Primtal. Frank Nasser. 20. april 2011

Transkript

1 Primtal Frank Nasser 20. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Primtal 1 2 Entydig primfaktorisering 3 3 Hvad ved vi (ikke) om primtallene? Primtalstest og Fermat-tal Primtalstvillinger

3 Resumé I dette afsnit skal vi se lidt på primtal. Vi skal især se på det meget nyttige resultat om entydig primfaktorisering. Her slutter MatBog.dk Figur 1: På dette sted løb jeg desværre tør for fritid. Derfor er dette dokument ikke færdigt. Hvis du køber et abonnement (eller får din lærer eller skole til at gøre det), så kan jeg tillade mig at tage lidt mere fri til at skrive på MatBog, og så vil disse huller blive lappet meget hurtigere! 1 Primtal Et primtal er et naturligt tal, som er forskelligt fra 1 og opfylder at hvis det kan skrives som et produkt af to naturlige tal, så er en side 1

4 af faktorerne nødvendigvis 1 (og dermed er den anden faktor tallet selv). Vi ser lige på nogle specielle tilfælde: Nul er ikke et primtal, for det kan f.eks. skrives som 5 0, hvor ingen af faktorerne er lig 1. 1 er ikke et primtal, fordi vi simpelt hen har udelukket det i definitionen. 2 er et primtal, fordi den eneste måde at skrive 2 som produkt af to naturlige tal på er: 2 = er også et primtal, fordi den eneste måde at skrive 3 som produkt af to naturlige tal på er: 3 = er ikke et primtal, fordi det kan skrives som 4 = 2 2, hvor ingen af faktorerne er 1. 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 og 47 er primtal. Det er nemt nok at lave en liste over primtal efter følgende opskrift: 1. Tag alle de naturlige tal og fjern 0 og Start med 2 som er et primtal. 3. Fjern alle efterfølgende tal, som dette primtal går op i. (De er nemlig ikke primtal.) 4. Det næste tal i den tilbageværende liste er nu et primtal. 5. Gå til punkt 3. Problemet er bare at man aldrig bliver færdig. Der findes nemlig uendeligt mange primtal!. side 2

5 2 Entydig primfaktorisering 3 Hvad ved vi (ikke) om primtallene? Faktisk ved vi ikke ret meget om primtal. Til trods for at primtal altid har været og stadig er genstand for intensiv forskning, er der overraskende mange simple spørgsmål som vi ganske enkelt ikke kender svaret på. Vi vil her se på nogle af de ting som vides om primtallene, og nogle af de ting som ikke vides. 3.1 Primtalstest og Fermat-tal Det er fantastisk svært at se på et givet tal om det er et primtal eller ej. Så længe tallet ikke er for stort, er det nemt nok at bede en computer om at se på alle de tal som er mindre, og undersøge om de går op i det givne 1. Hvis ingen af dem går op er det et primtal, og ellers ikke. Men hvis det givne tal bliver meget stort, tager denne proces meget lang tid. F.eks. ville en sådan undersøgelse af tallet 2 ( 2 3 3) + 1 med anvendelse af den samlede computerkraft i alle verdens computere, tage meget, meget længere tid end universets samlede levetid. Tallet er et af de såkaldte Fermat-tal. Generelt defineres det n te Fermat-tal som: F n = 2 ( 2 n ) + 1. Tallene er opkaldt efter Pierre de Fermat, som efter at have undersøgt de fire første, F 1 = 3, F 2 = 5, F 3 = 257 og F 4 = 65537, troede at de allesammen var primtal. Det har senere vist sig at det femte, F 5 = ikke er et primtal, og faktisk ved man ikke om der er flere Fermat-tal end de fire første som er primtal overhovedet. 1 Man kan endda spare en masse tid ved kun at undersøge alle de primtal som er mindre end kvadratroden af det givne tal. side 3

6 Tallenes enorme størrelse gør, at undersøgelser af Fermat-tal bliver brugt som mål for hvor hurtige vores computere er blevet. Derfor er der vældigt meget prestige i opdage at et Fermat-tal ikke er et primtal. (Og man ville nok blive meget berømt hvis man fandt et Fermat-tal mere som var et primtal.) I skrivende stund (august 2007) er seneste nyt (fra Maj 2007) at Fermat-tal nummer med sikkerhed ikke er et primtal. Det er ukendt om det 33 te Fermat-tal, som vi startede med at nævne, er et primtal. Netop den kendsgerning at det er svært at se om et givet tal er et primtal eller ej, og hvis ikke det er et primtal hvilke primtal der så går op i det, ligger til grund for det såkaldte RSA-kryteringssystem. Alle de krypteringssystemer, der anvendes på internettet i dag er baseret på RSA-systemet. Det betyder at hvis nogen pludselig opdagede en snedig, og meget hurtig, metode til at finde primdivisorerne i et givet tal på, så ville alle verdens kryptosystemer øjeblikkeligt stå pivåbne. Set i lyset af at ingen rent faktisk ved om der findes en sådan metode, kan det godt være en lidt skræmmende tanke. 3.2 Primtalstvillinger Meget mere harmløse er de såkaldte primtalstvillinger. To primtal siges at være tvillinger, hvis forskellen mellem dem er præcis 2. F.eks. er 5 og 7, 11 og 13, 17 og 19 samt 29 og 31 tvillinger. De største primtalstvillinger man kender i dag (januar 2007) er og De har begge cifre. Det vides ikke om der findes uendeligt mange primtalstvillinger. side 4