Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 23, 2009
|
|
- Randi Hanna Thomsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 3, 009
2 Algorithms and Architectures II. Introduction to analysis and design of algorithms(jmp). Recursive algorithms and recurrences (RLO) 3. Implementation of recursive algorithms (Self study) 4. Sorting algorithms (RLO) 5. Implementation of sorting algorithms (Self study) 6. Hash tables (JMP) 7. Self study - implementation using hash tables (Self study) 8. Red-black trees (JMP) 9. TBD (Self study) 0. Course round-up (JMP)
3 Sortering af data Sortering af data sker mange steder Data baser Regneark Videnskabelig analyse af måle data Flere eksempler på sorteringsalgoritmer Heap sort Organisering af data i såkaldte heaps Quick sort Re-arrangering af data efter valgt pivot punkt Counting sort Baserer sig på antal af specifikke elementer og udnytter specifik viden om data Bucket sort Re-organisering af data i buckets 3
4 Dagsorden To almindelige sorteringsalgoritmer Heap sort Quick sort Lineær versus ulineær sortering Eksempler på sorteringsalgoritmer i lineær tid Counting sort Radix sort Bucket sort Opsummering og konklusion Opgaver 4
5 Hvad er en heap? En (binær) heap er en data struktur der kan karakteriseres som et array med et næsten komplet binært træ A Et array A der representerer sådan en struktur indeholder Længde : length[a] Heap størrelse : heap-size[a] heap-size[a] length[a] Grafisk representation D B E C A B C D E 5
6 Heap specifikke operationer Parent(i) Return(i/) Left(i) Return i Right(i) Return i
7 Max-heap og min-heap Max-heap egenskab A[parent(i)] A[i] Det største element er root elementet, og alle under elementer har værdier mindre end elemente selv Min-heap egenskab A[parent(i)] A[i] Det mindste element er root elementet, og alle under elementer har værdier større end elementet selv Egenskaberne bliver udnyttet i forskellige sammenhæng, f.eks. Prioritetskøer og sorteringsalgoritmer Vi ser på heapsort der udnytter disse egenskaber og kigger på flg. Procedurer Max-heapify: Sikrer vores heap egenskaber bibeholdes, T(n) = O(log(n)) Build-max-heapify: Producerer en max-heap fra et usorteret input, T(n) = O(n) Heapsort algoritme: Sorterer arrayet, T(n) = O(nLog(n)) 7
8 Vedligeholdelse af heap egenskab MAX-HEAPIFY Input til algoritme: et array A og et indeks i til arrayet MAX-HEAPIFY (A, i) L = Left(i) 6 If R heap-size[a] and A[r]>A[largest] R = Right(i) 7 then largest = R 3 If L heap-size(a) and A[L] > A[i] 8 If largest i 4 then largets = L 9 then exchange A[i] with A[largest] 5 else largest = i 0 MAX-HEAPIFY(A, largest) Vi antager de binære træer, med rod i Left[i] og Right[i] er maxheaps A[i] er derimod muligvis mindre end dens undergrene 8
9 Eksempel med Max-heapify Eksempel Heap-size[A] = 0 Initial værdi af A A[] = 4 bryder max-heap egenskabet idet den ikke er større end dens to undergrene Vi skal have flyttet den således vi genskaber/ opnår max-heap egenskab
10 Eksempel Eksempel med Max-heapify # Ved udskiftning med A[4] opnår vi: Genoprettelse/opnåelse af maxheap egenskab for node Vi har nu A[4] = 4 > A[9] Ødelæggelse af max-heap egenskab for node 4 Vi skal have flyttet mere rundt på tingene
11 Eksempel Eksempel med Max-heapify #3 Ved rekursivt kald til max-heapify opnår vi: A[9] = 4, A[4] = 8 Dermed har vi opnået et max-heap egenskab for det binære træ
12 Max-heapify algoritme kompleksitet Eksekveringstiden for max-heapify algoritmen er flg. Θ() for at genoprette forholdet mellem A[i], A[Left(i)] og A[Right(i)] plus tiden for at udføre max-heapify på en af de underliggende knudepunkter De enkelte undergrene har hver maksimalt n/3 elementer værste tilfælde når den sidste række er fyldt helt op (hvorfor det er n/3 er en af dagens opgaver ) Dermed er rekursiviteten givet ved T ( n) T (n / 3) + Θ() Den har vi set før... Og giver T(n) = O(log (n))
13 Konstruering af en heap Vi kan nu benytte os af Max-Heapify til at konvetere et array A[..n] til en max-heap Build-Max-Heap (A) Heap-size[A] = length[a] For i = length[a]/ downto 3 do Max-Heapify (A,i) 3
14 Hvordan Build-Max-heap virker - grafisk Eksempel
15 Hvordan Build-Max-heap virker grafisk # Eksempel
16 Hvordan Build-Max-heap virker grafisk #3 Eksempel
17 Bevis for korrekthed af Build-Max-Heap Eksempel Loop invariant defineres som Ved begyndelsen af hver iteration af For loopet i linie -3, er knudepunkterne i+, i+,... N roden af en max-heap Initialisering af algoritmen: Pga. konstruktionen af en heap bliver elementerne n/ +, n/ +,..., n automatisk klassificeret som endepunkter i træet. Det er det samme som de er rod for et -element stort max-heap. Derfor holder loop invarianten under initialisering af algoritmen
18 Bevis for korrekthed af Build-Max-Heap # Eksempel Vedligeholdelse af algoritmen Bemærk at Undergrenen af den i te knude, er altid nummereret højere end i Undergrenen af den i te knude er altid en rod i en max-heap! Ved start af loop (markeret med blå) er max-heap egenskab opretholdt for undergrene Ved udløb, er det samme gældende nu også fra i () () 8
19 Bevis for korrekthed af Build-Max-Heap #3 Eksempel Terminering: Når i = 0 skal samtlige knudepunkter iflg. Loop invarianten være rod for et max-heap
20 Udførselstid for Build-Max-heap Udførslen af max-heapify er O(log (n)) Max-heapify bliver kaldt O(n) gange, og dermed får vi en øvre grænse for vores kompleksitet på O(nLog (n)) Men, vi kan gøre det bedre! En n-element heap har højden h = Log (n) og allerhøst n/ h+ knuder Tiden for max-heapify kan også skrives som O(h), og så kan vi finde den samlede tidsmæssige pris for udførslen af algoritmen Dermed har vi en kompleksitet på O(n) (men den falder selvfølgelig også under O(nLog (n)). 0
21 Heap sort algoritmen! Endelig Pudsigt nok bygger heap sort på Build-Max-Heap Max-Heapify Algoritmen baserer sig på udskiftning mellem øverste og nederste element og derefter re-etablering af heap egenskabet Heap-sort(A) Build-max-heap(A) Heap sort er en meget anvendt algoritme, bl.a. til prioritets køer som vi ser nærmeret på lidt senere For i = length(a) downto 3 do exchange A[] = A[i] 4 heap-size[a] = heap-size[a] 5 Max-Heapify (A, )
22 Heap sort grafisk gennemgang Eksempel Udgangspunkt efter Build-Max-Heapify
23 Heap sort grafisk gennemgang Eksempel
24 Heap sort grafisk gennemgang Eksempel
25 Heap sort grafisk gennemgang Eksempel
26 Heap sort grafisk gennemgang Eksempel
27 Heap sort - køretid Heap sort proceduren tager O(nLog(n)) Build-Max-Heap(n) = O(n) Max-Heapify(n) = O(Log(n)) (kaldes n- gange) Sammenlign med Quicksort der tager O(n ) Der dog i gennemsnit, O(nLog(n)), har en bedre tid end heap sort Og med merge-sort Θ(nLog(n)) Der dog kræver Ω(n) lager plads mod O() lager plads for heap sort En hybrid af quicksort og heap sort blev udviklet i 997 Algoritmen starter med quick sort og ved en hvis størrelse af rekursivitetsdybden skifter den til heap sort Algoritmen udnytter dermed de bedste egenskaber af heap sort og quick sort 7
28 Eksempel på anvendelse: Prioritets køer En prioritetskø er en datastruktur til vedligeholdelse af et sæt af elementer, hver med en tilknyttet værdi kaldet en nøgle Prioritetskøer anvendes bl.a. Planlægning af jobs i et operativ system Håndtering af data trafik Diskrete event simulatorer Effektiv søgning af korteste sti i en vægtet graf, f.eks. A* algoritmen. Prioritetskøen indeholder, efter prioritet, lovende løsninger der skal efterprøves
29 Hvorfor anvende heaps for prioritets køer? Linked List Binary Tree (Min-)Heap Insert O() O(log n) O(log n) O() Accessmin O(n) O() O() O() Fibonacci Heap Deletemin O(n) O(log n) O(log n) O(log n)* Decreasekey O() O(log n) O(log n) O()* Delete O(n) O(n) O(log n) O(log n)* Merge O() O(m log(n+m)) O(m log(n+m)) O() * værste gennemsnitstid 9
30 Dagsorden To almindelige sorteringsalgoritmer Heap sort Quick sort Lineær versus ulineær sortering Eksempler på sorteringsalgoritmer i lineær tid Counting sort Radix sort Bucket sort Opsummering og konklusion Opgaver 30
31 Quick sort Del-og-hersk type sorteringsalgoritme Del: Opdel arrayet A[p..r] i to del-arrays (potentielt tomme) A = A[p..q-] og A = A[q+..r], således A A[q] A Bemærk det er nødvendigt at finde q som en del af denne process Hersk: Sorter de to del-array ved et rekursivt kald til quicksort Kombiner: Eftersom de sorterede del-arrays er sorteret ved returnering, er kombinering nem: hele arrayet A = [A A ] er sorteret. QUICKSORT (A, p, r) If p < r then q = Partition (A, p, r) 3 Quicksort(A, p, q ) 4 Quicksort(A, q +, r) 3
32 Partitionering af arrayet Nøglen i algoritmen ligger i at dele arrayet op på en smart måde x x > x ubegrænset Valg af et pivot punkt, x, hvormed data bliver sorteret i de respektive områder PARTITION (A, p, r) x = A[r] I = p 3 For j = p to (r ) 4 do if A[j] x 5 then i = i + 6 exchange A[i] A[j] 7 exchange A[i+] A[r] 8 Return i + 3
33 To tilfælde af iterationer Hvis A[j] > x >x x x > x x Hvis A[j] X x > x x x x > x x x > x 33
34 Eksempel på partitionering af et array Eksempel
35 Ydelsen af Quicksort Værste tilfælde Sker når rutinen deler et problem op i et med hhv. n og 0 elementer Antag dette sker i hvert rekursivt kald T(0) = Θ() T(n) = T(n ) + T(0) + Θ(n) = T(n ) + Θ(n) = Θ(n ) Bedste tilfælde Bedste tilfælde sker når problemet deles op i maksimalt n/ elementer Antag dette sker i hver rekursivt kald T(n) T(n/) + Θ(n) = O(nLog (n)) 35
36 Eksempel Gennemsnitsydelsen af quicksort Påstand: Gennemsnitsydelsen er tættere på bedste tilfælde, end på værste tilfælde n cn (/0)n (9/0)n cn Log 0/9 (n) Log 0 (n) (/00)n (9/00)n (9/00)n (8/00)n cn cn T ( n) T (9n /0) + T ( n /0) + cn cn O(nLog(n)) 36
37 Randomiseret version af quicksort Ydelsesanalysen er baseret på at alle permutationer af input muligheder sker med lige stor sandsynlighed I virkelighedens verden er dette oftest ikke tilfældet! Modificering af partitioneringsalgoritmen til RANDOM-PARTITION (A, p, r) i = Random(p, r) Exchange A[r] with A[i] 3 Return Partition (A, p, r) Ideen er at vælge pivot punktet x tilfældigt, i stedet for altid at vælge x = A[r] (det sidste element i input arrayet) 37
38 Ydelse for randomiseret quicksort For værste tilfælde T ( n) = Max = Θ( n I gennemsnit bliver det 0 q n max( cq cn cn ( T ( q) + T ( n q )) + Θ( n) c(n ) + Θ( n) ) + c( n q ) T ( n) = O( nlog( n)) ) + Θ( n) 38
39 Dagsorden To almindelige sorteringsalgoritmer Heap sort Quick sort Lineær versus ulineær sortering Eksempler på sorteringsalgoritmer i lineær tid Counting sort Radix sort Bucket sort Opsummering og konklusion Opgaver 39
40 Sortering i (u)linear tid. Tidligere har vi set på algoritmer der sorterer i O(n ) eller O(nLog(n)) tid Kan vi gøre det hurtigere? Jo, i lineær tid, dvs. T(n) = O(n) Hvad er problemet med tidligere sorteringsalgoritmer? Vi benytter os af sammenligninger, såsom a =a, a >a, a <a, og opnår et beslutningstræ som f.eks. : > :3 :3 > {,,3} :3 {,,3} > :3 > {,3,} {3,,} Med eksemplet opnår vi 3! = 6 mulige slutpunkter {,3,} {3,,} 40
41 Sortering i (u)linear tid. # Udførslen af en sorteringsalgoritme baseret på sammenligning er det samme som en sti gennem sådan et træ Ved hvert blad udføres sammenligningen a i > a j, a i a j Det giver os et sæt af mulige terminerende muligheder Helt præcist med n elementer bliver det n! Længden fra toppen til bunden af et beslutningstræ angiver den værste situation for en sorteringsalgoritme Fordi den i hver gren skal udføre en sammenligning En nedre grænse kan findes for kompleksiteten Følgende er at heap-sort og merge-sort er asymptotisk optimale sorteringsalgoritmer 4
42 Dagsorden To almindelige sorteringsalgoritmer Heap sort Quick sort Lineær versus ulineær sortering Eksempler på sorteringsalgoritmer i lineær tid Counting sort Radix sort Bucket sort Opsummering og konklusion Opgaver 4
43 Counting sort Hvad nu hvis vi ikke benytter os af sammenligninger? Hmmmmm hvordan det? Vi baserer sorteringen på frekvensen (hyppigheden) af tal Vi antager her at vi arbejder med numeriske heltals værdier Counting sort A[..n] : Input array B[..n] : Output array. Vi flytter A over i B (sorteret selfølgelig)! C[0..k] : Midlertidigt array vi benytter til at holde styr på forekomsten af elementer i A Note: så selvom vi kan udføre sorteringen i lineær tid, koster det mere plads i hukommelsen end f.eks. Quicksort! 43
44 Counting sort # COUNTING-SORT (A, B, k) For i = 0 to k 7 For j = length(a) downto do C[i] = 0 8 do B[C[A[j]]] = A[j] 3 For j = to length(a) 9 C[A[j]] = C[A[j]] - 4 do C[A[j]] = C[A[j]] + //Increment the counter 5 For i = to k 6 do C[i] = C[i] + C[i-] //Create incremental index Bemærk: Linjerne 3-4: Her tæller vi hyppigheden af elementer i arrayet A og lægger dem ind i C Linjerne 5-6: Her danner vi et inkrementerende indeks af hyppighederne Linjerne 7-9: Her foretager vi sorteringen vha. indekseringen 44
45 Eksempel på eksekvering - optælling i linje 3-4 Eksempel A A C C 0 0 C C 0 0 C C 0 0 C C C 0 0 Samlet tid: T(n) = Θ(k) 45
46 Dannelse af indeks Eksempel C C Generering af en akkumuleret sum danner vores indeks Samlet tid for generering af indeks: T(n) = Θ(k) Nu kan vi så begynde at sortere ved flytning af A ind i B vha. C B[C[A[j]]] = A[j] i linje A B C
47 Og fortsættelse af indsættelse i B Eksempel B[C[A[j]]] = A[j] i linje A B C A B C
48 Og fortsættelse af indsættelse i B Eksempel B[C[A[j]]] = A[j] i linje A B C A B C
49 Og fortsættelse af indsættelse i B Eksempel B[C[A[j]]] = A[j] i linje A B C A B C
50 Og fortsættelse af indsættelse i B Eksempel B[C[A[j]]] = A[j] i linje A B C Samlet tid: T(n) = Θ(n) 50
51 Egenskaber for counting sort Samlet tid for udførsel af counting sort T(n, k) = Θ(n+k) I praksis har vi at k = O(n), medførende at T(n) = Θ(n) Counting sort har derudover et meget vigtigt egenskab Den er stabil: tal der har samme værdi optræder i samme rækkefølge i output arrayet, som de gjorde i input arrayet Det egenskab kan vi udnytte til en mere avanceret form for sortering 5
52 Dagsorden To almindelige sorteringsalgoritmer Heap sort Quick sort Lineær versus ulineær sortering Eksempler på sorteringsalgoritmer i lineær tid Counting sort Radix sort Bucket sort Opsummering og konklusion Opgaver 5
53 Radix sort - lidt trivia Men først lidt moderne teknologi (ok, så den var moderne i 95) IBMs 80 serie kunne sortere punch cards Type 80: 450 cpm (95) Type 84: 000 cpm (>950) IBM s serie 80 sorterings maskine fra 95 FORTRAN udtryk på punch card form: Z = Y + W IBM s port-a-punch fra
54 Ideen bag radix sort Radix sort baserer sig på at sortere tal ved Først at sortere dem efter mindste ciffer først (enere) Dernæst næst mindste ciffer (tiere) osv. op til det højeste ciffer (hundrede) 54
55 Radix sort Koden for radix sort er simpel RADIX-SORT (A, d) For i = to d do Use Stable Sort to sort Array A on digit i Hvis den stabile anvendte sorteringsalgoritme sorterer på Θ(n+k) tid, så sorterer radix sort på Θ(d(n+k)) Hvis d er konstant og k = O(n) sorterer radix i lineær tid! Givet n b-bit numre og for ethvert positiv heltal r b, sorterer radix-sort korrekt på Θ((b/r)(n+ r )) tid 55
56 Dagsorden To almindelige sorteringsalgoritmer Heap sort Quick sort Lineær versus ulineær sortering Eksempler på sorteringsalgoritmer i lineær tid Counting sort Radix sort Bucket sort Opsummering og konklusion Opgaver 56
57 Bucket sort Baserer sig på et koncept om at inddele data i passende buckets og sortere de enkelte buckets Efter sortering i de enkelte buckets grupperes resultaterne i et dermed sorteret array COUNTING-SORT (A) n = length(a) For i = to n 3 do insert A[i] into list B[[nA[i]] 4 For i = 0 to n - 5 do sort list B[i] with insertion-sort 6 Concatenate lists B[0], B[],, B[n-] in order 57
58 Eksempel Bucket sort - eksempel A B / / / / / / / 0.7 / / 0.78 / C
59 Bucket sort - tidskompleksitet Antager at input er tal genereret af en stokastisk process, der distribuerer data uniformt i intervallet [0, ) Samtlige kode linjer tager O(n) tid, med undtagelsen af kaldet til Insertion-Sort der som sagt tager O(n ) tid Men hvordan kan vi sige en algoritme kører i lineær tid, O(n), når selve sorteringen sker i kvadratisk tid, O(n )? Det kan vi i princippet heller ikke, men vi kan sige den kører i forventet lineær tid, Θ(n) 59
60 Det var så det, eller.??? 60
61 Dagsorden To almindelige sorteringsalgoritmer Heap sort Quick sort Lineær versus ulineær sortering Eksempler på sorteringsalgoritmer i lineær tid Counting sort Radix sort Bucket sort Opsummering og konklusion Opgaver 6
62 Opsummering og konklusion Sorteringsalgoritmer i ulineær tid Heap sort (O(nLog (n)) Quick sort (Θ(n ), men typisk O(nLog (n)) Sorteringsalgoritmer i lineær tid Counting sort (Θ(n+k), men typisk O(n)) Radix sort (afhængig af sorteringsalgoritme, men ved f.eks. Counting sort, kan man opnå at T(n) = O(n)) Bucket sort (gennemsnitligt O(n), men egentlig O(n )) Husk også der er flere parametre end tid, f.eks. hukommelsesforbrug der spiller ind i valget af algoritme 6
63 Dagsorden To almindelige sorteringsalgoritmer Heap sort Quick sort Lineær versus ulineær sortering Eksempler på sorteringsalgoritmer i lineær tid Counting sort Radix sort Bucket sort Opsummering og konklusion Opgaver 63
64 Opgaver Redegør for hvorfor den største undergren i en heap er n/3 (slide ) Lav en implementering af en, eller flere af de nævnte algoritmer og prøv at måle tider på udførsel af algoritmerne Prøv at lave meget store arrays (f.eks. Ved brug af tilfældighedsgenerator til generering af data til test) Formål: at få en praktisk fornemmelse for algoritme kompleksitet Øvelse 6.-3, 6.-6, 6.-, 6.3-, 6.4-, 6.5-, 6.5- Øvelse 7- Øvelse
Mm6: More sorting algorithms: Heap sort and quick sort - October 29, 2008
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm6: More sorting algorithms: Heap sort and quick sort - October 9, 008 Algorithms and Architectures II. Introduction
Læs mereMm7: A little bit more about sorting - and more times for exercises - November 4, 2008
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm: A little bit more about sorting - and more times for exercises - November 4, 2008 1 Algorithms and Architectures
Læs mereSortering i lineær tid
Sortering i lineær tid Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel. Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel.
Læs mereAlgorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm3: More about recurrences - October 10, 2008
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm3: More about recurrences - October 10, 2008 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis and
Læs mereSortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:
Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 5n 4. logn. n 4n 5 n/logn. n n/logn 5n
Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) n er O(n 7 )? (logn) er O( n)? n(logn) er O(n)? n er O( n )? n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med
Læs mereSortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Læs mereSortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Læs mereAlgorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 12, 2010
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 12, 2010 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis and design of algorithms
Læs mereSortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Læs mereSortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering 1 / 36 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Læs mereSortering ved fletning (merge-sort)
Sortering 1 Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4 4 9 7 7 2 2 9 9 4 4 2 Del-og-hersk Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data S i to disjunkte
Læs merePrioritetskøer og hobe. Philip Bille
Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af
Læs mereAlgorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 10, 2008
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 10, 2008 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet. Mandag den 22. marts 2004, kl
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1 Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den. marts 00, kl..00 11.00 Navn Gerth Stølting Brodal Årskort 1 Dette eksamenssæt består af en kombination
Læs mereAlgoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012
Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Torsdag den 26. marts 2009, kl.
Læs mereSortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort
Sortering Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4! 2 4 7 9 7 2! 2 7 9 4! 4 9 7! 7 2! 2 9! 9 4! 4 1 2 Del-og-hersk Merge-sort Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data
Læs mereSkriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 7 n 1 7 7/n. 7nlogn. 7n 7nlogn n7
Side af 0 sider Opgave (%) Ja Nej /n er O(n )? n (logn) er O(n 3 )? n + n er O(3 n )? n er O((logn) 3 )? nlogn er Ω(n)? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen:
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen (bemærk at log n betegner totals logaritmen): n 2 (log n) 2 2.
Eksamen august Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) n + n er O(n )? n / er O(n / )? n er O(n log n)? n er O((log n) )? n er Ω(n )? Ja Nej Opgave (%) Opskriv følgende funktioner
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n
Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner
Læs mere1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer
1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer på disse. Typer af lister: Array Enkelt linket liste Dobbelt linket Cirkulære lister Typer af køer: FILO FIFO
Læs mereAlgoritmeanalyse. Øvre grænse for algoritme. Øvre grænse for problem. Nedre grænse for problem. Identificer essentiel(le) operation(er)
Algoritmeanalyse Identificer essentiel(le) operation(er) Øvre grænse for algoritme Find øvre grænse for antallet af gange de(n) essentielle operation(er) udføres. Øvre grænse for problem Brug øvre grænse
Læs mereDM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006
DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte
Læs mereSøgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning
Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]
Læs mereInvarianter. Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af) dens udførelse. Udgør ofte kernen af ideen bag algoritmen.
Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af) dens udførelse. Udgør ofte kernen af ideen bag algoritmen. Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af)
Læs mereAlgorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 11, 2010
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 11, 2010 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis and
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n+logn logn (logn) 7 (3/2) n
Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O( n )? n er O(log n)? n er O(n )? n + er O(0n)? nlogn er O(n / )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: nlogn logn
Læs mereSøgning og Sortering. Philip Bille
Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 7 n 1/ log n. (log n) 4
Eksamen august 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) n er O(n )? n(log n) er O(n )? n n + (log n) er O(n )? n er O(n )? n er Ω( n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner
Læs mereOpgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )?
Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) I det følgende angiver log n -tals-logaritmen af n. n+n er O(n)? n 6 er O(n )? nlogn er O(n /logn)? n er O(n )? n er O(n )?
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereDM507 - Algoritmer og datastrukturer
- Algoritmer og datastrukturer Køretid g(n) Udtryk Beskrivelse lim n f(n) o(f) Vokser langsommere end f = 0 O(f) Vokser højst så hurtigt som f < Θ(f) Vokser som f = c(c > 0) Ω(f) Vokser mindst så hurtigt
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille (priority-queues). Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX():
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereAlgoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun
Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun 1 Analyse af algoritmer Input Algoritme Output En algoritme er en trinvis metode til løsning af et problem i endelig tid 2 Algoritmebegrebet D.
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereMm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 7, 2008
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 7, 2008 Algorithms and Architectures II 1. Introduction
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille
Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX(): returner og fjern
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 4 n n 3n n 2 /logn 5 n n (logn) 3n n 2 /logn 4 n n 5 n
Side af 0 sider Opgave (%) Ja Nej n er O(0n logn)? n er O(n )? n +n er O(n )? n logn er O(n )? n logn er O(n)? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 7. august 009, kl.
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet
Side af 1 sider Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1 Datalogisk Institut Aarhus Universitet Dette eksamenssæt består af en kombination af små skriftlige opgaver og multiplechoice-opgaver. Opgaverne
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 3/2. n logn (3/2) n. 2 3logn (3/2) n
Side af 0 sider Opgave (4%) Ja Nej n er O(n / )? n +n er O(n )? (logn) er O( logn )? n er O()? /n er O(logn)? Opgave (4%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: logn
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 2 2 n 1/n (logn) n. n 2
Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n n)? n er O(n+n )? ( n ) er O( n )? logn er O(n / )? n +n er O(n)? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn)
Læs mereSøgning og Sortering. Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering. Philip Bille
Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering Philip Bille Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 16. august 2013,
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer (af samme type). 2. Løs delproblemerne ved rekursion (dvs. kald algoritmen
Læs mereSkriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 6. juni 2016, kl. 15:00 19:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereGrådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4
Eksamen. kvarter 00 Side 1 af sider Opgave 1 ( %) Ja Nej n log n er O(n / )? n 1/ er O(log n)? n + n er O(n )? n( n + log n) er O(n / )? n er Ω(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende funktioner efter stigende
Læs mereMm8: Hash tables, Hashing and binary search trees - November 7, 2008
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm8: Hash tables, Hashing and binary search trees - November 7, 2008 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction
Læs mere22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.
22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi. Algoritmer og Datastrukturer 1 (2003-ordning)
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 10. august 2012, kl. 9.00-11.00 Eksamenslokale: Finlandsgade
Læs mere02105 Eksamensnoter. Lasse Herskind S maj Sortering 3
02105 Eksamensnoter Lasse Herskind S153746 12. maj 2017 Indhold 1 Sortering 3 2 Analyse af algoritme 4 2.1 Køretid.......................................... 4 2.2 Pladsforbrug.......................................
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre
Læs mereMinimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET. Science and Technology EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi. Algoritmer og Datastrukturer 1 (2003-ordning)
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 Eksamensdag: Tirsdag den 7. juni 16, kl. 9.-11. Tilladte medbragte
Læs mereAlgorithms & Architectures I 2. lektion
Algorithms & Architectures I 2. lektion Design-teknikker: Divide-and-conquer Rekursive algoritmer (Recurrences) Dynamisk programmering Greedy algorithms Backtracking Dagens lektion Case eksempel: Triple
Læs mereAlgoritmisk geometri
Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereA Comparative Analysis of Three Different Priority Deques af: Søren Skov & Jesper Holm Olsen
A Comparative Analysis of Three Different Priority Deques af: Søren Skov & Jesper Holm Olsen Agenda: Hvad er en Priority Deque? Hvad kan det bruges til? De tre datastrukturer: MinMax-heap The Deap (påpeget
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tretten) Eksamensdag: Tirsdag den 8. april 2008,
Læs mereBinære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo
Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereIntroduktion. Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3. Philip Bille
Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Philip Bille Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Algoritmer
Læs mereIntroduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal
Philip Bille Algoritmer og datastrukturer Algoritmisk problem. Præcist defineret relation mellem input og output. Algoritme. Metode til at løse et algoritmisk problem. Beskrevet i diskrete og entydige
Læs mereMålet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt.
Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer (2. semester). Mål
Læs mereDivide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 5. 5n 2 5 logn. 2 logn
Eksamen august 0 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) n +n er O(n )? Ja Nej n er O(n )? n+n er O(n. )? n+n er O(8n)? n logn er O(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 7 n 1/2 2 n /n 3 2logn n 2 /logn
Eksamen august 0 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) n er Ω(n)? n er O( n )? n er O(8logn)? + er O(n)? n er O(n / )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner efter stigende
Læs mereIntervalsøgning. Algoritmisk geometri. Motivation for intervaltræer. Intervalsøgning. Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed
Algoritmisk geometri Intervalsøgning 1 2 Motivation for intervaltræer Intervalsøgning Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Vi kan
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 26. maj 2009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning
Læs mereDatastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå
Dictionaries Datastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data (ofte underforstået, også
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereMartin Olsen. DM507 Projekt Del I. 19. marts 2012 FOTO: Colourbox
Martin Olsen DM0 Projekt 0 Del I. marts 0 FOTO: Colourbox Indhold Indledning... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Kildekode til SimpleInv.java... Kildekode til MergeSort.java...
Læs mereMålet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt.
Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer
Læs mereAlgoritmer og invarianter
Algoritmer og invarianter Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker. Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker.
Læs mereBRP Sortering og søgning. Hægtede lister
BRP 18.10.2006 Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister 7. Øvelser:
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Torsdag den 21. marts 2013,
Læs mereBinære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille
Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor
Læs mereMM4. Algoritmiske grundprincipper. Lister, stakke og køer. Hash-tabeller og Træer. Sortering. Søgning.
MM Algoritmiske grundprincipper. Lister, stakke og køer. Hash-tabeller og Træer. Sortering. Søgning. MM MM MM MM MM Sortering Sorteringsalgoritmer : Virkemåde og anvendelser Kompleksitet Algoritmen Sorteringsalgoritmer
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 1. april 200, kl..00-11.00
Læs mereAnalyse af algoritmer
Analyse af algoritmer Analyse af algoritmer Køretid Pladsforbrug Asymptotisk notation O, Θ og Ω-notation. Eksperimentiel analyse af algoritmer Philip Bille Analyse af algoritmer Analyse af algoritmer Køretid
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereMindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereBinære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo
Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):
Læs mereAlgorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm8: Hash tables og Hashing - November 10, 2010
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm8: Hash tables og Hashing - November 10, 2010 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis and design of algorithms (RLO
Læs mere