Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til cosinus, sinus og tangens"

Transkript

1 Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå, derfor denne introduktion. Hvis du har spørgsmål, forbedringer eller kommentarer er du velkommen til at kontakte mig via . Addresseinfo etc. kan findes på 1.1 Dokumenthistorie Dato Forfatter Historie Jes Toft Kristensen Dokument oprettet 1

2 Indhold 1 Forord Dokumenthistorie Symbolliste 3 2 Motivation 4 3 Grader og radianer Kort om trekanter Definition af cosinus og sinus Grundformler Cosinus og sinus som forhold Cosinus og sinus med omløb i radianer Cosinus og sinus med kontinuert omløb En opgave Eksemple på anvendelse 12 6 Tangens 13 7 Løsning af flyver-problemet 15 8 Inverse funktioner 15 INDHOLD 2

3 Symbolliste lineære funktioner Funktioner der umiddelbart kan lægges sammen og give samme resultat. Eksempelvis er multiplikation en lineær operation (2 (4 + 5) = ) imens opløftning i potens ikke er en lineær operation ((4 + 5) ). Ligeledes er sinus, cosinus og tangens ikke lineære funktioner. NB Dette er ikke den fulde definition på linearitet, side 11 origo center for enhedscirklen, har koordinatet (0,0), side 12 periferi yderste kant. Ved cirkler er cirklens periferi således lig med cirkelbuen., side 3 periodicitet er at et fænomen gentager sig periodisk, side 8 radian Længde på cirklens omkreds, side 3 INDHOLD 3

4 2 Motivation Hvorfor nu alt det her med sinus, cosinus, grader og vinkler? Det korte og affejende svar er at du skal bruge det senere på videregående uddannelser (gymnasiet, htx, universitetet etc.). Det lidt dybere svar er at nærværende stof anvendes til beskrivelse af bevægelser, positioner, fysiske fænomener, vinkler og en masse andre ting. Derfor skal du forstå og kunne anvende vinkelberegninger og forhold, som er hvad sinus og cosinus dybest set dækker over. Det er vigtigt at forstå at sinus/cosinus er et forhold der gælder under bestemte forudsætninger. Dette forhold anvendes så i vid udstrækning som et matematisk værktøj. Men dybest set er det et forhold og ikke andet. Derfor er sinus/cosinus ikke svært, det handler bare om at forstå forholdet det hele bygger på. Men for at det hele ikke skal fortabe sig i gode hensigter vil jeg starte med et eksempel på hvad der kunne beregnes med cosinus og sinus. Forestil dig at du er ude at flyve med dit modelfly. Du kan hele tiden se flyet og det har en indbygget højdemåler. Men hvordan finder du ud af hvor langt flyet er væk? Scenariet er vist i figur 1. Her er flyet og dig indtegnet sammen med vinklen v, flyets højde h og afstanden til flyet d. Phytagoras formler duer ikke idet du ikke kender den stiplede linies længde. Derfor skal du lære noget nyt. Vi vil senere beregne afstanden d, men først skal vi have fundet de rigtige værktøjer. h v d (?) Figur 1: Indledende flyver scenarie. Du kender vinklen v og flyets højde h, men hvordan bestemmer du afstanded d? 3 Grader og radianer Som en lille opvarmning til abstraktionerne kan vi se på hvordan vinkler også kan defineres. Matematikken er for det meste enige om at der er 360 grader rundt på en cirkel 1. Det betyder at den rette vinkel i en retvinklet trekant er 90 grader og at en cirkel kan halveres så vinklen er 180 grader. Disse tre vinkler er vist i figur 2 på næste side. En anden måde at beskrive positioner på en cirkel er vha. radianer. En radian beskriver hvor langt på cirklens periferi man har bevæget sig. På figur figur 3 på den følgende side er både vinkler og radianer vist. Når der måles i radianer har man besluttet at en hel cirkels omløb er fastsat til 2 π og ikke 360 grader. En halvcirkels periferi er således 2 π/2 = π og en kvart cirkels periferi er 2 π/4 = π/4. Som det ses af 1 Nogen steder i geografien bruger man 400 grader for en hel cirkel 4

5 Figur 2: Cirkel med de tre vinkler, 90, 180 og 360 grader indtegnet figuren kan man omsætte direkte fra grader til radianer og omvendt ved følgende funktioner hvor g er i grader og r er radianer. f grad rad (g) = f rad grad (r) = g π = r (1) r 360 = g (2) 2 pi 2*pi/2 = pi 180 grader 90 grader 2*pi/4 = pi/2 360 grader 2*pi radius = 1 Figur 3: Enhedscirkel med radianer og grader indtegnet for 90, 180 og 360 grader. En eksakt værdi for π er defineret ved 22 7 = π. En dybere forklaring er at π er det konstante forhold mellem en cirkels periferi og radius, således at: 2 r π = O (3) hvor r er radius i cirklen og O er cirklens omkreds. Det betyder også at en enhedscirkel, med en radius på 1, har en omkreds på 2π. Se yderligere information her 5

6 3.1 Kort om trekanter For lige at slå fast ud fra figur 4 I denne tekst betragter vi den retvinklede trekant fra der hvor den lille pindemand står. hypotenusen er den længde/side der står modsat den rette vinkel. katete 1 er den længde/side der ligger ved observatøren. Derfor kaldes denne også for den hosliggende katete/side. katete 2 er den længde/side der står modsat observatøren. Derfor kaldes denne den modstående katete/side (meget kreativt). vinklen a dannes mellem hypotenusen og den hosliggende side (katete 1). hypotenuse katete 2 (modstaaende) a katete 1 (hosliggende) Figur 4: Grundlæggende om trekanter 4 Definition af cosinus og sinus Cosinus og sinus er som sagt et forhold. Mere specifikt er cosinus forholdet mellem den hosliggende side divideret med den hypotenusen i en trekant ved en given vinkel a. Mere specifikt er dette vist til venstre i figur 5 på den følgende side (her er definitionen også vist for sinus til højre). 4.1 Grundformler Opstillet matematisk kan målene i figuren beskrives ved følgende: cos(a) = hos hyp sin(a) = mod hyp Det vil altså sige at ved en bestemt vinkel a er der et fast forhold mellem hypotenusen og den hosliggende side i en trekant eller mellem den modstående side og hypotenusen. Som i alle andre formler kan vi reducere/ombygge på denne for at isolere de ønskede variable. Dette betyder at hvis vi kender 2 af informationerne i (a) eller (b) på figur 5 på næste side kan vi finde den sidste. Det er dette som gør cosinus og sinus beregninger til et meget effektivt værktøj. (4) 3.1 Kort om trekanter 6

7 Cosinus Sinus hyp hyp mod a a hos Figur 5: Forhold for cosinus og sinus vist 4.2 Cosinus og sinus som forhold På figure figur 6 er der vist forskellige trekanter, hypotenuser og hosliggende sider for cosinus. Fælles for dem alle er at hypotenusen i alle tilfælde har længden 1. Afhængigt af hvordan vinklen a varieres opnåes forskellige længder for den hosliggende side og modstående side. På figuren er vinklerne 25, 85 og 10 grader indtegnet. Læg specielt mærke til at den hosliggende side i (b) på figuren er meget kort pga. den høje vinkel. Det modsatte ses i (c) i figuren hvor den hosliggende side er lang i forhold til den modstående side. De præcise tal er angivet i tabel 1. hyp = 1 mod hyp = 1 mod hyp = 1 a a a hos hos hos mod (a) (b) (c) Figur 6: Eksempler på trekanter med vinklen a, den hosliggende og hypotenusen angivet i tabel 1 (a) (b) (c) [enh] Hypotenuse [længde] Vinkel a [grader] Hosliggende [længde] Modstående [længde] Tabel 1: Størrelser for eksempler på trekanter 4.3 Cosinus og sinus med omløb i radianer Ved at fastholde længden på 1 for hypotenusen indtegnes en enhedscirkel (defineret ved at radius, her hypotenusen, er 1). Vist på figur 7 på den følgende side er der en enhedscirkel med vinklen a og akser for 4.2 Cosinus og sinus som forhold 7

8 cosinus og sinus indtegnet. (modstaande) sin(a) a cos(a) (hosliggende) Figur 7: Cosinus og sinus indtegnet i enhedscirkel ud fra radianer. Her regnes vinklen i radianer og er således ikke længere en direkte vinkel, men et tal for hvor langt på et omløb på enhedscirklens periferi der er foretaget. Man kan dog frit konvertere imellem grader og radianer som tidligere beskrevet. Bemærk at lommeregnere typisk forventer radianer som input til sinus og cosinus funktioner og at 30 radianer IKKE er det samme som 30 grader, derfor omregning. Det ses af figuren at den hosliggende side er lang ved lave vinkler (kort omløb) og derefter bliver mindre og mindre. Det modsatte gælder så for den modstående side (sinus), der bliver længere og længere jo større a bliver. Dette er vist i figur 8 på næste side for cosinus, der som vist er aftagende. Samtidig kan det også ses at cosinus aldrig bliver længere end længden 1, hvilket er radius i cirklen. 4.3 Cosinus og sinus med omløb i radianer 8

9 1 Cosinus for 0 <= a <= pi/2 x akse y akse 0.8 Laengde af cosinus pi 0.1pi 0.2pi 0.3pi 0.4pi 0.5pi a [radianer] Figur 8: Cosinus i intervallet 0 til π/2 = 1.57 radianer 4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb Men der findes jo også vinkler der er større end 90 grader. Dette svarer til at omløbet fortsatte over de π/2 radianer. Dette er vist i figur 9 på den følgende side hvor omløbet er fortsat den halve cirkel rundt. Her ses det at cosinus aftager jo tættere på de π/2 vi kommer, men begynder at bliver længere (omend negativ) jo tætter vi kommer på de 180 grader (π).. Fortsættes omløbet rundt kontinuerligt fremkommer bestemte kurver, nemlig cosinus og sinus svingninger. Disse er vist i figur 10 på side 11. Her ses det at sinus starter lavt men stiger indtil 0.5π hvorefter den aftager. Efter 2π gentager kurverne sig, dette er hvad man kalder periodicitet af sinus og cosinus. 4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb 9

10 0.5 * pi= pi/2 0.75*pi = 3*pi/4 0.25*pi = pi/4 a pi (modstaande) sin(a) cos(a) (hosliggende) (a) Omløb for cosinus 1 Cosinus for 0 <= a <= pi x akse y akse 0.5 Laengde af cosinus pi 0.125pi 0.25pi 0.375pi 0.5pi 0.625pi 0.75pi 0.875pi 1pi a [radianer] (b) Længde af cosinus med omløb af a Figur 9: Cosinus længde for omløb af halvcirkel 4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb 10

11 1 Cosinus Sinus x akse y akse 0.5 Laengde pi 0.5pi 1pi 1.5pi 2pi 2.5pi 3pi 3.5pi 4pi a [radianer] Figur 10: Cosinus- og sinus-svingninger ud fra omløb a 4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb 11

12 4.5 En opgave Proev nu at vende tilbage til figur 9 på side 10 og indtegn sinus i (b) af figuren. Start med de angivne reference punkter (0.25 π og 0.75 π) og udmål længderne, divider herefter længderne med den længde af den røde streg i (a) du måler, så skulle du gerne kunne tegne direkte ind i (b). Tjek herefter med figur 10 på foregående side om du ramte rigtigt. Prøv også at måle og indtegne din egen tabel som i tabel 1 på side 7 og indsæt i grundformlerne ((4)) for at finde ubekendte. 5 Eksemple på anvendelse For at anvende sinus og cosinus skal vi vende tilbage til grundformlerne angivet i (4). Vores tidligere eksempler har vist at hvis hypotenusen saettes til 1 bliver længder ud fra vinkler meget nemme at beregne. Eksempel cos(a) = hos cos(a) = hos (5) hyp = 1 altså giver cosinus os et direkte udtryk for længden af den hosliggende side. De cosinus og sinus funktioner der er på din lommeregner kan du opfatte som en stor tabel, der kan omsætte et vilkårligt input i radianer (omløbet a) til enten en hosliggende sidelængde (cosinus) eller en modstående sidelængde (sinus). Grunden til at introducere sin() og cos() funktionerne er at omløbene som vist i figur 10 på foregående side ikke er lineære og samtidig ikke helt nemme at beregne præcist 2. Derfor er det nemmest at opfatte sin() og cos() som opslagsfunktioner, eller som en nem måde at aftegne og måle på i figur 9 på side 10 Hvis hypotenusen ikke har en længde på en kan vi omformulere grundformlerne og stadig finde den hosliggende sides længde. den samme reduktion kan foretages for sinus. Til bestemmelse af hypotenusen kan man bruge følgende cos(a) = hos cos(a) hyp = hos (6) hyp cos(a) = hos hyp hyp = hos cos(a) (7) Som en lille kuriositet kan det bemærkes at phytagoras formler har en vis relation til sinus og cosinus formlerne. Det er nemlig givet at summen af kateterne kvadrat er lige hypotenusens kvadrat som egentilgt bare er Hvis hypotenusen har længden 1 får vi en lidt anden formel, nemlig hyp 2 = hos 2 + mod 2 (8) 1 = hos 2 + mod 2 (9) Prøv at indtegne et vilkår omløb af a i figur 7 på side 8 og mål derefter hypotenusen, den modstående og den hosliggende. Indsæt derefter i (8) og regn efter (du kan bare måle direkte på papiret - det gælder stadig). 2 Der anvendes en såkaldt rækkeudvikling for at få præcise værdier for sinus og cosinus, de er nærmere beskrevet her: http: //en.wikipedia.org/wiki/trigonometric_functions#series_definitions 4.5 En opgave 12

13 6 Tangens For at gøre diskutionen om cosinus og sinus komplet kan vi ikke undgå at nævne tangens-funktionen. Den kvikke læser har måske opdaget allerede nu at flyver-problemet fra indledningen ikke kan løses med sinus og cosinus alene. Problemet er at begge grundformler anvender længden af hypotenusen, der er ukendt i figur 1 på side 4. Altså skal vi finde noget andet. Der eksistere heldigvis et 3. forhold i disse trekantsberegninger som vi kan anvende, nemlig tangens. Denne defineres på samme som cosinus og sinus, men nu som en vinkel der angiver et forhold imellem den modstående og hosliggende side. tan(a) = mod hos Variablen a er stadig angivet i radianer. Det specielle ved tangens er dog at længden skal måles som en tangent til enhedscirklen, som vist i figur 11 på næste side. Her er tangens vist og læg mærke til at det er den tangerende blå linie der måles afstand på. De cyan-farvede fuldt-optrukne linier fortsætter altså udover enhedscirklen indtil de rammer den lodrette tangent. De cyan-farvede fuldt-optrukne linier er samtidig projiceret ned på de hosliggende og modstående sider med stiplede linier. Det er afstanden fra der hvor den stiplede linie og indtil origo Dette er igen et forhold der gælder for enhedscirklen som kan udvides til at beregne på alle længder, typisk vha. omskrivning af grundformlen i (10). Samtidig kan tangens funktionen igen opfattes som et tabel-opslag så man undgår at måle selv. Specielt tangens er dette vigtigt for idet det eksempelvis ses at ved omløbslængden for c bliver hjæxlpe-linien og tangens liniens skæring meget højt ude af papiret. Faktisk går tangens mod en uendelig værdi for omløb af π/2 og 4/3π (90 og 270 grader). Her bliver hjælpe-linien og tangenten paralelle hvorved de aldrig skærer hinanden, derfor en uendelig værdi 3. (10) 3 Der er nu ikke noget specielt problematisk i dette, hvis en trekant har to vinkler på 90-grader må det nødvendigvis være en firkant... 13

14 c b tangens (modstaande) a (hosliggende) Radius = 1 (enhedscirkel) Figur 11: Tangens indtegnet for forskellige omløb af a, b og c 14

15 7 Løsning af flyver-problemet Med tangens kendt kan vi nu løse flyver-problemet fra indledningen. På figur 1 på side 4 kan du se hvilke informationer der er ukendte og kendte. Vi ønsker at bestemme den hosliggende side d hvor vi kender højden h der er 70m og vinklen v der er 45 grader 4. Cosinus- og sinus-relationerne kan vi ikke bruge idet vi ikke kender længden af hypotenusen (den stiplede linie). Derfor er der kun tangens-relationen tilbage. Denne er vist i (10) og omskrevet her til at indeholde vores navne for variable tan(v) = h d (11) hvor vi ønsker at isolere og bestemme d. Ved hjælp af funktionen i (1) kan vi omregne fra grader til radianer, hvor vi når frem til at 45 grader er radianer = π/4 (regn gerne efter og/eller indtegn i figur 9 på side 10 ). d = h tan(v) (12) d = 70m tan(0.7854) (13) d = 70m 1 (14) d = 70m (15) Altså kan vi bestemme flyets afstand vha. vinkel-relationer. Det er det nye værktøj du har lært. Men kan du nu beregne hypotenusen (der er flere måder at gøre det på, ingen er mere rigtig end den anden? 8 Inverse funktioner Skal I bruge inverse funktioner? Hvis ja, saa husk at disse heller ikke er linær, og sådan set bare kan beregne en vinkel ud fra et forhold ( ) ( ) ( ) hos mod mod a = cos 1, a = sin 1, a = tan 1 (16) hyp hyp hos (igen er funktionen på lommeregneren bare et opslags-værktøj i stedet for at kigge i en bog) 4 Vinklen i tegningen er ikke 45 grader, men ignorer dette 15

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse

Læs mere

Læringsprogram Pro C

Læringsprogram Pro C Læringsprogram Pro C TriangleSolver Emil Lynegaard & Steffen Immerkær 3.6i Emil Lynegaard (emilcl10) Steffen Immerkær (steffenhi10) 1 Indholdsfortegnelse Emil Lynegaard & Steffen Immerkær 3.6i Abstract...

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE.

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE. WordMat er en udvidelse til Microsoft Word, som kan køre både på Windows og Mac. Windows-versionen kræver mindst Office 2007, og mac-versionen kræver mindst Office 2011. Du downloader WordMat her: http://goo.gl/wubvvo

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, basis+g ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen

Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen Indledning Det er velkendt, at mange skytter skyder over målet, når der skydes i kuperet terræn, eller fra bygninger, hvor man ikke skyder lige på målet

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Matematik. Formlen for en Kugle: 3 V = 4/3»r *n. Formlen for et Kugleafsnit: Formlen for en Keglestub: 2 2 V =n/3»h»(r + r + R*r)

Matematik. Formlen for en Kugle: 3 V = 4/3»r *n. Formlen for et Kugleafsnit: Formlen for en Keglestub: 2 2 V =n/3»h»(r + r + R*r) Matematik Vi har fået til opgave at bygge en ballon hvis volume mindst må være 1,2 Kubikmeter og max 1,5 kubikmeter. Så for at løse dette problem valgte vi at finde formlerne for en kugle, kugleafsnit

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

IT - Opgave. Produkt til Læring

IT - Opgave. Produkt til Læring IT - Opgave Produkt til Læring Navn: Ugur Kitir Skole: Roskilde - HTX Klasse: 2.4 Vejledere: Karl Afleveringsdato: 03/03 2009 0 Indholdsfortegnelse Planlægning... 2 Problemstilling... 2 Problemformulering...

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Den Flydende Kran Samson

Den Flydende Kran Samson Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 09- jun 10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium htx Matematik

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere