Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1"

Transkript

1 Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1 Materialet er lavet med udgangspunkt i hæftet: Introduktion til Perspektiv af Mette Vedelsby og Bjørn Felsager Materialet er til INTERNT brug!

2 Indhold Introduktion Reglerne bag perspektivtegning På opdagelse i perspektivet Definitioner og regler Det frie perspektiv Et-punkts perspektiv (frontperspektiv) To-punkts perspektiv (krydsperspektiv) Tre-punkts perspektiv Gentagelser i perspektivtegning Eksempel 3.1: Tegning af en kvadratisk flisedækning Eksempel 3.2: Tegning af ækvidistante lygtepæle Historiske eksperimenter Brunelleschis illusionstrick Albertis perspektivkasse Perspektivisk billedanalyse Analyse af et et-punkts perspektiv (frontperspektiv) Analyse af et to-punkts perspektiv (krydsperspektiv) Analyse af et tre-punkts perspektiv Perspektivtegning med faste mål Tegning af en flagstang Et-punkts perspektiv (frontperspektiv) To-punkts perspektiv (krydsperspektiv)

3 Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1 Introduktion En perspektivtegning af en genstand er en naturtro todimensional afbildning af en tredimensional genstand, dvs. tegningen ligner genstanden fuldstændigt på samme måde som et fotografi. Reglerne for perspektivtegning blev opdaget i renæssancen af den florentinske arkitekt Filippo Brunelleschi ca Hans overbevisende demonstration af principperne gjorde et stort indtryk på samtidens kunstnere og inspirerede Masaccio til et af de første vellykkede perspektivbilleder: Vægbilledet, Treenigheden fra ca. 1427, der gav tilskueren en illusion af at kigge ind i et kapel. Reglerne blev først nedskrevet ca af den italienske arkitekt og rådgiver Leon Batista Alberti dog uden brug af illustrationer. Senere gav Leonardo da Vinci overbevisende eksempler på brugen af perspektivtegning, her et dodekaeder fra Treenigheden af Masaccio, ca.1427 Nederst ses skelettet af Adam: Jeg var engang som du er nu. Du skal engang blive som jeg er nu. I 1500-tallet spredtes perspektivtegningen over hele Europa ikke mindst gennem værker af den tyske kunstner Albrecht Dürer. Han havde besøgt Bologna i 1506 og lært perspektivtegningens hemmeligheder. I sine værker, bl.a. Unterweysung fra 1525, gennemgik han såvel de tekniske som de matematiske principper bag perspektivet. 3

4 Foran modellen er anbragt en træramme med et kvadratisk gitterværk af tråde. En stok markerer øjepunktet og sikrer, at man hele tiden betragter det, der skal tegnes fra netop denne position. Billedplanen, dvs. tegnepapiret, er ligeledes inddelt i kvadrater. Den del af den tredimensionale genstand, der kan iagttages i et bestemt kvadrat i den lodrette ramme, kan herefter overføres til det tilsvarende kvadratiske felt i tegneplanen. Dürer udviklede også mere præcise metoder til at overføre genstandens punkter til sin tegning: 1. Reglerne bag perspektivtegning 1.1 På opdagelse i perspektivet I dette afsnit skal du selv finde og opstille regler bag perspektivtegning: Hvilke egenskaber får afbildninger af plane henholdsvis rumlige figurer, når de afbildes i et naturtro korrekt perspektiv? Projekt 1.1.1: Eksperimentet udføres i grupper på to. Materialer: I får brug for en plastikplade (fx akryl), penne, der skriver med vandopløseligt blæk samt tegnepapir. I mangel af plastikplader kan man evt. benytte transparenter opklæbet på en rude. Opstilling: Plastikpladen anbringes lodret dvs. vinkelret på grundplanen (figurplanen). Med det ene øje lukket og med hovedet i en fast (lodret) position ser du gennem akrylpladen på et motiv. Dette tegnes ind på pladen. Derefter overføres figuren til et almindeligt stykke papir. Øjepunktets position i forhold til billedplanen noteres på papiret: Hvor højt oppe ligger øjepunktet? Hvor langt væk ligger øjepunktet? øjepunkt billedplan (plastikplade) scene grundplan 4

5 Du skal tegne motiver af stigende sværhedsgrad. Det er en god idé at holde sig til geometriske figurer opbygget af rette linjestykker (Fliser, kasser, klodser osv.) 1) Begynd med at lave tegninger af plane motiver, der ligger i grundplanen. Undersøg hvad der sker med rette linjer, trekanter, firkanter osv. Find dernæst et passende kvadratisk flisemønster og afbild dette på plastikpladen eller konstruer selv et flisemønster og anbring det bag ved plastikpladen. Analysér tegningen: Prøv fx at indtegne diagonalerne for billedfliserne. Hvad kan du slutte ud fra denne tegning? Hvad sker der med rette vinkler i perspektivtegningen? Hvad sker der med parallelle linjer i perspektivtegningen? 2) Gå derefter over til at tegne perspektivtegninger af rumlige figurer: Konstruer flere perspektivtegninger af den samme genstand set fra forskellige øjenhøjder. Sammenlign de forskellige tegninger. Undersøg ligeledes hvordan perspektivtegningen afhænger af såvel genstandens afstand fra billedplanen, som øjepunktets afstand fra billedplanen. Notér de regler for perspektivtegning, som I har fundet frem til. Opsamling i plenum. 5

6 1.2. Definitioner og regler En perspektivtegning er en afbildning af en rumlig scene på en plan set fra et ganske bestemt sted, øjepunktet, dvs. genstanden afbildes som den ses med ét øje anbragt i en bestemt højde og afstand fra genstanden. Derved kommer en perspektivtegning til at svare til et fotografi af genstanden. Man kan altså også analysere sig frem til reglerne for en korrekt udført perspektivtegning ud fra fotografier. Matematisk defineres en perspektivisk afbildning som en centralprojektion fra et givet punkt Ø af et udsnit af rummet, scenen, ind på en given plan, billedplanen, hvor scenen og øjepunktet ligger på hver sin side af billedplanen. Vi forudsætter normalt at billedplanen står lodret svarende til at billedet er beregnet til at hænge på en lodret væg. Men der er også andre muligheder fx det himmelske perspektiv, med en vandret billedplan, hvor man kigger op på et billede i loftet af et rum: Andre Mantegna: Oculus ( ) I det følgende vil vi kun betragte det normale lodrette perspektiv. Den vinkelrette projektion af øjepunktet Ø ind på billedplanen kaldes hovedpunktet H. Den vinkelrette afstand fra øjepunktet ind til billedplanen kaldes distancen d. Den vinkelrette projektion af øjepunktet Ø ind på grundplanen (punktet lodret under Ø) kaldes ståstedet S. Den lodrette afstand fra øjepunktet til grundplanen kaldes højden h. Grundlinjen er billedplanens skæringslinje med grundplanen. billedplan øjepunktet Ø distancen d hovedpunktet H højden h scene P' grundplan ståstedet S grundlinje P 6

7 Den vandrette linje i billedplanen gennem H er billedet af horisonten (men læg mærke til at dette netop kun gælder i normalt perspektiv, dvs. når billedplanen står lodret). Det er let at overbevise sig om at horisonten altid ligger i øjenhøjde. Tag en tur ud til kysten og se ud over havet uden at løfte eller sænke hovedet, så ser du lige ud i horisonten den linje hvor himmel og hav mødes. Sætter du dig ned på stranden følger horisonten med. Det samme sker, hvis du bevæger dig op på en klit. billedplan øjepunktet Ø distancen d hovedpunktet H højden h scene ståstedet S grundplan grundlinje Billedet af alle vandrette linjer i rummet som står vinkelrette på billedplanen vil, hvis de forlænges, mødes i H. Hovedpunktet H kaldes derfor forsvindingspunktet for disse linjer, hvorfor H også kaldes hovedforsvindingspunktet. Dette svarer fuldstændigt til de velkendte fotografier af jernbaneskinner, der mødes i det uendeligt fjerne punkt på horisonten. Billederne af andre parallelle vandrette linjer, der fjerner sig fra billedplanen, mødes i et forsvindingspunkt andre steder på horisonten. Horisonten er altså mødestedet for de vandrette linjer. 7

8 Endeligt vil billederne af alle skrå parallelle linjer, der fjerner sig fra billedplanen, mødes i forsvindingspunkter, der ligger over horisonten, hvis linjerne peger opad og under, hvis linjerne peger nedad. G billedplan øjepunktet Ø distancen d højden h hovedpunktet H F scene ståstedet S grundplan grundlinje Forsvindingspunktet F hører til en familie af vandrette parallelle linjer, der danner vinklen 45 med billedplanen. I dette eksempel kommer de fra diagonalerne i bunden og toppen af terningen. Forsvindingspunktet G hører til en familie af skrå parallelle linjer, der danner vinklen 45 med grundplanen. I dette eksempel kommer de fra diagonalerne i to af terningens sideflader. Principperne bag horisonten og forsvindingspunkterne hørende til de parallelle linjer er nogle af de allervigtigste regler, når man skal udføre korrekte perspektivtegninger. Når de sammenholdes med reglerne om at punkter afbildes i punkter, linjer i linjer og skæringspunkter i skæringspunkter, kan man komme meget langt med at skitsere realistiske perspektiviske figurer. Tilsvarende er det nemt at færdiggøre perspektiviske skitser ved brug af disse regler. Frontperspektiv Krydsperspektiv Y X H F 1 F 2 Et-punkts perspektiv 2-dimensional front: Kassens flader er parallelle med eller står vinkelret på billedplanen. To-punkts perspektiv (Krydsperspektiv) 1-dimensional front: Kassens kanter er lodrette eller vandrette. Z Tre-punkts perspektiv (Fx fugle/frø-perspektiv) 0-dimensional front: Alt er skråt i forhold til billedplanen. 8

9 2. Det frie perspektiv 2.1 Et-punkts perspektiv (frontperspektiv) Hvis man vil tegne et billede, der ligner det ovenstående fotografi, bemærker man straks den lange lige gang i Thorvalds Museum, der tilsyneladende bliver smallere og smallere. Gangen ser ud til at stå vinkelret på billedplanen. Vi kan se, hvordan de to parallelle vægge nærmer sig det samme punkt hovedforsvindingspunktet for billedet. Vi bemærker også, at alle andre linjer vinkelret på billedplanen, fx i gulvets fliser, nærmer sig det samme forsvindingspunkt. Hvis vi vil lave en tegning, der ligner dette fotografi, må vi derfor først og fremmest beslutte os for, hvor vi ønsker hovedforsvindingspunktet H skal ligge. Når dette er valgt, kan vi tegne en vandret linje gennem forsvindingspunktet, billedets horisont. Ved valget af horisont har vi samtidigt bestemt os til i hvilken øjenhøjde vores billede skal tegnes. I et-punkts perspektivet er udseendet af tegningen derfor fastlagt ved følgende: Hvor ligger horisonten og hvor på horisonten ligger hovedforsvindingspunktet. Den eneste forskel på de to følgende perspektivtegninger er at horisonten er sænket. Det svarer til at ståstedet er det samme for de to tegnere, men øjenhøjden er ændret. 9

10 Øvelse 2.1.1: En tilfældig kasse i et-punkts perspektiv Åben en Geometri applikation i TI-Nspire CAS. I den følgende øvelse får du brug for at kunne styre vandrette og lodrette retninger i tegneplanen. Dette gøres lettest ved hjælp af menupunkterne Vinkelret og Parallel. Konstruér en vandret linje i TI-Nspire CAS (hold Shift nede) og afsæt et frit punkt H på linjen. Den vandrette linje skal spille rollen af horisonten, mens det frie punkt skal spille rollen af hovedforsvindingspunktet. Konstruér frontsiden af kassen med vandrette og lodrette sider svarende til bredden og højden for kassen. Konstruér linjestykker der forbinder hjørnerne for frontsiden med hovedforsvindingspunktet H. Du vælger nu selv dybden af kassen. Det gøres ved at vælge et tilfældigt hjørnepunkt fra kassens bagside på en af forbindelseslinjerne mellem hjørnerne for frontsiden og hovedforsvindingspunktet H. Nu kan kassen gøres færdig ved hjælp af passende forbindelseslinjer. Til sidst skjules hjælpelinjer og kassen trækkes passende op fx ved brug af fede linjer for de synlige kanter og stiplede linjer for de usynlige bagvedliggende kanter. Du kan også eksperimentere med at udfylde kassens sider på passende vis. Prøv nu at rykke rundt på hovedforsvindingspunktet langs horisonten og flytte op og ned på horisonten. Hvilken indflydelse har det på kassens udseende? Udfordring: Prøv også om du kan animere en kasse, så den fx rykker frem og tilbage mod hovedforsvindingspunktet. 10

11 2.2 To-punkts perspektiv (krydsperspektiv) AlbertisTemplum Malatestianum, Rimini ca På billedet af Albertis kirke i Rimini, der blev ombygget til et pompøst gravmæle for familien Malatesta, bemærker vi to sæt parallelle sidelinjer, der nærmer sig to forskellige punkter, forsvindingspunkterne. Vi bemærker også, at alle andre linjer, der er parallelle med hhv. den ene side og den anden side af gravmælet nærmer sig det tilsvarende forsvindingspunkt. Hvis vi vil lave en tegning, der ligner dette fotografi, må vi derfor først og fremmest beslutte os for, hvor vi ønsker forsvindingspunkterne F 1 og F 2 skal ligge. Når disse er valgt, skal vi tegne den vandrette linje, der forbinder disse punkter. Denne linje udgør billedets horisont. Ved valget af horisont har vi samtidigt bestemt os for hvilken øjenhøjde vores billede skal tegnes i. I to-punkts perspektivet er udseendet af tegningen derfor fastlagt ved følgende: Hvor ligger horisonten og hvor ligger de to forsvindingspunkter på horisonten. Den eneste forskel på de to følgende perspektivtegninger er at horisonten har forskellige placeringer. Det svarer til at ståstedet er det samme for de to tegnere, men øjenhøjden er ændret. 11

12 Øvelse 2.2.1: En tilfældig kasse i to-punkts perspektiv Åben en Geometri applikation i TI-Nspire CAS. Også i denne øvelse får du brug for at kunne styre vandrette og lodrette retninger i tegneplanen med menupunkterne Vinkelret og Parallel. Konstruér en vandret linje i TI-Nspire CAS (hold Shift nede) og afsæt to frie punkter F 1 og F 2 på linjen. Den vandrette linje skal spille rollen af horisonten, mens de frie punkter skal spille rollerne som forsvindingspunkter. Afsæt et frit punkt nedenfor horisonten og konstruér et vinkelret linjestykke (til horisonten). Konstruér to punkter på den vinkelrette linje. Dette linjestykke er fronten af din kasse med de frie punkter udgør det øverste og nederste hjørnepunkt. Konstruér linjestykker der forbinder de to endepunkter for fronten med de to forsvindingspunkter. Du har nu fastlagt retningerne for kassens sider. Du skal derefter have valgt bredde og dybde for kassen. Det gør du ved at vælge to tilfældige punkter, det ene på en forbindelseslinje til F 1 og det andet på en forbindelseslinje til F 2. Nu kan kassen konstrueres færdig ved at konstruere passende linjer. Til sidst skjules hjælpelinjer og kassens trækkes passende op fx ved brug af fede linjer for de synlige kanter og stiplede linjer for de usynlige bagvedliggende kanter. Du kan også eksperimentere med at udfylde kassens sider på passende vis. Prøv at flytte rundt på forsvindingspunkterne langs horisonten og prøv at flytte op og ned på horisonten. Hvilken indflydelse har det på kassens udseende? Udfordring: Prøv også om du kan animere en kasse i to-punkts perspektiv. 12

13 2.3 Tre-punkts perspektiv På billedet af terningen bemærker vi denne gang tre sæt parallelle linjer, som nærmer sig hvert sit forsvindingspunkt. Vi lægger også mærke til at der denne gang ikke er nogen vandrette og lodrette linjer knyttet til terningen. Fronten består nu af et enkelt hjørnepunkt, det nærmeste, og horisonten spiller ingen rolle for terningens udseende. Hvis vi vil lave en tegning, der ligner dette fotografi, skal vi derfor først vælge de tre forsvindingspunkter, som vi vil kalde X, Y og Z (ligesom akserne i et rumligt koordinatsystem). Man kan vælge disse tre forsvindingspunkter stort set vilkårligt. De skal dog udspænde en spidsvinklet trekant af grunde som vi vil se nærmere på senere (se hovedsætningen om tre-punkts perspektivet side 30-32). Hvis trekanten ikke er spidsvinklet kan kassen nemlig ikke være retvinklet. I et tre-punkts perspektiv er det altså de tre forsvindingspunkter, der fastlægger tegningens udseende. Siderne i trekanten udspændt af de tre forsvindingspunkter X, Y og Z kan opfattes som 'kunstige horisonter'. Kassens udseende afhænger som vist af kassens beliggenhed i forhold til disse. 13

14 Øvelse 2.3.1: En tilfældig kasse i tre-punkts perspektiv Åben en Geometri applikation i TI-Nspire CAS. Konstruer en tilfældig spidsvinklet trekant XYZ. De tre hjørner skal fungere som forsvindingspunkterne for tre-punkts perspektivet. Afsæt et tilfældigt punkt O, der skal fungere som fronten for kassen (dvs. det nærmeste hjørnepunkt). Forbind fronten med de tre forsvindingspunkter. Du har nu fastlagt retningerne for kassens tre sider. Du skal nu vælge højde, bredde og dybde for kassen. Det gør du ved at vælge et frit punkt på hver af de tre forbindelseslinjer mellem fronten O og forsvindingspunkterne X, Y og Z. Disse frie punkter, der fungerer som de tre tilstødende hjørner forbindes nu tilsvarende med forsvindingspunkterne. Nu kan kassen konstrueres færdig ved at konstruere passende linjer. Til sidst skjules hjælpelinjer og kassen trækkes passende op fx ved brug af fede linjer for de synlige kanter og stiplede linjer for de usynlige bagvedliggende kanter. Du kan også eksperimentere med at udfylde kassens sider på passende vis. Prøv nu at flytte rundt på forsvindingspunkterne og ved at flytte rundt på fronten. Hvilken indflydelse har det på kassens udseende? Udfordring: Prøv også om du kan animere en kasse i tre-punkts perspektiv. 14

15 3. Gentagelser i perspektivtegning Hidtil har vi tegnet en enkelt kasse ad gangen i forskellige perspektiver. Det rækker til et enkelt hus eller lignende, men det ville også være rart at kunne tegne rigtige rækkehuse og andre gentagne mønstre, fx flisedækninger i perspektiv. Det kræver at vi får styr på fordoblinger i perspektivtegning, så vi kan lægge to ens genstande ved siden af hinanden. Hovedprincippet kommer fra den følgende simple observation F 2 D M DA M CD T C M BC M' D'A' D' M' C'D' C' T ' M' B'C' A M AB B A' M' A'B' B' F 1 Halveringsprincippet Diagonalerne i et rektangel halverer hinanden. Hvis vi har tegnet et perspektivisk billede af et rektangel ABCD kan vi derfor som vist ret nemt konstruere de perspektiviske billeder af sidernes midtpunkter ud fra sidernes forsvindingspunkter. Først forlænges siderne til skæring i forsvindingspunkterne F 1 og F 2. Dernæst konstrueres diagonalerne med tilhørende skæringspunkt T'. Endelig forbindes firkantens 'midtpunkt' T' med forsvindingspunkterne F 1 og F 2 og derved fremkommer de ønskede 'midtpunkter' for siderne. Men hvis vi kan halvere en figur kan vi selvfølgelig også vende processen om og derved fordoble en figur. Vi viser to typiske og klassiske eksempler på gentagelser i to dimensioner: Fliselægning af et gulv (bredde og dybde med gentagelser i dybden) og telefonpæle langs en vej (højde og dybde med gentagelser i dybden). 15

16 Eksempel 3.1: Tegning af en kvadratisk flisedækning Vi skal tegne et flisegulv i perspektiv. Flisegulvets ene side AB forudsættes parallel med billedplanen og fremstår derfor som en vandret linje på tegningen. Først konstrueres en vandret horisont samt hovedforsvindingspunktet H på horisonten. Dernæst konstrueres et vandret linjestykke AB, der altså er parallelt med horisonten. Træk linjer fra A og B til hovedforsvindingspunktet H. Disse linjestykker afgrænser flisestykkets bredde på perspektivtegningen. Da fliserne er lagt parallelt med billedplanen, er deres udstrækning i vandret retning den samme for alle fliserne. Grundlinjen AB deles derfor i fx fire lige store stykker. Da diagonalerne i fliserne er parallelle må de have et fælles forsvindingspunkt på horisonten. Dette vælges frit og kaldes diagonalpunktet D. Diagonalerne, der forbinder det forreste venstre hjørne af alle fliserne med diagonalpunktet D konstrueres. Disse diagonaler skærer da fliseafgrænsningen dér, hvor den næste fliserække begynder. Derved kan flisedækningen gøres færdig. Prøv også at udfylde hver anden flise i et skakternet mønster. Prøv nu at trække i såvel hovedforsvindingspunktet H som diagonalpunktet D og observér hvad der sker. Bemærkning: Det er ikke afgørende at have diagonalpunktet D til rådighed for konstruktionen. Hvis blot vi ved hvor den første fliserække stopper kan vi stadig trække diagonalerne for den første fliserække og derved finde hjørnerne for den næste fliserække og så fremdeles. Hele konstruktionen kan altså udføres indenfor fliserækkens bredde. 16

17 Eksempel 3.2: Tegning af ækvidistant lygtepæle Vi har givet placeringen af den første lodrette lygtepæl A 1 B 1 samt forsvindingspunktet på horisonten for den lige vej. Alle lygtepælene er lodrette og parallelle med billedplanen. Vi forbinder nu bunden af den første lygtepæl A 1 med forsvindingspunktet F. Tilsvarende forbindes toppen af lygtepælen, dvs. B 1 med forsvindingspunktet F. Top- og bundpunkter for alle lygtepælene må derfor ligge på toplinjen B 1 F og bundlinjen A 1 F. Midtpunktet M 1 for A 1 B 1 konstrueres. Det virkelige og det perspektiviske midtpunkt falder her sammen, fordi lygtepælen er parallel med billedplanen. Midtpunkterne for de resterende lygtepæle befinder sig derfor på linjen M 1 F, som ligeledes konstrueres. Den næste lygtepæl kan nu konstrueres ved at vælge et frit bundpunkt A 2 og tegne en lodret linje gennem dette. Vi har samtidigt fået frembragt midtpunktet M 2 for denne lygtepæl. Hvis vi nu konstruerer en linje gennem den første lygtepæls toppunkt B 1 og den anden lygtepæls midtpunkt M 2, vil denne linjes skæringspunkt med bundlinjen A 1 F netop angive placeringen af den næste lygtepæls bundpunkt A 3. (Overvej dette!). Derefter kan den tredje lygtepæl nu konstrueres på samme måde. Konstruér nogle flere lygtepæle og eksperimentér med at flytte på forsvindingspunktet F. Overvej også hvorfor diagonalernes forsvindingspunkt D må ligge på den lodrette linje gennem F. Vi kunne derfor også tage udgangspunkt i dette diagonalpunkt i stedet for det næste bundpunkt. 17

18 Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1 Øvelse 3.3: Leg med julegaver Lav en perspektivtegning af en kasse med bånd om. Øvelse 3.4: Et hus i perspektiv Lav en perspektivtegning af et hus, såvel i et-punkts som i to-punkts perspektiv. Huset skal have et vindue i den ene side, der sidder symmetrisk på husvæggen. Huset skal desuden have en symmetrisk anbragt dør i gavlen. Dørens højde skal være tre fjerdedele af væggens højde. Du vælger selv bredde og højde af hus, vindue og tag. Øvelse 3.5: En gade i perspektiv Lav en perspektivtegning af en stribe rækkehuse på den ene side af en vej med et fleretages hus på den anden side. Eksperimenter medforskellige placeringer af vejen: Langs med billedplanen, vinkelret på billedplanen og evt. skævt på billedplanen. Øvelse 4.6: et rumligt gitter Lav en perspektivtegning af et rumligt gitter. Til inspiration kan du fx bruge Eschers træsnit: 18

19 4. Historiske eksperimenter Jesus fremvises i templet af Ambrogio Lorenzetti, 1342 Opdagelsen af det naturtro perspektiv tilskrives normalt den italienske renæssancekunstner Brunelleschi. Men det betyder selvfølgelig ikke at kunstnerne før Brunelleschi ikke havde beskæftiget sig med en realistisk dybdevirkning i deres billeder. Ovenfor er vist et typisk billede af en af Brunelleschis forgængere i Firenze, Ambrogio Lorenzetti. Som det ses er han tydeligvis optaget af at skabe dybdevirkning ved at udnytte forsvindingspunkter på symmetriaksen for rummet. Men kontrollerer vi perspektivet ser vi at det ikke hænger ordentligt sammen: Gulvet og loftet har fx hvert sit forsvindingspunkt. Der er derfor ikke tale om en naturtro gengivelse af bygningen, thi i en sådan skal perspektivet bindes sammen af ét og kun ét hovedforsvindingspunkt. Det er netop en af Brunelleschis store opdagelser. 19

20 4.1 Brunelleschis illusionstrick 1 Lovene for perspektivtegningen blev fundet i begyndelsen af 1400-tallet af billedhuggeren og arkitekten Brunelleschi. Han skrev ikke reglerne ned, men overbeviste i stedet sin samtid gennem en illusionskunst. Motivet var det ottekantede dåbskapel i Firenze som dette så ud fra portåbningen i katedralen lige overfor kapellet. Tricket bestod i at konstruere tegningen på et kvadratisk træpanel og bore et lille hul i træpanelet svarende til billedets hovedforsvindingspunkt H. Ved at stille sig i portåbningen for katedralen og kigge gennem øjehullet kunne man nu se det florentinske dåbskapel som det så ud i virkeligheden. Men samtidigt kunne man holde et spejl foran sig i en afstand af kvadrates halve bredde, så man også kunne se tegningen af det florentinske dåbskapel. Ved at skyde spejlet ind foran det virkelige dåbskapel kunne man derfor se de to billeder side om side med den ene del af det virkelige dåbskapel på den ene side af spejlets kant og tegningen af den anden del af dåbskapellet på den anden side af spejlets kant. Dermed kunne man overbevise sig om at linjerne i tegningen passede perfekt med virkelighedens linjeføring når spejlet gled ind foran. For yderligere at forhøje billedets naturtrohed havde Brunelleschi lagt et spejlende lag af sølv ind øverst i billedet, som så kunne genspejle skyerne over dåbskapellet. Det var det rene trylleri og gjorde utvivlsomt et uudsletteligt indtryk på nogle af de unge kunstnere der overværede det, som fx Masaccio, der frembragte et af de første vellykkede illusionistiske billeder, vægbilledet af treenigheden i 1427 (se side 3). 1 Brunelleschis paneltegning eksisterer ikke længere, så den følgende beskrivelse er en rekonstruktion baseret på samtidige beskrivelser. Vi følger her professor Zeemans fremstilling i Geometry and Perspective, Royal Institution Mathematics Masterclass, 1987 (noter med tilhørende video). 20

21 Øvelse 4.1.1: Dåbskapellet i perspektiv Konstruer en perspektivisk skitse af et ottekantet dåbskapel i midten af en kvadratisk plads med en kvadratisk flisedækning. Udskriv skitsen og gør den færdig i hånden ved at tilføje passende detaljer på bygningerne. Projekt 4.1.2: I Brunelleschis fodspor Konstruer et billede af det florentiske dåbskapel inden i et kvadrat ABCD med siden 30 cm med hovedforsvindingspunktet H en tredjedel oppe, dvs. 10 cm) i midten af kvadratet. Konstruer også to diagonalpunkter D 1 og D 2 på hver sin side af hovedforsvindingspunktet i en afstand af kvadratets bredde, dvs. 30 cm. Del grundlinjen af kvadratet AB i fire lige store dele og konstruer en kvadratisk flisedækning med 4 4 kvadrater. Konstruer en symmetrisk front for dåbskapellet, der hviler på den sidste fliserække og har bredden 10 cm og højden 18 cm. Tilføj ved brug af diagonalpunkterne de to sideflader for dåbskapellet med 5 cm lange grundlinjer for neden. Et lille tag foroven fuldender skitsen, der skrives ud i to eksempler, et svarende til originalen og et svarende til billedet. De monteres på fx papplader. Du har nu et panel af samme størrelse som Brunelleschis. Bor et hul i hovedforsvindingspunktet H som du kan kigge igennem. Placer originalen i afstanden 30 cm foran dit øje og forvis dig om den perspektiviske virkning af dit billede. Hold derefter et spejl midtvejs mellem billedet og originalen. Du skulle nu kunne genskabe Brunelleschis illusion! Kan du fotografere den? 4.2 Albertis perspektivkasse 2 Det blev Alberti Leon Batista der først nedskrev lovene for perspektivtegningen i i et blomstrende sprog uden i øvrigt at benytte sig af illustrationer til sine forklaringer! Også Alberti betjente sig af eksperimenter til at fastlægge lovene for perspektivtegningen, herunder ikke mindst den centrale rolle som forsvindingspunkterne spiller. Albertis hovedkonstruktion handler om den rette dybdevirkning i et billede, der hænger nøje sammen med konstruktionen af en perspektivisk flisedækning. Principperne bag dette kan man eksperimentere sig frem til ved brug af en opstilling i en kasse som den følgende: I en kasse med en flisedækning i den bagerste halvdel kan man nu dels konstruere et øjehul i kassens forside, dels lade den ene side af kassen være åben så man også kan overskue scenens opbygning udefra. Ved at indsætte en V-formet udskæring i midten af kassen kan man nu forvisse sig om at den netop passer med flisedækningens kanter i siden, der altså ser ud som om de samles i toppunktet for V'et, der derfor spiller rollen som hovedforsvindingspunktet H. Ved at 2 Albertis perspektivkasse eksisterer ikke længere, så den følgende beskrivelse er en rekonstruktion baseret på samtidige beskrivelser. Vi følger her Lars Marcussens fremstilling i Rummets arkitektur Arkitekturens rum, Arktitektens forlag,

22 trække snore fra flisernes hjørnepunkter kan man ydermere forvisse sig om at synsstrålerne svarer til snorene. Udskæringen i midten spiller altså rollen af billedplanet. Ved dels at kigge ind i kassen bagfra gennem den åbne bagside, dels fra siden kan man ydermere se hovedlinjerne i Albertis perspektiviske konstruktion af flisedækningen: Perspektivkonstruktionen kombinerer altså to synsvinkler på samme tid, idet linjerne fra diagonalpunktet D netop svarer til scenen set fra siden i stedet for forfra. Projekt 4.2.1: Konstruer en perspektivkasse a la Alberti med en åben side men behold bagsiden og fortsæt flisedækningen op af bagsiden så det ser ud som om gulvet fortsætter i det uendelige! Sådanne illusionistiske perspektivkasser kan konstrueres meget kunstfærdige. Prøv fx at søge oplysninger om Hoogstratens perspektivkasser. 22

23 Perspektiv med TI-Nspire CAS version Perspektivisk billedanalyse3 Bebudelsen: Carlo Crivelli 1686 Brunelleschis afgørende opdagelse var den centrale rolle hovedforsvindingspunktet spillede for en naturtro gengivelse af en scene med dybdevirkning. Et naturtro billede rummer netop et hovedforsvindingspunkt som er projektionen af øjepunktet på lærredet. Alle linjer vinkelret på lærredet samles i dette punkt. Kender man også afstanden fra øjepunktet til lærredet, dvs. distancen, kan man forstærke dybdevirkningen af billedet ved at placere sit øjepunkt samme sted som kunstneren og se på billedet med et øje. Det rejser naturligt spørgsmålet om hvordan man rekonstruere hovedforsvindingspunktets placering samt distancen ud fra det færdige billede. Det er denne rekonstruktion der kaldes perspektivisk billedanalyse. Her spiller kvadrater en særlig rolle. Hvis billedet rummer billeder af vandrette indbyrdes parallelle kvadrater, fx flisedækninger, kan man nemlig konstruere forsvindingspunkterne for diagonalerne i kvadraterne, diagonalpunkterne, der er til stor hjælp ved fastlæggelsen af distancen. 3 Billederne fra de følgende øvelser kan enten analyseres i 'hånden' ud fra fotokopier eller de kan hentes på Internettet. 23

24 5.1 Analyse af et et-punkts perspektiv (frontperspektiv) Hovedparten af perspektiviske malerier er udført i frontperspektiv. Det gælder fx Bebudelsen (side 23) med sin vrimmel af vandrette og lodrette linjer. Det gør det nemt at finde hovedforsvindingspunktet, da disse billeder rummer masser af linjer, der i virkeligheden står vinkelret på billedplanen. Prøv fx at finde hovedforsvindingspunktet H for bebudelsen og dermed også horisonten. Derefter kigger man efter flisedækninger eller lignende. I Bebudelsen er der fx en flisedækning på vejen ud for huset, men der er også flisedækninger i fx lofterne. Prøv nu også at finde diagonalpunkterne D 1 og D 2, der gerne skulle ligge på horisonten symmetrisk omkring hovedforsvindingspunktet. Men i et et-punkts perspektiv er distancen d netop afstanden fra hovedforsvindingspunktet H til hvert af diagonalpunkterne D 1 og D 2. Diagonalerne danner nemlig vinklen 45 med normalen til billedplanet. Set ovenfra udspænder øjepunktet, Billedplan hovedforsvindingspunktet og diagonalpunktet derfor en ligebenet retvinklet trekant, hvorfor afstanden fra øjepunkt til ho- D 1 H D 2 vedforsvindingspunkt er det samme som afstanden fra hovedforsvindingspunkt til diagonalpunkt. Ofte kaldes diagonalpunkter derfor også distancepunkter men vi skal passe Øjepunkt på, for det gælder kun i frontperspektiv! Du kan nu konstruere en perspektivkasse med et kighul i den rigtige højde lige over hovedforsvindingspunktet og betragte Bebudelsen fra det rigtige øjepunkt. Læg dog mærke til at ikke alt går op i korrekt linjeføring. Prøv fx at kigge nærmere på lysstrålen fra himlen til Jomfru Maria. Hvad er der galt? Det er åbenlyst svært at kombinere et uendeligt himmelsk perspektiv med et endeligt jordiske perspektiv! Øvelse 5.1.1: Treenigheden af Masaccio (1427) Treenigheden (side 3) blev den første afgørende offentlige demonstration af det nye naturtro perspektiv. Find hovedforsvindingspunktet! Maleriet blev malet direkte på en væg i kirken med hovedforsvindingspunktet i naturlig øjenhøjde. Når man stiller sig foran maleriet i passende afstand ser det derfor ud som om der virkelig var et hul ind i muren med et kapel. Det blev derfor straks berømt for den illusionskunst, det også var. Øvelse 5.1.2: Skattens mønt af Masaccio (1427) Dette er et andet af Masaccios berømte billeder malet et år før han døde kun 26 år gammel. Bestem hovedforsvindingspunktets placering og fastlæg også horisonten. Hvilken rolle spiller hovedforsvindingspunktet for motivets opbygning? Billedet er også berømt for den specielle rolle øjenhøjden spiller: Alle menneskene på billedet er i virkeligheden ca. lige høje, men også deres hoveder ligger i nogenlunde samme højde på billedet. Kan du forklare hvordan Masaccio har opnået dette? 24

25 Projekt 5.1.3: Maria Bebudelse af Veneziano (ca. 1430) Også andre af Masaccios samtidige malerkolleger i Firenze mestrede perspektivet. Prøv fx at analysere perspektivet i den ovenstående enkle fremstilling af Marias bebudelse (i sammenligning med Crivellis side 23). Denne gang kan du også finde distancen og således efterprøve det naturtro perspektiv. Øvelse 5.1.4: Arnolfinis bryllup af Van Eyck (ca. 1434) Nyheden om Brunelleschis opdagelse af lovene for det naturtro perspektiv spredtes kun langsom i resten af Europa. Prøv fx at analysere det følgende billede af den berømte Hollandske mester Van Eyck. Billedet er det første eksempel på et motiv med almindelige borgere malet i helfigur og er fyldt med imponerende realistiske detaljer som fx spejlet på væggen, der afslører de øvrige tilstedeværende i værelset. Alligevel fungerer perspektivet ikke korrekt! Hvad er det for en pointe som Van Eyck ikke havde forstået? Hvor burde han have placeret hovedforsvindingspunktet? Projekt 5.1.5: Leg med kasser Når man tegner en kasse i frontperspektiv og vælger sin dybde vilkårligt behøver kassen selvfølgelig ikke forestille en terning. Men hvis fronten rent faktisk er et kvadrat findes der netop én distance fra hvilken kassen ligner en terning. Konstruer en perspektivtegning af en retvinklet kasse i frontperspektiv med en kvadratisk front. Antag nu at kassen er en terning og tilføj diagonalpunkterne. Fastlæg herved distancen d. Læg tegningen i bunden af en papkasse med højden d og konstruér et kighul lodret over hovedforsvindingspunktet H. Kontroller at kassen ligner en terning fra dette øjepunkt, men at den ser forvrænget ud, hvis tegningen rykkes tættere på eller længere væk. 25

26 Perspektiv med TI-Nspire CAS version 3.1 Arnolfinis bryllup af Van Eyck (ca. 1434) 26

27 5.2 Analyse af et to-punkts perspektiv (krydsperspektiv) Hvis billedet i stedet er lavet i krydsperspektiv er det langt sværere at fastlægge såvel beliggenheden af hovedforsvindingspunktet som distancen. Udgangspunktet er denne gang to forsvindingspunkter på horisonten, der kommer fra et vandret retvinklet kryds i motivet. Vi ved nu at F 1 og F 2 repræsenterer to vinkelrette retninger set fra øjepunktet. Ifølge Thales sætning må øjepunktet Ø derfor ligge på en cirkel med F 1 F 2 som diameter. Men hvor på cirklen kan vi ikke umiddelbart sige noget om! Det giver en sammenhæng mellem hovedforsvindingspunktets placering og distancen: Kender vi den ene kan vi finde den anden. Men uden yderligere information kan vi altså ikke komme længere i analysen. Hvis vi fx kan finde endnu et retvinklet kryds i motivet kan vi konstruere endnu en cirkel og dermed fastlægge hovedforsvindingspunktets placering H og distancen d ud fra skæringspunktet mellem de to cirkler. Det samme gælder, hvis vi kan finde et par diagonalpunkter D 1 og D 2 hørende til et retvinklet kryds. Her kan vi ydermere trække på specielle egenskaber ved diagonalpunkterne. Da synslinjen til diagonalpunktet halverer den rette vinkel må den som vist gå gennem cirklens bagerste (eller forreste) punkt. Denne gang ligger diagonalpunkterne ikke lige langt væk fra hovedforsvindingspunktet. De fungerer derfor ikke som distancepunkter. Ud fra den retvinklede trekant D 1 D 2 Ø kan man dog vise at distancen er det geometriske gennemsnit af afstandene, dvs. d = HD 1 HD2. Læg mærke til at den ovennævnte konstruktion lige så godt kan udføres i billedplanet. I så fald går vi blot ud fra horisonten som den vandrette linje gennem forsvindingspunkterne. 27

28 Øvelse 5.2.1: Corpus hypercubicus af Dali (1954) Da det er svært at finde klassiske malerier, der udnytter krydsperspektivet kigger vi i stedet på et moderne billede af Dali, den korsfæstede Kristus på en udfoldet hyperterning: Korset er med god tilnærmelse lodret. Det er opbygget af 8 terninger, der udgør en udfoldet hyperterning (firedimensional terning). Fastlæg forsvindingspunkter og diagonalpunkter for de vandrette kanter. Bestem derved hovedforsvindingspunktet H og distancen d for maleriet. 28

29 Projekt 5.2.2: Leg med kasser Når vi tegner en retvinklet kasse i krydsperspektiv kan vi i almindelighed vælge bredden og dybden frit. Men ifølge den ovenstående analyse findes der nu netop ét øjepunkt ud fra hvilket kassen fremstår som en terning. Konstruer en perspektivtegning af en retvinklet kasse i krydsperspektiv ud fra de to forsvindingspunkter F 1 og F 2. Antag nu at kassen er en terning og tilføj diagonalpunkterne. Fastlæg herved hovedforsvindingspunktet H og distancen d. Læg tegningen i bunden af en papkasse med højden d og konstruér et kighul lodret over hovedforsvindingspunktet H. Kontroller at kassen ligner en terning fra dette øjepunkt, men at den ser forvrænget ud, hvis tegningen forrykkes langs horisonten. Øvelse 5.2.3: Lamberts huse Perspektivtetegning af to huse fra Lamberts 'Freye Perspektive', 1774 Den tyske matematiker Lambert gik i Dürers fodspor og skrev en moderne fremstilling af matematikken bag perspektivet. Her er vist en tegning af to huse, hvor det ene er tegnet i frontperspektiv og det andet i krydsperspektiv. Benyt de to huse til at fastlæg såvel hovedforsvindingspunktet H som distancen d. Udfordring: Hvilken vinkel er det højre hus drejet i forhold til det venstre? Hvor meget længere og bredere er huset til højre? Er husene lige høje? 29

30 5.3 Analyse af et tre-punkts perspektiv I modsætning til to-punkts perspektivet, hvor man må have hjælp af fx diagonalpunkter til at fastlægge hovedforsvindingspunktet og distancen, er såvel hovedforsvindingspunktets placering som distancen i tre-punkts perspektivet fuldstændigt fastlagt ud fra forsvindingspunkterne via den følgende smukke sætning Hovedforsvindingspunktet for et tre-punkts perspektiv Hovedforsvindingspunktet H for et tre-punkts perspektiv ligger i højdernes skæringspunkt for forsvindingstrekanten frembragt af de tre forsvindingspunkter X, Y og Z hørende til et retvinklet hjørne. Forsvindingstrekanten er nødvendigvis spidsvinklet. Bevis: Hovedforsvindingspunktet H er den retvinklede projektion af øjepunktet Ø på billedplanet. Linjerne, der forbinder øjepunktet Ø med forsvindingspunkterne X, Y og Z er parallelle med hjørnets kanter. Disse tre linjer udgør altså et retvinklet hjørne i tetraederet ØXYZ, der derfor er et retvinklet tetraeder. billedplan billedplan Y Y Ø H X Ø H X Z Z Vi ser altså fx trekantsiden XY under en ret vinkel fra øjepunktet Ø og dermed må Ø ifølge Thales sætning i rummet ligge på kuglen med diameter XY. Af samme grund må den også ligge på kuglerne med diametrene YZ og ZX. P P A B A B Thales sætning i planen (a) og rummet (b): a) I planen ser man et linjestykke AB under en ret vinkel netop når man befinder sig på cirklen med AB som diameter. b) Drejes cirklen omkring diameteren AB fremkommer en kugle. I rummet gælder derfor tilsvarende, at man ser et linjestykke AB under en ret vinkel netop når man befinder sig på kuglen med AB som diameter. 30

31 Men hvis de tre kugler skærer hinanden, sker det i to punkter: Et foran billedplanen og et andet, spejlbilledet af det første, bag billedplanen. Da øjepunktet ligger foran billedplanen er dets position dermed entydigt bestemt. S S C 1 C2 C 1 C 2 T T Skæringen mellem to cirkler i planen (a) og to kugler i rummet (b): a) I planen skærer to cirkler hinanden i to punkter S og T, hvor forbindelsesstykket ST står vinkelret på centerlinjen C 1 C 2. b) Drejes cirklerne omkring deres centerlinje C 1 C 2 fås to kugler, der skærer hinanden i snitcirklen fremkommet ved at dreje diameteren ST omkring centerlinjen. Vi skal så blot analysere skæringen mellem de tre kugler. Det sker nemmest ved først at se på skæringen af to af kuglerne, fx dem med diametre XY og ZX. Centrene for disse kugler ligger i sidernes midtpunkter M XY og M ZX. Forbindelseslinjen er den såkaldte midtpunktstransversal, som er parallel med den tredje trekant side YZ. billedplan Y Y H X H M XY X H X H M XY Ø X M ZX M ZX Z Z Trækkes højden fra det fælles hjørne X vil ikke blot X men også højdens fodpunkt H X ligge på de to kugler, idet man også fra højdens fodpunkt ser de to sider XY og ZX under en ret vinkel. Ydermere står højden vinkelret på centerlinjen og derfor skærer de to kugler hinanden i en cirkel vinkelret på billedplanen som netop har højden fra X som diameter. Præcis det samme gælder selvfølgelig for de to andre hjørner. De tre kugler skærer altså hinanden to og to i tre cirkler vinkelret på billedplanen, der har højderne som diametre. Men heraf følger to ting: For det første må trekanten være spidsvinklet, da de tre højder XH X, YH Y og ZH Z ellers ikke skærer hinanden. For det andet ligger skæringspunktets, dvs. øjepunktets projektion i højdernes skæringspunkt H. 31

32 Ydermere gælder der tilsvarende at distancen er fuldstændigt fastlagt i et trepunkts perspektiv. Distancen for et 3-punkts perspektiv Distancen d for et 3-punkts perspektiv (fastlagt ved trekanten frembragt af tre forsvindingspunkter X, Y og Z hørende til en retvinklet kasse) findes ved at tegne en cirkel med en af trekanthøjderne som diameter. Derefter tegnes normalen til højden gennem højdernes skæringspunkt H. Den skærer cirklen i et distancepunkt D, der netop ligger i afstanden d fra H. billedplan Y Y H X H X H X H Ø X Z Z Dette er blot en fortsættelse af den ovenstående analyse: Distancen er netop højden i det retvinklede tetraeder med øjepunktet Ø som toppunkt og trekanten XYZ som grundflade. Vælges en af højderne ligger distancen altså som den vinkelrette afstand fra øjepunktets fodpunkt H til cirklen med højden som diameter. Drejes cirklen 90 omkring højden lægges cirklen ned i billedplanen og vi får netop den nævnte konstruktion af distancen. Den pågældende cirkel kaldes distancecirklen hørende til den spidsvinklede trekant XYZ. Den rummer netop forsvindingspunkterne for alle de synstråler, der danner en vinkel på 45 med hovedretningen. Øvelse 5.3.1: Det retvinklede hjørne Konstruer en udfoldning af det retvinklede tetraeder ØXYZ, fx som vist på figuren. Skriv tegningen ud og klip den op, så den kan foldes op til det retvinklede tetraeder. Y b b a H X H H z H Y X c a Z c 32

33 Øvelse 5.3.2: Op og ned af Escher (1960) Eschers berømte tegning er netop baseret på et tre-punkts perspektiv. Bestem såvel hovedforsvindingspunktet H som distancen d. Konstruer et kighul der lader dig se på billedet med den korrekte synsvinkel. Billedet leger i øvrigt med et brud på perspektivet. Gør rede for ideen bag billedet. Projekt 5.3.3: Leg med kasser Frembring en tegning med flere retvinklede kasser med hver deres forsvindingstrekant, men sørg for at de har et fælles hovedforsvindingspunkt H og en fælles distance d! Kontroller at kasserne ser naturtro ud fra det korrekte øjepunkt. 33

34 6. Perspektivtegning med faste mål Hidtil har vi tegnet perspektiviske tegninger af simple figurer, fx retvinklede kasser, uden at tage hensyn til deres faktiske mål, fx om der i virkeligheden var tale om en terning. Nu vil vi prøve at sammenfatte principperne bag perspektivtegning til nogle metoder til at konstruere naturtro tegninger af genstande med givne mål, fx arkitekttegninger af huse. Vi skal da have målene på huset oplyst og det vil typisk ske i form af to skalatro tegninger i samme målestoksforhold, der dels viser huset set ovenfra, den såkaldte plantegning med husets grundplan, dels viser huset set fra siden, den såkaldte opstalttegning. Opgaven består da i at kombinere informationerne fra disse to tegninger til en naturtro rumlig tegning af huset i billedplanen, som huset ses fra et bestemt udsigtspunkt, dvs. med en bestemt placering af øjepunktet: Plantegning Opstalttegning Billedplan 6.1 Afbildning af et enkelt punkt Vi starter med at løse det mest grundlæggende problem: Hvordan overføres et rumligt punkt til billedplanen. Teknikken kan derefter nemt udvides til placeringen af linjestykker, fladeelementer mm. For at have et konkret punkt at arbejde med vil se på afbildningen af knoppen på en flagstang. Først ser vi på scenen ovenfra (plantegningen). Vi har altså en flagstang, her set ovenfra som et punkt T, der befinder sig stykket y bagved billedplanen (som her ses ovenfra som en linje). Vi skal have tegnet et billede af denne flagstang som den ser ud fra et øjepunkt Ø, der befinder sig i afstanden d fra billedplanen (distancen) og forskudt stykket x langs billedplanen. Linjestykket ØT synsstrålen. Skæringspunktet med billedplanen, T', angiver derfor netop flagstangens placering på billedplanen set ovenfra. T Flagstang d T ' x y billedplan Ø Plantegning 34

35 Dernæst ser vi det hele fra siden (opstalttegningen). Denne gang får vi også højderne med, specielt øjehøjden h, samt flagstangens højde z. Opstalttegning billedplan B: knop Ø Flagstang z h grundlinje d y A: fod Vi kobler nu informationerne fra de to figurer på snedig vis for at frembringe en naturtro perspektivtegning af flagstangen med tilhørende knop set fra øjepunktet. 1. Først fastlægges hovedforsvindingspunktet H i billedplanen: Da det fremkommer som den vinkelrette projektion af øjepunktet på billedplanen ligger det dels på den lodrette linje gennem øjepunktet Ø i plantegningen, dels på den vandrette linje gennem øjepunktet Ø i opstalttegningen. 2. Dernæst fastlægges horisonten i billedplanen: Det er netop den vandrette linje gennem hovedforsvindingspunktet H. 3. Så fastlægges den vinkelrette projektion af flagstangen på billedplanen. Vi trækker derfor en lodret linje gennem punktet T i plantegningen. Den skærer grundlinjen i fodpunktet A 0. Dernæst trækkes en vandret linje gennem knoppen på flagstangen i opstalttegningen. Den skærer normalen i knoppunktet B 0. Linjestykket A 0 B 0 repræsenterer da netop den vinkelrette projektion af flagstangen på billedplanen. Hvis specielt flagstangen havde ligget i billedplanen havde vi altså været færdige! Men den ligger i virkeligheden et stykke bagved, så vi må på den igen! Plantegning: Scenen set ovenfra Plantegning T Flagstang Opstalttegning: Scenen set fra siden Billedplan: Naturtro perspektiv d Ø T ' x y billedplan Opstalttegning billedplan B: knop B 0 Ø Flagstang H B' horisont z h A' grundlinje d y A: fod A 0 4. Til sidst fastlægges billedet af flagstangen i billedplanen: Hertil benytter vi skæringspunktet T' i plantegningen. Trækkes den lodrette linje gennem T' ved vi nu at billedet af flagstangen ligger på denne linje. Men vi ved også at normalerne A 0 T og B 0 T står vinkelret på billedplanen og derfor har hovedforsvindingspunktet H som deres forsvindingspunkt. Vi forbinder derfor A 0 og B 0 med H. Skæringen med den lodrette linje gennem T' giver da netop fodpunktet A' og toppunktet B' for flagstangen. 35

36 Der findes mange varianter af den ovenstående konstruktion og sommetider kan man skyde genvej ud fra andre punkter på billedet. Men det er klogt at sætte sig grundigt ind i den ovenstående konstruktion, som man normalt altid vil kunne falde tilbage på. Bemærkning: Hvis vi ser nærmere på opstalttegningen kan vi se at den eneste information om øjepunktet Ø vi udnytter i konstruktionen er øjepunktets højde over grundlinjen, dvs. øjehøjden h. Der er derfor tradition for at man simpelthen udelader øjepunktets placering på opstalttegningen og nøjes med at angive grundlinjen og horisonten. Ofte er grundlinjen endda underforstået, fx som her rammens nederste kant. Tilsvarende bruger vi ikke billedplanens placering i opstalttegningen og denne udelades derfor normalt også. 36

37 6.2 Et-punkts perspektiv (frontperspektiv) Nu er vi endelig helt klar til at tegne et frontperspektivisk billede af en kasse med givne mål set fra et bestemt sted ved at kombinere en plantegning og en opstalttegning som forklaret ovenfor. Eksempel En kasse tegnet i et-punkts perspektiv Vi forestiller os altså en retvinklet kasse, der hviler på grundplanen med fronten parallel med billedplanen i afstanden y bagved billedplanen. Vores øjepunkt Ø befinder sig i afstanden d foran billedplanen (distancen) i højden h over grundplanen. Endelig er kassens venstre kant forskudt stykket x langs billedplanen i forhold til øjepunktet. Kassen selv har bredden b kasse, højden h kasse og dybden d kasse. 0 Opstalttegning: Scenen set fra siden Plantegning: Scenen set ovenfra Billedplan: Naturtro perspektiv Plantegning billedplan C' x d Ø A' C A B' y D B Opstalttegning billedplan Ø E G H G' E' F' E 0 F 0 horisont grundlinje h d y z A C Princippet i konstruktionen er det samme som ved flagstangen: Først konstrueres horisonten og hovedforsvindingspunktet H i billedplanen som forklaret ovenfor. Så konstrueres den vinkelrette projektion af kassens front på billedplanen, A 0 B 0 E 0 F 0 ved dels at trække lodrette linjer gennem kassens lodrette sider i plantegningen, dels at tegne vandrette linjer gennem kassens vandrette sider i opstalttegningen. Hvis fronten havde stødt op til billedplanen havde vi nu været færdige med fronten. Men i virkeligheden ligger fronten et stykke bagved billedplanen! Hjørnerne A 0, B 0, E 0 og F 0 forbindes derfor med hovedforsvindingspunktet H, som netop er forsvindingspunktet for normalerne A 0 A, B 0 B osv. Den rigtige afbildning af fronten ligger et sted på disse fire forbindingslinjer A 0 H, B 0 H, E 0 H og F 0 H. Synstrålerne ØA, ØB osv. i plantegningen skærer nu billedplanen i plantegningen i punkterne A', B' osv. De lodrette linjer gennem skæringspunkterne skærer da netop i billedpunkterne A', B', E' og F'. Da fronten er parallel med billedplanen bliver billedet af fronten i virkeligheden et rektangel med vandrette og lodrette sider. Det kunne vi også have benyttet, så snart det første hjørne af fronten var overført til billedplanen. Endelig overføres den bagerste flade fra kassen på samme måde. Igen er det i virkeligheden nok blot at få overført et enkelt hjørne, da forbindelseslinjerne til resten af hjørnerne er vandrette og lodrette. Til slut fjernes alle hjælpelinjerne og kassens kanter trækkes passende op ligesom man kan skyggelægge de synlige flader. Dermed er tegningen færdig! Prøv at ændre øjepunktets placering og se hvilken indflydelse det har på perspektivtegningen. C' A' B' A 0 B 0 37

Bacheloruddannelsen 1. år E15

Bacheloruddannelsen 1. år E15 Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning

Læs mere

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten.

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten. Perspektiv tegning Hjælp til perspektivtegning. Illustrationerne er købt fra Perspektivtegning - Matematik i Billedkunst, billedkunst i matematik. - en kopimappe som er lavet af Jørgen Skourup og Ole Stærkjær.

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Perspektiv. At illustrerer rumligt. Forsvindingspunkt Horisont

Perspektiv. At illustrerer rumligt. Forsvindingspunkt Horisont Rumlig afbildning For at illustrere en bygning eller et Rum, i et sprog der er til at forstå, for ikke byggefolk, kan det være en fordel at lave en gengivelse af virkeligheden. Perspektiv At illustrerer

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt:

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt: Kirsten Isager, perspektivkasse 1 Projektopgave nr 2: Geoetri, Perspektivkasse. uet skal være et snydeperspektiv. Først tager vi ålene i det virkelige ålestoksforhold. Forudsætninger: øjet står 2 foran

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Mandatfordelinger ved valg

Mandatfordelinger ved valg Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition.

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition. Komposition - om at bygge et billede op Hvis du har prøvet at bygge et korthus, ved du, hvor vigtigt det er, at hvert kort bliver anbragt helt præcist i forhold til de andre. Ellers braser det hele sammen.

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Rumlig afbildning. af Torsten Gjøl Jacobsen, bygningskonstruktør og Lasse Bengtsson, arkitekt m.a.a. Københavns Erhvervsakademi, Byggeri/Produktion

Rumlig afbildning. af Torsten Gjøl Jacobsen, bygningskonstruktør og Lasse Bengtsson, arkitekt m.a.a. Københavns Erhvervsakademi, Byggeri/Produktion Rumlig afbildning af Torsten Gjøl Jacobsen, bygningskonstruktør og Lasse Bengtsson, arkitekt m.a.a. Københavns Erhvervsakademi, Byggeri/Produktion Den traditionelle bygningstegning, med sin plan, snit

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Introduktion til ovaler: Ovato Tondo fra Rafaels skole En oval er en lukket krum kurve med to vinkelrette symmetriakser, storeaksen og lilleaksen, og dermed også et symmetricentrum. Der findes mange forskellige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Dragværk. På billedet kan du se en pige eller kvinde, der står på ryggen af en hane. Pigen er syet i dragværk. Det er et lille motiv på en knædug.

Dragværk. På billedet kan du se en pige eller kvinde, der står på ryggen af en hane. Pigen er syet i dragværk. Det er et lille motiv på en knædug. Dragværk Fra anden halvdel af 1700-tallet er tekstiler med såkaldt dragværk bevaret. Her trak kvinderne i brede borter tråde ud i hele stoffets bredde og syede derefter figurer som f.eks. dyr og træer

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

C 08 Bindende norm Side 1 af 6. Kobling

C 08 Bindende norm Side 1 af 6. Kobling Bindende norm Side 1 af 6 Denne standard gælder kun for materiel, der også i virkeligheden er udstyret med puffere. Denne standard skal ses i sammenhæng med standard C 07 Puffere og standard B 09 Afkoblingsrampe

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde

Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadrant instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadranterne i instrumentpakken fra geomat.dk er kopier af et instrument lavet af Georg Hartman i 1547. Originalen

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Korncirkler og matematik

Korncirkler og matematik Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter

Læs mere

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, basis+g ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Den pythagoræiske læresætning

Den pythagoræiske læresætning Den pythagoræiske læresætning 1. Udfyld skemaet herunder dvs. find den manglende hypotenuse ved a 2 + b 2 = c 2 : 1 20 21 2 12 35 3 28 45 4 56 33 5 119 120 6 168 95 7 52 165 8 207 224 9 315 572 10 627

Læs mere

MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER

MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER Matematik i Hasle Bakker Hasle Bakker er et oplagt mål for ekskursioner, der lægger op til, at eleverne åbner øjnene for de muligheder, naturen giver. Leg, bevægelse,

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt af Brian Kristensen http://akrylkunst.dk side 1 af 6 Denne quick guide viser i korte steps hvordan man tegner de rigtige proportioner i et ansigt. For at have et fundament når du tegner et ansigt er det

Læs mere

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire 1. Introduktion til geometriværktøjerne i TI-Nspire cas... 2 1.2. Åben en geometriapplikation... 2 1.2. Klik-Flyt-Klik... 2 Eksempel: Tegn en cirkel...

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene. Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Sådan kommer du i gang med GeomeTricks

Sådan kommer du i gang med GeomeTricks Sådan kommer du i gang med GeomeTricks Ved hjælp af programmet GeomeTricks kan du tegne figurer i geometri. Når du tegner en figur, så skal du opbygge din figur ved hjælp af geometriske objekter. Geometriske

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Tegning/Todimensionale billeder

Tegning/Todimensionale billeder Tegning/Todimensionale billeder - TEGNETEKNIKKER, REDSKABER OG OPGAVER At tegne er en proces, en måde at skildre på. Hemmeligheden ved en vellykket tegning er en omhyggelig iagttagelse, en forenkling af

Læs mere

DesignPro II Side 11. Grupper

DesignPro II Side 11. Grupper DesignPro II Side 11 Grupper Hvis man arbejde helt fra grunden, er det ofte en fordel at kunne samle tekst, billeder og baggrund til en fast gruppe, som så kan flyttes rundt, og ændres i størrelsen. I

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 9 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri G ISBN: 978-87-92488-15 2 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Naturen, byen og kunsten

Naturen, byen og kunsten Tekst: Katrine Minddal Redigering: Karsten Elmose Vad Layout og grafik: Inger Chamilla Schäffer, Grafikhuset Naturen, byen og kunsten Fag Formål Billedkunst og dansk Træning i billedanalyse. Kendskab til

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

SPEJL SPIL VEJLEDNING

SPEJL SPIL VEJLEDNING SPEJL SPIL VEJLEDNING BENT NØRGAARD www.spf-matematik.dk OM SPEJL SPIL Spejl Spil findes i to udgaver, et rødt spil og et blåt spil. Hvert spil består af 24 spejlkort, 4 terninger og 2 formplader med spejl.

Læs mere

Indholdsfortegnelse. T1. IndledningT... 5. T2. CentralprojektionsmodellenT... 5. T3. Kort om rumgeometrit... 8

Indholdsfortegnelse. T1. IndledningT... 5. T2. CentralprojektionsmodellenT... 5. T3. Kort om rumgeometrit... 8 ... Indholdsfortegnelse T1. IndledningT... 5 T2. CentralprojektionsmodellenT... 5 T3. Kort om rumgeometrit... 8 T4. Rummet og den perspektiviske plant... 12 T5. Den perspektiviske afbildningt... 14 T6.

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere