Elementær Matematik. Plangeometri

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementær Matematik. Plangeometri"

Transkript

1 Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006

2 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5. De 4 kongruenssætninger De 5 trekntstilfælde Geometriske steder Midtnormler Vinkelhlveringslinie Konstruktion f korderne k 0 og k Det gyldne snit...3 Kp 3. Treknter og firknter...6. Den retvinklede treknt...6. Firknter Trnsversler Mediner Midtnormler. Trekntens omskrevne cirkel Trekntens indskrevne cirkel Højder... Kp 3. Cirkler.... Tngentvinkler og periferivinkler.... Synsvinkel Synsvinkelkonstruktionen Indskrivelige og omskrivelige firknter Herons formel Om t bevise den omvendte sætning til en sætning...7

3 Plngeometriens ksiomer. Plngeometriens Aksiomer Den klssiske geometri omhndler egenskber ved punkter, linier og geometriske figurer i plnen. Vi vil ikke give en streng bstrkt definition f disse begreber, men nøjes med en forklrende definition. Definition (.) Et punkt hr ingen udstrækning, men ngiver blot en position i plnen. (.) Den korteste vej mellem to forskellige punkter er et ret liniestykke. Forlænges liniestykket ud over de to punkter, får mn en ret linie. En linie hr kun udstrækning i en retning. (.3) To hlvlinier med smme begyndelsespunkt siges t dnne en vinkel. (.4) To linier siges t være prllelle, hvis de ikke skærer hinnden Geometrien er som lt ndet i mtemtikken ksiomtisk deduktivt opbygget. Aksiomtisk betyder, t hele teorien hviler på nogle grundlæggende ntgelser, som kldes ksiomer. Aksiomer kn ikke bevises. Deduktivt betyder t teorien opbygges trinvis ud fr ksiomerne ved beviser, som er logiske følgeslutninger. Det mn beviser kldes sætninger eller teoremer. Aksiomerne kn vælges med en vis vilkårlighed. Nogle sætninger kn byttes om med ksiomer. Vi hr vlgt følgende 5 ksiomer. (A) (A) (A3) (A4) (A5) Gennem to punkter kn tegnes netop en ret linie. Gennem et givet punkt, kn der tegnes netop ret linie, som er prllel med en given linie. Når to prllelle linier overskæres f en tredie, er ensliggende vinkler lige store. Når to linier skærer hinnden, er modstående vinkler lige store. I to ensvinklede treknter, er forholdet mellem ensliggende sider konstnt

4 Kp Nedenfor er betydningen f ksiomerne skitseret. Bemærk især ksiom A5. b b c c Ofte ser mn i (A5) proportionliteten skrevet på en nden måde, idet b b b b og tilsvrende for de ndre sider.. Vinkler m To hlvlinier med fælles begyndelsespunkt, siges t dnne en vinkel med hinnden. Hlvliniernes begyndelsespunkt O l kldes for vinklens toppunkt. Set fr vinklens toppunkt tler mn om vinkens venstre ben og højre ben. For t definere grdtllet for en vinkel, tegnes en vilkårlig cirkel med centrum i vinklens toppunkt O. Cirkelbuen inddeles i 360 lige store stykker, som hver kldes for en grd. Med denne enhed (/360 f hele cirkelbuen) måles så buen, som fskæres f vinklens to ben. Måltllet kldes for vinklens grdtl. Grdtllet g 0 udgør den smme brøkdel f som buen b udgør f cirkelns omkreds. Hvis r betegner cirklens rdius, kn dette udtrykkes: 0 g b o b o eller g πr π r Grdtllet for den hlve cirkelbue er 80 o, svrende til t hlvlinierne l og m på figuren dnner en ret linie. Hvis de to hlvlinier fskærer /4 f cirkelbuen er grdtllet 90 o. Dette kldes for en ret

5 Plngeometriens ksiomer 3 vinkel. Når to hlvlinier dnner en vinkel på 90o, siges de t stå vinkelret på hinnden. De siges også t være ortogonle. To vinkler, som tilsmmen er 80o kldes for supplementsvinkler, og to vinkler som tilsmmen er 90o kldes for komplementsvinkler. Se figuren ovenfor.. Et pr simple geometriske sætninger Vi beviser først en sætning, der kn forekomme indlysende, hvilket den også er, men vi vil vise t den er en konsekvens f ksiom A. Sætningen kn ersttte ksiom A, og ksiom A ville så være en sætning. Grunden til t vi beviser sætningen er, t vi vil gøre hyppigt brug f den.. Sætning: Hvis to linier hver er prllel med en tredie, så er de indbyrdes prllelle. Bevis: (indirekte). Hvis de to linier ikke vr prllelle ville de skære hinnden. Gennem skæringspunktet går d to linier prllelle med den tredie linie, hvilket er umuligt ifølge ksiom A. Altså er de prllelle. Den næste sætning er mere velkendt og interessnt.. Sætning: Vinkelsummen i en treknt er 80 o Beviset fremgår f figuren ovenfor. Der er tegnet een linie gennem B prllel med AC. (Aksiom A). Endvidere er liniestykkerne AC, AB og BC forlænget. Linien AB overskærer to prllelle linier, der for genfinder vi vinkel A, som mrkeret på figuren. (Aksiom A3: ensliggende vinkler lige store). Linien BC overskærer ligeledes to prllelle linier, så vi genfinder vinkel C, som mrkeret på figuren. Endelig skærer AB og BC hinnden i B, og modstående vinkler er lige store, (ksiom A4)

6 Kp så vi genfinder B, som mrkeret på figuren. Som det fremgår f figuren er summen f de tre mrkerede vinkler 80o, og derfor er A + B + C 80o.

7 Cirkler 5 Kp. Trekntskonstruktion. Kongruenssætningerne Trditionelt foregår konstruktion i geometrien udelukkende ved brug f psser og linel. Linelen må kun nvendes til t tegne rette linier. I princippet må linelen ikke nvendes til t måle med. Udmåling f et liniestykke skl foretges med psseren. Der er en dybere årsg til dette. I trigonometrien lærer mn t beregne ukendte stykker i geometriske figurer. Smmenhængen med geometrien er netop den, t hvis mn kn beregne de ukendte stykker i en geometrisk figur, kn mn også konstruere figuren med psser og linel. Kongruent betyder "ens". At to geometriske figurer er kongruente, betyder t de kn bringes til t dække hinnden ved en flytning. Til flytninger hører trnsltion (en forskydning lngs en ret linie), rottion (om et drejningspunkt) og spejling i en linie. En kombintion f de tre flytninger er også en flytning.. De 4 kongruenssætninger K: To treknter er kongruente, hvis de hr 3 sider fælles. K: To treknter er kongruente, hvis de hr to sider og den mellemliggende vinkel fælles. K3: To treknter er kongruente, hvis de hr en side og de to hosliggende vinkler fælles. K4: To treknter er kongruente, hvis de hr en side en hosliggende og en modstående vinkel fælles. Beviset for kongruenssætninger føres ved t konstruere en treknt ud fr de givne stykker og godtgøre t konstruktionen højst hr en løsning. Bevis for K: Nedenfor er fst 3 stykker (de tre sider,b og c). Forklring: Siden BC fsættes. Med centrum i C og rdius b, tegnes en cirkel. Med centrum i B og rdius c, tegnes en nden cirkel. A bestemmes d som skæringspunktet mellem de to cirkler. D to cirkler højst kn hve to skæringspunkter, hr opgven højst to løsninger. Af konstruktionen fremgår imidlertid, t de to løsninger er kongruente (ved spejling i linien gennem BC). Treknten ABC er derfor entydigt bestemt f de tre sider,b og c, og to treknter med 3 sider fælles er derfor kongruente.

8 6 Kp 4 Diskussion: Af konstruktionen fremgår, t en betingelse for løsning er, t <b+c. Tilsvrende må gælde for de ndre to sider c<+b og b<+c. Løses disse tre uligheder med hensyn til c finder mn: c < + b c > - b c > b - Disse 3 uligheder kn smmenfttes i en dobbeltulighed: - b < c < + b Som i lle tilfælde er betingelsen for løsning. Bevis for K: Forklring: Den givne vinkel er tegnet, smmen med de to sider. For t konstruere den smme vinkel med toppunkt i A gøres følgende. Siden b med endepunkterne A og C fsættes. Med centrum i henholdsvis vinklens toppunkt og i A tegnes to cirkler med smme rdius. Buen som vinklen fskærer på cirklen udmåles med psseren, og den smme bue fsættes fr det punkt, hvor den tegnede cirkel skærer siden b. (Vinkel A's højre ben). Nu kn vinkel A's venstre ben tegnes. c fsættes ud f denne hlvlinie, hvormed B er bestemt. Diskussion: Hvis vinklen er mindre end 80 o hr opgven ltid én og kun én løsning. Hermed følger kongruenssætningen. Bemærkning: Vi hr ovenfor detilleret redegjort for hvorledes mn konstruerer en vinkel, som er kongruent med en given vinkel. I det følgende vil vi udelde den detillerede forklring og blot skrive: F.eks. "Vinkel A fsættes.." Bevis for K3: Nedenfor er de givne stykker: En side og to hosliggende vinkler vist smmen med konstruktionen

9 Cirkler 7 Forklring: fsættes med endepunkter B og C. I henholdsvis B og C fsættes vinkel B og vinkel C. A bestemmes som skæringspunktet mellem vinkel B's venstre ben og vinkel C's højre ben. Diskussion: Konstruktionen hr ltid netop en løsning, hvis B+C < 80o. Bevis for K4: Hvis to treknter hr to vinkler fælles, hr de lle tre vinkler fælles, og K4 kn føres tilbge til K3, hvis mn blot viser hvorledes mn kn konstruere en vinkel w som er 80 o - (u+v), når u og v er givne vinkler. Dette er vist nedenfor. Forklring: Ld siden og vinklerne A og B være givne. Vi vil konstruere vinkel C. Vinkel A fsættes og vinkel A's højre ben forlænges til venstre ud over A. Vinkel B fsættes ud fr vinkel A's venstre ben. Vinkel C findes d mellem vinkel B's venstre ben og forlængelsen f vinkel A's højre ben. Idet mn nu kender en side og to hosliggende vinkler (, B og C), kn treknten konstruerers. 3. De 5 trekntstilfælde Mn tler i geometrien om de 5 trekntstilfælde, og refererer her til de 5 muligheder, der er for t kosntruere en treknt ud fr 3 givne vinkler eller sider. Egentlig er der 6 muligheder for vlg f 3 stykker, men den 6. mulighed svrer til t de 3 vinkler er givne, hvilket jo ikke er tilstrækkeligt til t konstruere treknten. De 4 første trekntstilfælde svrer netop til de 4 kongruenssætninger, idet konstruktionen højst hr en løsning (bortset fr spejlvending). Vi skl nu se på 5. trekntstilfælde: Givet: En vinkel, en hosliggende og en modstående side. F.eks. A, c og.

10 8 Kp 4 Forklring: Vinkel A fsættes. Ud fr vinkel A's højre ben fsættes c. B er hermed bestemt. Med centrum i B og rdius tegnes en cirkel. Hvor denne vinkel skærer vinkel A's venstre ben ligger C. Diskussion: Af konstruktionen ses, t der i det vlgte tilfælde er to løsninger. Antllet f løsninger fhænger imidlertid f de givne stykker.. Hvis siden er for kort, vil cirklen ikke skære A's venstre ben og opgven hr ingen løsning. Grænsen for løsning er t cirklen tngerer A's venstre ben. I dette tilfælde er treknten retvinklet og der vil gælde: c b. (idet c + b ).. Hvis > c vil cirklen kun skære A's venstre ben et sted, og opgven hr kun en løsning. Vi kn smmen ftte resultterne: Hvis Hvis Hvis < c b hr opgven ingen løsning. c b hr opgven netop een løsning. c b < < c hr opgven netop løsninger. Hvis c hr opgven netop een løsning.

11 Cirkler 9 4. Geometriske steder Et geometrisk sted er en - lidt gmmeldgs - betegnelse for en punktmængde med en bestemt geometrisk egenskb. Vi definerer først cirkel og ellipse: En cirkel er det geometriske sted for de punkter, som hr smme fstnd fr et givet punkt. Punktet kldes for cirklens centrum og fstnden kldes for cirklens rdius. En ellipse er det goemetriske sted for de punkter, hvis fstnde fr to givne punkter hr en given sum. De to punkter kldes for ellipsens brændpunkter, og kldes for ellipsens hlve storkse. En cirkel tegnes som bekendt med en psser, mens en (ægte) ellipse kn tegnes ved t plcere endepunkterne for en snor med længden i to punkter, lde en blynt nbringe lngs snoren og med strm snor lde blynten føre 360 o rundt. På denne måde lver f.eks. grtnere elliptiske blomsterbede. 4. Midtnormler En midtnorml er en linie, der står vinkelret på et liniestykke gennem dets midtpunkt. Hvis liniestykket kldes AB vil vi vise, t ethvert punkt på midtnormlen hr smme fstnd til A og B.

12 0 Kp 4 Bevis: Ifølge definitionen er AM BM. P er et vilkårligt punkt på midtnormlen. APM og BPM hr siden PM fælles, AM BM og AMP BMP 90 o. De to treknter hr derfor to sider og en mellemliggende vinkel fælles og er derfor kongruente i følge K. Derfor er også AP BP, hvilket skulle vises. Midtnormlen kn således beskrives som det geometriske sted for de punkter, som hr den smme fstnd fr to givne punkter. Denne definition nvendes, når mn skl konstruere midtnormlen på et givet liniestykke. Konstruktionen foregår d som følger: Liniestykket betegnes med AB. Med centrum i henholdsvis A og k og med rdius r > ½ AB tegnes to cirkler. Cirklerne vil skære hinnden i to punkter, som hr smme fstnd fr A og B, og de ligger derfor på midtnormlen for AB. Tegner mn derfor linien gennem de to skæringspunkter, hr mn konstrueret midtnormlen på AB. Den smme konstruktion kn også nvendes til t oprette den vinkelrette i et punkt på en linie. Anbringes nemlig psseren i punktet og fsættes to punkter i smme fstnd til hver side, kn normlen konstrueres ved t fsætte midtnormlen på liniestykket mellem de fstte punkter. 4. Vinkelhlveringslinie En vinkelhlveringslinie er en linie, der hlverer vinklen mellem to linier. Vi vil nu vise. t vinkelhlveringslinien er det geometriske sted for de punkter, som hr smme fstnd fr to linier. (hlvlinier med fælles begyndelsespunkt). Før vi beviser dette, må vi redegøre for, hvd vi forstår ved fstnden fr et punkt til en linie. En norml til en linie er en (hlv)-linie, som står vinkelret på linien. Ved fstnden fr et punkt til en linie forstår mn fstnden målt på en norml til linien gennem punktet.

13 Cirkler På figuren til venstre er vist, hvorledes mn konstruerer fstnden fr et punkt til en linie. Punktet betegnes P og linien betegnes l. Med centrum i P tegnes en cirkel, som skærer linien i to punkter Q og R. Q og R hr smme fstnd fr P, så P ligger på midtnormlen for QR. Konstrueres midtnormlen for QR hr mn smtidig konstrueret en norml til l gennem P. På figuren til højre er vinkelhlveringslinien for vinkel O tegnet. Vi vil begynde med t vise, t vinkelhlveringslinien hr smme fstnd till vinklens to ben. På figuren skl vi vise t PQ PR. Betrgtes OPQ og OPR, så hr de siden OP fælles, de er begge retvinklede, og POQ POR ½ O. Treknterne hr en side OP, en hosliggende og en modstående vinkel fælles, så de er kongruente. Hermed er PQ PR. Hermed er vist: Vinkelhlveringslinien er det geometriske sted for de punkter, som hr smme fstnd til to linier. Endvidere finder vi, t OQ OR (fordi treknterne er kongruente). Punkterne O og P ligger således lige lngt fr Q og R, og de ligger derfor begge på midtnormlen for QR. Dette nvendes til t konstruere vinkelhlveringslinien for en given vinkel. Med centrum i O fsættes med psseren to punkter Q og R på vinklens ben i smme fstnd fr O. Konstrueres derefter midtnormlen på QR hr mn smtidig konstrueret vinkelhlveringslinien for vinkel O. Om vinkelhlveringslinien til en vinkel i en treknt gælder følgende sætning: Vinkelhlveringslinien deler den modstående side i det smme forhold som de hosliggende sider.

14 Kp 4 Bevis: I treknt ABC er tegnet vinkelhlveringslinien til vinkel A. Denne forlænges ud over siden. Gennem B tegnes en linie prllel med siden b. Skæringspunktet mellem vinkelhlveringslinien og denne linie betegnes D. Det ses nu, t DAC ½ A ADB Endvidere er CBD BCA. så AC EC AEC ~ DEB. Herf følger:, men DAB ADB, så ABD er ligebenet, så DB EB AB DB. Det følger så, t AC AB EC EB, hvilket skulle vises. 5. Konstruktion f korderne k 0 og k 5. Længden f korden i en regulær 0-knt betegnes k 0. Den spænder over en bue på / Den søgte korde betegnes for nemheds skyld med k. På figuren er tegnet korden som grundlinie i en ligebenet treknt, hvis ben er rdier, og vinklen ved toppunktet O er Vinklerne ved grundlinien er derfor 7 0. Hlveres den ene f disse vinkler ved linien AC, bliver ABC ligebenet, d B C 7 0. Altså er AC k. ACO er også ligebenet, d 0 O OAC 36, så OC AC k. Vi nvender d sætningen om vinkelhleringslinien på OAB. AO AC OC r k k + rk r 0 CB k r k Løses denne ligning, idet vi bortkster den negtive løsning, finder mn: k r + r + 4r r ( 5 ) Dette udtryk, kn nu nvendes til t konstruere korden k 0. Mn tegner en hlvcirkel med rdius r. I Centrum O for cirklen oprettes den vinkelrette, som skærer cirklen i punktet B. OD hlveres f punktet A. Med Centrum i A tegnes en cirkel gennem B, som skærer dimeteren i punktet C. r r. Rdius i denne cirkel er AB ( ) + r 5

15 Cirkler 3 Mn finder derfor t r r OC 5 r ( 5 ) Hvilket ifølge ovenstående er lig med længden f korden k 0. Når mn kn konstruere k 0, så er det let t konstruere k 5, i det mn i den konstruerede 0-knt, blot tegner korden over 3 hjørner i 0-knten. Ligeledes kn mn konstruere k 0 ved t hlvere korden k 0 og så forbinde mindtpunktet med centrum f cirklen og finde skæringspunktet for denne linie med cirklen. Det er kun lidt mere kompliceret t få et udtryk for k 5 uden nvendelse f trigometri. Mn tegner mn en cirkel med rdius r og tegner to korder k 0 i forlængelse f hinnden. Forbindelseslinien mellem kordernes endepunkter er k 5. Vi betrgter to retvinklede treknter. Den ene med hypotenuse OP og den nden med hypotenuse PQ. Der gælder ifølge Phytgors sætning. Vi sætter r ( x) + ( k 5 ) x x + ( k 5 ) 0 x + ( k 5) k0 den Ved t subtrhere den øverste ligning fr den nederste, får mn: x k x k 0 0 Indsættes dette i den nederste ligning, finder mn: ( 4 k ) k k k (4 k ) Vi indsætter d k ( 5 ) ( ) k (4 + k 0 ) ( ( 5 )) (4 ( k ( 5 )) ) k k ( 5 5)(4 (5 5)) (3 5)( (3 5)) (3 5)( ( 3 5)(5 5) 5 + (5 5 5) (0 5) ) k Med rdius r. k r Som ses, t være det smme udtryk, som vi hr fundet tidligere ved hjælp f trigonometri. 6. Det gyldne snit

16 4 Kp 4 Det gyldne snit er betegnelsen for det, t dele et liniestykke i to stykker og b, som opfylder reltionen: + b b Dette kn omskrives til: b +. Sætter mn forholdet x vil det gyldne snit opfylde lignin- b gen: b ± 5 x + x x 0 x. x + 5 Forholdet mellem de to stykker, der deler liniestykket er derfor: x, 68 b Den geometriske deling f et liniestykke i det gyldne snit er ikke helt ligetil. Konstruktionen nedenfor kn føres tilbge til Euklid. Liniestykket betegnes AB. Uden indskrænkning, (og fordi det forsimpler regningerne) sætter vi AB. I punktet A oprettes en norml til AB og mn fsætter stykket, vinkelret på AB. Endepunktet for liniestykket betegnes D. ABD er retvinklet med kteterne og. vi Mn finder derfor BD + 5. Med centrum i D og rdius 5 tegnes en cirkel. Punktet, hvor cirklen skærer normlen i A betegnes E. Det ses t AE 5. Med centrum i A og rdius AE tegnes en cirkel. Skæringspunktet med AB betegnes C. Påstnden er, t C deler AB i det gyldne snit. AC AE 5 følgelig er CB - AC 3 5.

17 Cirkler 5 Vi udregner d forholdet: AC CB 5 ( 5 )( (3 5)(3 + 5) 5) som ses, t give det gyldne snit. Det gyldne snit dukker op i utllige mere eller mindre tilnærmede og spekultive smmenhænge. Geometrisk kn mn vise, t to digonler i en femknt deler hinnden ekskt i et forhold, som er det gyldne snit. Siden i en femknt er en korde, der spænder over en en vinkel på 7 0. Ifølge kordeformlen: v k Rsin er siden i en femknt: k 7 R sin36. En digonl i femknten spænder over 44 0 og følgelig er længden f digonlen: k 44 R sin7. En digonl i en femknt er (på grund f symmetrien) prllel med den modstående side. De to viste treknter er hermed ensvinklede, så forholdet mellem k 44 og k 7 er det smme som forholdet mellem stykkerne og b. k k 44 7 b b Rsin 7 cos(90 7) Rsin36 sin36 cos8 sin8cos8 sin8 Vi hr ovenfor nvendt formlen: sinv sinv cosv. Sin 8 0 er imidlertid kendt fr udledningen f 5 et udtryk for korden k 0 (korden i en regulær 0 knt). sin8. Indsættes dette finder mn 4 b k k 7 sin8 5 ( ( 5 + ) ( 5 + ) 5 )( 5 + ) (Det gyldne snit)

18 6 Kp 4 Kp 3. Treknter og firknter. Den retvinklede treknt En retvinklet treknt er en treknt, hvor en vinkel er 90 o. Mn betegner trditionelt den rette vinkel med C. Siden der ligger overfor den rette vinkel kldes for hypotenusen, og de to ndre sider i treknten betegnes som kteter. Højden h c er en norml på siden c, som går gennem C. På figuren ovenfor betegner H denne højdes fodpunkt. D C 90 o og A + B + C 80 o gælder t A + B 90 o, hvorf følger t B 90 o - A og A 90 o -B. På figuren er treknterne ACH og CBH ligeledes retvinklede, d H 90 o i begge tilfælde. Endvidere ses, t ACH (lig med vinkel C i ACH) lig med 90 o - A B. ACH B. På smme måde ses, t i treknt CBH er BCH A. Treknterne ACH og CBH er tegnet seprt på figuren. Hvd vi opdger er ltså, t disse to treknter er ensvinklede med treknt ABC. De hr nemlig begge en ret vinkel, en vinkel A og en vinkel B. Skrevet symbolsk: (4.) ABC ACH CBH Ifølge ksiom A5 er forholdet mellem ensliggende sider konstnt for disse 3 treknter. Mn betegner trditionelt de stykker, hvori højden h c deler hypotenusen med α og β. (Se figuren) For t udlede nogle kendte sætninger for den retvinklede treknt, vil vi nu opskrive smtlige forhold, som følger f de tre ensvinklede treknter. For t opskrive disse forhold behøver vi kun t se på (4.) og ikke på figuren. (Vi skl ikke nvende smtlige ligninger, men det er nær umuligt t se hvilke, mn skl nvende før de opskrives). AB AC BC c b ABC ACH AC AH CH b α h c ABC CBH AB CB AC CH BC BH c b h c β

19 Cirkler 7 AC AH CH b α ACH CBH CB CH BH h Af den tredie linie den sidste ligning finder mn: Denne sætning udtrykkes ved t: h c αβ c hc β α hc som giver: h β Højden er mellemproportionl (geometrisk gennemsnit) mellem de stykker, hvori den deler hypotenusen. Sætningen kn nvendes, hvis mn ønsker t konstruere det geometriske gennemsnit mellem to stykker. Konstruktionen kræver dog kendskb til begrebet synsvinkelbue, som vi vil vende tilbge til. c b Af den første linie flæser mn: b cα b α c Af den nden linie flæser mn: cβ. Adderes disse to ligninger finder mn: β (4.) + b cβ + cα c(β + α) c c c + b c Denne sætning er nok den mest velkendte f lle mtemtiske sætningen. Den kldes for: Den Pythgoræiske læresætning (Phythgors sætning): Kvdrtet på hypotenusen er lig med summen f kteternes kvdrter. Bemærk, t vi hr bevist sætningen udelukkende ved nvendelse f ksiom A5 (plus lidt snedighed).. Firknter c

20 8 Kp 4 Figuren ovenfor viser en vilkårlig firknt, smt 5 specielle firknter med nvne som ngivet. Deres egenskber skulle være velkendte og fremgår iøvrigt f figuren. Vi vil vise et pr små sætninger. Sætning: Vinkelsummen i en firknt er 360 o. En linie, der forbinder to modstående vinkelspidser i en firknt kldes for en digonl. På den første f figurene er trukket en digonl mellem B og D. Digonlen deler firknten i to treknter. Vinkelsummen i firknten er lig med vinkelsummen i treknterne ABD og treknt BDC. Vinkelsummen er således 360 o. Det er nemt t vise, t vinkelsummen i en n-knt er (n-)*80 o. n-knten kn nemlig opdeles i n- treknter, således t n-kntens vinkelsum er summen f de n- treknters vinkelsum. Sætning: I et prllellogrm hlverer digonlerne hinnden. På figuren betegnes digonlernes skæringspunkt med M. CAD ACB på grund f ksiomerne A3 og A4. Tilsvrende er DBC BDA. Endvidere er BC AD og AB CD ifølge definitionen på et prllellogrm Herf følger, t AMD er kongruent med CMB, ifølge K3. Af dette flæses så, t AM CM og MD MB. Digonlen AC hlverer digonlen BD. På helt tilsvrende måde, kn mn vise, t digonlen BD hlverer digonlen AC. Vi hr derfor vist, t i en prllellogrm hlverer digonlerne hinnden. 3. Trnsversler I treknt ABC er tegnet et liniestykke MN, som er prllelt med AC. Et sådnt liniestykke kldes for en trnsversl. D ABC MBN gælder: MB AB BN BC MN AC Specielt, hvis MB ½ AB følger t BN ½ BC og MN ½ AC. Trnsverslen kldes d for en midtpunktstrnsversl, idet den forbinder midtpunkterne f siderne AB og BC. Bemærk, t længden f midtpunktstrnsverslen er ½ AC. Omvendt vil der gælde Midtpunktstrnsverslsætningen:

21 Cirkler 9 Hvis en linie forbinder midtpunkterne f to sider i en treknt, vil den være prllel med den tredie, og hlvt så stor som denne. Dette følger f, t der kun er en linie, som forbinder midtpunkterne f de to sider ifølge det foregående er det netop midtpunktstrnsverslen. 4. Mediner En linie, der forbinder en vinkelspids med midtpunktet f den modstående side kldes for en medin. Vi vil bevise sætningen: I en vilkårlig treknt går de tre midiner gennem smme punkt og skæringspunktet deler enhver f medinerne i forholdet : regnet fr vinkelspidsen. Bevis: Ld L og M være midtpunkterne f siderne b og c. Vi tegner medinerne BL og CM. Deres skæringspunkt betegnes G. Vi tegner d en linie fr A gennem G. (Vi ved ikke om det er en medin...endnu). Linien skærer BC i N. (Vi ved ikke om N er midtpunktet f BC...endnu) Vi forlænger d linien ud over N til punktet K, således t AG GK. Vi betrgter d treknten ABK. I denne treknt er GM en midtpunktstrnsversl, idet M er midtpunktet f AB og G er midtpunktet f AK (ifølge konstruktionen). Herf følger: GM ½ BK og GM BK CG BK. På helt tilsvrende måde finder mn ved t betrgte AKC: GL ½ KC og GL KC BG KC. V hr ltså: CG BK og BG KC firknt CGBK er et prllellogrm I et prllellogrm hlverer digonlerne hinnden, så N er midtpunktet f BC. Linien fr A gennem G er derfor medinen fr A. Medinerne går gennem smme punkt. Dette vr sætningens første del. D GM er en midtpunktstrnversl i ABK er GM ½ BK ½ CG ( BK CG, d modstående sider i et prllellogrm er lige store). G deler ltså medinen CM i forholdet :.

22 0 Kp 4 Tilsvrende finder mn, t G deler medinen BL i forholdet :. Dette gælder også for medinen AN ifølge konstruktionen. Hermed er sætningens nden del bevist. 5. Midtnormler. Trekntens omskrevne cirkel Vi vil vise sætningen: I en vilkårlig treknt går midtnormlerne på trekntens sider gennem smme punkt, og dette punkt er centrum for trekntens omskrevnne cirkel. Bevis: På figuren er konstrueret midtnormlerne på siderne AB og BC. Der skæringspunkt betegnes O. Der gælder således: OA OB OB OC, hvorf følger t OA OC. O ligger således på midtnormlen for AC. Midtnormlerne går gennem smme punkt. D A, B og C ligger i smme fstnd fr O, liggger de på en cirkel med centrum i O. Denne cirkel kldes for trekntens omskrevne cirkel. 5. Trekntens indskrevne cirkel Ved en treknts indskrevne cirkel forstår mn en cirkel, som tngerer trekntens 3 sider. Vi vi bevise sætningen: Vinkelhlveringslinierne i en treknt går gennem smme punkt, og dette punkt er centrum for trekntens indskrevne cirkel. Bevis: På figuren er konstrueret vinkelhlveringslinierne fr A og C. Deres skæringspunkt betegnes O. O hr smme fstnd fr siderne b og c, d O ligger på vinkelhlveringslinien fr A, og O hr smme fstnd fr siderne og b, d O ligger på vinkelhlveringslinien fr C. Derfor hr O smme fstnd fr siderne og c, og O ligger således på vinkelhlveringslinien fr B. Vinkelhlveringslinierne går gennem smme punkt. Tegner mn derfor en cirkel med rdius r O bo co, (hvor O fstnden fr siden til punktet O osv.), vil denne cirkel tngerer de tre sider i treknten. Den betegnes som trekntens indskrevne cirkel. Der gælder en lille sætning om smmenhængen mellem trekntens rel T, rdius r i den indskreve cirkel og trekntens hlve perimeter (omkreds) s hvor s + b + c. T r s Deles treknten nemlig op i de 3 treknter AOC, COB og AOB, kn relet f hver f disse treknter udregnes som (½ højde*grundlinie) ½r b, ½r og ½r c. Derfor er

23 Cirkler T ½r b + ½r + ½r c ½r(b + + c) ½ r s r s 6. Højder Vi vil vise sætningen: I en vilkårlig treknt skærer de tre højder hinnden i smme punkt. Beviset er en nelse mere kompliceret ed de tilsvrende sætninger for midtnormler og vinkelhlveringslinier. Beviset kræver et lille trick. Se figuren. Gennem vinkelspidserne tegnes linier prllelle med den modstående side. Disse linier dnner en ny treknt, som betergnes PQR. Vi betrgter firknt ABPC. I denne firknt gælder, t BP AC og AB PC. Firknten er et prllellogrm, så BP AC og PC AB. Dernæst betrgtes firknt ARBC. I denne firknt gælder AR BC og RB AC. Firknten er et prllellogrm, så RB AC og AR BC. Smmenholdes nu de to firknter, ses t BP AC og RB AC. Vi finder derfor, t BP RB, så B er midtpumktet f PR. Højden fr b, h b er derfor midtnorml i på siden PR i treknt PQR. Tilsvrende for de to ndre højder. D de tre højden h, h b og h c er midtnormler i treknt PQR, går de gennem smme punkt, hvorefter sætningen er bevist.

24 Kp 4 Kp 3. Cirkler. Tngentvinkler og periferivinkler Vi giver først et pr definitioner: En tngent til en cirkel er en linie, der kun skærer cirklen i et punkt. En seknt er en linie, der skærer cirklen i to punkter. En korde er et liniestykke, der forbinder to punkter på cirkelperiferien. Hvis liniestykket gåt gennen cirklens centrum, kldes det for en dimeter. En centervinkel er en vinkel, der hr toppunkt i cirklens centrum. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. (Nturligvis pr. definition f grdtllet.) En tngentvinkel er en vinkel, hvis ben tngerer cirklen. (Se figuren). En periferivinkel er en vinkel, som hr toppunkt på cirkelperiferien. Vi beviser først sætningen: En tngentvinkel måles ved 80 o - buen den spænder over. Bevis: På figuren er CQP CRP 90 o. Herf følger: C+ P 80 o (D vinkelsummen i en firknt er 360 o.) Hvorf sætningen følger. Vi beviser dernæst sætningen: En periferivinkel måles ved den hlve bue den spænder over.

25 Cirkler 3 Bevis: Se figuren. Beviset deles op i 3 dele. Først ser vi på tilfældet, hvor periferivinklens ene ben går gennem cirklens centrum O. Periferivinklen er P, med måltl v. Vi hr tegnet en hjælpelinie BC. Vinklerne P og B er begge lig med v, d treknten er ligebenet, og AOB er supplementvinkel til POB 80 o -v, så AOB v. Periferivinklen P med måltl v spænder over buen AB med måltl v, ltså kn vi i dette tilfælde slutte, t en periferivinkel måles ved den hlve bue den spænder over. På fig. ligger vinklens ben på hver side f linien, som forbinder P med cirklens centrum O. Forlænges denne linie, hr vi delt periferivinklen op i to periferivinkler, som begge hr et ben, som går gennem centrum. D sådnne periferivinkler måles ved den hlve bue de spænder over er sætningen vist også i dette tilfælde, idet v u + w ½AB + ½CB ½AB. Endelig ser vi på fig. 3. Her ligger begge ben på smme side f f OP. Igen forlænges linien PO så den skærer i C. Der vil så gælde: v u - w ½CB - ½ CA ½AB, hvorefter sætningen er bevist. Vi mngler nu kun, t behndle to typer f vinkler i forbindelse med en cirkel. En kordetngentvinkel er en vinkel, hvis ene ben tngerer cirklen, og hvis ndet ben er en korde. (Se figuren nedenfor). Der gælder sætningen: En kordetngentvinkel måles ved den hlve bue den spænder over. Sætningen følger f sætningen om periferivinkler, idet en kordetngentvinkel blot er en grænsestilling for en periferivinkel, når den ene korde udrtes til en tngent. Men det kn også ses direkte som vis på figuren. Tegnes de to rdier til P og Q, og kldes vinklerne ved grundlinien for u, så er u 90 v. w PQ 80 u > u 90 - ½PQ. Så v ½PQ (Den hlve bue den spænder over). En sekntvinkel er en vinkel, hvis to ben er seknter i en cirkel. (Se figuren). Der gælder sætningen: En sekntvinkel måles ved den hlve differens mellem de buer den fskærer på cirklen Bevis: (Se figuren) Sekntvinklens ben skærer cirklen i punkterne A, B, C og D. Vi tegner en hjælpelinie AC, som definerer vinklerne u og w. u er supplementvinkel til PCA, så u v+w. Herf

26 4 Kp 4 følger: v u-w ½AB - ½CD, hvorefter sætningen er bevist. (Vi hr nvendt t u og w er periferivinkler).. Synsvinkel På figur er tegnet en cirkel med en korde AB. AB fskærer buen AB (og 360 o - AB) på cirklen. Alle periferivinklerne C, C og C 3 fskærer den smme bue AB og de er derfor lige store. Buen AB (og 360 o - AB) kldes for synsvinkelbuerne for korden AB, idet AB ses under den smme vinkel for ethvert punkt, der ligger på buen AB. 3. Synsvinkelkonstruktionen Det er ikke helt ukompliceret t konstruere den synsvinkelbue, hvorunder et givet liniestykke ses under en given vinkel. Konstruktionen er vist på figur. Liniestykket betegnes AB og vinklen C. Vinkel C fsættes i A, således t AB er vinkel C's venstre ben. En cirkel, der går gennem A og B, og som tngerer den fstte vinkels højre ben i A, vil hvde den fstte vinkel som kordetngentvinkel, og buen AB (for neden) vil derfor være det dobbelte f C. Alle periferivinkler på den øverste del f buen AB, hvis ben skærer i A og B måles ved den hlve bue AB, og vil derfor være lig med C. Den omtlte cirkel vil derfor være den søgte synsvinkelbue. Cirklen konstrueres nu, idet centrum må ligge på midtnormlen for AB, og centrum må ligeledes ligge på en norml til den fstte vinkels højre ben i A, d cirklen skl tngerer dette ben (kordetngentvinkel). Ved t konstruere midtnormlen på AB og en norml i A, bestemmes cirklens centrum d som de to liniers skæringspunkt. Hvis c AB og C er kendte kræver det en synsvinkelkonstruktion og endnu en oplysning for t kunne konstruere ABC. Det kn f.eks. være h c (højden på siden c) eller m c (medinen på siden c).

27 Cirkler 5 Øvelse: Konstruer ABC, når C 45 o, c 6 og m c Indskrivelige og omskrivelige firknter Vi hr vist t enhver treknt hr en indskreven og en omskreven cirkel, men noget tilsvrende gælder ikke for firknter, eller n-knter hvor n > 3. En firknt kldes for indskrivelig, hvis den hr en omskreven cirkel, ltså en cirkel, som går gennem de fire vinkelspidser. En firknt kldes for omskrivelig, hvis den hr en indskreven cirkel, ltså en cirkel, som tngerer firkntens sider. Der gælder følgende sætninger: En firknt hr en omskreven cirkel, hvis og kun hvis summmen f modstående vinkler i firknten er 80 o. En firknt hr en indskreven cirkel, hvis og kun hvis summen f det ene pr modstående sider er lig med summen f det ndet pr. Bevis: På fig. er vist en firknt med en omskreven cirkel. A og C er begge periferivinkler, som måles ved den hlve bue de spænder over. D de tilsmmen spænder over hele cirkelbuen er A+C 80 o. Tilsvrende med B og D. På fig. er vist en firknt med en indskreven cirkel. A, B, C og D er d fire tngentvinkler. Afstndene fr vinkelspidserne til tngeringspunkterne med cirklen kldes for e, f, g og h. Det ses t: AB + CD h+e+g+f, og BC + AD e+f+g+h, hvorf følger t,

28 6 Kp 4 AB + CD BC + AD, hvormed sætningen er bevist. 5. Herons formel Der findes utllige sætninger i geometrien, og vi hr i disse noter kun nævnt de de llermest elementære og kendte. I lærebog i Geometri for mellemskolen, fluttedes bogen for 4. mellem (9. klsse) med en indviklet sætning, som kldes for Herons formel. Vi vil nu bevise denne sætning. Kldes trekntens sider for, b og c, den hlve perimeter (omkreds) for s, så s + b + c. For trekntens rel T gælder formlen: T s( s )( s b)( s c) På figuren nedenfor er tegnet en treknt, dens indskrevne cirkel, smt den ydre røringscirkel til siden. Den ydre røringscirkel tngerer forlængelsen f siderne b og c, smt siden. Centrum for den ydre røringscirkel O A ligger på vinkelhlveringslinien for A, smt vinkelhlveringslinierne for supplementvinklerne for A og C. Rdius i den ydre røringscirkel betegnes r. Røringspunkterne for den indskrevne cirkel på siderne, b og c betegnes med A, B og C. Afstnden fr en vinkelspids til røringspunktet for den indskrevne cirkel betegnes x, y og z. Der gælder: y+z, x+z b og x+y c hvorf følger, t x+y+z +b+c s x + y + z s Subtrheres fr denne ligning y+z, finder mn: x s- og to tilsvrende ligninger, ilt x s- og y s-b og z s - c. Endvidere hr mn, idet AD AE: AD AB +BD AB+BF og AE AC + CE AC + CF.

29 Cirkler 7 Ved ddition f disse to ligninger findes: AD + AE AD AE AB + AC + BF + CF c + b + s AD AE s (Adstnden fr en vinkelspids til tngeringspunktet for den ydre røringscirkel for den modstående side er lig med trekntens hlve perimeter) Endvidere får mn: BD AD - AB s - c. (og tilsvrende for de ndre stykker). Vi er nu rede til t opstille nogle forhold for nogle ensvinklede treknter. D vinkelhlveringslinierne for to supplementvinkler er ortogonle (tilsmmen er de to hlveringsvinkler for 80 o jo 90 o ) er OBC 90 o - O BD BO D OBC ½B. Vi hr d: BOC O BD, som giver: OC BD BC O D r s b s c r Tilsvrende finder mn idet AOC AO D OC O D AC AD r r s s Multipliceres de to ligninger med hinnden finder mn, idet r kn bortforkortes: r ( s )( s b)( s s Anvendes derefter formlen T r s, fremkommer Herons formel. c) T s( s )( s b)( s c) 6. Om t bevise den omvendte sætning til en sætning Hvis mn skl bevise den omvendte sætning til en sætning gøres det ofte på den smme måde i geometrien. Her vil vi illustrere metoden til t bevise den omvendte sætning til Pythgors' sætning. Hvis der i en treknt gælder, t c + b, så er C 90 o.

30 8 Kp 4 Bevis: Vi dnner en retvinklet treknt med kteterne og b. For denne treknt vil gælde, t c + b. D denne treknt og den oprindelige så hr tre sider fælles er de kongruente, og dem oprindelige treknt er retvinklet.

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016 Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH. Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere