Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
|
|
- Karina Lorenzen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
2 Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler Cykloider
3 VEKTORFUNKTIONER Vektorfunktioner er et meget bredt begreb, der som specialtilfælde bl.a. har vores almindelige funktioner, funktioner af flere variable samt de parameterfremstillinger, vi er stødt på under Vektorgeometri. Og det er specielt sidstnævnte, vi skal arbejde med inden for emnet. Vi begynder dog generelt: Centrale begreber Definition 1: En vektorfunktion er en funktion f : U V, der afbilder fra en mængde U til en mængde af vektorer V. Vektorfunktioner returnerer altså vektorer. Disse vektorer kan have, 3 eller flere koordinater. Vi skal kun se på vektorfunktioner, der returnerer vektorer med eller 3 koordinater, da vi kun arbejder i planen eller rummet. Hvis U, dvs. hvis vi afbilder fra en delmængde af de reelle tal, kalder vi det ofte for parameterfremstillinger og kalder skalaren (tallet) for parameteren. Selv hvis U er en mængde af vektorer, kan man dog tale om parameterfremstillinger, hvor der i så fald er flere parametre (jf. parameterfremstillingen for en plan i rummet). Eksempel 1: Vektorfunktionen : f V givet ved x t 4 3t 4 3 f t y t 1 5t 1 t 5 ; t z t 7 t er parameterfremstillingen for en ret linje i rummet, der går gennem punktet (4,1,-7) og hvor r 5 1 en retningsvektor for linjen. er Bemærk de forskellige skrivemåder. Der er ikke forskel på, om man skriver: f t t eller x 43t y 1 5 t z 7 t eller xt 4 3 y t 1 t 5. z t 7 1 Pointen er, at hver koordinat til linjens punkter er en funktion af parameteren t. x( s, t) 3 s t 7 Eksempel : Vektorfunktionen g : U V givet ved g s, t kan siges at y( s, t) log( t) 5 s t afbilde vektorer st, over i vektorer x, yi planen, eller man kan sige, at man har parametrene s og t.
4 Betegnelse: Funktionerne, der beskriver hvordan de enkelte koordinater afhænger af parametrene, dvs. x t 4 3 t, y t 1 5 t, z t 7 t, x s, t 3s t 7 og y s, t log( t) 5s t, kaldes for koordinatfunktioner. I forskellige sammenhænge kan det være en fordel af dele vektorfunktionen op i de enkelte koordinatfunktioner og arbejde med hver af disse for sig. Hvis vi arbejder med vektorfunktioner, hvor U, kan vi definere følgende: Definition : Hvis vektorfunktionen f : t V har differentiable koordinatfunktioner, er den afledede x' funktion f ' t y ' t bestemt som vektorfunktionen, der fremkommer ved, at hver koordinatfunktion... differentieres for sig (uanset antallet af koordinatfunktioner). For alle værdier t 0, hvor koordinatfunktionerne er differentiable, kan man desuden bestemme x' t0 differentialkvotienten i t 0 ved f ' t0 y ' t0.... Den afledede funktion er altså en vektorfunktion. Differentialkvotienten i t 0 er en vektor. Hvis differentialkvotienten i 0 tangentvektor til grafen for f i f t 0. Den linje, der går gennem f t 0, og hvor ' 0 grafen for f i f t 0. t er en egentlig vektor (dvs. hvis den ikke er nulvektoren), kaldes ' f t en f t er en retningsvektor for linjen, kaldes for tangenten til Hvis vi arbejder med stedfunktioner, kan vi desuden definere følgende størrelser: Definition 3: Hvis parameteren t i vektorfunktionen s: V kan betragtes som tiden, og hvis st er en stedfunktion, der angiver et objekts placering til tiden t, og hvis s har koordinatfunktioner, der er to gange differentiable, kan man indføre følgende størrelser: v t s ' t kaldes hastighedsfunktionen. ' v t0 s t0 kaldes hastigheden til tiden t 0. s ' t v t kaldes farten til tiden t ' '' a t v t s t kaldes accelerationsfunktionen. ' '' a t0 v t0 s t0 kaldes accelerationen til tiden t
5 Plot i Maple: Man kan plotte parameterkurver med koordinatfunktioner i Maple på følgende måde: Funktionen defineres med vektornotation, og man plotter efterfølgende hver koordinat for sig, dvs. indekset skal skrives med ctrl+shift+"underscore" svarende til det første af disse symboler Linjer med ikke-jævn bevægelse: Vi har i forbindelse med Vektorgeometri set en hel del rette linjer angivet ved parameterfremstillinger, der kunne fortolkes som en bevægelse med konstant hastighed (jævn, retlinet bevægelse). Vi ser nu på en retlinet bevægelse, der ikke er jævn. x Eksempel: l : t ; t y 7 Vi ser først på et plot i Maple: Grafen er en ret linje, og vi kan altså ikke skelne den fra vores andre parameterfremstillinger, når vi alene kigger på grafen. Man kunne også se dette, hvis man omformede parameterfremstillingen til en ligning: 3 3 x 4 3 x 4 x x 4 6t t Indsættes: y 7 t 7 7 y x Vi har som forventet fået ligningen for en ret linje. Men lad os nu se på hastighed og acceleration: x' t 63t 18t vt s ' t y' t 3t 6t x'' t 36t at s '' t y'' t 1t Både hastigheden og accelerationen afhænger af tiden, dvs. vi har ikke en bevægelse med konstant hastighed. 4
6 Cirkler Jævn cirkelbevægelse: Vi ser på parameterfremstillingen for en jævn cirkelbevægelse: OP OC CP t t x a cos r y b sin Hvis vi kun ønsker at bevæge os én omgang rundt på cirklen, lader vi parameteren t løbe fra 0 til. Men vi kan også bare lade t og dermed regne med uendeligt mange omløb. Eksempel: Vi kan tegne en cirkel med centrum i (,-3) og radius 4 i Maple ved: Dette er den mest simple form at angive en cirkel på. Hvis man også gerne vil kunne regulere hastighed og begyndelsessted, skal man udnytte vores resultater fra trigonometriske funktioner, hvor vi husker: f t A sin t. er vinkelhastigheden, der er forbundet med farten v ved v er fasen, der forskyder startstedet. A er amplituden, når man arbejder med trigonometriske funktioner. r, hvor r er radius i cirklen. Vi er kun interesserede i hastigheden og arbejder derfor i det følgende kun med tilføjelse af vinkelhastigheden: s t sin x t a cos t r y t b sin t x ' t r sin sin t vt s ' t r y ' t r cos t cos t t cos v t r t t r Vi regner her vinkelhastigheden og radius som positive størrelser. Egentlig kan man godt lade vinkelhastigheden være negativ, hvis man have bevægelsen til at løbe med uret, men det ser vi ikke på her. Vi har altså "genfundet" vores kendte resultat, at v r. 5
7 Accelerationen bliver så: t x'' r cos t at s '' t y'' t r sin t cos t a t r r sin t Vi har altså fundet farten og størrelsen af accelerationen. Begge er konstante. Vi kan finde retningerne af hastighedsvektoren og accelerationsvektoren i forhold til CP (bemærk: det er altså IKKE i forhold til stedfunktionen, da centrum for cirklen ikke er i origo) ved at kigge på vektordelene i udtrykkene, hvor det ses, at: sin t cos t cos t sin t og cos t sin t sin t cos t Dvs. v er fremkommet ud fra CP ved at dreje denne 90 mod uret og gange med en faktor. Og a fremkommer så ud fra v ved at dreje denne 90 mod uret og gange med en faktor. Hastigheden bliver altså en tangentvektor til cirklen i P, og accelerationsvektoren peger fra P mod centrum. Ikke-jævn cirkelbevægelse: Vi kan lige som ved den retlinede bevægelse gøre bevægelsen ikke-jævn ved at ændre parameteren t, hvorved farten og accelerationens størrelse ikke længere vil være konstante. 6
8 Epicykler Under forløbet om Verdensbilleder stødte I på de såkaldte epicykler, der er cirkelbevægelser omkring et centrum, der selv bevæger sig i en cirkelbevægelse omkring et andet centrum. Den slags bevægelse kan beskrives ved parameterkurver: Vores objekts position beskrives ved punktet P. Det bevæger sig jævnt rundt i den lille røde cirkel med centrum C med vinkelhastigheden. Radius i den lille, røde cirkel kaldes r. Centrum C bevæger sig selv jævnt rundt i den store, sorte cirkel med vinkelhastigheden 1. Radius i den store cirkel kaldes r 1. Vi lader t være vores parameter (tiden) og antager, at der ikke er nogen faser. Vi får så: OC 1 C C a b a cos t 1 1 r1 b sin 1 t x cos t CP r y sin t Og dermed har vi parameterfremstillingen: x a cos 1 t cos t r1 r y b sin 1 t sin t 7
9 Eksempel: Vi ser på et konkret eksempel på en epicykelbevægelse og plotter den i Maple: x cos 0.1t cos 1.3t 10 3 ; t y 3 sin 0.1t sin 1.3t Man kan bl.a. bemærke sløjfebevægelse (retrograd bevægelse). Eksempel: Hvis vi gør farten i den lille cirkelbevægelse mindre end i den store, forsvinder sløjfebevægelsen: x cos 0.1t cos 0.3t 10 3 ; t y 3 sin 0.1t sin 0.3t Øvelse: Forsøg ved at justere på r 1, r, 1 og at danne en ellipse, et kvadrat, en excentrisk cirkel eller andre figurer. 8
10 Snurretoppen Tivolis forlystelse Snurretoppen er et eksempel på en epicykelbevægelse, men den afviger fra ovenstående eksempler ved at have forskellige omløbsretninger. Bevægelsen i den store cirkel er mod uret (positiv omløbsretning), mens den er med uret i den lille (negativ omløbsretning). På øjemål vurderes radius i den store cirkelbevægelse at være r 5m, mens radius vurderes til rl m i den lille cirkelbevægelse. Omløbstiden i den store cirkelbevægelse måles til T 6,6s og i den lille cirkelbevægelse er T 4,0s. Da vi kender omløbstiden, kan vi beregne vinkelhastighederne (vi regner videre uden enheder): s 0,95 l 1,57 6,6 4,0 T s Vi placerer centrum i den store cirkelbevægelse i O 0,0, og får så stedfunktionen (bemærk at vi får vendt omløbsretningen i den lille cirkel ved at skifte fortegn på vinkelhastigheden): x t cos 0.95 t cos 1.57 t st 5 ; t 0,10 y t sin 0.95 t sin 1.57 t min.) s s T l (Turens varighed sættes til l Ovenstående to grafer viser altså banerne for bevægelsen, men hvis man skal forstå oplevelsen af forlystelsen, er det mere hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen, man skal kigge på: x ' t sin 0.95 t sin 1.57 t vt s ' t 4, 75 3,14 y ' t cos 0.95 t cos 1.57 t x '' t cos 0.95 t cos 1.57 t at s '' t 4,515 4,998 y '' t sin 0.95 t sin 1.57 t 9
11 Hastighedsfunktionen Accelerationsfunktionen Disse grafer giver os sted, hastighed og acceleration som vektorer, dvs. vi kan både se størrelse og retning. Det får vi brug for lige om lidt, men lad os først se på farten og størrelsen af accelerationen: Først farten: Farten ligger altså på hele turen mellem ca. og 8 m/s. Vi ønsker nu at finde de steder, hvor farten er henholdsvis størst og mindst, og vi kigger kun på intervallet [0s,3s], da funktionen er periodisk. Vi har her undersøgt, hvor den afledede funktion har nulpunkter, og da vi har en graf, vi kan sammenligne med, kan vi konkludere, at farten er størst, når t 1,47s og mindst når t,493s. 10
12 Så accelerationen: Accelerationens størrelse ligger altså mellem en værdi tæt på tyngdeaccelerationen og nul. Vi vil nu se på, hvor accelerationens størrelse er størst og mindst, og igen kan vi nøjes med at kigge på intervallet [0s,3s]. Sammenholdt med grafen ser vi altså, at accelerationen er mindst efter 1,47s og størst efter,493s. Efter 1,47s gælder altså: Farten er størst, men accelerationen er mindst. Efter,493s gælder altså: Farten er mindst, men accelerationen er størst. Vi skal nu se, hvor vi er henne i bevægelsen til disse to tidspunkter: Det er altså, når man bevæger sig ind over midten, at farten er størst og accelerationen mindst, dvs. på dette tidspunkt skulle man næsten ikke mærke et tryk i ryggen. Når man er ude i siden, er farten mindst, men accelerationen størst, dvs. det er ude i siderne, man kan mærke det største pres i ryggen fra stolen. 11
13 Ellipser Udvidelsen fra cirkler til ellipser er forholdsvis simpel. Man skal blot anvende forskellige "radier" for de to koordinatfunktioner: x x a cos t 0 y y0 b sin t Den største af koefficienterne a og b (normalt vælger man at lade a være størst) angiver så den halve storakse, mens den mindst angiver den halve lilleakse. Eksempler på ellipser: I forbindelse med vores arbejde med isometrier, har vi set på rotation af en graf. Vi skal nu se, hvordan vi kan anvende matrix-regning til dette. Metoden er sådan set præcis den samme, dvs. vores bevis holder stadigvæk, det er bare hurtigere at udføre med matrixregning: Man skal i dette tilfælde benytte følgende regneregel: a11 a1 b1 a11 b1 a1 b a a b a b a b Eksempel: Man roterer med vinklen v omkring origo O 0,0 ved at gange med matricen cos sin v v sin cos v v. 1
14 I forrige eksempel er gt fremkommet ved udregningen: cos sin cos 5 cos sin sin 6 6 t t 5 cos t 6 6 sin t sin cos sin 5 cos t cos sin t Efter dette mangler man bare at flytte centrum til 3,3 Man kan lade Maple foretage denne udregning ved at benytte prikken kendt fra prikproduktet. Parabler Vi ved, at parabler er grafer for funktioner med forskrifter af typen f x ax bx c Det er meget nemt at overføre dette til en parameterfremstilling, da man bare kan lade vores parameter t være identisk med variablen x og derefter angive y-koordinaten som funktion af t. 1 f x x 3x 7. Eksempel: Vi ser på parablen, der er graf for funktionen t x En parameterfremstilling er så: 1 y t 3 t 7 13
15 Dette eksempel er ikke særlig interessant, da parameterfremstillingen i dette tilfælde er mere kompliceret end funktionsforskriften. Men lige som i alle andre tilfælde, kan man i parameterfremstillingen beskrive en bevægelse ved at lade parameteren t fungere som tiden. Man kan forskyde parablen op eller ned ad y-aksen ved bare at lægge et tal til den anden koordinatfunktion. Hvis man vil forskyde langs x-aksen, et det den første koordinatfunktion, man skal lægge et (positivt eller negativt) tal til. Hvis man i stedet multiplicerer med et tal ændrer parablen form: Eksempel: Vi ser på en parabel, der først forskydes lodret, derefter vandret og endelig ændres til en ny parabel: f t t t 3t5 f t t t 3t 5 7 f t t t 5 3t5 f t t 3t 3t5 14
16 Vi kan spejle grafen omkring y-aksen ved at ændre fortegn på den første koordinatfunktion, og vi kan spejle grafen omkring x-aksen ved at ændre fortegn på den anden koordinatfunktion. Vi skal nu se på et eksempel fra fysik. Eksempel: Vi ser på en bevægelse i tyngdefeltet uden luftmodstand. Den vandrette bevægelse er en bevægelse med konstant hastighed, mens den lodrette bevægelse er en bevægelse med konstant acceleration (tyngdeaccelerationen). Vi ser på et spydkast sluppet i højden m og en kastevinkel på 4. Farten er fra start 0m/s. Dette giver os følgende parameterfremstilling: vx,0 t x0 0 cos(4 ) t 0 x 0 cos(4 ) t 1 1 y g t v, sin t 0 sin 4 t y t y t t Ved at kigge på koordinatfunktionerne kan man efterfølgende regne sig frem til, hvornår spyddet er højest oppe og hvornår det rammer jorden. Eksempel: Vi kan også ret nemt vende parablen ved at bytte rundt på koordinatfunktionerne: 1 x t 3 t 7 y t 15
17 Eksempel: Endelig kan man rotere en parabel omkring origo (her med 50 ): t. t Vores parabel har forskriften: f x x, dvs. vores parameterfremstilling bliver: gt Nu roterer vi: cos 50 sin 50 t cos 50 tsin 50 t sin 50 cos 50 t sin 50 tcos 50 t 16
18 Cykloider Cykloider er banekurver frembragt af et punkt på en cirklen, når cirklen triller hen ad en ret linje. På følgende figur er parameteren t vinklen målt i radianer, dvs. at det fine, røde stykke på cirklen er t r, da cirklens radius er r: Som det fremgår af figuren, er parameterfremstillingen for en cykloide: t x r t sin t t sin t r y r 1cos t 1 cos Eksempel: Vi ser på et eksempel med radius 3: 17
19 18
20 19
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit
Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereLavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f
Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereBevægelse i to dimensioner
Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013
Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereEksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo!
Eksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo! Eksemplet er hentet fra side 122 i bogen "Counterexamples
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereMatematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:
Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer
VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas
UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus
Læs mereINTRODUKTION TIL VEKTORER
INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Steffen Podlech 3F Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereVejgeometri. Erik Vestergaard
Vejgeometri Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, Haderslev 007 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk 3 Indholdsfortegnelse. Indledning... 5. Plane kurver... 5. Parametriserede
Læs mereINERTIMOMENT for stive legemer
Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet
Læs mereM A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereVektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereKinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:
K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereParameterkurver. Kapitel 7:
Kapitel 7: Parameterkurver 7 Oversigt af tegning af parameterkurver... 116 Oversigt over tegning af parameterkurver... 117 Forskelle mellem tegning af parameterkurver og funktioner... 118 I dette kapitel
Læs mereProjekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser
Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes
Læs mereProjekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!
Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 og maj-juni 12/13 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC-Nordvest Uddannelse Fag og niveau
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 3
Grundlæggende matematiske begreber del 3 Ligninger med flere variable Ligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse LIGNINGER MED FLERE VARIABLE... 3 Ligninger med flere
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mere