Matematik skript. Jan Scholtyßek. 2009, 1. udgave. 1 Indledning 2. 2 Emnerne til studentereksamen 3

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik skript. Jan Scholtyßek. 2009, 1. udgave. 1 Indledning 2. 2 Emnerne til studentereksamen 3"

Transkript

1 Matematik skript Jan Scholtyßek 2009, 1. udgave Indhold 1 Indledning 2 2 Emnerne til studentereksamen 3 3 Redskaber Funktionsanalyse Definitionsmængde Nulpunkter Fortegnsanalyse Differentiation Ekstrema Monotoni Vendepunkter (Vende)tangenter Asymptoter Integration Areal Omdrejningslegme Funktionsfamilier Rumgeometri Punkter Punkter til vektor Vektorer Længde af vektorer Multiplikation, forlængelse/forkortelse Addition af vektorer Skalarprodukt Vinkler mellem vektorer Krydsprodukt Projektion Linier Afstand af vindskæve og parallele linier Planer

2 Parameterfremstilling af linie og plan Planligning Afstand mellem plan og punkter Skæring med linie Skæring med plan Kugler Skæringsmængde for kugle og Skæring med linie Skæring med plan Skæring med kugle Sandsynlighedsregning Kombinatorik Sandsynligheder Frekvensfunktion og komuleret funktion Binomialfordeling Hypotesetest Hypergeometrisk fordeling Normalfordeling Opgaveanalyse Forstå opgavestillingen Vælg det rigtige værktøj Løs opgaven! Opgaver 34 1 Indledning Hvorfor skal jeg lære det? Jeg skal alligevel ikke bruge det senere! Det er nok det hyppigste udsagn som man hører fra elever der skal lære matematik uden at have den mindste interesse i faget. De har for det meste ret når de siger at de ikke skal bruge det fremover, hvis ikke de senere skal bruge det i studiet. Matematik har man også brug for i f.eks. psykologi og sociologi, ikke kun i matematik- og naturvidenskabs-studierne. Men matematik handler om mere end at lære formler og begreber. Dem har man virklig i fremtiden slet ikke brug for mere. Men matematik handler om logik og tænkning i større strukturer. Det gælder om at få gode ideer og bruge formler og regnemetoder fra andre områder. Måske kan man bruge integralet til at løse geometri-opgaver?! Måske er det mere hensynsmæsigt at bruge en formel, som ikke direkte har noget at gøre med det problem man arbejder på. Men for at få gode ideer skal man kende til redskaberne og vide hvad de bruges til og tildels hvad de betyder. Dette skript vil hjælpe elever i 3.g med at lære matematik-pensumet til studentereksamen. Hovedsagligt er den tænkt til både liniefag og grundkurs. Især opgaveanalysen er tænkt til både grundkurs og liniefag, for problemet er ofte det samme hos begge: Jeg har en opgave med nogle oplysninger. Hvad skal jeg nu gøre med dem? Hvad går opgaven ud på? Hvordan starter jeg? Jeg håber at kunne give et svar på disse spørgsmål og give en vejledning til at finde ud af, hvordan man starter på opgaver og hvordan man analyserer dem. 2

3 Kernen af dette skript er listen over værktøjerne til løsning af opgaver. Jeg tror at det er her, problemet ofte ligger, når man skal få gode ideer: At man ikke kender til et redskab der kan finde en bestemt information eller har en bestemt egenskab. Et eksempel: Hvad kan man bruge skalarproduktet til? Svaret er: Det kan bruges til at finde vinkler mellem to vektorer og er specielt godt egnet til, at finde ud af, om to vektorer står vinkelret på hinanden, eller omvendt at finde en vektor der står vinkelret på en anden. Mere informationer får man i listen over redskaberne. Til sidst afsluttes dette skript med nogle opgaver der skal træne at løse opgaver og at få gode ideer. Derudover er nogle spørgsmål stillet på flere forskellige måder, for at demonstrere at spørgsmål, som normalt er meget let kan stilles så inviklet at det ikke direkte er til at se. Prøv så at forstår hvad det mest komplicerede spørgsmål går ud på. Kommer du ikke videre med det så læs spørgsmålet oven over. Fortsæt indtil du tror du har forstået hvad spørgsmålet går ud på. Det er ikke vigtigt at du er sikker på, om du tror det rigtige. Prøv at følge din intuition. Hvis du får en ide, så kontroller ved at læse de andre opgaveformuleringer. I øvrigt skal det nævnes, at formuleringen tildels er meget umatematisk og nogle gange ikke er helt korrekt udfra matematiske synspunkter. Formålet er at forklare tingene på en muligst elev-venlig måde, derfor accepterer jeg at formuleringerne ikke altid holder stik og der er specialtilfælde, hvor formuleringerne måske er forkert. Held og lykke. 2 Emnerne til studentereksamen Emnerne til studentereksamen er næsten ens for liniefag og grundkurs. Jeg giver i det følgende en opremsning af mulige emner. Men det er kun et overblik. Det er muligt, at der er helt andre emner, som du skal bruge til din studentereksamen. Spørg din lærer om en liste over emner, som du skal lære. Listen giver et overblik over, hvad dette skript vil behandle. Alternativt kan du også bruge indholdsfortegnelsen, som også opremser de enkelte emner og direkte angiver et sidetal. Følgende emner er mulige eksamensemner: Funktionsanalyse Nulpunkter og fortegn Ekstrema og monotoni Vendepunkter og vendetangenter Asymptoter Stamfunktioner og areal Omdrejningslegmer Rumgeometri Punkter og vektorer Linier Planer Kugler Skæring 3

4 Afstand Projektion Sandsynlighedsregning Kombinatorik Almen sandsynlighedsregning Betinget sandsynlighed Kombinerede hændelser Binomial og hypergeometrisk fordeling Hypotesetest Normalfordeling Det er kun et groft overblik og jeg vil engang til gøre opmærksom på, at det er kun er liste over emnerne i dette skript. Spørg din lærer om en liste med de ting du virklig skal lære. 3 Redskaber Vi kommer nu til skriptets formål: At præsentere de vigtigste redskaber som du vil have brug for for at løse de fleste opgaver. Der er nu ikke nok plads til at præsentere alt det, som der kan være brug for. F.eks. kan det være nødvendigt at bruge formler og redskaber fra 9. eller 10. klasse, som f.eks. en cosinusrelation. Se i din formelsamling hvis du ikke kan huske hvad den gik ud på. Jeg forudsætter at disse formler blev lært og går, pga. pladsproblemer, ikke ind på dem. Jeg håber at have de vigtiste redskaber med. Læs dem igennem, også når det varer længe. Del det op, for det er for meget til at læse på engang. Eller rettere: Det får man ikke så meget ud af, hvis man bare læser dem igennem. Prøv at tage dem i mindre dele og lav så opgaver, der bruger disse redskaber. Opgaverne til sidst er ordnet efter redskaber. Til hvert redskab er der opgaver, der er formuleret på forskellige måder. Lær f.eks. tre redskaber og løs så opgaverne. Prøv at læse den sværeste formulering først. Den står altid oppe. Læg et stykke papir over de andre formuleringer. Hvis du ikke forstår opgaven i den første formulering så prøv den næste. Den skulle være lidt lettere. Prøv dig frem. Hvis du til sidst har forstået hvad opgaven går ud på, så prøv også at forstår de formuleringer som du ikke forstod i første omgang. Læs også vejledningen til opgaveanalysen og vejledningen til opgaverne i begyndelsen af opgave-afsnittet. Redskabdslisten er opbygget på følgende måde: Først er der en oversigt hvilke informationer man har brug for og hvad redskabet i sidste ende leverer. Jeg har kun nævnt den mest almindelige anvendelse, man kan selvfølgeligt også have den information, der står i Output og skal finde en af de ting der her står i Input. Derefter følger en kort beskrivelse af redskaben egenskaber. Det skal hjælpe med at forstå hvad det skal bruges til. Så lad os komme i gang. 3.1 Funktionsanalyse Definitionsmængde Input: En funktion 4

5 Output: En definitionsmængde og definitionshuller Beskriver hvor en funktion er defineret Angiver definitionshuller og dermed lodrette asymptoter (se Asymptoter ) Definitionsmængden angiver for hvilke x-værdier vores funktion kan give en y-værdi. Normalt er den angivet i opgaven hvis vi kun skal se på et bestemt område. Det ser så sådan ud: x [0; 4]. Det betyder at vi kun skal se på funktionen i området fra x=0 til x=4. Nogle gange skal vi også finde definitionsmængden. Den er for de meste funktioner lige med R, altså de reele tal. Men vi kan også have definitionshuller. Dem har vi især ved funktioner med formen h(x) g(x) og tan(a x). tan(x) har definitionshuller for alle π 2a. For at finde definitionshuller for funktioner med formen h(x) g(x) skal vi finde ud af, hvornår g(x) = 0, for vi kan ikke dele med 0. Defintionshuller opskrives sådan: Dm(f) = R\{x 1, x 2, x 3,...} hvor x 1, x 2 osv. er de fundne definitionshuller Nulpunkter Input: En funktion Output: Nulpunkter Finder nulpunkter f(x) = y = 0 Nulpunkter antyder for det meste et fortegnsskift, undtagen ved dobbelte nulpunkter (se Fortegn ) x-værdien for nulpunkterne i en funktion er x-værdien for et ekstrema i stamfunktionen. For at finde nulpunkter skal vi finde de x-værdier hvor vores funktion, som vi vil analysere, er lige med 0. Det er lidt vanskeligt at give en fuldstændig beskrivelse af proceduren, da der er så mange forskellige funktioner. Men her er metoden for de vigtigste funktionstyper: a 1 x n + a 2 x n a n x + C Ved denne form skal hele udtrykket sættes lige med 0. Vi kunne få problemer, hvis vi har udtryk der indeholder n er der er større end 2, f.eks. x 3 eller x 4. Så skal vi prøve om vi kan sætte et x udenfor parantesen, f.eks. sådan: x 3 2x 2 7x x(x 2 2x 7). Vi skal prøve at finde et udtryk, hvor vi højst har x 2, for det er det eneste som vi kan løse. I eksemplet kan det første nulpunkt direkte aflæses. Det må være 0, for hvis vi sætter x = 0, så ganger vi parantesen med nul, så det hele bliver nul. Nu skal vi endnu løse andengradsligningen inde i parantesen og finder dermed op til to andre nulpunkter. Men måske finder vi slet ingen eller kun et. 5

6 h(x) g(x) Her er det nok at finde h(x) = 0. Man skal bare bagefter kontrollere at g(x) ikke bliver nul for de fundne nulpunkter. Hvis g(x) også er nul i det punkt, så er det ikke noget nulpunkt(da vores funktion ikke er defineret hvis g(x) = 0.) a e c x Her har vi en eksponentialfunktion. Nulpunkter findes ved at anvende den omvendte funktion, nemlig ln. Et eksempel for en udregning for funktionen 3 e 5x 2: 3 e 5x 2 = 0 3 e 5x = 2 ln(3 e 5x ) = ln 2 ln 3 + ln(e 5x ) = ln 2 ln 3 + ( 5x) = ln 2 5x = ln 2 ln 3 x 0, 0811 Det er vigtigt at lære potensregnereglerne. For reglerne er lidt anderledes end dem vi kender fra tal i første orden, f.eks. 4x + 5x = 9x. Som man ser i udregningen er f.eks. ln(x y) = ln(x) + ln(y) i stedet for at være ln(x) ln(y)!! Fortegnsanalyse Fortegnsanalysen viser hvor en funktion ligger over eller under x-aksen y-værdien er positiv eller negativ Positivt fortegn ved en funktion betyder at dens stamfunktion vokser i dette område, og omvendt betyder et negativt fortegn ved en funktion at dens stamfunktion falder i dette område. Ved fortegnsanalysen tegnes en tallinie, hvorpå man for det første indtegner alle nulpunkter og definitionshuller. Nulpunkter symboliseres med et 0-tal og definitionshullerne med lodrette, stiplede linier. Nu skal man endnu finde ud af, hvad fortegnet er mellem de indtegnede symboler. Dertil skal man beregne funktionsværdien af en x-værdi der ligger mellem to indtegnede symboler. Hvis man f.eks. har et nulpunkt ved x=1 og et andet nulpunkt ved x=3, så skal man beregne funktionsværdien for f.eks. x=2. Er værdien positiv så skrives et + mellem de to nulpunkter på tallinien, hvis den er negativ så et Differentiation Input: En funktion Output: En mærkefunktion 6

7 y-værdien af f (x) er lige med tangenthældningen i punktet x af den oprindelige funktion f(x). Ved at differentiere får man en funktion hvormed man kan finde tangenthældningen af den oprindelige funktionen. Det meste af vores differentiation foregår ved brug af differentiationsformlerne på bagsiden af formelsamlingen. Det skal bare øves meget Ekstrema Input: En mærkefunktion Output: Ekstrema Ekstrema er top- og lav-punkter af en funktion. Ekstrema er, hvor tangenthældningen er lige med nul, altså tangenten er vandret. At finde ekstrema er lige som at finde nulpunkter. Man skal bare finde nulpunkter af den afledede funktion f (x). Dertil skal man først finde den afledede funktion (også kaldt for mærkefunktion). Det gøres som beskrevet ved Differentiation. Da mærkefunktionen angiver tangenthældningen finder vi altså, hvor vores funktion har en vandret tangent. Prøv at tegne en eller anden funktion, der har mindst et ekstrema. Prøv nu at indtegne tangenter til forskellige punkter og en tangent gennem ekstremaet. Nu skulle det være forståeligt, at vi søger efter vandrette tangenter. Når du prøver at tegne tangenter til forskellige funktioner, så prøv engang med funktionen x 3. Har den en vandret tangent et eller andet sted? Er det et ekstrema? Desværre ikke. Der er en vandret tanegent i x = 0 men, da det her samtidigt er et vendepunkt (se afsnittet om vendepunkter). Det kaldes for et saddelpunkt. Men du vil nok ikke direkte få fejl hvis du angiver at det er et ekstrema Monotoni Monotoni beskriver hvor en funktion er voksende eller faldende (eller har et ekstrema). Monotoni-analyse er det der svarer til fortegnsanalyse ved den oprindelige funktion, bare at man laver det med f (x). Man indtegner på tallinien definitionshullerne og nulpunkter af f (x). Derefter finder man igen ud af, hvor f (x) er posoitiv eller negativt og laver så som ved fortegnsanalysen hhv. + eller -. Når f (x) er positivt vokser f(x) i det område. Når f (x) er negativt falder f(x). Det integnes under fortegnsanalysen for f (x) som vi lige har lavet. Hvis der ovenover står et + laves en -pil hvis der står et - så en -pil. Der, hvor der er et 0 skrives enten lok. maks. (hvis pilene til venstre og højre er ) eller lok. min. (hvis ). 7

8 3.1.7 Vendepunkter Input: En dobbeltmærkefunktion Output: Vendepunkter Vendepunkter er de steder, hvor funktionens krumning skifter. Dvs. hvor man ville holde styret helt lige, hvis man ville cykle langs funktionens forløb. Vendepunkter findes med f (x) = 0. y-værdierne af f (x) angiver f(x) s krumning i punktet x. Vendepunkter er de punkter hvor vores oprindelige funktion ikke har nogen krumning. Forstil dig du cykler langs funktionen. For det meste holder du så styrret lidt drejet. Det sted på funktionen hvor man præcis cykler lige ud er et vendepunkt. Det findes ved at finde ud af hvor f (x) = 0. f (x) angiver funktionens krumning og idet vi sætter denne funktion lige med 0 finder vi vendepunkterne (hvis funktionen har nogle). f (x) findes ved at differentiere f (x) engang til. Der er et vigtigt specialtilfælde: Hvis f (x) og f (x) begge er nul for en x-værdi, så har vi et saddelpunkt. Se på x=0 ved funktionen x 3, så ved du hvordan det ser ud på en graf (Vende)tangenter Input: Et punkt, en funktion og dens mærkefunktion Output: En tangentligning Tangenter er en tilnærmelse af funktionen tæt på det punkt hvoraf man finder tangenten. Det er lettest at finde (vende)tangenterne med formlen y = f(x 0 ) + f (x)(x x 0 ). Den står også i formelsamlingen 1. Derved bliver x stående. x 0 er det punkt som man vil finde tangenten af. Vendetangenter er tangenten hvor x 0 er et vendepunkt Asymptoter Input: En funktion Output: Ligninger for asymptoter 1 Duborg-skolens formelsamling,2009, formel (62) 8

9 Asymptoter er en tilnærmelse af funktionen, hvis x er et stort positivt eller stort negativt tal (x ± ). Der er tre forskellige arter af asymptoter: lodrette (hvor funktionen har et definitionshul), vandrette og skrå. Asymptoter er rette linier der angiver et cirka forløb af funktionen. Især funktioner af formen h(x) g(x) har asymptoter. Lad os f.eks. se på funktionen 1 x. Når x bliver stor går funktionen mod 0. Dermed har vi en vandret asymptote ved y = 0. Hvis x kommer tæt på 0 vokser funktionen. Hvis x f.eks. er 0,001 bliver funktionens y-værdi Vi har en lodret aysmptote ved x = 0. Vi har næsten altid en lodret asymptote ved definitionshullerne. Funktionen f(x) har et definitionshul ved x=0, fordi vi ikke kann dele med 0. Lodrette asymptoter altså ved definitionshullerne. Nu skal vi endnu finde ud af, hvordan vi finder vandrette og skrå asymptoter. Det gør vi ved at lave polynomiumsdivision. Derved deler vi tæller-udtrykket med nævner-udtrykket af en funktion med formen h(x) g(x). Eksempel: x 2 +4x 5 x 2 bliver til (x 2 + 4x 5) : (x 2) =. Fremgangsmåden er som ved den division, som vi har lært i 4. eller 5. klasse. Hvad skal man gange x med for at få x 2? Svaret er x. Så ganger vi hele udtrykket (x 2) med x og skriver det under vores første udtryk. Ved at trække dette udtryk fra vores divident (det udtryk som skal deles) får vi resten. Vi fortsætter med resten på samme måde. Se regnemåden nedenfor. Figur 1: Polynomiumsdivision af x2 +4x 5 x 2 Herved får vi altså udtrykket x x 2. Da vi har et x i begyndelsen har vi en skrå asymptote. Nu skal vi undersøge hvad der sker med den sidste brøk når x går mod ±, altså store positive eller negative tal. Her går brøken mod nul, bliver altså meget lille. Dermed har vi en skrå asymptote med forskriften y = x + 6. Asymtoter kan være gode til at tegne en graf, idet man ved at funktionen tilnærmer sig asymptoterne. Asymptoter skal være rette linier. Når polynomiumsdivisionen giver et udtryk med x 2 eller en endnu større grad, så er der ingen asymptote Integration Input: En funktion Output: En stamfunktion Man finder stamfunktionen til en funktion ved at integrere den. Ved at differentiere stamfunktionen fås igen den oprindelige funktion. 9

10 Differencen af stamfunktionens y-værdier i to punkter a og b er lige med arealet af den oprindelige funktion mellem punktet a og b. Herved menes det område der begrænses af funktionen og x-aksen. Et areal der er under x-aksen tælles negativt og et areal over x-aksen positivt. Integration er noget som ofte volder problemer, fordi det kan være svært at finde en analytisk løsning. Det kan anses for en kreativ process, fordi man nogle gange skal prøve sig frem og tilbage, og omforme udtrykket sådan, at det kan integreres. Men lad os starte med simple udtryk. I formelsamlingen stå de elementare udtryk. Integration handler nu, groft sagt, om, at omforme udtrykket på den måde, at man kan bruge disse elementare udtryk. For at omforme vores udtryk, som vi skal integrere, har vi hovedsaglig to metoder til rådighed; substitution og partiell integration. Substitution Ved substitution erstatter man det oprindelige udtryk med en stedfortræder. Motivationen bag dette er, at man derved får et udtryk som man let kan integrere. Ved substitutionen har man brug for to ting: et udtryk som man vil substituere, og dette udtryks mærkefunktion. Hvis vi ikke har denne mærkefunktion, og heller ikke ved omformninger kan fremstille den, så kan substitution ikke bruges. Et eksempel: Ved at substituere med: x x 4 + 4x 7 dx = 1 4 y = x 4 + 4x 7 y = 4x dy = 4x dx 4x x 4 + 4x 7 dx Får man dette udtryk: y dy = 1 [ln y] 4 = 1 4 ln(x4 + 4x 7) Vi har to vigtige skridt: For det første skal vi gange med 4 for at udtrykket i tælleren (over brøkstregen) bliver nævnerens (under brøkstregen) mærkefunktion. Man må gerne gange med konstanter, hvis man ganger med det reziprokke tal udenfor integralet (Reziprokke tal: ). Det næste vigtige skridt er substitutionen og senere tilbagesubstitutionen, når man har fundet en stamfunktion. Partiel integration Ved partiel integration multipliceres stamfunktionen af den ene del af udtrykket med den anden del af udtrykket minus integralet af stamfunktionen af den første del af udtrykket gange mærkefunktionen af anden del af udtrykket. 10

11 Karakteristisk er ofte, at det udtryk, som man skal integrere består af to deludtryk der skal multipliceres. Det man skal søge efter er, om et af deludtrykkene kan laves om til et let integrabelt udtryk, ved at differentiere det. Ofte vil det være x er eller x n er der er prædestineret for det. Disse x er sættes så lige med g(x) i følgende udtryk: h(x) g(x) dx = H(x) g(x) H(x) g (x) dx nåt x n differentieres falder potensen n fra omgang til omgang, til det til sidst (hvis n er et helt tal) bliver lige med x 0 = 1 og dermed forsvinder. Lad os prøve et eksempel: 2 x x 2 dx = Hvad burde vi vælge som h(x) og hvad som g(x)? Ved at tage hensyn til rådet længere oppe, vælger man x 2 som g(x): 2 x x 2 dx = 1 ln(2) 2x x 2 1 ln(2) 2x 2x dx = 1 ln(2) 2x x ( ) 1 ln(2) ln(2) 1 2x x ln(2) 2x dx ( = 1 ln(2) 2x x ( ) ) ln(2) ln(2) 2x x 2 x ln(2) = 1 ( ) 1 2 ( ) 1 3 ln(2) 2x x x x x ln(2) ln(2) Som man ser er det meget skrivearbejde og mange små udtryk som styk for styk skal integreres med partiel integration, indtil man får et udtryk, som kan integreres uden at man har brug for partiel integration. Bagefter skal man så hæve paranteserne. Prøv at forstår regnevejen og lad dig ikke forvirre af den mængde af tal og tegn. Det er ofte lettere end man tror, selvom det ligner meget. Endnu et eksempel til omformning: x 3 x 4 dx = x 7 dx = 1 6 x 6 Her er det gavnligt at huske på potensregneregler. De to udtryk kan fattes sammen til et eneste og bliver dermed let integrabelt. Det var vist ikke så svært, men det skulle vise, at det kan være vigtigt at opdage små kneb, for at have det lettere. Et særligt kneb, ved trigonometriske funktioner (sin, cos og tan) er, at sin(x) 2 + cos(x) 2 = 1. Det prøver lærere nogle gange at teste deres elever med ;-) Areal Input: En stamfunktion og grænser 11

12 Output: Et areal Arealet bestemmes med stamfunktionen. Med areal menes det område der begrænses af funktionen og x-aksen. Et areal der er under x-aksen tælles negativt og et areal over x-aksen positivt. (Sammenlign med Integration ). Arealet der begrænses af funktionsgrafen og x-aksen findes ved at ved at integrere funktionen og dermed finde en stamfunktion. Så skal man endnu indsætte de to x-værdier som man vil finde arealet imellem. Se også i formelsamlingen Omdrejningslegme Under et omdrejningslegme forstås det legme der fremkommer når funktionen roteres omkring x-aksen. Altså den figur, der for samme x-værdi har samme afstand fra x-aksen. (F.eks. en vase eller en cylinder) Det simpleste eksempel på et omdrejningslegme er en cylinder. Forstil dig du lægger en cylinder (altså ikke sådan en hat, men en rulle) på den krummede side (sådan at den kan rulle). Nu stik en pind igennem cylinderen sådan at den går gennem endefladernes midtpunkt (fladerne er jo cirkler). Så er denne pind rotationsaksen. Funktionen ville være en ret linie, da hele cylinderfladen har samme afstand fra aksen overalt. Volumen af omdrejningslegmet beregnes med: V = π b a (f(x)) 2 dx Se også i formelsamlingen, formel (83) 3. Der er også et billede af et omdrejningslegme Funktionsfamilier Funktionsfamilier indeholder en eller flere parametere. Disse parametere behandles som tal/konstanter ved analysen. Parameterne er IKKE variabler som f.eks. x. Ved analysen af funktionsfamilier er der en eller flere parametere i funktionen. De behandles ved analysen lige som tal. Hvis man f.eks. laver en nulpunktsanalysen af funktionen f a (x) = a x 2 4, så får vi som løsning: a x 2 4 = 0 a x 2 = 4 2 Duborg-skolens formelsamling, 2009, formel (75 og 81) 3 Duborg-skolens formelsamling, 2009, formel (83) x 2 = 4 a 4 x = ± a 12

13 Som man ser får man et udtryk der indeholder a. Hvis man nu bedes at finde nulpunkter af funktionen f 1 (x) så skal man bare erstatte a med 1 og får så sine nulpunkter ved ±2. Husk at a forsvinder hvis vi f.eks. differentierer funktionen x 2 a, for a skal behandles som en konstant, og konstanter forsvinder ved differentiation hvis de står alene. 3.2 Rumgeometri Punkter Punkter i rummet er entydigt beskrevet med tre koordinater. Disse koordinater fortæller hvor mange skridt man skal gå på akserne for at nå punktet Punkter til vektor Input: To punkter Output: En vektor En vektor mellem to punkter findes ved at trække de to punkter fra hinanden. Når punkt A trækkes fra B (formelt: B-A) så er A vektorens startpunkt og B slutpunktet. Vi får givet punkterne A(3,5,1) og B(1,-3,6). Vi finder vektoren AB ved at trække A s koordinater fra B s: = Vektorer Vektorer har en retning og en længde. Vektorer kan forskubbes, de må bare ikke ændre retning og længde Længde af vektorer Input: En vektor Output: En længde Længden findes ved at finde kvadratroden af alle vektorens koordinaters kvadrat: ( a 2 + b 2 + c 2 ) 13

14 Længden af en vektor findes ved at sætte alle vektor-koordinater i anden, addere alle resultater og sætte dem under brøkstreg: x 1 x 2 x 3 = x x2 2 + x2 3 Denne formel kan udledes ved at bruge Pythagoras to gange. Først på de to første koordianter, så med den sidst koordinat. Vektor-længden bruges i mange sammenhæng. F.eks. kan arealet som opspændes af to vektorer beregnes ved at finde læmgden af normalvektoren til de to Multiplikation, forlængelse/forkortelse Input: En vektor og en skalar Output: En forlænget/forkortet vektor Vektorer kan ganges med et tal og dermed forlænges og forkortes. Ved multiplikation med et tal bliver alle koordinater multipliceret med dette tal. Vektorer må kun forkortes hvis længden er uden betydning og kun dens retning er vigtig. Vektorer kan forlænges og forkortes ved at gange vektoren med en skalar, altså et tal. Ved at gange med 1 bliver vektoren som den er. Er tallet større end 1 forlænges vektoren, når tallet er mellem 0 og 1 forkortes vektoren. Ved at gange med negative tal ændrer vektoren sin retning og folænges/forkortes i den retning. Ved multiplikationen ganges alle vektorens led med tallet. Det bruges f.eks. ved at lave parameterfremstilling Addition af vektorer Input: To vektorer Output: En vektor To vektorer lægges sammen/adderes ved at addere førtekoordinaten af den ene vektor med førstekoordinaten af den anden vektor, osv. Geometrisk tolkes additionen som at lægge startpunktet af den ene vektor i slutpunktet af den anden vektor og vektoren der går fra den første vektors startpunkt til den anden vektors slutpunkt er så den sammenlagte vektor (nærmere beskrivelse nedenunder). 14

15 Ved addition af vektorer lægges den ene vektor (vi kalder den v1) startpunkt i den anden vektors (v2) slutpunkt. Vekotren fra v1 s startpunkt til v2 s slutpunkt er den resulterende vektor. Derved er det ligemeget i hvilken rækkefølge man lægger de to vektorer sammen. Prøv selv med to vektorer. Indtegn dem på papir og lav så v1+v2 og v2+v1. Vi får i begge tilfælde den samme vektor. Man beregner sum-vektoren ved at lægge de to vektorers x-værdier sammen, så deres y-værdier osv. Et eksempel: = 2 + ( 1) = Skalarprodukt Input: To vektorer Output: Et tal Skalarproduktet kan bruges til at finde vinklen mellem to vektorer. Skalarproduktet er et tal (en skalar). Når skalarproduktet er = 0 står de to vektorer vinkelret på hinanden (forudsat ingen af de to vektorer er en nulvektor, hvor alle koordinater er nul). Skalarproduktet findes ved at gange førstekoordinaterne, anden koordinaterne, tredjekoordinaterne osv. og bagefter addere disse tal. Skalarproduktet beregnes ved at gange vektorernes komponenter parvis og så addere alle led. Et eksempel: = ( 1) = Skalarproduktet er altså et tal. Dette tal er lige med: a }{{} b = a b cos ϕ Skalarprodukt Da vi kan beregne skalarproduktet og vi ud fra vektorerne også kan beregne deres længde, kan vi nu finde vinklen mellem dem Vinkler mellem vektorer Input: To vektorer, deres skalarprodukt og deres længde Output: En vinkel 15

16 Til at finde vinklen mellem to vektorer bruges skalarproduktet. Se Skalarprodukt. Hvis man omskriver formlen får man: Krydsprodukt Input: To vektorer Output: En vektor cos ϕ = a b a b Krydsproduktet bruges til at finde en vektor der står vinkelret på de to andre vektorer. (f.eks. er z-aksen i vores rumlige koordinatsystem krydsproduktet af x- og y-aksen.) Krydsproduktet er en vektor. Med krydsproduktet kan også findes vinklen mellem to vektorer. Længden af den vektor der fås ved at lave krydsproduktet er lige med arealet af det parallelogram der fås, hvis de to vekotrers startpunkt, som krydsproduktet dannes af, lægges i den anden vektors slutpunkt. (se tegning i formelsamlingen) Krydsproduktet er speceilt godt til at finde areal af en trekant i rummet. Når krydsproduktet er lige med 0, så er de to vektorer parallele. (Kan bruges til at finde ud af om to linier er parallele.) Krydsproduktet kan kun bruges for tredimensionale vektorer. Krydsproduktet kaldes også for vektorprodukt. Den vektor der fås ved at lave krydsproduktet står vinkelret på de to vektorer som krydses (se beskrivelsen i Egenskaberne ). Deru- dover er krydsproduktets (dermed menes i det følgende den resulterende vektor) længde lige med arealet af parallelogrammet der opspændes af de to vektorer. Se dertil formelsamlingen, billedet til venstre for formel (204) 4. Krydsproduktet kan beregnes på forskellige metoder. Jeg nævner her kun en. Hvis du har lært det på en anden måde så brug den, for den har du trænet på. Her er min metode: a 1 b 1 a 2 b 3 b 2 a 3 a 2 b 2 = a 3 b 1 b 3 a 1 a 3 b 3 a 1 b 2 b 1 a 2 Et ekspempel: 4 Duborg-skolens formelsamling, ( 1) = = ( 1)

17 Ved at beregne længden af denne vektor, kan vi finde arealet. Derudover gælder: a b = a b sin ϕ Dermed kan man også beregne vinklen mellem vektorerne med krydsproduktet, men pga. at det er mere arbejde, bruges for det meste skalarproduktet til at finde vinklen mellem vektorer. En fidus: Hvis man får givet tre punkter og skal finde arealet af trekanten, så konstrueres to vektorer (se Punkt til vektor ) og så beregnes krydsproduktet. Den halve længde af denne vektor er så arealet af trekanten. Se også formel (206) (kommentaren) Projektion Input: Enten: Et punkt og en plan, et punkt og en linie eller to vektorer Output: Enten hhv. et projektionspunkt (projektion punkt-plan, punkt-linie) eller en vektor. Projektionen er en vinkelret afbildning på en anden figur. F.eks. en projektion på en plan. Vores skygge er en projektion. Den er ikke altid vinkelret, men det er alligevel en projektion, en projektion af vores krop på undergrunden. Vi skal skelne mellem følgende projektioner: Punkt på linie Vektor på vektor Punkt på plan Punkt på linie og vektor på vektor er samme metode. Vi bruger formlen: a b b 2 b Ved projektion af vektor på vektor er betydningen klart. Ved projektion af punkt på linie, skal man først konstruere en vektor fra liniens punkt til punktet som skal projiceres på linien. Når vi har fundet projektions-vektoren lægger vi liniens punkt og projektionsvektoren sammen og får dermed projektionspunktet, punktets projektion på linien. Ved projektion af punkt på plan er metoden den samme som skæring mellem linie og plan. Derved bruges punktet, som skal projiceres, som liniens punkt, og planens normalvektor som liniens retningsvektor. Så skal man bare finde liniens og planens skæringspunkt Linier Linier har en retning og en position i rummet. Dvs. et fast punkt og en retningsvektor. Se Parameterfremstilling for at se, hvordan en linie beskrives. 17

18 Afstand af vindskæve og parallele linier Input: To linier Output: En afstand To linier i rummet skal ikke nødvendigvis skære. Linier der ikke skærer er enten vindskæve eller parallele, i begge tilfælde har de en mindste afstand. For at finde ud af om to linier er parallele bruger man krydsproduktet af de to retningsvektorer. Er krydsproduktet lige med 0 (eller rettere: nulvektoren), så er de to linier parallele. For at finde afstanden bruger man formlen: ( r 1 r 2 ) P 1 P 2 dist(l 1, l 2 ) = (1) r 1 r 2 Derved er r 1 og r 2 de to liniers retningsvektorer (se Parameterfremstilling ) og P 1 P 2 er vektoren fra l 1 s punkt til l 2 s punkt. Det er ren indsætning. Husk at de to lodrette streger oppe i tælleren betyder, at man skal bruge den numeriske værdi af skalarproduktet ( r 1 r 2 ) P 1 P 2. Numerisk værdi betyder, at man sletter fortegnet: 5 = 5 = 5. I nævneren betyder de to lodrette steger, at man skal finde længden af krydsproduktet Planer Planer er to-dimensionale flader. De er defineret med to vektorer og et punkt. De kan være defineret ved et punkt og en vektor der står vinkelret på planen Parameterfremstilling af linie og plan Input: For linie: Et punkt og en vektor. For plan: Et punkt og to vektorer Output: En parameterfremstilling En parameterfremstilling definerer et objekt ved at angive et punkt og en eller flere vektorer. Disse vektorer har hver deres parameter, hvormed vektoren kan forlænges og forkortes for at angive alle punkter der er del af figuren. Antallet parametere betyder: 0 = punkt; 1 = linie; 2 plan; 3 = tredimensionalt rum;... 18

19 En parameterfremstilling har følgende form: x P x y = P y +t z P z } {{ } Punkt r x1 r y1 r z1 } {{ } Retningsvektor 1 +s r x2 r y2 r z2 } {{ } Retningsvektor 2 + Hvis der kun er retningsvektor 1, så er det en linie. Med 2 retningsvektorer er det en parameterfremstilling for en plan. t og s kaldes for parametere. Ved at gange vores retningsvektorer med parameteren kan den forlænges og forkortes (og ændre retning) sådan, at man beskriver alle punkter på linien eller planen. Prøv selv at tegne en vektor. Dens startpunkt er punktet i parameterfremstillingen. Forlæng din vektor med 2 (gang dens koordinater med 2). Forlæng den så med 3, -1 og -2. Ligner det en linie? Det skulle det gerne. Hvis vi så også bruger en vektor mere får vi en plan. Du har prøvet at lave en plan meget ofte uden at vide det. Når du har indtegnet punkterne i et normalt 2-dimensionalt koordinatsystem, så er dette koordinatsystem intet andet end en plan med parameterfremstillingen: ( x y ) ( ) ( ) ( ) = +t +s }{{} Punkt }{{} x-aksen }{{} y-aksen Hvis du har indtegnet punktet (2;4) så er det intet andet end at sætte t = 2 og s = 4. Ved at indsætte vilkårlige værdier ind som t og s kan alle punkter i planen (koordinatsystemen) beskrives Planligning Input: En normalvektor (eller to vektorer) Output: En planligning Planligningen indeholder koordinaterne til planens normalvektor (de tal der står foran x,y og z.) Planligningen har formen ax + by + cz + d = 0, hvor a, b og c er normalvektorens koordinatsæt. Planligningen kan enten bestemmes ved at have en normalvektor og et punkt, eller ved at have to vektorer der udspænder planen og et punkt. Metodisk findes så krydsproduktet af de to vektorer der udspænder planen. Den vektor kaldes for: Planligningen bestemmes så med: n 1 n 2 n 3 n 1 (x x 0 ) + n 2 (y y 0 ) + n 3 (z z 0 ) = 0 n 1, n 2 og n 3 er som det ses oppe normalvektorens koordinatsæt. x 0, y 0 og z 0 er punktet af planen (bare et eller andet punkt der tilhører/ligger i planen). Ved at gange ind i paranteserne får man så den kendte form ax + by + cz + d = 0. 19

20 Afstand mellem plan og punkter Input: Et punkt og en planligning Output: En afstand Afstanden er liniestykket mellem punktet og punktets vinkelrette projektion på planen. Til bestemmelse af afstanden bruges formlen: dist(p, plan) = a x+b y+c z+d a, hvor a, b, c 2 +b 2 +c 2 og d er tal fra planligningen (se Planligning ) og x, y og z er punktets koordinater Skæring med linie Input: En parameterfremstilling for en linie og en planligning Output: Et skæringspunkt Til at finde skæringspunktet for en plan og en linie, sætte liniens parameterfremstilling ind i planligningen, istedet for x, yogz. For at finde skæringspunktet mellem en linie og en plan, der ikke er paralelle, findes ved at sætte liniens parameterfremstilling ind i planligningen. Liniens parameterfremstilling ser sådan ud: x y = z Det kan også opfattes som tre ligninger: p 1 p 2 p 3 + t x = p 1 + t r 1 y = p 2 + t r 2 z = p 3 + t r 3 Vi erstatter nu i planligningen x med p 1 + t r 1. Vi laver et eksempel: Vi har linien m og planen α: x 1 3 m : y = 2 + t 4 z 3 1 α : 3x + 4y 2z 28 = 0 Nu sætter vi m ind i planligningen og beregner værdien for t: r 1 r 2 r 3 3(1 + 3t) + 4(2 + 4t) 2(3 + t) 28 = 0 (9t + 16t 2t) + ( ) = 0 23t 23 = 0 t = 1 Denne t-værdi indsættes igen i liniens parameterfremstillingen og dermed får man skæringspunktet: S(4,6,4). 20

21 Skæring med plan Input: To planerligninger Output: En parameterfremstilling for skæringslinien Ved skæring mellem to planer dannes en skæringslinie. Ved at lave krydsproduktet af de to normalvektorer fås skæringsliniens retningsvektor. Et punkt findes ved at sætte x=0 i begge planligninger og så løse andengradsligningen. Derved får vi y- og z-koordinaten, x=0. Vi skal finde en retningsvektor og et punkt for skæringslinien. Vi starter med retningsvektoren. Retningsvektoren findes ved at finde krydsproduktet af de to planers normalvektorer. Hvis vi ikke har begge normalvektorer (f.eks. fordi den ene plan kun er angivet som parameterfremstilling eller ved tre punkter) så skal vi først finde planligningen. (se Planligning ). Krydsproduktet er så retningsvektoren. For at finde et passende punkt skal vi sætte x,y eller z lige med 0 i planligningerne og derefter løse de to ligninger med de to ubekendte. Et eksempel: Vi har to planer: s sættes lige med 0 og y og z beregnes: α : x + 4y 5z 10 = 0 β : 2x + y + 5z 15 = 0 I : 4y 5z 10 = 0 II : y + 5z 15 = 0 I : z = 4 5 y 2 II : y + 5( 4 y 2) 15 = 0 5 II : 5y 25 = 0 II : y = 5 I : z = 2 Dermed er vores punkt: (0,5,2). Dermed har vi fundet forskriften for skæringslinien (hvis man nu endnu beregner krydsproduktet og skriver det p som parameterfremstilling) Kugler Kugleligningen har formen (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2, hvor x 0, y 0 og z 0 er koordinaterne til kuglens centrum og R er kuglens radius. En kugle har et midtpunkt og en radius. 21

22 Hvis vi har en kugle så, har kugleligningen følgende form: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 R 2, hvis vi kun har en kugle(over)flade, så har kugleligningen følgende form: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. Forskellen er, at kuglen er fyldt, som en billiardkugle, og kugleoverfladen kun består af selveste overfladen, sådan som en ballon Skæringsmængde for kugle og... Afstand<R Afstand=R Afstand>R Linie 2 punkter tangentpunkt ingen skæring Plan skæringscirkel tangentpunkt ingen skæring Kugle se tabel se tabel se tabel Tabel 1: Skæringsmængde (R=radius) Afstand< R 1 + R 2 Afstand=R 1 + R 2 Afstand> R 1 + R 2 Afstand< R 1 R 2 ingen skæring - - Afstand= R 1 R 2 - skæringspunkt - Afstand> R 1 R 2 skæringscirkel - ingen skæring Tabel 2: Skæringsmængde kugle-kugle (afstand=afstand af centrer) Skæring med linie Input: En kugleligning og en parameterfremstilling for en linie Output: To skæringspunkter (eller et interval) Ved skæring med en kugle er skæringsmængden et liniestykke (hvis linien skærer), et punkt(hvis linien kun tangerer) eller skæringsmængden er tom (ingen skæring). Ved skæring med en kugleflade er skæringsmængden op til to punkter (når linien skærer), et punkt(hvis linien kun tangerer) eller skæringsmængden er tom (ingen skæring). Hvilket af de tre nævnte tilfælde der gælder kan findes ved at undersøge afstanden mellem linien og kuglecentrum. Er afstanden mindre end kuglens radius er det første tilfælde rigtig, er afstanden lige så stor som radius, tangerer linien og hvis afstanden er større end radius er skæringsmængden tom (ingen skæring). Skæringspunkterne eller de pasende t-værdier for skæringsmængden findes på samme måde som ved skæring mellem plan og linie: x,y og z-forskrifterne af liniens parameterfremstilling indsættes i stedet for x, y og z i kuglens ligning. Så skal man kun regne ud. Man får en andengradsligning som man skal løse og finder dermed t-værdierne (hvis der er skæring). Når man ikke får nogen løsning er der ingen skæring, når man får en løsning tangerer linien 22

23 kuglen i et punkt. Hvis man får to forskellige t-værdier skærer linien. Hvis man skal finde skæringsmængden for skæring mellem linie og kugle, så angiver man liniens parameterfremstilling og intervallet for t-værdier. Eks.: Hvis man har fundet t-værdierne til at være 1 og 3, så angiver man parameterfremstillingen og skriver bag den: t [1; 3]. Dermed har man angivet hele skæringsmængden. Hvis man skal finde skæringspunkterne for en linie og en kugleflade så skal man indsætte de to t-værdier i parameterfremstillingen for kuglen og får så to punkter Skæring med plan Input: En kugleligning og en planligning Output: En radius og et midtpunkt af skæringscirklen (eller et tangentpunkt) Ved skæring med en kugle er skæringsmængden en fyldt skæringscirkel, dvs. cirklen er fyldt ud, sådan som en kugle er fyldt, i modsætning til en kugleflade, som ikke er fyldt Ved skæring med en kugleflade er skæringgsmængden en cirkelrand. Som skæringsmængde mellem en plan og kuglen angiver man kun cirklens radius og midtpunkt. Vi starter med midtpunktet: Midtpunktet af cirkeln findes ved at lave skæring mellem en linie, der har kuglens centrum som punkt og planens normalvektor som retningsvektor, og planen. Det er simpelthen lige som ved skæring mellem plan og linie. For at finde radius skal vi finde afstanden mellem planen og kuglens centrum. Det kan vi enten gøre ved at bruge afstandsformlen for punkt-plan eller finde længden af vektoren mellem kuglens centrum og det skæringspounkt som vi lige har fundet. Første metode er nok lidt hurtigere. Radius af cirklen er så: r = R 2 A 2 (hvor R=kuglens radius og A=afstanden mellem kuglens centrum og planen) Skæring med kugle Input: To kugleligninger Output: En radius og et midtpunkt af skæringscirklen (eller et tangentpunkt) Ved skæring mellem to kugle er skæringsmængden en linse. Det kan ikke løses i gymnasiet, og spiller derfor ingen rolle her. Ved skæring mellem to kugleflader er skæringgsmængden en cirkelrand. (Ingen af kuglefladerne må have centrum der ligger inde i den anden, ellers skal der opfyldes flere krav, se tabellen ovenfor). 23

24 Se tabellen over skæringsmængden mellem to kugler ovenfor. Som ved skæringen mellem kugle og plan får vi her også en skæringscirkel og skal igen finde midtpunktet og radius. Det gør vi sådan: Radius: Find først vinklen mellem forbindingslinien mellem de to kuglers centrer og cirkelranden. Find først afstanden af de to centre, den kaldes i det følgende for A. Afstanden findes ved at konstruere en vektor C 1 C 2 (C 1 og C 2 er de to centrer) hvoraf længden beregnes. Det er vigtigt at vælge den ene kugle som kugle 1, for ellers bliver det noget rod. R 1 og R 2 er de to kuglers radius. Radius finde nu med: Midtpunkt: Først beregner vi: Midtpunktet beregnes nu med: x y = z θ = cos 1 ( R2 1 + A2 R R 1 A ) c 1 c 2 c 3 r = sin θ R 1 M = cos θ R 1 } {{ } centrumkugle1 Dermed har vi også fundet midtpunktet. 3.3 Sandsynlighedsregning + M A a 1 a 2 a 3 } {{ } V ektorenfrac 1 tilc 2 En kort indledende kommentar: Sandsynlighedsregning er det, der giver mest problemer, da opgaverne er tekstopgaver hvoraf det ikke altid fremgår tydeligt, hvad opgaven er og hvad man skal bruge af formler. Læs derfor også afsnittet om opgaveanalyse som specielt tager sig af dette problem Kombinatorik Input: Forskellige mængder (antal elementer i en mængde) Output: Et antal kombinationer Kombinatorik omhandler på hvor mange måder man kan anordne, trække og vælge ting. Antallet af muligheder afhænger af mængden af elemnter og antal træk. Derudover spiller det en rolle om rækkefølgen har nogen betydning og om et element kan trækkes flere gange. 24

25 I kombinatorikken handler det især om at finde antal mulige kombinationer af en vis mængde elementer. Derved skelnes mellem tilbagelægning (sådan at et element kan trækkes engang til) eller uden tilbagelægning, og at skelne mellem anordninger hvor rækkefølgen spiller en rolle eller ej. Jeg angiver her kun formlerne. Udledningen kan findes i de fleste matematik-bøger der omhandler sandsynlighedsregning. Følgende tabel giver et overblik over formlerne i de forskellige tilfælde. Derved betyder tilbagelægning at et element kan trækkes/bruges flere gange. Usorteret/sorteret betyder, at rækkefølgen spiller en rolle for antallet af muligheder. Hvis vi ser på en usortert trækning er rækkefølgen uden betydning og så er kombinationen ABAB den samme som BBAA, fordi vi i begge har 2 A er og 2 B er. Når rækkefølgen har betydning (sorteret trækning) så er ABAB og BBAA to forskellige hændelser. n er mængden af elementer og k er antallet af træk: ( ( n k) Kn,k ). usorteret sorteret uden tilbagelægning med tilbagelæsgning ( n ( n+k 1 ) ) k) k k! n k ( n k Tabel 3: Kombinatorik Nogle eksempler: Vi skal vælge tre forskellige farver til at farvelægge en figur (Vi skal kun vælge farverne, ikke farvelægge figuren). Vi har 10 farver til rådighed. På hvor mange måder kan vi gøre det? Kan vi bruge en farve flere gange hvis det skal være forskellige farver? Nej. Dermed er der ingen tilbagelægning/elemntet(farven) kan ikke trækkes flere gange. Spiller det en rolle om vi f.eks. først vælger blå og så rød eller omvendt? Nej, for vi får i sidste ende blå og rød med i vores udvalg. Dermed skal vi bruge formlen: ( n k) med n=10 (mængden) og k=3 (antal træk) Vi kaster med terning og vil danne et 5-cifret tal. Ved første kast bestemmer vi med terningen tallets første ciffer osv. Hvor mange tal kan man få på den måde? Vi følger igen proceduren og spørger: Kan vi få flere cifre der er ens (altså. f.eks. have to 2-taller i vores tal)? Ja, kan vi. Spiller det nogen rolle i hvilken rækkefølge vi får cifrene? Ja, gør det, for er ikke det samme tal som 21433, selv om de begge indeholder de samme tal. Dermed er formlen for vores antal muligheder: n k med n=6 (antal af mulige udfald) og k=5 (antal kast) Sandsynligheder Input: Forskellige sandsynligheder Output: En sandsynlighed En sandsynlighed ligger mellem 0 og 1. 0 betyder, at en hændelse er umuligt, 1 at en hændelse er sikker. Det er svært at sige noget generelt om regning med sandsynligheder. De vigtigste formler står i formelsamlingen. Det skulle side fast, havd følgende skrivemåde betyder: P (A B). Det 25

26 læses: Sandsynligheden for A forudsat B. Det betyder at det er sandsynligheden for A, når vi ved at hændelse B er rigtig. Et eksempel: Vi har to urner. I den ene er der 10 kugler i alt, 4 røde. I urne B er der 8 kugler, 3 røde. Sandsynligheden for en rød kugle er i alt 7 18, fordi vi har 7 røde kugler og 18 i alt. Men hvad er sandsynligheden for at trække en rød kugle hvis vi kun trækker fra urne B? Den er 3 8, fordi der i urne B er 3 røde og 8 kugler i alt. Dette er sandsynligheden P (rød B), fordi vi har fundet sandsynligheden for en rød kugle når vi ved at den trækkes fra urne B. Følgende symboler fra mængdelæren skal læres: A B = Foreningsmængde: Alle elementer der enten ligger i A ELLER B (eller i begge) A B = Fællesmængde: Alle elementer der ligger i både A OG B Det anbefales at bruge skrivemåden med sandsynligheder mellem 0 og 1, da procenttal kan føre til fejl, f.eks. hvis der bruges potenser. Læs formlerne i formelsamlingen igennem og lær hvad de betyder Frekvensfunktion og komuleret funktion Frekvensfunktionen angiver en bestemt hændelses enkeltsandsynlighed. Den komulerede funktion er summen af enkeltsandsynlighederne for den hændelse der betragtes, og alle foregående hændelser. (Hvis f.eks. hændelsen 3 betragtes, så er den komulerede sandsynlighed summen af enkeltsandsynlighederne for 0, 1, 2 og 3, hvis det er binomial eller hypergeometrisk fordeling. Ved kontinuerede fordelinger, som f.eks. normalfordelingen, er den komulerede funktion stamfunktionen til frekvensfunktionen. En frekvensfunktion angiver sandsynligheden for en bestemt hændelse. Forskellen mellem frekvensfunktionen og den kommulerede funktion er at frekvensfunktionen angiver enkeltsandsynligheden for den enkelte hændelse og den komulerede funktion angiver sandsynligheden for den hændelse som betragtes og alle hændelser der er mindre, dvs. den komulerede funktion opsumerer sandsynlighederne. Se også forklaringen for frekvensfunktion og komuleret funktion for binomialfordelinger Binomialfordeling Input: En mængde og en sandsynlighed (og en hændelse som sandsynligheden skal findes af) Output: En sandsynlighed Binomialfordelingen angiver hvor sandsynligt X positive udfald er, når der er et bestemt antal træk som alle har samme sandsynlighed. 26

27 Bruges når det der undersøges (f.eks. et lod) bagefter lægges tilbage og dermed sandsynligheden for næste træk er den samme. Kan også bruges når mængden, som der trækkes fra, er meget stort i forhold til antallet af træk. (mindst 20 gange større, kunne være en regel) Et eksempel er kast af terning: Sandsynligheden for at få et bestemt tal er lige stor ved hvert kast. Når man vil finde sandsynligheden for en bestemt hændelse, når man trækker ud fra en meget stor mængde, eller, hvis det handler om f.eks. lodtrækning, lægger lodet tilbage, efter at man har noteret udfaldet. D.v.s. man trækker en bestemt mængde tilfældigt ud af en stor mængde. Ved at oplyse sandsynligheden for, at udfaldet er positivt, altså det, man har ønsket, kan man finde sandsynligheden for en bestemt hændelse. Eksempel: Man trækker 10 lod ud af en spand, med mange hundrede lod i (altså trækker man få elementer fra en forholdsvis stor mængde). Det oplyses, at hvert femte lod er en gevinst. Hvor stor er sandsynligheden for at få tre gevinster? Vi har nok oplysninger til at slå op i en tabel eller lommeregner. Vi har nemlig mængden n som her er 10 (n er antallet at træk) og vi har grundsandsynligheden p som her er 1 5 = 0, 2. (Hvis man ville trække uendeligt mange lod, så ville 1 5 være en gevinst.) Vi kigger nu i tabellen (eller bruger lommeregneren) og kigger på sandsynligheden for 3 positive udfald. Vi ser at den er ca. 0,2013. Det er løsningen på opgaven. Hvis du har fundet værdien 0,8791, så skyldes det, at det er den komulerede funktion, som tabellen viser. Se forklaringen af frekvensfunktion og komuleret funktion nedenunder. Frekvensfunktion Frekvensfunktionen angiver sandsynligheden for at få netop det resultat, som man slår op. I eksemplet har vi brugt frekvensfunktionen, fordi vi ville vide hvor sandsynligt det er at få NETOP tre gevinster. Figur 2: Frekvensfunktion af b(10;0,2) Komuleret funktion Ved den komulerede funktion oplyses sandsynligheden for, at resultatet ligger mellem nul og det tal som vi har udvalgt. Man adderer alle sandsynligheder fra frekvensfunktionen, op til det 27

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( ) Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Pointen med Differentiation

Pointen med Differentiation Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Polynomiumsbrøker og asymptoter

Polynomiumsbrøker og asymptoter Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

A U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x

A U E R B A C H M I K E   # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Øvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i

Øvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i 1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår forår 2019, eksamen maj-juni 2019 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse STX Fag og niveau Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

A U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x

A U E R B A C H M I K E   # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning   De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach. Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2

Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 -----------------------------------------------------DELPRØVE 1------------------------------------------------------- Opgave 1 - Reduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere