Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning"

Transkript

1 lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008

2 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7. INDLDNING...7. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT HÆNDLSR Brug af summatosteg Symmetrsk sadsylghedsfelt RGNING MD HÆNDLSR OG SANDSYNLIGHDR... KAP 3. BTINGT SANDSYNLIGHD...7. DFINITION AF BTINGT SANDSYNLIGHD...7. UDVIKLING PÅ HÆNDLSR...9 KSMPLR UAFHÆNGIG HÆNDLSR...0 KAP 4. BINOMIALFORDLINGN...3. GNTAGLS AF T KSPRIMNT t eksempel på e bomalfordelg De geerelle bomalfordelg...5. PASCALS TRKANT OG BINOMIALFORMLN BINOMIALFORDLINGN FORTSAT Stolpedagrammer for bomalfordelge Kumulerede sadsylgheder Stkprøveudtagg med tlbagelægg Stkprøveudtagg ude tlbagelægg...30 KAP 5. STOKASTISK VARIABL...3. HVAD R N STOKASTISK VARIABL...3. Mddelværd for e stokastsk varabel...3. Varas og spredg af e stokastsk varabel GNNMSNIT OG STANDARDAFVIGLS MIDDLVÆRDI OG SPRDNING AF BINOMIALFORDLINGN CHBYCHVS ULIGHD GRAFISK AFBILDNING. FORDLINGSFUNKTION...39 KAP 6. NORMALFORDLINGN...4. KONTINURT SANDSYNLIGHDSFORDLINGR...4. NORMALFORDLINGN ANVNDLSR AF NORMALFORDLINGN...4

3 KSMPL Avedelse af ormalfordelgspapr...44 OPGAVR...45 Kombatork...45 delgt sadsylghedsfelt...45 Betget sadsylghed...46 Bomalfordelg...46 Stokastsk varabel...47 Normalfordelge...47 INDKS...49

4 Kombatork Kap. Kombatork. Multplkatos- og addtosprcppet I kombatorkke beskæftger ma sg med metoder tl e systematsk optællg af atallet af forskellge måder, hvorpå e udvælgelse af elemeter fra e mægde ka fde sted. Kombatorkke bygger på to smple prcpper, som kaldes for multplkatosprcppet også kaldet for både-og prcppet og addtosprcppet også kaldet for ete-eller prcppet. Først vl v fastslå e helt elemetær tg. Hvs ma har e mægde på forskellge elemeter, ka ma udvælge etop ét elemet på forskellge måder. For eksempel, ka ma I e klasse med 4 elever udvælge e elev på 4 forskellge måder. Skal ma u udvælge både e elev på x-klasse 4 elever og e elev fra y-klasse 8 elever ræsoerer ma som følger: Hver gag ma har udvalgt e elev fra x-klasse 4 mulgheder, så har ma 8 mulgheder for at vælge e elev fra y-klasse. Adderer ma de 8 mulgheder 4 gage gver det alt mulgheder. Dette er et eksempel på dholdet af multplkatosprcppet: Skal ma både udvælge et elemet fra e mægde med -elemeter og et elemet fra e ade mægde med m- elemeter ka det gøres på m forskellge måder. Multplkatosprcppet kaldes også for både- og prcppet, af de grud, at hvs ma ved formulerge af udvælgelse ka sge både og, så skal ma multplcere atallet af valgmulgheder ved de to valg. Lad os u atage, at ma ete skal udvælge e elev fra x-klasse eller e elev fra y-klasse. I dette tlfælde er udvælgelse af e elev bladt 48, så der er 48 4 mulgheder. Dette er et eksempel på dholdet af addtosprcppet: Skal ma ete udvælge et elemet fra e mægde med -elemeter eller et elemet fra e ade mægde med m- elemeter ka det gøres på m forskellge måder. Addtosprcppet kaldes også for ete - eller prcppet, af de grud, at hvs ma ved formulerge af udvælgelse ka sge ete...eller, så skal ma addere atallet af valgmulgheder ved de to valg. Sker udvælgelse fra flere ed to mægder, skal ma aturlgvs blot multplcere eller addere atallet af mulgheder for udvælgelse fra hver af mægdere med hade. ksempler:

5 Kombatork. Skal ma f.eks. vælge e meu både forret, hovedret og dessert fra et meu med 4 forretter,7 hovedretter og 6 desserter, ka det gøres på måder. Har ma ku råd tl e ret ete forret, hovedret eller dessert er der mulgheder. cykellås har 6 taster, der hver ka placeres tre stllger Ud, Neutral, Id. Hvor mage forskellge mulgheder for lås gver det? Da v både skal vælge hvorda de. tast skal stå og de ade, og de tredje..., og da der er 3 mulgheder for hver gver multplkatosprcppet koder. De kode, hvor ge af tastere røres, er ok kke tlrådelg prakss. 3. tpskupo udfyldes ved at sætte et kryds et af tre felter, dette getaget 3 gage. Hvor mage mulgheder er der for at udfylde e kupo?. Lgesom ved cykellåse har v tre mulgheder for hver kamp, og v skal både vælge. og. og kamp. Ifølge multplkatosprcppet er der derfor mulgheder. Permutatoer Har ma -forskellge elemeter e mægde, tæk på elevere e klasse med 4, kaldes e rækkefølge på q-elemeter tæk på sdste række klasse, hvor q8 for e q-permutato af e - mægde. V øsker at opstlle e formel for atallet af forskellge q-permutatoer af e -mægde. Dette atal vl v betege med P,q eller P,q. Først vl v berege P, altså atallet af forskellge rækkefølger af elemeter - som v blot kalder atallet af permutatoer af e -mægde. V tæker os altså at v har 4 pladser og v fder atallet af forskellge måder, hvorpå dsse pladser ka besættes med elemeter Da både de første og de ade og de tredje, osv. plads skal besættes, skal v avede multplkatosprcppet. De første plads ka besættes på 4 måder. Når de er besat ka de æste plads besættes på - 3 måder. I alt ka de to første pladser følge multplkatosprcppet besættes på måder. De tredje på - måder...de æstsdste på måder og de sdste på måde. I alt følge multplkatosprcppet P, P4, For produktet af hele postve tal fra tl bruger ma betegelse! og det læses -udråbsteg eller -fakultet. Af hesy tl gyldghede af ogle seere formler deferer ma 0!.! ka udreges på lommeregere. F.eks. er 6! 70 og 0! V har altså vst formle: P,!.

6 Kombatork 3 Det er u relatvt smpelt at udlede e formel for P,q, hvor q. Altså atallet af q-rækkefølger af e -mægde. q 8, 4. Sdste række klasse Første plads på 4 måder. plads på - 3 måder, 3. plads på - måder...sdste plads på -q- -q Ifølge multplkatosprcppet fder v derfor: P,q q og som eksempel P4, , Første gag ma ser det, overraskes ma som regel over hvor stort et tal P4,8 egetlg er. For at få e mere kompakt formel, multplcerer ma højresde med -q! - med 6! eksemplet P4,8 - tæller og æver. Hermed får ma... q q!! ! P, q P4,8 q! q! 6! V fder altså formle :! P, q q! 4! 6! Bemærk, at med deftoe 0! blver formle også korrekt for q. P,!/0!! 3. Kombatoer Har ma e mægde A med elemeter, kaldet e -mægde tæk på e klasse med 4 elever, ka ma udvælge e delmægde af A på q-elemeter, kaldet e q-delmægde. et udvalg på 4 elever. såda q-delmægde er kke e permutato, ford rækkefølge af elemetere q-delmægde er uderordet. Rækkefølge af de 4 elever er uderordet. q-delmægde af e -mægde kaldes også for e kombato Atallet af forskellge kombatoer med q-elemeter udtaget af e -mægde atallet af forskellge udvalg på 4 elever, der ka daes e klasse med 4 elever beteges K,q. V øsker at fde e formel for K,q. V bemærker, at det trvelt gælder, at K, og K, V geemfører først ræsoemetet med udvalget på 4 elever. Udvalget skal - efter de er valgt - kosttuere sg med e formad, e æstformad, e kasserer og e referet. V vl u berege atallet af mulgheder for et udvalg på to forskellge måder. Udvalget ka edsættes på K4,4 forskellge måder, følge deftoe ovefor, me v keder foreløbg kke tallet K4,4. Når et af de K4,4 forskellge udvalg er edsat, ka det kosttuere sg på 4 3 måder 4 mulgheder for formad, deræst 3 for æstformad osv.. Det kosttuerede udvalg ka derfor vælges på K4,4 4 3 K4,4 4! forskellge måder.

7 Kombatork 4 V kue mdlertd også tæke os at udvalget blev edsat ved drekte valg af formad, æstformad, osv. Da rækkefølge u er væsetlg det er f.eks. et yt udvalg, hvs ma f.eks. bytter om på formad og referet - er atallet af mulgheder P4,4. Atallet af forskellge udvalg må være det samme, hvad ete det vælges drekte eller kosttuerer sg. Derfor må der gælde. K4,4 4 3 P4,4 P 4, 4 4! K 4, ! 4! 0.66 Dette er de øskede formel for K4,4. Ræsoemetet ka geemføres ordret med og q stedet for 4 og 4. Skal v udvælge e q- permutato, ka det gøres på P,q forskellge måder. Me v ka også få e q-permutato ved først at udvælge e kombato e q-delmægde, hvlket ka gøres på K,q forskellge måder og så permutere de q elemeter. Der er q! forskellge permutatoer. Der må således gælde: P, q K,q q! P,q K, q q!! q! q! V har u opået e geerel formel for K,q, som v vl gøre e del brug af det følgede. Tl praktsk beregg af P,q og sær K,q, aveder ma ofte e formel, hvor ma dvderer -q! op tællere.: Dette gver formlere:... q P, q... q K, q 3... q Bemærk, at de sdste formel er der det samme atal faktorer q tæller og æver. ksempler. Lotto. Når ma spller lotto, skal ma vælge 7 tal bladt 36. V vl fde, hvor mage forskellge lottokupoer, der ka daes. lottokupo er det samme, som e 7-delmægde af e 36 mægde, så svaret er smpelthe 36! K 36, !7!. e klasse med 0 drege og pger, skal der edsættes et udvalg beståede af drege og pger. På hvor mage måder ka udvalget edsættes. De to drege ka vælges på K0, 45 måder og de to pger på K, 66 måder. Ifølge multplkatosprcppet, er atallet af forskellge udvalg herefter K0, K, Af e forsamlg på 8 kvder og mæd, skal der edsættes et udvalg på 5 medlemmer. På hvor mage måder ka det gøres år, a Der ka vælges frt mellem de 0 medlemmer. b Udvalget skal have mdst e kvde og e mad. c Udvalget skal have mdst to kvder og to mæd. a K0,

8 Kombatork 5 b V fder atallet ved at subtrahere de udvalg, som består af lutter mæd eller lutter kvder: K0,5 K8,5 K, c Der er ku mulgheder, ete er der 3 kvder og mæd eller kvder og 3 mæd. V aveder da såvel multplkatos- som addtosprcppet. K,3 K8, K, K8,3 985

9

10 delgt Sadsylghedsfelt 7 Kap. delgt Sadsylghedsfelt. Idledg I daglgsprog aveder ma ofte begrebet "sadsylghede for ", og ofte syoymt med begrebet "chace for ". Ma agver da sadsylghede ete som e ægte brøk mellem 0 og eller ma agver de procet. Når ma aveder begrebet sadsylghed, er det altd forbudet med e uvshed om, hvorvdt e hædelse vl dtræffe eller ej. Chace for, at ma vder på roulette et Caso. Sadsylghede for, at togee kører ude forskelse tl morge. Sadsylghede er udtryk for e vurderg af hvorvdt e hædelse vl dtræffe eller ej. I matematkke er sadsylghedsregge e "model" af et "ekspermet", hvor udfaldet er delvs ukedt. I matematkke beskæftger ma sg kke med at fastsætte sadsylgheder for et bestemt ekspermet, f.eks. sadsylghede for at slå e sekser ved kast med e terg. Me så sart ogle prmære sadsylgheder er fastsat, ka ma drage e række vdtgåede og ofte overraskede kosekveser. Dette vl v u beskæftge os med det følgede. Først vl v defere grudlaget for e matematsk model af et "tlfældgt ekspermet". Det ka for eksempel være kast med e terg eller at trække et kort fra e kortbuke.. delgt sadsylghedsfelt t edelgt sadsylghedsfelt U,P er e formalserg af et "tlfældgt ekspermet". Det består af e edelg mægde U og e fukto P med deftosmægde U, og som har egeskabere U {u, u, u 3,, u } U kaldes for udfaldsrummet, og elemetere U beteges udfald. Pu beteges "Sadsylghede for udfaldet u" dtræffer. For alle u U gælder: 0 Pu. samt at: Pu Pu Pu 3 Pu Formuleret ord, så er sadsylghede for et udfald altd et tal mellem 0 og, og summe af sadsylghedere for alle udfald udfaldsrummet er. Dsse betgelser er de eeste, der skal være opfyldt for et edelgt sadsylghedsfelt. Teore beskæftger sg dermod kke med fastsættelse af sadsylghedere, eller hvorvdt de har oget som helst at gøre med udførelse af et vrkelgt ekspermet. ksempel. Kast med e terg. Udfaldsrummet er her U {,,3,4,5,6}. V atager, at alle udfald har samme sadsylghed. Ifølge de. betgelse, må der derfor gælde: 6 Pu eller Pu /6 for samtlge udfald.. Kast Med to møter. Her ka v skrve udfaldee, det pplat og kkroe: U {p,p, p,k, k,p, k,k} Idet v atager, at dsse 4 udfald har samme sadsylghed, er sadsylghede for hvert af udfaldee ¼.

11 delgt Sadsylghedsfelt 8 3. Ved spl på e roulette et caso er der 37 felter med umre Udfaldsrummet er derfor U {0,,, 3 36} Det er e almdelg atagelse, at sadsylghede er de samme Pu /37 for at kugle lader på et af dsse 37 felter. 4. Kast med to terger. rød og e grø. V ka skrve udfaldee som atal øje på rød terg, atal øje på grø terg. Med dee otato, blver udfaldsrummet U U {,,,,.,6,,,,,,6..6,5, 6,6} Da der er 6 mulgheder for, hvad de røde terg vser og for hver af dsse 6 mulgheder, 6 mulgheder for de grøe terg, gver dette alt udfald udfaldsrummet. V atager, at alle dsse udfald har samme sadsylghed, og sadsylghede for ethvert af udfaldee er derfor /36 3. Hædelser hædelse H er formelt deferet som e delmægde af udfaldsrummet. Hædelser skrves altd med store bogstaver. Udfald skrves med små bogstaver. Hvs et udfaldsrum er deferet ved U {u, u, u 3,, u }, så ka hædelser være A {u, u 7, u 8 }, B {u 4 } eller C {u, u 7 }. Ma formulerer ofte e hædelse ord. I eksemplet med kast med e terg, ka ma f.eks. om hædelse. A: at ma får et lge øjetal, B: at ma kke får e sekser, C: at ma får et øjetal, som er større ed 4. De 3 hædelser ka skrves: A {, 4, 6}, B {,, 3, 4, 5} og C {5,6}. I sadsylghedsregge er opgave ofte de at afgøre og ofte ved hjælp af kombatork, hvlke udfald, der tlhører e bestemt hædelse. I eksemplet ovefor er det trvelt, me det er ofte lagt fra tlfældet. Ret Itutvt, vl ma ok eksemplet ovefor udrege sadsylghedere for de 3 hædelser tl: PA 3/6 ½, PB 5/6 og PC /6 /3 Hvlket også er korrekt, og som fører tl følgede defto. Ved sadsylghede for e hædelse PH forstår ma summe af sadsylghedere for de udfald, som tlhører hædelse H Hvs U {u, u, u 3,, u }, og A {u, u 7, u 8 }, så er PA Pu Pu 7 Pu 8 Det er let at godtgøre, at de udregede sadsylgheder for hædelsere A, B og C eksemplet med kast med e terg er overesstemmelse med dee defto. Da såvel udfaldsrummet U, som de tomme mægde Ø er delmægder af udfaldsrummet fører det tl to specelle hædelser. U kaldes for de skre hædelse. PU, følge deftoe Ø kaldes for de umulge hædelse. PØ 0, følge deftoe

12 delgt Sadsylghedsfelt 9 3. Brug af summatosteg Når ma opererer med hædelser, er det praktsk for kke at sge ødvedgt at avede det såkaldte summatosteg Σ. Summatosteget er e forkortet skrvemåde for e sum af led. Nedefor er vst ogle eksempler på dette P H P u u H Det første summatosteg agver summe af brøkere / tl /0. kaldes for edre græse og 0 for øvre græse. Summe udreges ved at sætte udtrykket der står efter ma sger "uder" summatosteget og sætte et plusteg, derefter sætte 3, og såda fremdeles, dtl 0. I det adet udtryk er der kke agvet edre og øvre græse. I stedet skal det forstås således, at ma summerer sadsylghedere over alle udfald som tlhører H. Hvlket etop er sadsylghede for hædelse H. 3. Symmetrsk sadsylghedsfelt V har eksemplere ovefor betragtet udfaldsrum, hvor alle udfald har samme sadsylghed. t sådat sadsylghedsfelt kaldes symmetrsk. Hvs der er udfald et symmetrsk udfaldsrum, må sadsylghede for ethvert udfald være, da summe af de sadsylgheder skal være. I et symmetrsk sadsylghedsfelt med -udfald er Pu I et symmetrsk sadsylghedsfelt er det specelt smpelt at fde sadsylghede for e hædelse H. Ifølge deftoe, skal ma emlg addere sadsylghede for de elemeter, som tlhører hædelse. Hvs udfaldsrummet har elemeter, og hædelse H har q elemeter, skal ma udrege summe: P u... u H P H q Ma udreger sadsylghede for e hædelse, som atallet af udfald hædelse dvderet med atallet af udfald udfaldsrummet. I dee forbdelse aveder ma e bestemt sprogbrug. Udfaldee udfaldsrummet, kaldes de mulge udfald. t udfald, som tlhører hædelse kaldes et gustgt udfald for hædelse. Ma ka da opskrve sadsylghede for e hædelse på e måde, som er let at huske. gustge udfald gustge H P H eller blot P H eller P H mulge udfald mulge U I det sdste udtryk læses H og U som atallet af udfald heholdsvs H og U.

13 delgt Sadsylghedsfelt 0 ksempler. V tæker os, at v trækker et kort fra et almdelgt kortspl med 5 kort. V vl bestemme sadsylghede for følgede hædelser: A: V trækker e spar. B: v trækker et blledkort. C: V trækker et es. Idet U 5, og for de 3 hædelser gælder: A 3, B og C 4, fder ma sadsylghedere: P A 3 A U 5 4 P B B U P C 4 C U 5 3. V ser u på kast med to terger e grø og e rød. V øsker at fde sadsylghedere P, P3,., P for at summe af øjetallee er, 3, 4,,. V har før set på udfaldsrummet. Det ka opskrves som følger: U {,,,,.,6,,,,,,6..6,5, 6,6}. Udfaldsrummet er symmetrsk, består af 36 elemeter og sadsylghede for et af dsse udfald er /36. Beregge af sadsylghederee P,,P, går derfor blot ud på at optælle, hvor mage udfald, der er hver af hædelsere. Heraf fås: P 36 Udfaldet {,} P Udfaldee {,,,} P4 36 Udfaldee {,3, 3,,,} P Udfaldee {,4, 4,,,3, 3,} 5 P6 36 Udfaldee {,5, 5,,,4, 4,,3,3} P Udfaldee {,6, 6,,,5, 5,, 3,4, 4,3} På helt tlsvarede måder fder ma sadsylghedere: 5 P8, P9 4 36, P , P 36 og P V ka u defere et yt kke symmetrsk sadsylghedsfelt med udfaldsrum U {,3,4,,} og sadsylgheder gvet ved tabelle: delg ka ma tege et pdedagram over sadsylghedsfordelge

14 delgt Sadsylghedsfelt 3. Fødselsdagsproblemet. Dette er et klasssk eksempel, som fdes de fleste lærebøger om sadsylghedsregg. Hvs ma har e klasse på 4 elever. Hvad er så sadsylghede for at mdst to elever har fødselsdag på samme dag. Mere geerelt, hvs ma har persoer, hvor <365, hvad er så sadsylghede for at mdst to har fødselsdag på samme dag. I tlfældet 4 er det teressat f.eks. med heblk på et væddemål at udersøge, hvorvdt dee sadsylghed er større ed ½. V bestemmer først atallet af elemeter udfaldsrummet. Da hver perso har 365 mulgheder for fødselsdag er der mulgheder for placerg af fødselsdage på de persoer. For at udrege de øskede sadsylghed, udreger v stedet sadsylghede PH for de komplemetære hædelse, altså at de persoer alle har fødselsdag på forskellge dage. Sadsylghede for mdst et sammefald, ka så udreges som -P. De gustge udfald for H er faktorer. 365 mulgheder for de første, 364 for de ade osv. PH udreges da som tdlgere, som atal gustge udfald dvderet med atal mulge udfald. P H Med ldt tålmodghed, ka ma på e lommereger udrege dette udtryk for 4. Ma fder at sadsylghede er ldt mdre ed ½, o dermed, at der ldt overraskede er mere ed 50% chace for sammefald af fødselsdage e klasse med 4 elever. For er der dermod mdre ed 50% chace for sammefald af fødselsdage. Selv om det er ldt over det faglge veau for dsse oter, vl v vse, hvorledes ma smplere ka berege sadsylghede ovefor. For at udlede formle dvderer v 365 op tællere hver af brøkere udtrykket ovefor og tager de aturlge logartme tl begge sder. P H l P H l l l For l fuktoe gælder der følgede tlærmelsesformel, år h er umersk meget mdre ed mdre ed /0 lh h. Avedes dee formel på de - led fder ma: l P H V søger da at bestemme således at PH < ½ l PH < l½ l PH < -0,693 Dette gver ulghede 365 < 0,693 > 505,963 Udreger ma u - for,,3, 4 fder ma: 40, 46, 506, 55. Koklusoe er altså, at der skal være mdst 3 elever e klasse for at sadsylghede for sammefald af fødselsdage er større ed ½. Udreger ma sadsylghede fder ma: -PH 0, Regg med hædelser og sadsylgheder For to delmægder A og B af e mægde U ka ma som bekedt dae ogle ye mægder: Foregsmægde A B, som er de elemeter, som ete tlhører A eller tlhører B. Fællesmægde A B, som er de elemeter, som både tlhører A og B. Dfferesmægde A\B, som er de elemeter A, som kke tlhører B. Komplemetærmægde tl A, A som er de elemeter U, som kke tlhører A. Nedefor er de 4 begreber llustreret grafsk.

15 delgt Sadsylghedsfelt A B A B A\B A Hvs A og B er hædelser I et udfaldsrum U, svarer de 4 mægder: A B, A B, A\B og A tl hædelser. Ma udtrykker dette på følgede måde: Foregs-hædelse A B, dtræffer, hvs mdst e af hædelsere A og B dtræffer Fælles-hædelse A B, dtræffer, hvs både A og B dtræffer samtdg. Dfferes-hædelse A\B, dtræffer, hvs A dtræffer, og B kke dtræffer. Komplemetær-hædelse A, dtræffer, hvs A kke dtræffer. Der gælder ogle regeregler for sadsylgheder for hædelser. V opskrver først dsse sadsylgheder ved hjælp af summatosteg, der jo som ævt betyder, at v adderer sadsylghedere for de udfald, som tlhører e hædelse. A P u B P P u A P P u u B AU B P u P A B u AUB V ka så udlede følgede regeregler: I P u P A \ B P u P A P u u AIB u A\ B u CA

16 delgt Sadsylghedsfelt 3 P AU B P u P u P u - P u u AUB u A u B u AIB Når skal summere over atallet af udfald fællesmægde, ved at summere over elemetere A plus elemetere B, så tæller v elemetere fællesmægde af A og B to gage, hvorfor v må trække dem fra. V får derfor formle: PA B PA PB PA B Sadsylghede for at ete A eller B dtræffer, er sadsylghede for at A dtræffer plus sadsylghede for at B dtræffer mus sadsylghede for at de dtræffer samtdg. Hvs A B Ø, altså hvs fællesmægde er tom, sges de to hædelser at udelukke hade. I dette tlfælde blver formle smplere, det PØ 0. PA B PA PB På helt tlsvarede vs fder ma: P A P u P u - P u u CA P A PA u U Sadsylghede for at A kke dtræffer er mus sadsylghede for at de dtræffer. P A \ B P u u A\ B u A PA\B PA PA B u A P u - P u u AIB Sadsylghede for at A dtræffer, me B dtræffer kke, er sadsylghede for at A dtræffer mus sadsylghede for at A og B dtræffer samtdg. ksempler. V betragter først eksemplet, hvor v trækker et kort fra e kortbuke. V vl fde sadsylghede for følgede hædelser: A: Ma trækker et blledkort eller e spar. B: Ma trækker kke et blledkort. C: Ma trækker et blledkort, me kke e hjerter. Ifølge formlere ovefor gælder: PA PBlledkort Pspar PBlledkort spar 40 0 PB PBlledkort PC PBlledkort - PBlledkort hjerter

17 delgt Sadsylghedsfelt 4. V betragter deræst eksemplet med samtdg kast med to terger. V ser på følgede hædelser: A: De to terger vser samme øjetal. B: De to terger vser forskellge øjetal. C: De røde terg vser mere ed de grøe. D: V slår kke e sekser. D: V slår mdst e sekser. PA 6 PB - PA I øjagtg halvdele af de 36-6 udfald, hvor tergere vser forskellgt, vser de røde mere ed de grøe, så svaret er: 5 5 PC P B 36 5 Der er udfald, hvor ge af terger vser 6 øje. Derfor er PD P PD Stkprøveudtagg ude tlbagelægg. Dette er e klasssk dscpl defor sadsylghedsregge, som oftest blver formuleret ved at ma tager et atal kugler af forskellge farver fra e ure, og bereger sadsylghede for forskellge farvekombatoer. V skal se på to eksempler på e såda problematk. 3. I e klasse er der 0 drege og pger, og der skal edsættes et udvalg på 4 elever. V vl bestemme sadsylghede for følgede hædelser. A: udvalget består af lutter pger. B: Udvalget består af to drege og to pger. C: Der er mdst e dreg udvalget. For at udrege dsse sadsylgheder, vl v erdre om formle for sadsylghede for e hædelse H P H Gustge udfald Mulge udfald! 4! 4! De mulge udfald er K, De 4 pger ka vælges på K,4 495 måder. Herefter får v: K,4 K, P4 pger PA Helt på samme måde fder ma: K0, K, K, P dregepger PB 0, 4060 PMdst e dreg PC -P4 pger - 0,0667 0, I e skuffe lgger der uordet 6 blå, 8 grå og 0 sorte sokker. perso tager ude at kotrollere farve 3 sokker det håb at få to af samme farve. V vl udrege sadsylghedere for hædelsere. A: Ma får 3 forskellge sokker. B: Ma får ete 3 blå eller 3 grå eller 3 sorte sokker. C: Ma får mdst sokker samme farve De mulge udfald er K680,3 K4,

18 delgt Sadsylghedsfelt K4,3 04 P3 forskellge 0, 37 K6,3 K8,3 K0,3 K4, P3 samme farve 0, 0968 PMdst samme farve - P3 forskellge - 0,37 0, Sadsylgheder ved lottospl. Der vælges 7 tal ud af 36 mulge. Der udtrækkes på tlfældg måde 7 vdertal og tllægstal.ma får præme for 7 rgtge, 6 rgtge plus et tllægstal, 6rgtge, 5 rgtge og 4 rgtge. V vl udrege sadsylghedere for at få ehver af dsse præmer. De mulge måder at udvælge 7 tal ud af 36 er 36! K 36, !36 7! Følgelg er sadsylghede for 7 rgtge P7 p7,979 0 K36,7 7 Når vs skal udrege sadsylghede for 6 rgtge plus et tllægstal, ræsoerer v på følgede måde: De 6 rgtge ka vælges ud af 7 på K7,6 7 forskellge måder, og tllægstallet ka vælges på måder. Da v både skal have 6 rgtge og et tllægstal rgtgt, skal de to tal multplceres for at fde atal gustge udfald. P6 rgtge tt K7,6*/K36,74/K36,74*p 7,677*0-6 På samme måde ka v fde sadsylghede for 6 rgtge, det atal gustge er K7,6 gage med atal måder det forkerte tal ka vælges på: det må hverke være et af de 7 rgtge eller et tllægstal. P6 rgtge K7,6*7/K36,7 89*p 7,64*0-5 Sadsylghede for 5 rgtge fdes som atallet af måder at udtage 5 rgtge ud af 7 lg med K7,5, gage atallet af mulgheder for udvælgelse af de to sdste tal, som ka vælges bladt tal. Dette atal er K9,. P5 rgtge K7,5*K9,/K36,7 856*p 7,0*0-3,0 / På helt samme måde opskrver v sadsylghede for 4 rgtge, det de gustge er K7,4 *K9,3 4 rgtge ud valgt bladt 7, gage 3 forkerte udvalgt bladt 9. P4 rgtge K7,4*K9,3/K36, *p 7 0,053,53% Af dette fremgår, at chace for at få mere ed 4 rgtge er uhyre rge. Tl gegæld er der e rmelg chace for at få 4 rgtge. Dette er helt bevdst for dem der har plalagt spllet. rfarge vser emlg, at hvs ma aldrg vder, holder ma op med at splle efter e vs td.

19 delgt Sadsylghedsfelt 6

20 Betget sadsylghed 7 Kap 3. Betget sadsylghed. Defto af betget sadsylghed På et gymasum er 56% af elevere matematkere og 44% sproglge. Bladt matematkere er 60 % drege, mes der bladt de sproglge er 5% drege. Dette er søgt llustreret edefor. Mat 0,56 Spr 0,44 Drege Drege 0,5 0,60 Pger 0,40 Pger 0,75 V betragter det ekspermet, at ma på tlfældg måde udtager e elev, og v dfører ogle betegelser for hædelser M: Der udtrækkes e matematker. S: Der udtrækkes e sproglg. D: Der udtrækkes e dreg. K: Der udtrækkes e pge. V ka da umddelbart opskrve ogle sadsylgheder: PM 0,56 og PS 0,44. Sadsylghedere PD og PK ka v mdlertd kke umddelbart opskrve. Udtrækkes e elev ku bladt matematkere er sadsylghede for at udtrække e dreg mdlertd 0,60 følge oveståede. Dette ka v udtrykke således: Sadsylghede for at udtrække e dreg, år det er gvet, at det er e matematker er 0,60. Dette kalder ma matematkke for de betgede sadsylghed for dreg, gvet matematker. Sadsylghede skrves på følgede måde: PD M 0,60 De lodrette streg mellem de to hædelser læses som "gvet". PD M læses da som: "Sadsylghede for dreg, gvet matematker". Helt på de samme måde ka v skrve: PK M 0,40, PD S 0,5 og PK S 0,75 V skal u se på hvorledes ma ka udrege PD M et symmetrsk sadsylghedsfelt. Som sædvalg beteger v med H atallet af elemeter e mægde H. atal udfald e hædelse H

21 Betget sadsylghed 8 Hædelse " matematsk dreg" er D M. PD M udreges da som sædvalg som gustge/mulge, altså som: Atallet af matematske drege dvderet med atallet af matematkere. D M P D M M Dvderer v u dee formel tæller og æver med U atallet af udfald udfaldsrummet fås: D M P D M M D M u M U P D M P M V deferer u for to vlkårlge hædelser A og H Ø et vlkårlgt kke ødvedgvs symmetrsk sadsylghedsfelt: De betgede sadsylghed for hædelse A gvet H dvs. år H er dtruffet, som: P A H P A H P H Sadsylghede for A: gvet H er sadsylghede for at både A og H dtræffer, dvderet med sadsylghede for at H dtræffer. Ofte aveder ma formle ved at gage geem med PH. PA H PA H PH Da A H H A, gælder der åbebart PA H PH A og hermed PA H PH PH A PA P A H P H A P A P H Dee formel kaldes for Bayes formel. Ret formelt er Bayes formel helt ekel, me det uderlge er, at der formle blver byttet om på kausaltete hvad der er årsage tl hvad af de to hædelser. Det er emlg megsløst at tale om sadsylghede for e hædelse, som er dtruffet. Hvs f.eks. sadsylghede for e ulykke er betget af glat føre, så ka ma ved formle udrege sadsylghede for at det har været glat føre, hvs ulykke er dtruffet. Pote er så de, at det faktsk er kedt om det var glat føre på ulykkestdspuktet, og at det derfor er megsløst, at tale om sadsylghede for at det dtræffer. Statstsk set, vl det dog ok passe, at de dertl svarede procet af alle ulykker er sket glat føre.

22 Betget sadsylghed 9 ksempler. Der trækkes et kort fra et kortspl. Det oplyses, at det er e hjerter H. Fd sadsylghede for at det er et blledkort B. Opgave ka løses på to måder: Atallet af blledekort hjerter er 3 og der er 3 hjerter, derfor er sadsylghede: PB H 3 3. Opgave ka mdlertd også løse ved formle ovefor: 3 P B H 5 3 P B H P H famle har 3 bør. a Fd sadsylghede for, at der bladt børee er e dreg og e pge A Der er alt 3 8 mulgheder. På samme måde som 3 kast med e møt. Der er udfald lutter drege eller 6 3 lutter pger, hvor det kke er tlfældet. Sadsylghede er derfor PA. 8 4 b Samme spørgsmål, år det oplyses, at de har e pge P. V skal altså bestemme sadsylghede PA P 6 P A P 8 6 P A P P P De to sadsylgheder følger af at A P A og A 6, samt P 7 8-lutter drege. 3. Dette eksempel, agår egetlg kke betget sadsylghed. Det er dermod e klasssk gåde, som også har været stllet matematklæreres fagblad, og som ofte gver aledg tl fejlslutger. Det ka formuleres som følger. Der er 3 es skabe. De to af dem er tomme, mes der er e guldmøt de tredje. perso blver bedt om at vælge et skab. fter dette valg er foretaget, blver et af de tomme skabe åbet. Spørgsmålet er da: Skal ma vælge om? Skal ma kke vælge om? r det uderordet om ma vælger om eller ej? De fleste er tlbøjelge tl at svare, at det er uderordet om ma vælger om eller ej, me dette er forkert af følgede grud. Ved det første valg har ma udpeget guldkrukke med sadsylghede /3. Dee sadsylghed ædres kke ved at ma åber et af de to tomme skabe. fter det ee skab er åbet har ma mdlertd ku to mulgheder og dermed sadsylghede ½ for at vælge skabet med guldkrukke. Ma skal følgelg altd vælge om.. Udvklg på hædelser V magler stadg, at besvare ogle spørgsmål fra det dledede eksempel med elevere et gymasum. V vl u fde sadsylghede for at de udtruke elev er e dreg. V keder sadsylghedere PD M 0,60 og PD S 0,5 samt sadsylghedere PM 0,56 og PS 0,44. V "udvkler" u hædelse D på de to hædelser M og S: D D M D S Dregee er de som går I matematsk gymasum samt de som går I sproglg gymasum. Da de to hædelser: D M og D S er dsjukte de har ge fælles elemeter, ka v avede de forkortede verso af regg med hædelser: PD PD M PD S På højresde af udtrykket ovefor aveder v deræst formle for betget sadsylghed: PD PD M PM PD S PS

23 Betget sadsylghed 0 Dee formel ka ku avedes, år M S U og M S Ø. Ma sger dette tlfælde at M og S udgør e klassedelg af U. Mere geerelt sger ma at mægdere H, H, H 3,, H udgør e klassedelg af e mægde U, hvs U H H H 3 H og H H j Ø for alle j. De geerelle formel blver herefter: ksempler PA PA H PH PA H PH PA H 3 PH 3 PA H PH. V ka u jf. ovefor berege PD 0,60 0,560,5 0,44 0,446. Der udtrækkes e elev. Det oplyses, at det er e dreg. Fd sadsylghede for at det er e sproglg. V øsker altså at bestemme sadsylghede PS D. V keder ku de omvedte sadsylghed, så v aveder Bayes formel: P D S P S 0,5 0,44 P S D 0,47 P D 0, Der er 75% sadsylghed for at e spller lyver. Ha kaster e terg, og blver spurgt om det var e sekser. a Hvad er sadsylghede for at har svarer ja? b Hvad er sadsylghede for at det var e sekser, hvs ha svarede ja. V udvkler på hædelsere "sekser" "Ikke sekser" Pja Pja Ikke sekser PIkke sekser Pja sekser Psekser Pja PHa lyver PIkke sekser PHa lyver kke Psekser a b P ja P ja Sekser P Sekser P Sekser ja 4 6 P ja Uafhægge hædelser V har kke edu gvet e geerel formel tl beregg af sadsylghede for "både og hædelse", altså sadsylghede PA B, år PA og PB er kedte. De fleste vl mee, at ma ok skal multplcere de to sadsylgheder, me dette er ku korrekt hvs de to hædelser A og B er uafhægge af hade. ksempel Hvs ma trækker et kort fra et kortspl og ser på hædelsere A: t blledkort. B: t rødt blledkort. C: hjerter. Så er såvel A C, som B C: t blledkort hjerter. Da der er 3 blledkort hjerter er PA C PB C 3/5. Imdlertd er : PA PC /5 3/5 /5 /43/5 PA C, mes PB PC 6/5 3/5 PB C, så de to hædelser A og C er uafhægge af hade, mes B og C afhæger af hade, hvlket vel også er klart ok. Der er det samme atal blledkort alle farver

24 Betget sadsylghed Veder v mdlertd tlbage tl deftoe af betget sadsylghed, så gælder der: PA B PA B PB Hvlket er de korrekte måde at udrege PA B. Begrebet uafhægge hædelser, hvler på følgede defto. hædelse A sges at være uafhægg af hædelse B, hvs PA PA B. Idsættes dette udtrykket for betget sadsylghed, fder ma: PA B PA B PB PA PB Ofte ka det være svært at geemskue om to hædelser er uafhægge af hade eller ej. Spørgsmålet ka da afgøres ved at udrege PA B og PA PB og sammelge. Da formle PA B PA PB er symmetrsk A og B samme formel, hvs ma ombytter A og B, så følger det, at hvs A er uafhægg af B, så er B også uafhægg af A. Ma sger derfor, at de to hædelser er uafhægge. ksempler. Det er e udbredt fejlslutg, at hvs ma f.eks. kaster e møt, og har slået plat 5 gage, så er der større sadsylghed for at slå kroe æste kast. Det er kke tlfældet. thvert kast er uafhæggt af de foregåede og har samme sadsylghed for at gve kroe. Noget helt tlsvarede gør sg gældede, hvs ma spller på rød eller sort et caso eller hvs ma meer, at der er større sadsylghed for at få e dreg, hvs ma har 3 pger forveje. Det er dermod korrekt, at der er lagt større sadsylghed for at få kroe mdst e gag e sere på 5 kast med e møt ed ge kroe. Helt præcst gælder der: P5 plat gustge mulge 5 3 PMdst kroe P5 plat 3. Sadsylghede for at få e sekser er /6. I geemst skulle ma derfor få e sekser 6 forsøg. V vl bestemme sadsylghede for kke at få e sekser 6 kast. Pej sekser 5/6. Da de 6 kast er uafhægge af hade, skal v blot multplcere 5/6 med sg selv 6 gage. Pej sekser 6 kast 0, Det ka godt være svært umddelbart at geemskue, hvorvdt to hædelser er uafhægge eller ej. I forbdelse med kast med e terg, betragter v følgede hædelser: A: Første kast vser 4 øje. B: Summe af de to øjetal er 7. C: Summe af de to øjetal er 5. V fder: 6 4 P A P B P C P A B P A C Af dette slutter v, at A og B er uafhægge, mes A og C afhæger af hade

25

26 Bomalfordelge 3 Kap 4. Bomalfordelge. Getagelse af et ekspermet V vl u se på de stuato, at ma getager et ekspermet et vst atal gage, og hvor hver udførelse er uafhægg af de foregåede. Ved hver udførelse, vl v ku teresserer os for, hvorvdt e bestemt hædelse dtræffer eller ej. Helt kokret vl v betragte kast med e terg, og for hvert kast se på hædelse: Terge vser 6 øje. Resultatere fra dette eksempel, ka mdlertd drekte overføres tl ethvert adet forsøg, som blot opfylder kravee om uafhægghed... t eksempel på e bomalfordelg Bomalfordelge er e sadsylghedsfordelg, der fremkommer, år et "forsøg" getages et atal gage uafhæggt af hade, og hvor ma ku teresserer sg for, hvor mage gage e bestemt hædelse dtræffer. Mere kokret skal v se på et eksempel, hvor ma kaster e terg gage, og hvor v vl udrege sadsylghede for at få etop. seksere kast. Ved kast med e terg er har v et edelgt sadsylghedsfelt U, P med udfaldsrummet U {,,3,4,5,6}. Beteger A hædelse {6}, og A {,,3,4,5} de komplemetære hædelse, gælder åbebart: P A /6 og P A 5/6. Forestller v os, at forsøget går ud på at kaste e terg gage, består udfaldsrummet U dette sadsylghedsfelt af udfald, der hver er e sekves af udfald fra udfaldsrummet U. U u,u,u 3,...u,u, hvor hver af u 'ere er et af udfaldee..6. Udfaldsrummet U har 6 mulge udfald, emlg 6 for hver getagelse, og ma skrver ofte U U xu x...xu U. V vl først betragte hædelse A 4 : " sekser det 4. kast" udfaldsrummet U. Da udfaldet af det 4. kast er uafhægg af de øvrge kast vl sadsylghede for dette være PA 4 P 6 /6. Tlsvarede fder v for A 7 " sekser det 7. kast": PA 7 /6. V ser u på hædelse A 4 A 7 : "Både e sekser det 4. og det 7. kast". Bemærk u - og det er vgtgt - at v har ataget at hædelsere A 4 og A 7 er uafhægge af hade, så sadsylghede for "både og hædelse" ka bereges som produktet af de to sadsylgheder: PA 4 A 7 PA 4 PA 7 Ved de samme argumetato, ka v f.eks. bestemme sadsylghede for hædelse: A 4 A 5 A 7 A 8 A 0 som PA 4 A 5 A 7 A 8 A 0 /6 /6 /6 5/6 5/6 /6 3 5/6 Nemlg /6 for hver gag v får e sekser og 5/6, hver gag v kke får e sekser. V er teresseret hædelse: " Netop to seksere kast". mulghed bladt mage kue være: sekser de to første kast og kke sekser de 0. følgede kast. Sadsylghede for dee hædelse er:

27 Bomalfordelge 4 Psekser. og. kast; ej sekser 3 - kast /6 *5/6 0 De to seksere kue også være 4. og 7. kast eller et hvlket som helst par af de kast. Pote er u de, at lgegyldg hvor de to seksere dtræffer vl sadsylghede for hædelse "etop to seksere' være de samme, emlg e faktor /6 for hver gag v slår e sekser og e faktor 5/6 for hver gag v kke slår e sekser. For at berege sadsylghede for "Netop to seksere kast", skal v derfor addere alle de detske sadsylgheder. Da de er es behøver v derfor blot at vde hvor mage der er. V skal derfor stlle spørgsmålet: På hvor mage måder ka v udvælge eller abrge to seksere på pladser, eller på hvor mage måder ka v udtage e -delmægde f.eks. {,} eller {4,7}, af e -mægde. Me svaret på dette er kedt, det er K,. V ka da opskrve de søgte sadsylghed: PNetop. seksere kast med e terg K, * /6 *5/6 0 Tallee K,q kaldes også for bomalkoeffceter, og ma har e alteratv skrvemåde for K,q. K, q q Det sdste symbol læses som: " over q" som altså kke betyder dvderet med q Sadsylghede for at e hædelse dtræffer etop q gage forsøg, kaldes for e bomalsadsylghed, og alle dsse sadsylgheder kaldes tl samme for bomalfordelge. Ma har tradto for at skrve bomalsadsylgheder, med avedelse af det ye symbol for bomalkoeffcetere. Hvs beteger atallet af seksere kast, fder v da: P Sadsylghede ka øvrgt udreges tl P 0,96. På helt samme måde ka ma fde sadsylghedere P j ; j 0,,,... j j j j 5 P j ; j 0,,,..., j 6 6 j 6 6 På dee måde har v åbebart fået deferet et edelgt sadsylghedsfelt med udfaldsrum U {0,,,...}, svarede tl at ma får 0,,... seksere kast. For at vse, at det vrkelg drejer sg om et sadsylghedsfelt, magler v at bevse, at summe af sadsylghedere P 0 P...P. Dette vl blve gjort edefor, år v ser på det mere geerelle tlfælde.

28 Bomalfordelge 5.. De geerelle bomalfordelg V tæker os u uafhægge udførelser af et ekspermet. V teresserer os for om e hædelse A dtræffer det j' te forsøg eller ej. I sadsylghedsregge har ma tradto for at agve de komplemetære hædelse ved at sætte e streg over det symbol, som beteger hædelse. A beteger således de komplemetære hædelse tl A. V sætter PA p, som kaldes for prmærsadsylghede. Hermed er P A -p, sadsylghede for at A kke dtræffer. Sadsylghede for at A dtræffer "j" af forsøgee og kke dtræffer de resterede "-j" forsøg, ka bereges helt på samme måde som eksemplet med terge ovefor, som p j -p -j. Sadsylghede for at A dtræffer etop j gage uafhæggt af rækkefølge er u sadsylghede p j -p -j gage med atallet af forskellge rækkefølger de j gage A dtræffer. Me dette atal er det samme som atallet af j-delmægder ma ka udtage af e -mægde, som er K,j j. Heraf fås formle for bomalsadsylghede. j j p j P j p ; j 0,,,..., Dee sadsylghedsfordelg kaldes for bomalfordelge. For at godtgøre, at dsse sadsylgheder faktsk udgør et edelgt sadsylghedsfelt, magler v blot at vse at summe af sadsylghedere for j 0 tl er lg med. Umddelbart syes det kke særlg smpelt at føre bevs for dette, og det lader sg heller kke gøre ude kedskab tl de såkaldte bomalformel. V vl derfor avede det æste afst tl at omtale bomalformle og de dertl kyttede Pascals trekat.. Pascals trekat og bomalformle Pascals trekat, er opkaldt efter Blase Pascal, e frask matematker, som levede 600-tallet. Ha reges for grudlæggere af sadsylghedsregge, lgesom ha var de første som kostruerede e mekask regemaske. Pascal trekat er blot e opstllg af bomalkoeffcetere K, q et skema. q

29 Bomalfordelge 6 q q q q q Tl vestre har v opstllet bomalkoeffcetere q q K, op tl 4, og tlføjet rækker med - og, ordet e trekat. Tl højre har v udreget bomalkoeffcetere op tl 4. Ma bemærker, at der står et-taller lags med sdere og at, ethvert tal, som kke står lags sdere er summe af de to abo-tal række ove over. Dette kue tyde på at der gælder formle: q q q eller K,q K-,q- K-,q At dee formel faktsk er korrekt, ka vses algebrask ved at sætte højresdere på fælles brøkstreg og reducere, me formle vses lettere ved et ræsoemet. Lad os atage at v har e mægde U med elemeter. U {a, a, a 3,, a }. V vl u dele q- kombatoere dee mægde, hvoraf der fdes K,q forskellge op to grupper.. De q-kombatoer, hvor elemetet a er med: De resterede q- elemeter skal udtages af - elemeter, hvlket ka gøres på K-,q- forskellge måder.. De q-kombatoer, hvor elemetet a kke er med. De q elemeter skal da udtages af - elemeter, hvlket ka gøres på K-,q forskellge måder, hvoraf formle følger. V ser deræst på et såkaldt bomum: a b, hvor a og b er tal, og er et helt postvt tal eller 0. V øsker at fde e formel tl udregg af et sådat bomum. V vser først resultatet for 0 tl 4 edefor

30 Bomalfordelge 7 a b 0 a b a b a b a ab b a b 3 a 3 3a b 3ab b 3 a b 4 a 4 4a 3 b 6a b 4ab 3 b 4 Det ma opdager er, at koeffcetere tl hvert af leddee, øjagtg svarer tl e række Pascals trekat. Dette er kke oget tlfælde, og det ka dses, ved f.eks. at betragte udregge af a b 5 a b a b a b a b a b Stadardsvaret på dette er Hvert af leddee, der er et resultat af udregge, vl fremkomme ved at gage med a eller b, fra hver af de 5 pareteser. Hvert led vl derfor være et udtryk af forme a j b 5-j, j0,..,5. F.eks. a 3 b, hvor v har gaget med a 3 af paretesere og med b af paretesere. Hvs v spørger, hvor mage led, der blver af forme a 3 b,så er svaret, at v skal vælge b fra etop af paretesere. På hvor mage måder ka v udvælge pareteser elemeter af e 5-mægde? 5 K 5,. Så der blver altså K5, led af forme a 3 b. Noget helt tlsvarede ka opås for de øvrge led. Herefter ka v opskrve: a b a b a b a b a b a b a b Formle ka ude vdere geeralseres tl a b og skrves da lettes ved avedelse af summatosteg. j j a b a b j 0 j Dee formel kaldes for bomalformle. Det erdres, at bomalkoeffcetere tl leddee a j b -j, etop svarer tl de 'te række Pascals trekat. 3. Bomalfordelge fortsat V maglede, at godtgøre at bomalfordelge er et edelgt sadsylghedsfelt, hvlket debærer at vse, at summe af bomalsadsylghedere for j 0 tl er lg med. Dette er mdlertd emt at vse, år ma aveder bomalformle Atag emlg at v har to tal s og t, hvor s t, og dermed t -s. V vl da udrege st. Ved avedelse af bomalformle fder v: 0 j s 0 j j 0 s t s t s t... s t... Hvs ma dee formel sætter t p og dermed s - p, får ma: t

31 Bomalfordelge 8 0 j 0 j j p p p p... p p... p p Ma ka da se, at bomalformle etop er summe af sadsylghedere P 0 P... P, som følge oveståede er lg med. Ma beteger ofte det, at prmærhædelse dtræffer som "succes" f.eks. at ma slår e sekser, og at de kke dtræffer beteges som "fasko", me ma skal øvrgt kke tllægge dsse ord deres sædvalge betydg. Prmærhædelse ka f.eks. være at ma blver dræbt trafkke eller ma pådrager sg e dødelg sygdom. Sadsylghede P j, som altså beteger sadsylghede for at få etop j-succeser forsøg, år prmærsadsylghede er p, beteges ofte mere udførlgt med bj;, p eller blot med b j, hvs og p er uderforstået. Ofte ka ma være teresseret det atal "succeser", der har de største sadsylghed, altså det j, for hvlket b j bj;, p er størst. For at udersøge dette udreger v forholdet b j /b j-. 0 b b j p j p j j p j p p j p j j j j Det sdste udtryk fremkommer ved at opskrve udtrykkee for bomalkoeffcetere og forkorte. V ka u opskrve e betgelse for at række b 0, b, b,..., b. er voksede. b j b j p j > b j > > p j > p j j < p p b p j j Heraf sluttes: j p > b j > b j- > række er voksede. På helt tlsvarede vs, ved at vede ulghedsteget udregge ovefor, fder ma at række er aftagede hvs og ku hvs j > pp, hvoraf ma slutter, at j p > b j < b j-, eller j p > b j < b j > række er aftagede Af dette ses, at række b 0, b, b,..., b. er voksede for j p og aftagede for j p. Størsteværde må derfor være for j p, hvs p er et heltal og ellers e af de heltallge aboer tl p. 3. Stolpedagrammer for bomalfordelge For at få et overblk over bomalfordelge, llustrerer ma det ofte ved et stolpedagram. Nedefor er vst et stolpedagram, svarede tl og p/3. Bemærk, at de største sadsylghed befder sg ved jp4.

32 Bomalfordelge 9 3. Kumulerede sadsylgheder Det ka selv efter matematkregeres fremkomst godt være omstædelgt, at udrege bomalsadsylgheder. Tdlgere var ma hevst tl tabelopslag og terpolato tabeller. Ma aveder stadg tabeller, me de er og har altd været drettet på e bestemt måde, det de ku deholder de kumulerede, dvs. summerede sadsylgheder. V betragter ge kast med e terg, hvor v ser på hædelse 6 øje. Sadsylghede for at v får etop seksere kast, skrver v P. Her er det uderforstået, hvlet forsøg og hvlke prmærhædelse det drejer sg om. Tlsvarede ka ma skrve: P 4 Sadsylghede for at ma får højst 4 seksere Dette kaldes for e kumuleret sadsylghed, og det er ku de kumulerede sadsylgheder, der er tabuleret. ksempler. V vl fde sadsylghede for at slå etop seksere kast. I tabelle fder v uder, p/6 P 0,6774 og P 0,383. Heraf fder ma P P - P 0,96. Samme forsøg. V vl fde sadsylghede for at ma slår mdst seksere. PMdst seksere P - P - 0,383 0, famle plalægger 4 bør. Lad prmærhædelse være "e dreg" med sadsylghede ½. V vl bestemme de mest sadsylge fordelg på drege af pger, samt hvor stor dee sadsylghed er. De mest sadsylge atal drege er j p 4 ½. Sadsylghede for at ma får drege og pger er: P K4, ½ ½ 6/6 3/ Stkprøveudtagg med tlbagelægg Dee form for stkprøveudtagg er baseret på bomalfordelge. Ma har e mægde, hvor ma udtager et elemet fra og udersøger det. For at det er det samme forsøg ma getager, skal ma lægge elemetet tlbage evetuelt med mulghed for at tage det samme elemet ge. Heraf avet: Stkprøveudtagg med tlbagelægg. I prakss udtages elemetere fra så store populatoer, at tlbagelægg er uderordet. ksempel. Lad os atage, at ma køber oge frø, hvor der står at 80% af dem sprer ved korrekt behadlg. Ma plater 50 frø, og 34 af dem sprer. r dette statstsk set acceptabelt? Atallet af frø, der sprer er bomalfordelt med 50 og p0,80. V vl fde sadsylghede for at der sprer 34 eller deruder. Ved tabelopslag fder ma: P 34 0,0308 I dette tlfælde vl ma almdelghed forkaste hypotese atagelse at "80% af frøee sprer".

33 Bomalfordelge 30 Dette er et eksempel på e hypotesetest eller e kvaltetskotrol ved stkprøve udtagg. Når ma laver e hypotesetest e kvaltetskotrol, vælger ma et sgfkasveau. I almdelghed 90%, 95% eller 99%. Vælger v sgfkasveauet på 90%, betyder det, at ved stkprøve skal der være 90% sadsylghed eller derover for udfaldet af stkprøve. V skal altså for 50 og p0,80 bestemme det største j, således at P j 0,0, altså, så der er 90% chace for at v får et udfald større ed j. Ved opslag tabelle fder v P 35 0,0607 og P 36 0,06. Vælger v et sgfkasveau på 0,95 fder v P j 0,05, altså, så der er 95% chace for at v får et udfald større ed j. Ved opslag tabelle fder v P 34 0,0308 og P 35 0,0607. På sgfkasveauet 95% skal v således kræve, at 35 plater eller derover sprer for at stkprøve ka accepteres. Hvs e kvaltetskotrol fejler, ka det aturlgvs skyldes statstske tlfældgheder, og ma ka da vælge at foretage e y stkprøvekotrol med et større atal eheder eller ma ka afvse de agve specfkatoer. Sadsylghede for at e stkprøvekotrol fejler er et ret omfattede eme de for statstk.. t poltsk part påstår at have e vælgertlslutg på 0%. For at udersøge dette spørger ma 40 persoer om de vlle stemme på partet. Ma vlle forvete 8, me ku 6 svarer ja. Ka ma på dette grudlag med sgfkasveauet 90% afvse påstade? V har 40 og p 0,0. og v skal bestemme det største j, så P j 0,0. V fder tabelle: P 4 0,0759 og P 5 0,63. Hermed skal tlslutge være på 4 eller deruder for at ma ka forkaste hypotese på dette grudlag 3.4 Stkprøveudtagg ude tlbagelægg Stkprøveudtagg ude tlbagelægg llustreres ofte ved e ure, hvor der er et atal røde og blå kugler. Ma udtager e stkprøve på et atal kugler og oterer sg atallet af røde kugler. Stkprøveudtagg med tlbagelægg var baseret på bomalfordelge, mes stkprøveudtagg ude tlbagelægg er baseret på de såkaldte hypergeometrske fordelg. ksempel. I e ure er der 8 røde og blå kugler. Ma udtager e stkprøve på 5, og ma vl bestemme Sadsylghede for j 0,,,3,4, 5 røde kugler. Der er K0,5 mulgheder for at udtage stkprøve. V vl f.eks. berege P3 røde kugler P3. De 3 røde kugler ka udtages på K8,3 måder og de blå kugler på K, måder. Heraf fder v: K 8,3 K, P 3 0,384 K 0, Hvs ma har e mægde med elemeter, hvoraf q er af e slags -q af e ade slags, og ma udtager e stkprøve på r elemeter, ka ma helt på samme måde opskrve sadsylghede for at få etop j af de ee hermed slags. Ma skrver almdelghed dsse sadsylgheder med brug af bomalkoeffcetere q fås: q q j r j P j j 0,,... r r Sadsylghedere Pj kaldes for de hypergeometrske fordelg.

34 Stokastske varable 3 Kap 5. Stokastske varable. Hvad er e stokastsk varabel Lad der være gvet et edelgt sadsylghedsfelt U,P. stokastsk varabel er formelt deferet som e fukto med deftosmægde U. Stokastske varable agves tradtoelt med de store bogstaver,y og Z. For e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt er værdmægde for også e edelg mægde. Ma har tradto for at betege elemeter værdmægde med bogstavet t. Hvs der er elemeter værdmægde, ka ma derfor skrve Vm {t, t, t 3,, t } Begrebet stokastsk varabel er lettest at askue, ved at betragte ogle eksempler. V har allerede set eksempler på stokastske varable. Hvs udfaldsrummet består af tal, ka selve udfaldee betragtes som stokastske varable. ksempler. Ved kast med e terg ka øjetallet på terge betragtes som e trvel stokastsk varabel. Ma ka emlg skrve,.. osv, Me ma ka defere e vlkårlg ade stokastsk varabel Yu u- 3,5 eller Zu u.. V har allerede set på avedelse af e stokastsk varabel, da v omtalte bomalfordelge. Getager ma et ekspermet med udfaldsrum U gage, skrves udfaldsrummet UxUxUx xu U. I dette udfaldsrum agver atallet af "succeser" f.eks. atallet af seksere 0 kast med e terg. Værdmægde for er {0,,,,}. p j j P j p ; j 0,,,..., er sadsylghede for etop j-"succeser" forsøg. j 3. Der tlbydes et spl, hvor ma kaster e terg. Ved hvert af udfaldee {,,3,4,5} vder ma kr., me hvs ma slår e sekser taber ma 6 kr. Gevste ved dette spl er e stokastsk varabel, hvor og 6-6. P 5/6 og P-6 /6. Værdmægde for er {,-6}. r dette et fordelagtgt spl? 4. På e roulette er der 37 felter {0,,, 36}. Hvs kugle lader på det ummer, ma spller på, får ma udbetalt 36 gage s dsats. V betragter e stokastsk varabel, som er gevste ved dette spl. Lad os atage at kugle lader på , 3 35, Værdmægde for er {-,35}. r dette et fordelagtgt spl for spllere æppe!. Mddelværd for e stokastsk varabel Mddelværd ka også opfattes som et teoretsk geemst af e størrelse, der er uderkastet statstske tlfældgheder. Mddelværde af de stokastske varabel skrves. Ofte avedes det græske bogstav µ my tl at betege mddelværd. Begrebet llustreres lettest med et eksempel. ksempel Ma tæker sg et spl, hvor der blver kastet to møter. Hvs møtere vser forskellgt taber ma kroe, hvs de begge vser plat taber ma kroer, me hvs de begge vser kroe vder ma 3 kroer. V deferer u e stokastsk varabel, som er gevste ved dette spl. For emheds skyld kalder v de fre udfald for a, b, c, d. Nedefor er udfaldsrummet og de stokastske varabel vst e tabel. Udfald u a pl,pl B pl,kr c kr,pl d kr,kr

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Hvorfor n-1 i stikprøvevariansen?

Hvorfor n-1 i stikprøvevariansen? Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Hvorfor - stkprøvevarase? Lad os sge, at e fabrk producerer e bestemt type halogepærer. Det vser sg, at levetde for e såda elpære varerer efter e ormalfordelg. Nogle

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( )

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( ) FORDELINGER: HYERGEOMETRIS FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI Mddelværd MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt U, ( ) Mddelværde af X

Læs mere

Kvalitet af indsendte måledata

Kvalitet af indsendte måledata Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter:

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter: Statstsk aalyse Vurderg af uskkerhed forbdelse med statstske opgørelser forudsætter: Kvattatve mål for varato og spredg forbdelse med statstske opgørelser varas og stadardafvgelse Kvattatve mål for tlfældgheder

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epdemolog og bostatstk. Uge, trsdag. Erk Parer, Isttut for Bostatstk. Geerelt om statstk Dataaalyse - Deskrptv statstk - Statstsk feres Sammelgg af to grupper med kotuerte data - Geemst og spredg - Parametre

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005 Dages program Økoometr De smple regressosmodel 4. september 5 Dee forelæsg drejer sg stadg om de smple regressosmodel (Wooldrdge kap.4-.6) Fuktoel form Hvorår er OLS mddelret? Varase på OLS estmatore Regressosmodelle

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005 Vderegåede Algortmk Davd Psger, DIKU Reeksame, Aprl 5 Bsecto problemet Gvet e uvægtet graf G = (V, E) samt et heltal k. E bsecto af grafe G er e opdelg af kudere V to lge store mægder S og T. MAX-BISECTION

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Binomialfordelingen: april 09 GJ

Binomialfordelingen: april 09 GJ Bnomalfordelngen: aprl 09 GJ Spm A 14: Sandsynlghedsregnng og statstk. Efter en kort ntrodukton af grundlæggende begreber sandsynlghedsregnng og statstk skal du skal ntroducere bnomalfordelngsmodellen

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

Spørgsmål 1 (5 %) Bestem sandsynligheden for at batteriet kan anvendes i mere end 5 timer.

Spørgsmål 1 (5 %) Bestem sandsynligheden for at batteriet kan anvendes i mere end 5 timer. TATITIK krftlg evaluerg, 3. semester, fredag de 4. jauar 3 kl. 9.-3.. Alle hjælpemdler er tlladt. Opgaveløsge forsyes med av og CR-r. OGAVE Et batter har e levetd tmer med de tlkyttede tæthedsfukto f (

Læs mere

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler

Læs mere

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark Ideks over udvklge bltrafkke Damark Afdelgsgeør Alla Crstese, Vejdrektoratet, og cvlgeør, p.d. Crsta Overgård ase, TetraPla A/S. Baggrud og formål. Baggrud Vejdrektoratet ar sde 978 regelmæssgt udgvet

Læs mere

1.0 FORSIKRINGSFORMER

1.0 FORSIKRINGSFORMER eam Lv forskrgsakteselskab Bereggsgrudlaget sgrp217 tl præmeberegg for gruppeforskrg e-am Lv forskrgsakteselskab 1. FORIKRINGFORMER 1.1 Oblgatorske ordger Alle gruppeforskrgsordger teget på dette grudlag

Læs mere

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS y = cy ( c 0 ) Pla for IV geemgag Økoometr Istrumetvarabelestmato 6. ovember 004 F9: Hvad er IV estmato: Bvarat model, et strumet: Kap.5. + afst -4 ote. F0: IV estmato det multple tlfælde (eksakt detfceret):

Læs mere

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation Statstk Lekto 4 Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures ( ad Sales ( Et scatterplot vser par (, af observatoer.

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Repetition. Forårets højdepunkter

Repetition. Forårets højdepunkter Repetto Forårets højdepukter Forårets højdepukter Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso: Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures (X ad Sales (Y Et scatterplot

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Projekt 9.10 St. Petersborg paradokset

Projekt 9.10 St. Petersborg paradokset Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Variansanalyse. på normalfordelte observationer af Jens Friis

Variansanalyse. på normalfordelte observationer af Jens Friis Varasaalyse på ormalfordelte observatoer af Jes Frs Esdg varasaalyse Model eelt ormalfordelt observatosræe Lad X, X, X er dbyrdes uafhægge N(μ, σ ) - fordelt stoastse varable Det tlhørede observatossæt

Læs mere

Kontrol af udledninger ved produktion af ørred til havbrugsfisk

Kontrol af udledninger ved produktion af ørred til havbrugsfisk Kotrol af udledger ved produto af ørred tl havbrugsfs Notat fra DCE - Natoalt Ceter for Mljø og Eerg Dato: 19. december 013 Rettet: 4. jauar 014 og de 8. marts 014 Søre Er Larse 1 & Lars M. Svedse 1 Isttut

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Simpel Lineær Regression - repetition

Simpel Lineær Regression - repetition Smpel Leær Regresso - repetto Spørgsmål: Afhæger leært af?. Model: β + β + ε ε d N(0, σ 0 ) Sstematsk kompoet + Stokastsk kompoet Estmato - repetto Vha. Mdste Kvadraters Metode fder v regressosle hvor

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 1

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Kombatoroter 0, Krste Roselde Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger. I otere troduceres

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Supplement til sandsynlighedsregning og matematisk statistik

Supplement til sandsynlighedsregning og matematisk statistik Supplemet tl sadsylghedsregg og matematsk statstk 1. Bevs for lgg (4b) 22.4 ( 23.3) 8. (7.) udgave. Teorem 3 (4): Atallet af forskellge kombatoer med k elemeter, der ka daes ud af forskellge elemeter,

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3

Læs mere

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2 Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger I otere troduceres helt grudlæggede måder

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvattatve metoder Iferes de leære regressosmodel 9. marts 007 Opsamlg vedr. feres e leær regressosmodel uder Gauss-Markov atagelser (W.4-5) Eksempel med flere restrktoer (F-test) Lagrage

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne

Læs mere

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 005 Emet for dee forelæsg er de multple regressosmodel (Wooldrdge kap 3.-3.3+appedx E.-E.) Defto og motvato Fortolkg af parametree de multple

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen

Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen Sandsynlghedsregnng og statstk med bnomalfordelngen Katja Kofod Svan og Olav Lyndrup Januar 09 Indhold Stokastske varable... 3 Mddelværd og sprednng... 6 Bnomalfordelngen... Andre sandsynlghedsfordelnger...

Læs mere

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2 Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger I otere troduceres helt grudlæggede måder

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

1 Indeksberegninger. 1.1 Indeksberegningers formål og brug. 1.2 Typer af indeks

1 Indeksberegninger. 1.1 Indeksberegningers formål og brug. 1.2 Typer af indeks 7 Ideksberegger. Ideksbereggers formål og brug Damarks Sasks deks bruges l a gve e ekel og brugbar mål for udvklge værder, rser eller mægder over d. Hvs ma har e alrække over aal fødsler sde 9 ka ma dae

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori

Læs mere

Notato: k grupper observeret tl tdspuktere (logartmerede) t1;t2;:::;t k. Tl tdspukt observeres et atal ( ) ph-vρrder, 1 ; 2 ;:::;. V opfatter dem som

Notato: k grupper observeret tl tdspuktere (logartmerede) t1;t2;:::;t k. Tl tdspukt observeres et atal ( ) ph-vρrder, 1 ; 2 ;:::;. V opfatter dem som Statstk 1, torsdag de 15. marts Leρr regressosaalyse, afst 5.2.1 ffl Problemstllg ffl Data Model Estmato og test Dages program: Hvad ka v? 1 V ka sammelge grupper af observatoer, hvor data hver gruppe

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Brugen af R 2 i gymnasiet

Brugen af R 2 i gymnasiet Bruge af R gymaset Per Bruu Brockhoff, DTU Compute, Erst Hase, KU Matematk og Claus Thor Ekstrøm, KU Bostatstk Der lader tl at være e vs forvrrg bladt og ueghed mellem forskellge faggrupper omkrg R værde,

Læs mere

Bilag 6 Socialforvaltningen Beskriv hvad indberetnin gen går ud på.

Bilag 6 Socialforvaltningen Beskriv hvad indberetnin gen går ud på. dberet e kosekvesere e? e evt. kue opfyldes på e ade måde? hvorda dberett dberet e? forbudet at dberett Bemærker behadl erspot etale* ka Krav fra det poltske veau 1 2 Idberet om Kompetece udvkl Idberet

Læs mere

bestemmes. kendes ( ) A i Subjektiv information + objektiv information Bayesiansk statistik (gang 10) Bayes sætning

bestemmes. kendes ( ) A i Subjektiv information + objektiv information Bayesiansk statistik (gang 10) Bayes sætning Statstk. gag BAYESIANSKE METOER Objektv formato f.eks. forsøgs resultater klasssk statstk gag -9 Subjektv formato objektv formato Bayesask statstk gag Bayes sætg E E A A E A A... E A A A E A E E E A A

Læs mere

Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2006I, Økonometri 1

Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2006I, Økonometri 1 Rettevejledg tl Økoomsk Kaddateksame 6I, Økoometr Vurdergsgrudlaget er selve opgavebesvarelse og blaget. Programmer og data, som er afleveret på dskette/cd, bedømmes som såda kke, me er avedt f.eks. tl

Læs mere

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval.

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval. H:\excerc\geodstat.doc, sdste ædrg: ov. 5, 3.. 3. Geodætsk statstk og mdste kvadraters metode. 3.. Statstske grudbegreber. 3.. Fordelger. Fordelge af getage observatoer (målger ka beskrves ved hælp af

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

SUPPLEMENT til Anvendt statistik

SUPPLEMENT til Anvendt statistik SUPPLEMET tl Avedt statstk IDHOLD A BEVISER VEDRØREDE ORMALFORDELIGE 3A χ - FORDELIE 3 3B t - FORDELIGE 6 3C F - FORDELIGE 7 4A DEFIITIOER OG EKSEMPLER PÅ CETRALE OG EFFEKTIVE ESTIMATORER 9 4B BEVISER

Læs mere

Pension PO1 PO2 FO1 FO2 GRL 7) Arbejds markeds pension 5) ATPbidrag

Pension PO1 PO2 FO1 FO2 GRL 7) Arbejds markeds pension 5) ATPbidrag Løbehadlgsoversgt De 4 koloer 'opsamlg tl løatk' vser, hvorda lødele/-feltet dgår løatkkere. Neder oversgte fder du e forklarg tl opsamlge af de ævte ILtyper Lødele/-feltet ka bruges eidkom med/: pegegvede

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags. Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Projekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN

Projekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Løsningsformel til Tredjegradsligningen

Løsningsformel til Tredjegradsligningen Løsgsformel tl Tredjegrdslgge Ole Wtt-Hse 8 966 Løsgsformel for tredjegrdslgge olyomer f tredje grd Formålet er t forsøge t fde røddere et tredjegrdsolyomm:. Hor koeffcetere er reelle tl og er forskellg

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Overlappende stationsoplande: Bestemmelse af passagerpotentialer

Overlappende stationsoplande: Bestemmelse af passagerpotentialer Resumé Overlappede statosoplade: Bestemmelse af passagerpotetaler Valdemar Warburg, stud.polyt., valde@post.com Ibe Rue, stud.polyt., berue@hotmal.com Ceter for Trafk og Trasport (CTT), Damarks Tekske

Læs mere

Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET

Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere