P3 PROJEKT GRUPPE SEMESTER INSTITUT FOR MEKANIK OG PRODUKTION D. 18. DECEMBER 2012

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "P3 PROJEKT GRUPPE 2.026 3. SEMESTER INSTITUT FOR MEKANIK OG PRODUKTION D. 18. DECEMBER 2012"

Transkript

1 Blanketoptimering P3 PROJEKT GRUPPE SEMESTER INSTITUT FOR MEKANIK OG PRODUKTION D. 18. DECEMBER 2012

2 Titel: P3 - Blanketoptimering. Tema: Procesanalyse og -styring Projektperiode: 3. september december 2012 Projektgruppe: Institut for Mekanik & Produktion Fibigerstræde 16 DK 9220 Aalborg Øst Tlf Fax Web Deltagere: Daniel Andreasen Dennis Pedersen Jonas Marciniak Synopsis: Denne rapport tager udgangspunkt i en produktanalyse omhandlende en Alpha2 cirkulationspumpe fra Grundfos, med særlig fokus på spalterøret. En dybdegående procesanalyse af, hvordan denne er fremstillet, vil kunne læses i rapporten. Arbejdet med procesforståelsen har ført til problemstillingen: Mathias Kristensen Mathias Madsen Vejleder: Søren Tommerup Oplagstal: 7 Sideantal: 181 Bilagsantal og -art: 1 stk. CD-rom Afsluttet den 18/12, 2012 Hvordan designes en model, der ud fra materialeog procesparametre kan bestemme blanketgeometrien, således at en efterbearbejdning kan undlades. Til at løse denne problemstilling er grundlæggende dybtrækningsteori blevet afdækket, samt beskrevet hvordan materiale- og procesparametre kontrolleres. På baggrund af dette er der udarbejdet en algoritme, der er i stand til, ud fra Finite Element Method simulering i LS-DYNA, at bestemme den optimerede blanketgeometri indenfor gruppens krav. For at eftervise dette, er LS- DYNA og BSV-pressen kalibreret således at de passer overens. Til sidst er den optimerede blanket blevet dybtrukket.

3

4 Forord Denne rapport er produktet af et semesterprojekt, udarbejdet af fem ingeniørstuderende på 3.semester af retningen Maskin og Produktion på Aalborg Universitet. Projektet er udarbejdet i perioden 03/09/ /12/2012 med det overordnede tema; "Procesanalyse og -styring", hvorunder gruppen har valgt underemnet dybtrækning, med fokusering på blanketoptimering. Gruppen har under projektperioden deltaget i følgende kurser; Procesteknik og sekvensstyring, Matematik 3 og Materialelære. Rapporten består af en produktanalyse omhandlende en Alpha2 centrifugalpumpe fra Grundfos med særlig henblik på, hvordan denne er fremstillet, samt general beskrivelse af dybtrækningsprocessen og andet relevant teori. Dette fører til en løsningsdel, hvor der udvikles en metode til optimering af blanketgeometri. Der er til projektet benyttet følgende programmer. til håndtering af LATEX ved tekstbehandling. til billedbehandling. til 3D tegninger. til dataopsamling. til Finite Element Method simuleringer af dybtrækningsprocessen. til programmering. til diverse. I rapporten er Harvard kildehenvisningsmetoden benyttet, hvilket betyder at kildehenvisninger vil optræde i rkantparenteser med forfatterens efternavn og udgivelsesår. Bagerst i rapporten vil der være en komplet kildeliste i alfabetisk rækkefølge efter forfatterens efternavn. Figurer og tabeller vil være angivet med to cifre. Det første referer til kapitelnummer, og det andet angiver gur eller tabel nummeret i kapitlet. Komplet gur- og tabeliste kan ndes efter kildelisten. Forrest i rapporten kan der ndes en komplet nomenklaturliste. Referencer til appendiks vil foregå med bogstaver og kan ndes bagerst i rapporten. Desuden er der vedlagt en Cd-rom med supplerende appendiks med dataopsamlinger, Java-programmering, LabVIEW programmering, etc. Oversigt over denne kan ndes i appendiks A. Gruppe d. 18. december 2012.

5

6 Nomenklaturliste σ σ uts σ Y σ x, σ y, σ z σ 1, σ 2, σ 3 τ 1, τ 2, τ 3 σ V M σ r σ θ σ f σ b σ sand E e ɛ x, ɛ y, ɛ z ɛ 1, ɛ 2, ɛ 3 τ xy, τ yz, τ xz R sk R fk R s R 0 R f R m R α R R 0 o R 45 o R 90 o R R p0,2 r i r F st F stmax A 0 A st b α σ α β β σ β rek t t 0 Spænding. Materialets brudspænding. Materialets ydespænding. Spændinger i den givende akseretning. Hovedspændinger. maksimale tværspændinger. trtr von Mises spænding. Radiale spændinger. Tangentielle spændinger. Spænding for ydning ved brug af ydeader. Spænding ved brud. Spændingen i sandarbejdskurve. Elastiske modul. Den nominelle tøjning. Sande tøjninger i den givende akse retning. Hovedtøjninger. Tværspændinger i det givende plan. Stempelkantens radius. Formkantens radius. Stempelradius. Blankettens oprindelige radius. Formradius. Brudspænding. Lankford koecient i vinkel α Normal anisotropi. Anisotropi i valseretningen Anisotropi i 45 0 fra valseretningen. Anisotropi i 90 0 fra valseretningen. Plan anisotropi. Flydespænding. Indre radius. Elementets placeringsradius. Stempelkraft. Max stempelkraft. Areal udgangsgeometri. Areal stempel. Bredden på et kvadratisk stempel. Spændingsforholdet. Vinkel. Tøjningsforholdet. Forholdet mellem spændinger. Trækforhold for rektangel. Blankettykkelse. Oprindelig blankettykkelse.

7 c Frirum mellem form og stempel. d 0, d 1, d 2 Diameter på cirkler til bestemmelse af tøjninger. dλ Konstant benyttet i Levy-Mises yderegel. F, G, H, L, M, N Konstanter i Hill s ydekriterium. C Materiale egenskabskonstant. K Styrkekoecienten (Hollomons udtryk). n Deformationshærdningseksponenten. F LD Forming Limited Diagram. LDR Limiting Drawing Ratio. A m Modholderareal. F m Modholderkraft. ρ Densitet. v Hastighed. ν Poisson's forhold. V Elektrisk spænding. z Højdeforskel. g Tyngdeacceleration. λ Friktions konstant. µ Coulombs friktionskoecient. F f Friktionskraft. B Modholderkraft. T f Den totale enhedskraft. T flangefriktion Enhedskraft ved modholderområdet. T formfriktion Enhedskraft ved formkant. T bjning+udretning Enhedskraft for deformation. (T f ) Y Enhedskraft for ydning. q f Konstant for neteekten. ρ/t Bøjningsforhold. P Referencepunkter. p Tryk. N Newton. kn Kilonewton. MP a Megapascal. GP a Gigapascal. mm Millimeter.

8 Indholdsfortegnelse Forord Nomenklaturliste iii v Kapitel 1 Produktanalyse Grundfos A/S Alpha2 cirkulationspumpe Kapitel 2 Dybtrækning Procesforståelse Modholderkraft Friktion Stempelkraft Kapitel 3 Materialeegenskaber Plasticitetsteori Arbejdskurver Spændingstilstande i 3 dimensioner Tøjninger Flydereglen Anisotropi og øredannelse Trækforhold LDR og anisotropi Delkonklusion Kapitel 4 Problemformulering 49 Kapitel 5 Opsætning af LS-DYNA og BSV-pressen Materialedata Teoretisk bestemmelse af værdier Opsætning af LS-DYNA model BSV-pressen vii

9 5.5 Kalibrering af LS-DYNA og BSV-presse Delkonklusion Kapitel 6 Løsningsmetode Teknisk gennemgang af LS-DYNA model Optimering af blanket Test af blanketoptimering Kapitel 7 Konklusion Diskussion Kapitel 8 Perspektivering 87 Litteratur 89 Figurer 92 Tabeller 96 Appendiks A Appendiks cd-rom Appendiks B Bestemmelse af komposit materiale for løber Appendiks C Bstemmelse af materiale for spalterør Appendiks D Måling af temperaturændringen ved ere dybtræk Appendiks E Bestemmelse af materialedata for DC-06 koldvalsede tyndplade Appendiks F Bestemmelse af densitet på DC-06 stål Appendiks G Dataopsamlingsprogram Appendiks H Kalibrering af ekstensiometer Appendiks I Appendiks J Kalibrering af ekstern lastcelle Kalibrering af lastcelle til modholderkraften. Appendiks K Kalibrering af lastcelle til stempelkraften viii

10 Appendiks L Bestemmelse af stempel- og modholderkraftkurve på BSVpressen Appendiks M Bestemmelse af tøjninger Appendiks N Skitser af blanketter Appendiks O JAVA programering ix

11

12 Produktanalyse 1 Dette kapitel omhandler en produktanalyse af en Alpha2 cirkulationspumpe fra Grundfos A/S. Til at begynde med vil koncernen Grundfos A/S blive introduceret. Derefter vil hovedkomponenterne i Alpha2 pumpen blive præsenteret, samt deres funktioner blive forklaret, så der opnås en større forståelse for pumpens virkemåde. Derudover er spalterøret valgt ud, og der vil være en analyse af fremstillingsprocessen og materialevalget. 1.1 Grundfos A/S Alpha2 pumpen er produceret af koncernen Grundfos A/S, som primært er en pumpefabrikant. Grundfos A/S blev grundlagt i 1945 af Poul Due Jensen, og i dag er koncernen repræsenteret med mere end 80 selskaber i over 45 lande med hovedsæde i Bjerringbro. Koncernen har en årlig produktion af pumpeenheder på 16 millioner, fordelt på ere forskellige typer. Koncernen er i dag verdens største producent af cirkulationspumper og dækker omkring 50 % af verdensmarkedet. I 2011 havde Grundfos A/S en omsætning på over 21 milliarder danske kroner, og mere end 17 tusinde ansatte [Grundfos, 2012a]. Nogle af Grundfos A/S mest solgte pumper er cirkulationspumperne fra Alpha serien. Disse er konstrueret til brug i varmeanlæg i almindelige husstande. Et af Grundfos A/S' værdigrundlag er innovation. I 2010 investerede de cirka en milliard danske kroner inde for innovation. De mange år med innovation har senest ført til Alpha2 cirkulationspumpen, som ses på gur 1.1, som Grundfos A/S sælger med stor succes. Alpha2 pumpen er mere energivenlig end sine forgængere. Dette skyldes i høj grad det elektriske AutoAdapt system, som selv justerer pumpen til de mest energivenlige indstillinger, i forhold til anlæggets behov. Dette medfører at pumpen har energimærke A, og gør den 80% billigere i drift end pumper med energimærke D [Grundfos, 2012c]. Et eksempel på innovation kan ses i Alpha2 pumpen, hvor lejer og bøsninger er lavet i keramik, i stedet for i metal, som det traditionelt ses i ældre pumpetyper. Dette mindsker slid, og giver derfor pumpen længere levetid end forgængeren. Yderligere ændringer har også medført at pumpen kan klare væsketemperaturer ned til +2 0 C. Det betyder, at

13 Figur 1.1. Alpha2 cirkulationspumpen. Alpha2 pumpen ikke kun er i stand til at dække husstandens behov inden for varme, men også op til 90% af behovet inden for køling. [Grundfos, 2012a]. 1.2 Alpha2 cirkulationspumpe Pumpen består af grundelementerne: Pumpehus, løber, lejeplade, rotor, spalterør, stator, motorhus og kontrolboks, se gur 1.2. Figur 1.2. Exploded view af Alpha2 pumpen. 1:Pumpehus. 2:Løber. 3:Lejeplade. 4:Rotor. 5:Spalterør (skåret i halv) 6:Stator. 7:Motorhus. 8:Kontrolboks. Virkemåde Princippet i en centrifugalpumpe består grundlæggende i at tilføre vandet en mekanisk energi i form af en hastighedsændring, og herefter omdanne denne hastighedsændring til en trykændring. På gur 1.3 ses et tværsnit af en cirkulationspumpe. 2

14 Figur 1.3. Udsnit af et pumpehus og væskens gennemløb i pumpen. Pilene indikerer vejen. Når vandet kommer ind af indløbet, ledes det ind i løberen og slynges ud i spiralen, se gur 1.5 der er forbundet til udløbet. [Grundfos, 2012b] Vandet løber ind af indløbet i pumpehuset, hvorefter det ledes op i løberen, se gur 1.3. Løberen er sammenkoblet med en elektrisk motor, der får den til at spinde. Løberen tilfører væsken en mekanisk energi, således at der bliver skabt et dynamisk tryk i pumpehuset, og løbeskovlene slynger væsken fra centeret ud i periferien på indersiden af pumpehuset. Det dynamiske tryk der er skabt af løberen, bliver omdannet til statisk tryk ved en såkaldt hastighedsdiusion, se gur 1.4. Måden hvorpå dette sker, er ved en arealændring. Figur 1.4. Princippet i en diusor: Når arealet ændrer sig, ændres hastigheden af væsken, for at opretholde et ow [Grundfos, 2012b]. Berboulli's ligning, se ligning 1.1 kan beskrive sammenhængen mellem tryk, hastighedsenergi og potentiel energi for en ideel strømning [Grundfos, 2012b]. 3

15 p ρ + v2 + z g = konstant (1.1) 2 Hvor p er tryk, ρ er densiteten af væsken, v er hastigheden, z er højdeforskellen og g er tyngdeaccelerationen. Det ses ved en formindskning i hastigheden øges trykket i væsken og omvendt, som er princippet i en diusor. Men Bernoulli's ligning opfylder ikke de betingelser, som er til stede i pumpen, da der tilføres arbejde i løberen. Dog kan Bernoulli's ligning bruges til at give nogle gode overslagsberegninger for pumpens ydeevne, og afvigelserne kan korrigeres for senere. Rent praktisk sker denne diusion gradvist. Pumpehuset kan opdeles i tre hovedudformninger: Ringdiusor, spiral og udløbsdiusor, se gur 1.5. I hvert af disse stadier ønskes det at energiomsætning mellem hastighed og tryk er optimal. Figur 1.5. Tværsnit af pumpehus med illustrering af dets komponenter [Grundfos, 2012b]. Ringdiusoren's opgave er at lede væsken fra løberens udløb ind i spiralen. Gennem ringdiusoren sker en arealforøgelse af tværsnittet, hvilket får hastigheden til at falde 4

16 mens trykket stiger. I spiralen sker en gradvis arealforøgelse fra tungen til kværken, hvor kværken er den del af udløbsdiusoren og hvor det mindste areal ndes [Grundfos, 2012b]. Ved udløbsdiusoren sker der endnu en arealforøgelse i tværsnittet, hvilket skaber en forøgelse i det statiske tryk jf. Bernoulli's ligning, se ligning 1.1. For at opnå den største virkningsgrad skal der være den rette balance mellem hastighedsændring og vægfriktion [Grundfos, 2012b]. Grundelementer Alpha2 pumpen skal kunne klare tryk op til 10 bar og temperaturer fra C, og den har en gennemsnitlig levetid på 10 år [Grundfos, 2012c]. Dette er nogle krav som materialerne på de forskellige elementer skal kunne overholde, og i følgende afsnit udvælges dele fra Alpha2 pumpen, som vil blive beskrevet. Pumpehus Pumpehusets udformning er designet til at blive monteret direkte på en rørledning, som karakteriseres ved at ind- og udløbsmund ligger på linje med hinanden, se gur 1.3. Der er mulighed for at få pumpehuset i to materialer, støbejern eller rustfast stål. Pumpehus af støbejern bruges i lukkede systemer, mens at typen med rustfast stål bruges til brugsvand [Grundfos, 2012c]. To parametre indikerer at det udleverede pumpehus er lavet af støbejern: Materialet er magnetisk, hvilket rustfast stål oftest ikke er. Derudover er pumpehuset malet sort, for at beskytte materialet mod korrosion. Løber Løberen, se gur 1.2 (3), er ved en FTIR-test bestem til at været lavet i poly(phenylene ether-sulfone), se appendiks B, hvilket har nogle gode egenskaber. Disse egenskaber er blandt andet høj styrke, sejhed, stivhed, samt god kemisk resistens [VINK, 2011]. Der er ni løberskovle, hvilket indikerer at pumpen kun er beregnet til at pumpe rent vand, da fremmedlegemer muligvis vil sætte sig fast ved ni skovle pga. tætheden. Desuden har løbeskovlene har også indydelse på ydelsen og støj [Grundfos, 2012c]. Den er blevet fremstillet ved en plastsprøjteproces, hvor undersiden og oversiden kommer ud som to separate dele. Herefter bliver de to halvdele samlet og ultralydssvejst. El-motor Løberen drives af en re polet synkron permanent magnetmotor, se gur 1.2 (6 og 7). 5

17 Figur 1.6. Alpha2 pumpe uden akseltætning, hvilket vil sige at det er en vådløber-pumpe [Grundfos, 2012c]. Dette tillader en væske af passere ind til rotoren imellem lejepladen og akslen. Stator og rotor er isoleret fra hinanden. Spalterøret isolerer væsken fra statoren, men tillader en passage ind til rotoren. Væsken fungerer som et kølemiddel til motoren, men nedsætter også ydelsen på motoren pga. af friktion. Væsken passerer ind og ud mellem akslen og lejepladen, se gur 1.6. Lejepladen sørger for at opretholde owet og tillader ikke store mængder af væske at passere ind til rotoren. Kontrolboks Til at regulere eekten af pumpen, er der påmonteret en kontrolboks. Kontrolboksen har to knapper, se gur 1.1. Den grå er til valg af reguleringsform, mens den anden er til aktivering eller deaktivering af natsænkning. Natsænkning indstiller pumpen til minimalt aktivitet og er medvinkende til at pumpen har energimærke A. Spalterør Som omtalt i indledningen til produktanalysen er der blevet udvalgt en komponent, hvis fremstillingsproces vil blive analyseret. Gruppen har valgt at fokusere på spalterøret. Spalterørets fremstilling vil blive beskrevet i dette afsnit, ligesom spalterørets materiale vil blive bestemt. Spalterørets placering kan ses på gur 1.2 (5). 6

18 Funktionsader Funktionsader er et udtryk for de ader/kanter på et emne, hvortil der er specikke krav grundet deres funktion. På spalterøret er det eksempelvis de ader der skal passe sammen med andre komponenter i pumpen. Det er disse ader, hvor de neste tolerancer ligger. For spalterøret gælder det at det skal passe sammen med lejepladen og pumpehuset. Placering mellem lejeplade og spalterør er vigtigt, da rotoren er fastgjort i lejepladen, se gur 1.2. Hvis placering ikke passer vil det resultere i, at rotoren kører skævt i spalterøret. Desuden er det vigtigt, at den indre diameter i spalterøret ikke varierer ift. centeraksen. Dette skyldes at rotoren som er placeret inde i spalterøret, skal kunne rotere frit. Det er derfor vigtigt at det keramiske leje, som holder rotoren på plads, er placeret midt for centeraksen ligesom lejepladen. Det keramiske leje er placeret i lejeholderen, se gur 1.7. Figur 1.7. Spalterøret set fra oven og fra bunden. Fremstillingsprocesser Inden spalterøret opnår sin endelige geometri gennemgår det en række delprocesser. På gur 1.8 ses et diagram, der viser de fem trin som spalterøret gennemgår. Det kan på gur 1.7 ses, hvor de forskellige processer er fortaget. De plastiske formgivningsprocesser er ikke angivet på gur 1.7, da de bliver beskrevet separat i afsnit 1.2. Først bearbejdes pladematerialet i en stansemaskine, der udstanser blanketter i den valgte geometri. Herefter gennemgår den enkelte blanket en plastisk formgivning, hvor koppen trækkes og de forskellige geometrier dannes. Desuden forlænges koppen til sin endelige længde ved rulning. Da der stadigt er restmateriale tilbage og dette ønskes fjernet, bliver der foretaget en spåntagning. Det sker på de to kanter i bunden af spalterøret, se gur 1.8. Der bliver desuden lavet et hul i toppen, hvori der bliver skåret gevind. Herefter indsættes 7

19 lejeholderen, som modstandssvejses. I denne placeres lejet som skal holde rotoren. Hullet der tidligere blev boret bruges til at centrere det keramiske leje ift. spalterørets centerakse. Spalterøret er nu klar til at blive samlet med resten af pumpekomponenterne. Figur 1.8. Procesdiagram der viser spalterørets produktionsforløb. Plastisk formgivning De plastisk formgivningsprocesser der er benyttet kan deles op i dybtrækning, skarppresning og rulning. Første trin i processen er koppens dannelse fra blanketten og sker ved dybtrækning. Først dybtrækkes der en kop med en stor diameter, og denne reduceres så gennem re træk indtil den endelige diameter opnås. Grunden til at diameteren reduceres gradvis skyldes trækforholdet. Trækforholdet og dets betydning bliver beskrevet i afsnit 3.7. De forskellige træk kan ses på gur 1.9. Figur 1.9. De første re stadier under dybtrækningen. Figurerne er taget ud af en animeret simulering [Sørensen og Steensen, 2001]. Efter koppen har opnået sin endelige indre diameter, formes geometrienerne, i hver ender af røret, se gur Kanten i det sidste stadie skarppresses. Dette gøres for at samle mere materiale, så den kan spåntages (drejes). På gur 1.11 ses en skitse af princippet bag skarppresning. Det sidste der fortages på spalterøret er rulning. Dette gøres da der 8

20 ønskes en tyndere vægtykkelse, for at mindske afstanden mellem rotor og stator. Ved at mindske afstanden mellem rotor og stator opnås større nyttevirkning af motoren. Der kan ved rulning opnås en langt tyndere vægtykkelse end ved dybtrækning [Kalpakjian og Schmid, 2009]. Da der er konstant volumen vil spalterøret under rulningen blive forlænget til sin endelige længde. Figur De sidste to stadier under dybtrækningen. Figurerne er taget ud af en animeret simulering [Sørensen og Steensen, 2001]. Figur Princippet i skarppresning, hvor materialet presses sammen. Materiale Grundet de forarbejdningsteknikker der er benyttet, specielt dybtrækningen, til at fremstille spalterøret kan det antages, at det benyttede materiale skal have følgende egenskaber; høj duktilitet og høj R-værdi [Kalpakjian og Schmid, 2009]. For R-værdiens betydning for dybtrækning se afsnit 3.6. Da spalterøret i pumpen er i konstant kontakt med vand, skal materialet være korrosion bestandigt. Det forventes ud fra ovenstående at spalterøret er fremstillet i rustfast stål. For at understøtte dette er der foretaget en EDS-test på spalterøret. Se forsøgsbeskrivelse i appendiks C. Denne viser med sikkerhed, at der er tale om et legeret stålmaterialet, med en sammensætning der passer på rustfast stål. Konklusion Den udleveret Alpha2 pumpe er en centrifugalpumpe, som virker ved at skabe en hastighedsændring, der medfører en trykændring. De vigtigste komponenter, herunder 9

21 pumpehuset, løberen, elmotoren, kontrolboks og spalterør er blevet beskrevet. Derudover blev spalterøret valgt ud til en nærmere analyse, heriblandt hvilke fremstillingsprocesser der er anvendt samt dets materialevalg. Mange af fremstillingsprocesserne af spalterøret er plastisk formgivende, herunder dybtrækning. Der er i resten af rapporten valgt at arbejde videre med dybtrækningsprocessen. I næste kapitel vil dybtrækningsteori blive gennemgået. 10

22 Dybtrækning 2 Som nævnt i forrige kapitel vil projektet forsætte med dybtrækning. Derfor vil dette kapitel omhandle dybtrækningsteori, med vægt på trækning af en rkant kop, da denne benyttes senere i projektet. Kapitlet starter med en grundlæggende procesforståelse, og efterfølgende vil de forskellige parametre som modholderkraft, friktion og stempelkraft blive forklaret sammen med relevante formler. 2.1 Procesforståelse En konventionel dybtrækningsproces benyttes til at ændre geometrien på et pladeemne, som f.eks. køkkenvaske, gryder og det tidligere omtalte spalterør. Ved konventionel dybtrækning er der teoretisk konstant overadeareal. Dette gælder ikke i praksis, hvor materialet ofte vil tynde eller stukke, hvilket vil medføre ændring af overadearealet. En dybtrækningsproces begynder med, at en udskåret blanket placeres over en form, se gur 2.1. Blanketten vil derefter blive påvirket af modholderen, og stemplet vil efterfølgende tvinge blanketten ned i formen, hvilket medfører en plastisk deformation af blanketten. Figur 2.1. Tværsnit af dybtrækningsværktøj. På gur 2.1 illustreres de forskellige betegnelser, som indgår i forklaringen af dybtrækning. R 0 er blankettens oprindelig radius, R s er stempelets radius, R sk er stempelets kantradius, R fk er formkantens radius, t er tykkelsen af blanketten og c er frirummet mellem formen og stempel.

23 Typiske fejl Der kan opstå mange forskellige fejl ved dybtrækning, disse er ofte et resultat af instabilitet i processen [Nielsen, 2000]. To af de fejl der ofte forekommer er; foldedannelse, se gur 2.2(a) og brud. Et eksempel kan ses på gur 2.2(b). Andre typer af fejl kan være øredannelse se gur 2.2(a) og er beskrevet i afsnit 3.6, eller at blanketten bliver fejlplaceret i dybtræknings maskinen, se gur 2.2(b). Der vil i de følgende afsnit blive beskrevet, hvilke parametre der har indydelse på fejl. Figur 2.2. Kopper med typiske fejl. (a) viser tegn på foldedannelse samt øredannelse. (b) viser brud og en fejlplaceret kop. 2.2 Modholderkraft På gur 2.2 ses to typiske fejl, som kan være resultatet af forkert modholderkraft. Det er derfor vigtig at bestemme modholderkraften. Modholderkraften har indvirkning på stempelkraften og størrelsen af friktionen mellem værktøj og blanketten i modholder området. Da der ikke har været muligt at nde litteratur med estimering af modholderkraften til rkantkopper, er det valgt at benytte to forskellige formler til cirkulære emner. Formlerne er omskrevet ved at bruge den ækvivalente radius for rkantkopper. Den ækvivalente radius for en rkant, kan bestemmes ved ud fra arealet af rkanten og en cirkel med tilsvarende areal, se ligning 2.1. A = r 2 π r = A π (2.1) Modholderkraften kan ifølge [Marciniak og Duncan, 1992] estimeres ud fra formel 2.2. Her antages det, at modholderkraften kun afhænger af friktion mellem modholder og blanket, 12

24 trækforholdet samt materialets ydespænding. [ (Rb ) 2 2 B = λσ Y πr s 1] R s (2.2) Hvor B er størrelsen af modholderkraften, λ er en konstant, som eksperimentelt er bestemt til 1-2 % af materialets ydespænding, σ Y er ydespændingen, R s er stemplets radius og R b er blankettens radius. [Marciniak og Duncan, 1992]. Formel 2.2 gælder for cirkulære emner, men omskrevet ved brug af ligning 2.1 fremkommer ligning 2.3. B = λσ Y π A st π ( ) Ab 1 A st (2.3) Hvor A st er stemplets areal og A b er blankettens areal. For at have noget at holde dette op imod, er det valgt også at medtage en anden formel [Tschaetsch., 2006] se ligning 2.4. B = p A modholder (2.4) Hvor B er modholderkraften, p angiver det krævet tryk for modholderen, se ligning 2.5 og A m er det eektive areal som modholderen påvirker. p = [ (β akt 1) 2 + d ] s σuts 200 t 400 (2.5) Ved bestemmelse af p, σ uts er materialets brudspænding, t er blanket tykkelsen, β akt er det aktuelle trækforhold og d s er stempeldiameter, hvilket kan omskrives til: 2 As π (2.6) Som en ekstra guide line foreslår [Kalpakjian og Schmid, 2009] en tommelnger regel hvor modholder kraften skal være 0,7-1,0% af summen af ydespændingen og brudspændingen. Dette vil blive efter prøvet senere i rapporten. 13

25 2.3 Friktion I alle processer, hvor to ader kommer i kontakt med hinanden, vil der opstå friktion. I nogen sammenhænge er det en fordel, mens andre gange er det ikke ønskværdigt. Den letteste måde at mindske friktion er ved at benytte et smøremiddel. Mange forskellige materialer kan bruges som friktionsnedsættende, heriblandt olie, sæbe og lm. Det er vigtigt at der i valget af smørelse bliver taget højde for, hvilket materiale der skal benyttes, da nogle materialers overader kan reagere med smørelsen og dermed give en misfarvning [Suchy, 2006]. Under en dybtrækning opstår der hovedsagligt friktion tre forskellige steder, som bliver gennemgået i dette afsnit. Fælles for alle stederne er, at varme har en indydelse på hvor stor friktionen er. Det skylder at når smørelsen varmes op falder dens viskositet og det gør at materialet nemmere kan bryde den "hinde", som smørelsen skaber mellem de bevægende dele. På gur 2.3 ses en graf som viser, hvordan friktionskoecienten vil stige som funktion af temperaturen. Grafen er bestemt ved en Pin-On-Disc test. På gur 2.4 er det vist hvordan temperaturen vil stige for stempel, form og blanket ved ere dybtræk efter hinanden. Det ses her at temperaturen er stigende som funktion af testnummer. Hvordan testen er fortaget kan læses i appendiks D. På en produktions linje vil driftstemperaturen ligge omkring 60 C o [Tommerup, 2010]. Figur 2.3. Friktionskoecienten som funktion af temperatur stigning, lavet ved en Pin-On-Dics med v=0,16 m/s af [Krauer, 1979] og ridigeret af [Tommerup, 2010]. Figur 2.4. Temperaturstigning i form, stempel og blanket som funktion af test nummeret. Der er et interval på 3 minutter mellem hvert træk. Friktion mellem materiale og formsiderne Denne friktion er uønsket, da kraften virker i modsat retning af den vej emnet trækkes. Dette vil medføre behov for en større stempelkraft, og derved opstår større radiale spæn- 14

26 dinger i kopvæggene og større risiko for brud. Desuden vil friktionen, de store kræfter og den høje varme resulterer i at små stykker af emnets materiale kan rykke sig fri, og svejse sig fast på formen [Suchy, 2006]. Dette medfører ekstra slid på værktøjet og kan give anledning til uønsket mærker/deformationer på emnet der bearbejdes. Friktion mellem materiale og stempel Her ønskes en høj friktion, da den hjælper med at overføre kræfter fra stemplet til materialet. Det gør at materialet følger bedre med stemplet og derfor nemmere trækkes ned i formen. Det medfører at stempelkraften fordeles bedre, og derved mindskes de radiale spændinger og tillader dybere emner at blive produceret [Suchy, 2006]. Hvis denne friktion ønskes øget, skal stemplets sider have en højere ruhed, så materialet følger bedre med stemplet. Dette medfører en bedre fordeling af trækkraften. Figur 2.5. Smøring og friktions indydelse på en dybtrækningsproces. [Suchy, 2006] Friktion mellem modholder/form og materiale På gur 2.5 er friktionskræfterne mellem modholder/form og materiale illustreret. Friktion i dette område er den vigtigste at kontrollere. Det skyldes, i modsætning til de to foregående friktionssteder, at mængden af smørelse her har betydning for modholderkraften. Dette skyldes at modholderkræften er afhængig af den friktionen, som det ses i formel 2.7. Det kan desuden på dette sted være svært at holde smørelsen på det ønsket område, da materialet hele tiden yttes og derved trækker smørelsen med. Størrelsen af friktionen på begge sider af blanketten kan bestemmes ved formel

27 F f = µ B (2.7) Hvor F f er friktionskraften og antages at virke som vist på gur 2.5 [Suchy, 2006]. µ er Coulombs friktionskoecient og B er størrelsen af modholderkraft. Hvis kraften af friktionen, bliver tilstrækkelig stor vil materialet i stedet blive strakt. Dette resulterer i en øget tykkelsesreduktion, som i nogle tilfælde kan være skyld i brud i kopvæggen eller ved formens radius. Fælles for alt den omtalte friktion er, at hvis der smøres forkert, vil det øge den kraft der kræves for at udføre dybtrækningen og derved forhøje risikoen for brud. Se gur 2.6 for friktionens indvirkning på stempelkraften, denne graf benyttes i afsnit 5.5, til bestemmelse af friktion i LS-DYNA simulations modellen, således modellen stemmer overens med de praktiske forsøg på BSV-pressen. Figur 2.6. Stempelkraft som en funktion af stempelvandring ved forskellige friktioner. 2.4 Stempelkraft Stempelkraften er den kraft der er resultatet af vandringen gennem formen, og er som udgangspunkt resultatet af modholderkraften og friktion mellem bevægelige dele. Der vil i dette afsnit undersøges, hvilke parametre der har indydelse på stempelkraften, og hvordan den bestemmes. Til at beskrive de kræfter der opstår under dybtræk er der taget udgangspunkt i [Marciniak og Duncan, 1992] teori om stempelkraften ved cirkulære emner. Sidst i afsnittet er der angivet en empirisk bestem stempelkraftformel for rkantkopper. Denne formel benyttes desuden senere i projektet. 16

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg... 3 E 1. Teori...

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Opdrift og modstand på et vingeprofil

Opdrift og modstand på et vingeprofil Opdrift og modstand på et vingeprofil Thor Paulli Andersen Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet 1 Vingens anatomi Et vingeprofil er karakteriseret ved følgende bestanddele: forkant, bagkant, korde, krumning

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges... 3 F

Læs mere

Massefylden af tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C bruges som standard i vindkraftindustrien og er lig med 1, 225 kg

Massefylden af tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C bruges som standard i vindkraftindustrien og er lig med 1, 225 kg 0.1 Vindens energi 0.1. VINDENS ENERGI I dette afsnit... En vindmølle omdanner vindens kinetiske energi til rotationsenergi ved at nedbremse vinden, således at hastigheden er mindre efter at rotorskiven

Læs mere

Eftervisning af bygningens stabilitet

Eftervisning af bygningens stabilitet Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 31. maj 2016 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Hastighedsprofiler og forskydningsspænding

Hastighedsprofiler og forskydningsspænding Hastighedsprofiler og forskydningsspænding Formål Formålet med de gennemførte forsøg er at anvende og sammenligne 3 metoder til bestemmelse af bndforskydningsspændingen i strømningsrenden. Desden er formålet,

Læs mere

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag A Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag B Støbeforløb for V1-V5 og NØ Figur B-1 viser et eksempel på temperaturudviklingen

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Forspændt bjælke. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden. Bilag A. 14. april 2004 Gr.A-104 A. Forspændt bjælke

Forspændt bjælke. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden. Bilag A. 14. april 2004 Gr.A-104 A. Forspændt bjælke Bilag A Forspændt bjælke I dette afsnit vil bjælken placeret under facadevæggen (modullinie D) blive dimensioneret, se gur A.1. Figur A.1 Placering af bjælkei kælder. Bjælken dimensioneres ud fra, at den

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

EMSD 7 Gr. 15 Aalborg Universitet

EMSD 7 Gr. 15 Aalborg Universitet Elektro Mekanisk System Design EMSD 7 Gr. 15 Aalborg Universitet Institut for EnergiTeknik Pontoppidanstræde 101, 9220 Aalborg Øst Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet M-sektoren

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

Nordisk innovation Porduktkatalog

Nordisk innovation Porduktkatalog Nordisk innovation Porduktkatalog ROTTESPÆR TX11 STOPPER ROTTErne FØR DE GØR SKADE VA-godkendt på Teknologisk Institut Fra Ø100 til Ø200mm, også til strømpeforet rør i ovenstående dimensioner Udført i

Læs mere

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Materialeparametre ved dimensionering Lidt historie Jernbeton (kort introduktion)

Læs mere

Figur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol

Figur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol 0.1 Aerodynamik 0.1. AERODYNAMIK I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 27. maj 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

210/HR21. Servicemanual til kæde. .com. Niftylift Limited Fingle Drive Stonebridge Milton Keynes MK13 0ER England. i n f o @ n i f t y l i f t.

210/HR21. Servicemanual til kæde. .com. Niftylift Limited Fingle Drive Stonebridge Milton Keynes MK13 0ER England. i n f o @ n i f t y l i f t. 210/HR21 Servicemanual til kæde i n f o @ n i f t y l i f t. c o m.com M50286/02 Niftylift Limited Fingle Drive Stonebridge Milton Keynes MK13 0ER England www.niftylift.com e-mail: info@niftylift.com Tel:

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2.

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2. Ohms lov Vi vil samle os en række byggestene, som kan bruges i modelleringen af fysiske systemer. De første to var hhv. en spændingskilde og en strømkilde. Disse elementer (sources) er aktive og kan tilføre

Læs mere

rottespærre tx11 stopper rotterne før de GØr skade

rottespærre tx11 stopper rotterne før de GØr skade PRODUKTKATALOG rottespærre tx11 stopper rotterne før de GØr skade va-godkendt på teknologisk institut fra Ø100 til Ø250mm, også til strømpeforet rør i disse dimensioner Udført i rustfrit, bejdset stål

Læs mere

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold Indhold Arealberegning... 2 Kvadrat/rektangulær... 2 Rektangel... 2 Kvadrat... 2 Cirkel... 2 Omkredsberegning... 3 Kvadrat/rektangulær... 3 Rektangel... 3 Kvadrat... 3 Cirkel... 3 Rumfangsberegning...

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Stop cylinderen rigtigt i endestillingen Af Peter Windfeld Rasmussen

Stop cylinderen rigtigt i endestillingen Af Peter Windfeld Rasmussen Stop cylinderen rigtigt i endestillingen Af Peter Windfeld Rasmussen I nogle applikationer skal en cylinder køres helt i bund ved høj hastighed. For at afbøde det mekaniske chok kan alle cylinderleverandører

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

8. Jævn- og vekselstrømsmotorer

8. Jævn- og vekselstrømsmotorer Grundlæggende elektroteknisk teori Side 43 8. Jævn- og vekselstrømsmotorer 8.1. Jævnstrømsmotorer 8.1.1. Motorprincippet og generatorprincippet I afsnit 5.2 blev motorprincippet gennemgået, men her repeteres

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Indledning BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk I dette notat gennemregnes som eksempel et

Læs mere

Dimensionering af samling

Dimensionering af samling Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton 10.3 E-modul Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen Forskellige materialer har forskellige E-moduler. Hvis man fx placerer 15 ton (svarende til 10 typiske mellemklassebiler) oven på en

Læs mere

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

NMT - /40, 60, 80 NMT ER - /40, 60, 80 EGHN SMART - /60

NMT - /40, 60, 80 NMT ER - /40, 60, 80 EGHN SMART - /60 NMT - /40, 60, 80 NMT ER - /40, 60, 80 EGHN SMART - /60 Instruktion Installation 7340041 IMP Pumper erklære at disse produkter er i overensstemmelse med følgende EU-direktiver: CE Overensstemmelseserklæring

Læs mere

GRUNDLÆGGENDE MATERIALELÆRE OG FORARBEJDNING 4. kursusgang

GRUNDLÆGGENDE MATERIALELÆRE OG FORARBEJDNING 4. kursusgang GRUNDLÆGGENDE MATERIALELÆRE OG FORARBEJDNING 4. kursusgang GRUNDLÆGGENDE MATERIALELÆRE OG FORARBEJDNING Dagens emner: Repetition fra 3. kursusgang Teoretisk styrke Mikrostrukturelle påvirkninger Punktfejl

Læs mere

Hårde nanokrystallinske materialer

Hårde nanokrystallinske materialer Hårde nanokrystallinske materialer SMÅ FORSØG OG OPGAVER Side 54-59 i hæftet Tegnestift 1 En tegnestift er som bekendt flad i den ene ende, hvor man presser, og spids i den anden, hvor stiften skal presses

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Rapport udarbejdet af Lars S. Søndergaard Henrik S. Olesen DELTA DELTA Venlighedsvej 4 2970 Hørsholm Danmark Tlf. +45 72 19 40 00 Fax +45 72 19

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Indre modstand og energiindhold i et batteri

Indre modstand og energiindhold i et batteri Indre modstand og energiindhold i et batteri Side 1 af 10 Indre modstand og energiindhold i et batteri... 1 Formål... 3 Teori... 3 Ohms lov... 3 Forsøgsopstilling... 5 Batteriets indre modstand... 5 Afladning

Læs mere

produkt datablad med AISI 316 bolte Max 5 bar Tryk

produkt datablad med AISI 316 bolte Max 5 bar Tryk OP1300 link seal med AISI 316 bolte Tryk Max 5 bar Temp. Type A4 (EPDM sort) -40ºC til +110º Type B-A4 (EPDM blå) -40ºC til +110º Type O-A4 (Nitril grøn) -40ºC til +110º Type T-8.8 (Silikone grå) -55ºC

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4 El-Teknik A Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen Klasse 3.4 12-08-2011 Strømstyrke i kredsløbet. Til at måle strømstyrken vil jeg bruge Ohms lov. I kredsløbet kender vi resistansen og spændingen.

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse VIBRO CONSULT Palle Aggerholm Tilstandskontrol ved hjælp af vibrationsanalyse Et minikursus med særlig henvendelse til vindmølleejere Adresse: Balagervej 69 Telefon: 86 14 95 84 Mobil: 40 14 95 84 E-mail:

Læs mere

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V.

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V. For at svare på nogle af spørgsmålene i dette opgavesæt kan det sagtens være, at du bliver nødt til at hente informationer på internettet. Til den ende kan oplyses, at der er anbragt relevante link på

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

MATEMATIK A. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl GL083-MAA. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet

MATEMATIK A. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl GL083-MAA. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK A Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAA 574604_GL083-MAA_12s.indd 1 16/01/09 15:46:23 Matematik A Prøvens varighed

Læs mere

Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler

Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler M. P. Nielsen Thomas Hansen Lars Z. Hansen Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Rapport BYG DTU R-113 005 ISSN 1601-917 ISBN 87-7877-180-3 Forord Nærværende

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere