Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål."

Transkript

1 Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler 4 Tegning og måling af vinkler 5 Tegning af trekanter - vinkelsum i trekant 6 Nabovinkler, komplementvinkler, vinkelberegning 7 Tegning af trekanter, modstående/hosliggende sider og vinkler 8 Tegning af trekanter, højden 9 Højden - fortsat 10 Midtnormalen 11 Midtnormalen, den omskrevne cirkel 12 Trekanttegning, retvinklet, ligebenet, ligesidet trekant 13 Vinkelberegning, vinkelhalveringslinien 14 Den indskrevne cirkel, opgaver 15 Medianen, opgaver 16 Cirklen 17 Cirklen - fortsat 18 Blandede opgaver 19 Firkanter 20 Opgaver med firkanter 21 Opgaver med firkanter Side Emne 22 Opgaver med firkanter 23 Flytninger - spejling 24 Opgaver - spejling 25 Opgaver - spejling 26 Punktspejling 27 Blandede opgaver 28 Spejlingsakser 29 Parallelforskydning 30 Drejning - opgaver 31 Drejning - opgaver 32 Ensliggende vinkler ved parallelle linier 33 Blandede opgaver 34 Centervinkler 35 Periferivinkler 36 Opgaver - periferi/centervinkler 37 Opgaver - periferi/centervinkler 38 Firkanter 39 Firkanter - opgaver 40 Firkanter - opgaver 41 Firkanter - opgaver 42 Den retvinklede trekant 43 Den retvinklede trekant - opgaver 44 Den retvinklede trekant - opgaver 45 Blandede opgaver 46 Blandede opgaver 47 Blandede opgaver 48 Vinkelberegninger, symetriakser Geometri 89 betyder geometri for kl. Det forudsættes at eleverne har haft geometri før, da enkelte begreber anses for kendte. Husk venligst, at der er emner og begreber, som ikke er omtalt, og som for år tilbage indgik i geometriundervisningen f.eks.: Ensvinklede trekanter, synsvinkelbue, multiplikation omkring et punkt. Det vil uden tvivl være nødvedigt, at vise og diskutere mange af konstruktionerne før eleverne selv kan gå i gang, og brugen af beviser må afhænge af elevernes standpunkt. Mange opgaver skal løses i et kladdehæfte. (Tidligere var det uden linier!).

2 Mål vinklerne og skriv resultatet inde i vinklen.

3 Tegn disse vinkler i dit kladdehæfte. De SKAL ligge som på prøvetegningerne. Mål vinklerne og skriv resultatet inde i vinklen.

4 Mål vinklerne og skriv resultatet inde i vinklen. Tegn disse vinkler i dit kladdehæfte. De SKAL ligge som på prøvetegningerne.

5 Her er prøvetegninger til nogle trekanter. Du skal tegne trekanter med disse mål. (Alle længder er i cm). Mål disse vinkler. A = B = C = I alt = G = H = I = I alt = D = E = F = I alt = J = K = L = I alt = x = y =

6 På side 5 lærte du, at de 3 vinkler i en trekant tilsammen altid er 180 o. u + v =180 o. x + y =90 o. Find ud af hvor store vinklerne er, uden at bruge vinkelmåler.

7 Når du tegner en trekant, er det lige meget, hvor du begynder. Du skal se på prøvetegningen. Prøv at se, hvordan du nemmest kommer igang. Det kan lige så godt være med A som B som C Tegn nu disse trekanter i dit kladdehæfte. De skal måske vendes i forhold til prøvetegningen. De er gjort lidt sværere end dem på side 5. Man siger, at b og c er vinkel A s hosliggende sider. a er vinkel A s modstående side. Vinkel A og vinkel C er b s hosliggende vinkler.

8 Indtil nu har du kunnet tegne trekanterne med en lineal og en vinkelmåler. Det kan man imidlertid ikke altid. I disse opgaver SKAL du bruge passer. (Alle længdemål er i cm.) Så bliver det igen lidt sværere. Nu skal du selv tegne en prøvetrekant. Derefter sætter du målene ind på den, og tegner så den rigtige trekant. Højden Højden er en linie i en trekant. Den går fra en vinkelspids, og står vinkelret på modstående side eller dennes forlængelse. Det kan skrives f. eks: h b, h c, h a osv. alt efter, hvilken vinkel den starter i.

9 Tegn de 3 højder. Mål siderne. Mål siderne.

10 Midtnormalen A og B er centrum for de 2 cirkler med samme radius. Tegn midtnormalerne til de 4 liniestykker.

11 Den omskrevne cirkel Tegn normalerne til de 3 sider i begge trekanter. De 3 normaler skal skære hinanden i ét punkt. Dette punkt er centrum for den omskrevne cirkel. Tegn derefter den omskrevne cirkel.

12 OPGAVER. (Tegn trekanten midt på siden i dit kladdehæfte). Tegn disse 4 trekanter og deres omskrevne cirkel. Siderne der danner den rette vinkel kaldes kateter. Siden over for den rette vinkel kaldes hypotenusen. A + B = 90 o. OPGAVER. 1. Tegn en retvinklet trekant, hvor kateterne er 4 cm og 5 cm. 2. I en retvinklet trekant er kateterne a og b tilsammen 9 cm. a er dobbelt så stor som b. Tegn trekant ABC og beregn dens areal. 3. Tegn en ligesidet trekant hvor siderne er 5,5 cm. At en trekant er en ligebenet trekant betyder, at to af siderne er lige store. Her a = c. Derfor er to af vinklerne lige store. De kaldes for vinklerne ved grundlinien. B kaldes topvinklen. I en ligesidet trekant er alle sider lige store, og derfor er de 3 vinkler også lige store. Dvs. = 60 o. 4. Tegn en ligebenet trekant, hvor grundlinien AC = 6,5 cm og B = 50 o. 5. Tegn en retvinklet trekant ABC, hvor C er den rette vinkel og a = 10 cm og c = 11,5 cm. 6. Tegn en ligebenet trekant ABC, hvor grundlinien AB = 7 cm og vinklerne ved grundlinien tilsammen er 110 o. Tegn den omskrevne cirkel.

13 Tegn disse trekanter. (Alle længdemål er i cm). Tegn h c Tegn h c og h a Vinkelhalveringslinien Lær (i første omgang) at tegne vinkelhalveringslinien med passer og lineal. Vises på tavlen. Tegn den omskrevne cirkel. Siderne er 6 cm. Tegn de 3 højder.

14 Den indskrevne cirkel Tegn vinkelhalveringslinierne i de 2 trekanter. Tegn derefter den indskrevne cirkel. Centrum for den indskrevne cirkel er der hvor vinkelhalveringslinierne skærer hinanden. De skal skære hinanden i èt punkt.

15 Medianen Medianen er en linie, der går fra en vinkelspids over til midten af den modstående side. Tegn medianerne til denne trekant. Start med at tegne normalerne. Tegn disse trekanter. Der er tegnet én her. Den kaldes m a, fordi den udgår fra vinkel A. Der er altid 3 medianer i en trekant. Når du har fundet midten af c og b kan du tegne de 2 andre. Du finder midten ved at tegne normalerne. De går jo gennem en linies midtpunkt. Tegn m b og m c.

16 Cirklen Radius er cm Diameteren er cm. Tegn en tangent gennem P. Tegn en sekant gennem Q Tegn Korden PQ Tegn en cirkel med r = 2 cm i det viste kvadrat, så centerlinien bliver 10 cm.

17 Korden AC = 5,5 cm. Tegn den. ABC er en ligebenet trekant. Find ud af, hvor B ligger og tegn trekanten. Mål vinklerne. A = B = C = Tegn h a og h c. Tangenten PQ = 8 cm. Tegn den anden tangent QR. M er midtpunkt for en anden cirkel med r=3 cm. Centerlinien NM = 10 cm. PQM = 100 o. Tegn den anden cirkel. Den tegnede cirkel er trekant ABC s indskrevne cirkel. a, b, og c er tangenter til cirklen. Tegn trekant ABC. Tegn de 3 vinkelhalveringslinier.

18 OPGAVER. (Du skal selv lave en prøvetegning). 1. AC = 7 cm A = 65 o h b = 4 cm 3. a = 4 cm b = 7 cm c = 5 cm 5. a = c = 7 cm h b = 5,5 cm 2. AC = 8 cm C = 75 o h b = 4,5 cm 7. Tegn en ligesidet trekant med siden 7 cm. Tegn den omskrevne cirkel. 4. AC = 6,5 cm C = 135 o h b = 5 cm 8. Tegn en cirkel med r = 4 cm. Inde i denne ligger en ligebenet trekant ABC, hvor B er topvinkel og AC = 6 cm. Tegn trekanten. Mål vinklerne. 11. Tegn her en trekant med målene: a = 6 cm, b = 8 cm og c = 10 cm. (Det er b der er tegnet). Find midtpunktet af c og kald det P. Mål nu disse afstande: 6. A = C A + C = 130 O b = 8 cm 9. I en retvinklet trekant er den ene katete a = 5 cm, den anden b = 9 cm. Tegn trekanten. Tegn den indskrevne cirkel. 10. Centerlinien mellem to cirkler er 9 cm. radius i den ene cirkel er 2 cm, og i den anden er radius 3 cm. Tegn cirklerne. Tegn de 4 tangenter, der rører de to cirkler PB = cm PC = cm PA = cm Tegn en cirkel med P som centrum og r = PB. BC bliver i cirklen. AC bliver i cirklen. AB bliver PA bliver i cirklen. i cirklen.

19 Firkanter Rektangel. I et rektangel er de modstående sider lige store og parallelle. Alle vinkler er 90 o. I et rektangel halverer diagonalerne hinanden. Parallelogram. I et parallelogram er de modstående sider lige store og parallelle. I et parallelogram halverer diagonalerne hinanden. I et parallelogram er de modstående vinkler lige store. Kvadrat. I et kvadrat er alle sider lige store. I et kvadrat er alle vinkler lige store. I et kvadrat er diagonalerne lige store, og står vinkelret på hinanden. Rombe. I en rombe er alle sider lige store. I en rombe står diagonalerne vinkelret på hinanden og er samtidig vinkelhalveringslinier. I en rombe er de modstående vinkler lige store. Trapez. En trapez er en firkant, hvor to af siderne er parallelle. I et ligebenet trapez er de skrå sider lige store.

20 Tegn diagonalerne. Kald skæringspunktet mellem dem for M. Mål disse vinkler: CAD = BDA = AMD = ACB = Hvilken type trekant er: (ret, spids, stump) Trekant BAD Trekant AMD Trekant DMC Tegn diagonalerne. Skæringspunktet kaldes M. Hvilken type trekant er: Trekant AMD Trekant DMC Tegn højden BE. Den er cm. Hvilken type trekant er BED: Mål vinklerne: CAD =, BAD =, AMD = Find 2 vinkler der er lige store (Brug 3 bogstaver til hver vinkel) = Mål vinklerne: A = B = C = D = Hvilken type vinkel er: (ret, spids, stump) A = Tegn diagonalen BD. C = Der opstår derved 2 trekanter. Hvilken typer er de? Den stumpvinklede trekant er. Den spidsvinklede er. Tegn højden BE. Den er cm. Vinkel ABE er o.

21 Tegn disse firkanter i kalddehæftet.

22 Tegn disse firkanter i kladdehæftet.

23 Spejling Ligningen for spejlingsaksen er y = 1. Find billedet af PQ ved spejling i s. Billedets koordianter bliver: P 1 = (, ) Q 1 = (, ) Ved spejling af RS i S bliver billedets koordinater: R 1 = (, ) S 1 = (, ) Tegn billedet af ABC ved spejling i s. Billedets koordinater bliver: A 1 = (, ) B 1 = (, ) C 1 = (, )

24 Spejlingsaksens ligning er : Find billedet af PQR ved spejling i s. Billedets koordinater bliver: P 1 = (, ) R 1 = (, ) Q 1 = (, ) Når STU er spejlet i s bliver koordinaterne: Tegn spejlingsaksen y = -1. S 1 = (, ) U 1 = (, ) Tegn firkant ABCD når: A(-4,-3), B(-1,-1), C(2,-2) og D(-1,-5) Find billedet af firkanten. Tegn billedet. (Du må gerne bruge en tus ). T 1 = (, ) Billedets koordinater bliver: A 1 = (, ) B 1 = (, ) C 1 = (, )D 1 = (, )

25 Flytninger Alle spejlbilleder SKAL angives med koordinater. Tegn i kladdehæftet. I koordinatsystemet skal 1 = 1 cm. Find spejlbilledet af AB ved spejling i spejlingsaksen s. s: y = 1 Find billedet af PQ ved spejling i s. s: x = 2 Find billedet af RS ved spejling i s. Find billedet af trekanten ved spejling i s: y = -1. x-aksen. Find billedet af trekanten ved spejling i s. Find billedet af firkanten ved spejling i s. s: x = 2 s: x = 2 Find billedet af ABCD ved spejling i y-aksen. Dette kaldes R. Find billedet af R ved spejling i x-aksen. Find billedet af ABC ved spejling i y = x

26 Punktspejling Find billedet af ABC ved spejling i P. Skriv punkternes koordinater. A = (, ) B = (, ) C = (, ) Skriv billedets koordinater her. A 1 = (, ) B 1 = (, ) C 1 = (, ) Tegn trekant ABC når: A(-1,-1), B(3, -1) og C(2,-3) Find billedet af ABC ved spejling i P(0,0) Skriv billedets koordinater her. A 1 = (, ) C 1 = (, ) B 1 = (, )

27 I de opgaver, hvor du skal finde billedet af en figur, skal billedet altid tegnes og billedets koordinater skal angives. Du skal bruge, at A bliver til A 1, B til B 1 osv. Find billedet af trekanten ved spejling i P(0,0). Spejlingspunktet P har koordinaterne (2,1). Find billedet af ABC ved spejling i P. 5. I et koordinatsystem ligger en cirkel. y-aksen er tangent til cirklen og centrum er (3,1). Tegn cirklen. Tegn en tangent til cirklen gennem (0,-4) 6. Tegn en trekant ABC når AB = 9 cm, B = 46 o og C = 74 o. Tegn desuden de tre midtnormaler og den omskrevne cirkel. 7. Tegn et koordinatsystem. A har koordinaterne (-2,-1) og B(4,-1). Linien AB er korde i en cirkel, der har centrum i (1,1). Tegn cirklen. C ligger på periferien. Tegn den ligebenede trekant ABC. 8. I et trapez ABCD er A = 50 o, D = 75 o, AD = 9 cm og DC = 6 cm. Tegn trapetzet. (HUSK prøvetegning). Tegn diagonalerne. Hvor mange grader er B + C? Find billedet af trekanten ved spejling i P(-1,0). P(2,2) Find billedet af trekanten ved spejling i P. Beregn arealet af trekant APB I et koordinatsystem ligger A(-2,1), B(1,4) og C(3,0). Tegn trekanten. Indtegn en spejlingsakse s: y = -1. Find billedet af ABC ved spejling i s. 10. Tegn i et koordinatsystem den figur, der har koordinaterne: A(-1,-1), B(-3,5), C(-1,4) og D(1,5) Find billedet af figuren ved spejling i A. Beregn arealet af trekant CC 1 A. 11. Tegn to figurer: et rektangel og et kvadrat. De skal have samme omkreds. Kvadratets areal er 25 cm Tegn en ligesidet trekant med siden 7 cm. Tegn trekantens indskrevne cirkel.

28 Indtegn spejlingsakserne i bogstaverne. (Hvis der er nogle).

29 Parallelforsk arallelforskydning Ved parallelforskydning skal du finde billedet af trekant PQR. Derved kommer billedet af R til at ligge i (8,1). Angiv koordinaterne til: Q 1 (, ) og P 1 (, ) Ved parallelforskydning kommer billedet af U til at ligge i (-2,-1). Tegn billedet af trekant STU. Angiv koordinaterne til: S 1 (, ) og T 1 (, ) En figur K er angivet ved disse koordinater: A(-4,1), B(-1,4), C(2,1) og D(-1,2). Tegn K. Find billedet af K ved parallelforskydning så billedet af B kommer til at ligge i (-1,0). Angiv billedets koordinater:

30 Drejning Her skal du bruge passer. Drej ABC 90 o om P i negativ retning. Drej firkanten 100 o om P i positiv retning.

31 Drej trekant ABC 85 o om P i negativ retning. Tegn en ligesidet trekant ABC med siden 4,5 cm. Drej trekant 75 o om P i positiv retning.

32 Ensliggende vinkler ved parallelle linier Beregn samtlige vinkler. Skriv resultatet i vinklen. Du må IKKE bruge vinkelmåler.

33 Blandede opgaver Find billedet af ABC ved at spejle trekanten i P. Hvor mange grader er vinklerne? v = y = x = z = Tegn normalerne til a, b og c. Tegn den omskrevne cirkel. Tegn 3 cirkler der har m som tangent. De 3 cirkler har diameteren: 5 cm, 4 cm og 3 cm.

34 Vinkler ved cirklen Centervinkler Centervinkler er vinkler med toppunkt i centrum af cirklen. Cirklens omkreds, periferien, inddeler man i 360 o. Som du ser, er der tegnet 4 rette vinkler med toppunkt i centrum. De er hver 90 o. Periferien er inddelt i 4 lige store stykker. De må være 360 o : 4 = 90 o. En centervinkel er lige så mange grader, som det buestykke den spænder over. På figuren er en centervinkel på 60 o. Buen AB er derfor 60 o. En anden centervinkel er 110 o. Buen CD er derfor også o. Mål selv. v = o BD = o u = o CA = o Her skal du måle de 5 vinkler og skrive, hvor mange grader de tilhørende buer er. u = o v = o x = o AB = o o o y = o z = o o o

35 Vinkler ved cirklen Periferivinkler Periferivinkler har deres toppunkt på periferien. Man kan vise, at en periferivinkel er halvt så mange grader som det buestykke, den afskærer på periferien. u er 56 o, og buestykket AB er CD er 60 o og v er derfor 30 o. derfor 56 o. 2 = 112 o. Vinkeltyper. u er en v er en u er o. Derfor er AB = o. v er o og spænder over et buestykke, der er o. Mål vinklerne. Beregn buerne. A = o B = o C = o BC = o AC = o AB = o

36 Vinkler ved cirklen Opgaver Tegn en regelmæssig 6-kant inde i cirklen. 1. Tegn en cirkel med r = 4 cm. Tegn inde i denne en centervinkel på 55 o. 2. Tegn en cirkel med d = 7 cm. Tegn i denne en centervinkel på 100 o. 3. Tegn en cirkel med r = 4,5 cm. Angiv herpå et buestykke på 80 o. 4. Tegn en halvcirkel med r = 5 cm. Angiv på denne en cirkelbue på 140 o. 5. Tegn en cirkel med r = 4 cm. Afsæt på denne cirkelbuen AB = 50 o og cirkelbuen BC = 100 o. Angiv det punkt D på cirkelbuen der ligger lige langt fra A og C. Tegn firkant ABCD. Tegn en regelmæssig 5-kant inde i cirklen. 6. Tegn en cirkel med r = 3,5 cm. Tegn inde i denne en periferivinkel på 30 o. 7. Tegn en cirkel med diameteren 8 cm. Tegn inde i denne en periferivinkel på 45 o. 8. Hvor mange grader er: a) AB b) BC c) AC d) PQ e) QR f) RP

37 9. Tegn en cirkel som denne. Afsæt herpå AB = 120 o og BC = 110 o. Tegn trekant ABC. Hvor mange grader bliver vinkel A, B og C? A = B = C = 10. Tegn en trekant som denne. Tegn derefter den omskrevne cirkel. Hvor mange grader bliver: AB: AC: Vinkler ved cirklen Andre vinkler BC: Find punktet D midt på bue AC. Hvor mange grader bliver vinkel D? Tangentvinkel Korde - tangent-vinkel En tangentvinkel er 180 o minus den En korde-tangent-vinkel er halvt så mange mindste af de buer, den spænder over. grader som den bue, der ligger mellem vinkelbenene. Udvendig vinkel En udvendig vinkel er halvt så mange grader som differensen mellem de buer, der ligger mellem vinkelbenene. Indvendig vinkel En indvendig vinkel er halvt så mange grader som summen af de buer, den selv og dens topvinkel spænder over.

38 Tegning af firkanter Hvilken type trekant er ABC? Hvad kaldes en linie som AC? Hvad kaldes en linie som BE? Hvor mange grader er: A = B = C = D = Ialt BAC = BCA = ACB = CAD = I alt Her er en prøvetegning til en firkant. Tegn den her. (Alle længdemål er i cm).

39 Sæt disse mål ind på prøvetegningen: AB = 4,5 cm BC = 6 cm AC = 7 cm AC = AD D = 72 o. Tegn firkanten. Her er en prøvetegning til en firkant ABCD. Sæt disse mål ind på prøvetegningen og tegn så den rigtige firkant. AC = 9 cm BC = 8 cm AD = DC D = 100 o ACB =45 o.

40 Sæt disse mål ind på prøvetegningen og tegn firkanten. AD = 6 cm BDC =35 o B = 60 o BC = 7 cm h c på BD = 4 cm A = 80 o AC = 9 cm AB = AD = 5,5 cm CD = 6 cm Sæt målene ind på prøvetegningen og tegn ABCD.

41 Tegn et parallelogram ABCD når AD = 5 cm, AB = 3,5 cm og A = 70 o Tegn en rombe ABCD med siden 4,5 cm. AC = 4 cm. (Husk prøvetegning). Tegn et parallelogram ABCD hvor A + C = 110 o. AD = 7 cm og BD = 6 cm.

42 Den retvinklede trekant Pythagoras læresætning

43

44 Prøv en gang at måle de to omkredse for at se hvad du får.

45 Blandede opgaver 1. Tegn en cirkel med r = 4 cm. Tegn i denne en centervinkler på 115 o. 2. Tegn en cirkel med d = 7 cm. Tegn i denne en periferivinkel på 50 o. 3. Tegn en ligesidet trekant med siden 5 cm. Tegn dens omskrevne cirkel. 4. Tegn en ligebenet trekant ABC, hvor topvinklen B = 54 o og AC = 7,6 cm. 5. Tegn en cirkel med r = 4 cm. Tegn i denne en korde AC = 7 cm. Afsæt i positiv retning CB = 90 o. Tegn trekant ABC. 6. I et rektangel ABCD er AD = 8 cm ADB =28 o. Tegn rektanglet. Hvor mange grader er de vinkler diagonalerne danner: a) den største, b) den mindste. 7. Diagonalerne i et rektangel danner en vinkel på 110 o. AD = 9 cm. Tegn rektanglet. 8. Tegn et kvadrat med siden 6 cm. 9. I et kvadrat er diagonalerne 10 cm. Tegn kvadratet. 10. I en rombe ABCD er A =55 o. Siden er 5,5 cm. Tegn romben. 11. I et parallelogram ABCD er AD = 9 cm, A =65 o og ADB =35 o. Tegn ABCD. Diagonalernes skæringspunkt er M. a) Hvor mange grader er AMD? b) Hvor mange grader er DMC? 12. Tegn trekant ABC idet: a = 6 cm, b = 7,5 cm og c = 9 cm. Tegn de tre vinkelhalveringslinier. 13. Tegn trekant ABC idet. a = 6 cm, b = 9 cm og c = 8 cm. Tegn de tre højder. 14. Tegn en cirkel med d = 9 cm. Afsæt på denne en korde AD = 7,5 cm. Afsæt AB =90 o og BC =110 o. Tegn firkanten ABCD. Find målene på alle 4 vinkler. Hvor mange grader er de tilsammen? 15. Tegn en cirkel med r = 3,5 cm. Tegn et kvadrat inde i cirklen. (Vinklerne skal ligge på periferien). 16. Tegn en cirkel med d = 8 cm. Afsæt på denne AB =80 o, BC =85 o og CD =60 o. Tegn firkant ABCD. Beregn vinklerne. 17. Tegn en cirkel med d = 10 cm. Afsæt på denne AB =120 o, BC =80 o og CD =50 o. Tegn firkant ABCD og beregn vinklerne. 18. Tegn i et koordinatsystem trekanten T: A(1,3), B(1,7) og C(5,5). Indtegn spejlingsaksen(s): y = 2. Find billedet af T ved spejling i s. Angiv billedets koordinater. 19. En figur Q er angivet ved disse punkter: A(1,2), B(1,4), C(2,5), D(4,3) og E(3,2) Tegn Q og billedet af Q ved spejling i (0,0) Angiv billedets koordinater. A 1, B 1, En retvinklet trekant (R) er angivet med disse punkter: A(-5,2), B(-1,5) og C(-1,2). Find billedet af R ved drejning 90 o om (1,0). Angiv billedets koordinater. 21. Tegn trekanten og beregn vinkel u, v, x, y, z. A =70 o B =60 o AC = 8 cm

46 Blandede opgaver a) Arealet af ABCD er cm 2 b) Tegn diagonalerne og beregn deres længder. Angiv koordinaterne til C 1 s centrum: Tegn cirklen C 2 med r = 4 cm og centrum i (0,-1). I hvilke punkter skærer C 2 y-aksen? Tegn tangenter til begge cirkler gennem (0,6) Beregn længden af centerlinien. (2 decimaler)

47 Indtegn en rombe(r) ABCD med koordinaterne: A(-6,1), B(-2,4), C(2,1), D(-2,-2). Omkredsen af R = Arealet af R = Find og tegn billedet(r 1 ) af R ved parallelforskydning så A kommer til at ligge i A 1 (-2,1). Hvor stort er det areal R og R 1 har fælles?. I et parallelogram ABCD skærer diagonalerne hinanden i M. AMD =135 o. AC = 10 cm, BD = 8 cm. Tegn parallelogrammet. (Husk prøvetegning).

48 C = ABM = CNP = AOM = ANP = AOB = BNA = NOM = Indtegn alle de symmetriakser du kan finde. I denne retvinklede trekant er A =56 o. Beregn de nævnte vinkler uden brug af vinkelmåler. Hvor mange retvinklede trekanter er der på figuren?

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Lærereksemplar. kun til lærerbrug. Basisgeometri for 6. - 7. klasse. Bestil venligst direkte på: www.forlagetdelta.dk

Lærereksemplar. kun til lærerbrug. Basisgeometri for 6. - 7. klasse. Bestil venligst direkte på: www.forlagetdelta.dk Bestil venligst direkte på: www.forlagetdelta.dk Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Basisgeometri for 6. - 7. klasse Dette materialer har jeg brugt i en ret god sjetteklasse, og det

Læs mere

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde rundt system rod orden nøjagtig

Læs mere

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse:

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, basis+g ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri G ISBN: 978-87-92488-15 2 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau

i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau Dette E-læringsmodul er udarbejdet af: Jacob Kjær Hansen Tommerup Skole

Læs mere

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsninger til opgaver i Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder

Læs mere

matematik grundbog basis preben bernitt

matematik grundbog basis preben bernitt 33 matematik grundbog basis preben bernitt 1 matematik grundbog basis ISBN: 978-87-92488-27-5 2. udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Efteruddannelsesudvalget for Bygge/anlæg og industri. Teodolit og totalstation

Efteruddannelsesudvalget for Bygge/anlæg og industri. Teodolit og totalstation Efteruddannelsesudvalget for Bygge/anlæg og industri Teodolit og totalstation Efteruddannelsesudvalget for bygge/anlæg og industri Teodolit og totalstation Undervisningsministeriet. Februar 2009. Materialet

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

MULTI 7 A1 LÆS MATEMATIK FØR UNDER EFTER

MULTI 7 A1 LÆS MATEMATIK FØR UNDER EFTER LÆS OG SKRIV MATEMATIK A1 LÆS MATEMATIK Brug de tre rammer i modellen, når du skal løse en matematikopgave. Det er ikke sikkert, du skal bruge alle punkter i hver ramme til alle opgaver. Find ud af, hvilke

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Den pythagoræiske læresætning

Den pythagoræiske læresætning Den pythagoræiske læresætning 1. Udfyld skemaet herunder dvs. find den manglende hypotenuse ved a 2 + b 2 = c 2 : 1 20 21 2 12 35 3 28 45 4 56 33 5 119 120 6 168 95 7 52 165 8 207 224 9 315 572 10 627

Læs mere

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsninger til opgaver i Matematik En grundbog for lærerstuderende 1 Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Lektion 8 Geometri Når du bruger denne facitliste skal du være opmærksom på, at: - der kan være enkelte fejl. - nogle af facitterne er udeladt - bl.a. der hvor facitterne er tegninger. - decimaltal kan

Læs mere

1 Huspriser 2 Liggetider 3 Flyttepriser 4 Højdemålinger i det gamle hus 5 Helles nye værelse 6 Et ligebenet trapez 7 Kvadrater i en additionstabel

1 Huspriser 2 Liggetider 3 Flyttepriser 4 Højdemålinger i det gamle hus 5 Helles nye værelse 6 Et ligebenet trapez 7 Kvadrater i en additionstabel FP10 10.-klasseprøven Matematik December 2014 1 Huspriser 2 Liggetider 3 Flyttepriser 4 Højdemålinger i det gamle hus 5 Helles nye værelse 6 Et ligebenet trapez 7 Kvadrater i en additionstabel 1 Huspriser

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE. Forlaget Biofolia 2007. 3 Geometri

Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE. Forlaget Biofolia 2007. 3 Geometri Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE Forlaget Biofolia 007 3 Geometri 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:34 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:34 Eksperiment,

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

Matematiske færdigheder opgavesæt

Matematiske færdigheder opgavesæt Matematiske færdigheder opgavesæt SÆT + 0 :, 0 000 9 0 cm m 0 liter dl ton kg Hvilket år var der flest privatbiler i Danmark? Cirka hvor mange privatbiler var der i 99? 00 0 000 Priser i Tivoli, 00: Turpas

Læs mere

6 Geometri. Faglige mål. Areal og overflade. Cirkler og ellipser. Konstruktion

6 Geometri. Faglige mål. Areal og overflade. Cirkler og ellipser. Konstruktion 6 Geometri Faglige mål Kapitlet Geometri tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Areal og overflade: kunne foretage beregninger af sammensatte arealer og sammensætte formler til beregning af disse.

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post

Læs mere

Thomas Kaas Heidi Kristiansen. Gyldendal MATEMATIK KOPIMAPPE

Thomas Kaas Heidi Kristiansen. Gyldendal MATEMATIK KOPIMAPPE Thomas Kaas Heidi Kristiansen 8 KO L O R I T Gyldendal MATEMATIK KOPIMAPPE Thomas Kaas Heidi Kristiansen KOLORIT 8 Gyldendal KOLORIT 8 KOLORIT 8 MATEMATIK KOPIMAPPE 1. udgave, 1. oplag 2011 2011 Gyldendal

Læs mere

Facitliste til elevbog

Facitliste til elevbog Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere