Kapitel 1. statusseminar HERE GOES TEXT

Transkript

1 Kapitel 1 statusseminar HERE GOES TEXT 1

2 Kapitel Problemanalyse.1 Indledning I mange år har evolutionsteorien været centrum for en stærk debat. De som er enige om en evolution, er dog ikke altid enige om detaljerne i evolutionsprocessen. Denne diskussion har ført til en debat centreret omkring begreberne gradualisme og punkteret ligevægt. Begge sider af denne debat har argumenter, som gør deres forklaring troværdig, og det er derfor meget svært at bestemme, hvilken der er den korrekte. Moderne hardware har gjort det muligt at udføre meget krævende simuleringer, som muligvis vil kunne kaste l ys over problemer somq dette i fremtiden. Vores interesse for datalogi så vel som for evolutionsteorien har været en stærk faktor i vores valg af emne, derudover ønskede gruppen at arbejde med et specifikt fænomen indenfor biologi. I løbet af denne rapport vil vi arbejde med analyser samt implementeringer af matematiske modeller og simuleringer. I denne proces ønsker vi at belyse koncepterne i denne debat og danne os et billede af de to forklaringers plausibilitet. Evolution er en meget kompleks proces med mange variable (muligvis ukendte variable), derfor har vi udvalgt de væsentlige variable, der har indflydelse for hvilke og hvor mange celler, der overlever. Disse variable vil vi bruge i vores udvidede version af Game of Life. Vores version vil kunne blive brugt til at simulere livs overlevelse gennem generationer indenfor vores fastsatte rammer. Det vil blandt andet være brugbart indenfor biologien, når man ser på simple livsformer, som f.eks. bakteriers udvikling gennem generationer. Selvfølgelig er problemet her, at modellen ikke svare til virkeligheden, da variablene er fastsat. Med modellen er målet, at den kan fortælle noget om evolutionsprocessen kan følge teorien om gradualisme eller punkteret ligevægt. Dermed kan man udvide sin viden om evolution og hvordan variablene spiller ind på artens overlevelse og formering.

3 . Problemformulering Hvordan kan plausibiliteten af koncepterne gradualisme og punkteret ligevægt indenfor evolutionsteorien vurderes ved hjælp af matematiske modeller og datalogiske hjælpemidler?.3 Projektdesign En problemformulering er en af de vigtigste dele af et projekt. For at hjælpe gruppen med at holde fokus og undgå afvigelser fra projektets struktur har gruppen valgt at udarbejde en model der skal hjælpe os hertil. Modellen fungere som en disposition der hjælper gruppen til at holde os på sporet. Figuren er bygget op af følgende kerneelementer: Emne Emnet er det emne som gruppen har valgt ud fra projektkataloget, motiverne for at vælge netop dette emne kan ses i afsnittet ovenfor Problemfelt Problemfeltet er det specifikke emne indenfor kunstigt liv som gruppen har valgt. Gruppen har valgt evolution, da gruppen gerne ville se på evolutionen i et datalogisk perspektiv. Problemformulering Vi har indkredset emnet og fundet frem til en problemformulering som er relevant for gruppens mål. (se evt. delmål for projektet og læring nedenfor) Underspørgsmål Disse spørgsmål fungere som hjælpespørgsmål der skal hjælpe gruppen frem til besvarelsen den egentlig problemformulering. Formål Formålet beskriver hvad formålet med underspørgsmålene er. Teknisk gennemførsel Den måde vi vil komme frem til besvarelsen af underspørgsmålene. Delkonklusioner I delkonklusionerne bestræber gruppen på at besvare underspørgsmålene Konklusioner I konklusionen bestræber gruppen sig på at lave en samlet besvarelse af projektet. Kontekstualisering I kontekstualiseringen vil gruppen sætte problemstilling i kontekst med andre problemstillinger..4 Afgrænsning Som afgrænsning af projektet har gruppen valgt kun at beskæftige sig med evolutions teorierne punkteret ligevægt og gradualisme. Hvorfor har gruppen så valgt netop disse to? Vi har valgt disse da den ene udelukker den anden, så hvis vores implementering viser tegn på punkteret ligevægt kan vi konkludere at 3

4 4

5 vores model har en evolution som matcher punkteret ligevægt og kan frasortere gradualisme. Gruppen vil i projektet beskrive og analysere disse to evolutionsteorier samt emner som er vigtige at forstå, for at få en fuld forståelse for disse teorier. Indenfor disse teorier vil vi komme ind på følgende underemner. Historie Grundteori/definition Diskussion Derudover vil gruppen lave en grundig beskrivelse af vores matematiske model som ligger til grund for vores implementering. Om den matematiske vil gruppen lave en beskrivelse af: Definition.5 Projekt delmål Vi vil foretage en problemanalyse. Vi vil beskrive evolutionsteori med fokus på gradualisme og punkteret ligevægt. Vi vil beskrive cellulære automater med fokus på Game of Life. Vi vil opstille en model over evolution med udgangspunkt i Conway s Game of Life, hvor vi vil forsøge at videreudvikle denne til at inkludere begreber nødvendig for at skabe en fyldestgørende model. Vi vil foretage modelkritik. Vi vil med udgangspunkt i denne model, foretage en implementation af denne i software. Vi vil ud fra implementationen, foretage en vurdering af, hvorvidt vores model viser at evolution har tendens til at foregå via gradualisme eller punkteret ligevægt. 5

6 Kapitel 3 Lærings delmål Vi ønsker at erhverve os en bedre forståelse af matematiske modeller, og hvordan de kan bruges til at beskrive virkelige koncepter. Vi vil gerne udvikle vores evner indenfor programmering, dvs. at kunne skrive et program fra bunden som led i en analyse/løsning af et reelt problem. Vi ønsker en bedre forståelse af evolutionsteorien i forhold til de to termer: gradualisme og punkteret ligevægt. Vi ønsker at blive bedre til at arbejde sammen om et projekt på større skala. Vi vil lære mere om cellulære automater, mere specifikt hvordan de kan benyttes i opstilling af modeller. 6

7 Kapitel 4 Modellen 4.1 Game of Life Modellen vil tage udgangspunkt i en cellulær automat kaldet Game of Life, i hvilken man har et uendeligt todimensionelt gitter, hvor hvert tern kan være enten tændt eller slukket, levende eller død om man vil. Systemet udvikler sig udelukkende baseret på den tilstand det er i når man starter, og kræver ikke ydeligere input, man skaber en startkonfiguration og observerer hvordan systemet udvikler sig. Traditionelt har Game of Life følgende regler. En levende celle med færre end to levende naboer dør som ved ensomhed En levende celle med mere end tre levende naboer dør som ved overpopulation En levende celle med præcis to eller tre levende naboer lever videre i næste generation En død celle med præcis tre levende naboer bliver til en levende celle I vores model følger vi konventionen med at et tern enten kan være tændt eller slukket, alt efter om der henholdsvis eksisterer et individ derpå eller ikke, men individerne kan i vores model variere, vi introducerer dermed konceptet om en art i Game of Life. Vi vil herudover også indbygge koncepterne formering, mutation, naturlig selektion og miljø som disse arter lever i, alle vil blive beskrevet i efterfølgende sektioner. 4. Individer Vi vælger at definere et individ ved en farve, som vi beskriver med en RGB værdi. Et individ kan kun befinde sig i ét felt ad gangen i gitteret. 7

8 RGB-værdien i dette dokument defineres som: RGB = (x, y, z) Den matematiske notation for dette er: Navn Beskrivelse Forkortelse Individ = (x, y, z) - Felt (i, j) Z x Z f Omegn Mængde af felter (eks. G. of L.) O((i, j)) = O(f) (i, j ) i 1 i i + 1, j 1 j j Arter I vores model har vi besluttet, at en art er bestående af individer, der kan formere sig med hinanden. Vi har valgt at inddele de forskellige arter alt efter deres R, G og B-værdier. Vi antager, at alle tre kan have en værdi mellem 0 og 55. Vi indeler disse værdier i 5 lige store intervaller, en art definerer vi så ved en kombination af alle værdier der ligger indenfor de samme intervaller i R, G og B. Det vil sige, at en art er et tripel af intervaller. Dette kan opskrives sådan: (x lav ; x høj, y lav ; y høj, z lav ; z høj ) d vil tilhøre arten A, hvis d = (x, y, z) og x x lav ; x høj y x lav ; y høj z z lav ; z høj Dette giver os så mange mulige forskellige arter: = Generation I vores model er en generation et fastfrosset billede af, hvordan situationen ser ud, ligesom i Game of Life. Hvis vi ser på reglerne fra Game of Life, kan vi konkluderer, at intet kan bevæge sig i en generation. Alle bevægelser der sker i Game of Life, er basseret på et generationsskift pga. af de opstillede regler. I denne model, vil en generation blive beskrevet med superskriften k. Altså x k er x-værdien for et individ i generation k. Den generelle notation bliver altså som følger: RGB = (x k, y k, z k ) Den matematiske notation for dette er: 8

9 Navn Beskrivelse Forkortelse Generation Konfiguration af felter med C i og C m C k Individet i feltet f ved generation k Ci k(f) Miljøet i feltet f ved generation k Cm(f) k Startkonfiguration Felternes placering ved generation k = 0 C 0 Overføringsfunktion Def. af hvordan C k+1 findes ud fra C k (uddybes *) C k+t (f) Mutation i modellen I modellen er en mutation implementeret som en vektor med 3 komponenter nøjagtig som et individ. Hvis en mutation opstår ved reproduktion vil en sådan vektor genereres og lægges til mutantens vektor. Da de fleste mutationer er neutrale eller af lav betydning, og kun få meget markante mutationer ses hos levedygtige og reproduktionsdygtige individer, har vi valgt at betragte mutationens styrke (vektorens komponenter) som en kontinuert stokastisk variabel normalfordelt omkring et neutralt gennemsnit. Jvf. tæthedsfunktionen for en normalfordeling kan den procentvise mængde af udfald for en given værdi beskrives som: f(x) = 1 (x µ) exp πσ σ hvor x er værdien af det testede udfald, σ er standardafvigelsen og µ er middelværdien. Ved hjælp af denne model kan vi sikre at størstedelen af alle mutationer vil være tæt på neutrale ved at vælge 0 som vores middelværdi. Hvis vi ændrer på standardafvigelsen, kan vi påvirke mængden af stærke mutationer og på den måde sammenligne data fra simulationer og forsøge at tilnærme et realistisk scenarie. For at kunne implementere denne type fordeling i vores model, skal vi bruge en fordelingsfunktion. Fordelingsfunktionen (F ) for tæthedsfunktionen beskriver den kumulative frekvens og kan findes ved integration således: x x ( ) 1 (t µ) F (x) = f(t)dt = exp πσ σ dt, x R Denne funktion kan ud fra et tilfældigt genereret tal bestemme en værdi for mutationens styrke. For hver af komponenterne i et nyt individs vektor kan vi ud fra en fastsat sandsynlighed bestemme, om en mutation skal finde sted, og ud fra vores fordelingsfunktion kan vi så generere mutationsvektorens værdi Miljø Vi har i modellen valgt også at beskrive miljøet i form af en farve, også som en RGB-værdi. Hvert felt i vores gitter vil også have en farve associeret med det, som repræsenterer miljøet i feltet. 9

10 For at kunne skelne mellem de forskellige RGB-værdier, definerer vi nu, at miljøets RGB-værdi kommer til at hedde: RGB = (x k m, y k m, z k m) Samt at individets RGB-værdi kommer til at hedde: RGB = (x k i, y k i, z k i ) Vi har valgt at det ideelle miljø, er den farve der ligger tættest på den farve et individ selv har. Når vi har en ide om miljøtilpasning, kan vi beskrive hvordan naturlig selektion forekommer i vores model. 4.5 Naturlig Selektion Vi har i vores model beskrevet mekanismer der sørger for at disse tre forudsætninger er til stede, mutation giver variation, reglerne opstillet for reproduktion sørger for at træk nedarves gennem generationer, og vi vil her beskrive det aspekt af modellen der sørger for at ikke alle individer har lige stor chance for at reproducere sig. Vi betragter her naturlig selektion, som en mekanisme der fremkommer af det miljø et individ befinder sig i, med andre ord, det er miljøet der udøver det selektive pres på et individ, jo bedre tilpasset et miljø individet er, jo større er det selektive pres for udvælgelse til at fortsætte til næste generation og jo mindre tilpasset, jo større er presset for fravælgelse. Vi vælger her at betragte det selektive pres som en samlet kraft. Igen, jo tættere farven på et individ ligger på farven for et miljø, jo bedre tilpasset er individet. For hver generation vil følgende beregning foretages: Man sammenligner hver R, G og B værdi fra miljø og individ. Vi introducerer nu en parameter vi kalder P død. Vi opstiller nu ulighederne: x k m x k i P død y k m y k i P død z k m z k i P død Hvis disse uligheder er opfyldt overlever individet. Dette vil medføre, at hvis forskellen mellem miljøet og individet er for stor, vil individet ikke kunne leve i det miljø, hvilket betyder, at individet vil dø. Hermed har vi indført, at individets overlevelse er baseret på hvor godt tilpasset det er til et bestemt miljø(hvor tæt farverne ligger på hinanden). Vi har indført dette som en parameter, der vil kunne ændres, da dette føltes som en god idé rent praktisk. 10

11 4.5.1 Vekselvirkning mellem individ og miljø Vi ønsker at introducere en vekselvirkning mellem miljø, og det der end måtte leve i miljøet. Måden vi har valgt at vægte denne vekselvirkning på, er ved at sige, at når noget lever i et miljø, vil det have en naturlig tendens til at gøre miljøet mindre beboeligt. Vi tænker her på forbruget af miljøets resourcer, og eventuelt forurening af miljøet osv. Vi introducerer nu en parameter kaldet. Med denne beskriver vi måden, hvorpå miljøet udvikler sig væk fra det, der lever i miljøet. Det gør vi på følgende måde: Hvis noget lever i et miljø, vil miljøet blive påvirket af individet. Dette gøres ved, at vi tager de 3 værdier R, G og B fra miljøet og individet, og substituerer som gjort med P død. Miljøets værdier vil dermed ændre sig på følgende måde i en generation: x k+1 m y k+1 m z k+1 m = x k m + xk m x k i = y k m + yk m y k i = z k m + zk m z k i Samtidig vil en livsform også prøve at tilpasse sig til et ændrende miljø. Derfor siger vi nu at, hver gang der sker en formering, vil afkommet være bedre tilpasset til, det miljø, det bliver født i. Vi bruger samme beregning til at udregne et nyt individs tilpasning til miljøet, blot i revers: x k+1 i y k+1 i z k+1 i = x k i + xk i xk m = y k i + yk i yk m = z k i + zk i zk m Det sidstnævnte bliver dermed en del af reproduktionssreglen, som før så sådan ud: ( x k+1, y k+1, z k+1) = ( x k 1 + x k, yk 1 + y k, zk 1 + z k ) (4.1) Reproduktionsreglen kommer nu til at se sådan ud: 11

12 ( x k+1, y k+1, z k+1) = ( x k 1 + x k + x k 1 +xk x k m, yk 1 + y k + y k 1 +yk ym k, zk 1 + z k (4.) + ) z k 1 +zk zm k 1