1. Værktøjerne - Indledning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1. Værktøjerne - Indledning"

Transkript

1 1 1. Værktøjerne - Indledning Alle ved i dag hvad usikkerhed er: En kvalitetsangivelse for en talværdi! Usikkerheder kan ikke regnes ud, de kan kun estimeres! Usikkerheden betegnes med U. Alle har hørt om usikkerhedsbudgetter: En formelt opstillet dokumentation for en estimeret usikkerhed! Alle ved, at der i et usikkerhedsbudget indgår et antal usikkerhedskomponenter (bestemt som standardafvigelser), som stammer fra et tilsvarende antal usikkerhedskontributorer. Alle har hørt om GUM (Guide to the expression of uncertainty in measurement), udgivet i GUM har i Danmark fået betegnelsen DS/INF 94 og titlen Retningslinier for fastlæggelse af måleusikkerhed. DS/INF 94 er engelsk sproget og er ikke og vil ikke blive oversat til dansk. GUM er i dag hele verdens accepterede teoribog, der beskriver filosofien i og fastlægger principperne for den sande usikkerhedsestimeringsmetode samt giver den korrekte måde at angive usikkerhed på. GUM henhører i dag under et internationalt organ Joint Committe for Guides in Metrology (JCGM), hvori der sidder repræsentanter for syv verdensomspændende organisationer, alle med en stærk relation til metrologi. GUM må betragtes som den ultimative teoribog, som ikke er særlig velegnet til praktisk brug i industrien. Ovennævnte skal der ikke gøres mere ud af i dette foredrag!! - Det er jo kendt stof. Til praktisk brug ved usikkerhedsestimering og budgettering findes der i dag et antal praktiske vejledninger, der bygger på det grundlag, som er givet i GUM. Såkaldte Secondary Guides. De er alle udviklet til brug indenfor et afgrænset fagligt område. Hvor GUM i sig selv kan være brugbar på områder med høj teoretisk viden og med store krav til en meget nøjagtig estimering af usikkerheden, så er de praktiske vejledninger specielt tilpasset mere jordnære tekniske anvendelser i de lavere lag i det måletekniske hierarki. En af disse praktiske vejledninger er udviklet i ISO/TC 213 specielt til brug i forbindelse med målinger af Geometriske ProduktSpecifikationer (GPS). Vejledningen findes i et DS/EN ISO dokument med betegnelsen: ISO/TS : Geometriske produktspecifikationer (GPS) - Inspektion ved måling af emner og måleudstyr Del 2: Vejledning til brug ved estimering af usikkerhed ved GPS måling, ved kalibrering af måleudstyr og ved produktverifikation Som betegnelsen TS viser udsendes denne part af ISO pga. indholdets karakter og nye principper, som en Teknisk Specifikation (TS). Omfanget er mere end 70 sider. Grundlaget for den usikkerhedsestimeringsmetode, som anbefales og gennemgås i ISO/TS , er i fuld overensstemmelse GUM. ISO/TS går skridtet videre end GUM. Den er udformet som en egentlig vejledning: Gør sådan, gør sådan,.... Den indeholder en total instruktion i usikkerhedsestimering, udpeger mulige usikkerhedskontributorer, gennemgår metoder til estimering

2 af usikkerhedskomponenternes størrelse på standardafvigelsesniveau, sammenlægning af disse til kombineret standardusikkerhed uc, opskalering til udvidet usikkerhed U, osv. I ISO/TS findes herudover en detaljeret procedure for hvordan man i praksis får opstillet et usikkerhedsbudget opdelt i punkter, der kronologisk beskriver de aktivitetstrin der skal gennemføres. Der er mere end 30 sider med eksempler. Integreret i ISO/TS findes en særlig metode, den såkaldte PUMA-metode (Procedure for Uncertainty MAnagement). PUMA er en iterativ metode til estimering af usikkerhed, som tager sit udgangspunkt i økonomiske hensyn (kr.) - og ikke i tekniske hensyn (µm). Ideen bag PUMA-metoden er, at det er for kostbart - og i de fleste tilfælde også helt unødvendigt - at bestemme den "sande" værdi af usikkerheden. Der er jo også usikkerhed på usikkerheden! Ved at sørge for at "fejlen/usikkerheden" på usikkerheden altid gør den estimerede usikkerhedsværdi for stor, kan alle estimerede usikkerhedsværdier anvendes til at træffe beslutninger med. Beslutninger, som ikke er forkerte, hvis principperne i ISO anvendes, og uanset hvor stor "fejlen/usikkerheden" på usikkerheden måtte være. DS udsendte i juni 1999 DS/EN ISO m. dansk og engelsk tekst. Dette betyder at man kan vælge - med et lavt tidsforbrug og dermed lave omkostninger - at estimere en usikkerhed, som er for stor eller vælge med et stort tidsforbrug og høje omkostninger at estimere en usikkerhed, der er meget nærmere ved den sande usikkerhed. Men begge er brugbare til at sikre, at beslutningerne baseret på måltal og usikkerhed bliver korrekte. Størrelsen af usikkerheden på usikkerheden kan via iterationerne justeres ned til en størrelse, så økonomien samtidig optimeres. PUMA-metoden har via iterationerne og andre tiltag så mange forenklinger, at den er let og overkommelig at anvende, og den vil i sin yderste konsekvens altid give den samme værdi for usikkerheden som teoribogen GUM - hvis man ofrer ressourcer (kroner) nok! PUMA-metoden kan også betragtes som en fremgangsmåde til udvikling af økonomisk optimale måle- og kalibreringsprocedurer, der matcher en på forhånd besluttet/evalueret økonomisk optimal "Target usikkerhed" UT, som er fastlagt ved at vurdere og minimere de samlede omkostninger ved måling og produktion under ét, se figur 1. På figur 3 er PUMA-metoden vist grafisk. PUMA-metoden har vist sig at være både teknisk og økonomisk effektiv. Der bliver flyttet mange vaneforestillinger, og der kommer netto penge i kassen, når PUMA-metoden anvendes i en virksomhed. Langt den største del af siderne i ISO/TS er anvendt til at give eksempler på usikkerhedsbudgettering vha. af PUMA-metoden ved såvel måling af emner som kalibrering af udstyr. Eksemplerne viser også flere andre - og måske langt vigtigere - anvendelser af usikkerhedsbudgettering end blot det at udregne måleusikkerhedens talværdi. ISO/TS er offentlig tilgængelig i Danmark i DS håndbog (i en engelsk sproget DIS-version). Den endelige version trykkes - efter mange tekniske hindringer - af ISO i Genève i august En dansksproget version (DS) vil være på markedet ved årsskiftet 1999/

3 ISO serien om beslutningsregler og usikkerhed har endnu to standarder i støbeskeen. Del 3 beskriver en metode til auditering af en usikkerhedsangivelse og det tilhørende usikkerhedsbudget. Del 3 kunne også hedde: Hvordan bliver man enige om en usikkerhedsværdi. Se flere detaljer i afsnit 8 i dette skrift. Del 4 bliver en uddybende forklaring til, hvordan del 1, 2 og 3 anvendes i en virksomhed. 3 Total pris [økonomiske enheder] Total pris Målepris Fremstillingspris Fremstillingspris Målepris 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 UT R = U/S Figur 1 - Fastlæggelse af Targetusikkerheden UT for en måleproces Given måleproces 4 1 Given måleopgave Måleprincip 3 Målemetode Måleprocedure 5 Usikkerhedsbudget 7 8 Antagelser viden etc. Endelig måleusikkerhed Usikkerhedsmodellering 9 Usikkerhedskomponenter U EN = k x u A Ændring af U EN mulig og nødvendig Målebetingelser 6 Ændre: Antagelser og/eller modellering og/eller øge viden 12 Figur 2 - PUMA-metoden anvendt på en eksisterende måleprocedure/-proces

4 Figur 3 - PUMA-metoden anvendt til udvikling og optimering af en måleproces 1 Måleopgave Targetusikkerhed U T (politisk) 2 Metrologisk Bekræftelsessystem Kalibreringssystem Målemetode Usikkerhedsbudget Aantagelser Måleprincip Måleprocedure viden etc. Målebetingelser 4 6 Ændre: Måleopgave eller Target usikkerhed Ændre: Måleprincip Usikkerheds modellering Ændre: Betingelser og/eller procedure og/eller metode 14 Check normal Usikkerheds komponenter Ændre: Antagelser og/eller modellering og eller øg viden U = k x u EN 18 A U < U EN T B Ændring af U mulig EN C Ændring af U mulig EN eller eller D Ændring af U mulig EN E Ændring af U mulig EN PUMA eller 11 Egnet måleprocedure 16 Ingen egnet måleprocedure er mulig 4

5 2. PUMA-metoden - Forudsætninger - Kort overblik 5 Usikkerhed knytter vi - af gammel vane - umiddelbart og udelukkende til aktiviteten måling, måleusikkerhed. Men det er ikke hele sandheden om begrebet usikkerhed. Når vi måler er det som regel fordi der findes en specifikation, og hvor måleresultatet har til formål at fortælle om emnet, der måles, opfylder specifikationen - eller ikke gør det. En specifikation er lavet for at sikre at en ønsket funktion i emnet er til stede. I en sådan situation opstår der to nye usikkerheder, der teknisk, økonomisk og kvalitetsstyringsmæssigt ofte er langt mere interessante end måleusikkerheden - fordi de to nye usikkerheder ofte er lige så store eller større end måleusikkerheden: S Korrelationsusikkerheden - der udtrykker hvor godt den valgte specifikation korrelerer (hænger sammen med) den ønskede funktion S Specifikationsusikkerheden - der udtrykker hvor entydig den pågældende specifikation er udtrykt I industriel sammenhæng - og i de fleste andre situationer - er det ikke specifikationen, der er konstruktørens formål, men emnefunktionen, der er det vigtige, og som derfor skal vurderes og styres (kvalitetsstyres). Begrebet usikkerhed kan altså dække over flere ting end måleusikkerhed, afhængig af hvad vi ønsker at styre med målingen og udtrykke usikkerheden på: S Måleusikkerheden - er relevant, når det kun er måleresultatets kvalitet, der skal vurderes. I industriel sammenhæng er måleusikkerheden alene kun relevant, når to måleresultater opnået under helt ensartede betingelser skal sammenlignes. Den ansvarlige for måleusikkerheden er målefunktionen i virksomheden S Måleusikkerheden + Specifikationsusikkerheden - er relevant, når det er emnets overholdelse af en specifikation der skal vurderes. Det er ikke (økonomisk) optimalt at have en lille måleusikkerhed og en stor specifikationsusikkerhed. I industriel sammenhæng er denne situation relevant for f.eks. en underleverandør. Underleverandøren har ikke kendskab til hvor godt de angivne specifikationer beskriver/styrer emnefunktionen. Den ansvarlige for Specifikationsusikkerheden er konstruktionsfunktionen i virksomheden. S Måleusikkerheden + Specifikationsusikkerheden + Korrelationsusikkerheden - er relevant, når det er emnets overholdelse af den ønskede funktion, der skal vurderes. I industriel sammenhæng er denne situation for alle virksomheder, der udvikler/konstruerer og udarbejder specifikationer for produkter. De ansvarlige for Korrelationsusikkerheden er udviklings- og konstruktionsfunktionen i virksomheden.

6 Som illustreret er det ikke kun usikkerhedskontributorer fra selve målingen, der har industriel interesse. Om korrelations- og specifikations-usikkerhedsbidrag skal medtages i et usikkerhedsbudget, det afhænger helt af hvor og med hvilket formål en måling udføres. Hvis kun usikkerhedsbidragene fra selve målingen indgår i usikkerhedsbudgettet,vil dette i de fleste tilfælde medføre et falsk billede af situationen. Virksomheden vil med stor sikkerhed spilde ressourcer på at måle det forkerte med stor præcision og med store omkostninger - og det kommer der ikke nødvendigvis gode produkter ud af, kun ét er sikkert - det bliver dyrt. PUMA kan uden videre klare at medtage usikkerhedsbidragene fra både korrelations- og specifikationsusikkerhederne. I det følgende anvendes ordene usikkerhed og måleusikkerhed synonymt. Anvendelse af ordet måling dækker også ordet kalibrering(småling). Det skal understreges, at måleusikkerheden kun kan "udregnes" for ét måltal (eller én funktion af måltal) ad gangen. Det er nødvendigt først at definere den egenskab, der skal måles. Ofte er det definitionen af den specifikation, der findes på tegningen. Denne definition udgør den konventionelt sande værdi, som måltallet skal sammenlignes med. Måltallet skal være defineret ved bl.a. en (tilstrækkelig) detaljeret beskrivelse af måleproceduren, målebetingelserne, formålet med måltallet, hvor lang en tidsperiode usikkerheden skal gælde for og kendskab til det anvendte måleudstyr samt til det emne, der måles på. Dette gælder uanset, om man anvender den "teoretiske" GUM-metode eller en forenklet fremgangsmåde. Uden at disse forudsætninger er til stede - og er nævnt eksplicit i usikkerhedsbudgettet - er et måleusikkerhedstal helt uden mening - det er noget frit svævende vrøvl! - og kan kun medføre ulykker og ekstra udgifter. I forhold til den "teoretiske" GUM-metode er der, i PUMA-metoden, beskrevet i ISO/TS , foretaget en række antagelser og forenklinger. Antagelser og forenklinger i PUMA i forhold til GUM: - Usikkerheden estimeres i en iterationsproces, der normalt består af mindst to iterationer. - Usikkerhedskomponenter bestemmes/udtrykkes som standardafvigelser. - Usikkerhedskomponenter estimeres altid for højt. - Den/de første iterationer betjener sig, så langt det overhovedet er muligt, kun af B- evaluering af usikkerhedskomponenter og "lagerværdier" af A-evaluerede komponenter. A-evalueringer kan være nødvendige. B-evalueringerne foretages ud fra grænseværdier for variation (a-værdier), antagelser om fordelingstype (kun tre fordelingstyper anvendes: Gauss, Rektangulær og U-formet fordeling) og omregning til standardafvigelse fra grænseværdierne. - Der anvendes forenklede formler for sammenlægning af usikkerhedskomponenter til kombineret usikkerhed (combined standard uncertainty). - Der anvendes kun tre typer korrelation - korrelations-koefficient-værdier r = 0, 1 og -1, svarende til ikke korreleret, fuldt korreleret og fuldt negativ korreleret. - Der anvendes sikkerhedsfaktor (coverage factor) k = 2 for at beregne usikkerhedsgrænsen (expanded uncertainty) U ud fra den af sammenlægningsformlen beregnede kombinerede måleusikkerhed (combined standard uncertainty) u. 6

7 2.1 PUMA-metodens anvendelse til allerede fastlagte måleprocedurer 7 PUMA-metoden kan selvfølgelig anvendes til usikkerhedsestimering af måleresultater fra allerede fastlagte måleprocedurer - se figur Usikkerhedsstyring af konstruktion og udvikling af en måleproces/måleprocedure Usikkerhedsstyring udføres i dette tilfælde for at udarbejde en egnet/tilfredsstillende måleprocedure (måling af de geometriske egenskaber ved et emne eller måling af de metrologiske egenskaber i et måleudstyr (kalibrering)). Usikkerhedsstyring foretages på baggrund af en defineret måleopgave (kasse 1 i figur 3) og en given targetusikkerhed, UT (kasse 2 i figur 3). Definition af måleopgaven og targetusikkerheden beror på virksomhedspolitiske beslutninger, som skal træffes på et tilpas højt ledelsesniveau. En egnet måleprocedure er en procedure, som resulterer i en estimeret måleusikkerhed, som er mindre end eller lig med targetusikkerheden. Hvis den estimerede måleusikkerhed er meget mindre end targetusikkerheden, er måleproceduren måske ikke (økonomisk) optimal til udførelse af måleopgaven (dvs. måleprocessen er for bekostelig). Baseret på en given måleopgave (kasse 1) og en given targetusikkerhed UT (kasse 2) omfatter PUMA følgende (se figur 3): a) Vælg måleprincippet (kasse 3) - på grundlag af erfaring og mulige måleinstrumenter, som findes i virksomheden. b) Opstil og dokumentér en foreløbig målemetode (kasse 4), måleprocedure (kasse 5) og målebetingelser (kasse 6) - på grundlag af erfaring og kendte muligheder i virksomheden. c) Foretag en første iteration fortrinsvist baseret på en black-box model for usikkerhedsestimeringsprocessen og opstil et foreløbigt usikkerhedsbudget (kasse 7-9), som fører til den første grove estimering af den udvidede usikkerhed, UE1 (kasse 10). Alle estimeringer af usikkerheder UEN foretages som øvre grænseestimeringer. d) Sammenlign den først estimerede usikkerhed, UE1, med den givne targetusikkerhed, UT (kasse A). d.1) Hvis UE1 er acceptabel (dvs. hvis UE1 < UT), så har usikkerhedsbudgettet fra første iteration vist, at måleproceduren er egnet til måleopgaven (kasse 11). d.2) Hvis UE1 << UT, så er måleproceduren teknisk acceptabel, men der kan være en mulighed for at ændre metoden og/eller proceduren (kasse 13) med henblik på at gøre måleprocessen mere rentabel, ved at usikkerheden øges. En ny iteration er så nødvendig for at estimere den deraf resulterende måleusikkerhed, UE2 (kasse 10). d.3) Hvis UE1 ikke er acceptabel (dvs. hvis UE1 > UT), fortsætter iterationsprocessen - eller det konkluderes, at en egnet måleprocedure ikke er mulig. e) Før den nye iteration foretages, analyseres den relative størrelse på usikkerhedskontributorerne. I mange tilfælde dominerer nogle få usikkerhedskomponenter den kombinerede standardusikkerhed og den udvidede usikkerhed.

8 f) Hvis UE1 > UT, så ændr antagelserne, modelleringen eller øg viden om usikkerhedskomponenterne (kasse 12), så der kan foretages en mere nøjagtig (se 3.5 i VIM) øvre grænse -estimering af de største (mest dominerende) usikkerhedskomponenter. g) Foretag den anden iteration af usikkerhedsbudgettet (kasse 7-9), som fører til den anden, mindre og mere nøjagtige (se 3.5 i VIM) øvre grænse -estimering af måleusikkerheden, UE2 (kasse 10). h) Sammenlign den anden estimerede usikkerhed UE2 med den givne targetusikkerhed, UT (kasse A). 8 h.1) h.2) Hvis UE2 er acceptabel (dvs. hvis UE2 < UT), så har usikkerhedsbudgettet for anden iteration vist, at måleproceduren er egnet til måleopgaven (kasse 11). Hvis UE2 ikke er acceptabel (dvs. hvis UE2 > UT), så er det nødvendigt med en tredje (eller måske flere) iteration(er). Ny analyse af usikkerhedskontributorerne (supplerende ændringer af antagelserne, modelleringen og øge viden (kasse 12)) og koncentrer indsatsen om de nu største usikkerhedskontributorer. i) Når alle muligheder har været anvendt for at foretage mere nøjagtige (lavere) øvre grænse -estimeringer af måleusikkerhederne uden at komme frem til en acceptabel måleusikkerhed UEN < UT, så er det nødvendigt med en ændring af målemetoden, af måleproceduren eller af målebetingelserne (kasse 13) for (om muligt) at nedbringe størrelsen af den estimerede usikkerhed, UEN. Iterationsprocessen starter igen med en første iteration. j) Hvis ændringer i målemetode, måleprocedure eller målebetingelser (kasse 13) ikke fører til en acceptabel måleusikkerhed, består den sidste mulighed i at ændre måleprincippet (kasse 14) og starte ovennævnte proces igen. k) Hvis ændring af måleprincippet og de dertil relaterede iterationer beskrevet ovenfor ikke fører til en acceptabel måleusikkerhed, er den sidste mulighed at ændre måleopgaven og/eller targetusikkerheden (kasse 15) og starte ovennævnte procedure igen. m) Hvis ændring af måleopgave eller targetusikkerhed ikke er mulig, er det påvist, at en egnet måleprocedure ikke findes (kasse 16). 3 Generelt om evaluering af usikkerhedskomponenter Usikkerhedsbudgettet og starten på estimering af usikkerhedskomponenter i PUMAmetoden bør altid starte som en type B evaluering. Gæt højt - skab en billig og hurtig øvre-grænse-løsning - for at skabe overblik over hvor stor en arbejdsindsats, der skal sættes ind og hvor. Det at gætte ( skyde fra hoften ) er hurtigt og billigt, men det giver en for høj værdi. I denne første iterationsrunde kan navngivning og dokumentationen passende udføres som en første skitse. Brug listerne over de 10 kilder til fejl og usikkerheder (i ISO/TS ) som en indholdsfortegnelse til at vurdere, hvad der kan være og er gået galt - og hvor meget. Betragt enhver måleproces på sin mest enkle form - bestående af tre elementer, der alle bidrager m. usikkerhedskomponenter (se figur 4):

9 - Én referenceaflæsning (ofte et nul-punkt) 9 - En flytning, hvor måleudstyret anvendes til at "måle" afstanden mellem referencepunkt og "måle"-punkt - Én aflæsning i målepunktet Usikkerhedskomponenterne for hver af de tre elementer opskrives. Strategien er således: Er den for store værdi af den estimerede usikkerhed lille nok, så er vi færdige med det usikkerhedsbudget. Budgettet er dokumenteret - på tekstbehandling - så det er også nemt at ændre, hvad der jo almindeligvis er nødvendigt. Det er trods alt de færreste usikkerhedsbudgetter, hvor det er nok blot at gætte højt. Anden iteration kan nu foregå ud fra et allerede kendt niveau på måleusikkerheden. Det er derfor let at se hvilke usikkerhedskomponenter, det kan betale sig at arbejde videre med. Det er dels dem, der er store, og som derfor dominerer den resulterende usikkerhed, dels de der er lidt mindre, men måske prismæssigt billige at få ned i størrelse ved en "tættere" vurdering - eller måske fjerne helt ved en ændring af proceduren. Denne fase, hvor der itereres (det kan godt dreje sig om flere runder af iteration), er det tidspunkt, hvor der ændres konsekvensmæssigt på måle- eller kalibreringsinstruktionen. Det er jo reelt det eneste middel til at ændre en måleusikkerhed. Der kan blive tale om både at øge måleusikkerheden (og herved spare penge), men det er nok de 99% af tilfældene, hvor måleusikkerheden nødvendigvis skal nedsættes. 3.1 Betydningen af måleusikkerhedskomponenters relative størrelse Måleusikkerhedskomponenterne, man finder frem til under en usikkerhedsbudgettering, er normalt ikke lige store. Der er,altid én der er den største. Da der som oftest er tale om kvadratisk sammenlægning af standardafvigelserne, får mindre komponenter (i forhold til den største) ikke nogen betydning. Hvor lidt de mindre betyder kan illustreres med et par eksempler. Eksempel 1: u 1 = 1 og u 2 = 0,2 Y u 2 = 1,04 og u = 1,02 Eksempel 2: u 1 = 1 og u 2 = 0,3 Y u 2 = 1,09 og u = 1,04 dvs. vi kan med sindsro se bort fra alt der er under ca % af den største usikkerhedskomponent! med mindre der er mange komponenter af denne størrelse. Det betyder også, at hvis der ikke er tale om vurderingen af den største af usikkerhedskomponenterne, så betyder et endog meget groft (forkert) gæt intet for slutresultatet, den kombinerede måleusikkerhed u. I iterationsprocessen betyder det, at der efter første iteration, hvor størrelsesforskellene kommer frem, normalt kun vil være én eller to usikkerhedskomponenter tilbage, som det er noget værd at beskæftige sig med og bestemme mere korrekt. Der ligger altså en meget stor arbejdsbesparelse i den viden, der fremkommer, i den første hurtige og grove iteration.

10 10 4 Generelt om dokumentation af usikkerheder Begrundelsen for at følge den standardprocedure, som er beskrevet i det følgende - og som måske ved første øjekast kan virke vel grundig - er, at det har vist sig at være nødvendigt for at kunne opstille et realistisk usikkerhedsbudget, og at det er nødvendigt, at der foretages en dokumentation af alle usikkerhedskomponenterne, antagelserne mv., for bare at have en chance for ved en senere lejlighed, at gå ind og ændre på usikkerhedsbudgettet, uden at skulle lave hele arbejdet en gang til. Kommer man da nogensinde tilbage til et usikkerhedsbudget? altid! Usikkerhedsbudgettets første rolle - efter at det er etableret - er at anvende det til en kontrol af den kalibreringsprocedure eller den måleprocedure, som budgettet er den usikkerhedsmæssige (kvalitetsmæssige) konsekvensberegning af. Det vil med usikkerhedsbudgettet afsløres, om proceduren er for god (dyr), dvs. at usikkerheden er mindre end nødvendigt - eller om proceduren er for dårlig, dvs. at usikkerheden er for stor (det bliver normalt endnu dyrere!). Det er en naturlov! - at nøjagtighedskravene til måle- og kalibreringsprocesser ganske langsomt og efterhånden sættes i vejret. Somme tider stiger kravene til nøjagtigheden endda hurtigt og i spring, f.eks. når der kommer nye produkter eller kunder - eller når virksomheden skal certificeres!!! Der er derfor til stadighed brug for at vende tilbage til usikkerhedsbudgettet, der i sine usikkerhedskomponenter, deres størrelse og -arter indeholder informationen om, hvordan man rationelt og økonomisk optimalt forbedrer sin målenøjagtighed - gør sin måleusikkerhed mindre - ved at ændre de "rigtige" usikkerhedskomponenter. Endnu mere nødvendige bliver usikkerhedsbudgetterne og dokumentationen af usikkerhedskomponenterne, når der er tale om en kalibreringskæde med flere led indenfor virksomheden. Det er så ikke kun én måle- eller kalibreringsproces, man skal have fat i, men en helhedsvurdering af hele kædens usikkerhedsbudgetter, der skal foretages, for at finde frem til, hvor det teknisk og økonomisk er fordelagtigst at lave forbedringerne. For at få den økonomiske effekt med, når der skal foretages ændringer af usikkerhedsbudgetter og instruktioner for måling og kalibrering, kan man forsøge at vurdere hvor meget det vil koste at sænke den kombinerede måleusikkerhed u med et antal % (f.eks. 5, 10 eller 20%) - alene ved at gøre det med hver enkelt usikkerhedskomponent. Man får så en vurdering - i kr. - af de enkelte usikkerhedskomponenters økonomiske indflydelse på sænkningen af den resulterende måleusikkerhed, så man har et grundlag for at vælge den billigste fremgangsmåde til at sænke den kombinerede usikkerhed. Det behøver ikke at være den samme usikkerhedskomponent, som er økonomisk optimal at gøre mindre, som den, der ville blive valgt som den "rigtige", alene ud fra en teknisk synsvinkel. - Hvordan dokumenteres et usikkerhedsbudget - Kan en indirekte målemetode betragtes som en direkte ved usikkerhedsbudgettering? - det må afhænge af detaljeringsgraden i analysen/usikkerhedsbudgettet. F.eks. et elektrisk termometer kan betragtes både som en indirekte målemetode og en direkte. Det hænger måske også på influensfaktorernes størrelse i forhold til den ønskede usikkerhed

11 11 5 Standardprocedure for opstilling og dokumentation af et usikkerhedsbudget - Black box målemetoder 5.1 Opstilling af forudsætninger for usikkerhedsbudgettet - indledende aktiviteter (se figur 3) Det er kun muligt at opstille et usikkerhedsbudget hvis: - Måleopgaven er kendt i detaljer og er ordentlig defineret (box 1 på figur 3) - Et måleusikkerhedsbudget laves for ét måleresultat (én måleværdi). En enkelt måling kan tages som repræsentant for en gruppe af resultater - Måleprincippet er kendt og defineret (box 3 på figur 3) - Målemetoden er kendt og defineret - eller i det mindste kendt på skitseniveau (box 4 på figur 3) - Måleprocedure er ordentlig og tilstrækkelig detaljeret fastlagt og dokumenteret - eller i det mindste kendt som en skitse ( box 5 på figur 3) - Måleproceduren inkluderer valg af måleudstyr - Måleproceduren indeholder alle (relevante) detaljer om hvordan måleudstyr og måleobjekt skal håndteres under målingen. Måleusikkerhedsbudgettet er en spejlfunktion af alle aktiviteter og trin i proceduren - Målebetingelserne er defineret og kendt (box 6 på figur 3) - eller i det mindste kendt som "antagelser" Vær opmærksom på at enhver måling vil inkludere de tre trin (1, 2 og 3), der er vist på figur 4. NOTES1) Reference punkt (ofte nul-punkt) 2) Måle punkt 3) Måleudstyrets bevægelse/vandring A) Referencepunktets usikkerhedsområde B) Målepunktets usikkerhedsområde Figur 4 Forenklet model af de tre elementer, der altid indgår i en måling 5.2 Standardprocedure for usikkerhedsbudgettering Standardproceduren for opstilling af et usikkerhedsbudget efter PUMA-metoden er vist i det følgende:

12 U.1 Definer den totale måleopgave og de basale målinger/måleresultater, der indgår - og for hvilken usikkerhedsbudgettet skal fremstilles. 12 Dokumentér Target usikkerheden U T U.2 Dokumentér - Måleprincip - Målemetode - Måleprocedure - Målebetingelser Hvis de ikke er kendt fuldt og helt, så vælg og dokumentér foreløbigt princip, metode, procedure og betingelser U.3 Tegn et blokdiagram (eller en skitse) af måleopstillingen. U.4 Dokumentér måltallets matematiske afhængighed af inputstørrelserne. U.5 Lav en foreløbig liste (skema) over alle usikkerhedskomponenter. Kolonne 1 Kolonne 2 Kolonne 3 Kolonne 4 Betegnelse Betegnelse Navn Bemærkninger u XX u X1 Del Navn X1 Diskussion og bemærkninger - bla., bla. u X2 Del Navn X2 Diskussion og bemærkninger - bla., bla. u X3 Del Navn X3 Diskussion og bemærkninger - bla., bla. Navn XX Diskussion og bemærkninger - bla., bla. u YY Navn YY Diskussion og bemærkninger - bla., bla. u ZZ Navn ZZ Diskussion og bemærkninger - bla., bla. u QQ Navn QQ Diskussion og bemærkninger - bla., bla. U.6 Lav en usikkerhedsmodel - baseret på den viden der er til rådighed For hver usikkerhedskomponent: - Beslut evalueringsmetoden (A eller B) - Dokumentér og argumenter vedr. evalueringen af usikkerhedskomponentens værdi, baggrund, osv.: - Hvis A-evaluering, dokumentér data og betingelser, antal målinger, mv. - Hvis B-evaluering, dokumenter grænseværdier, den skønnede fordeling og usikkerhedskomponentens værdi

13 U.7 Vurder alle usikkerhedskomponenter for evt. korrelation til andre. 13 U.8 Indsæt i de relevante formeludtryk og beregn den kombinerede standard måleusikkerhed u - på standardafvigelsesniveau. U.9 Beregn Udvidet usikkerhed/usikkerhedsgrænsen U U.10 Tabelopstilling af hele usikkerhedsbudgettet. Konklusioner på iterationen. 6 Dokumentationsmetoden for et usikkerhedsbudget - Transparent box målemetode Transparent box målemetodens usikkerhedsbudget kan ikke udtrykkes så enkelt og med så få tal som en black-box målemetode. I transparent-box målemetodens usikkerhedsbudget skal i princippet regnes igennem i hvert eneste målepunkt, da de partielle afledede antager nye og helt forskellige værdier i for hver kombination af målestørrelserne, der indgår. Et sådant måleusikkerhedsbudget - og dets resultater dokumenteres bedst som en kurveskare eller et flerdimensionalt plot, afhængigt af hvor mange funktioner, der indgår. Allerede ved tre indgående målinger i den indirekte måling begynder vanskelighederne at melde sig med en sober afbildning - og måske også problemer med overblikket. Komponent navn Antal målinger Evalueringstype Fordelingstype Variationsgrænse a [µm] Variationsgrænse a* [influens enheder] Korrelation koefficient Fordelingsfaktor b Usikk. Komp. u XX [µm] u Xa Navn for Xa A ,60 u Xb Navn for Xb B Gauss 1,90 1,90 0 0,5 0,95 u Xc Navn for Xc B Rektang. 3,42 3,42 0 0,6 2,05 u Ya Navn for Ya A ,20 u Yb Navn for Yb A ,60 uz a Navn for Za B U 1,57 10 C 0 0,7 1,10 u Zb Navn for Zc B U 0,60 15 C " 1 /" 2 = 1,1 0 0,7 0,42 Kombineret standardafvigelse u c 3,29 Udvidet usikkerhed/usikkerhedsgrænse (k = 2) U 6,58 Figur 5 Eksempel på en konkluderende tabel med alle nøgleinformationerne i/om usikkerhedsbudgettet Grundelementerne i en transparent box målemetodens usikkerhedsbudget er ellers helt det samme som for en black box målemetoder. Der er blot mere end ét usikkerhedsbud-

14 get, der skal regnes igennem, men det skal gøres på ligningsform med de variable indsat, for at kunne fungere Økonomisk optimering vha PUMA-metoden - erfaringer Usikkerhedsbudgetter og specielt PUMA-metoden har anvendelser langt ud over det simple, at estimere den aktuelle måleusikkerhed. Som det fremgår af teoridelen af ISO/TS lægges der her mere vægt på de muligheder der eksisterer for vha. usikkerhedsbudgettet, at designe egnede måleprocedurer, herunder egnede valg af måleudstyr og disses MPE værdier (tolerancer for de metrologiske egenskaber). Anvendes PUMA-metoden og dens iterative fremgangsmåde korrekt. Reducerer PUMAmetoden automatisk den arbejdsindsats, der skal til for at fremstille måleusikkerhedsbudgetter. Det sker ved, at der kun ofres tid og kræfter på de store usikkerhedskomponenter. Vi kan tillade store (enorme) usikkerheder på de små usikkerhedskomponenter, uden at det har indflydelse på hovedresultatet. PUMA-metoden er økonomisk også på en anden måde. Ved at tage udgangspunkt i Target usikkerheden U T, der er den økonomisk optimale måleusikkerhed, sikres det, at den måleprocedure der stræbes efter giver (næsten) økonomisk optimal måleproces, måleteknik og -udstyr. Erfaringen siger også at der sker uventede ting, når der usikkerhedsbudgetteres. Måleudstyret har som hovedregel ikke den store indflydelse. Det betyder sagt på godt dansk: - At kalibrering ikke er så væsentlig som det normalt antages - bl.a. i ISO At det giver nonsens resultater, når der vælges måleudstyr ved at sammenligne MPEværdier med tolerancens størrelse - den bekendte 10%-regel Det siger sig selv, at enhver optimering af måleusikkerhed eller valg af måleudstyr, der kun ser på forholdene i SI-enheder vil komme til den forkerte konklusion. Der skal optimeres baseret på økonomi. En anden erfaring fra usikkerhedsbudgettering er at det er normalt, at den aktuelle størrelse af de dominerende usikkerhedskomponenter (for målinger "på gulvet") er ukendte - på et ethvert tidspunkt, men ofte er meget stabile og konstante, og normalt har store tidskonstanter hvis og når de varierer. Det er en af de væsentlige årsager til at det i ISO er valgt at trække måleusikkerheden fra med hele værdien, og ikke forsøge at regne på risiko i procenter og promiller. Det betyder: - At statistiske metoder - anvendt alene - ikke har nogen chance for at finde blot en nogenlunde korrekt talværdi, der kan anvendes som måleusikkerhed. Statistiske metoder kan kun anvendes som en undermetode (A-evaluering) til at bestemme nogle få måleusikkerhedskomponenter En tredje erfaring er, at der ikke (mere) er brug for standardiserede værdier af måleudstyrenes MPE-værdier. Bottom up anvendelse af måleusikkerhedsbudgettering i et kalibreringshierarki stiller automatisk de krav til MPE-værdierne, der er nødvendige, for at klare virksomhedens måleproblemer. Disse krav til MPE-værdierne bliver individuelle og forskellige for hver virksomhed. Mange af disse observationer kan også ses i det følgende eksempel.

15 8 Auditering af et usikkerhedsbudget 15 Reglerne i DS/EN ISO for visning af overensstemmelse med en specifikation og/eller ikkeoverensstemmelse med en specifikation (som gælder altid, hvis man ikke eksplicit vælger andre regler), fortæller meget direkte: Lad leverandøren foretage beviset/målingerne for overensstemmelse med specifikationerne. Start Part 1 s usikkerhedsopgivelse a g ISO/TS Usikkerh.-budget b Part 2 accepterer usikkerheden ISO c Part 1 U-budget eksi sterer d Enighed ved beslutning Part1 skal udføre U-budget f Part 1 viser U-budget til part 2 i h Part1's U-budget kendt af part 2 e Part 1 ændrer usikkerheden iht. beslutningen m Part 1 ændrer usikkerheden iht. beslutningen k Enighed ved beslutning o Gå til specifikke afsnit i proceduren n Uenighedom specifikke U- elementer Gå til starten af proceduren r Part 1 ændrer U-budgettet iht. procedure i afsnit 5 p s Part 1 ændrer U-budgettet iht. procedure i afsnit 5 q Part 1 og 2 enige Regler og muligheder i afsnit 6 u t Part 1 og 2 enige v Part 1 og 2 er enige om usikkerheden Figur 6 Diagram fra ISO Processen fra uenighed til enighed mellem to parter - om usikkerhedsværdien Kunden skal, for at kvalitetssikre leverandørens produkter, auditere proces-/produktionsmuligheder og usikkerhedsbudgetter.

16 Det centrale i et sådant kunde/leverandørforhold bliver enigheden om leverandørens måleusikkerhedsværdier og måleusikkerhedsbudgetter. Måleusikkerhederne er centrale, fordi de efter reglerne i DS/EN ISO reducerer de specifikationer, som er givet på kundens tegninger mv. Udgangspunktet vil derfor i mange tilfælde være, at kunden påstår, at leverandørens estimerede måleusikkerhed er for lille. ISO , som endnu ikke er klar til udgivelse, beskriver en metode til at opnå enighed mellem kunde og leverandør om den måleusikkerhed, der skal anvendes i DS/EN ISO reglerne. På figur 6 er gengivet et rute-diagram, der viser mulighederne i denne proces fra uenighed til enighed mellem kunde og leverandør. 16

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

1. Et teknisk problem - der også kan have juridiske konsekvenser

1. Et teknisk problem - der også kan have juridiske konsekvenser 1 1. Et teknisk problem - der også kan have juridiske konsekvenser Udgangspunktet for måling af et emnes overfladeegenskaber er den specifikation - det krav - der er angivet på tegningen, hvis der da findes

Læs mere

1. Tegningen er en kontrakt skrevet i symbolsprog

1. Tegningen er en kontrakt skrevet i symbolsprog 1 1. Tegningen er en kontrakt skrevet i symbolsprog En teknisk tegning er en (teknisk/juridisk) kontrakt. Tegningens geometriske krav til bl.a. overfladerne på emnet skal opfyldes af producenten. Kravet

Læs mere

Modul opbygget usikkerhedsberegning for afprøvning af VA-komponenter. Nordtest, projektnr.: 1614-02 Teknologisk Institut, projektnr.

Modul opbygget usikkerhedsberegning for afprøvning af VA-komponenter. Nordtest, projektnr.: 1614-02 Teknologisk Institut, projektnr. Modul opbygget usikkerhedsberegning for afprøvning af VA-komponenter Nordtest, projektnr.: 1614-02 Teknologisk Institut, projektnr.: 1043072 MAJ 2004 Modul opbygget usikkerhedsberegning for afprøvning

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

GPS - Geometriske Produkt Specifikationer - GPS-matrix systemet

GPS - Geometriske Produkt Specifikationer - GPS-matrix systemet GPS - Geometriske Produkt Specifikationer - GPS-matrix systemet Hvorfor dette GPS-hefte? GPS er for mange noget nyt og ukendt. I dette GPS-hefte kan du læse om, hvad GPS er, hvilke fordele GPS medfører

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Måleteknisk direktiv (Vejledning) FJERNVARMEMÅLERE. Kontrolsystem for målere i drift. MDIR 07.01-01, udg. 3

Måleteknisk direktiv (Vejledning) FJERNVARMEMÅLERE. Kontrolsystem for målere i drift. MDIR 07.01-01, udg. 3 Den fulde tekst Måleteknisk direktiv (Vejledning) FJERNVARMEMÅLERE. Kontrolsystem for målere i drift. MDIR 07.01-01, udg. 3 Minimumskrav/Vejledning I henhold til Erhvervsfremme Styrelsens bekendtgørelse

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Industriel 3D måleteknik og digitalisering

Industriel 3D måleteknik og digitalisering Industriel 3D måleteknik og digitalisering Enestående service, professionelle teknikere og det bedste udstyr i verden gør Zebicon banebrydende indenfor industriel 3D scanning, 3D måling og digitalisering.

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk.

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen juni 999 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Procedure for Intern Audit - Retningsliniernes punkt 15. Indholdsfortegnelse. 4.1 Grundlag 2

Procedure for Intern Audit - Retningsliniernes punkt 15. Indholdsfortegnelse. 4.1 Grundlag 2 Indholdsfortegnelse Navn: Procedure for Intern Audit 1. Formål 2 2. Gyldighedsområde 2 3. Definitioner 2 4. Grundlag 4.1 Grundlag 2 5. Ansvar 2 6. Fremgangsmåde 6.1 Auditplan 3 6.2 Planlægning af SKS-Audit

Læs mere

Poster design. Meningen med en poster

Poster design. Meningen med en poster Poster design At præsentere et naturvidenskabelig emne er ikke altid lige nemt. Derfor bruges ofte plakater, såkaldte posters, til at fremvise forskning på fx messer eller konferencer. Her kan du finde

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi Målsætning Økonomiske beregninger som baggrund for vurdering af konkrete problemstillinger. Målsætningen for temaet Hvordan får jeg råd? er, at eleverne gennem arbejde med scenariet udvikler matematiske

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen maj 2000 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Excel anvendt på laboratoriet

Excel anvendt på laboratoriet U D K A S T Plan for kursusforløb Excel anvendt på laboratoriet Statens Seruminstitut Foråret 2006 KURSUSFORLØB Det forventes, at der vil blive tale om 2 parallelle forløb: A: Forløb for deltagere på begynder-niveau

Læs mere

Introduktion til hvervet som teknisk assessor i DANAK

Introduktion til hvervet som teknisk assessor i DANAK Introduktion til hvervet som teknisk assessor i DANAK 2.udgave Januar 2011 Akkreditering af laboratorier DANAK påbegyndte akkreditering af laboratorier tilbage i 1973 som det daværende Statens Tekniske

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version Aarhus Kommune Miljørigtige køretøjer i Aarhus Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune COWI A/S Jens Chr Skous Vej 9 8000 Aarhus C Telefon 56 40 00 00 wwwcowidk Notat - kort version Indholdsfortegnelse

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

KURSER I GEOMETRISK PRODUKTSPECIFIKATION (GPS) OG 3D-KOORDINATMÅLEMASKINE

KURSER I GEOMETRISK PRODUKTSPECIFIKATION (GPS) OG 3D-KOORDINATMÅLEMASKINE KURSER I GEOMETRISK PRODUKTSPECIFIKATION (GPS) OG 3D-KOORDINATMÅLEMASKINE ATTRAKTIVE KURSER TIL DIG HVAD ER GEOMETRISK PRODUKT- SPECIFIKATION (GPS)? GPS-teknologien er et fælles tolerancesætningssprog

Læs mere

En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker

En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker Udarbejdet af DIOS A/S December 2001 INDHOLDSFORTEGNELSE REGISTRERING AF ANTAL BIBLIOTEKSBESØG...1 BAGGRUNDEN FOR METODENS UDVIKLING...1

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Af produktivitetschef Bjarne Palstrøm, Dansk Industri

Af produktivitetschef Bjarne Palstrøm, Dansk Industri Faldgruber i Lean Af produktivitetschef Bjarne Palstrøm, Dansk Industri Erfaringerne med indførelse af Lean-tankegangen viser, at virksomhederne fra tid til anden ikke får det forventede udbytte. Denne

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Polar S1 fodsensor Brugervejledning

Polar S1 fodsensor Brugervejledning Polar S1 fodsensor Brugervejledning 1. 2. 3. 4. 5. 6. Tillykke! Polar S1 fodsensor er det bedste valg til måling af hastighed/tempo og distance, mens du løber. Den overfører nøjagtig og meget modtagelig

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

Anlæg # 20. Gasmotor, Caterpillar G16CM34. Målerapport 731-28-20 November 2009

Anlæg # 20. Gasmotor, Caterpillar G16CM34. Målerapport 731-28-20 November 2009 Anlæg # 20 Gasmotor, Caterpillar G16CM34 Målerapport 731-28-20 November 2009 DGC-rapport 731.28 Anlæg # 20 1/15 Anlæg # 20 Gasmotor, Caterpillar G16CM34 Danny Lovett Dansk Gasteknisk Center a/s Hørsholm

Læs mere

FraværsStatistik dokumentation 12. september 2008

FraværsStatistik dokumentation 12. september 2008 FraværsStatistik dokumentation 12. september 2008 Formål Kun det uregelmæssige fravær belyses Formålet med FraværsStatistikken er at belyse mønstre i fraværets sammensætning og udvikling indenfor DA-området.

Læs mere

Opgave 1: Omprøve august 2005. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Omprøve august 2005. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve august 2005 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

NatioNal SvejSekoordiNator

NatioNal SvejSekoordiNator NatioNal SvejSekoordiNator CE-mærkning er et lovkrav fra juli 2014. Bliv klar og bliv opkvalificeret med uddannelsesforløbet til National svejsekoordinator Nyt attraktivt uddannelsesforløb national svejsekoordinator

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

KURSUS I ANALYSEPORTALEN (AP) DANSK PALLIATIV DATABASE 3 1. ÅBNING AF ANALYSEPORTALEN 3 2. OPRETTELSE AF EN RAPPORT DVS. START AF DATAANALYSE 4

KURSUS I ANALYSEPORTALEN (AP) DANSK PALLIATIV DATABASE 3 1. ÅBNING AF ANALYSEPORTALEN 3 2. OPRETTELSE AF EN RAPPORT DVS. START AF DATAANALYSE 4 KURSUS I ANALYSEPORTALEN (AP) DANSK PALLIATIV DATABASE 3 1. ÅBNING AF ANALYSEPORTALEN 3 2. OPRETTELSE AF EN RAPPORT DVS. START AF DATAANALYSE 4 3. VALG AF DATA 5 4. BEHANDLING OG VISNING AF DATA 7 1 Liste

Læs mere

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale.

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Opgave 1 1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Liniens ligning for strømper: p = am + b To tal på linien: Nuværende

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

REGISTRERING AF TRÆNGSEL

REGISTRERING AF TRÆNGSEL REGISTRERING AF TRÆNGSEL MED BLUETOOTH Finn Normann Pedersen Jens Peder Kristensen Management Konsulent, KeyResearch Direktør, KeyResearch fnp@keyresearch.dk jpk@keyresearch.dk +45 29 89 31 16 +45 22 23

Læs mere

Fastlæggelse af gruppens mål.

Fastlæggelse af gruppens mål. INDKVARTERING - FORPLEJNING - GRUPPEOPGAVE 1 - Blad 1. Fastlæggelse af gruppens mål. side 1 af 12 sider På de følgende sider finder du 22 udsagn, der skal besvares. Først af dig selv. Herefter drøfter

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Funktionssikre maskiner Aps. www.funktionssikre-maskiner.dk. Anvendelse. Standarder

Funktionssikre maskiner Aps. www.funktionssikre-maskiner.dk. Anvendelse. Standarder Anvendelse af Standarder Internationale standarder På det internationale plan er det WTO, der presser på, at få udviklet flere standarder Fordi: Samme sikkerhedskrav Fælles minimumsforståelse Enighed om

Læs mere

Medlemstilfredshed Teknisk Landsforbund 2010

Medlemstilfredshed Teknisk Landsforbund 2010 Medlemstilfredshed Teknisk Landsforbund 1 Indhold Indhold Introduktion Information om undersøgelsen og resultatforklaring 3 Tilfredshed og Loyalitet Vurderinger og sammenligninger 5 Hvordan skaber du større

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Udførelsesstandard for betonarbejder

Udførelsesstandard for betonarbejder Byggelovgivning (Byggeloven + BR 10) DS/ Nationalt anneks EN 1990 DK NA DS 409 DS/ Nationalt anneks EN 1992 DK NA DS 411 Udførelsesstandard for betonarbejder DS/EN 13670 og DS 2427 DS 2426 DS481 DS/ DS/

Læs mere

Erfaringer med individuelt konfigureret økonomistyring

Erfaringer med individuelt konfigureret økonomistyring Erfaringer med individuelt konfigureret økonomistyring Erfaringer indhentet i projektet Vækst og merværdi arbejdspakken Økonomistyring. Som en del af demonstrationsprojektet `Vækst og merværdi er der i

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

By- og Boligudvalget 2014-15 BYB Alm.del Bilag 35 Offentligt

By- og Boligudvalget 2014-15 BYB Alm.del Bilag 35 Offentligt By- og Boligudvalget 2014-15 BYB Alm.del Bilag 35 Offentligt NOTAT Dato: 5. januar 2015 Kontor: Boliglovgivningen Sagsnr.: 2014-2004 Sagsbeh.: eta Dok id: 464033 Status for projektet Fugt i danske boliger

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Projektorganisering side 1 IVA-materiale / Virksomhedsspil

Projektorganisering side 1 IVA-materiale / Virksomhedsspil Projektorganisering side 1 Projektorganisering Indholdsfortegnelse: 1. Hvad er et projekt?... 2 1.1 Projektbegrebet... 2 1.2 Studieprojekter og professionelle projekter... 3 2. Projektfaser... 4 2.1 Fase-begrebet...

Læs mere

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne.

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne. o Til censor Fagkonsulent Matematik, htx Vedr.: Skriftlig censur i matematik på htx Velkommen som skriftlig censor i matematik på htx. Marit Hvalsøe Schou Oehlenschlægersvej 55 5230 Odense M Tlf: 2565

Læs mere