Opgave I II III IV V VI Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 1. juni 2005 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 16 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelig besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Kun skemaet tillægges betydning ved besvarelsen. Opgaveteksten skal dog afleveres i sin helhed, inden eksamen forlades også selv om du vælger at aflevere blankt. Opgave I II III IV V VI Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave VII VIII IX X XI XII Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave XIII XIV XV XVI Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit navn og bordnummer. Sættets sidste side er nr 18; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I I en undersøgelse registreredes følgende længder af 10 gøgeæg lagt i skovpibereder: Længder (mm): Den gennemsnitlige længde er 22.74mm og estimatet for spredningen er mm. Spørgsmål I.1 (1): 95% konfidensintervallet for middellængden af gøgeæg i skovpibereder bliver: ± ± ± ± ± Spørgsmål I.2 (2): Der planlægges en ny undersøgelse af samme type. Man ønsker en maximal fejl på 0.5 med 99% konfidens. Det antages at spredningen er kendt og lig med Hvor mange observationer kræver det? 1 Mindst 9, idet (z / 0.5) 2 = Mindst 18, idet (z /0.5) 2 = Mindst 13, idet (z /0.5) 2 = Mindst 22, idet (z /0.5) 2 = Mindst 11, idet (z / 0.5) 2 = Fortsæt på side 3 2

3 Opgave II Ved en undersøgelse af blyindhold i en bestemt type plante indsamledes løv af planten fra 3 forskellige geografiske steder. For at se om der er nogen årstidseffekt indsamlede man data fra vinter, forår, sommer og efterår og fik følgende resultater: Vinter Forår Sommer Efterår Sted Sted Sted Hver værdi i tabellen er det gennemsnitlige blyindhold i µg/g, dvs. parts per million, i de analyserede løvprøver en bestemt årstid et bestemt sted. Spørgsmål II.1 (3): Hvilken af følgende metoder er bedst egnet til at analysere om sted og årstid har betydning for blyindholdet i planten? 1 Rang sum test 2 Ensidet variansanalyse 3 Parret t-test 4 Tosidet variansanalyse 5 Sign test Spørgsmål II.2 (4): Medianen for blyindholdet på sted 3 er: Fortsæt på side 4 3

4 Opgave III En undersøgelse har vist, at ved hver femte hospitalsindlæggelse oplever en patient fejl eller mangler. Hvis man må gennem netop tre hospitalsindlæggelser, hvad er så chancen for, at man mindst een gang oplever fejl eller mangler? Spørgsmål III.1 (5): = = = = = Spørgsmål III.2 (6): Undersøgelsen var baseret på 1000 tilfældig udvalgte indlæggelser, hvoraf 200 altså oplevede fejl eller mangler. Hvad er 95% konfidensintervallet for andelen af indlæggelser, hvor der opleves fejl eller mangler? ± (1 0.2)/ ± (1 0.2)/ ± (1 0.2)/ ± (1 0.2)/ ± (1 0.2)/800 Fortsæt på side 5 4

5 Opgave IV For hvert af fire områder registreredes antallet af rygere ud af et antal lungecancerpatienter, og man fik følgende data: Område Antal patienter Antal rygere A B C D Spørgsmål IV.1 (7): Man interesserer sig for at teste om der er signifikant forskel på andelen af rygere blandt lungecancerpatienter i de fire områder. Den sædvanlige teststørrelse skal ved et test med 1% signifikansniveau sammenlignes med en kritisk værdi, der findes som: 1 χ (3) = t (7) = χ (2) = χ (3) = F(3,3) 0.01 = Fortsæt på side 6 5

6 Opgave V Herunder ses tæthedsfunktioner for tre fordelinger: a) b) c) x x x Spørgsmål V.1 (8): Hvilke tre fordelinger kan der være tale om (i rækkefølgen a), b), c))? (Hjælp: lige fordeling = uniform distribution) 1 normal, eksponential, lige 2 log-normal, normal, lige 3 eksponential, log-normal, lige 4 lige, log-normal, eksponential 5 normal, log-normal, lige Fortsæt på side 7 6

7 Opgave VI En population er beskrevet ved at gennemsnitshøjden er 180cm og spredningen er 12cm. Endvidere antages populationen af højder at være normalfordelt. Hvilket af følgende udsagn er korrekt? Spørgsmål VI.1 (9): 1 99% af populationen er mellem (180 t 0.01 (12) 12)cm og (180 + t 0.01 (12) 12)cm 2 95% af populationen er mellem (180 t (12) 12)cm og (180 + t (12) 12)cm 3 95% af populationen er mellem (180 z )cm og (180 + z )cm 4 95% af populationen er mellem (180 z )cm og (180 + z )cm 5 90% af populationen er mellem (180 χ (11) 12)cm og (180 + χ (11) 12)cm Spørgsmål VI.2 (10): Der udtages tilfældigt 3 personer fra populationen, og højderne registreres. Hvad er fordelingen for gennemsnittet af de tre højder? 1 En normalfordeling N(µ,σ 2 ), hvor µ = 180 og σ = 12/ 3. 2 En binomialfordeling b(x; n, p), hvor n = 3 og p = 3/12 = En normalfordeling N(µ,σ 2 ), hvor µ = 60 og σ = 12/ 3. 4 En binomialfordeling b(x;n,p), hvor n = 3 og p = En normalfordeling N(µ,σ 2 ), hvor µ = 180 og σ = 36/ 3. Fortsæt på side 8 7

8 Opgave VII Der udføres et eksperiment for at undersøge hvor meget computerhukommelse to forskellige statistikprogrampakker bruger. I følgende tabel ses forbruget for otte forskellige sammenlignelige kørsler: Kørsel Statistikprogrampakke 1 Statistikprogrampakke K 500K 2 650K 600K 3 890K 890K 4 410K 400K K 1025K K 1400K 7 600K 625K 8 750K 710K Spørgsmål VII.1 (11): P-værdien for et sign test for hypotesen om at de 2 programpakker bruger lige meget hukommelse mod alternativet at pakke 1 bruger mere bliver: = P(X = 7), hvor X bin(x;8,0.5) = P(X 6), hvor X bin(x;7,0.5) = 2 P(X 6), hvor X bin(x;7,0.5) = P(X 7), hvor X bin(x;8,0.5) = 2 P(X 7), hvor X bin(x;8,0.5) Spørgsmål VII.2 (12): Beregner man gennemsnit og spredning for de 8 forskelle i hukommelsesforbrug, fås d = 26.5 og s D = Man vil med signifikansniveau 5% teste hypotesen om, at de 2 programpakker bruger lige meget hukommelse mod alternativet at pakke 1 bruger mere. Det antages nu at disse forskelle er normalfordelt. Hvilket af følgende udsagn svarer mest korrekt på spørgsmålet om pakke 1 bruger mere hukommelse? 1 Ja, idet / > = t 0.05 (8) 2 Nej, idet / < = t (7) 3 Ja, idet / < = t 0.05 (7) 4 Ja, idet / > = t 0.05 (7) 5 Ja, idet / > = z Fortsæt på side 9 8

9 Opgave VIII Søsygemidlet dramanin blev testet på 33 personer mens 31 andre personer fik et virkningsløst middel (placebo). Ialt 15 personer blev søsyge, og de fordelte sig som vist i tabellen: Respons Middel søsyg ej søsyg Total dramanin placebo Total Spørgsmål VIII.1 (13): Hvor mange søsyge vil man forvente i henholdsvis dramanin og placebogruppen, såfremt hypotesen om at dramanin ingen effekt har er sand? 1 Dramanin: 15/2 = 7.5 og placebo: 15/2 = Dramanin: 3 33/15 = 6.6 og placebo: = Placebo: 12 31/64 = 5.81 og dramanin: = Placebo: 64/15 = 4.27 og dramanin: = Dramanin: 15 33/64 = 7.73 og placebo: = Spørgsmål VIII.2 (14): Tidligere havde man lavet en tilsvarende undersøgelse med kun 10 personer i alt og følgende resultater: Respons Middel søsyg ej søsyg Total dramanin placebo Total Hvis man igen antager at dramanin ingen effekt har og tilfældigt udtager 6 personer (uden tilbagelægning ) ud af de 10, hvoraf altså 4 blev søsyge og 6 ikke blev søsyge, hvad er så sandsynligheden for at netop en af disse seks udvalgte personer er en af de søsyge? 1 ( 4 6 ( 1)( 5) / 10 ) 6 2 ( 4 6 ( 3)( 3) / 10 ) 6 3 ( 4 6 ( 3)( 3) / 10 ) 4 4 ( 6) ( 1 / 10 ) 6 5 ( 6) (1 0.6) 3 Fortsæt på side 10 9

10 Opgave IX I et forsøg undersøgtes hvor lang tid et givet antal kakerlakker skulle udsættes for en bestemt koncentration af et giftstof, før de alle var døde. For 8 forskellige koncentrationer registreredes denne tid. Nedenfor er angivet de sammenhørende værdier af den naturlige logaritme til tiden og den naturlige logaritme til koncentrationen (målt i passende enheder). x: ln(konc) y: ln(tid) Følgende beregningsstørrelser haves: x = , ȳ = , SS xx = , SS yy = , SS xy = Spørgsmål IX.1 (15): Et estimat for variansen σ 2 af residualerne i den sædvanlige regressionsanalysemodel bliver: / / / Spørgsmål IX.2 (16): 95% konfidensintervallerne for hhv. α og β i den sædvanlige regressionsanalysemodel er: [1.615, 1.877] og [ 1.028, 0.771]. Hvor stor en ln(tid) vil man ca. forvente med en ln(konc)-værdi på 1? = = = exp( ) = Fortsæt på side 11 10

11 Opgave X Holdbarheden for en bestemt type produkter har følgende fordeling (målt i dage): x 0 dage 1 dage 2 dage 3 dage 4 dage f(x) Spørgsmål X.1 (17): Hvad er standardafvigelsen for holdbarheden af sådanne produkter? (afrundet til fire decimaler) Spørgsmål X.2 (18): Man udtager tilfældigt to på hinanden følgende produkter. Hvad er sandsynligheden for at begge produkterne holder i mindst 3 dage? = = = = = 0.6 Fortsæt på side 12 11

12 Opgave XI I et forsøg med marsvin afprøvedes 4 forskellige diæter (A, B, C og D). Forsøget udførtes i 5 perioder, og i hver periode var der 4 marsvin, som fik hver sin af de 4 diæter (fordelt ved lodtrækning på de 4 dyr). I nedenstående tabel ses resultaterne for en sædvanlig analyse af vægttilvæksterne (i gram) af de 20 dyr. DF SS MS F Diæt Periode Fejl Total Spørgsmål XI.1 (19): Hvilket af følgende udsagn udtrykker bedst de konklusioner man kan drage vedrørende vægttilvæksterne ud fra denne tabel? 1 Der er forskel på perioderne, men ikke på diæterne. 2 Der er forskel på diæterne, men ikke på perioderne. 3 Der er ikke forskel på hverken diæter eller perioder. 4 Der er forskel på både diæter og perioder. 5 Ingen af ovenstående gælder. Fortsæt på side 13 12

13 Opgave XII Et studie gennemførtes for at undersøge sammenhængen mellem luftkvalitet (dårlig, acceptabel, god) og lufttemperatur (under middel, middel, over middel). På 200 tilfældigt udvalgte dage registreredes disse to ting, og man fik følgende resultater: Luftkvalitet Temperatur Dårlig Acceptabel God Under middel Middel Over middel Spørgsmål XII.1 (20): Hvilken af følgende metoder er bedst egnet til at analysere, om der er en sammenhæng mellem luftkvalitet og lufttemperatur? 1 Test i antalstabel for uafhængighed 2 Ensidet variansanalyse 3 Parret t-test 4 Tosidet variansanalyse 5 Sign test Fortsæt på side 14 13

14 Opgave XIII En undersøgelse skulle vise hvorledes japanske og australske forbrugere opfatter søde produkter. 31 japanere og 33 australiere gav point til et chokoladeprodukt på en skala fra 1 til 7, og man fik følgende resultater: Point Forbrugere Antal japanske forbrugere Antal australske forbrugere Spørgsmål XIII.1 (21): Efter en rangordning af samtlige 64 tal blev den observerede rangsum for de japanske forbrugere W 1 = og for de australske W 2 = Et Z-test for hypotesen om ingen forskel på de to forbrugertyper kan baseres på følgende teststørrelse: / / / / / /12 4 ( /2) 31 33/ /12 5 ( /2) 31 33/ /12 Spørgsmål XIII.2 (22): Beregner man spredningerne for de hhv. 31 og 33 observationer i hver gruppe fås for japanere s 1 = og for australiere s 2 = Antager man nu at disse point er normalfordelt inden for hver gruppe, bliver resultatet for det sædvanlige test på niveau 2% for hypotesen om ens varianser i de to grupper (to-sidet alternativ) bedst udtrykt ved følgende udsagn: 1 Forkastelse, idet / = < F 0.01 (32,30) 2 Accept, idet / = < F 0.01 (32,30) 3 Forkastelse, idet / = > F 0.01 (32,30) 4 Accept, idet / = < F 0.01 (31,33) 5 Accept, idet / = > F 0.01 (31,33) Fortsæt på side 15 14

15 Spørgsmål XIII.3 (23): De to tabelværdier, der skal bruges for at beregne et 95% konfidensinterval for variansen for japanere er: 1 χ (30) = og χ (30) = χ (30) = og χ (30) = χ (31) og χ (31) 4 F 0.05 (30,32) og F 0.05 (32,30) 5 t (29) = og t (29) = Fortsæt på side 16 15

16 Opgave XIV Hvis sensitiviteten for et bevægelsesaktiveret udendørslys er indstillet korrekt, er det gennemsnitlige antal gange pr. uge lyset bliver aktiveret af egern og andre smådyr 0.5. Over en periode på 2 uger observeres 5 sådanne aktiveringer af lyset. Spørgsmål XIV.1 (24): Hvilket af følgende udsagn svarer bedst på spørgsmålet: Er der grund til at tro, at sensitiviteten er indstillet forkert? 1 Nej, for P(X 5) = 0.996, hvor X Poisson(1) 2 Nej, for P(X 5) = 1.000, hvor X Poisson(0.5) 3 Ja, for P(X 5) = 0.004, hvor X Poisson(1) 4 Nej, for P(X 5) = 0.004, hvor X Poisson(1) 5 Ja, for P(X 5) = 0.000, hvor X Poisson(0.5) Spørgsmål XIV.2 (25): Man beslutter, at fremover vil man genindstille sensitiviteten, såfremt man i løbet af en 4-ugers periode observerer mindst 5 sådanne aktiveringer. Hvad er sandsynligheden for at man efter en 4-ugers periode uden grund giver sig til at genindstille sensitiviteten? = Spørgsmål XIV.3 (26): Hvilken fordeling ville være passende at bruge, hvis man var interesseret i at beskrive ventetiden mellem to aktiveringer? 1 Log-normalfordelingen. 2 Binomialfordelingen. 3 Eksponentialfordelingen. 4 Normalfordelingen. 5 Possion-fordelingen. Fortsæt på side 17 16

17 Opgave XV Herunder ses fire scatterplots af y-målinger mod x-målinger: a) b) y y x x c) d) y y x Spørgsmål XV.1 (27): Hvilke fire korrelationskoefficienter (i rækkefølgen a), b), c), d)) passer bedst med figuren? , 0.99, 0, , 0.99, 0, , -0.99, 0, , -0.99, 0.99, , -0.99, 0.8, 0 Spørgsmål XV.2 (28): Ud fra inspektion af sammenhængen i plot a) i figuren, hvilke estimater for parametrene i den sædvanlig lineære regressionsmodel Y = α + βx + ε passer da bedst? 1 α-estimat: 1, β-estimat: 1 og σ-estimat: α-estimat: 0, β-estimat: 0 og σ-estimat: 1 3 α-estimat: 0, β-estimat: 1 og σ-estimat: 1 4 α-estimat: 0, β-estimat: 1 og σ-estimat: α-estimat: 1, β-estimat: 2 og σ-estimat: 0.1 x Fortsæt på side 18 17

18 Opgave XVI Der afprøvedes fire dækfabrikater på otte biler - hver bil monteredes med et dæk af hver fabrikat. Efter et bestemt antal kørte kilometer i hver bil måltes dæksliddet (i mm) for hvert af de 4 8 = 32 dæk. Betragter man bilerne som blokke og fabrikaterne som behandlinger, oplyses at SS(T r) = 12.29, SS(Bl) = og SST = Spørgsmål XVI.1 (29): I en tosidet variansanalyse af disse data bliver den kritiske værdi for hypotesetestet om ingen forskel på fabrikaterne? 1 F(7,3) 0.05 = F(3,7) 0.05 = F(3,21) 0.05 = F(4,28) 0.05 = F(7,21) 0.05 = 2.49 Spørgsmål XVI.2 (30): Hvis man ser bort fra informationen om, at det er de samme 8 biler, der indgår i hver fabrikatgruppe og analyserer disse data som en ensidet variansanalyse med fire fabrikatgrupper, hvad bliver da den sædvanlige teststørrelse? /3 ( )/ /7 ( )/ /3 ( )/ /3 ( )/21 5 ( )/3 ( )/21 18