Byggeøkonomuddannelsen
|
|
- Frederikke Henriksen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november
2 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver Beregninger i Excel Lidt om programmer 2
3 Usikkerheds- og risikoanalyse Helt centralt i mange forhold eksempelvis: Hvilket tilbud man skal give Hvordan arbejdet skal planlægges Hvor lang tid et bestemt arbejde tager Hvad er de kritiske faser/omkostninger. Hvad man vil investere i Hvilket lån man vil tage Hvilken forsikring man skal tegne Hvilken strategi man skal vælge i POKER 3
4 Risikoanalyse I Grundidé: For et projekt er man interesseret i at få et bedre beslutningsgrundlag end det traditionelle beregninger kan give. Dette kan eksempelvis være vedr. projektets: Samlede omkostninger Samlet gennemførelsestid Givet de vigtigste delaktiviteter/poster i projektet beregnes hvad projektet forventes at koste/tage af tid og hvor stor usikkerheden er på denne forventede værdi. 4
5 Risikoanalyse II Dette gøres ved på en systematisk måde at identificere, vurdere og behandle risikofaktorer som led i helhedsbetragtningen Metoden: Skal arbejde med usikre talværdier under overholdelse af de statistiske grundlove Mere eller mindre objektive historiske talværdier suppleres med objektive vurderinger Skal medtage alle de forhold, der har væsentlig indflydelse på resultatet (også de upopulære) Skal koncentrere sig om det væsentlige Skal være overskuelig. 5
6 Risikoanalyse III Estimering er svært men nødvendigt Svært fordi Estimering foretages tidligt i processen Analyse og design er ofte usikkert Det kan være svært at forstå hvad et estimat udtrykker Der i nogle tilfælde ikke anvendes systematiske estimeringsmetoder Manglende anvendelse af erfaringsdata Nødvendigt fordi Markedet kræver det kan give kompetitiv fordel Ledelsen har behov for at prioritere knappe ressourcer 6
7 Eksempel Idrætsanlæg Består overordnet af følgende delaktiviteter: Opstartsarbejder Boldbaner Andre græsarealer Parkanlæg Afsluttende arbejder Andre mere generelle forhold 7
8 Eksempel Idrætsanlæg: Fordeling af omkostninger 16% 14% 12% Sandsynlighed 10% 8% 6% 4% 2% 0% Omkostninger (millioner kr.) 8
9 Eksempel Idrætsanlæg: Kilder til usikkerheden 31,4 15,3 0,4 0,8 4,1 2,7 0,3 49,1 Opstartsarbejder Boldbaner Andre græsarealer Parkanlæg Befæstede arealer Afsluttende arbejder Generelle forhold 9
10 Nødvendige værktøjer Sandsynligheder og statistik bruges til behandling, vurdering og kvantificering af usikkerhed / risiko Beregningsmetode (successiv kalkulation): Strukturering af fremgangsmåde Generering af resultater Skal have information: Erfaringer Databaser Osv. 10
11 Successiv kalkulation I Komplet og effektivt kalkulationsværktøj til usikkerhedsanalyse. Anvendes i høj grad i praksis: Flere tusinde danske Google hits Mange konkrete eksempler på: Anvendelser (Virksomheder, forvaltninger, organisation og ministerier) Udbydere af software til beregninger Udbydere af kurser osv. i beregningerne Kritik af manglende brug heraf i nogle skandaler 11
12 Successiv kalkulation II Resultat er: Et korrekt estimat for den forventede værdi Usikkerheden er specificeret og minimeret Realistisk billede af denne usikkerhed fordelt ud på de enkelte delaktiviteter/delposter. 12
13 Successiv kalkulation III Herudover opnås blandt andet også: Optimalt resultat med minimal arbejdsindsats Lokalisering af forbedringsmuligheder Lokalisering af svage punkter Kan medvirke til at forhindre overskridelser Effektiv og inspirerende arbejdsproces Optimal udnyttelse af ressourcer Bedre overblik Sammentømring af projektgruppen I hvert fald ifølge sælgere af kurser i Successiv kalkulation 13
14 Praktisk arbejdsgang 1. Start: Projektbeskrivelse definition 2. Forudsætninger indgår ikke i beregning 3. Opdeling i poster/aktiviteter 4. Liste og definition over generelle forhold 5. Vurdering af minimum/sandsynlig/maksimum for generelle forhold og for poster/aktiviteter 6. Beregning af samlet forventet værdi og usikkerhed. 7. Hvis resultat ikke er tilfredsstillende og forbedring er mulig, da indhentes ny information og der returneres til punkt Slut 14
15 Tilfredsstillende resultatet Usikkerheden må ikke være for stor! Middelværdien må ikke afvige for meget (jf. usikkerheden) fra et ønsket interval. (Nogle grundregler skal overholdes for at resultatet er troværdigt mere senere) Resultatet kan forbedres ved: Et eller flere af posterne med størst usikkerhed bestemmes bedre enten ved at specificere disse bedre i flere underposter eller ved at hente nye oplysninger Ændring ved forudsætningerne 15
16 Vurdering af usikkerhed Usikkerheden for en bestemt post/aktivitet er i princippet givet ved en såkaldt fordeling, men sådanne kan være lidt svære at fastlægge: 20% 18% 16% 14% Sandsynlighed 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% Omkostning (Tusinder kr.) 16
17 Vurdering af MIN / SAN / MAX I stedet vurderes for den enkelte post/aktivitet: MIN (minimum) Ekstrem minimum: Svarende til 1% fraktilen, dvs. at sandsynligheden for at denne værdi underskrides er 1%. I praksis: den mindste værdi man kan forestille sig. SAN (sandsynlig) den mest sandsynlige værdi: Svarende til den værdi der har højeste tæthed (sandsynlighed) I praksis: den værdi man tror mest på. MAX (maksimum) Ekstrem maksimum: Svarende til 99% fraktilen, dvs. at sandsynligheden for at denne værdi overskrides er 1%. I praksis: den største værdi man kan forestille sig. 17
18 Vurdering af MIN / SAN / MAX 20% 18% 16% 14% Sandsynlighed 12% 10% 8% 6% MIN SAN MAX 4% 2% 0% Omkostning (Tusinder kr.) 18
19 Vurderingsteknik erfaringer fra øvelsen Spørgsmål der besvares mest forkert: Dårligste forudsætninger Ukendte enheder Usandsynlige Ikke intuitive / snydere Anbefalinger til mere sikker vurdering Anvend passende enheder Pres ikke på for at få stor sikkerhed Skaf om muligt simpel baggrundsinformation Vurder MIN og MAX først evt. ud fra kendt SAN. Måske en hjælp, hvis flere arbejder sammen. 19
20 Vurderingsteknik andre erfaringer Faldgruber: Speciel interesse i resultatet: ønske, frygt, taktik, politik Dimensionsfejl: Enkelt styk versus masseproduktion Falsk sikkerhed: Dygtighed versus lille usikkerhed Støtte i det velkendte: Mest vægt på det nærmeste / mest kendte 20
21 Beregninger ud fra MIN / SAN / MAX For hver post beregnes følgende vigtige tal: MID: Middelværdien: Den værdi der med 50% sandsynlighed over- eller underskrides. STD: Standardafvigelsen: Et mål for usikkerheden (spredningen) 2/3 ssh. for at ligge i intervallet fra MID STD til MID+STD. 95% ssh. for at ligge i intervallet fra MID 2 STD til MID+2 STD. VAR: Variansen: Et andet mål for usikkerheden (varians) Er STD 2, dvs. STD STD. PRI: Prioritetstal: Et mål for postens usikkerhed i forhold til samlet usikkerhed 21
22 Beregninger ud fra MIN / SAN / MAX For den enkelte post fås: MID STD VAR PRI ( MIN ( MAX STD 3 SAN STD (100VAR) / MIN) / 5 MAX VAR Samlet Hvor VAR Samlet er summen af VAR for alle de opstillede delaktiviteter/poster. ) / 5 22
23 Beregninger ud fra MIN / SAN / MAX For den tidligere post haves: MID ( ) / 5 25 / 5 5 STD (12 1) / 5 2,2 VAR 2,2 2,2 4,84 23
24 Beregninger ud fra MIN / SAN / MAX For det samlede projekt fås nu: MID Samlet = Summen af middelværdierne for de opstillede poster. VAR Samlet = Summen af varianserne for de opstillede poster. STD Samlet = Kvadratroden af VAR Samlet 24
25 Et større eksempel I Et projekt, hvor resultatet afhænger af tre poster, hvor nedenstående MIN/SAN/MAX er vurderet. For det samlede projekt fås således: Lille opgave: Check (efterregn) alle de gråbrune tal! 25
26 Et større eksempel II Resultat: 35% 30% 25% Post 1 Post 2 Post 3 Samlet 20% 15% 10% 5% 0%
27 Forudsætninger for troværdigt resultatet Bygger på en del statistik (se evt. sidste slides) som i praksis betyder at følgende forudsætninger gerne skal være opfyldt: Tilstrækkeligt mange poster minimum ca. 30. Alle usikkerheder er medtaget Intet prioritetstal (PRI) afviger ekstremt Uafhængighed mellem posterne Hvis disse antagelser ikke (nogenlunde) er opfyldte skal man passe på med at hænge for meget på slutresultatet nærmere analyser bør foretages! 27
28 Uafhængighed I Udfaldet af en post må ikke sige noget om udfaldet af andre poster Eksempler: Afhængige poster: Beton Type X og Type Y Arbejdsløn af forskellige typer Uafhængige poster (tilnærmelsesvist): Materialeomk. ved 1 m 2 græs henholdsvis 1 m 2 asfalt Omkostninger til inventar og til etablering af parkering. 28
29 Uafhængighed II Eksempel på betydning: Betragt to poster begge med VAR=100. Hvis helt uafhængige: VAR Samlet =200 Hvis helt afhængige: VAR Samlet =400 Hvis der haves problemer med afhængighed, da undervurderes den samlede usikkerhed! 29
30 Løsning på uafhængighed Find alle de fælles forhold, som skaber afhængigheden mellem nogle af (alle) posterne. Indfør disse forhold som en post under generelle forhold og vurder for hver af disse den samlede påvirkning af projektet (MIN/SAN/MAX). Vurder de øvrige poster uden hensyntagen til disse forhold. 30
31 Generelle forhold I Politiske forhold Myndighedsproblemer Arbejdsmiljø Sikkerhedsforhold Miljøforhold Lønforhold Konkurrence Inflation Realrenten Disponible ressourcer Størrelse / omfang Lokale forhold Udførelsestidspunkt Tidsplan Vejret Tyveri/hærværk Samarbejdsevner Kvalitetsniveau Uforudsete forhold Optimisme / pessimisme Etc. 31
32 Generelle forhold II Vurdering af generelle forhold: Kan gøres i absolutte beløb Beton-prisen: / / Løn-forhold: / 0 / Osv. Eller som procenter af summen af alle de andre relevante poster (hvor faktoren indgår): Tyveri/hærværk: 5% / 0% / 10% Vejret: 0% / 5% / 10% Osv. 32
33 Mulige problemer med metoden Andre fejlmuligheder: Undervurdering af generelle forhold Indregning af reserve flere gange Brugerfejl fx at alle poster ikke vender ens. Andre problemer: Resultater kan være svært at kommunikere til folk, der ikke selv har erfaringer med metoden Metoden (og arbejdet hermed) kan misbruges Vigtigt men ikke altid nemt at arbejde med de generelle forhold. 33
34 Større eksempel: Idrætsanlæg Bestemmelse af de samlede omkostninger til etablering af idrætsanlæg: Post Beskrivelse Mængde Enhed MIN SAN MAX MID STD VAR (10 6 ) PRI 1 Opstartsarbejder 1 stk ,4 2 Boldbaner m ,1 3 Andre græsarealer m ,8 4 Parkanlæg m ,7 5 Befæstede arealer m ,4 6 Afsluttende arbejder 1 stk ,3 7 Generelle forhold sum -10% 0% 20% ,3 Samlet ,0 Ovenstående findes i et regneark, som man kan studere, hvis man har lyst. 34
35 Større eksempel: Idrætsanlæg Med udgangspunkt i dette regneark vises nogle yderligere aspekter af successiv kalkulation i praksis og det vises, hvorledes Excel på flere måder med fordel kan anvendes i dette arbejde. I forbindelse med sidstnævnte findes en række smarte funktioner til hjælp i Excel. Dem vil vi ikke gøre ret meget ud af (ej pensum). 35
36 Excel funktioner I Tegning af projektets usikkerhed: Normfordeling(x; MID;STD;FALSK) *GrafEnhed Eksempel: Hvis MID=12,5 mdr. og STD=1,5 mdr. da er fordelingen af projektets usikkerhed: Normfordeling(x; 12,5; 1,5; FALSK)*1. Bemærk: Normfordeling er det danske navn for funktionen; på engelsk hedder den: Normdist og FALSK hedder naturligvis FALSE. 36
37 Excel funktioner II 30% 25% 20% Sandsynlighed 15% 10% 5% 0% Måneder 37
38 Excel funktioner III Eksempel fortsat: Sandsynligheden for at projektet kommer til at vare mindre end 10 mdr.: Normfordeling(10; 12,5; 1,5; SAND)=4,8% Og sandsynligheden for at projektet kommer til at vare mere end 14 mdr. er: 1 ssh. for under 14 mdr.= 1 Normfordeling(14;12,5;1,5;SAND)=16% 38
39 Appendiks I: Lidt tekniske forhold/bemærkninger Metoden bygger på, at de enkelte poster antages at følge forskellige erlangfordelinger (skæve normalfordelinger). For disse gælder generelt, at MID og STD med god tilnærmelse kan beregnes som angivet tidligere. Summeres en række (tilstrækkeligt mange) erlangfordelte stokastiske variable bliver summen normalfordelt med MID og STD som beregnet tidligere. 39
40 Appendiks II: Lidt tekniske forhold/bemærkninger Vil du vide mere, så findes der forskellige (mere eller mindre komplicerede) noter og lærebøger om emnet. Eksempler (uden ansvar): Steen Lichtenberg: Rapport over successiv kalkulation Anlægsteknik 2, Styring af byggeprocessen Anlægsteknik 3, Økonomi i bygge- og anlægsvirksomheder To sidstnævnte udgives på Polyteknisk Forlag. Yderligere tilbydes der forskellige kurser, der i vid udstrækning fokuserer på forskellige konkrete anvendelser i praksis. 40
41 Programmer Der findes forskellige færdige programmer til successiv kalkulation. Eksempel: Sigma 2007 Enterprise: integration af de to kalkulationsværktøjer, V&S PrisDatabase og Sigma. Programmet kan blandt andet foretage forskellige beregninger og herunder også foretage successiv kalkulation. 41
Slide 1. Slide 2. Slide 3. Byggeøkonomuddannelsen. Dagens emner. Usikkerheds- og risikoanalyse. Risikoanalyse Successiv kalkulation
Slide 1 Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Slide 2 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereForelæsning 1: Intro og beskrivende statistik
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereByggeøkonomuddannelsen Afrunding successiv kalkulation og Værktøjer til Totaløkonomi
Byggeøkonomuddannelsen Afrunding successiv kalkulation og Værktøjer til Totaløkonomi Ken L. Bechmann 25. november 2013 1 Totaløkonomi hvorfor: Analysere hvad der samlet bedst betaler sig Foretage økonomiske
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereUNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7
UNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7 Baggrund: Risk Management (RM) er i dag et væsentligt fundament for at kunne håndtere store og komplekse projekter - herunder at kunne
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information
Kursus 02402 Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Oversigt 1 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer
Læs mereVærktøjer og teknikker til at prioritere risici i internationale projekter: Sensivitetsanalyse og realoptioner.
Værktøjer og teknikker til at prioritere risici i internationale projekter: Sensivitetsanalyse og realoptioner. Kapitel 9 rioritizing Risk: Sensitivity Analysis and Real Options International roject Management
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereEstimation og usikkerhed
Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereTil. Københavns Kommune - CAU. Dokumenttype. Rapport. Dato. august 2010 RISIKOANALYSE AF AN- LÆGSOVERSLAG NORDHAVNSVEJ
Til Københavns Kommune - CAU Dokumenttype Rapport Dato august 2010 RISIKOANALYSE AF AN- LÆGSOVERSLAG NORDHAVNSVEJ Revision 0 Doc. ID NHV 882-011-0 Risikoanalyse af anlægsoverslag August 2010.docx Dato
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereFagplan for statistik, efteråret 2015
Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale
Læs merePlanen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1
Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereProjekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet
Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereStatistiske principper
Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs merea) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl?
Module 6: Exercises 6.1 To laboranter....................... 2 6.2 Nicotamid i piller..................... 3 6.3 Karakterer......................... 5 6.4 Blodtryk hos kvinder................... 6 6.5
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereEn intro til radiologisk statistik. Erik Morre Pedersen
En intro til radiologisk statistik Erik Morre Pedersen Hypoteser og testning Statistisk signifikans 2 x 2 tabellen og lidt om ROC Inter- og intraobserver statistik Styrkeberegning Konklusion Litteratur
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereSkriftlig eksamen Science statistik- ST501
SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.
Læs mereTorsdag: PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI
Torsdag: PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI Hvad Er det en god har idé? vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål)
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereProgram. Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve I SAS. Øvelse: effekt af diæter
Program Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Øvelse: effekt af diæter. Repetition fra sidst... Parrede og ikke-parrede
Læs mereEn hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension
En hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension Claus Munk 1. september 017 1 Sammenfatning Den pension, som en pensionsopsparer en kunde) ender med at få, er usikker både på
Læs mereMikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1
Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Estimation
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Estimation Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev herefter
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser
Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen
Læs mere2011.09.20 lth@campus.dk
2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereLøsninger til kapitel 1
Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2
Læs mereTest nr. 4 af centrale elementer 02402
QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 4 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereBilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen
Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Introduktion
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Introduktion 1 Formelt Lærere: Esben Budtz-Jørgensen Jørgen Holm Petersen Øvelseslærere: Berivan+Kathrine, Amalie+Annabell Databehandling: SPSS
Læs merePraktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter
Praktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter Estimering af IT projekter har gennem tiderne altid været en særdeles vanskelig disciplin, og der findes næppe den eller de metoder der
Læs mere5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14
Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereGennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereTo-sidet varians analyse
To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereØVELSE 3A. I SAS kan man både bruge {}, [] og () som paranteser til index.
ØVELSE 3A I denne øvelse gennemgår vi: Flere funktioner - udvalgte tilfældigtals generatorer i SAS Eksempler på anvendelse af SAS til statistisk analyse Formål Du får brug for de træk ved SAS-systemet,
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereSystematisk risiko, usystematisk risiko og eksempel på beregning af Beta
Peter Bank Larsen peterbank8660@gmail.com D. 26.05.2019 Systematisk risiko, usystematisk risiko og eksempel på beregning af Beta Risiko er sandsynligheden for et fremtidig udfald. Risikoen opdeles i to:
Læs mere