Palestrinakontrapunkt Indledende stemmeførings- og samklangsregler 1. lektion (Jeppesen p.81-84, )

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Palestrinakontrapunkt Indledende stemmeførings- og samklangsregler 1. lektion (Jeppesen p.81-84, 95-108)"

Transkript

1 strkontrpunkt Indledende stemmeførgs og smklngsregler 1. lektion (Jeppesen p.8184, 9108) D kn være en vnskeg proces t blere formmelse for hvd der lyder rigtigt og hvd der lyder forkert i en musiklsk stil, som ikke længere er en nturg del f d musiklske vokbulrium. Ligesom d heller ikke er l for lle, t høre forskel på om der skl siges en eller forn gt substntiv. Derfor tyr mn til regler i dlærgsprocessen. En regel er udtryk for ekstrkt f, hvd str hyppigst gør i en g sitution. Og fordi hn næsten ltid gør d smme, er hn så tkmmeg t bruge som forbillede for stistiske stsølser. D llerførste, der skl forsøges er t skri to melodier, der på én gng opfylder stilens krv til melodilje og til smklng. Stilens rytmiske differentierg lder vi i første omgng gge. Opgn skl udrjdes med brug f kun én este deværdi. Om d br hel hlvder eller fjerdedele er mdre væsentgt. De denstående eksempler nyt sig f fjerdedele. Mn kn smmeng den "ideelle" strmelodi med bjerglndskb. Der er grdvis vægelse op og d. Der er én to der er højdepunkt og dte højdepunkt gger som regel cirk midtjs (men d er ikke fgørende). I s lærebog "Kontrpunkt" skrir Knud Jeppesen melodiførgen således (p.10) "Trvis vægelse er gnske vist f d gode, men skler gør d ikke. D gælder om t sk melodier, som l er fste i tegngen men tilge tilstrækkeg fkslende i toforråd. Især kommer d [...] n på t højton dtræder friskt og virkngsfuldt; følgeg undgår mn helst t brge den to mere end én gng [..]. Ligeledes bør mn udvise forsigtighed, hvd ngår hndlgen f "dybton". Omend ikke så vigtig som højton, forlnger den dog en vis hensyntgen; dst er d derfor, om mn ikke for hyppigt gentger den i melodien, i hrt tilfælde ikke uden pssende mellemrum. Forøvrigt er d nødndigt t holde hr enkelt stemme denfor rimegt (=syngegt) omfng". Vi stopper her og lder gle f Jeppesens melodieksempler (p ) tle for resten: Eksempler Eks.1) En dorisk melodi. Højdepunkt midtjs Eks. 2) En frygisk melodi. Højdepunkt i strten. mærk d fsluttende fldende llesekundskridt, der er kendegn på frygisk. Eks. Eks.) En mixolydisk melodi. Højdepunkt i strten. Eks.4) En jonisk melodi. Højdepunkt midtjs. Første ølse er t skri en modstemme til en eller flere f onstående fire eksempler. Som vr disse melodier cntus firmus i en ny komposition. BEMÆRK Modstemmen skl h s egen kur, så vidt mugt med top og dybtor ndre steder end cntus firmus. Modstemmen forlør som nævnt i smme rytme som cntus firmus (ltså de mod de). Modstemmen kn være or eller understemme ef elens vlg. Prøv t l to rsior f eller flere f eksempler. En rsion med or og en med understemme. Muge sprg: ts, ren kvrt, ren kvt, oktv. I opdgående vægelse også lle sekst. Men d er en drstisk hndlg, der nøje må fblnceres. Ingen togentgelser må forekomme. Stemmekryds er tilldt. De tilldte smklnge er: Prim, ts, kvt, sekst, oktv. Husk t prim, kvt og oktv ikke må prllelføres!! Undgå mere end tre prllelle tser eller seks d gngen. Undgå sprg i smme rng (hvis gge stemmer går i smme rng bør den e væge sig trvis). Mximum fstnd mellem stemmer er en decim. Eksempler på cntus firmus med modstemmer (cntus firmus er fr Knud Jeppesen). I eksempl læses de to ørste eller de to derste ljer seprt. Eks. Orstemme Cntus Firmus Understemme Orstemme Cntus Firmus Understemme Godt Råd: Undersøg først hvilke tor der orhod er muge som modstemme til melodien, og tænk først deref på melodikurr og toptor!

2 O Imittion/Kn, Fjerdedele og hlvder. 2. lektion strs musik er en imiende musik. D.v.s. t stemmer sæt d én d gngen, og lle gynder de deres dsts med d smme motiv. De efgr hnden imier hnden. Når 2. stemme sæt d med tem kn d ske udfr tre forskelge tohøjder: 1) Primen eller oktn, dvs. smme sted som 1. stemme sng (evt. oktr), 2) Kvten or 1. stemmes strtto ) Kvten under 1. stemmes strtto. Indstser kvten under eller or kn oktres således, t 2. stemmes strtto i reten er en kvrt or eller under 1. stemmes strtto. I følgende eksempel er svrelsen en kvt under ikke oktr: Tem Lux de cus Hi sp ni e Hi O Lux Temsvrelse Selvom 2. stemme sæt d fortsæt 1. stemme tilsyldende upåvirk s egen melodilje. Men d er kun tilsyldende. mærk, hvor omhyggegt str orholder de smklngs og vægelsesregler, vi dtil nu hr stift kendtskb med. Når tem er imi, kn stemmer fortsætte i en friere melodik (der dog orholder lle vægelsesregler) frem mod en fsluttende kdencerg. Men stemmer kn også fstholde den strenge imittion. Imier to stemmer dro hele stsen igenm, kldes stsen en kn. Når en kn skl udrjdes, lder mn den tilføjede modstemme fungere, som ny temdel, der så får tilføj en ny modstemme, der så fungerer som ny temdel c. d fium. I eksempl herunder er rjdsgngen vist d tl. Først ls 1, så 2, så c. N.B. Tems bongsforhold skl fstholdes d imittion! Kn i underkvten 1 "tem" di ctus en modstemme til tem kompores dic tus di ctus, modstemme til modstemmen skris, di 2 tem trnspores evt. som her og 4 modstemmen skris op trnspor skris op i 2. stemme til 2. stemmes leje. Onstående ses eksempel på konstruktion f en kn. Tem er dt typisk med s drmtiske puse og d store sprg op til seksten. I orensstemmelse med stilen fblnceres d dog i en lng fldende kur. mærk den blokgtige måde kn kompores på. Kunsten er t fstholde smukt melodisk forløb smtidig med, t forløb skl gi cceptble smklnge til 2.stemmen. di ctus, Kvrtgenmgngsdissonns væger en fjerdedel sig mod en ggende hlvde eller helde tilldes i ddgående trvis vægelse kvrten på 2 og 4 slg, ltså på ubon slg. D gælder også for hlvde mod ggende helde. Her er d blot slg, der fungerer som d "ubode" slg. D er en forudsætng, t den fldende trvise vægelse vrer fr slg før til og med slg ef d ubode slg, hvor kvrtvll i forhold til den ggende modstemme opstår. Er vægelsen led i en imittion eller kn, tolereres endvidere smme vægelse i opdgående rng. tongsdissonns Flder dissonnsen på bon slg gælder ndre regler. D skl dissonnsen (ørste to i 4 og 7, derste i 2) gge med konsorende smklng på foregående ubode slg. På d bode slg væger modstemmen sig hen og skr en dissonntisk klng, og på følgende ubode slg opløses dissonnsen trvist dd i q, til en konsorende smklng. ubon h kvrtgenmgng mod w ubon kvrtgenmgng Korrekt kvrtgenmgng i henholdsvis fjerdedelsvægelse og hlvdevægelse ubon kvrtgenmgng Imiende kvrtgenmgng modstemme forr. diss. opløsn. forr. diss. opløsn. Opg: Udrjd en kn i oktv eller underkvt or følgende tem. Kun helde, hlvde og fjerdedel er tilldt. Vrighed d bitum (m.6 tk), slut med ton F som dyste to og den nden to i enten enklng, oktv, kvt eller ts. (tem fr messen "Pnis quem ego dbo") c. forredelse diss. opløsng modstemme N.B. Alle regler fr forrige side gælder stdig, borts fr t genmgngskvrt og bongsdissonns nu er tilldt (men ikke obgtorisk) smt, t d bongskvrt kn mbitus udvides til en oktv+kvrt!! c.

3 Fr en til tre Ottendedele smt orbdg. lektion Ottendedele bruges hos str til t smidiggøre musikken, som ornment på fjerdedelsvægelsen. I første omgng vil vi dføre brugen f isolerede ottendedele, evt. med en ekstr optktsto til t smidiggøre ottendedele på bon tkttid. Ottendedele bruges her fortrsvis i trvis vægelse. Tertsfld (se eks. 6) optræder oftest i ottendelsgrupper eller flere. Ottendedelspr To isolerede ottendedele ses ofte på ubon fjerdedel men ltid i en ddgående trvis eller dddrejende vægelse. De kn også forekomme på bon slg, d kn d være sål op som ddgående. Her ses til gengæld oftest, t effølgende de er forlæng ud or fjerdedels vrighed. Hr eprr en optktsto (eks.11) kræs gen forlængelse f effølgende to. D er der jo heller ikke længere tle om isoler epr! Der er flere vægelsesmugheder for ottendedelspr, men vi holder os i følgende opg til de to skrev krkiser d trvis d og videreførsel. Så reglen for to isolerede ottendedele i trvis vægelse er m k: Ubon går ltid dd (gge tor kn dissore!). ton krær effølgende forlæng fjerdedelsværdi (kun ogslg kn dissore). Ubon fjerdedel (uden og med optkt) 1 lmdeg 2 lmdeg ton fjerdedel (uden og med optkt) 8 Her er den mest lmdeg 9 men dte kn forekomme (ikke så hyppig) FORBUDT en meg brugt vr. f eks. 1 Ses ikke! 4 Ses ikke! 10 heller ikke så hyppig 6 og tre e her ubon ses også ofte i den ndg. 7 Med dledende ottendedel kn vægelsen også gå opd. Af onstående eksempler er, som ottendedelsbrug omkrg bon fjerdedel, eks.11 særg ynd hos str. De to ottendedele på bon med optkt på ubon kn iggtges hyppigt i de trestemmige stser, mens ottendedele uden optkt (eks.8 og 9) ikke er ge så udbredt. strs ottendelsbrug omkrg ubon fjerdedel fspejles dst f eks. 1, 2 og. Sådn ndger fder mn orlt i strs musik. 11 mere lmdeg med igngsættende e 12 med en ekstr ottendedel oples den smidig og bruges ger den igttges ikke nær så ofte. Neddgående vægelse forekommer hyppigere som eks.. 1 Med drejng tilbge er den derimod lmdeg. Dissonnser Den ubode ottendedel kn ltid dissore såfremt den d og videreføres trvist (defr eller oppefr). Den reltivt bode ottendedel (den første i pr på 2. eller 4. slg i tkten) kn i isoler ottendedelspr dissore i ddgående vægelse og kun i ddgående vægelse. Nedenfor ses illustrer forskelge dissonnstyper: 2 ubon drej. 4 ub. d. 7 ub. drej. 7 ub. op. 4 rel.b. kun dd! 4 rel.b. kun dd! 4 rel.b. kun dd! 4 ub. drej. forlæng opløsng 2 rel.b. kun dd! Orbdg Orbdg er meg brugt element i strstil, d d skr en plstisk rytmisk vægelse. Orbdg kn imidlertid kun fde sted til en de f smme eller hlv værdi (qq, qe, hh, hq, ww, wh). Mn kn ikke orbde fr de kore end en fjerdedel!!! Ottendedelen ef en orbunden fjerdedel kn gå sål op som d, uns hvor i tkten den måtte flde! Orbunden ottendedel kn ikke frit dissore og kn ldrig dissore på ubon! rigtig rigtig rigtig rigtig rigtig (smme type som i første tkt bre nderledes) Forkert Forkert Forkert Forkert Opg: hvorfor er lt dte forkert? Lv en kn (c. tk) or følgende tem. Vælg selv om d skl være i prim, oktv eller or eller underkvt. Afslut med bongsdissonns (bryd evt. knstrukturen for t l sådn én). Regler fr "1. lektion" prr med "2.lektion" gælder stdig. Derudor må nu også bruges orbdger smt ottendedelspr. Orbund ottendedelspr kn optræde på bon slg uden, t effølgende de hør forlænges ud or fjerdedelsværdi (se 2. tkt i onstående delje). Husk igen: Orbunden ottendedel kn ikke dissore!

4 1 1 Togentgelse, puser og sekstendedele. 4. lektion Togentgelser Hos plestr kn togentgelser forekomme i fjerdedelstempo og lngsommere. Sådn togentgelser hr dog ltid motivisk krk og skl derfor bruges som motiv. Togentgelse i dte tempo kn kun forekomme i forbdelse med tekstskifte. Eksempelvis tosættes nd led f en dictus sts," mi domi", meg ofte d brug f togentgelser: I eks., miss P Nos, ses en togentgelse f kun en ottendedels vrighed. En sådn kn forekomme i kun to smmenhænge. 1) Som her, hvor den er temtisk. En punk fjerdedel, hvor den effølgende ottendedel hr smme tohøjde som den punkede fjerdedel forden. En isoler ottendedel omgit f længere deværdier kn bære en tekststlse. 2) Som nticiption/portmento. En nticiption er en ottendedels forudgrilse f en effølgende fjerdedel. Hvis en ubon ottendedel (den på "og") istedfor t væge sig op eller d gentges, kldes d en nticiption eller portmento: Ved nticiption kræs ikke ny tekststlse! Anticiption forekommer kun i ddgående vægelse og kun før ubon fjerdedel. Nedenfor er ydergere pr eksempler på nticiptior. Som d ses kn de forekomme sål i forbdelse med bongsdissonnser som med konsonnser. Før bon fjerdedel ses ikke enticiption. Isted kn her igttges drejende x! Anticiption: Fr Miss "Pnis quem ego dbo" mi mi Fr Miss "Gbriel Archngelus" ni sunt Do ni sunt Fr Miss "Æn Christi Mur" mi mi opløsngen f septimen E/D forudgris nticiperes med en ottendedel. 4. slg, ubon q 7 Men nticiption forekommer også uden dissonnser!! Fr Miss "P Nos" mi (Stdig fr Miss "Gbriel Archngelus") 4. slg, ubon q Og nticiption kn optræde ef forudgående ottendedele. Do mi Do Portmento Anticiption Og endeg kn den qto der forudgris udsmykkes med to sekstendedele... Før bon q bruges drejende x som nticiption. 2. slg, ubon q. 2. e udsmykk med drejende x før bon q. mærk: Orbunden ottendedel kun kn dissore i forbdelse med nticiption. Den nticiperende e kn være underdelt i en drejende xdels vægelse, gesom opløsngstons nden e d dissonnsopløsng ef nticiption kn væge sig videre i sekstendedele. Sekstendedele Sekstendedele optræder i strsts kun prvis og kun på ubon ottendedel ("og"slg). De kn væge sig i trvis vægelse opd sål som dd og de kn dreje men kun dd. De kn ltså kun væge sig trvist, til gengæld kn de gge frit dissore!! Fr Miss "Æn Christi Mur" di ctus Nedd Fr Miss Secund (Primi toni) di ctus di ctus Opd (som udsmykng f q ef nticip.) Puser (her som udsmykng f q ef nticip.) Hos str dtræder puser ltid på bon tkttid, og kun på bon tkttid. Puser kn ikke dsættes ef deværdier mdre end en fjerdedel. D.v.s. sidste de før en puse skl h mimum en fjerdedels længde. Oftest hr sidste de før puse dog mimum hlvdeværdi. Hlvdeværdi og deror nfles derfor som mdste vrighed før puse. Opg Tem til næste gng. D er nu tilldt t bryde kn for t opnå dre stemmeførg. Afsluttes med bongsdiss. ni sunt ( r) Opd Temforlægg er fr strs messe "De t Virgi". I må nytte jer f d vi til nu hr genmgå, borts fr togentgelser. Længden bør være mimum 8 tk.

5 Firtonige ottendedelsgrupper.lektion Når ottendedele forekommer i grupper f fire, kn de frit tge fsæt i lle tktens fire slg, uden hrken t være bund til en særg vægelsesrng eller t tge særg hensyn til effølgende des længde (omend mn ofte ser ubon fjerdedel ef en firtonig ottendedelsgruppe forlæng). Til gengæld er ikke lle vlfølger gængse. De firtonige ottendelsgrupper optræder i græns ntl ndger. Mn kn brgte dem som moduler. Jeppesen ngir i s bog ntl (p.886), men de er lngtfr lle ge ofte brugt f str. På den side er denfor opst de 11 mest brugte firtogrupper. Og skønt de lle kn tge fsæt på sål bon som ubon fjerdedels plds, tger de oftest fsæt fr bon fjerdedels plds. D der også er grænsnger for hvilke tor en sådn firtogruppe kn fortsætte til, er der i eksempler dført gle hlsløse tor. Disse ngir hvilke tohøjder, der kn fortsættes til. Således kn mn fr modul 1 fortsætte sål sekunden under som sekunden or moduls slutto (G). Og ef modul er der hele fem fortsættelsesmugheder. Moduler er ddelt i tre grupper: A) Stigende B) Fldende C) Drejende A)Stigende 1 2 A 4 B) Fldende 6 C) Drejende 7 (Cmbit) mærk 11 som med si drejende og opdgående vægelser fktisk tilsmmen udgør en ddgående vægelse. mærk derudor vrten f modul tre, A, som hyppigt ses hos str, i de situtior, hvor sidste to i ville medføre sprg til eller fr dissonns. Løsng f problem med dissonnsopløsng d brug f Cmbit sprg Cmbit 8 OpNedDreje?? Cmbit Modul 7 hr en særg plds i strs musiklske vokbulrium. Den kldes en "Cmbit" og udmærker sig d t være d este tilfælde, hvor en dissonns ikke opløses trvist. I cmbiten fortsættes fr den dissorende genmgngsde tsvis dd, hvoref der drejes trvist opd. Cmbiten optræder i tilfælde, hvor en trvis videreførsel f smklngsmæssige grunde ikke lder sig gøre. mærk t den trvise opløsngsto dog dfder sig umiddelbrt ef sprg! diss. opløsn. Løsng d brug f sekstendedele sekstendedele lntiv til cmbiten er brugen f sekstendedele. Hos str forekommer sekstendedele ltid i grupper f to, og de kn kun flde på ogslg. Med sådn to sekstendedele kn mn nå d her dissorende tor til en mug opløsngsto. Riv bon genmgngsdissonns i ottendedelsgrupper f mere end to. Forekommer den reltivt bode genmgngsdissonns, ltså en dissorende ottendedel på 2 eller 4 slg i tkten, i en firtogruppe gælder særge regler: Den dissorende to skl d være den næstsidste to i rækken og sidste to skl dreje tilbge til to f længere deværdi (end en ottendedel). Den to skl dn modstemme til en dissonns. vægelsen skl være ddgående. Se de to este mugheder i deeksempl herunder: ubon genmgngsdiss. rel.b. forredelse modstemme til diss. Opløsngston kn dtræde i lle de tre former vi kender: 1) som nticiption (for tidg), 2) som q ef q (til tiden) ) Som tilbgedrejende e (for sent). forredelse dissonns opløsng nticiption (opløsngsmughed 1) Udrjd en imiende sts ikke kn med brug f ydergere firtonigt ottendedels modul udor tems. Stsen skl fsluttes med en bongsdissonns, der ef opløsngston fortsæt til enklng på E, A eller C (!). di ctus () rel.b. dissonns opløsng og smtidig forredelse (opløsng 2) diss. opl. modstemme til diss. Som temforlæg bruges fornstående motiv fr strs messe "Jesu str redemptio". Imittion kn strte i t.2 eller i t.. Den hlsløse de dikerer t deværdien er op til jer t stemme. Udrjd evt. selv tem til tekstled " mi domi" og fslut stsen med imittion or dte tem.

6 Tekstlægng 6. lektion Sv.Hvidtlf Nielsen Når mn komporer melodisk forløb til en tekst, kn d enten gøres således, t der er én tekststlse pr. to, d kldes deklmtion syllbisk eller således, t der er mere end én to pr. tekststlse, kld mesmtisk deklmtion. Hos str deklmeres tekstledd d første præsenttion, ltså første tem præsenttion orjende syllbisk, mens teksten ef tempræsenttion orjende deklmeres mesmtisk. Uns om teksten deklmeres syllbisk eller mesmtisk er d vigtigt, t melodiens bong følger tekstens bongsforhold. I tekstledd "dictus " er der nturgt tryk på "dic" og "", mens f.eks. "" og "" formmes ubon. I tem fr messen med d synderge nvn "Giá fú chi m'heb cr", ses eksempel på, hvorledes str udkomporer den tekst. Indledngsvis deklmeres syllbisk, med p stlser "" og "dic" på bode slg, mens "" i d lngsomme flder på slg, der i tems hlvdempo vil formmes ubon. Til gengæld flder "" og "" tilsyldende på forkerte bonger. "Qui", der er éntydigt ubon, flder på bon slg, mens d bode "" flder på ubon slg. Men her træder mesmtikken til og r op på disse forhold. For d bode "" vrer kun én fjerdedel, mens hele "" frsen vrer hlvnden tkt. Derd får stlsen "" meg mere fylde end "", og formmes dermed også mere bon end "". Syng selv ef og lyt til forhold mellem tekstens og melodiens bonger. dic tus Normlt sættes ikke buer or mesmer hos str. Her gøres d for t tydeggøre dem, hvor de forekommer. Ky Alle stlser kn bære en mesme (som f.eks. også sidste stlse i dictus gør d onfor). D vigtige er, t den musiklske frse orordn underbygger tekstens bongsforhold. D hr til nu vær en hodregel, t der i opgr ikke måtte forekomme togentgelser, borts fr d portmentos nticiption. En togentgelse ses d hos str oftest kun som led i prægnnt tem, eller i forbdelse med fsluttende kdence. Reglen omkrg togentgelse er, t der skl være ny stlse d togentgelse. Til den regel skl tilføjes, t borts fr den særge portmentovægelse kn togentgelse ikke forekomme i ottendedele og sekstendedele. Kun q, h, og w kn gentges! I tem denfor ses igen en nøje orenstemmelse mellem tekstens og musikkens bongsforhold. "Ky", "lei" og "son" er bode, mens "e" er bsolut ubon. Også her ses en understregng f bongen genm mesmtik. Tem er fr messen "Inviolt". rie e lei son Gerelt kn gis følgende tekstlægngsregler (frit ef Jeppesen): 1) Enhr deværdi større end e kn bære en tekststlse. 2) En e kn kun bære en tekststlse såfremt den følger ef punk q og effølges f q eller større deværdi, som i eksempl til højre fr "P Nos": ) Nodeværdi mdre end e kn ikke bære tekst. 4) Flere e, som står smmen, kn bære en tekststlse (se sidens eksempler). ) Tekstens nturg udtle skl så vidt mugt respekes. Fr Miss "P Nos" 6) Mn kn ikke skifte tekst ef mdre deværdi end q (borts fr d omstændigheder som i regel 2). 7) D er nturgt t slutstlsen flder smmen med slutton i en musiklsk frse. Af hensyn hertil gis i slutkdencer f og til censer fr regel 6, som d eksempl til højre (Amen): 8) Ved imittion skl lle imiende stemmer h smme tekstlægng. 9) Togentgelse forlnger ny tekststlse, med undtgelse f portmentoer. Tem til næste gng di ctus A mi mærk i onstående melodi fr messen Ecce scerdos mgnus, t d fsluttende "" sættes n første gng bon slg effølger deværdi større end e. Regel 7 vil ikke gælde her, d der er tle om en enkelt frseslutng og ikke en stsslutng. Til gengæld ses midt i mesmen en togentgelse fr portmento, der jo p ifølge regel 9 heller ikke krær ny tekst. nyt de første tre tk f dictusstsen fr Scerdos mgnus til tem forlæg til næste gng. NB: Mn må stdig mx nytte fire e d gngen! men

7 Kæder f ottendedele 7.Lektion SvHvidtfelt Nielsen Ofte forekommer ottendedelskæder længere end fire. De fungerer som ornmen i musikken. De hr ofte temtisk funktion, men kn også forekomme uden, som ren udsmykng. For lle sådn ornmen gælder, t de kn brgtes som forskelge smmensætnger f de moduler, der er opst på ppir til. lektion. Skønt isolerede firogrupper kn tge fsæt i sål bon som ubon tktslg, vil vi i nlyser f ottendedelskæder på mere end fire tor ltid opste firtogrupper fr bon tktslg. Og derudfr se hvilke grupperger kæden står f. står gruppen f seks tor dnr sål de første fire som de sidste fire f disse moduler. Er der otte tor er disse smmenst så sål de fire første, sidste som midste, hr dnr kendt modul. Ved sjæld tilfælde kn ses hele tre firtogrupper ef hnden, men oftest optræder ottendedele i grupper f fr to til otte. I en sådn kæde regs en entuel dledende orbunden ottendedel med, når moduler skl identificeres. Modst ltså en isoler ottendedel, der ikke brgtes som den sidste f pr (og derfor ikke er underlgt de strenge regler, der gælder for isolerede epr). I smmenkædngen f to grupper optræder to nye moduler, der ikke ses som selvstændige firogrupper, men ltså kun ses d smmenstillgen f to firogrupper eller f en firtogruppe og en totogruppe: Modul X og Modul Y modul X modul X isoler 9 modul Y modul Y isoler Nedenfor udpluk f strs rigt vrierede brug f bsismoduler: ex Miss "Descendit Angelus Domi" (dictus) ex Miss "Aspice Domi" X (ni sunt) ex Miss "A Reg Coelorum" (dictus) nticiption effulgt f ornmen fjerdedel. (= underdelt med to sekstendedele) ex Miss "Jesu Nostr Redemptio" (dictus) 1 X nticiption effulgt f ornmen fjerdedel. (= underdelt med to sekstendedele) ex Miss "Primi toni" ex Miss "Ascendo d Ptrem" ( resurrexit) (dictus) X Y 9 ex Miss "Quem Dicunt Homis" (Crucifixus) Y ex Miss "Spem Aum" (dictus) (Crucifixus) 12 (Crucifixus) 1 Y ex Miss "In te Domi spervi" Kæder f en længde mellem tre og otte tor er d bsolut hyppigst forekommende. Kæder længere end otte tor ses sjældre. 2 ex Miss "Ecce scerdos mgnus" 7 1 Udrjd en imiende sts or denstående tem fr strs messe "Aspice Domi" (se også eks. ). Stsen skl fsluttes med en bongsdissonns, der ef opløsngston fortsæt til enklng. Sæt under bongsdissonnsen en tredje stemme, der underbygger kdencen. ni sunt (r) Eksempel på fslutng: + en tredje stemme

8 Grundkord strkontrpunkt trestemmig sts 1. dsts, kdence, kkordnlyse 8. lektion Ved trestemmig sts slækkes gle f regler, som vi kender dem fr tostemmig sts i og med, t den trestemmige sts er mdre spkel og fordi den muggør trestemmige kkorder. Disse kkorder kn dns på to måder: Enten f to tser eller f en ts plus en kvrt. I moder mologi vil d sige, t trestemmige kkorder frit kn optræde i grundform og som sekstkkord. I kvrtsekstkkorden og kvrtkvtkkorden (sus4) opfttes kvrten i forhold til bston som dissonns og skl derfor hndles som en sådn. De dissonnser, vi hr lært t hndle, optræder i trestemmig sts oftest i form f en sus4kkord (kvrt og sekund/septimdissonns), evt. en sus4 i omndg. Men de kn også optræde som del f en kvrtsekstkkord (kvrtdissonns) eller en septimkkord (sekund/septimdissonns). Konsonnser bongsdissonns G Sekstkkord Dissonnser sus4 di ctus di ctus, G G2,1 S G G2,1 opløs. sus4 omndg 8 di ctus, Sus4 S2, opl. kvrtsekst dic tus, di ctus, G G di opl. ctus, dic tus septimkk. dur/moll (1,,7) opl. septimkk. omndg (dur/mol) di ctus, S2, G2,1 G2,1, opl. di ctus, septimkk. dur/moll (1,,7) opl. di ctus di ctus G2,1 S2, G S2, 6/4 G diss.! septimkk. omndg (dur/mol) opl. bongsdissonns prlleller? Sus4G G1,1 Onstående sts er første del f dictusstsen fr en f strs messer kld Si Nomi. Tem er reltivt lngt. Anden stemme imier i tætførg, men tredje stemme kommer først d ef, t nden stemme hr gjort tem helt færdigt. Anden stemme imier kvten under udgngston. Tredje stemme sæt d fr smme to som første stemme. mærk, t d dledende tostemmige forløb er uden bongsdissonnser dtil ge før tredje stemmes dsts. Som en forredelse til den, og som en mrkerg f fssdnlse kommer d to bongsdissonnser i træk. Den nden er smmenfldende med tredje stemmes dsts! I d trestemmige forløb er ngit kkordtype (G=grundkkord, S= sekstkkord, gen ydergere ngilse dikerer fuldstændig treklng, mens f.eks. 2,1=totonig klng, grundtofordobl, S2, = totonig klng, tsfordobl). Stsen udviser en orvægt f grundkkorder, hvilk byder, t også I skl tilstræ en sådn orvægt i jeres opgr. De steder, hvor grundog sekstkkorder hr fordoblede tor, er d bston, der fordobles. I denstående sts kn d ses, t også den tomme kvt stdig er gngbr. mærk iøvrigt hvorledes str undgår prllelle mellem SB i næstsidste tkt! De går kun fordi nden kkord deholder forudhold. Formmærkng: mærk, hvorledes de ørste stemmer gentger deres mile, til tider trnspor, som orstemme til bsdstsen! Første del f "Im Christus str scendert". Lv kkordnlyse. mærk forekomsten f tom kvt i trestemmig sts! ni sunt ni sunt r r, r eksempel på konsorende tritonus. Som kvt kn den med forsigtighed bruges. Men den er sjælden! tom kvt! ni sunt Den sts, ni sunt fr messen "Im Christus str...", gir med hensyn til. dsts præcist billede f opgn til næste gng. Med brug f d denstående tem udformer I en tostemmig sts f fire til seks tks vrighed. Deref dsættes tredje tem, som føres til fsluttende kdence umiddelbrt ef tempræsenttion. Arjdsprocessen kn f.eks. forlø således: Udrjd tostemmig sts som I plejer. Istedfor t slutte opgn d kdencen, sættes isted tredje stemme d her. Når tredje stemme sættes d skris først hele temdstsen op i tredje stemme le, hvoref i udrjder en fsluttende kdence. I første omgng lr I kun den fsluttende kdence trestemmig. Når d er gjort kn I gå i igng, så vidt kræf rækker, med t videreføre de to første dstser dor tredje stemme. Den trestemmige del kn ger være meg enkel, f.eks. uden ottendedele i de ledsgende stemmer. Plcer tredje dsts i bssen. De to øvrige stemmer skl d dn re treklnge i forhold hertil (se eks. denfor). Tem til næste gng: O mgnum mysium ni sunt (r) Tip d udformng f trestemmig sts: Skriv de muge tor op og skb deref melodiljer fr to til to, så vidt mugt i en nden rytme end de øvrige stemmer. Her er bsdstsen udfr D. Den kun lt ef jeres vlg for 2. stemme h vær fr or eller underkvt. Sekstkkorder kn nturgvis også bruges omend i mdre omfng. ni sunt Arjdseksempel: ni sunt melodik der forbder kk. før og ef?? r r r muge kkorder i slutkdencen. Akkorder i prentes ngir lnti hrmoniserger f bsen (r)

9 strkontrpunkt trestemmig sts 2 Eksempler på ekspositionsdelens form og fsluttende kdence 9. lektion På dte kursus er d mål, t kun udfærdige imittion f første tem i en trestemmig strsts. Dte første tem kn synges én gng i hr stemme effulgt f lnge frie melodiljer, eller mn kn lde stemmer synge tem flere gnge. At lle stemmer synger tem kldes en genmførg f tem. De strmme regler vi kender for dststor gælder kun 1. genmførg. 2. (og.) genmførg kn sætte d fr ndre tor (ger i ydergere kvtfstnd til dststor, som i "Veni.."), de kn vriere tem og de kn være "komplte", dvs. t ikke lle tre stemmer synger tem i nden genmførg. Meg lmdegt er d, t temer, der dleder med to f hlv eller heldes vrighed dledes med hlv værdi d gentgelse (se f.eks. lten i fjerde tkt f "Jesu Nostr.."). I de to destående stser hr str vlgt t gentge tem med en kompl, henholdsvis kompl, 2. genmførg. Dte føres til fsluttende kdence på enten én f dststor, eller en to i kvtfstnd herfr (ltså ydergere en kvt op eller d). I "Jesu Nostr.." fsluttes på G to kv under A. Og næste tem sættes n udfr G og D. "Veni Sponsor.." fslut på D, kvten or første dsts. "A Mri" er en f de 12 ud f strs 69 trestemmige messestser, der ikke kdencerer i kvtfstnd til én f dststor. Den udgør ltså en undtgelse fr reglen. mærk iøvrigt 6. tkt i "Jesu Nostr..". Her synges tem smtidig i tsfstnd. Dte ses ikke sjældent hos str. I sådn tilfælde sæt f temer d i tsfstnd i stedfor kvtfstnd. I denstående sts forredes virkngen d Fdstsen tkt 4. N.B. sidste tkts hlvder er i lle stser en tilrng. Normlt stopper en strsts mg ikke op underjs. "Jesu str redemptio". dic tus dic tus dic tus di ctus di ctus di ctus di ctus. "Veni Spons Christi". ni sunt r nisunt r ni sunt r r nisunt ni sunt I A Mri her denfor sættes. stemme d i bssen ef længere tostemmigt forløb og føres r hurtigt til kdence. Nop som vi gør d i de dledende ølser. Her er kun én genmførg. Teksten reperes gnske vist, men d er en utemtisk, fri gentgelse. I den sts (og "Jesu str...") er der gen synkopedissonns umiddelbrt før. stemmes dsts (her er der dog umiddelbrt ef). D er ltså gen fst regel, t en sådn skl dvrsle. stemmes dsts. Til gengæld dnr. stemme her en fuld treklng i forhold til de øvrige stemmer. Og d ynder str t lde. dsts gøre. r "A Mri" ni sunt ni sunt r r pleni sunt ple ni sunt ni sunt r " resurrexit"stsen fr messen "Primi Toni" udviser en nden kdence end de tre onstående. Her er gen sus4kkord, men derimod en septimkkord, der opløses til en sekstkkord, der så videreføres trvist d til en grundkkord. Den måde t fslutte ekspositionsdelen er gngbrt lntiv til sus4kkorden. I sere durmolmologi kldes den ndg en "frygisk hlvslutng". Men for str virkede den som en helslutng. "Primi Toni" lntiv kdence re sur re xit ti di e ti di e resur re xit ti di Tem Tem til næste gng er fr en Crucifixussts ( fr messen "Reg Coe"). I skl udforme en trestemmig sts i stil med de onstående. A Mri er k stdig d dste forbillede med hensyn til. stemmes længde. Slut med én f de to slutkdencer fr eksempler på den side. Cru resur re xit e, ti di ti di e, ti di r r e Frygisk kdence: I modsætng til 4/ kdencen hr den kdence en trvist fldende bs og dissonnsen er en 7 i forhold til bston: ci fi xus e ti m (pro bis) Ambitus i stemmig sts! I trestemmig sts må der (rmlt se 6. tkt f Primi toni!) være mx en decim mellem de to ørste og mx oktv+kvt mellem den dyste stemme og næste klgende stemme (forudst lle tre stemmer synger). e

10 Konsorende kvrt og dissonns m.m. Nodissonns. 10. lektion I trestemmig sts fder mn hos str udor kvrt, sekund og septimdissonnser også brug f n som bongsdissonns. No opløses trvist dd. Den hndles som septim/sekund i forhold til den nden orstemme, men gger ltså som i forhold til bssen. Non forekommer som bongsdissonns kun som stor. Opløses ltid med nticiption hvoref opløsngston dnr kvrtforudhold i en 4/kkord. Nedenfor to eksempler, gge fr ni sunt stsen i miss "Gbriel Archngelus": 14 ni sunt strkontrpunkt trestemmig sts N.B. orstemmen sprger d smtidig med dissonnsens opløsng! glo tu tu., ri tu. mellem understemmens G og mellemstemmens A. hndles som sekunddissonns mellem orstemmers A og B. Effølges f kvrtkvtforudhold. Konsorende kvrt nd fæmen, der kn igttges hos str i stser med fr tre stemmer og deror er den såkldte konsorende kvrt. Hvis kvrtdissonnsen effølges f en skrpere dissonns, kn kvrtdissonnsen dtræde på ubon slg før den skrpere dissonns (septim/sekund) tilføjes på d bode slg. D skris måske dst d t næv kkorder: En kvrtsekstkkord kn dføres på ubon slg, hvis den slg ef effølges f en kvrtkvtkkord, i cifrgssprog kld Sus4kkorden. En sådn kkordfølge kn bl.. igttges i dictusstsen fr strs messe "P Nos": 9 28 /4Akk. 6/4Akk. Orstemmen (nu under mellemstemmen) hr på ubon slg en kvrt i forhold til bssen. D tolereres fordi mellemstemmen i næste tkt tilføjer den stærkere sekunddissonns d t lægge sig på E or d ggende D. mellem understemmens D og orstemmens E. hndles som septimdissonns mellem orstemmers F og E. Effølges f kvrtkvtforudhold. Eller som del f fslutngen på dictusstsen fr messen "Ascendo d Ptrem: 6/4Akk. /4Akk. Konsorende kvrt mellem bs og mellemstemme. På følgende bon slg tilføjes den skrpere sekunddissonns. Omgåelse f prllelle kv før en Sus4kk. Skrpheden og entydigheden i sus4kkorden, der tillder den onfor nævnte konsorende kvrt, kn også kompensere for en tilsyldende søgt, men meg brugt, omgåelse f prllelle kv. Såfremt kkord nummer to er en sus4 kn prllelle kv mg omgås d blot en hurtig sekstendedelsdrejng i den stemme, der hr den ørste to i kv. Men husk, t den drejng kun kn redde sitution såfremt følgende kkord er en sus4, ltså deholder en lforredt bongsdissonns. omgåelse f prlleller d en hurtig sekstendedelsdrejng. Miss Gbriel Archngelus Kun gngbr d effølgende sus4. Miss De t Virgi Miss Gi Fu chi m heb cr 7 ni 10 Sus4 r, r, Se også t.14 f eksempl ni sunt fr Miss Si Nomi påmellemstemmen br ggende og dnr rk til 7. lektion bongsdissonns på følgende slg. Tem til næste gng: di ctus Septim/sekundgenmgng i fjerdedele. En sidste vægelse som trestemmig sts muggør, og som krær en effølgende bongsdiss, er brugen f septimer/sekunder som genmgng dd (kun dd) i fjerdedelsvægelse. sunt sekundgenmgng bongsdiss. i forhold til soprn. Effølges f septimkk. (), septimgenmgng i forhold til bs. Effølges f kvrtkvtforudhold Tem er fr messen Ascendo d ptrem. Som i sidste uges opg udrjdes en trestemmig imiende sts. Ef tredje stemmes dsts frundes og føres til fsluttende kdence.

11 Reg Coe ci Cru Cru fi xus e ci strkontrpunkt trestemmig sts 4 fi xus e ti m pro ti m pro Tonl svrelse 11. lektion bis, pro bis, pro Cru kdencens dissonns bis bis: sub Pon ti o Pi Tonl svrelse I onstående brudstykke fr "Reg Coe" imier str i orkvten med en ændrg f åbngsvll. Kvrten FC imies med kvten CF! Tem fortsæt deref som d ville h gjort hvis hele imittion hvde vær i underkvten. Men d t lde C og ikke Bb være første to i svrelsen fstholdes den tonle formmelse som de to tor, FC, fr første dsts blerede. Den fstholden f åbngens tont er sel hodformål med ændrgen i svrelsen. En sådn svrelse, hvor tems åbngsvller ændres kldes derfor en tonl svrelse, modst en rel svrelse, hvor åbngstems vller fstholdes (denfor sklen). Tonl svrelse optræder oftest d temer, der åbr med kvt, eller kvrtsprg. En kvt ændres i den tonle svrelse til en kvrt, og en kvrt ændres til en kvt. I gge tilfælde br resultt, t første og nden dsts dledes f de smme to tor, blot i omndt rækkefølge. D byder, t en tonl svrelse f temstrten CF ville lyde: FC. Ef ændrgen i tems åbng kn str fortsætte tem enten som orkvt eller som underkvtimittion. I "Reg Coe" tyder svrelsens første to (C) på en orkvtimittion. Men temfortsættelsen fr 2. to er fktisk imittion i underkvten. I "Spem um" kun den tonle svrelse føre fr underkvtimittion til orkvtimittion, hvis str hvde ld svrelsen fortsætte en sekund d ef 2. to, som tem jo gør d. D gør hn ikke. Ved t lde tem fortsætte med tsfld fstholdes svrelsen i underkvten. Tonl svrelse debærer for str ikke nd, end fstholdelse f åbngens tor. Om svrelsens videre forløb er i or eller underkvt sys uden bydng. Spem um scen dit scen dit scen scen, dit dit 10 ci fixus e tim pro,, bis, fsluttende kdence på første formled. Fldende sekund scen dit scen dit c. c. Sub ten. tilrt i forhold til or. Nedenstående dledng fr "A Reg Coelorum" er nd eksempel på tonl svrelse. Her er gen kv eller kvr. Men læses tem som vægelsen fr kvt til grundto (GABC), kn første to høres som tortens kvt. Og den tonle svrelse f tortens kvt er tortens grundto. Derfor er svrelsens første to C og ikke D. str nyt sig kun lejghedsvis f tonl svrelse. Først hos Bch, slår teknikken for lvor igenm. Tonl svrelse får en fst form og br næsten obgtorisk. A Reg Coelorum di di ctus dic tus dic tus ctus di ctus di ctus 10 mi mi Første del færdig her i orstemmer. Understemmen er først færdig to tk sere Jeres sidste opgtem deholder nturgvis en kvt... (fr "Descendit Angelus Domi") Do, Do

12 Reg Coe Cru ci fi xus e ti m pro Cru ci fi xus e ti m pro Spem Aum scen dit Tonl svrelse bis, pro bis, pro 8 scen dit scen scen, dit dit Cru ci fixus e tim pro,, bis bis: bis, sub scen dit scen dit Pon ti o Pi c. c. Sub ten. tilrt i forhold til or. A Reg Coelorum 7 dic tus dic tus di di ctus ctus di ctus mi Gbriel Archngelus di di 4 ctus, ctus di di di ctus, ctus ctus ctus, di di di ctus di, ctus, ctus,

Tostemmig sats 1: w, h, og q

Tostemmig sats 1: w, h, og q Tostemmig sts 1: w, h, og q 1 Miss Primi Toni Imittion med tætførg fr strt Spi Spi ri tum Sn ri tum Sn ctum, Do ctum, Do mi num, mi num, vi vi vi fi cn vi fi cn G.Plestr tem tem Knon med fsluttende kdence.

Læs mere

Palestrinastil. # for C ved opadgående tilbagedrejning. coe

Palestrinastil. # for C ved opadgående tilbagedrejning. coe Plestrstil. lektion De regler for stemmevægelser og smklnge, som I hr få t vide er "gode" og konstituerende for den "gode" sts, er lle regler, som hr kunt iggtges orholdt i omkrg fire hundrede års kunstmusik

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Tips. til træningsambassadørerne

Tips. til træningsambassadørerne Tips til træningsmbssdørerne NÅR I TRÆNER GENERELT 1. Brug et motiverende sprog også selvom du fktisk er lidt træt. Du kn for eksempel sige: Jeg er mx klr til træning hvd med dig? Er du frisk?! 2. Din

Læs mere

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Eksemplificering af DEA-metodens vægtberegning

Eksemplificering af DEA-metodens vægtberegning nlyseinstitut for Forskning Finlndsgde DK-800 rhus N Tel + 89 9 Fx: + 89 99 Mil: fsk@fsk.u.dk Web:.fsk.u.dk Eksemplificering f DE-metodens vægtberegning Peter S. Mortensen Kmm Lngberg Crin Sponholtz Nott

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord!

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord! LYSTEJENDOM ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS Hesteejendom med nyere hestestld og 20 h jord! For sælger Hos Thoms Risger A/S ved vi godt, t boliger er mere end blot mursten og kvdrtmeter. Vi ved, t boliger

Læs mere

ANALYSE 1, 2015, Uge 2

ANALYSE 1, 2015, Uge 2 ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Aarhus Universitet - Laboratoriekompleks - inano Center

Aarhus Universitet - Laboratoriekompleks - inano Center Arhus Universitet, Lortoriekompleks inno Center Skitseprojekt. 16. septemer 2010 Beskrivelse se fde udsnit nord Udsmykningen indeftter: 2 stk. udsmykkede glsprtier á 2 x 12,62 x 4,40 m. 3 stk. emlede srør

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne

Læs mere

2 Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery ANALYSEOPGAVE Feelgood Bkery Kommuniktion: Helene, Loiuse, Pernille og Ndi Gruppe 14 Hvem er fsenderen? - Glutenfri bgerbrød - Christine og Louise Krogh Hvem er målgruppen? - Gluten llergikere og helsefreks

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

1. Forstærkning af melodien

1. Forstærkning af melodien http://cyrk.dk/musik/medstemme/ Medstemme Denne artikel handler om, hvordan man til en melodi kan lægge en simpel andenstemme, der understøtter melodien. Ofte kan man ret let lave en sådan stemme på øret,

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

SAMPLE. 1 3Suite over danske folkesange. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j j j 0 4. j j. w w. w w.

SAMPLE. 1 3Suite over danske folkesange. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j j j 0 4. j j. w w. w w. 1 Sute over dnske olkesnge or blnt kor, oblgt nstrumt klver Instr Klver Rolgt c gto c Π c Arrnet Lsse Tot Erks, 009 S S T 5 5 5 9 9 stl ly ro, hvor r ned, be 1I H 0 r sn bu r h 0 re t bo,, hvor sm sko

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Høringsnotat: Opsamling på høringssvar: De gennemgående temaer:

Høringsnotat: Opsamling på høringssvar: De gennemgående temaer: Høringsnott: Opsmling på høringssvr: - Der er i lt indkommet 61 høringssvr, hvorf 3 er positive ift. etblering f rusmiddelcenter, 57 kritiske og et undrende. - De 61 høringssvr repræsenterer 162 mtrikler

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

At være en langtidsholdbar Herrens tjener TEOLKURSUS 2012

At være en langtidsholdbar Herrens tjener TEOLKURSUS 2012 At være en lngtidsholdbr Herrens tjener TEOLKURSUS 2012 3 tilgnge til mennesket Psyken bolig for menneskets følelsesmæssige behov Kroppen bolig for menneskets fysiske behov Sjælen bolig for menneskets

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål

Læs mere

Kort indføring i Palestrina-kontrapunkt Svend Hvidtfelt Nielsen 1998-2006 1 Palestrinastil og forudsætninger 1

Kort indføring i Palestrina-kontrapunkt Svend Hvidtfelt Nielsen 1998-2006 1 Palestrinastil og forudsætninger 1 Kort indføring i Palestrina-kontrapunkt Svend Hvidtfelt Nielsen 1998-2006 1 Palestrinastil og forudsætninger 1 Palestrinas musik er skrevet for a cappella kor. Det er altså en helt igennem vokalt tænkt

Læs mere

Dette enkle påskespil er kommet i stand efter fælles arbejde omkring påskens centrale

Dette enkle påskespil er kommet i stand efter fælles arbejde omkring påskens centrale UNDERVS OM GUD en idébnk til kirkelig undervisning, Fyens Stift KONFRMANDER Påskespil med indledende undervisningsforløb Dette enkle påskespil er kommet i stnd efter fælles rbejde omkring påskens centrle

Læs mere

Rytmer og Noder. Nodelængder og pauser. 1.g-teori Rytmer og Noder Side 2. 1.g-teori Rytmer og Noder

Rytmer og Noder. Nodelængder og pauser. 1.g-teori Rytmer og Noder Side 2. 1.g-teori Rytmer og Noder Side 1 Side 2 Rytmer og Noder Alle noder har et hoved (enten udfyldt eller åbent) og alle på nær helnoden har en hals. Om halsen peger nedad eller opad er kun et spørgsmål om hvor der er plads. Gert Uttenthal

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Brandsikring af ventilationskanaler

Brandsikring af ventilationskanaler Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler

Læs mere

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde

Læs mere

a b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )

a b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( ) Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos()

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

3 Sange med tekst af H. C. Andersen

3 Sange med tekst af H. C. Andersen Bendt Astrup 3 Sange med tekst af H. C. Andersen For lige stemmer 2004 3 sange med tekst af H. C. Andersen Bendt Astrup Trykt i Exprestrykkeriet Printed in Denmark 2004 Poesien H. C. Andersen Soprano Alto

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE

SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE Snseredskber til byens psykiske og fysiske miljø f Softhook Design Projektets idé Kunstner og leder f Softhook Design, Christin Nold, er stolt over t kunne præsentere Sns Fremtiden

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere