brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt"

Transkript

1 brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1

2 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette på eller ved at kontakte: bernitt-matematik.dk Fjordvej Holbæk 2

3 Forord Hæftet er et af ni, der er udabejdet til undervisning på VUC på niveauerne F+E+D og dette indeholder kernestoffet, som det er beskrevet om tal og algebra i undervisnings-vejledningen om trinnene E+D. Hæfterne er opbygget således at udover at indøve kernestoffet vil man også få styrket de matematiske kompetencer : I dette hæfte arbejdes der specielt med bevisførelse, idet opgaverne lægger op til overvejelser om dette. Endelig er der i appendixet på side 18 en gennemgang begrundelse for og metoder til bevisførelse. Dette er en beta-udgave, der er udarbejdet med baggrund i den vejledning om undervisning på VUC, der udkom i I forhold til de faglige krav, der viser sig at blive stillet ved de fremtidige skriftlige prøver efter trin D kan der være fag-indhold, der mangler og der kan være fag-indhold, der senere viser sig ikke er være relevant. bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for eventuelle følger af at anvende hæftet. Hæftet omhandler følgende emner men gennemgås i en lidt anden rækkefølge end vejledningen lægger op til: Rationelle tal (fra side 6) Irrationelle tal (fra side 8) Talfølger og talrækker (fra side 11) I indledningen til hvert af emnerne gennemgås fagudtryk, der er kendt fra trin G, og som anvendes i forklaringerne i dette hæfte. Siderne i hvert kapitel er opdelt således, at først forklares og vises med eksempler og derefter er der opgaver. En stor del af opgaverne er bearbejdede eksamensopgaver fra HF fra årene Dette er gjort, for at man kan stifte bekendtskab med sprogbrugen og dermed lette overgangen til det gymnasiale niveau C. En del af opgaverne kræver brug af en lommeregner med tasterne: x y og y x eller med tasten: ^ I brugervejledningen til lommeregneren står, hvordan man anvender disse taster til løsning af de konkredte opgaver. Fra side 21 er facitliste, hvor man kan se forslag til løsninger. 3

4 4

5 Rationelle og irrationelle tal Talmængder Talmængder er betegnelse for en gruppe af tal, der lever op til en betingelse. Du skal kende følgende tal-mængder og deres betegnelser: Naturlige tal: N = {1, 2, 3,...} N 0 = {0, 1, 2, 3...} Hele tal: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...) Rationelle tal: Alle tal, der kan skrives som brøk: p hvor p er et helt tal og q et naturligt tal. q Rationelle tal kan også skrives som decimaltal med et endeligt antal decimaler eller hvor decimal-tallet er periodisk. Dette forklares nærmere på næste side. Irrationelle tal er tal der ikke kan skrives som decimal-tal med et endeligt antal decimaler eller hvor decimal-brøden ikke er periodisk. 2 og tallet er eksempler på irrationelle tal. Reelle tal er samlingen af de rationelle tal og de irrationelle tal Primtal er hel-tal, der kun kan deles uden rest med 1 og tallet selv. Følgende er de første ti primtal: 2, 3, 5, 7,11, 13,17, 19, 23, 29 primfaktor opløsning at opløse en brøks tæller og nævner i primfaktorer, er en metode til at afgøre om brøken kan forkortes: Eksempel: = Da 3 optræder i både tælleren og nævneren kan brøken forkortes med 3. På de følgende sider lærer du at skelne mellem rationelle og irrationelle tal og du lærer nogle regnemetoder, som kan bruges til at sammenregne irrationelle tal. 5

6 Rationelle tal Hele tal og brøktal er rationelle tal. Brøker kan omregnes til decimal-tal, der kan skrives som endelige eller periodiske decimal-tal. endeligt decimal-tal kommer f.eks. ud af brøken: = 3 : 8 = 0,375 8 Endeligt decimal-tal fremkommer når nævneren er et tal, der har et tal, der ender på 0 i sin lille tabel fra 1 til 9. F. eks. 8, der har 40 i sin tabel. periodiske decimal-tal kommer ud af alle brøker, hvor divisionsstykket ikke går op. 11 = 11 : 7 = 1, Perioden: går igen et uendeligt antal gange. En periodisk decimal-brøk kan skrives således: 1, Stregen over perioden, angiver at denne gentages et uendeligt antal gange. At skrive 1, er altså en måde at skrive tallet uden at forkorte det. At alle divisionsstykker, der ikke går op giver periodiske decimaltal, skyldes selve naturen i division: - når man dividerer opstår en rest. - der er kun er et begrænset antal forskellige rester (ved divison med 7 er der kun tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6, der kan blive rester). - Når en rest forekommer for anden gang i divionsstykket begynder en ny periode, fordi de følgende divisioner, vil følge mønsteret fra sidst denne rest forekom. Det kan vises, at alle periodiske decimal-tal kan skrives som brøker. Se opgave 4 overfor, om hvordan man gør. Eksempel: Divider 235 med 11. Facit skal angives som uforkortet decimal-tal. Løsning: Da 11 ikke har et tal, der ender med 0 i sin lille tabel fra 1 til 9 vil facit blive et periodisk decimal-tal. Divisionen udføres indtil perioden er fundet. 235 : 11 = 21,36 6

7 1. Om endelige decimaltal Skriv en liste med de tal, mindre end eller lig med 20, der giver endelige decimaltal ved division. Find fælles-træk ved disse tal. 2. Udfør division på papir og angiv facit som uafrundet decimal tal 13 : : 7 0,08 : 0,3 3. Omdan følgende brøker til uafrundet decimaltal: Følgende udtryk kan bruges til at omdanne et periodisk decimaltal til en brøk a 1 q hvor a er den første periode og q er forholdet mellem perioderne. F. eks. kan 0, omdannes til: 0,12 0,12 0, = = = = 1 1/100 0,99 0, Omdan 0,3 til uforkortelig brøk. Omdan 0,125 til uforkortelig brøk og vis derefter at omsætningen er korrekt. Givet følgende periodiske decimal-tal, der skal omsættes til brøk: 2,5 4 a udtrykket: 1 q er kun en gyldig omskrivning af den periodiske del. En omsætning af hele tallet bliver derfor: 5 0, / 10 Omdan 2,13 til uforkortelig brøk. Omdan 0,0125 til uforkortelig brøk. 7

8 Irrationelle tal Irrationelle tal, er tal, der ikke kan skrives som brøker og dermed heller ikke som endelige eller periodiske decimal-tal. 2 5 er et eksempel på et irrationelt tal, hvilket vises herunder med et såkaldt mod-eksempel: man viser, at det modsatte ikke er rigtigt altså i dette tilfælde, at det ikke er rigtigt, at der findes en brøk der er løsning til 2 5 Antag at der er et rationelt tal som kan skrives som uforkortelig brøk: 2 p (1) 5 = q Dette kan omskrives til: 2 p (2) 5 = 2 q Brøken var antaget til at være uforkortelig og dermed: - p og q s primfaktoropløsning indeholder ikke nogen fælles primtal - både p 2 og q 2 må have et lige antal primtal (har p f.eks. tre primfaktorer må p 2 have seks). Og her opstår modstriden: Ligningen (2) siger at p 2 har én primfaktor nemlig tallet 5 - mere end q 2, hvilket ikke kan passe da de begge har et lige antal primfaktorer. 1. Opløs følgende i primfaktorer: Opløs følgende tal i prim-faktorer: 30 og og 40 2 Lav en regne-reglen om at finde primfaktorerne for a 2, når primfaktorerne for a er kendt. 3. Undersøg påstanden: Hvis primfaktoropløsningen af et tal a indeholder et lige antal af hvert primtal, der indgår i opløsningen, da bliver kvadratroden af a et rationelt tal. 4. Afgør om følgende er rationelle eller irrationelle tal:

9 Da man ikke kan skrive irationelle tal som brøker eller endelige decimal-tal kan man ikke sammenregne dem, uden at begå en afrundingsfejl. Man kan i visse situationer kommer om ved dette problem ved at bruge regneregler for reduktion: Eksempel: Reducer: Løsning: = (2 + 3) 5 = 5 5 = Afgør om hvert udsagn, om det er sandt ellr falsk? = = = = 4 6. Det antages at følgende sammenhæng mellem s, p og q er gældende: p p s = - q q Udtryk på korteste form s som funktion af p når q = 4 s som funktion af p når q = 5 7. Undersøg påstanden: Det facit, man skriver, vil altid være forbundet med større unøjagtighed, når man arbejder med irrationelle tal, end når man arbejder med rationelle tal! 8. Undersøg påstandene: 5 er et irrationelt tal 0 5 er et irrationelt tal. 9

10 10

11 Tal-følger og tal-rækker En talfølge er en uendelig række af tal, der står i en bestemt række-følge. 3-tabellen er et eksempel på en tal-følge: 3, 6, 9, 12, En talrække er summen af en af tal, hvor der er et bestemt forhold mellem tallene er et eksempel på en talrække, her den tal-række, der kan dannes af tal-følgen: 3-tabellen. Arbejde med tal-følger og tal-rækker har beskæftiget matematikere til alle tider: Dels som en intellektuel udfordring og dels til løsning af praktiske problemer. F. eks. er opsparingsformlen: n (1+ r) 1 A n = y r resultatet af at arbejde med en talrække. På de følgende sider introduceres de skriveformer, der bruges i forbindelse med tal-følger og talrækker, og der vil blive arbejdet med forskellige talfølger og talrækker. Arbejdet med opgaverne, kan sluttes af med arbejde med Apendix på side 19. Dér bliver givet eksempel på bevis-førelse i forbindelse med tal-rækken af ulige tal samt et eksemple på praktisk anvendelse af tal-rækker (annuiteter). 11

12 Tal-følger 3-tabellen er et eksempel på en tal-følge og man kan bruge skrivemåderne herunder til at beskrive 3-tabellen som en tal-følge: på listeform eller: som formel a n : 3, 6, 9, 12 a n, a n = 3 n 1. Tallene Renet 3, 6 talopgaver, 9 kaldes for tal-følgens elementer 2. Udtrykket: Også aopgaver n : læses hvor som formel det n-te ikke element er mulig i tal-følgen a og f. eks. betyder a 3 : det tredje element i tal-følgen a. 3. Og bogstav-opgave Bogstaverne a og n kan være erstattet af andre bogstaver som f. eks. x og y. Eksempel Givet to talfølger a og b, for hvilke det gælder: a n : 1, 4, 9, 16,, a n,.. b n : 2, 4, 6, 8,, b n,... Skriv formler for talfølgerne a og b For hvilken værdi af n er b n = a 6 Løsning Tal-følgen a består af kvadrat tallene fra og med 1 2 a n = n 2 Tal-følgen b er 2-tabellen fra og med 2: b n = 2 n a 6 = 6 2 = 36 b n = 2 n = 36 n = Givet talfølgen a n : a n : 1, 3, 6, 10,..., a n,... Find a 5, a 6 og a 20 Beskriv sammenhængen mellem tallene i talfølgen a n. Har talfølgen en mindste-værdi og en største-værdi? 2. Givet talfølgen y n : y n : 120, 240, 60, 120, 30, 60,..., y n,... Find y 7 og y 9 Har talfølgen en mindste-værdi og en største-værdi? 12

13 3. Givet talfølgen a n, for hvilken det gælder at: n 1 a n = 2 Skriv tal-følgen a n på listeform. Tal-følgen b n er givet ved: b n = 2(n 1) Gør rede for, hvor mange elementer a n og b n har tilfælles. 4. Givet a n : 2 a n = 20 n Angiv a 2 og a 10 Kan a n udgøre en talfølge? 5. Ud af en gruppe med n drenge og n piger skal dannes n par bestående af en dreng og en pige. Talfølgen p n angiver antallet af forskellige par, der kan dannes. Udfyld et skema, som vist herunder: n p n Skriv p n som formel. 6. Talfølgen l p angiver antallet af linier l, der kan trækkes mellem p punkter beliggende på en cirkelbue. Tegn skitser og udfyld et skema, som vist herunder: p l Skriv l p som formel. 7. Ved hjælp af én 50 øre, én 1-krone og én 5-krone kan dannes følgende beløb: 0,50 kr., 1 kr., 5 kr. 1,50 kr., 5,50 kr., 6 kr., 6,50 kr. Angiv, hvor mange beløb, der kan dannes, hvis der tilføjes en 10-kr. Hvor mange beløb kan dannes, hvis der i alt er 6 forskellige mønter? 13

14 Tal-rækker Af tal-følger kan laves tal-rækker, der er summen af tal-følgens tal: Af tal-følgen: 3-tabellen kan laves en tal-række, hvor elementerne fra talfølgen står som led i samme rækkefølge som i tal-følgen: S Talrækker mked rene tal n = n ligesom tal-følgen var uendelig er talrækken det også. Hvis det er muligt, at angive en formel for størrelsen af et tilfældigt led - n - skrives denne formel til sidst i tal-rækken. Da der almindeligvis ikke findes et svar på, hvad summen af et uendeligt antal tal er, er opgaven ofte, at finde summen af et bestemt antal led. S 5 = = 45 Eksempel 1 Løsning Givet talfølgen a, der består af de ulige tal fra og med 0 og givet tal-rækken S n, der er dannet af a. Skriv tal-rækken S n Find S 1, S 2, S 3 og S 4 S n = (2n-1) S 1 = 1 S 2 = = 4 S 3 = = 9 S 4 = = Givet tal-følgen a bestående af de naturlige tal og tal-rækken S n, der består af elementerne fra a. Skriv S n på listeform. Find S 1, S 5 og S Givet talrækken S. S n = Find S 5 Angiv størrelsen af det n-te led. 14

15 3. Givet talrækken S S n = (10 n) Beregn S 11. Vis at for n = -19 er S n = 0 For hvilke værdier af n er S n > 0 og for hvilke værdier af n er S n < 0 4. Givet talrækken S n S n = n-1 Beregn S n for n = 5 Forklar, hvorfor S n har en mindsteværdi Forklar hvorfor S n ikke har en størsteværdi. 5. Givet talfølge a n for hvilken det gælder: a n = n 1 Talrækken S n består af elemnterne fra a n. Skriv a n på listeform, idet de første 4 elementer skrives som tal. Beregn S 1, S 2 og S 3 Kan S n overstige 2? Begrund dit svar. 6. Givet talrækken S n S n = Vis at S 5 = 1,1111 Forklar, hvorfor S n ikke kan blive 1,2. 10 Forklar, hvorfor største-værdien for S n er. 9 15

16 Eksempel 2 Talrækken S består af summen af de ulige tal fra og med 1. Udfyld et skema som vist herunder: n S n Angiv en regneforskrift, der udtrykker sammenhængen mellem n og S n. Find ved hjælp af regneforskriften S 12. Løsning: S n = Talrækken S består af de lige tal fra og med 2 Skriv S n for n = 1 til n = 5 Udfyld et skema, som vist herunder. n S n n S n S n kan findes ved at sætte n i 2. potens: S n = n 2 S 12 = 12 2 = 144 Kommentar: Regneforskriften S n = n 2 er fundet pr. intuition: Det ser ud til at passe! Hvis man vil være sikker på at en regneforskrift fundet pr. intuition virkeligt passer for alle værdier af n, skal forskriften bevises. Se beviset for regneforskriften herover på side 19. Angiv en regneforskrift, der udtrykker sammenhængen mellem n og S n. Find ved hjælp af regneforskriften S 20. Vis med et eksempel, at formlen ikke gælder for en talrække bestående af de negative lige tal fra og med 2. 16

17 8. Givet talrækken S: S n = Angiv en regne-forksrift for det n-te led. For hvilke værdier af n er S n > 200?. 9. Talrækken S består af de naturlige tal. Følgeligt gælder: S 10 = Beregn S 10. Forklar, hvorfor S 10 = 5 11 Forklar, hvorfor S 20 = Se formlen herunder: S n = 2 n (n + 1) Forklar formlen. Brug eventuelt eksemplerne herover. Gælder formlen for alle værdier af n? 10. Tal følgen a n er givet ved: a n = 2 n n og S n er betegnelsen for den talrække, der kan dannes af a n Skriv S n på listeform. Beregn S 4 og S 5. Beregn S 5 S 4. Udfyld et skema, som vist herunder: n Sn Sn+1 S n+1 - S n Kan du finde en sammenhæng mellem n og S n+1 - S n? 17

18 Apendix Bevis førelse For at en formel har almen gyldighed skal der føres logisk bevis for den. At føre logisk bevis vil sige,, at man med udgangspunkt i kendte regler og ved hjælp af kendte sammenhænge laver logiske følgeslutninger. For at der kan siges at være ført bevis, skal tre ting være opfyldt: De enkelte trin i beviset skal være logiske - det vil sige forståelige for ethvert menneske. Følge-slutningerne skal være reversible: Det vil sige at de også er sande, når de læses baglæns Resultatet skal kunne efterprøves. Der findes to typer af følgeslutninger, som er vist med eksempler herunder: (1) 2x = 10 x = 5 (2) x = 5 x > 3 Følgeslutningen (1) er rigtig, både når den læses fra vestre mod højre og fra højre mod venstre. Dette er vist med dobbelt-pilen (kaldes en bi-implikation) Følgeslutningen (2) er kun rigtig når den læses fra venstre mod højre. Læst fra højre mod venstre står at hvis x > 3 så skulle det føre til at x = 5, hvilket ikke er sandt. I følgeslutningen (2) er derfor anvendt en enkelt-pil (kaldet enkelt implikation). Det er følgeslutninger som (1), der kan bruges i beviser for en formel. Lidt historie Selve ideén om at føre et logisk bevis for en sammenhæng har en lang tradition bag sig: Fra skriftlige kilder ved man, at metoden har været anvendt lige så længe mennesker har skrevet. I vores del af verdenen er det specielt græske og arabiske tænkere, der har udviklet de metoder vi bruger i dag. Ofte var motivet blot at finde sammenhænge mellem tal fordi det måske kunne lede frem til en forståelse af verdenens orden, men lige så ofte var motivet at kunne udføre beregninger, der skulle bruges til arkitektur eller astronomi. Når vi i dag ser nogle af de metoder, de anvendte, kan vi blive forbavset over hvordan fandt de på det! Svaret er nok, at de prøvede rigtigt mange forskellige metoder, og vi kender kun dén, som førte frem til det rigtige resultat. På di næste sider vist to eksempler på logisk bevis. Det ene handler om en ren tal-række og har ingen praktisk betydning og den anden handler om rentesregning. 18

19 Eksempler på beviser Herunder og på siden overfor er eksempler på to forskellige typer af beviser: I det første eksempel er opgaven at bevise en formel, som man har erfaret ved en række af eksempler. Værdien af dette bevis er, at man derefter kan bruge formlen på alle eksempler også eksempler, det er praktisk meget vanskeligt at efterregne. I det andet eksempel er opgaven, at finde en formel, som man ikke umiddelbart kan se. Værdien af dette bevis, er at finde en simplere måde til udregning af en kompliseret sammenhæng. Når man læser et logisk bevis, bør man sikre sig, at man forstår hvert enkelt trin i beviset. At kunne et matematisk bevis består af, at kunne forklare de enkelte trin. Eksempel 1 På side 16 var et eksempel på en tal-række, der bestod af summen de ulige tal fra og med 0. Ved efterprøvning med forskellige tal, viste det sig, at følgende sammenhæng tilsyneladende var gældende: S n = (2n-1) = n 2 For at kunne fastslå, at sammenhængen er gældende for alle tal n, er det nødvendigt at føre bevis for dette. Beviset består i at bevise to sætninger: (I) Det vises at sammenhængen gælder for tallet 1 (II) Det vises at hvis sammenhængen gælder for et tal a, da gælder den også for a + 1 Til sammen medfører disse to sætninger, at når sammenhængen gælder for tallet 1, gælder den dermed også for 2, dermed også for 3 og så videre. (I) S 1 = 1 = 1 2 Da 1 = 1 2 er (I) bevist (II) Sammenhængen antages at gælde for tallet a: (1) (2a - 1) = a 2 Og det skal vises at den også gælder for tallet a + 1: På venstre side af lighedstegnet tilføjes det a+1-led og på højre side indsættes (a + 1) på a s plads: (2) (2a - 1) + (2(a+1) - 1) = (a + 1) 2 Ifølge (1) kan summen af de a første led skrives som a 2 a 2 + (2(a+1) - 1) = (a + 1) 2 a 2 + 2a = (a + 1) (a+1) a 2 + 2a + 1 = a 2 + 2a + 1 (II) er dermed bevist. 19

20 Eksempel 2 Vi har set, at summen af nogle talrækker, kan udtrykkes ved hjælp af en formel. Dette kan udnyttes i praktiske situationer som f. eks. ved annuitets-regning: Annuitetsregning beskæftiger sig med den situation, at man et aftalt andet gange n indbetaler en ydelse y på en konto, der giver r i rente. Læs eventuelt mere i Penge 2.. Den samlede værdi A n af indbetalingerne umiddelbart efter indbetaling af den sidste ydelse og renterne af alle indbetalingerne kan beregnes, som en talrække: (1) A n = y(1+r) 0 + y(1+r) 1 + y(1+r) y(1+r) n-1 n. - indbetaling 1. indbetaling Ved hjælp af regneregler for ligninger og regler om reduktion af bogstav-udtryk vil vi omdanne dette ikke endelige udtryk, til et endeligt udtryk. Først ganges,der med (1 + r) på begge sider af lighedstegnet og dermed dannes ligningen (2): (2) A n (1 + r) = [y(1+r) 0 + y(1+r) 1 + y(1+r) y(1+r) n-1 ](1 + r) (2) A n (1 + r) = y(1+r) 1 + y(1+r) 2 + y(1+r) y(1+r) n Fra ligningen (2) trækkes ligningen (1) og derved dannes (3) (2) A n (1 +r ) = y(1+r) 1 + y(1+r) y(1+r) n (1) A n = y(1+r) 0 + y(1+r) 1 + y(1+r) y(1+r) n-1 (3) A n (1 +r ) - A n = -y(1+r) 0 + y(1+r) n (3) består af et endeligt antal led og kan reduceres: A n (1 +r ) - A n = -y(1+r) 0 + y(1+r) n A n ((1 +r ) - 1)) = -y + y(1+r) n A n r = -y + y(1+r) n A n r = y(1+r) n - y A n r = y ((1+r) n - 1) (1+ r) A n = y r n 1 Og hermed er der ført logisk bevis for en formel, der kan bruges til at beregne værdien af en opsparing, hvor der indbetales y, n på hinanden følgende terminer, når renten er r. 20

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

sprog og arbejdsmetode

sprog og arbejdsmetode brikkerne til regning & matematik sprog og arbejdsmetode F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik sprog og arbejdsmetodde F+E+ D ISBN: 978-87-92488-36-7 1. udgave som E-bog til tablets 2012

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik brøker basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik brøker basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, basis ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

potenstal og rodtal F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

statistik basis+g DEMO

statistik basis+g DEMO statistik basis+g 1 brikkerne statistik G 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 1 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 1 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, trin 1 ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 1 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 1 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale

Læs mere

bernitt-matematik.dk Fjordvej Holbæk

bernitt-matematik.dk Fjordvej Holbæk statistik basis+g 1 brikkerne statistik G 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere

Læs mere

matematik grundbog basis preben bernitt

matematik grundbog basis preben bernitt 33 matematik grundbog basis preben bernitt 1 matematik grundbog basis ISBN: 978-87-92488-27-5 2. udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

penge,rente og valuta

penge,rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge,rente og valuta trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 1 ISBN: 978-87-92488-13-8 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, F+E+D ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

matematik grundbog trin 2 preben bernitt

matematik grundbog trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin 2 preben bernitt matematik grundbog 2 3. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-29-9 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

koordinatsystemer og skemaer

koordinatsystemer og skemaer brikkerne til regning & matematik koordinatsystemer og skemaer basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik Koordinatsystemer og skemaer, basis 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger G ISBN: 978-87-92488-07-7 10. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 2 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 2 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

penge,rente og valuta

penge,rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge,rente og valuta trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 1 ISBN: 978-87-92488-13-8 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 2 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 2 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

brikkerne til regning & matematik procent F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik procent F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik procent F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik forhold og procent F+E+D ISBN: 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g ISBN: 978-87-92488-03-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

de fire regnearter basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

de fire regnearter basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik de fire regnearter basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik de fire regnearter, basis ISBN: 978-87-92488-01-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta D ISBN: 978-87-92488-14-5 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by

Læs mere

brøker basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker G ISBN: 978-87-92488-04 06 2. udgave som E-bog 202 by bernitt-matematik.dk Denne bog er beskyttet

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik areal og rumfang F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik areal og rumfang F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang,f ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g ISBN: 978-87-92488-03-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

brikkerne til regning & matematik de fire regnearter basis preben bernitt

brikkerne til regning & matematik de fire regnearter basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik de fire regnearter basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik de fire regnearter, basis ISBN: 978-87-92488-01-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og regning basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og regning basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og regning basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og regning, basis ISBN: 978-87-92488-01-5 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

potenstal og præfikser

potenstal og præfikser brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenser og præfikser, trin 1 ISBN: 978-87-92488-03-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, G ISBN: 978-87-92488-13-8 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenser og præfikser, trin 1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, G ISBN: 978-87-92488-13-8 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

grafer og funktioner basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner G ISBN: 978-87-92488-11 4 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

grafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 2 ISBN: 978-87-92488-12-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning

Læs mere

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette

Læs mere

grundbog trin 2-2003 by bernitt-matematikgrundbog trin 2-2003 by bernitt-matematikm Opslagsbog til skole og hjem Demo

grundbog trin 2-2003 by bernitt-matematikgrundbog trin 2-2003 by bernitt-matematikm Opslagsbog til skole og hjem Demo matematik grundbog trin 2-2003 by bernitt-matematikgrundbog trin 2-2003 by bernitt-matematikm Opslagsbog til skole og hjem Demo preben bernitt 1 matematik Slå dog op! opslagsbog for skole og hjem Demo-udgave

Læs mere

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

forhold og procent trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

forhold og procent trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik forhold og procent trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik forhold og procent, trin 1 ISBN: 978-87-92488-02-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere