AAU Landinspektøruddannelsen
|
|
- Pernille Kirkegaard
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003
2 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen Korrektioner Grid konvergens Forord Disse noter vedr. UTM projektionen samt UTM-nettet, baserer sig i al væsentlighed på et nu udgået skrift fra det daværende Geodædisk Institut af F. Buchwaldt fra Det oprindelige skrift er her bl.a. suppleret med formler for beregning af de ikke uvæsentlige korrektioner som Afstandskorrektion samt beregning af Gridkonvergens. Generelt Den klassiske metode til på éntydig vis at stedfæste et punkts beliggenhed på jordens overflade, er anvendelsen af det geografiske net (fig.1), hvor punktets beliggenhed angives ved nordlig (sydlig) bredde (b) og østlig (vestlig) længde (l) i forhold til henholdsvis jordens ækvator og normalt den i 1884 internationalt fastsatte udgangsmeridian gennem Greenwich. Det geografiske nets afbildning på et kort afhænger af den valgte kortprojektion. En kortprojektion kan defineres som en systematisk metode til overføring af punkter fra jordkuglen til kortet. Da jordens overflade er en dobbeltkrum flade i modsætning til kortets plane flade, vil en overføring af punkter aldrig kunne ske uden forvanskninger af den ene eller anden art. Alt efter den brug man vil gøre af det færdige kort, vil man ved tilrettelæggelsen af det, vælge en kortprojektion, der lader forvanskningerne optræde under de gunstigst mulige former. 2
3 De fleste søkort baserer sig på en projektion der almindeligvis går under navnet Merkatorprojektionen; den har den ret specielle egenskab, at det geografiske nets linier (meridianer og paralleller) afbildes ved rette linier, der skærer hinanden under rette vinkler (fig. 2). Denne afbildningsform medfører, at man i Mercator-kort med fordel kan anvende det geografiske net som et koordinat- eller referencenet. Imidlertid er projektionen behæftet med alvorlige ulemper, der gør den uegnet til fremstilling af almindelige landkort. Langt den overvejende del af disse er derfor baseret på andre projektioner, ofte på én af kegleprojektionerne, der ikke har samme ulemper som Mercatorprojektionen, men som til gengæld ikke afbilder det geografiske net som et retliniet, vinkelret system. Et udfoldet geografisk net som vist i fig. 3 er ikke velegnet som koordinat- eller referencenet. Et vinkelret, retlinet net er imidlertid til mange såvel civile som militære formål en absolut nødvendighed. Flere lande deriblandt Danmark har derfor i tidens løb etableret lokale eller nationale systemer på deres kort, men først med UTM-nettet har man fået et net, der kan dække hele jordkuglen (med undtagelse af polarområderne) og som er på vej til at blive anerkendt og anvendt internationalt. Fordelene herved taler for sig selv. 3
4 UTM-Projektionen Af ovennævnte fremgår, at et net i dette tilfælde det geografiske meget vel kan fremstå retlinet og retvinklet i én projektion (fig. 2), men ikke i en anden (fig. 3). På samme måde vil man kunne indse, at et vilkårligt, kvadratisk net, der påtrykkes et kort baseret på én projektion, ikke såfremt det skal dække de tilsvarende terrændetaljer nødvendigvis vil fremtræde kvadratisk på et kort baseret på en anden projektion. Med andre ord: et net må defineres ud fra en bestemt projektion. Således er UTMnettet defineret ud fra UTM-projektionen, og vil i teorien kun fremtræde med rette linier og vinkler på kort baseret på denne projektion. Inden for mindre områder er den praktiske konsekvens ved anvendelse af UTM-projektionen og de øvrige, almindeligt forekommende projektioner til fremstilling af landkort dog så ringe, at fejlen, man begår ved at påtrykke et kvadratisk UTM-net på sidstnævnte korttyper, næppe kan erkendes. Hovedparten af de danske kort er udført i en kegleprojektion (Lamberts konform-koniske projektion), men indenfor et område af Danmarks størrelse er kort passeret på denne projektion og kort baseret på UTM-projektionen, der ligger til grund for landets nyopmåling, så lig hinanden, at UTM-nettet kan anvendes til begge korttyper uden praktiske vanskeligheder. For nærmere at beskrive UTM-nettet vil det være nødvendigt med en ganske kort omtale af UTMprojektionen, eller som dens fuldstændige navn lyder: Universal Transverse Mercator Projektion. UTM-projektionen er, som navnet antyder, en form for Mercator-projektion. I den almindelige Mercator-projektion overføres punkter fra jordens overflade til en cylinder, hvis akse er sammenfaldende med verdensaksen, medens man i en transversal Mercator-projektion har drejet cylinderaksen 90 og placeret den i ækvators plan (fig. 4). Efter udfoldning får det geografiske net en udformning som vist i fig. 5. Den transversale cylinderprojektion, som beskrevet ovenfor, (identisk med den såkaldte Gauss-Krüger projektion) ville i princippet have samme kraftige forvanskninger som den almindelige Mercatorprojektion (bemærk i fig. 5, at det goegrafiske net bliver mere og mere forvansket, jo længere man fjerner sig fra røringsmeridianen her 180 ). For at undgå disse store forvanskninger, er UTM-projektionen på to felter yderligere modificeret i forhold til projektionen vist i fig. 5: a) Cylenderens radius er gjort lidt mindre end jordradien; herved opstår der mellem cylender og jordkugle to skæringslinier på hver sin side af midtermeridianen - ofte også kaldet centralmeridianen (CM) (fig. 6). Hensigten med at lade cylinderen skære jorden i stedet for at lade den tangere er, at man derved opnår et bredere bælte med en given, tolererbar forvanskning. b) Den bedste (dvs. mindst forvanskede) afbildning af jordens overflade opnås i nærheden af røringslinien, eller som her skæringslinierne. For at udnytte dette forhold, har man i UTM- 4
5 projektionen baseret sig på ikke én, men 30 placeringer af den skærende cylinder, idet der mellem to nabocylindre er foretaget en drejning af cylinderaksen på 180 /30 = 6. Fig. 7 viser 2 nabocylindre, I og II, idet dog vinklen imellem dem for overskuelighedens skyld er overdrevet. Skæringslinien mellem to cylindre ligger i en meridianplan. To nabomeridianplaner har altså en indbyrdes vinkel på 6 længdegrader; området de tilsvarende meridianer afgrænser benævnes både på jorden og på cylinderen en zone, af hvilke der således findes 60. Hver zone på jordekuglen afbildes på den tilsvarende zone på cylinderen, som derefter tænkes udfoldet, jfr. fig. 8. Denne figur viser i øvrigt, at zonerne ikke går helt fra pol til pol, men afskæres ved henholdsvis 80 sydlig bredde og 84 nordlig bredde, idet det store antal smalle zoner gør projektionen upraktisk i polarområderne. Bortset fra disse områder er projektionen stort set lige anvendelig overalt på jorden, hvilket retfærdiggør betegnelsen universal. (Mellem sydlig bredde og nordlig bredde kan den såkaldte Universal Polar Stereographic Projektion og det hertil svarende UPS net anvendes). 5
6 6
7 UTM-nettet De 60 UTM-zoner, der hver spænder over 6 længdegrader, benævnes med zonetal. Således ligger zone 1 mellem 174 og 180 vestlig længde, zone 2 mellem 168 og 174 vestlig længde, etc.; herved kommer Danmark til at ligge i zonerne 32 (6 12 østlig længde) og 33 (12 18 østlig længde). Midtermeridianerne svarende til disse to zoner er altså henholdsvis 9 østlig længde og 15 østlig længde, medens meridianen 12 østlig længde danner zonegrænse. (Se fig. 9). Over hver udfoldet zone placeres et koordinatsystem UTM-nettet med en vest-øst gående akse: E- akse (E for Easting) sammenfaldende med ækvators afbildning, og en syd-nord gående akse: N- aksen (N for Northing) placeret 500 km vest for og parallel med zonens midtermeridian (fig. 10). Da den største afstand fra midtermeridianen til zonegrænse er ca. 333 km (3 à ca. 111 km ved ækvator), vil N-aksen overalt ligge vest for zonen, hvorved man med den givne orientering af koordinatsystemet opnår, at alle E-værdier bliver positive. Noget tilsvarende opnår man på den sydlige halvkugle, hvor man også regner med Northing-værdier, men ikke fra ækvators afbildning, men fra en linie der ligger km syd for og parallel med denne. 7
8 8
9 Specifikationer for UTM-Projektionen UTM Zoner Længdegrad for Origin Breddegrad for Origin Enheder Falsk Northing Falsk Easting 6 i Længdegrader Central meridian for hver zone 0 (Ækvator) Meter 0 meter for den nordlige halvkugle meter for den sydlige halvkugle meter Skala for Central meridian Zone nummerering Starter med Zone 1 centreret på 177 Vest og tælles mod øst til Zone 60 centreret på 177 Øst. Grænser for projektionen S80 til N84 Zonegrænser og overlap Reference Ellipsioide Zonerne afgrænses af meridianer i multiplum af 6 V og 6 Ø af Greenwich. Afhængig af region: For USA: Clarke 1866 (Undtagen Hawaii) For Hawaii: International Ellipsoide For Europa: International Ellipsoide 9
10 Korrektioner Beregning af Skalaforhold: M = 0,9996 E cos R hvor, E indsættes i [km] R = jordradien sættes til Beregningen skal foretages i Radianer. Ved beregning af Skalaforhold for lange linier kan der anvendes Simpson's regel for 'numerisk integration' efter følgende udtryk: 1 m 2 M linie = M + 4M + M 6 hvor, M 1 = Skalaforholdet i liniens første punkt. M 2 = Skalaforholdet i liniens andet punkt. M m = Skalaforholdet i liniens midtpunkt. 10
11 Grid konvergens UTM Nord Gridkonvergensen dvs. azimuten til Grid Nord, kan beregnes med følgende udtryk: C = ( λ - CM) sinφ 11
2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion.
Kortprojektioner En kortprojektion kan defineres som en systematisk metode til overførsel af punkter fra jordkloden til kortet. Da jordens overflade er en dobbeltkrum flade i modsætning til kortets plane
Læs mereFind pkt. 26 (den sorte prik i midten af cirklen med tallet "26")
Kortreference Når man skal angive et steds beliggenhed ved hjælp af hærkort, bruger man en kortreference. Den anvendes, når man skriftligt eller mundtligt skal give meddelelse om "noget" i terrænet - en
Læs mereUTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark
UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 1 Version 1 2017-04-01 Geomatics Notes 1. Version 1, 2017-04-01 Geodætisk systembeskrivelse: UTM/ETRS89: Den
Læs mereNyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS
Nyt om projektioner Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010 Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Indhold Lidt om kortprojektioner generelt DKTM: Hvorfor, hvordan... Web Mercator hvad er det? Kortprojektioner
Læs mereKortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34.
Kortprojektioner L4 2016 5.mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereKortprojektioner L mm Problemformulering
Kortprojektioner L4 2016 1.mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 April 2016 1 / 36 Kursusholder
Læs mereAALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG LISBETH FAJSTRUP. IVER OTTOSEN. - om formiddagen i hvert fald. Ellers er den parallelforskudt:
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mere1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser
1. Jordkloden 1.1 Inddelinger og betegnelser 1! Bredde Grad! [ ]! =! 10.000 / 90! =! 111 km 1! Bredde Minut! [ ]! =! 111 / 60! =! 1,850 km * 1! Bredde Sekund! [ ]! =! 1850 / 60! =! 31 m 1! Sømil *!!! =!
Læs mereKortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.
Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereMikkel Gundersen Esben Milling
Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,
Læs mereEkspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion.
Ekspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion. Erik Wirring, LE34 Peter Cederholm, AAU Henrik Vad Jensen, Vejdirektoratet Per Knudsen,
Læs mereStorcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel
Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter
Læs mereDanske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber
Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i Begreber 1 Columbus tog fejl! - jorden er flad når vi tegner i MicroStation!!! Geodætiske begreber definition af jorden Jordens overflade Jordens
Læs mereONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig.
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mereOpgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have).
Flemming Sigh, Odense Katedralskole, 23-08-2011. 1 / 5 Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have). 1. Indstillinger på GPS eren. a) Valg af koordinater. I Google Earth kan du få et overblik
Læs mere5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk)
5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du vil ønske du aldrig havde stillet! 1. Hvorfor
Læs mereIndholdsfortegnelse. Forord 7
Indholdsfortegnelse Forord 7 1 Indledning 8 1.1 Baggrund 8 1.2 Kort som projekteringsgrundlag 8 1.3 Topografiske kort 8 1.4 Tekniske grundkort 9 1.5 Situationsplaner 10 1.6 Matrikelkortet 10 2 Landmåling
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereKortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet
Kortprojektioner og forvanskninger Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Juni 2006 Chapter 1 Forord Disse noter er skrevet til landinspektørstudiet ved Aalborg Universitet.
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereLæs selv om LANDKORT. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre
Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Landkort Mange forskellige slags kort I gamle dage var
Læs mereKortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.
Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth
Læs mereI dag: Digital projektering -formål. Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data.
I dag: Digital projektering -formål Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data. Dagens emner Hvad er et digitalt kort? Digitale grunddata
Læs mereGIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester
GIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester 1982 1992 Programmet for i dag: Stedbestemmelse. Hvordan beskrives, hvor tingene er, og hvordan taler vi om det? 2002 Alle mennesker ved altid, hvor
Læs mereBacheloruddannelsen 1. år E15
Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2016 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2017 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup & Iver Ottosen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2017
Læs mereOplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv
0. April 2007 Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv Af Astrid Pørtner Nielsen & Lise Danelund Introduktion: Formålet med projektet
Læs mereDTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.
Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU
Læs mereSystem 34. Geodætisk systembeskrivelse. Geomatics Notes 3 Version UDKAST
System 34 Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 3 Version UDKAST 2017-03-22 Geomatics Notes 3. Version UDKAST, 2017-03-22 Geodætisk systembeskrivelse: System 34 The Geomatics Notes Series is published
Læs mereIntroduktion til GPS. Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk
Introduktion til GPS Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk Hvad bruges en håndholdt GPS til? Måle tilbagelagt distance og fart Optage spor og markere punkter Navigere til et punkt efter et spor efter en rute
Læs mere9940 8848
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: ca.10:15-12:00 Opgaveregning i grupperummene Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver -
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a
Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a-27052019 Udlevering: Mandag den 27. maj 2019 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer
Læs mereI det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π
Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder
Læs mereGeodæsi og Geostatistik
1 Noter til Geofysik 5 Geodæsi og Geostatistik C.C.Tscherning Niels Bohr Institutet Forår 2009. Indhold: 2 1. Indledning 1.1. Hvad er geodæsi? 2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereDu skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).
Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereKursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester, 2012
Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og yggeri og Anlæg, 1. semester, 2012 LCG-1. Introduktion til landmåling 1. Danmarks fikspunktsregister (I) 2. Horisontalretningsmåling
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereEn studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende:
Geodæsi Lars Stenseng stenseng@space.dtu.dk Læringsål En studerende der har genneført Geodæsi eleentet af kurset vil kunne følgende: Beskrive den grundlæggende virkeåde for GNSS systeer Beskrive de tre
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereIndledning og indhold
UTM SYSTEM34 Indledning og indhold Denne dokumentation beskriver programfunktionen til koordinattransformation i softwareprogrammet DFF-EDB Ledningsregistrering. Programmet lagrer internt alle grafiske
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereAARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen
AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 6 Eksamensdag: fredag dato: 11.
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereIndledning og indhold
UTM SYSTEM34 Indledning og indhold Denne dokumentation beskriver programfunktionen til koordinattransformation i softwareprogrammet DFF-EDB Ledningsregistrering. Programmet lagrer internt alle grafiske
Læs mereKom-i-gang vejledning opmålingsprogram
Kom-i-gang vejledning opmålingsprogram Billedprislisten Udarbejdet af EG Byg & Installation den 12. marts 2010 Opdateret den 18. februar 2011 Indholdsfortegnelse 1 Gulve... 3 1.1 Opmåling af gulvflade...
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereOpgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2.
2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereAARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen
AARHUS UNIVERSITET Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 5 Eksamensdag: fredag dato:
Læs mereSvar på sommeropgave (2019)
Svar på sommeropgave (9) Opgave: I B er O centrum for den omskrevne cirkel og DE er en korde parallel med. En cirkel med centrum O gerer DE, B og den omskrevne cirkel, og en cirkel med centrum O gerer
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter
GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereSpørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål.
Spørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål. Jorden Alt - Az Time vinkel DEC RA - DEC Ækvator Horisonten Himlens ækvator Himlens ækvator
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereDen Flydende Kran Samson
Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen.
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs mereMatlab script - placering af kran
Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2019 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Iver Ottosen & Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2019
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs merea og b. Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole
3.1.2. a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole Udført d. 15.04.08 Deltagere Kåre Stokvad Hansen Max Berg Michael Ole Olsen 1 Formål: Formålet med øvelsen er at måle/beregne
Læs mereVektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereVenus relative størrelse og fase
Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereTror du Jorden er flad? Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34
Tror du Jorden er flad? Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) https://twitter.com/flatearthorg?lang=da Verden som vi ser på den til dagligt i vores CAD system ( The Flat Earth made at
Læs mereDETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE
DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En cylinderkapacitor
Læs mereProjekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner
Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Et almindeligt 3D-koordinatsystem er som et 2D-koordinatsystem, hvor der blot er rejst en tredje akse vinkelret på planen i punktet (0,0),
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs merepraktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær
praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs merePladeudfoldning Specielle Udfoldninger
2009 Pladeudfoldning Specielle Udfoldninger Pladeudfoldning af specielt forekomne udfoldninger Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Forord...2 Kugleformet tromlekedelhoved
Læs mereUndervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. August 2017-juni 2020 (1.,2, og3.
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer August 2017-juni 2020 (1.,2, og3. år) Rybners HTX Matematik A Antonia
Læs mereMatematik A studentereksamen
Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs merea og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole
3.1.2. a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole Udført d. 15.04.08 Deltagere Kåre Stokvad Hansen Max Berg Michael Ole Olsen 1 Formål: Formålet med øvelsen er at måle/beregne
Læs mere