Inquiry som grundlag for udvikling af matematikundervisning i skole og læreruddannelse

Transkript

1 Inquiry som grundlag for udvikling af matematikundervisning i skole og læreruddannelse SeMat s årskursus, Roskilde 2011 Morten Blomhøj, NSM, Roskilde Universitet Inquiry sat på begreb hvor kommer det fra, hvad dækker det over og hvad kan det bruges til? Frokost mv Oplæg til gruppearbejde Gruppearbejde Runde med korte rapporter fra grupperne Opsamling og fælles diskussion Slut

2 John Dewey ( ) og inquiry Dewey (1910, 1929, 1938) observed that thoughtful but ordinary methods of solving problems share fundamental features with the more refined methods of scientists, and the differences are in degree, not in kind. Dewey placed great faith in scientific (and ordinary) methods of solving problems. He referred to the methods by several names including the "experimental practice of knowing" (1929) and "reflective inquiry" (1933). He believed reflective inquiry was the key to moving beyond the distinction between knowing and doing, thereby providing a new way of viewing human behaviour. (Hiebert et al., 1996, p. 13)

3 Udvalg af Dewey s værker Dewey (1910). How we think. Dewey (1915). Schools of tomorrow. Dewey (1926). Democracy and education. Dewey (1929). The quest for certainty. Dewey (1933). How we think: A restatement of the relation of reflective thinking to the educative process. Dewey (1938). Logic: The theory of inquiry. Dewey (1956). The child and the curriculum; The school and society.

4 According to the National Science Education Standards (NSES; NRC 1996), scientific inquiry refers to the diverse ways in which scientists study the natural world and propose explanations based on the evidence derived from their work (p. 23). The NSES separate inquiry into full and partial inquiries based on the inclusion of five essential features (NRC 2000, p.29): students create their own scientifically oriented questions students give priority to evidence in responding to questions students formulate explanations from evidence students connect explanations to scientific knowledge students communicate and justify explanations (Rushton, Lotter & Singer, 2011)

5

6 PRIMAS: Promoting inquiry based learning in mathematics and science across Europe Morten Blomhøj & Tinne Hoff Kjeldsen Martin Niss, IMFUFA, NSM, RUC

7 28 key players from 14 institutions in 12 European countries

8 What are the aims of Primas? To provide insight into and to support teachers with learning pedagogies in inquiry-based approaches to mathematics and science teaching To provide resources for teachers and teacher educators To develop and work with networks of teachers and professional development providers in participating countries To inform students and parents about the role and function of inquiry-based learning To analyze and understand current policies in relation to inquirybased learning and inform and work with policy makers to support improved practice

9 What is new in Primas? A multi-level dissemination plan Main focus on dissemination: Three main strands of dissemination Teachers Training of trainers One day events Continuous professional development Students One day events Information Various activities Out of school target groups Parents Information Society in general Media Politicians

10 Inquiry begrebet i PRIMAS Inquiry begrebet i PRIMAS knytter an til aktiviteter og processer, der er involveret i frembringelsen af videnskabelig viden og indsigt, men er ikke eksplicit forankret i Dewey s filosofi. Der er fokus både på matematikundervisning og undervisning i naturvidenskab, men ikke eksplicit på samspil mellem fagene eller på tværfaglighed. Inquiry baseret undervisningsformer og forløb tænkes i PRIMAS spredt gennem kurser for kursuslærere, der efterfølgende holder kurser for lærere.

11

12 IBL is an essential ingredient of a good education Teacher guidance Values and builds upon students Valued outcomes reasoning/scaffolding Inquiring minds Connects to students experience Prepared for uncertain future and life long learning Understanding of nature of Science&Math Classroom culture Shared sense of purpose / justification Value mistakes, contributions (Open-minded) Dialogic Shared ownership Type of questions Open, multiple solution strategies Experienced as real and/or scientifically relevant What students do Pose questions Inquire / 5 E s Engage, Explore, Explain, Extend, Evaluate Collaborate

13 PRIMAS offers Materials that support professional development and inquiry based-learning approaches Professional development initiatives Guide for professional development Long term initiatives One day events Networks of colleagues and key players both nationally and internationally Activities for students and parents to introduce them to inquiry-based learning

14 Schedule

15 Want to know more about PRIMAS? Visit

16 Organisering af inquiry baseret undervisning Tematiske undervisningsforløb Problemorienteret projektarbejde Undersøgelseslandskaber Problemløsning Didaktiske spil a la Brousseau (2002). Klasserumsdialog

17 Didaktisk udfoldning af Inquiry begrebet Inquiry begrebet kan udfoldes i forhold til mindst følgende fire didaktiske dimensioner: Graden af autonomi i elevernes virksomhed Graden af problemorientering vs. emneorientering Graden af fagorientering: internt matematisk vs. eksternt anvendelsesorienteret Graden af autentisitet

18 Projektarbejde et didaktisk mulighedsområde Deltagerstyret 7 8 Frihedsgrader Emne Internt 5 6 Anvendelse Orientering 1 2 Lærerstyret Eksternt 3 4 Problem

19 Undersøgelseslandskaber i matematik Reference til matematik Reference til som om virkelighed Reelle reference til virkeligheden Undersøgelseslandskaber Opgaveparadigmet (1) (3) (5) (2) (4) (6) (Skovsmose, 2003, p. 149)

20 Udvikling af Inquiry begrebet historisk set Dewey (1926): Learning by doing Vygotsky (1962): Learning by talking Lave & Wenger (1991): Learning through participation Alrø & Skovsmose (2002): Learning in dialogue Jaworski (2003): Co-learning in inquiry communities

21 Bestemmelse af inquiry-begrebet Inquiry kan sættes på begreb ud fra et: læringsteoretisk perspektiv undervisningsperspektiv matematisk perspektiv curriculum perspektiv samfunds perspektiv kritisk perspektiv

22 Matematik Morgener - nu med Morten & Mikael, som de Matematiske Modeller... Vækkeuret ringer! Din hånd rammer uret, som falder på gulvet. Du får fat i det og slukker det med et suk... Du vender dig om på den anden side og prøver at forestille dig, at det er blevet lørdag. Men så mærker du den lysten. Lysten til at komme i gang fordi der står Matematik morgener på skemaet. Muntre Matematik Morgener med Morten & Mikael, tænker du. Klokken 8:00 skal du være sammen med alle de andre. En ny og spændende dag står forventningsfuld og venter på at blive taget i brug af netop dig! (Blomhøj & Skånstrøm, 2006)

23 Der er også matematik i: Klokken; vejret; værelset; morgenmaden; rejseplanen; cykelturen; blandt andet.. Opgaven: Lav nøjagtige optegnelser over det du ser med dine matematikbriller fra du vågner til, du møder på skolen. Din notater skal så bearbejdes matematisk, og dine resultater og overvejelser skal formidles på et stykke A3-papir i et indbydende lay-out. Du har 4 moduler til det hele.

24 Rammerne for forløbet To forløb med hver 48 elever på 8. klassetrin fordelt på to hold. Start på SPF 1. august 2002/ dobbelt lektioner (4 x 90 min). To lærere til stede det meste af tiden. Produktkrav: Alle skal lave en A3- plakat med deres matematikmorgen.

25

26

27

28 Vandforbrug som funktion af badetid Vandforbrug (l) l per min. 3 l koldt Tid (min.) y = 6x + 3. x er minutter jeg er i bad, og y er hvor mange liter vand jeg bruger. På 10 min. bruger jeg 63 l. D18

29 Farlige små tal - salmonella inficerede æg (Alrø et al., 2006)

30 Det faglige sigte med forløbet på kl.: Risikovurdering Risiko ved gentagne hændelser Stikprøver som fænomen, konkrete undersøgelser og beregninger af hyppighed Simulering af stikprøveudtagning i regneark Troværdighed af stikprøveundersøgelser Ansvarlighed i kommunikation om risici Model for risiko af en hændelse: s(h) k(h)

31 Ansvarlighed - ved deklaration af æg Lav en deklaration til denne sending æg som I kan stå indenfor. Elev 1..jeg synes ikke vi skal tage nogen stikprøver. Elev 2 Nej.. vi skal hellere spare pengene. Elev 3 Vil I..vil I så bare sælge æggene? Elev 1 Ja..vi kan alligevel ikke være sikre. Så skal vi bare sælge en hel masse billige æg. Elev 2 og blive rigtig rige. Elev 3..Hvor er du bare led helt ærligt, tænk hvis der er nogen der får salmonella!

32 Elev 4 Man kan da godt være..lidt sikker Elev 2 Ok, så ta r vi to stikprøver..det bli r tyve. Elev 1 Nej æggene koster jo osse 50 øre. Elev 3 Vil I så skrive, de er testede. Elev 4 Så skal JEG i hvert fald ikke købe nogen.. Elev 2 Ja.. så skri..så skriver vi bare, de er salmonellatestede. Elev 3 Gud ja..gad vide om der er nogen der gør det. Elev 1 Tror I ikke, det er ulovligt? D18

33 En anden gruppe, der har udtaget en stikprøve med 10 æg og ikke fundet nogen med salmonella, skriver kort og godt: Fri for salmonella Det får en elev til at skrive i sin logbog: "Ægproducenter kan da bare snyde, ligesom vi gjorde, med kun at tage få stikprøver og derefter sige, at deres æg er salmonellafrie" En tredje gruppe, der har testet 3 gange 10 æg og fundet henholdsvis nul, et og et inficeret æg i de tre prøver, skriver simpelthen: Testet for salmonella En fjerde gruppe har fundet i alt 2 salmonella æg i 5 stikprøver af 10 æg. De skriver: Mindre en 5% af æggene er inficeret med salmonella.

34 Simulering af stikprøveudtagning i excel Simulering: Ved hvert tryk på F9-tasten simuleres udtagning af 10 æggebakker med hver 10 æg. Anvendt kode: 1: angiver at ægget er med salmonella Risiko: 0,1 er chancen for salmonella i et æg (den kan man ændre på) Antal æg med Æg nr salmonella Bakke i bakke 1 Bakke i bakke 2 Bakke i bakke 3 Bakke 4 0 i bakke 4 Bakke 5 0 i bakke 5 Bakke 6 0 i bakke 6 Bakke i bakke 7 Bakke i bakke 8 Bakke i bakke 9 Bakke 10 0 i bakke 10 I alt: 8 æg

35 Simuleringsresultater for 1000 bakker Antal bakker med salmonella-æg hyppighed: frekvens: 0,34 0,4 0,18 0,06 0, Frekvens af bakker frekvens 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, antal salmonella-æg i bakken

36 Spørgsmål fra eleverne under forløbet Hvad er sandsynligheden for en bakke uden salmonella? P(0 blå) = (1-0.1) 10 = P(mindst 1 blå) = = P(netop 2 blå)= k(10,2) (1-0.1) 8 = Betyder det, at over en tredjedel af prøverne er fri for salmonella, selv om der er 10% af æggene, der er inficeret? Hvor mange stikprøver skal der egentlig til? Men i virkeligheden bliver de undersøgte æg da ikke lagt tilbage, er der nogen der indvender! D18

37 10=44 du rammer hårdere end du tror! En bil der kører 50 km/t overhales af en bil, der kører 60 km/t. Da bilerne er lige ud for hinanden løber en pige ud på vejen. Bilen der kører 50 km/t kan netop nå at standse inden den rammer pigen. Men den anden rammer hende med 44 km/t. 9 ud af 10 bliver dræbt ved en sådan påkørsel. Passer kampagnens påstand? (Blomhøj, 2003)

38 Modellering ved hjælp af differensligninger og regneark Uddrag fra en rapport fra et forløb i læreruddannelsen: Hvis vi regner i små tidsskridt, t, kan vi (under opbremsningen) regne som om hastighederne (farten) er konstant for hver bil: v(t+ t) = v(t) b t s(t+ t) = s(t) + v(t) t hvor v(t) [m/sek] og s(t) [m] er bilens fart og position til tiden t, og hvor b [m/sek 2 ] er bremseevnen. Ud fra disse formler har vi lavet et regneark i excel: 10=44

39 40,00 30,00 v (m/sek), s (m) 20,00 10,00 0,00-10, v1 (m/sek) s1 (m) v2 (m/sek) s2 (m) -20,00 tid (sek)

40 Dialog om fortolkning af resultaterne (9. klasse) L: Hvor er pigen? E1: Der! [Peger på skæringen mellem 1. aksen og hastighedsgrafen for bil 1.] L: I 2,7 sekunder.? E2: Nej, hun står her! [ Peger på toppunktet af stedgrafen for bil 1.] L: Hvor?, hvor mange meter fra det sted, hvor førerne først så pigen? E2: 26 meters. [Peger på 2. aksen.] L: Så hvad med bil 2? [Læreren går.]... L: Hvad fandt I ud af? E1: Bil 2 har passeret det sted, hvor pigen stod, før bil 1 når at stoppe. Pigen er død, inden bil 1 stopper. [Eleverne griner.]

41 E2: Bil 2 rammer pigen med 11 m/sek. E1: Det svarer kun til 40 km/time. L: I kan jo prøve at ændre på reaktionstiden. L: Hvad sker der i øvrigt efter, at pigen er død, ifølge modellen? E1:.bil 2 stopper efter 3 sek. L: Hvor langt har den da kørt? E1: Ca. 35 meter. L: Og hvad sker der så derefter? E2:.den begynder at bakke. E1: Så bliver pigen kørt over igen! (Eleverne griner.) L: Hvad er det der gør, at modellen ikke svarer til virkeligheden her?...

42 v-s diagram 20,00 15,00 v1, v2 (m/sek) 10,00 5,00 0,00-5, v1 (m/sek) v2 (m/sek) -10,00-15,00 s1, s2 (m)

43 Modellens resultater og elevernes refleksioner Med en reaktionstid på 1 sek. og en bremseevne på 8 m/sek 2 rammer bil 2 pigen med 40 km/time. Med disse parametre passer kampagnens påstand altså ikke. Vi har eksperimenteret med modellen og fundet ud af, at den hastighed som bil nr. 2 rammer pigen med vokser, når vi sætter reaktionstiden op og når vi sætter bremseevnen op. Men når vi ændrer på disse størrelser betyder det også, at pigen står et andet sted. Det er selvfølgelig bedst at have gode bremser. Rådet for større færdselssikkerhed har brugt en reaktionstid på 1.5 sek. og en bremseevne på 8 m/sek 2. Med disse værdier rammer bilen, der kørte 60 km/time pigen med en hastighed på 43 km/time.

44 En reaktionstid på 1.5 sek. er nok lige i overkanten for bilister, der ikke er påvirket af spiritus eller andet. En bremseevne på 8 m/sek 2 er til gengæld nok en rimelig antagelse. Om modellen i øvrigt passer på virkeligheden afhænger bl.a. af om vejen er glat og om det går opad bakke eller nedad bakke. D51

45 Taxi-geometri et undersøgelseslandskab (OSK 2-4) Taxi-afstanden fra A til B: T(A,B) = 5 enheder Taxi-afstanden mellem to punkter er den mindste længde af en tur på vejnettet, der forbinder de to punkter.

46 Taxi geometry et system af opgaver 1. Tegn hvis det er muligt rundture, der starter og slutter i A med længderne 4, 8, 9 and Afmærk de punkter, der har samme taxi-afstand til begge punkterne A og B. 3. Afmærk alle de punkter, der har taxi-afstande 3 til punktet A. Hvor mange punkter er der med denne taxi-afstand til A? Find på et navn til dette mønster af punkter. 4. Lav en formel for antallet af punkter, der har en given afstand, r, til punktet. 5. Lav en formel for antallet af punkter, der har en taxiafstand mindre en r til punktet A.

47 T: Har I fundet de fire rundture? P1: Ja, men hvis ikke vi må vende mellem to punkter, så kan vi ikke lave en rundtur på 9. T: Det er ikke tilladt at vende mellem punkterne. P2: Så er det ikke muligt med 9. T: Er I sikre? P1: Vi tror vi er sikre er det ikke rigtigt? T: Men hvorfor tror I det er umuligt med 9? P2: Måske fordi 9 er ulige de andre er lige. T: Godt forslag. Prøv med nogle andre lige tal. Efter nogle minutter vender lærer tilbage til eleverne: T: Har I fundet nogle rundture med ulige længde? P1: Nej, det er ikke muligt.

48 T: Kan I formulere en regel? P2: Det er umuligt at lave en rundtur med ulige længde. T: Fint, hvad kan man så sige om en rundtur? P1: Den vil altid have en lige længde. T: Fint det er rart at vide, men kan I bevise det? Nogle minutter senere spørge eleverne om hjælp. T: Hver gang man går en enhed nord på, må man et andet sted på rundturen gå en enhed syd på ikke sandt? P2: Jo, ellers kan man jo ikke komme hjem. P1: Det må være det samme med øst og vest T: Præcis, så hvis man går x enheder nord på og y enheder øst på undervejs på turen, hvordan kan længden så udtrykkes? Efter lidt når eleverne frem til: 2x + 2y som udtryk for længden af en rundtur. De anfører at summen af to lige tal er lige og at det beviser deres regel.

49 Eleverne anvender deres regel til at løse opgave 2: 2. Afmærk de punkter, der har samme taxi-afstand til punkt A og B. Der findes ingen punkter med samme afstand til A og B. Hvis der var et punkt, P, med afstanden x til både A og B, så ville der være en tur PABP med længden x x = 2x + 5, og det er et ulige tal. Det er umuligt, så der er ingen punkter med samme afstand til A og B. D18

50 Taxi cirklen N(r): Antallet af punkter med taxi-afstanden r til et givent punkt P(r): Antallet af punkter med en afstand < r til et givent punkt. N(r) = 4r; P(r) = P(r-1) + N(r); P(1) = 1. Heraf fås P(r) = 2r 2 2r + 1 D18

51 Didaktiske muligheder og udfordringer Inquiry tilgangen kan integreres i arbejdet med matematisk modellering både på de ældste klassetrin i grundskolen og i gymnasiet integreres i eksperimentelle forløb i de naturvidenskabelige fag evt. i tværfagligt samarbejde med matematik både i gymnasiet og grundskolen integreres i tematiske forløb i matematik og de naturfaglige fag i grundskolen integreres i faglige forløb med et kompetenceorienteret fokus, f.eks. problemløsnings-, repræsentations- eller symbolbehandlingskompetence Inquiry tilgangen kan støtte elevernes udvikling af centrale faglige begreber og deres tilegnelse af nødvendige faglige færdigheder.

52 Oplæg til gruppearbejde Hvad anser I for at være de vigtigste karakteristika ved inquiry som pædagogisk begreb? Hvad kan inquiry begrebet som I forstår det bruges til i forhold til udvikling af skolens matematikundervisning? Illustrer gerne jeres svar med et eksempel. Hvad kan inquiry begrebet bruges til i forhold til udvikling af jeres egne undervisning i læreruddannelsen? Giv gerne et eksempel til illustration. Hvilke teoretiske og systemiske udfordringer og vanskeligheder anser I for at være de væsentligste begrænsende faktorer for udbredelse af inquiry baseret matematikundervisning?

53 Bestemmelse af inquiry-begrebet Inquiry kan sættes på begreb ud fra et: læringsteoretisk perspektiv undervisningsperspektiv matematisk perspektiv curriculum perspektiv samfunds perspektiv kritisk perspektiv

54 Didaktiske udfordringer ved inquiry-begrebet I selve undervisningen: Hvordan sættes scene for inquiry aktiviteter? Hvordan støttes elevernes undersøgende arbejde undervejs i processen? Hvordan støttes opbygning af en fælles faglig viden i klassen på grundlag erfaringer og resultater fra inquiry aktiviteter?

55 IC-model for dialogiske læreprocesser Kontakte Elev Opdage Identificere Advokere Reformulere Tænke højt Udfordre Evaluere Lærer (Alrø & Skovsmose, 2002 og 2006)

56 Læring i spændingsfeltet mellem dialog, intention, refleksion og kritik Dialog Intention Læring Refleksion Kritik (Skovsmose, 2006)

57 Inquiry på forskellige niveauer i uddannelsessystemet Inquiry in mathematics: Pupils in schools learning mathematics through exploration in tasks and problems in classrooms; Inquiry in teacher education: Prospective teachers learning to teach mathematics through design, exploration and reflection on mathematical activities in teaching situations in their teacher education; (Min tilføjelse) Inquiry in teaching mathematics: Teachers using inquiry to explore the design and implementation of tasks, problems and activity in classrooms; Inquiry in research which results in developing the teaching of mathematics: Teachers and didacticians researching the processes of using inquiry in mathematics and in the teaching of mathematics. (Jaworski, 2004, s.24)

58 Samspil mellem forskning og udvikling gennem co-learning agreements 1. Look in two directions simultaneously: a) at research into mathematics learning, teaching and/or teaching development from insider and outsider perspectives; b) at mathematics teaching development occurring in parallel with such research; and provide an approach to analysing relationships between the two; 2. Contribute to a conceptualisation of such relationships; 3. Contribute to developing mathematics teaching and learning. (Jaworski, 2003, 251)

59 Modeller for samspil mellem lærere og forskere In a co-learning agreement, researchers and practitioners are both participants in processes of education and systems of schooling. Both are engaged in action and reflection. By working together, each might learn something about the world of the other. Of equal importance, however, each may learn something more about his or her own world and its connections to institutions and schooling. (Wagner, 1997, p. 16)

60 Samspil mellem forskning og udvikling i matematikkens didaktik Udvikling Teori Praksis Forskning (Blomhøj, 2008)

61 En kritisk tilgang med plads til samspil mellem lærer og forsker: Tre situationer i kritisk forskning: (1) Den aktuelle situation (2) Den tilrettelagte situation (3) Den forestillede situation (Skovsmose & Borba, 2004) og (Skovsmose, 2006)

62 Tre processer i kritisk forskning (a) Pædagogisk fantasi (b) Pædagogisk eksperimenteren (c) Udforskende analyse (b) Eksperiment (c) Analyse 1 3 (a) Pædagogisk fantasi 3 3 3

63 Referencer Alrø, H. and O. Skovsmose (2002). Dialogue and learning in mathematics education: Intention, reflection, critique. Dordrecht: Kluwer. Alrø, H. og O. Skovsmose (2006a). Undersøgende samarbejde i matematikundervisningen - udvikling af IC-modellen. I (Skovsmose og Blomhøj, 2006). Alrø, H. og O. Skovsmose (2006b). Læring mellem dialog, intention, refleksion og kritik. I (Skovsmose og Blomhøj, 2006). Blomhøj, M. (2006). Konstruktion af episoder Konstruktion af episoder som forskningsmetode - udforskning af læringsmuligheder i IT-støttet matematikundervisning. I (Skovsmose og Blomhøj, 2006). Blomhøj, M. (2008). ICMI s challenges and future. In Menghini, M., Furinghetti, F., Giacardi, L.& Arzarello, F. (eds.): The first century of the International Commission on Mathematical Instruction ( ). Reflectingand shapingthe worldof mathematics education. Roma: Istituto della Enciclopedia Italiana, p Blomhøj, M. og M. Skånstrøm (2006). Matematik Morgener matematisk modellering i praksis. I (Skovsmose og Blomhøj, 2006). Alrø, H., Blomhøj, M., Bødtkjer, H., Skovsmose, O. og Skånstrøm, M.: Farlige små tal almendannelse i et risikosamfund. I (Skovsmose og Blomhøj, 2006). Brousseau, G., (1997): Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, Kluwer.

64 Christiansen, B. (1990): Gymnasiets matematikundervisning set i fagdidaktiske perspektiver. MItekst nr. 29. København: Matematisk Institut, DLH. Grevemeijer, K., Browers, J. & Stepahan, M. (2003). A hypothetical learning on measurement and flexible arithmetic. In: M. Stepahan, J. Browers, P. Cobb & K. Grevemeijer (eds.), Supporting students development of measuring conceptions: Analyzing students learning in social context. Journal for Research in Mathematics Education Monograph, 12, Dewey, J. (1910). How we think. Boston: Heath. Dewey, J. (1915). Schools of to-morrow. New York: E. P. Dutton. Dewey, J. (1926). Democracy and education. New York: Macmillan. Dewey, J. (1929). The quest for certainty. New York: Minton, Balch & Co. Dewey, J. (1933). How we think: A restatement of the relation of reflective thinking to the educative process. Boston: Heath. Dewey, J. (1938). Logic: The theory of inquiry. New York: Holt. Dewey, J. (1956). The child and the curriculum The school and society. Chicago: University of Chicago Press. (Original works published Chicago: University of Chicago Press. (Original works published 1902 and 1915, respectively) James Hiebert, Thomas P. Carpenter, Elizabeth Fennema, Karen Fuson, Piet Human, Hanlie Murray, Alwyn Olivier and Diana Wearne (1996): Problem Solving as a Basis for Reform in Curriculum and Instruction: The Case of Mathematics. Educational Researcher, vol 25, 4,

65 Jaworski, B. (2003). Research practice into/influencing mathematics teaching and learning development: Towards a theoretical framework based on co-learning partnerships. Educational Studies in Mathematics 54: Jaworski, B. (2004): Grappling with complexity: co-learning in inquiry communities in mathematics teaching development. Plenary address at PME 28. Lave, J.: 1988, Cognition in Practice, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Lave, J. and Wenger, E.: 1991, Situated Learning: Legitimate Peripheral Participation, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Niss, M. & Højgaard Jensen, T. (2002): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18. National Research Council. (1996). National science education standards. Washington, DC: National Academy Press. National Research Council. (2000). Inquiry and the national science education standards. Washington, DC: National Academy Press. Rushton, G.T., Lotter, C. & Singer, J. (2011). Chemistry teachers emerging expertise in inquiry teaching: the effect of a professional development model on beliefs and practice. Journal of Science Teacher Education, 22(1), doi: /s x

66 Skovsmose, O. og M. Blomhøj (red.) (2006): Kunne det tænkes? om matematik-læring. København: Maling Beck. Skovsmose, O. (2006). Kritisk forskning pædagogisk udforskning. I (Skovsmose og Blomhøj, 2006). Skovsmose, O. og Borba, M. (2004). Research methodology and critical mathematics education. I: P. Valero og R. Zevenbergen (red.), Researching the socio-political dimensions of mathematics education: Issues of power in theory and methodology ( ). Dordrecht: Kluwer. Vygotsky, L.S. (1962): Thought and Language. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. Vygotsky, L.S. (1978): Mind in Society. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. Wagner, J.: 1997, The unavoidable intervention of educational research: A framework for reconsidering research-practitioner cooperation, Educational Researcher 26(7), Wittman, E. (2004): Developing mathematics education in a systematic process. I: H. Fujita et al. Proceedings of the 9th International congress in mathematics education. Dordrecht: Kluwer.