Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen"

Transkript

1 Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen

2 Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres. Indholdet er eskttet ifølge gældende lov om ophvsret. Alle rettigheder foreholdes. 008 Søren Toftegrd Olsen Få et GRATIS eksemplr på

3 Indhold BRØKREGNING... REDUKTION... 6 LIGNINGER... 0 POTENS-REGNING... ROD-UDDRAGNING... 6 NUMERISK VÆRDI... 8 ENHEDSCIRKLEN... 9 SINUS, COSINUS OG TANGENS... 0 RETVINKLET TREKANT... VILKÅRLIG TREKANT... 5 RUMFANGS-BEREGNING... LINIE... 5 TREKANT... 6 CIRKEL... 0 FUNKTION OG GRAF... LINEÆRE FUNKTIONER.... GRADS-POLYNOMIER... 7 TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER... 5 HARMONISK SVINGNING... 5 OMSKRIVNING AF SINUS OG COSINUS... 5 EKSPONENTIAL-FUNKTIONER LOGARITME-FUNKTIONER POTENS-FUNKTIONER... 6 SAMMENSAT FUNKTION... 6 OMVENDT FUNKTION GRADS-LIGNING LINEÆRT LIGNINGSSYSTEM TRIGONOMETRISKE GRUNDLIGNINGER... 7 SPECIELLE LIGNINGER ULIGHED BRØK-ULIGHED TRIGONOMETRISK ULIGHED DOBBELT-ULIGHED VEKTORBESKRIVELSE... 8 VEKTOR-ALGEBRA HJÆLPE-STØRRELSER GRÆNSEVÆRDI DIFFERENTIALKVOTIENT FUNKTIONS-OVERSIGT (f )... 0 REGNEREGLER (f )... 0 EKSTREMUMSPUNKTER ASYMPTOTER FUNKTIONS-UNDERSØGELSE INTEGRALREGNING... FUNKTIONSOVERSIGT (F)... REGNEREGLER (F)... 5 Mtemtiske smoler... 8 Stikord... 0

4 Alger BRØKREGNING Brøk Tæller Nævner og er tl 8 EKSEMPEL: Fortegnsregler Hvis mn gnger eller dividerer to tl med forskelligt fortegn liver resulttet negtivt. Hvis fortegnene er ens liver resulttet positivt. 8 EKSEMPLER: ( ) Forlænge eller forkorte en røk Brøken ændrer ikke værdi, hvis mn gnger eller dividerer med det smme tl i tæller og nævner. : : EKSEMPEL: EKSEMPEL: : 8 8 :

5 Alger Gnge en røk med et tl Mn gnger en røk med et tl, ved t gnge tælleren med tllet og eholde nævneren. EKSEMPEL: Gnge en røk med en røk Mn gnger en røk med en røk, ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner. d d EKSEMPEL: Addition og sutrktion f røker Brøker med smme nævner kn lægges smmen, ved t ddere røkernes tæller og eholde nævneren. En lignende regel gælder for sutrktion. n n n n n n EKSEMPLER: EKSEMPEL:

6 5 Alger Dividere en røk med en røk Mn dividerer en røk med en røk, ved t gnge med den omvendte. d d : kn også skrives d d BEVIS d d d d d d d d : q.e.d.* ) *) q.e.d.: (Ltin) quod ert demonstrndum, hvilket etder Som skulle vises EKSEMPEL: : Kurt, hvorfor vr du her ikke i sidste mtemtiktime? - Hvis jeg hvde vidst, t det vr den sidste, så ville jeg hve været her.

7 Alger REDUKTION Reduktion Reduktion etder i mtemtik t skrive noget simplere. EKSEMPEL: : Regneopertionernes hierrki Regneopertionerne udføres i flg. rækkefølge:. Multipliktion (. ) og division (:). Addition () og sutrktion (-) 6 EKSEMPEL: Addition f tl Når mn lægger tl smmen, er rækkefølgen ligegldig. EKSEMPEL: Multipliktion f tl Når mn gnger tl, er rækkefølgen ligegldig. EKSEMPEL:

8 Alger Prenteser Indholdet i en prentes skl opfttes som ét element. EKSEMPEL: 5 ( ) Led Led er dskilt f plus () eller minus (-). 6 EKSEMPEL: 7 indeholder led Et tl gnge en prentes Mn gnger et tl med en prentes ved t gnge tllet med hvert led i prentesen. ( d) d EKSEMPEL: 6 ( ) 6 6 BEMÆRK: ( ) ( ) En prentes gnge en prentes Mn gnger en prentes med en prentes ved t gnge hvert led i den første prentes, med hvert led i den nden prentes. ( ) ( d) d d EKSEMPEL: ( 6 5) ( )

9 8 Alger Potens-skrivemåde Gnges flere ens tl smmen, kn det skrives nemt ved rug f potens. EKSEMPEL: 5 : Kvdrtet på en to-leddet sum Kvdrtet på en to-leddet sum giver: Kvdrtet på første led, plus kvdrtet på ndet led, plus det doelte produkt. ( ) BEVIS ( ) ( ) ( ) q.e.d. EKSEMPEL: ( ) EKSEMPEL: ( )

10 Alger Kvdrtet på en to-leddet differens Kvdrtet på en to-leddet differens giver: Kvdrtet på første led, plus kvdrtet på ndet led, minus det doelte produkt. ( ) EKSEMPEL: ( 7) 7 7 EKSEMPEL: 6 6 ( ) To tls sum gnge de to tls differens To tls sum gnge de smme to tls differens giver: Kvdrtet på første led, minus kvdrtet på ndet led. ( ) ( ) EKSEMPEL: ( 8 9) ( 8 9) 8 9 EKSEMPEL: 9 6 ( ) ( ) 9

11 Alger LIGNINGER : Lighedstegn Et lighedstegn () ruges til t ngive, t værdien f to mtemtiske udtrk er ens. EKSEMPEL: : Ligning En ligning er to mtemtiske udtrk forundet med et lighedstegn. EKSEMPLER: 6 5 Uekendt størrelse Som smol for en uekendt størrelse ruges normlt ogstvet, som opfttes som et vilkårligt tl. : En ligning med en uekendt Ligning, hvor der indgår netop én uekendt størrelse. EKSEMPLER: EKSEMPLER: I og Bo er tilsmmen år, I er år ældre end Bo. Hvor gmmel er Bo ( )? ( ) 0

12 Alger Grundmængde Grundmængden (G) er de tl, den uekendte størrelse () skl findes ilndt. EKSEMPEL: Hvis ngiver lderen, målt i år, på en person gælder: kn ikke være negtiv er højst, d dette er lders-rekorden. Altså gælder: G { R 0 } Dette læses: Grundmængden er mængden f der tilhører de relle tl (lle tl), hvorom det gælder t er større end eller lig 0 og mindre end eller lig. Ligningens grd En lignings grd er den højeste forekommende potens f den uekendte () EKSEMPLER:. grds-ligning:. grds-ligning:. grds-ligning: I 8 viste den -årige nordmnden N.H. Ael, t der ikke findes en generel formel til løsning f 5. grdsligninger. Andre hvde rejdet på det i 00 år.

13 Alger. grdsligning med én uekendt En ligning med netop én uekendt og denne kun forekommer med grden (potensen) : BEMÆRK: Ligningen vil ltid kunne skrives på formen: EKSEMPEL: Løse en ligning At løse en ligning med en uekendt () vil sige t finde de værdier f, som gør ligningen snd. Løsningsmængden kldes L. Hvis der ingen løsning er, skriver mn L Ø, som læses: løsningsmængden er tom. 6 0 EKSEMPEL: L { R } BEMÆRK: 6 0 L Ligning { R } Grundmængde Løsning Isolere Når mn løser en ligning med én uekendt (), forsøger mn t få til t stå lene på den ene side f ligheds-tegnet, og tllet der er løsning til t stå på den nden side. Det kldes t isolere.

14 Alger Mn må: Regler for løsning f ligninger : Lægge smme tl til på hver side f lighedstegnet. : Trække smme tl fr på hver side f lighedstegnet. : Gnge med smme tl på hver side f lighedstegnet dog ikke nul. : Dividere med smme tl på hver side f lighedstegnet dog ikke nul. EKSEMPEL: L Ligningen Regel Regel Regel isoleret { R 0} Løsnings - mængden er

15 Alger POTENS-REGNING Den p te potens f Den p te potens f skrives: p kldes grundtllet, p kldes eksponenten (eller potensen). EKSEMPEL: Den. potens f skrives Potens-regneregler (positivt grundtl) Følgende regneregler gælder for potenseregninger Forudsætning: og er positive tl:, R n og p kn være lle tl: n, p R A) B) C) n n ( ) n p p n np ( ) np n D) E) F) n n n n p n n n p BEMÆRK: Under visse forudsætninger kn det også tilldes t og er negtive tl eller nul. EKSEMPLER: A) 0, 5 0, 8 0, 0, D) 56,, 56,, 6 56, 6 B), 0 ( 7, 5 ), 7, 5, E) 77, 77 7, 7,, 0,, C) 0, 9, 0, F), 5, 67, 5, 67

16 Alger Potens-regneregel (grundtl lig ) Unset eksponentens (n) værdi, gælder, 7 EKSEMPEL: n n R Potens-regneregel (grundtl lig nul) Hvis eksponenten (n) er et positivt tl, gælder: 0, EKSEMPEL: 0 n 0 0 n R. Potens-regneregel (eksponent lig nul) Unset grundtllets () værdi, gælder: 0 R EKSEMPLER: (, )

17 Alger ROD-UDDRAGNING Den n te rod f Tllet kldes den n te rod f tllet, hvis flg. er opfldt: hr smme fortegn som Den n te potens f er lig Dette kn også skrives: R n Hvis og n : Rdiknden : Roden n: Rod-eksponenten : Rodtegn. SPECIELT GÆLDER: EKSEMPEL: Den. rod f -5: 5 5 Kuglermmen lev opfundet i Asien for. 500 år siden. I 889 ggede den frnske ingeniør León Bollée en meknisk mskine, der kunne eregne kvdrtroden f et 8 ifret tl på 0 sekunder. Rod-uddrgning (lige rod-eksponent) Hvis rod-eksponenten (n) er et lige tl forskelligt fr nul, skl rdiknden () være positiv. n er et lige tl forskelligt fr 0: n {...,,,,... } er et positivt tl: R EKSEMPEL: Den. rod f 6: 6 EKSEMPEL: 6 Eksisterer ikke. 6

18 Alger Rod-uddrgning (ulige rod-eksponent) Hvis rod-eksponenten (n) er et ulige tl kn rdiknden () være et vilkårligt tl forskelligt fr nul. n er et ulige tl: n {..., 5,,,,, 5,... } er et tl forskelligt fr nul: R\{ 0 } EKSEMPLER: Rod og potens smmenhæng n p p n EKSEMPEL: 7 7 BEMÆRK: Hvis mn lver et rod-udtrk om til et potensudtrk, kn reglerne for potensregning ruges. EKSEMPEL: 9 9 7

19 Alger NUMERISK VÆRDI Ulighedstegn Et ulighedstegn ruges til t ngive, hvordn værdien f to mtemtiske forholder sig til hinnden. Der findes fire forskellige ulighedstegn: < > Mindre Større Mindre Større end end end eller lig end eller lig EKSEMPLER: < 5 > 5 Numerisk værdi (solut værdi) Den numeriske værdi f et positivt tl er lig tllet selv. Den numeriske værdi f et negtivt tl er lig tllet uden negtivt fortegn. Smolet for numerisk værdi er to lodrette streget omkring tllet., hvis 0, hvis < 0 EKSEMPLER: Trekntsuligheden EKSEMPEL: 7 7 8

20 ENHEDSCIRKLEN Enhedsirklen Figurer Enhedsirklen hr rdius og entrum i origo (O). O Vinkel Vinkler regnes i enhedsirklen fr -ksen og til liniestkket. Positiv omløsretning er mod uret. O v En hel omgng svrer til 60 o EKSEMPLER: O

21 Figurer SINUS, COSINUS OG TANGENS Sinus Indtegnet i en enhedsirkel er sin(v) lig -værdien. sin(v) læses: Sinus til v sin( v) O v BEMÆRK: sin( v) Cosinus Indtegnet i en enhedsirkel er os(v) lig -værdien. os(v) læses: Cosinus til v O v os( v) BEMÆRK: os( v) Tngens Indtegnet i en enhedsirkel er tn(v) lig -værdien når -værdien er. tn(v) læses: Tngens til v tn( v) O v BEMÆRK: tn ( v) EKSEMPLER: Se næste side. 0

22 Figurer 0,6 O 0, ( 5 ) 0, 7 sin ( 50 ) 0, 6 tn 0,5 0 os ( 0 ) 0, 5 Den trkiske stronom Hipprhus (90-7 f.v.t.) vr den første der lvede en tel over sinus. Dermed kunne hn l.. forudsige solformørkelser.

23 RETVINKLET TREKANT Figurer Retvinklet treknt I en retvinklet treknt er en f vinklerne 90 o. Hpotenuse Ktete BEMÆRK: Summen f de vinkler i en treknt er ltid 80 o. sin ( A) Sinus modstående ktete hpotenusen A BEVIS Definitionen på sinus og forholdet mellem de to treknters sidelængder giver: sin ( A) sin ( A) q.e.d O A sin( A) EKSEMPEL: sin( A) sin A 7 ( ) sin( 0 ) 5 0 o 7 Arussinus A Arsin BEMÆRK: Ofte etegnes Arussinus : sin - eller sin.

24 Figurer os ( A) Cosinus hosliggende ktete hpotenusen A Arusosinus A Aros BEMÆRK: Ofte etegnes Arusosinus: os - eller os. Tngens tn ( A) modstående hosliggende ktete ktete A Arustngens A Artn BEMÆRK: Ofte etegnes Arustngens: tn - eller tn. EKSEMPEL: tn( A) A os ( A) os 6, 8 ( A) os( 0 ) Ar tn 5 7 Ar tn 6, 8 A 6,8 A 0 7

25 Figurer Pthgors sætning For en retvinklet treknt gælder: BEMÆRK: Speielt gælder der 5 BEVIS Ved releregning fås: ( ) q.e.d EKSEMPEL: , ,8 0 EKSEMPEL: , , 6 Pthgors ( f.v.t.) vr nturvidensksmnd, filosof og prædiknt. Hn lev født på Smos (græsk ø nær Trkiet). Efter en del rejsen stiftede hn et religiøst/videnskeligt rodersk i Kroton (Sd-itlien). Hn er l.. også kendt som grundlæggeren f kustikken.

26 Figurer VILKÅRLIG TREKANT Vilkårlig treknt En treknt er givet ved sidelængderne, og smt vinklerne A, B og C. A B C Sinusreltionen sin sin B sin C ( A) ( ) ( ) BEVIS h sin h sin sin ( A) og sin( C) ( A) sin( C) ( A) sin( C) h A h C På tilsvrende måde kn sidste del vises q.e.d EKSEMPEL: 6 5 C 80 5 sin 6 ( A) sin( B) sin( 80 ) 6 80 o 5 5 sin 6 A B C 80 B 80 80, 67, 6 ( A) sin( 80 ) 0, 55 A Arsin( 0, 55) 6 sin ( 80 ) sin ( 67, 6 ),, 5

27 6 Figurer Cosinusreltionen ( ) A os BEVIS Pthgors sætning giver: ( ) h og h h isoleres i den. ligning og udtrkket indsættes i den nden ligning: ( ) h Venstre treknt giver: ( ) ( ) A os A os Herved fås: ( ) A os Alterntive osinusreltioner ( ) ( ) C os B os EKSEMPEL: 6 5, ( ) ( ) , A ), Aros( A,,, A os A os A h C q.e.d

28 AREAL-BEREGNING Figurer Flde En flde er et smmenhængende -dimensionlt område (d.v.s. det hr ingen tkkelse) Arel Arelet ngiver den -dimensionle udstrækning f en flde. EKSEMPEL: Arelet f en linderflde er omkreds gnge højde. METODE Udfoldning Hvis flden kun krummer i en retning, kn mn finde relet ved udfoldning f flden. Udfoldning f en linder Et lndkort er et forsøg på t vise Jordkloden udfoldet. Men d Jorden (en kugle) krummer i to retninger, kn den ikke udfoldes korrekt. 7

29 UDFOLDNING: Figurer PRISME h h d d. π CYLINDER h d. π KEGLE s d s v v 80 d s KEGLESTUB d D s s v t s D t D d 80 d v t PYRAMIDE s s 8

30 Figurer AREALET AF PLANE FLADER: Arelet f et rektngel Arelet (A rektngel ) f et rektngel med længden (L) og redden (B) er: A rektngel L B B L Arelet f en treknt Arelet (A treknt ) f en treknt med højden (h) og grundlinien (g) er: h A treknt h g g Arelet f en trpez Arelet (A trpez ) f en trpez med to prllelle sider (, ) smt højden (h) er: ( ) A trpez h h BEVIS A trpez h ( ) h ( ) h q.e.d Arelet f en irkel Arelet (A irkel ) f en irkel med dimeter (d) er: Airkel d π d 9

31 Figurer AREALET AF RUMLIGE FLADER: Overflde-relet f en linder Overflderelet (A linder ) f en linder med dimeter (d) og højde (h) er: A linder π d h h d Overflde-relet f en kegle Overflderelet (A kegle ) f en kegle med grundflde-dimeter (d) og sidelængde (s) er: A kegle s d π BEVIS s Ved t klistre en msse treknter smmen, får mn en mere eller mindre kntet kegle. Treknternes højde kldes s og deres grundlinier kldes,, Overflde-relet f denne kegle er: Akegle s s... s s (... n ) Summen f treknternes grundlinier er irk lige så stor som irklens omkreds:... d π n Hvis vi ruger uendelig mnge treknter, vil vi derfor få: A kegle s d π q.e.d n d 0

32 Figurer Overflde-relet f en keglestu Overflderelet (A keglestu ) f en keglestu med top-dimeter (d), und-dimeter (D) og sidelængde (s) er: ( D d) A keglestu π s d D s Overflde-relet f en kugle Overflderelet (A kugle ) f en kugle med dimeter (D) er: A kugle π D D Overflde-relet f en kugleklot Overflderelet (A kugleklot ) f en kugleklot med højden (h) og grundflde-dimeter (d) skåret f en kugle med dimeter (D) er: A kugleklot π D h π d h d D h Overflde-relet f et kugleælte Overflderelet (A kugleælte ) f et kugleælte med højden (h) skåret f en kugle med dimeter (D) er: A kugleælte π D h h D

33 Figurer RUMFANGS-BEREGNING Et legeme Et legeme er en lukket flde i det - dimensionle rum og dennes indre. Rumfng (volumen) Rumfnget ngiver hvor meget et legeme flder i det - dimensionle rum. METODER Bestemmelse f rumfng Metode : Mål legemet op med en skdelære el. lign. og eregn rumfnget. Metode : Sænk legemet ned i et målegls med vnd og flæs rumfngsændringen*. Metode : Gs kn opsmles i et målegls nedsænket i væske. *) Aflæs ved væskeoverfldens und, den reelle væskemængde over dette niveu er miniml.

34 Figurer RUMFANGET AF UDVALGTE LEGEMER: Rumfnget f en ksse Rumfnget (V ksse ) f en ksse med højden (H), længden (L) og redden (B): V ksse L B H H L B Rumfnget f en linder Rumfnget (V linder ) f en linder med dimeter (d) og højde (h): V linder π d h h d Rumfnget f en kegle Rumfnget (V kegle ) f en kegle med grundflde-dimeter (d) og højde (h): V kegle π d h h d Rumfnget f en keglestu Rumfnget (V keglestu ) f en keglestu med top-dimeter (d), und-dimeter (D) og højde (h): V keglestu π h ( D d D d) d D h

35 Figurer Rumfnget f en prmide Rumfnget (V prmide ) f en prmide med grundflde-rel (G) og højde (h) er: h V prmide G h G Rumfnget f en prmidestu Rumfnget (V prmidestu ) f en prmidestu med undflde-rel (G), topflde-rel (g) og højde (h) er: V prmidestu h h ( G g G g) g G Rumfnget f en kugle Rumfnget (V kugle ) f en kugle med dimeter (D) er: V kugle π D 6 D Rumfnget f et kuglefsnit Rumfnget (V kuglefsnit ) f et kuglefsnit med højden (h) og grundflde-dimeter (d) skåret f en kugle med dimeter (D) er: V kuglefsnit π h d h π h 6 6 d D ( D h) h Rumfnget f et kugleudsnit Rumfnget (V kugleudsnit ) f et kugleudsnit med højden (h) skåret f en kugle med dimeter (D) er: V kugleudsni t π D 6 h D h

36 Figurer LINIE Liniens ligning Ligningen for en ret linie kn skrives på formen: α β 0 α, β og er konstnter. Afstnd mellem et punkt og en ret linie Afstnden (d) mellem en linie α β 0 og et punkt P, er givet ved: ( ) BEVIS P P d α Et punkt på linien: R ( ; ) P β α R R β P α En normlvektor til linien: n β d er længden f vektoren RP s projektion på n: d RP n n n P P α P β α n R R α β β P RP n EKSEMPEL: 7 0 d 7 ( ) n, P (,), 6 q.e.d. P n R d 5

37 Figurer TREKANT Treknten er en simpel; men meget stil konstruktion. Iglooen er gget f treknter. Trekntens mediner Liniestkket, som går fr midten f en side til modstående vinkelspids, kldes en medin. Medinernes delingsforhold De tre mediners fælles skæringspunkt deler medinerne i forholdet : BEVIS Vektorerne og d repræsenterer to mediner. og d Af figuren ses (p og q er to tl): OT p q d O p q p q p q 0 T d D og ikke er nul-vektorer etder det, t: p q 0 p q 0 p q.e.d Hermed er vist, t OT udgør f medinens længde ( ). 6

38 Figurer Trekntens (rel)tngdepunkt Medinerne skærer hinnden i trekntens tngdepunkt (T), som hr koordinterne: A B C A B T, C A T C B EKSEMPEL: Vinkelspids-koordinter: A(, 0),B( 6, ),C( 5, ) ( ) T, (, ) Midt-norml Liniestkket som står vinkelret på en linie og går gennem liniens midtpunkt. A B Konstruktion f midtnorml Den dnske mtemtiker Georg Mohr (60-97) er kendt for, t hn kunne tegne (næsten) lle geometriske figurer v.h.. psser og linel. Vinkel-hlveringslinie Liniestkket der hlverer en vinkel. Vinkel-hlvering Linie-hlvering A B 7

39 Figurer Omskreven irkel En irkel der går gennem lle tre vinkelspidser i en treknt, kldes den omskrevne irkel. Omskreven irkel Trekntens midtnormler skærer hinnden i den omskrevne irkels entrum. BEVIS Afstnden fr et punkt på en midt-norml til liniens endepunkter er ens. O R Fr skæringspunktet (O) R R mellem to midtnormler er der lige lngt (R ) q.e.d til lle tre vinkelspidser. Der kn tegnes en irkel med rdius (R ) og entrum (O). Appollonius fr Perg ( f.v.t.) hvde følgende (utrditionelle) definition f en irkel: En irkel estår f punkter, der hr et konstnt længdeforhold til to fste punkter: L L L L Konstnt 8

40 Figurer Indskreven irkel En irkel, der tngerer lle tre sider i en treknt, kldes den indskrevne irkel. Indskreven irkel Vinkelhlveringslinierne skærer hinnden i den indskrevne irkels entrum. BEVIS Afstnden (r ) fr et punkt på en vinkelhlveringslinie til de to sider er ens. Der findes et punkt (M), hvor fstnden til den tredje side hr smme værdi (r ). r M r D dette punkt (M) hr smme fstnd til lle tre sider går r lle tre vinkelhlveringslinier gennem det D tngenten til en irkel står vinkelret på en rdius er sætningen evist. q.e.d 9

41 Figurer CIRKEL Cirklens prmeterfremstilling En irkel med entrum i (, C C ) og rdius (r) kn eskrives ved: os r sin ( v) C ( v) C v [ 0; 60 [ ( ; ) C C r v O Cirklens ligning En irkel med entrum i (, ) ved: BEVIS os r sin og rdius (r) kn eskrives C C ( ) ( ) r ( v) ( v) r > 0 C C C C C C os r sin ( v) ( v) Vektoren på højre og venstre side f lighedstegnet, hr smme længde. ( ) ( ) r ( ) ( ) r C C C C EKSEMPEL:, 6, r ( ) ( ) C C Cirklens prmeterfremstilling: ( v) ( v) os v ; sin Cirklens ligning: ( 6) ( ) 9 [ 0 60 [ O 0

42 Figurer Cirklens ligning Ligningen: 0 C B A Fremstiller fhængigt f konstnten (C): En irkel Et punkt Intet Omformning f irklens ligning Ligningen: 0 C B A kn også skrives på formen: C B A B A EKSEMPEL: Cirkel EKSEMPEL: Punkt EKSEMPEL: Intet ( ) ( ) Venstresiden er ltid positiv og højresiden negtiv, ltså kn lighedstegnet ikke gælde ligningen er noget sludder. ( ) ( ) ( ) ( ) ,, ( ) ( ) ( ) ( ) 9 0 8

43 FUNKTION OG GRAF Funktioner Tl-mængde En tlmængde er en mængde f tl. Følgende tlmængder liver rugt så ofte, t de hr fået et smol: R: Relle tl (lle tl) R : Positive relle tl (lle positive tl) N: Nturlige tl (lle positive hele tl) Z: Hele tl Q: Rtionle tl (lle røker) EKSEMPEL: {,, 5, 7,,, 7, 9,, 9} Hvilket er de første 0 primtl Funktion En funktion (f) ngiver et entdigt smmenhæng mellem tllene ( og ) i to tlmængder. D.v.s. til hver -værdi findes der kun en -værdi. Ofte ruges skrivemåden f(). Mængden med -værdier kldes for funktionens definitionsmængde Dm(f) og mængden med -værdier kldes værdimængden Vm(f). Regne-forskrift (funktionsforskrift) En regneforskrift f() er et mtemtisk udtrk der ngiver, hvordn mn finder -værdien (også kldet funktionsværdien), når mn kender -værdien. EKSEMPEL: ( ) d f ( ) f Hvis vælges til, fås

44 Koordintsstem Funktioner Et (rtesisk) koordintsstem hr en vndret tllinie kldet sisse-ksen og en lodret tllinie kldet ordintksen. Et punkt i koordintsstemet kldes et koordint. Skæringen mellem kserne kldes origo, og hr koordintet (0;0) Akserne deler plnen i fire kvdrnter (I-IV). II III o I IV René Desrtes ( ) vr en frnsk filosof og mtemtiker. Hn rejste meget og oede l. 0 år i Hollnd. I 67 udgv hn ogen L géométrie, hvor hn lndt ndet indførte koordintsstemet. Grf En grf viser en funktion grfisk i et koordintsstem. Hvis sisse-ksen kldes -ksen og ordint-ksen kldes - ksen kn smmenhørende - og -værdier plottes som ;. koordinter ( ) EKSEMPEL: f 5 ( ) Punktets koordint: ( ;) ( 5;) f

45 Funktioner LINEÆRE FUNKTIONER (Ligefrem) Proportionl En tl-mængde er proportionl med tl-mængden, hvis der gælder t: Hvor er en konstnt forskellig fr 0. EKSEMPEL: Cirklens omkreds ( O irkel) er proportionl med dimeteren (D): π D O irkel Den engelske vidensksmnd Roert Hooke (65-70) undersøgte, hvordn mteriler deformeres. Hooks lov fr676 lder: ut tensio si vis som etder: Forlængelsen er proportionl med krften. Som det ses på grfen (for stål), er det kun korrekt for små deformtioner. Krft Brud 0,% Forlængelse 0% Lineær funktion (Liniens ligning) Regneforskriften for en ret linie i et rtesisk koordint-sstem kn skrives på formen: ( ) f Hvor og er konstnte tl. kldes stigningstllet eller hældningskoeffiienten og kldes konstnt-leddet. EKSEMPEL: f ( )

46 Funktioner Stigningstl (hældningskoeffiient) Stigningstllet () ngiver hvor meget -værdien vokser når -værdien vokser med. EKSEMPEL: På grfen ses t. Altså når stiger med stiger med. f Det svrer også til, t når stiger med, stiger med. Stigningstl (hældningskoeffiient) på grfen for en lineær funktion eller vinklen v mellem grfen (linien) og -ksen, er stigningstllet () givet ved: Kendes koordinterne til to punkter ( ; ) og ( ; ) BEVISER De to treknter på figuren er retvinklede og ensvinklede. Fr trigonometri hves: tn v tn v ( ) ( ) Sideforholdene i ensvinklede treknter er ens: q.e.d tn( v) v v EKSEMPEL: ( ;) ( 0; ) ( ; ) ( 5; ) v, 0 ( ) eller lterntivt tn(, 0 ) 0,

47 Funktioner Konstnt-leddet () Grfen for den lineære funktion ( ) ksen i punktet( 0 ;). f skærer - Konstnt-leddet () Hvis mn kender stigningstllet () smt koordintet ( ; ) til et punkt på grfen for en lineær funktion, kn konstntleddet () findes ved: Prllelle linier Hvis stigningstllene ( og ) er ens, er linierne prllelle. Linie står vinkelret på linie Når to linier står vinkelret på hinnden, er produktet f deres stigningstl lig -. BEVIS Stigningstllet er et negtivt tl. D længder er positive tl, er sidelængden. Der gælder: tn( v) tn( v) v q.e.d. v 6

48 Funktioner. GRADS-POLYNOMIER. grds-polnomium Et. grds-polnomium kn skrives på formen: ( ) A B C f A, B og C er konstnter. A 0 f A, B 0, C EKSEMPLER: ( ) ( ) ( ) f ( ) f A 9, B, C A, B, C Prel. grds-polnomiets grf kldes for en prel. Vi er omgivet f prler: Kstes en sten, følger den (næsten) en prel-formet nekurve. Et snit i en kegle kn give en prel. Tværsnittet f en TV-prol eller spejlet i en lgte er en prel. Desuden ruges prler ofte til t fitte måledt og kurver eller dele f disse. Diskriminnten Diskriminnten er en nttig hjælpe-størrelse, som er givet ved: D B A C 7

49 Funktioner Prlens ntomi Smmetri-kse Toppunkt Ben REGLER Prlens plering. Positiv A: Benene peger opd Negtiv A: Benene peger nedd. Hvis A er stor er prlen sml. Hvis A er lille er prlen red.. A og B ens fortegn: Toppunkt til venstre for -ksen. A og B forskelligt fortegn: Toppunkt til højre for -ksen. B 0 : Toppunkt ligger på -ksen.. Prlen skærer -ksen i punktet ( 0 ;C) 5. Positiv D: Prlen skærer -ksen gnge D 0: Prlen rører -ksen i punkt Negtiv D: Prlen rører ikke -ksen EKSEMPEL: ( ) f A, B, C : A > 0: Benene vender opd. : A og B forskelligt fortegn: Toppunkt til højre for -ksen. 0; : Prlen skærer -ksen i punktet ( ) 5: ( ) D : Prlen rører ikke -ksen 8

50 Smmetri-ksen Funktioner Prlens smmetrikse er estemt ved: sm kse B A EKSEMPEL: ( ) f A, B, C Smmetri-ksen er ltså givet ved: sm kse 8 Toppunktet Prlens toppunkt hr koordinterne: BEVIS ( ) B D tp ;tp ; A A Toppunktet ligger på smmetriksen så: -koordinten er: tp f A B A ( ) tp B A A f B A B B B C A B A EKSEMPEL: ( ) C B A C A tp sm kse D A q.e.d. f A, B, C D ( ) ( ) 6 6 ( ; ) ; ( ; ) tp tp 9

51 Regneforskriften ( ) Funktioner Omskrivning f regne-forskriften f A B C er identisk med: ( ) A ( tp ) tp f ( tp ) tp A A A ( ) tp tp o o tp o tp METODE Omskrivnings-fidus Formlen ( ) d.v.s. kvdrtet på tp tp tp en to-leddet differens, gør omskrivningen nem. FORKLARENDE EKSEMPEL: 8 9 ( ) 9 ( ) 7 TRIN : Forn står TRIN : ( ) tp giver leddet trækkes fr. EKSEMPLER: tp ltså tp tp 8 så tp for meget, som derfor må ( ) ( ) ( ) ( ) 6 50

52 Funktioner TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER Grder og rdiner En vinkel måles ofte i grder ( v grd); men i mtemtik er det lige så lmindeligt t måle vinkler i enheden rdin ( v rd): En irkel er opdelt i En irkel er opdelt i π 6, 8 rdin - hvilket er enhedsirklens omkreds π 6 v rd v grd BEMÆRK: Hvis en vinkel er ngivet uden enhed er det underforstået, t enheden er rdin. EKSEMPEL: v v rd grd rd v rd 80 vgrd 57, π π 0, Tngens-funktionen tn er defineret i forhold til en en- tn i et koordintsstem svrer - Funktionen tngens ( ) hedsirkel. Tegnes ( ) værdien til vinklen. 5 tn( ) O 5 O 5

53 Funktioner Cosinus-funktionen os er defineret i forhold til en en- os i et koordintsstem svrer - Funktionen osinus ( ) hedsirkel. Tegnes ( ) værdien til vinklen. O 5 O os( ) Sinus-funktionen sin er defineret i forhold til en enheds- sin i et koordintsstem svrer -værdien Funktionen Sinus ( ) irkel. Tegnes ( ) til vinklen. sin( ) O 5 O 5

54 Funktioner HARMONISK SVINGNING Hrmonisk svingning En hrmonisk svingning kn eskrives ved regneforskriften: π h ( t) sin t ϕ k T Hvor: t: Den ufhængige vriel (tiden) : Amplituden (den hlve ølgehøjde) T : Perioden eller svingningstiden (tiden for en hel svingning) k : Konstnt-leddet (forskdning i. ksens retning) ϕ: Fsevinklen. ϕ T : Fseforskdningen (forskdning i. ksens retning) π π BEMÆRK: f kldes frekvens og ω vinkelfrekvens T T EKSEMPLER: T π h ( t), sin t 0 7, k ( t) sin( t) h O ϕ T π T Ved flæsning på figuren ses t: h : T π ϕ 0 k 0 ϕ T h :, T ϕ k 0, 7 og, 7 π 5

55 Funktioner OMSKRIVNING AF SINUS OG COSINUS sin tn os ) ( v) Omskrivnings-formler ( v) ( v) ) sin( v) sin( π v) sin( 80 v) sin( v) ) os( v) os( π v) os( 80 v) os( v) π d) sin( v) os v os( 90 v) π e) os( v) sin v sin( 90 v) f) sin( v ± u) sin( v) os( u) ± os( v) sin( u) g) os( v ± u) os( v) os( u) m sin( v) sin( u) h) sin ( v) [ sin( v )] i) sin( v) sin( v) os( v) j) os( v) os ( v) sin ( v) k) ( v) os ( v) sin Populært kldet Idiot-formlen A C os u A sin v B os v C sin v u, B C sin( u) l) ( ) ( ) ( ) EKSEMPLER: ) sin ( 0 ) sin( 80 0 ) sin( 50 ) f) sin ( 60 5 ) sin( 60 ) os( 5 ) os( 60 ) sin( 5 ) l) sin( ) os( ), 6 sin( 0, 678) C os( u) D ligningssstemet giver: ( ) C, C sin u u, ( )

56 BEVIS for regel Sideforholdene i ensvinklede treknter er ens: tn ( v) sin( v) os( v) tn Funktioner ( v) sin os q.e.d. ( v) ( v) sin ( ) O os( ) tn( ) BEVIS for regel g (minus) Enhedsvektorerne og er givet ved: os sin ( v) ( v) og ( u) ( ) os sin u Sklrproduktet er givet ved: O ( v u) os og Sættes de to udtrk for sklrproduktet lig hinnden fås: os ( v u) os( v) os( u) sin( v) sin( u) v u q.e.d. BEVIS for regel g (plus) Resulttet fr minus-tilfældet ovenover smt regel ) og ) giver: os os os ( v u) os( v ( u) ) ( v) os( u) sin( v) sin( u) ( v) os( u) sin( v) sin( u) q.e.d. BEVIS for regel k D enhedsirklens rdius er, giver Pthgors sætning: os ( v) sin ( v) q.e.d. sin v ( ) O v os( v) 55

57 Funktioner EKSPONENTIAL-FUNKTIONER Eksponentilfunktioner Eksponentilfunktionens regneforskriften, hvor kldes grundtllet: f hvor > 0 ( ) R BEMÆRK: Dm ( f) R og Vm ( f) Eksponentiel udvikling Regneforskriften for en eksponentiel udvikling er givet ved: f 0 < < > f ( 0 ) ( ) hvor R Monotoniforhold : : \{ } For en eksponentiel udvikling f( ) : f ( ) er ftgende og R gælder følgende: f ( ) (konstnt, ikke en eksp. udvik.) f ( ) er voksende EKSEMPLER: Almindeligt og enkeltlogritmisk koordintsstem X O Enkelt-logritmisk koordintsstem.-ksen i et enkelt-logritmisk koordintsstem er inddelt i lige store enheder..-ksen er derimod inddelt, så grfen for en eksponentiel udvikling liver en ret linie X , ( 0;)

58 Funktioner Bestemmelse f og Hvis mn kender koordinterne til to punkter ; ) og ( ( ; ) på grfen for en eksponentiel udvikling ( ) f kn grundtllet () og tllet findes ved:, og BEVIS ( ) q.e.d. EKSEMPEL: ( ; ) (, 5; 00), ( ; ) ( ) 00, , 89, 5 0, 68 D.v.s. ( ) ; f, 89 0, 68 0, , METODE Referene-værdi Hvis -værdierne er store, skl mn ruge en refereneværdi ), så regneforskriften skrives på formen: ( ref f u ( ), u ref Se forklrende eksempel på næste side 57

59 Funktioner FORKLARENDE EKSEMPEL: Antl mlkekøer i Dnmrk: Givet: ( ; ) ( ; 6, mill. ) ( ; ) ( 00; 0, 56mill. ) så ( u ; ) ( 0;, 6mill. ) ref ( u ; ) ( ; 0, 56mill. ) 6, , , 9775,, , D.v.s.: f ( ) 6, 0 0, , 9775 Indføres ref ikke fås smme grundtl (). Men vil i teorien svrer til ntllet f mlkekøer ved Jesus fødsel (år 0) og derfor være et enormt stort tl. Værdien f vil ikke kunne eregnes nøjgtig, fordi en lille fejl (for få deimler) på vil medføre en stor fejl på. Hlverings- og fordolingskonstnt Hvis 0<<: Når øges med T ½, hlveres funktionsværdien. ( ) ( ) ln T ½ Hlverings-konstnten ln Hvis >: Når øges med T, fordoles funktionsværdien. BEVIS f ( ) f( T ) ( ) ( ) ln T Fordolings-konstnten ln ln( ) ln( T ) T ( ) ln 58 T T ln ( ) ( ) ln T EKSEMPEL: Lndrug: ( 960; 96 0 ), ( 00; 0 ) ( ) ( 0, 9666) log 0, 9666, T½ 0 år log I 980 vr der ltså q.e.d. lndrug i Dnmrk. T

60 Funktioner LOGARITME-FUNKTIONER BEMÆRKNING Nvngivning f Logritmefunktioner En logritmefunktion med grundtllet kldes: log ( ) Logritme og eksponentil-funktioner er tæt knttet smmen. Logritmefunktion For en logritmefunktion med grundtllet : ( ) log hvor R \{ } Gælder: BEMÆRK: Dm ( ) R og Vm ( ) R EKSEMPLER: ( 0, 0) log d 0 0, < < > Monotoni-forhold, ( 8) log d 8 For en logritmefunktion f( ) log ( ) : f ( ) er ftgende : Ikke defineret f ( ) 0 og f ( ) : f ( ) er voksende gælder følgende: EKSEMPLER: ln( ) log( ) 0 0 log 0, log,5 ( ) 0 ( ) 59

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Elementær Matematik. Rumgeometri

Elementær Matematik. Rumgeometri Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere