2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion."

Transkript

1 Kortprojektioner En kortprojektion kan defineres som en systematisk metode til overførsel af punkter fra jordkloden til kortet. Da jordens overflade er en dobbeltkrum flade i modsætning til kortets plane flade, vil en overføring af punkter aldrig kunne ske uden forvanskninger af den ene eller den anden art. Alt efter den brug man vil gøre af det færdige kort, vil man ved tilrettelæggelsen af det vælge en kortprojektion, der lader forvanskningerne optræde under de gunstigst mulige former. Som følge af, at jorden er kugleformet, burde kortet over et terrænområde have form som et udsnit af en kugleflade for at være helt korrekt, og måtte for at bevare sin form være fremstillet på en stiv plade, der har form som en kuglekalot. Dette er tilfældet for en globus, men aldeles upraktisk og bekosteligt i praksis. Kortene bør kunne trykkes på papir, de enkelte kortblade bør kunne sammensættes til et større, samlet område, og kortene må derfor fremstilles på en flade, der kan foldes ud til en plan flade. En kugleflade kan ikke med bevarelse af sin sammenhæng bredes ud til en plan flade. F.eks. kan en halv appelsinskal ikke glattes ud på en bordplade uden at revne. Ved den plane gengivelse af jordoverfladen må der nødvendigvis opstå forvanskninger, men disse går i forskellige retninger, eftersom overføringen sker på den ene eller den anden måde. Der anvendes mange forskellige fremgangsmåder for overførelsen af kuglefladen til en plan flade. De tre væsentligste former er, hvor overfladens projiceres over på et plan, en cylinder eller en kegle. Derved fremkommer henholdsvis azimutal-, cylinder- og kegle-projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion. Uanset hvilken geometrisk konstruktion, der anvendes, opnås ingen fuldstændig rigtig gengivelse af Jordens overflade. Kortet kan være arealtro, afstandstro eller fladetro. Ingen projektion kan opfylde alle tre krav; nogle gengiver to mål rigtigt, andre kun det ene. Man må vælge den kortprojektion, der passer bedst til kortets formål. Til topografiske kort ( d.v.s. terrænbeskrivende kort ) vælges vinkeltro. Til geografiske kort vælges arealtro.

2 Azimutalprojektion ( på Plan ) Ved denne projektion tænkes den aktuelle jordoverflade overført til et plan. De følgende tegninger viser resultatet, når Planet tangerer Jordens overflade ved polen, ved ækvator og mellem polen og ækvator. Da øjepunktet P er placeret på Jordens overflade, bliver resultatet en stereografisk azimutalprojektion. Planet tangerer... ved pol... ved ækvator...mellem pol og ækvator Cylinderprojektion Ved denne projektion tænkes den aktuelle jordoverflade overført til en cylinder med samme diameter som jorden. Ved ækvator bliver der ingen forvansket gengivelse, mens den giver meget forvanskede gengivelser ved polerne. Meridianerne bliver afbildet som parallelle linier, hvilket giver vinkeltro projektion. Dette kaldes også Mercator-projektion, som f.eks. anvendes til søkort. Denne afbildningsform medfører, at man i Mercator-kort med fordel kan anvende det geografiske net som et koordinat- eller referencenet. ( Se senere omtale af UTM net ) På kortet bliver kompasretningen - loxodromen - afbildet som en ret linie. ( se kortet til højre ) Den krumme linie - ortodromen - er den korteste vej mellem de to punkter.

3 Kegleprojektion Ved denne projektion tænkes den aktuelle jordoverflade overført til en kegle, hvis toppunkt ligger lodret over nordpolen, og som tangerer jordoverfladen langs en parallel, der ligger midt i det område, der skal fremstilles kort over. ABC er berøringsparallel mellem kuglen og keglen. I dette tilfælde er øjepunktet i kuglens centrum, hvilket giver en konisk centralprojektion. Som tidligere nævnt kan de tre former for projektion igen fremstilles som varianter afhængig af hvor øjepunktet ( projektionscentret ) er placeret. Central Projektion Øjepunktet er her placeret i centrum af omdrejningselipsoiden. Ortografisk Projektion ( Rettegnende projektion ) Øjepunktet er her placeret uendelig langt borte Stereografisk Projektion ( Rumgeometrisk projektion ) Øjepunktet er her placeret på overfladen af omdrejningselipsoiden.

4 Dansk Kegleprojektion Jorden er som bekendt ikke kugleformet, men ligesom sammentrykt ved polerne. Dens facon er tilnærmelsesvis en omdrejningsellipsoide. Den benævnes jordsfæroiden eller blot sfæroiden og kan tænkes frembragt ved en drejning på 180 af en ellipse om dens lilleakse. Ellipsens centrum ligger i i jordcentret, og omdrejningsaksen er sammenfaldende med jordens akse. Ved fremstillingen af de danske kort tænkes jordoverfladen overført til en kegle, hvis toppunkt ligger lodret over Nordpolen, og som tangerer jordoverfladen langs en parallel, der ligger midt i det område, der skal fremstilles. Den danske kegleprojektion en baseret på den såkaldte Lamberts konform-koniske projektion. Hele Danmark med undtagelse af Bornholm og Færøerne er overført til een enkelt kegle, der tangerer jordens akse langs parallellen 56 nordlig bredde. Man må altså tænke sig et kæmpemæssigt papirkræmmerhus lagt ned over jorden, og det skal have netop en sådan form, at det rører jorden langs parallellen 56 nordlig bredde. Denne parallel ligger lidt syd for Skanderborg og Helsingør. Bornholm og Færøerne er overført til hver sin særlige kegle. Alle terrænets punkter tænkes dernæst projiceret over på keglefladen, i princippet ved hjælp af punkternes lodlinier, men dog sådan, at man i ethvert punkt har samme målestoksforhold langs punktets meridian som langs dets parallel. Der vil opstå små unøjagtigheder i målestoksforholdet, men de betragtes som betydningsløse. Meridianerne vil overføres til keglen som rette linier, der udgår fra keglens toppunkt, og Parallellerne overføres som cirkler, der er koncentriske med berøringsparallellen. Et punkt kan tænkes overført på den måde, at man fra jordens indre stikker en nål igennem jordskorpen i punktet, retter nålen ind i tyngderetningen og støder den frem, så den sætter en prik i keglen. Hvis nu alle landets kystlinier prikkes igennem, punkt for punkt, på denne måde, og alle veje, stier, jernbaner, vandløb, gærder, bygninger o.s.v., vil man til sidst på keglen have stående et landkort med alle linier som prikkede linier. Praksis Hvorledes man i praksis overfører terrænet til keglen vil ganske kort blive berørt i det følgende. For nu at få et kort af en rimelig størrelse ud af det, må både jorden og keglen formindskes kraftigt, f.eks gange. Keglen klippes dernæst op langs en meridian og bredes ud på en meget stor bordplade, hvor den får form som et stort lagkagestykke. Meridianerne stråler ud fra keglens toppunkt, og Parallellerne er cirkelbuer, der har centrum i keglens toppunkt.

5 Og kortet over landet er tegnet på den udbredte flade. ( Danmark er her tegnet alt for stort i forhold til den udfoldede kegle. ) 15 Meridianen går gennem Bornholm. De 15 svarer til 1 time. Meridianen gennem Rundetårn var tidligere valgt som udgangspunkt. Midtemeridianen gennem Danmark ligger 2 12 vest for Rundetårn. Denne meridian passerer Odense. Koordinatsystem Over landet er lagt et retvinklet koordinatsystem, hvis y-akse er denne midtemeridian gennem Odense. Systemets x-akse tangerer parallellen 55 nordlig bredde, - altså ikke røringsparallellen, der jo ligger på 56 nordlig bredde. Dette koordinatsystem tjener dels til praktisk overføring af punkter fra jorden til keglen efter opmålinger. Dels til placeringen af det kvadratnet, som anvendes på kvadrerede kort. Kortrammer På tegningen er vist 8 kortblade A - H, som for tydelighedens skyld er gjort meget store i forhold til keglefladen. Det ses af tegningen, at kun midtemeridianen 2 12 vest for Rundetårn er parallel med kortbladenes vest- og øst-rammer. Kun de kortrammer, der er sammenfaldende med midtemeridianen gennem Odense vil være helt retvendt nord - syd. Altså den østlige kant af kortene B og F, og den vestlige kant af kortene C og G. Afvigelsen mellem kortrammer og meridianer bliver dog aldrig stor inden for et område af Danmarks størrelse. Y-akse A B C D E F G H midtemeridian 55 Parallel X-akse Langs den jyske vestkyst og den sjællandske østkyst vil forskellen være Og endelig øver koordinatakserne, y- og x-akserne, indflydelse på landets opdeling i enkelte kortblade, idet bladenes rammer er parallelle med koordinatakserne.

6 UTM-Projektionen UTM står for Universal Transversal Mercator Grid. De fleste søkort baserer sig på en projektion, der almindeligvis går under navnet Mercator-projektionen. Den har den specielle egenskab, at det geografiske nets linier ( meridianer og Paralleller ) afbildes ved rette linier, der skærer hinanden under rette vinkler. Denne afbildningsform medfører, at man i Mercator-kort med fordel kan anvende det geografiske net som et koordinat- eller referencenet. Imidlertid er denne projektion behæftet med alvorlige ulemper, der gør den uegnet til fremstilling af almindelige landkort. Langt den overvejende del af disse er derfor baseret på andre projektioner, ofte på een af kegleprojektionerne, der ikke har samme ulemper som Mercator-projektionen, men som til gengæld ikke afbilder det geografiske net som et retlinet, retvinklet system. Et retvinklet, retlinet net er imidlertid til mange civile som militære formål en absolut nødvendighed. Flere lande - deriblandt Danmark - her derfor i tidens løb etableret lokale eller nationale systemer på deres kort, men først med UTM-nettet ( fra omkring 1980 ) har man fået et net, der kan dække hele jordkloden ( med undtagelse af polarområderne ) og som er på vej til at blive anerkendt og anvendt internationalt. For nærmere at beskrive UTM-nettet vil det være nødvendigt med en ganske kort omtale af UTM-projektionen. Den er som navnet antyder en form for Mercator-projektion. I den almindelige Mercator-projektion overføres punkter fra jordens overflade til en cylinder, hvis akse er sammenfaldende med verdensaksen, medens man i en transversal Mercator-projektion har drejet cylinderaksen 90 og placeret den i ækvators plan. Almindelig og transversal Mercator Projektion...Udfoldet form

7 Modifikationer Denne transversale cylinderprojektion - ( identisk med den såkaldte Gauss-Krüger projektion ) ville i princippet have samme kraftige forvanskning som den almindelige Mercator-projektion ( bemærk på tegningen, at det geografiske net bliver mere og mere forvansket, jo længere man fjerner sig fra røringsmeridianen - her 180 ). For at undgå disse store forvanskninger er UTM-projektionen på to felter yderligere modificeret. a) Cylinderens radius er gjort mindre end jordradien. Derved opstår der mellem cylinder og jordkugle to skæringslinier på hver sin side af midtemeridianen. Hensigten med at lade cylinderen skære jorden i stedet for at lade den tangere er, at man derved opnår et bredere bælte med en given, tolererbar forvanskning. b) Flere skæringslinier - ikke 1 men 30. Den bedste ( d.v.s. mindst forvanskede ) afbildning af jordens overflade opnås i nærheden af røringslinien, eller som her skæringslinierne. For at udnytte dette forhold, har man i UTM-projektionen baseret sig på ikke een men 30 placeringer af den skærende cylinder, idet der mellem mellem to nabocylindre er foretaget en drejning af cylinderaksen på 180 / 30 = 6. Tegningen viser 2 nabocylindre, I og II, idet dog vinklen imellem dem for overskuelighedens skyld er overdrevet. Skæringslinien mellem to cylindre ligger i en meridianplan. To nabomeridianplaner har altså en indbyrdes vinkel på 6 længdegrader. Området de tilsvarende meridianer afgrænser benævnes både på jorden og på cylinderen som en zone, af hvilke der således findes 60. Hver zone på jordkuglen afbildes på den tilsvarende zone på cylinderen, som derefter tænkes udfoldet som vist. Cylinderens skæring med jorden 2 placeringer af den skærende cylinder De udfoldede cylinderzoner

8 Denne figur viser i øvrigt, at zonerne ikke går helt fra pol til pol, men afskæres ved henholdsvis 80 sydlig bredde og 84 nordlig bredde, idet det store antal smalle zoner gør projektionen upraktisk i polarområderne. Bortset fra disse områder er projektionen stort set lige anvendelig anvendelig overalt på jorden, hvilket retfærdiggør betegnelsen universal. UTM-nettet De 60 UTM-zoner, der hver spænder over 6 længdegrader, benævnes med zonetal. Således ligger zone 1 mellem 174 og 180 v.l., zone 2 mellem 168 og 174 v.l.,etc. Herved kommer Danmark til at ligge i zonerne 32 ( 6-12 ø.l. ) og 33 ( ø.l. ). Midtemeridianerne svarende til disse to zoner er altså 9 ø.l. og 15 ø.l., medens meridianen 12 ø.l. danner zonegrænse. Danmarks placering i zonerne 32 og 33

9 Koordinatsystemets placering Over hver udfoldet zone placeres et koordinatsystem - UTM-nettet - med en vest-øst gående akse - E-aksen ( E for Easting ) - sammenfaldende med ækvators afbildning, og en syd-nord gående akse - N-aksen ( N for Northing ) - placeret 500 km vest for og parallel med zonens midtemeridian. Et koordinatsystem, som det her beskrevne, er for så vidt tilstrækkeligt, idet ethvert punkt kan fastlægges ved dets Easting og dets Northing. Som det vil fremgå af det følgende, benyttes UTM-systemet imidlertid på to måder, hvoraf den ene kræver en yderligere udbygning af systemet. Denne består i en fortsat opdeling af zonerne, idet hver zone deles i bælter, der strækker sig over 8 i sydnordlig retning. Det nordligste bælte går dog fra 72 n.b. til 84 n.b.. Inden for en zone betegnes de 20 bælter fra syd mod nord med bogstaverne C-X, idet I og O udelades. Ved anvendelse af zonetal og bæltebogstav - tilsammen benævnt zonebetegnelse - kan man på entydig vis angive et område med en vest-østlig udstrækning på 6 og en syd-nordlig udstrækning på 8. Som det ses af tegningen på næste side, kommer Danmark derved til at ligge i områder med zonebetegnelserne: 32 U, 32 V, 33 U og 33 V Udover en inddeling i bælter deles zonerne tillige i 100 km kvadrater, hvis begrænsende linier udgøres af koordinat-systemets 100 km linier. Hvert 100 km kvadrat benævnes ved zonebetegnelsen ( f.eks. 32 U) efterfulgt af en bogstavkombina-tion ( f.eks. MJ )

10 Det første bogstav angiver kvadratets placering i vest-østlig retning ( 100 km søjlen ). Det andet bogstav angiver kvadratets placering i syd-nordlig retning ( 100 km rækken ). I zonerne 1, 4, ,... benævnes den 100 km søjle, der ligger mellem E = 100 km og E = 200 km med bogstavet A. Søjlen til højre herfor med B, etc. Da zonerne bliver smallere mod polerne, udnyttes de yderste søjler mindre og mindre, jo længere man fjerner sig fra ækvator. Ved ca. 30 n.b. udgår A- og H-søjlerne helt. På tilsvarende vis deles den enkelte zone op i 100 km rækker. Rækken umiddelbart nord for ækvator benævnes i zoner med ulige numre med bogstavet A, derefter med B etc. I zoner med lige numre er rækkefølgen F, G, etc. I begge tilfælde er I og O udeladt.

11 UTM-nettet på danske kort

12 Danmark er som tidligere beskrevet placeret i 2 syd-nordgående UTM-zoner, 32 og 33. Grænsen mellem disse følger meridianen 12 ø.l., og de to zoners midtemeridianer udgøres af henholdsvis 9 ø.l. og 15 ø.l. Endvidere er landet opdelt i 2 vest-østgående bælter, U og V. Grænsen mellem disse følger parallellen 56 n.b.. De 4 områder Danmark kan inddeles i har zonebetegnelserne 32 U, 32 V, 33 U og 33 V. Herudover er landet opdelt i 100 km kvadrater, betegnet med bogstavkombina-tioner, sådan som det fremgår af tegningen. De linier, der udgør kvadraternes sider har en indbyrdes afstand på 100 km og indgår i et for hver zone etableret koordinatsystem med to på hinanden vinkelrette akser: E-aksen og N-aksen. E-aksen (E for Easting ) er sammenfaldende med ækvator og er orienteret mod øst. N-aksen (N for Northing ) ligger 500 km vest for og parallelt med zonens midtemeridian og er orienteret mod nord. Danmarks vestligste punkt - Blåvand - har altså zonebetegnelsen 32 U, bogstavkombinationen MG, ligger mellem 6100 og 6200 km nord for E-aksen, og ligger mellem 400 og 500 km øst for N-aksen. Efterhånden er alle danske kort forsynet med UTM-net. På hvert kort er dets zone-betegnelser angivet og forklaret. Se i afsnittet om signaturer. Litteratur: Geodætisk Institut 1981, 4 oplag UTM-Nettet Opbygning og Anvendelse

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

Find pkt. 26 (den sorte prik i midten af cirklen med tallet "26")

Find pkt. 26 (den sorte prik i midten af cirklen med tallet 26) Kortreference Når man skal angive et steds beliggenhed ved hjælp af hærkort, bruger man en kortreference. Den anvendes, når man skriftligt eller mundtligt skal give meddelelse om "noget" i terrænet - en

Læs mere

UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark

UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 1 Version 1 2017-04-01 Geomatics Notes 1. Version 1, 2017-04-01 Geodætisk systembeskrivelse: UTM/ETRS89: Den

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG LISBETH FAJSTRUP. IVER OTTOSEN. - om formiddagen i hvert fald. Ellers er den parallelforskudt:

AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG LISBETH FAJSTRUP. IVER OTTOSEN. - om formiddagen i hvert fald. Ellers er den parallelforskudt: Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,

Læs mere

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser 1. Jordkloden 1.1 Inddelinger og betegnelser 1! Bredde Grad! [ ]! =! 10.000 / 90! =! 111 km 1! Bredde Minut! [ ]! =! 111 / 60! =! 1,850 km * 1! Bredde Sekund! [ ]! =! 1850 / 60! =! 31 m 1! Sømil *!!! =!

Læs mere

ONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig.

ONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig. Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,

Læs mere

Kortprojektioner L mm Problemformulering

Kortprojektioner L mm Problemformulering Kortprojektioner L4 2016 1.mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 April 2016 1 / 36 Kursusholder

Læs mere

Bacheloruddannelsen 1. år E15

Bacheloruddannelsen 1. år E15 Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34.

Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Kortprojektioner L4 2016 5.mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner

Læs mere

Fig. 1 Fig. 2. Det tegnede korts større overskuelighed skyldes følgende:

Fig. 1 Fig. 2. Det tegnede korts større overskuelighed skyldes følgende: Landkort Et kort er et billede, der er tegnet bl.a. på baggrund af et luftfotografi. Ethvert sted på kortet er tænkt set lige fra oven. Derfor er kortet i praksis "målrigtigt" - længder og vinkler måler

Læs mere

Nyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS

Nyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Nyt om projektioner Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010 Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Indhold Lidt om kortprojektioner generelt DKTM: Hvorfor, hvordan... Web Mercator hvad er det? Kortprojektioner

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk)

5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du vil ønske du aldrig havde stillet! 1. Hvorfor

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Forord 7

Indholdsfortegnelse. Forord 7 Indholdsfortegnelse Forord 7 1 Indledning 8 1.1 Baggrund 8 1.2 Kort som projekteringsgrundlag 8 1.3 Topografiske kort 8 1.4 Tekniske grundkort 9 1.5 Situationsplaner 10 1.6 Matrikelkortet 10 2 Landmåling

Læs mere

9940 8848

9940 8848 Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: ca.10:15-12:00 Opgaveregning i grupperummene Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver -

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Kortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet

Kortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kortprojektioner og forvanskninger Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Juni 2006 Chapter 1 Forord Disse noter er skrevet til landinspektørstudiet ved Aalborg Universitet.

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv

Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv 0. April 2007 Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv Af Astrid Pørtner Nielsen & Lise Danelund Introduktion: Formålet med projektet

Læs mere

Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber

Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i Begreber 1 Columbus tog fejl! - jorden er flad når vi tegner i MicroStation!!! Geodætiske begreber definition af jorden Jordens overflade Jordens

Læs mere

Læs selv om LANDKORT. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre

Læs selv om LANDKORT. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Landkort Mange forskellige slags kort I gamle dage var

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have).

Opgave: GPS og koordinater (Geo-øvelse i Kongens Have). Flemming Sigh, Odense Katedralskole, 23-08-2011. 1 / 5 Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have). 1. Indstillinger på GPS eren. a) Valg af koordinater. I Google Earth kan du få et overblik

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Ekspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion.

Ekspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion. Ekspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion. Erik Wirring, LE34 Peter Cederholm, AAU Henrik Vad Jensen, Vejdirektoratet Per Knudsen,

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π

I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

GIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester

GIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester GIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester 1982 1992 Programmet for i dag: Stedbestemmelse. Hvordan beskrives, hvor tingene er, og hvordan taler vi om det? 2002 Alle mennesker ved altid, hvor

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Mikkel Gundersen Esben Milling

Mikkel Gundersen Esben Milling Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt

Læs mere

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til

Læs mere

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Noter om Bærende konstruktioner Membraner Finn Bach, december 2009 Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Statisk virkemåde En membran er et fladedannende konstruktionselement, der i lighed

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Pladeudfoldning Specielle Udfoldninger

Pladeudfoldning Specielle Udfoldninger 2009 Pladeudfoldning Specielle Udfoldninger Pladeudfoldning af specielt forekomne udfoldninger Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Forord...2 Kugleformet tromlekedelhoved

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Indledning og indhold

Indledning og indhold UTM SYSTEM34 Indledning og indhold Denne dokumentation beskriver programfunktionen til koordinattransformation i softwareprogrammet DFF-EDB Ledningsregistrering. Programmet lagrer internt alle grafiske

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen

AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 6 Eksamensdag: fredag dato: 11.

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

Kom-i-gang vejledning opmålingsprogram

Kom-i-gang vejledning opmålingsprogram Kom-i-gang vejledning opmålingsprogram Billedprislisten Udarbejdet af EG Byg & Installation den 12. marts 2010 Opdateret den 18. februar 2011 Indholdsfortegnelse 1 Gulve... 3 1.1 Opmåling af gulvflade...

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

AARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen

AARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen AARHUS UNIVERSITET Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 5 Eksamensdag: fredag dato:

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Stjernekort især før og lidt nu. Hvad er et stjernekort - globus eller plan tegning

Stjernekort især før og lidt nu. Hvad er et stjernekort - globus eller plan tegning Hvad er et stjernekort - globus eller plan tegning Farnese Atlas Nationalærkæologisk museum, Neapel. 41 stjernebilleder, med gitter, ca. 125. f.kr. Bestemt ud fra præcessionen! Hipparchos data. Planisphære

Læs mere

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt. Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

4. Korttegning 4.1. Opmålerens vigtigste hjælpemidler er et målebord, en kikkertlineal og et antal lange trælægter med påmalet centimeterinddeling.

4. Korttegning 4.1. Opmålerens vigtigste hjælpemidler er et målebord, en kikkertlineal og et antal lange trælægter med påmalet centimeterinddeling. 4.1 Kort Opmåling De koordinerede punkter indenfor et afgrænset område, d.v.s. trigonometriske stationer, indmålte kirkespir, møller o.s.v. konstrueres på grundlag af deres koordinater ind på et stykke

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Triangulering af Danmark.

Triangulering af Danmark. Triangulering af Danmark. De tidlige Danmarkskort De ældste gengivelser af Danmark er fra omkring 200 e.kr. Kortene er tegnet på grundlag af nogle positionsangivelser af de danske landsdele som stammer

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4

Læs mere

System 34. Geodætisk systembeskrivelse. Geomatics Notes 3 Version UDKAST

System 34. Geodætisk systembeskrivelse. Geomatics Notes 3 Version UDKAST System 34 Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 3 Version UDKAST 2017-03-22 Geomatics Notes 3. Version UDKAST, 2017-03-22 Geodætisk systembeskrivelse: System 34 The Geomatics Notes Series is published

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter

Læs mere

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere