække. Ad. Topstejlhed angiver om observationerne er koncentreret omkring middelværdien eller langt fra middelværdien. I fordelingen nedenfor er observationerne koncentreret tæt omkring middelværdien, dvs. ofte så antager afkastet en værdi tæt på middelværdien ,00 8,00 12,00 16,00 kurtosis1 Funktionen returnerer topstejlhedsværdien for statistikvariablen. Topstejlheden betegner den relative top eller bund af en fordeling sammenlignet med normalfordelingen. Positiv topstejlhed angiver relativ topfordeling (mange observationen omkring middelværdien), og negativ topstejlhed angiver relativ bundfordeling (få observationer omkring middelværdien).

14 Ad. Normalfordeling. Der skal testes for om afkastet er normalfordelt. Det gøres ved brug af normalfordelingspapir eller ved at anvende tilføjelsesprogrammet til Excel som kan downloades fra Ved en normalfordeling har man nogle observationer, for hvilke frekvensen af disse ligger på en symmetrisk måde omkring gennemsnittet. Mange ligger tæt på gennemsnittet, få ligger noget under, og næsten ingen ligger langt fra gennemsnittet. Hvis man tegner et pindediagram over frekvensen, vil dette billede ligne en klokke. Det der kendetegner normalfordelinger er parametrene: µ = Middelværdi = gennemsnit σ = Standardafvigelse Hver gang man har en normalfordeling, skal man derfor notere parametrene således: N(µ,σ). Hvis man skal redegøre for, at nogle observationer er normalfordelte er det ikke tilstrækkeligt at tegne et pindediagram (eller et histogram) over fordelingen, og dermed vise, der er tale om noget, der næsten ligner en klokke. Man skal beregne den summerede frekvens, og tegne grafen for denne ind på et normalfordelingspapir. Her skal punkterne ligger på en ret linje. Normalfordelingspapiret ligner meget enkeltlogaritmiskpapir og anvendes på samme måde. Man kan indtegne den faktiske summerede frekvens samt den forventede fordeling, med givende middelværdi og standardafvigelse. Hvis den faktiske summerede frekvens ligger på en ret linje samt ligner den forventede fordeling, så kan det konkluderes at afkastet er normalfordelt med N(µ,σ). Alternativt kan anvendes tilføjelsesprogrammet matematik. Her følges anvisningerne i programmet. De nævnte syv skridt gør investor i stand til at analysere afkastet og på baggrund af den analyse kan der tages stilling til om en investering i den pågældende aktie er fordelagtig eller ej.

15 Husk på at denne analyse ikke er tilstrækkelig, men kun et hjælpeværktøj til en bedre forståelse af den pågældende aktie. Det er vigtigt at have et indgående kendskab til virksomheden, dens fremtidsudsigter samt branchen og meget mere.

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Udviklingen i OMXC20 aktieindekset 2008 2013 1 1 OMXC20 er et indeks over de 20 mest omsatte aktier på Nasdaq OMX Copenhagen ( Københavns

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold IBC Aabenraa HHX Matematik C Lars Erik Henriksen 1HHI 1 Funktioner og polynomier a) Lave en grafisk funktionsanalyse. 1. Definitionsmængde.

Læs mere

Aktieindekseret obligation knyttet til

Aktieindekseret obligation knyttet til Aktieindekseret obligation Danske Aktier Aktieindekseret obligation knyttet til kursudviklingen i 15 førende, danske aktieselskaber Notering på Københavns Fondsbørs 100 % hovedstolsgaranti Danske Aktier

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution Silkeborg Business College - handelsgymnasiet Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 16/17 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Haderslev Handelsskole hhx Matematik B Lars

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2011-2012 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik, niv C Henrik

Læs mere

Sell in May? 13. oktober 2015. Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk 2.0% 1.5% 1.0% 0.5% 0.0% -0.5% -1.0%

Sell in May? 13. oktober 2015. Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk 2.0% 1.5% 1.0% 0.5% 0.0% -0.5% -1.0% Sell in May? Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Det er ikke kun vejret, som har vist sig fra den kedelige side denne sommer. Aktiemarkedet har været ramt af en koldfront, der

Læs mere

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i

Læs mere

Markedsindekseret obligation

Markedsindekseret obligation Markedsindekseret obligation Bedst-af-3 II - Investering med hovedstolsgaranti Det er en gylden regel inden for investering, at man ofte opnår det bedste resultat, hvis man spreder sine investeringer på

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

En guide til Central investorinformation den nye varedeklaration på alle investeringsbeviser

En guide til Central investorinformation den nye varedeklaration på alle investeringsbeviser En guide til Central investorinformation den nye varedeklaration på alle investeringsbeviser Klar varedeklaration på alle investeringsbeviser Det kan være vanskeligt at overskue de mange forskellige investeringsmuligheder

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C MIHY (Michael

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

flexinvest forvaltning

flexinvest forvaltning DANSkE FORVALTNING flexinvest forvaltning aktiv investeringspleje og MuligHed for Højere afkast Professionel investeringspleje for private investorer Når værdipapirer plejes dagligt, øges muligheden for,

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) Hold LTN

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 15-16 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF 2-årigt Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte Dec 64 Dec 66 Dec 68 Dec 70 Dec 72 Dec 74 Dec 76 Dec 78 Dec 80 Dec 82 Dec 84 Dec 86 Dec 88 Dec 90 Dec 92 Dec 94 Dec 96 Dec 98 Dec 00 Dec 02 Dec 04 Dec 06 Dec 08 Dec 10 Dec 12 Dec 14 Er obligationer fortsat

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2016/2017 Institution Uddannelsescenter Holsterbro Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX Matematik B

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte Strange-Pedersen

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Skriftlig eksamen i samfundsfag

Skriftlig eksamen i samfundsfag OpenSamf Skriftlig eksamen i samfundsfag Indholdsfortegnelse 1. Introduktion 2. Præcise nedslag 3. Beregninger 3.1. Hvad kan absolutte tal være? 3.2. Procentvis ændring (vækst) 3.2.1 Tolkning af egne beregninger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Mads Jørgensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Mads Jørgensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jarl Mølgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2013 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Maj-juni, 13. Denne plan dækker efteråret 2012 og foråret 2013. Institution Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2015-2016 Institution Silkeborg Business College - handelsgymnasiet Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) SIPE

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2014 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørn Ole Spedtsberg

Læs mere

Aktieindekserede obligationer. Sikker investering i det nordiske opsving

Aktieindekserede obligationer. Sikker investering i det nordiske opsving Aktieindekserede obligationer Sikker investering i det nordiske opsving Norden et unikt vækstcenter I Danske Bank vurderer vi, at den positive udvikling i Norden vil fortsætte. Derfor tilbyder vi to forskellige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold ZBC Ringsted Hhx Matematik C Stig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 10/11 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik, niv C Laila

Læs mere

Når aktier falder: En oversigt over korrektioner i MSCI World

Når aktier falder: En oversigt over korrektioner i MSCI World 12.juni 2014 Når aktier falder: En oversigt over korrektioner i MSCI World Over de sidste 35 år er globale aktier steget i 27 år og faldet i 8 år. I hele træskolængder falder markedet hver femte år. Uanset

Læs mere

Løsninger til kapitel 1

Løsninger til kapitel 1 Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

B L A N D E D E A F D E L I N G E R

B L A N D E D E A F D E L I N G E R BLANDEDE AFDELINGER Om Sparinvest Sparinvest er en investeringsforening, der blev etableret i 1968. Vi har specialiseret os i langsigtede investeringsprodukter og tilbyder både private og professionelle

Læs mere

Dansk Finansservice Danske Aktier. Ekstra-mail - Handler Dansk Finansservice med rettidig omhu?

Dansk Finansservice Danske Aktier. Ekstra-mail - Handler Dansk Finansservice med rettidig omhu? Analyse og data pr. 30. september 2015. Udsendt den 23. oktober 2015. Ekstra-mail - Handler med rettidig omhu? Der ses meget få tab på over 20 procent, mens mange aktier mere end fordobles i værdi før

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug-juni 10/11 Institution Campus Vejle Handelsgymnasie Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Statistik

Læs mere

Estimation og usikkerhed

Estimation og usikkerhed Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode

Læs mere

Har viden om økonomi betydning for private investorers beslutninger om at købe aktier?

Har viden om økonomi betydning for private investorers beslutninger om at købe aktier? Har viden om økonomi betydning for private investorers beslutninger om at købe aktier? Af Charlotte Christiansen, Lektor, Handelshøjskolen i Århus, Juanna S. Joensen, Cand.Scient.Oecon., ph.d.-studerende,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørn Ole Spedtsberg

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2012 Institution Vejen Handelsskole og Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur

Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur Nyhedsbrev Kbh. 3. sep. 2015 Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur Uro i Kina sætte sine blodrøde spor i aktiemarkederne i august måned. Vi oplevede de største aktiefald

Læs mere

PROSPEKT. TradingAGROA/S. Investering i afgrødefutures. AgroConsultors

PROSPEKT. TradingAGROA/S. Investering i afgrødefutures. AgroConsultors PROSPEKT TradingAGROA/S Investering i afgrødefutures AgroConsultors TradingAGRO A/S HVORFOR? Peter Arendt og Anders Dahl har i en årrække investeret i afgrødefutures. I de seneste år har de genereret et

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010. Denne beskrivelse dækker efteråret 2011 og foråret 2012. Institution Roskilde Handelsskole

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj- juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Korte eller lange obligationer?

Korte eller lange obligationer? Korte eller lange obligationer? Af Peter Rixen Portfolio manager peter.rixen @skandia.dk Det er et konsensuskald at reducere rentefølsomheden på obligationsbeholdningen. Det er imidlertid langt fra entydigt,

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve september Matematik Niveau B

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve september Matematik Niveau B Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve september 2006 06-0-4 Matematik Niveau B Dette opgavesæt består af 8 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold CampusVejle, Boulevarden 48, 7100 Vejle HHX Matematik

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2012/2013 Institution Silkeborg Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik, niv

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Side 1 af 7 Stocks are for the long run 22. juni 2012 - Af Jesper Lund, Delfin Invest A/S Jesper Lund beholder sin investeringsgrad på 100 procent - og dét på trods af, at afkastet på Lunds tekniske modelportefølje

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Økonomi- og Erhvervsministeriet Finansministeriet. Vilkår ved exit

Økonomi- og Erhvervsministeriet Finansministeriet. Vilkår ved exit Erhvervs-, Vækst- og Eksportudvalget 2012-13 ERU alm. del, endeligt svar på spørgsmål 91 Offentligt Økonomi- og Erhvervsministeriet Finansministeriet 13. januar 2009 Vilkår ved exit Ifølge model-notat

Læs mere

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Krystalkuglen. Gæt et afkast

Krystalkuglen. Gæt et afkast Nr. 2 - Marts 2010 Krystalkuglen Nr. 3 - Maj 2010 Gæt et afkast Hvis du vil vide, hvordan din pension investeres, når du vælger en ordning i et pengeinstitut eller pensionsselskab, som står for forvaltningen

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Børsnoterede certifikater Bull & Bear

Børsnoterede certifikater Bull & Bear Børsnoterede certifikater Bull & Bear Bull & Bear-certifikater passer til dig, der har en fast tro på, hvilken vej markedet vil gå, uanset om du tror på en stigning eller et fald. Bull & Bear-certifikater

Læs mere