gudmandsen.net Geometri C & B

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "gudmandsen.net Geometri C & B"

Transkript

1 gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri Område Ensvinklede treknter Skleringsfktoren Retvinklede treknter Pythgors lærersætning Bevis for Pythgors Afstnden mellem to punkter i xy-plnet Trigonometriske funktioner Enhedscirklen Den rette linjes hældningskoefficient Grundreltionen Inverse trigonometriske funktioner Retvinklet treknt med vilkårlig hypotenuse Vilkårlig rdius Smlet for retvinklede treknter Vilkårlige treknter Sinusreltioner Alterntiv udledning Opsummering Cosinusreltioner Opsummering 'Det dobbelttydige tilfælde' en vrint f cosinusreltionerne Kombintion f sinus- & cosinusreltioner Anlytisk plngeometri Appendiks Smmenhænge mellem trigonometriske funktioner Definitioner og forhold for treknter Yderligere forhold for vilkårlige treknter Jkob SvH Gudmndsen Kopiering fr dette skrift må kun finde sted i overensstemmelse ftle mellem Copy-Dn og Undervisningsministeriet. geometri.odt Side 1 /

2 1 Geometri & trigonometri Geometri er læren om opmåling f jorden (Oldgræsk: Geo=jord, metri=opmåling). I det ntikke Ægypten vr der problemer med Nilens årlige oversvømmelser f god lndbrugsjord og lndkendingsmærker, der ngiveligt skulle hve givet nledning til mnge diskussioner om hvor den enkelte lodsejers grænser gik. Derfor vr myndighederne tvungne til t indføre nogle teknikker til t genetblere grænserne, hvorved de første spæde tiltg til geometrien opstod. Der vr grækerne som formåede t sætte reglerne i system, ved Euklid 1, som smtidig grundlgde metoderne til moderne deduktiv videnskb. Hn skrev værket Elementer c f.kr., som ngiveligt vr grundbog i mtemtik på lverdens universiteter i næsten 2000 år. Euklid opstte en lng stribe definitioner 2 og postulter, inden for geometrien (her lettere omformulerede): I. En ret linje går den korteste vej mellem to punkter II. En fgrænset ret linje er en del f en uendelig ret linje III. En cirkel er en punktmængde med ens fstnd (rdius) til ét bestemt punkt (centrum) IV. Alle rette vinkler er ens V. Hvis en ret linje skærer to ndre rette linjer, hvor de spidse vinkler er ens, vil de to sidstnævnte linjer være prllelle Sidstnævnte postult, Prllelpostultet, hr givet nledning til mnge diskussioner blndt mtemtikere lige siden, og hr blndt ndet fstedført flere nye grene f geometrien, herunder projektiv geometri og differentilgeometrien, som begge ignorerer Prllelpostultet, og i prksis omhndler hhv. perspektiv og kugleflder. Læren om treknter kldes for Trigonometri. 1.1 Område Dette skrift gennemgår kerneområder for de gymnsile B- og C-niveuer, hvor bevisførelsen og 'Det dobbelttydige tilfælde' en vrint f cosinusreltionerne side 20 ikke indgår på C-niveu. På C- og B-niveu omhndler geometrien hovedsgeligt forhold vedrørende treknter, og derf fledede forhold, hvorf sidstnævnte først optræder på A- niveu, herunder den Anlytisk plngeometri side 23. Nærværende skrift vil udelukkende forholde sig til geometri i Det fysiske rum (Euklids rum), hvor koordintkserne er rette linjer som står vinkelret på hinnden, i det såkldte 'krtesiske koordintsystem' 3 og kun i 2 dimensioner (plnen). 1 De oprindelige oldgræske tekster er væk i dg, men perserne hvde fskrevet (og overst) dem til persisk, hvorfr de senere er kopieret til ltin og derved er indholdet bevret. 2 Se 3 Angiveligt opkldt efter den frnske filosof og mtemtiker René Descrtes, geometri.odt Side 2 /

3 2 Ensvinklede treknter I to ensvinklede treknter, gælder det t de korresponderende vinkler hr smme størrelse (grdtl), men t sidelængderne kn være forskellige. De to treknter er ltså ens i form, men forskellige i størrelse! A= A', B=B ' = C=C ' Illustrtion 1: To ensvinklede treknter Det gælder her, t forholdene mellem sidelængderne er proportionl med en fktor, Skleringsfktoren k (også kldet sklfktoren eller forstørrelsesfktoren). ' = b b ' = c c' = k Det vil sige, t hvis forskellen mellem eksempelvis linjestykker og ' er ' = k...må forholdene mellem de øvrige sider kunne udtrykkes ved b' = k b c' = k c geometri.odt Side 3 /

4 2.1.1 Skleringsfktoren Hvornår der skl gnges eller divideres med skleringfktoren, er et spørgsmål om skleringsfktoren er udregnet med den største eller mindste trekns sidelængder i tælleren og om skl rbejdes fr en mindre til større treknt, eller omvendt. Nedenstående er bseret på treknten med nottionerne ', b' og c' i tælleren. her kn der regnes fr eksempelvis til ' ved t gnge med skleringfktoren: ' = b' b = c' c =k '= k, b'=b k, c'=c k Forholdet mellem og ' udtrykker hvilken treknt der størst. Hvis er større end ' i oven stående reltion, vil skleringsfktoren være mindre end en, 0 < k < 1 (bemærk t 0 < k, d det ikke giver mening t gnge eller dividere med et negtivt tl, d længder pr. definition er positive). Nedenstående tbel forsøger t give et overblik over størrelsen f skleringsfktoiren i forhold til hvorvidt der regnes fr en mindre til en større treknt eller omvendt, og forholder sig til reltionerne herover: Gnge med k Dividerer med k 0<k<1 Fr stor til lille Fr lille til stor 1<k Fr lille til stor Fr stor til lille geometri.odt Side 4 /

5 3 Retvinklede treknter En retvinklet treknt hr den ene vinkel lig 90 o (π/2 4 ). De to øvrige vinkler, må i sgens ntur være spidse. Illustrtion 2: En retvinklet treknt med nottioner for sider og vinkler. I en retvinklet treknt kldes de to sider, som står vinkelret på hinnden for kteder og den skrå side for hypotenusen. Treknten på Illustrtion 2 bliver til tider benævnt 'stndrdtreknt' med smme bogstv for vinkel og modstående side, eksempelvis A og. 3.1 Pythgors lærersætning I den retvinklede treknt gælder Pythgors' lærersætning 5 : Eller 2 b 2 = c 2 BC 2 AC 2 = AB 2 c = 2 +b hvor sidelængderne også er et udtryk for fstnden mellem enderne på sidelængderne, mellem punkterne A og B jævnførende Illustrtion 2. Udregningerne ved løsninger til den ene ktete vil løses med normle omformningsregler for ligninger: 2 +b 2 = c 2 2 = c 2 b 2 = c 2 b 2 4 At måle vinkler i rdiner, hvor 360 svrer til 2π, optræder først på Mtemtik A eller i fysikken. 5 Pythgors fr Smos (582 f.kr. 507 f.kr.) 6 Længder er pr. definition positive, hvorfor dobbeltløsninger med +/- kn udeldes her. geometri.odt Side 5 /

6 3.1.1 Bevis for Pythgors Ved t tge 4 ens retvinklede treknter (grønne) som den på Illustrtion 2 fbildede treknt og lægge dem ind i et kvdrt, kn nedenstående konstruktion opnås: Illustrtion 3: 4 ens retvinklede treknter i kvdrt Det ydre (røde) kvdrt får herved sidelængden +b og dermed relet (+b) 2. Det indre (blå) kvdrt hr sidelængden c og dermed relet c 2. Arelerne f hver f de 4 (grønne) retvinklede treknter er giver ved ½*højde*Grundlinje, som her vil være ½b. Arelerne f de 4 retvinklede treknter plus relet f det indre kvdrt må være lig relet f det ydre kvdrt, hvorved følgende beregning kn foretges: A 4 treknter A indre kvdrt = A ydre kvdrt b c2 = b 2 Ved t udregne begge sider og her benytte 1. kvdrtsætning på venstres side f lighedstegnet, og efterfølgende trække det dobbelte produkt fr på begge sider, fås: 2b c 2 = 2 b 2 2b c 2 = 2 b 2 herved er Pythgors' lærersætning bevist. Der findes flere ndre måder t bevise Pythgors' lærersætning. geometri.odt Side 6 /

7 3.1.2 Afstnden mellem to punkter i xy-plnet Med Pythgors' lærersætning for øje og med fokus på punkterne A & B i Illustrtion 2, kn der også formuleres t: AB = c AB = 2 b 2 Lægges den retvinklede treknt ind i et Krthesisk koordintsystem (retvinklet koordintsystem), vil længderne f ktederne være lig forskellene 7 f henholdsvis x- og y-værdier for punkterne A(x ;y ) og B(x b;y b), som er lig længderne for kteterne og b. = y = BC = y b y og b = x = AC = x b x Illustrtion 4: Retvinklet treknt lgt ind i et koordintsystem Herf følger t: AB = x 2 y 2 = y b y 2 x b x 2 7 Det græske bogstv Delt (Δ) benyttes i vid udstrækning som nottion for forskel eller ændring. geometri.odt Side 7 /

8 4 Trigonometriske funktioner For t regne på sider og vinkler i treknter er der tre funktioner, som i dg mest er udtrykt ved knpper på lommeregneren: Cosinus, Sinus og Tngens 8. Disse funktioner er defineret ud fr opmålinger på cirklen, og giver regneregler for beregninger på både retvinklede og vilkårlige treknter. 4.1 Enhedscirklen Enhedscirklen er defineret som en cirklen med centrum i koordintsystemets Origo (x,y) = (0,0) og med rdius r = 1. Vinklen er målt ud fr 1.ksens positive del og positiv omløbsretning er mod uret. Illustrtion 5: Enhedscirklen, r = 1. Her er sinus lig OY, cosinus lig OX og tngens lig EQ Cos(v) flæses på 1.ksen, Sin(v) flæses på 2.ksen og Tn(v) flæses på den lodrette linje x=1. 8 Se ekskte værdier for trigonometriske funktioner ved nogle vinkelværdier på geometri.odt Side 8 /

9 Det vil sige t punkterne P og Q hr koordinterne: P = cos v ;sin v Q = 1 ; tn v Igttges en retvinklet treknt OPX på Illustrtion 5 fgrænset f 1.ksen, rdius og højden i punktet P, kn følgende smmenhænge findes: Længde fr Origo til X-værdien for P x = Cos(v) Længde fr Origo til y-værdien for P y = Sin(v) Nvngives denne treknts sider og vinkler som på Illustrtion 2 vil forholdene hedde: b = AC = cos v = BC = sin v c = AB = 1 Dette er definitionerne på Cosinus og Sinus! For Tngens gælder desuden: sin x tn v = cos v v {90 o, 270 o,osv.} At Tngens ikke kn udledes for vinklerne 90, 270 osv., skyldes t den forlængede rdius herved vil være prllel med linjen x = 1. Ses der på brøken gælder det t Cos(90 ) = 0, og der kn ikke divideres med Den rette linjes hældningskoefficient Hældningen f en ret linje gennem to punkter med koordinterne (x 1;y 1) og (x 2;y 2) er givet ved: = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 Betrgtes enhedscirklens rdius, som en del f en ret linje, vil denne hældning kunne udtrykkes ved linjen gennem punkterne O(0;0) og P(Cos(v);Sin(v)), som er den smme for linjen gennem O(0;0) og Q(1;tn(v)) geometri.odt Side 9 /

10 α OP = Δ y Δ x = sin(v) 0 cos(v ) 0 = sin(v) cos(v ) og α OQ = tn(v) = tn(v) Det vil sige t vi kn omregne mellem en ret linjes hældningskoefficient og hældningsvinkel i forhold til 1. ksen ved hjælp f tngens: tn v = tn 1 = v Herved kn reltionen mellem tngens, cosinus og sinus forklres ved, t hældningskoefficienten for linjen OP på Illustrtion 5 må være lige hældningen for linjen OQ : α OP = sin(v) cos(v) og α OQ = tn(v) 1 = tn( v) Grundreltionen Når sidelængderne i treknten med hypotenusen lig 1, kendes ud fr de trigonometriske funktioner, Cosinus og Sinus, kn disse relteres til Pythgors' lærersætning: 2 b 2 = c 2 sin 2 v cos 2 v =1 2 Bemærk nottionen sin 2 (v) som betyder kvdrtet f værdien for sin(v) og er det smme som (sin(v)) 2. Smme for cos 2 (v). 4.2 Inverse trigonometriske funktioner Der gælder følgende reltioner for de trigonometriske funktioner: Cosinus Sinus cos v = x v = cos 1 v sin v = x v = sin 1 v Tngens Dm(f)=R\{90, 270,..} tn v = x v = tn 1 v sin v tn v = tn 1 v = cos v cos v sin v Bemærk t tngens bliver til tider betegnet ved tg(v), ligesom de inverse trigonometriske funktioner kn kldes cos, sin, tn/tg. geometri.odt Side 10 /

11 Ved de inverse funktioner skl opmærksomheden henledes på definitionsmængde og reltioner der medfører flere løsninger: Invers Cosinus, Dm(f)=[-1;1] Invers Sinus, Dm(f)=[-1;1] Invers Tngens, Dm(f)= R {± } cos v = cos v sin(v) = sin(180 v) tn (v) = tn(v+180 ) Løsningerne for invers sinus, sin -1 (v), kn konstteres ved igttgelse på Illustrtion 6, hvor der skl findes løsning til sin -1 (0,5) i punktet D. Denne kn findes ved t møde cirkelperiferien i både 1. og 2. kvdrnt, hvorved løsningerne bliver henholdsvis v = 30,29 og v = 149,71. Illustrtion 6: Invers sinus Det er især relevnt ved løsning f sin -1 (v) og tn -1 (v) t undersøge om den lterntive løsning også kn være rigtig, hvilket typisk sker ved stumpvinklede treknter. geometri.odt Side 11 /

12 4.3 Retvinklet treknt med vilkårlig hypotenuse For tilsvrende cirkel med centrum i Origo, men med vilkårlig rdius = r, gælder t sidelængderne skleres med en fktor k = r, jfr. reglerne for ensvinklede treknter (se kpitel 2). På Illustrtion 7 er vist to ensvinklede treknter, hvorf den ene er indlgt i enhedscirklen, og derved med hypotenusen lig 1, og den nden med vilkårlig hypotenuse. D treknterne hr smme vinkler, gælder reglerne for ensvinklede treknter her med værdierne for den ukendte treknt i tællerne: ' = b ' b = c ' c = k På Illustrtion 7 er nottionerne givet ved B ' C ' CB = C ' A CA = AB' AB = k I den lille treknt er ktedernes længder kendte, jfr. Enhedscirklen kpitel 4.1, hvorfor der kn sættes visse værdier ind i forholdsberegningen f skleringsfktoren: ' sin A = b' cos A = c ' 1 = k Herf kn det ses, t skleringsfktoren er lig med hypotenusen på den nye treknt c', d: c ' 1 = k c ' = k geometri.odt Side 12 /

13 Illustrtion 7: Enhedscirkel med indlgt treknt ABC med r = 1 og ensvinklet treknt AB'C' med vilkårlig rdius, indlgt i smme koordintsystem Ses der på udtrykkene for de enkelte kteder, kn der udledes t: ' sin A = c' og b' = c' cos A ' = c ' sin og b' = c' cos A Herved er smmenhængene mellem ktederne og hypotenusen i retvinklede treknter med vilkårlig hypotenuse, som på Illustrtion 4 fundet. = c sin ( A) c = b = c cos( A) c = sin( A) sin (A) = c b cos( A) cos( A) = b c geometri.odt Side 13 /

14 Skl vinklen findes ved hjælp f ovenstående, skl der nvendes de inverse trigonometriske funktioner: sin( A) = c A = sin 1( c ) og cos( A) = b c A = cos 1( b c) Tilsvrende for den nden spidse vinkel: sin(b) = b c B = sin 1( b c ) og cos(b) = c B = cos 1( c ) Vilkårlig rdius Overføres viden om enhedscirklen, retvinklede treknter og ensvinklede treknter til en cirkel med vilkårlig rdius, kn det ses t for to treknter med smme vinkel i Origo, men den ene med rdius r = 1 og den nden med vilkårlig rdius r = r kn følgende smmenligning konstteres: P = x p ; y p = r cos v ;r sin v og Q = x q ; x q = r ; r tn v...præcis som enhedscirklen, men skleret med fktoren r. Når tngens udregnes på bggrund f tn v = r sin v r cos v = sin v cos v..vil den ltid være ufhængig f rdius, men som skitseret til højre er den her flæst på den lodrette linje x=r i stedet for x=1, hvorfor flæsningen giver r tn(v). Illustrtion 8: cirkel med rdius r Herved et forholdene gældende for enhedscirklen udvidet til t gælde lle cirkler med centrum i Origo. geometri.odt Side 14 /

15 4.4 Smlet for retvinklede treknter Forholdene for enhedscirklen og cirkel med vilkårlig rdius gælder også hvis cirklen ikke ligge i Origo, hvorfor der kn generliseres til lle retvinklede treknter: Reltioner jfr.illustrtion 7 side 13. =c sin A c= sin A b=c cos A c= b cos A =c cos B c= cos B b=c sin B c= b sin B 1 A=sin 1 c A=cos b 1 c B=cos c B=sin 1 b c = b tn A b = b = tn B = tn A b tn B A = tn 1 b B = tn 1 b Hældning for c, jævnførende 'Den rette linjes hældningskoefficient', side 9. = y x = c sin A c cos A = sin A cos A = tn A Det trigonometriske funktioner summeret op med pros: Cosinus til en vinkel er lig med den hosliggende ktete divideret med hypotenusen Sinus til en vinkel er lig med den modstående ktete divideret med hypotenusen Tngens til en vinkel er lig med den modstående ktete divideret med hosliggende ktete Det vil sige t når der rbejdes med; en vinkel, hypotenusen og vinklens hosliggende ktete bruges Cosinus en vinkel, hypotenusen og vinklens modstående ktete bruges Sinus en vinkel og de to kteter bruges Tngens geometri.odt Side 15 /

16 5 Vilkårlige treknter For vilkårlige treknter (ikke nødvendigvis retvinklede) gælder der følgende generelle smmenhænge: Arel A treknt = 1 2 h G Højde h B = c sin( A) = sin (C ) Illustrtion 9: en vilkårlig treknt 5.1 Sinusreltioner Den vilkårlige treknt på Illustrtion 9 kn opdeles til to retvinklede treknter, dskilt f højden h B, hvorved metoderne fr retvinklede treknter, beskrevet i kpitel 5 kn nvendes. D højden h B i vinkel B kn betrgtes fr både vinkel A og vinkel C, kn denne størrelse beregnes på to forskellige bggrunde, ved hjælp f sinus: h B = c sin A = sin C D der er tle om smme højde, må de to udregninger være lig hinnden, og følgende reltion kn udledes: c sin A = sin C sin A = sin C c eller sin A = c sin C Lves smme betrgtninger ved hjælp f højderne i vinkel A og C, vil smme forhold kunne udledes, og vi summerer op til følgende : sin ( A) sin (B) = = sin(c ) b c eller sin (A) = b sin (B) = c sin (C ) geometri.odt Side 16 /

17 5.1.1 Alterntiv udledning Betrgtes formlen for relberegning, brugt på treknten i Illustrtion 9 kn følgende udledes, lt efter hvilken højde der nvendes: A treknt = 1 2 h A G A = 1 2 h B G B = 1 2 h C G C A treknt = 1 2 c sin( A) b eller A treknt = 1 2 sin(c ) b eller A treknt = 1 sin( B) c 2 D relet er det smme, unset hvilken beregningsmetode der bruges, må de tre udledninger være ens (her flyttet lidt rundt for overblikkets skyld: 1 2 b c sin A = 1 2 b sin C = 1 c sin B b c sin A b sin C c sin B = = 1 2 b c 1 2 b c 1 2 b c Herf kn der udledes: sin( A) = sin( B) b = sin(c ) c Opsummering Sinusreltionerne benyttes når der er oplyst 3 ud f 4 værdier for prvise vinkler og modstående sider i en vilkårlig treknt. Skl der findes en vinkel (eksempelvis vinkel A) udledes denne ved sin ( A) sin (B) sin (B) = sin( A) = b b sin (B) A = sin 1( b ) geometri.odt Side 17 /

18 Benyttes sinusreltionerne på en retvinklet treknt, hvor vinkel C = 90 fås der:..d Sin(90 ) = 1. Dette medfører t sin ( A) = sin (90 ) c = c sin (A)...hvilket svrer til nvendelsen f sinus i en retvinklet treknt jævnførende kpitel 4.3 side Cosinusreltioner I Sinusreltionerne udnyttes det, t højden svrer til den modstående ktete i en retvinklet treknt. Her vil vi udnytte t dele f grundlinjen svrer til den hosliggende ktete. = 1 c Illustrtion 10: Vilkårlig treknt På Illustrtion 10 er grundlinjen b delt op i to ukendte linjestykker, x og (b-x). herved kn cosinusreglerne fr den retvinklede treknt benyttes: x = c cos( A) og b x = cos(c ) hvor b = x+(b x) Ved t benytte Pythgors' lærersætning på treknterne ABH og CBH fås: h 2 b x 2 = 2 og h 2 x 2 = c 2 h 2 = 2 b x 2 og h 2 = c 2 x 2 Sættes de to værdier for kvdrtet på højden h 2 lig hinnden fås: geometri.odt Side 18 /

19 2 b x 2 = c 2 x 2 2 = c 2 b x 2 x 2 2 = c 2 b 2 x 2 2bx x 2 2 = c 2 b 2 2bx D x = c Cos(A) substitueres dette: 2 = b 2 +c 2 2bc cos(a) Beviserne for de to ndre vinkler gennemføres på smme måde, og der endes op med: 2 = b 2 c 2 2bc cos A cos A = b2 c 2 2 2bc b 2 = 2 c 2 2c cos B cos B = 2 c 2 b 2 2c c 2 = 2 b 2 2b cos C cos C = 2 b 2 c 2 2b Med ndre ord er reltionerne mellem en vinkel og dennes hosliggende sider i forhold til den modstående side. 2 =b 2 c 2 2bc cos A b 2 = 2 c 2 2c cos B c 2 = 2 b 2 2b cos C eller cos A = b2 c 2 2 2bc cos B = 2 c 2 b 2 2c cos C = 2 b 2 c 2 2b Illustrtion 11: Vilkårlig treknt geometri.odt Side 19 /

20 5.2.1 Opsummering Cosinusreltionerne benyttes når der oplyses enten en vinkel og de to hosliggende sider, hvorved den modstående side kn findes lle tre sidelængder, hvorved vinklerne kn findes. Skl der findes en vinkel (eksempelvis A) ud fr de tre siders længde, benyttes den inverse cosinus: 1( cos(a) = b2 +c 2 2 A = cos b2 +c 2 2 2bc 2bc ) Benyttes cosinusreltionerne på en retvinklet treknt med C = 90 fås...d Cos(90 ) = 0. c 2 = 2 +b 2 2b cos(90 ) = 2 +b 2 Derfor kldes cosinusreltionerne somme tider for 'Den udvidede Pythgors'. 5.3 'Det dobbelttydige tilfælde' en vrint f cosinusreltionerne Anvendes på vilkårlige treknter, hvor der eksempelvis kendes vinkel A, siderne c og, det vil sige en vinkel, den modstående smt en hosliggende side, i modsætning til førnævnte cosinusreltion. Illustrtion 12: Vilkårlig treknt D cosinusreltionerne optræder i 2 vrinter med henholdsvis vinklen og den modstående side som løsninger, forsøges her t isolere en f de hosliggende sider: cos A = b2 c 2 2 2bc Ved isolering f eksempelvis siden b, vil denne optræde i både 1. og 2.grd, geometri.odt Side 20 /

21 hvorfor løsningen til 2.grdspolynomiets nulpunktsformel må benyttes, ved t smle lle led på den ene side f lighedstegnet, med et nul (0) til følge på den nden. cos( A) = b2 +c b c 2bc cos( A) = b 2 +c = b 2 +c 2 2 2bc cos( A) 0 = b 2 +( 2c cos( A)) b+(c 2 2 ) 2., 1. og 0.grdskoefficienterne optræder her som smmensætninger f de indgående konstnter, og døbes hermed til de græske bogstver α, β og γ (lf, bet og gmm): x 2 x = 0 =1, = 2c cos A, =c 2 2 Til denne løsning er diskriminnten givet ved: D grundreltionen er givet ved fås d = β 2 4 α γ d = ( 2c cos (A)) (c 2 2 ) d = 4c 2 cos 2 ( A) 4c d = 4 (c 2 cos 2 ( A) c ) d = 4(c 2 (cos 2 (A) 1)+ 2 ) cos 2 (v)+sin 2 (v) = 1 cos 2 (v) 1 = sin 2 (v) d = 4 (c 2 ( sin 2 ( A))+ 2 ) d = 4 ( 2 c 2 sin 2 ( A)) Indsættes lt dette i løsningen for 2.grdspolynomiets nulpunkter, fås: b = β± β 2 4 α γ 2 α = ( 2c cos(a))± 4( 2 c 2 sin 2 ( A)) 2 1 b = c cos( A)± 2 c 2 sin 2 (A) Gentges proceduren for de tre ndre vinkler i den vilkårlige treknt fås: b = c cos A ± 2 c 2 sin 2 A c = b cos A ± 2 b 2 sin 2 A c = cos B ± b 2 2 sin 2 B = c cos B ± b 2 c 2 sin 2 B = b cos C ± c 2 b 2 sin 2 C b = cos C ± c 2 2 sin 2 C geometri.odt Side 21 /

22 Det bemærkes t ombytning f de to hosliggende sider i formlen er uden betydning, og i øvrigt kun er i forhold til simpel nvngivning f siderne. 5.4 Kombintion f sinus- & cosinusreltioner Det er muligt t beregne smme forhold ud fr en kombintion f sinus- & cosinusreltionerne, som dog kræver nogle flere skridt: Med sinusreltionerne kn en vinkel beregnes, med udgngspunkt i en nden vinkel og de to modtsående sider, her mellem vinklerne A og C: sin A sin B sin C = = b c c sin A C =sin 1 Vinkel B kn nu beregnes ud fr vinkelsummen, hvorved længden f siden b også kn beregnes: sin( A) = sin(180 A C ) b b sin (A) B = sin 1( ) b = sin(180 A C ) sin ( A) Når sidelængden b kendes kn cosinusreltionerne bruges: B = cos 1 2 c 2 b 2 2 c..hvor de indgående prmetre giver det smlede udtryk: Tilsvrende for vinkel C. c sin A c sin A sin 1 2 sin A B = cos 2 c Denne er ikke mere overskuelig, men kn dog nvendes. 2 geometri.odt Side 22 /

23 6 Anlytisk plngeometri D der i kpitel 7 blev nvendt Pythgors' lærersætning til t udlede fstnden mellem to punkter i plnen, vr der blot tle om t de geometriske figurer (her retvinklet treknt) vr blevet plceret i et koordintsystem, hvorved punkterne (vinklerne i treknten) kn beskrives ved hjælp f koordinter. Illustrtion 13: Retvinklet treknt plceret i koordintsystem På Illustrtion 13 er en retvinklet treknt indst i koordintsystem, med nogle relevnte størrelser påtegnet, eksempelvis trekntens hjørners koordinter: A(4; 2), B(12 ;8), C (12,2) Ud fr disse oplysninger kn vi beregne kteternes længder, som forskellene mellem henholdsvis x- og y-værdierne: AC = Δ x = x B x = 12 4 = 8 BC = Δ y = y B y = 8 2 = 6 Afstnden AB kn beregnes ved hjælp f Pythgors: AB = Δ x 2 +Δ y 2 = ( x B x A ) 2 +( y B y A ) 2 = = 100 = 10 Heldigvis psser beregningerne perfekt med de længder der er opmålt med GeoGebr 9. 9 GeoGebr er et godt grtis progrm, som kn hjemtges fr geometri.odt Side 23 /

24 Ved t bruge de trigonometriske funktioner kn vinkel A beregnes som tn ( A) = BC AC A = tn 1( 6 8) = 36,87 Der kunne være nvendt cosinus og sinus i stedet, med smme resultt. Linjen gennem A og B hr en hældning på α AB = tn (36,87 ) = 3 4 0,75 Det hr vist sig t være gnske nyttigt t igttge geometrien i et koordintsystem, d der derved åbnes muligheder for beregninger på et meget højere pln end i klssisk geometri, ved t smmensmelte geometrien med funktioner. Dette er tilfældet i ovenstående eksempel, hvor længden og hældningen f hypotenusen, fktisk bliver beregnet ved hjælp f viden om den rette linje og forskelle i koordintværdier. Eksempelvis kn en cirkel defineres som en slgs funktionsudtryk bseret på Pythgors, d lle punkterne P(x;y)på cirkelperiferien ligger lige lngt (rdius) fr centrum C(;b): r = (x ) 2 +( y b) 2 y = b± x 2 +2 x 2 +r 2 For værdierne C(2;4) og r = 5 giver det: (x 2) 2 +( y 4) 2 = 5 2 Mere om dette på A-niveu... geometri.odt Side 24 /

25 7 Appendiks Ikke lle definitioner for treknter er lige relevnte for den trigonometri der rbejdes med på gymnsieniveu, men bør lligevel være på plds for t sprogbrug og regler vil kunne benyttes i det efterfølgende. Vilkårlige treknter er lle treknter, som ikke lige psser ind under særtilfældene retvinklet, ligebenet, ligesidet osv. 7.1 Smmenhænge mellem trigonometriske funktioner Nedenstående smmenhænge og reltioner kn vises ved betrgtninger på enhedscirklen Illustrtion cos v = cos v sin v = sin v tn v = tn v cos(v 180 ) = cos(v) sin (v 180 ) = sin (v) cos(v+180 ) = cos(v) sin (v+180 ) = sin (v) cos(180 v) = cos(v) sin (180 v) = sin (v) cos (v+90 ) = sin (v) sin (v+90 ) = cos(v) cos (v 90 ) = sin (v) sin (v 90 ) = cos(v) cos (90 v ) = sin (v) sin (90 v ) = cos(v) 2 +b 2 = c 2, cos 2 (v)+sin 2 (v) = 1 1+tn 2 1 (v) = cos 2 (v) tn (v+180 ) =tn(v) tn (180 v) = tn(v) tn (90 v ) = tn(v) tn (90 +v ) = tn (v) tn (v 90 ) = tn (v) tn (v ) = sin(v) cos(v) Cotngens 11 cot (v) = 1 tn(v) = cos(v) sin(v) 1+cot 2 (v) = 1 sin 2 (v) tn(v) cot(v) = 1 10 En større smling geometriske reltioner kn ses på 11 Cotngens er blot den reciprokke til tngens og hr ikke den store betydening på gymnsieniveu. geometri.odt Side 25 /

26 7.2 Definitioner og forhold for treknter Vinkelsum A B C = 180 o Arel A treknt = 1 2 h G Retvinklet treknt Ene vinkel er ret, 90 De to ndre vinkler er spidse Stumpvinklet treknt Ene vinkel er større end 90 De to ndre vinkler er spidse Spidsvinklet treknt Ene vinkel er mindre end 90 De to ndre vinkler er ligeledes spidse Ligebenet treknt To sider er lige lnge og to vinkler i lige store A = C = c geometri.odt Side 26 /

27 Ligesidet treknt Alle tre sider er lige lnge og Alle vinklerne er lige store, 60 A= B= C=60 o = 3 = b = c Ensvinklede treknter Gælder for to eller flere treknter A= A', B=B ' = C =C ' ' = b b' = c c ' = k Yderligere forhold for vilkårlige treknter Højde Står vinkelret på modstående side ift. vinkelspids Medin Forbinder vinkelspids med midt på modstående side Vinkelhlveringslinie Deler vinkelspids i 2 lige store vinkler geometri.odt Side 27 /

28 Midtnorml Står vinkelret ud fr midt på side Indskrevne cirkel Hr centrum i skæringspunktet for trekntens mediner. Rdius hr en længde, således t cirklen hr siderne som tngenter Omskrevne cirkel Hr centrum i skæring mellem trekntens midtnormler. Rdius hr en længde, således t cirklen skærer vinkelspidserne geometri.odt Side 28 /

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

A U E R B A C H. c h A H

A U E R B A C H. c h A H M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2 geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016 Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere