Eksamensspørgsmålene til mundtlig eksamen ses sidst i dette dokument.

Transkript

1 Kære selvstuderende i hf matematik B Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag. Eksamensspørgsmålene til mundtlig eksamen ses sidst i dette dokument. Link til fagets læreplan: Det er undervisningsministeriets hjemmeside og her skal du gå ind under Uddannelser og dagtilbud og vælge Love og regler under Gymnasiale uddannelser. Vælg så Studieretninger og fag, hfe, Læreplaner og til sidst Matematik B under de nye læreplaner. (Klik evt. her: Vær opmærksom på at den mundtlige eksamen "skal inddrage gennemførte projektforløb og temaopgaver". I den forbindelse er vedhæftet tre oplæg til rapporter, der kan inddrages i den mundtlige eksamination i visse spørgsmål. Til den mundtlige eksamen bedømmes din udarbejdede rapport ikke. Det er nødvendigt, at du har et cas-værktøj. Det kan være grafregneren TI-nSpire eller et tilsvarende værktøj, der kan udføre såkaldt symbolsk manipulation. Bemærk at vi har en hold-side på Fronter. Kig endelig på den (vores rum hedder s3mab005v15/16)! Her kan du f.eks. finde lektionsnoter, løsninger til opgaver, TI-nSpire vejledninger mm. Der vil også komme forskellige praktiske oplysninger som eksamensdatoer mv. Husk du kan få en times vejledning med mig. Men lav en aftale i god tid. Jeg kan kontaktes på mailadressen: sish@kvuc.dk Med venlig hilsen Siavash Sharifi 1

2 Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Hvis du ønsker ændringer, skal det godkendes af din vejleder inden 1. april (sommereksamen) / 1. november (vintereksamen). Tag kontakt til din vejleder. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser: Termin Kursusår vinter 2015: December 2015 Januar 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau 414 Københavns VUC HF-e Matematik B Selvstuderende s3mab005 V15/16 Eksaminator Siavash Sharifi Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel 3 Titel 4 Titel 5 Titel 6 Geometri Vækstmodeller og regression Polynomier Differentialregning Integralregning Statistik Titel 1 Indhold Geometri Kernestof: Emner: Trekanter, herunder ensvinklede trekanter Retvinklede trekanter, herunder cosinus, sinus og tangens Vilkårlige trekanter, herunder sinus- og cosinusrelationerne Undervisningsmateriale: Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik for hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 6: Geometri (side , og side ) samt Lektionsnoter om geometri (9 sider), bevis for ensliggende vinkler (5 sider), bevis for Pythagoras' sætning (5 sider) samt et resumé over trigonometriske metoder (2 sider). Tillæg om vilkårlige trekanter (Side ) fra bogen Vejen til Matematik C hentet som fri pdf-fil fra forlaget HAX hjemmeside (

3 Særlige fokuspunkter Titel 2 Indhold Kompetencer og Faglige mål: Kunne anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske opgaver Større forståelse for matematiske ræsonnementer/beviser Vækstmodeller og regression Kernestof: Emner: Overgang fra C- til B-niveau Den absolutte og relative tilvækst, fremskrivningsfaktor og renteformel Funktionsbegrebet Matematiske modeller (Modeller formet efter lineære, eksponentielle og potensfunktioner) Beviser for formler tilhørende de tre vækstmodeller Bevis for logaritmeregneregler Eksempler på matematiske modeller Anvendelse af CAS-værktøj (Geogebra og nspire) Undervisningsmateriale: Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik for hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 1: Funktioner (side 11-60, og side ) samt Lektionsnoter om funktioner sammenhænge mellem variable (20 sider). Lektionsnoter om eksponentielle funktioner (16 sider) Lektionsnoter om logaritme og regneregler (9 sider). Lektionsnoter om potensfunktionerfunktioner (13 sider) Emneforløb:. At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet i en større sammenhæng, eksempelvis i en simpel naturvidenskabelig kontekst. At træne i at formulere problemer med matematisk indhold i modellerings øjemed At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter Særlige fokuspunkter Kompetencer og Faglige mål: At have en forståelse for ovennævnte emner og kunne anvende de tilegnede koncepter og færdigheder i matematiske opgaver Titel 3 Indhold Andengradspolynomier Kernestof: Emner: Polynomiumbegrebet Andengradspolynomier Bevis for toppunktsformel Bevis for rødder i andengradspolynomier Bevis for røddernes sum og produkt Andengradspolynomiers faktorisering

4 Undervisningsmateriale: Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik for hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 1: Andengradspolynomier (side 62-74, og side ). Emneforløb:. At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om andengradspolynomier At træne i at løse andengradsligninger, der ofte forekommer i naturvidensskaber og økonomiske beregninger At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter Særlige fokuspunkter Kompetencer og Faglige mål: Andengradspolynomiet Andengradsligninger Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse. Anvendelse af CAS-værktøj (Nspire og Geogebra) Titel 4 Indhold Differentialregning Kernestof: Emner: Differentialregning teori og anvendelser Naturlig eksponential- og logaritmefunktion Anvendelse af CAS-værktøj Undervisningsmateriale: Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik for hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 2: Differentialregning (side ). Emneforløb:. At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om differentialregning At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter, som det vrimler i naturvidenskaberne. Særlige fokuspunkter Kompetencer og Faglige mål: At forstå sammenhængen mellem naturvidenskaberne og matematikken. Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse. Titel 5 Indhold Integralregning Kernestof: Emner: Stamfunktioner og bestemte integraler Arealberegning ved hjælp af integraler Anvendelse af CAS-værktøj Undervisningsmateriale: Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik for hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 3: Integralregning (side ). Emneforløb:.

5 At bruge de lærte begreber og færdigheder fra kapitlet om integralregning At tilegne sig færdigheder i at løse opgaver af mere kompleks karakter, som ofte forekommer i naturvidenskaberne eller i beregninger i ingeniørvidenskaber og mange andre steder herunder i økonomien. Særlige fokuspunkter Titel 6 Indhold Kompetencer og Faglige mål: Forstå sammenhængen mellem naturvidenskaberne og matematikken. Yderligere indblik i matematisk ræsonnement og bevisførelse. Statistik Kernestof: Emner (Overgang fra C- til B-niveau): Ugrupperede og grupperede observationer Prikdiagram, stolpediagram, histogram og sumkurve Statistiske deskriptorer Kvartilsæt og boksplot Kvartilsæt og sumkurve Grundbegreber i sandsynlighedsregning Binomialfordeling og -test Stikprøver Chi 2 -fordeling/-test Anvendelse af CAS-værktøj Undervisningsmateriale: Matema10k (T. Jensen, C. Jessen og M. O. Nielsen: Matema10k, Matematik for hf B-niveau, Frydenlund, 2006): Del 5: Statistik (side ). K. E. Nielsen og E. Fogh: Vejen til Matematik B2, 2. udgave, hax, 2011: Sandsynlighed og statistik ss om -fordeling og -test samt Lektionsnoter om statistik (29 sider) Særlige fokuspunkter Kompetencer og Faglige mål: Hvad statistik er og den kan bruges til Formidle statistiske resultater i almindeligt sprog At lære hvad det vil sige at forkaste eller at acceptere en hypotese ved hjælp af statistiske metoder og beregninger.

6 Bemærk: Det er ikke obligatorisk for de selvstuderende at udarbejde rapporter, da I kun har ret til en times vejledning. Men det anbefales, at I orienterer jer om rapporternes idhold, opbygning og emneopgaverne. Rapport om et emne inden for geometri og trigonometri Indledning Formålet med dette miniprojekt og det efterfølgende sæt af temaopgaver er en analytisk dvælen ved, hvordan geometri og trigonometri kan anvendes til at bestemme vinkler, højder og afstande. A. Vinkeltyper Redegørelser (1) Gør rede for, hvad der forstås ved topvinkler. Bevis deres hovedegenskab. (2) Forklar derefter, hvad der forstås ved ensliggende vinkler ved to parallelle linjer. Hvilke egenskaber har de? (3) Med udgangspunkt i dine redegørelser bevis nu, at vinkelsummen i en trekant er lig med 180º. (4) Gør rede for, at to ensvinklede trekanter er ligedannede. Opstil en skalarelation mellem to ensvinklede trekanter. B. Retvinklede trekanter Gør kortfattet rede for, hvorledes man benytter Pythagoras sætning samt sinus-, cosinus-, og tangensdefinitionerne til beregning af afstande og højder i retvinklede trekanter. C. Definition af sinus, cosinus og tangens Forklar, af hvilken grund man indfører enhedscirklen. Forklar tillige, hvordan man ud fra enhedscirklen definerer sinus, cosinus og tangens til vinkler. Tegn en enhedscirkel med de tilhørende akser (sinus-, cosinus- og tangensaksen). Giv også to konkrete eksempler med spidse og stumpe vinkler. Eksempelvis med v = 35º og v = 255º. Afmærk retningspunkterne for de to vinkler i enhedscirklen. Tegn (på en separat figur) også de to standardtrekanter og de to udvidede standardtrekanter, der svarer til disse vinkler. Og skriv sidelængderne på. 6

7 D. Vilkårlige trekanter Gør nu rede for, havd der forstås ved en vilkårlig trekant og hvilke beregningsmetoder man benytter sig af til beregning af afstande, højder og vinkler i vilkårlige trekanter. Gør i detaljer og med figurer rede for, hvordan man beviser sætningerne: (1) Arealsætningen (2) Cosinusrelationerne Temaopgaver I denne del af rapporten skal der indgås besvarelsen af nedenstående opgaver (med en fornuftig og kort forklaring). Opgave 1 B ( B = 90º og D = 90º) A D C Gør rede for, at trekanterne ABC, ABD og BCD alle er ensvinklede og hermed ligedannede. Gør rede for, at trekanterne ABC, ABD og BCD alle er ensvinklede og hermed ligedannede. Opstil skalarelationen mellem (1) trekanten ABC og trekanten ABD (2) trekanten ABC og trekanten BCD (3) trekanten ABD og trekanten BCD. Opgave 2 Det oplyses, at linjerne EB og DC på nedenstående figur er parallelle. A AD =11 AB = 4 E 7 B D 9 C a) Bestem længderne af siderne AC og DE. b) Beregn vinkel D, når det oplyses, at højden fra A på siden DC har længden 5,09 c) Beregn arealet af trekanten ABE. 7

8 Opgave 3 Trekanterne ABC og DBC er retvinklede. Nogle af målene fremgår af figuren. a) Beregn sidelængderne i trekanten DBC. b) Beregn arealet af trekanten DBC. c) Beregn sidelængderne AB og AC. d) Beregn arealet af trekanten ABC. Opgave 4 B 6,7 5,0 C A 8,4 Figuren viser en vilkårlig trekant ABC. Nogle af trekantens mål fremgår af figuren. a) Beregn vinkel A. b) Bestem arealet af trekanten ABC. Højden fra B skærer siden AC i punktet D. c) Bestem længden af CD. d) Bestem længden af BD. Indledning Rapport om polynomier Dette lille projekt består af to dele. I den første del skal du skrive en kort teoretisk redegørelse om polynomier. Anden del består af temaopgaver, som giver dig mulighed for at udfolde dine regnetekniske færdigheder. I må selv bestemme, om I vil udarbejde en grupperapport eller en ren individuel fremstilling. Begge dele har sine egne fordele og ulemper. Men vær venligst opmærksom på, at antallet af gruppemedlemmer IKKE må overstige 4. Jeg vil ikke tage imod rapporter fra grupper med mere end 4 medlemmmer, og I vil få skriftligt fravær. 8

9 Redegørelser (1) Gør rede for, hvad der skal forstås ved et polynomium. I din redegørelse fremsæt 3 algebraiske udtryk, som er polynomier, og 3 som ikke er polynomier. Forklar i få sætninger, at polynomier af ulige grad har mindst én rod, men polynomier af lige grad kan have ingen rødder. (2) Fremsæt den generelle form (det generelle algebraiske udtryk) for et andengradspolynomium. Gør rede for betydningen af koefficienterne i udtrykket. Dernæst bestem toppunktets koordinater. (3) Hvad vil det sige at bestemme rødderne i et polynomium. Efterfølgende find rødderne i et andengradspolynomium. Du skal udlede formlen. (4) Find produktet samt summen af de to rødder i et andengradspolynomium. Verificér ved hjælp af de fundne formler, at nedenstående regel for faktoriseringen af et andengradspolynomium holder (x 1 og x 2 er rødderne). a.x 2 + b.x + c = a(x x 1)(x x 2) Temaopgaver Opgave 1 Lad f(x) = a.x 2 1,5x + 5. Spm. a) Bestem a således, at f har netop et nulpunkt. Spm. b) Bestem a således, at toppunktets andenkoordinat er lig med Opgave 2 Betragt ligningen x 2 +3x + 2 = a.x 2-5x + 1. Spm. a) Bestem a, så ligningen har netop en løsning. Spm. b) Bestem a, så ligningen ingen løsninger har Opgave 3 Funktionerne f og g er bestemt ved f(x) = 2x 2 3x + 1 og g(x) = x 5. Spm. a) Bestem ved beregning eventuelle 9 skæringspunkter mellem f og g.

10 Spm. b) Tegn graferne for f og g. Spm. c) Aflæs skæringspunkterne mellem f og g Opgave 4 Parablen med ligningen y = 2x 2 + bx + c har topunktet (3, b/4). Spm. a) Bestem b og c Opgave 5 En parabel går gennem punkterne (3, 0), (5, 12) og (-2, 5). Spm. a) Bestem parablens ligning Opgave 6 Angiv fortegnet for a, b, c og d i hver af disse parablers ligninger Opgave 7 Løs nedenstående ligninger. 10

11 Opgave 8 Spm. a) Konstruér en andengradsligning med rødderne 2 og 12. Spm. b) Konstruér en andengradsligning med dobbeltroden 10. Spm. c) Konstruér en andengradsligning uden rødder Opgave 9 En funktion f er givet ved f(x) = -x 2 + 2x + 4. Spm. a) Bestem værdimængden for f Opgave 10 Løs nedenstående ligninger. a)log(3x 2 3x - 35) = 0 b) (x 2 7x + 12)(2x 2 x - 1) = 0 c) (4x + 3) 2 - (x + 7) 2 = (8x - 7) 2 - (7x - 3)

12 Indledning Rapport om differential- og integralregning Dette lille afsluttende projekt består af to delprojekter. I den første del skal du beskæftige dig med differentialregning. Anden del omhandler integralregningen. Differential- og integralregning er to af de smukkeste og mest anvendte kapitler i matematikkens historie. Naturvidenskaberne er faktisk grundlagt på disse to søjler. Du får nu mulighed for at studere de to emner indgående og arbejde projektorienteret med dem. I må selv bestemme, om I vil udarbejde en grupperapport eller en ren individuel fremstilling. Men vær venligst opmærksom på, at antallet af gruppemedlemmer IKKE må overstige 4. Jeg vil ikke tage imod rapporter fra grupper med mere end 4 medlemmmer, og I vil få skriftligt fravær. Differentialregning (1) Definition af differentialkvotient Forklar hvad det vil sige at en funktion er differentiabel i et punkt x0 med differentialkvotienten f (x0). Forklaringen skal indeholde en grafskitse med sekanter og tangent. Giv også et (grafisk) eksempel på en funktion der ikke er differentiabel i et punkt. Og forklar hvorfor den ikke er differentiabel. (2) Tretrinsreglen Gør rede for tretrinsreglen og vis et eksempel på brugen af tretrinsreglen. Du kan f.eks. vælge at finde differentialkvotienten for f(x) = x 2, eller f(x) = 1/x eller f(x) = x. (3) Monotoniforhold Forklar hvordan man kan finde monotoniforholdene for en funktion ved hjælp af dens afledede funktion f (x). Find desuden monotoniforholdene og de lokale ekstrema for funktionerne (CAS er kun tilladt til at løse 3.gradsligningerne. Lommeregner er tilladt). 12

13 f (x) = x 3 6x 2 + 9x + 2 og g (x) = x 3 6x x 5 og h (x) = 0,5 x 3 + 3x 2 8x + 4 Tegn grafen for de tre funktioner. Hvor mange vandrette tangenter kan et tredjegradspolynomium have? Begrund dit svar Integralregning (1) Stamfunktioner Forklar hvad det vil sige at finde en stamfunktion til en funktion f. Hvad kan du sige om denne proces og processen at finde en funktions afledede (differentiation)? Forsyn din redegørelse med 3 eksempler. Et eksempel kan være bestemmelsen af stamfunktionen til f(x) = 6.x -2 + e -2x. (2) Sammenhængen mellem areal og stamfunktion Gør rede for, hvad en arealfunktion er. Efterføgende bevis, at det at bestemme stamfunktionen til en funktion f(x) er det samme som at beregne arealet under grafen for funktionen f(x). Supplér dit bevis med løsningen af nedenstående opgaver. (A) (CAS er ikke tilladt. Lommeregner er tilladt). Givet funktionen f(x) = x 2 + x + 2. Bestem arealet af det område, som er begrænset af grafen for f og x-aksen. (B) (CAS er tilladt). Givet funktionerne f(x) = x og g(x) = 3. 1,5 x. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem. Bestem x-værdierne til skæringspunkterne mellem de to grafer, og benyt det til at bestemme arealet af det område, der er afgrænset af graferne

14 Temaopgaver Opgave 1. Bakteriekoloni (CAS er tilladt). I et laboratorieforsøg undersøges udviklingen i en bakteriekoloni. Udviklingen kan beskrives ved modellen 9560 f ( t) = 0,09 t 1+ 4,6 e hvor f (t) er antallet af bakterier, og t er antal timer efter forsøgets start. a) Bestem f (t). b) Bestem f (10), og gør rede for, hvad dette tal fortæller om bakteriekoloniens udvikling. c) Hvornår voksede bakteriekolonien hurtigst, og hvor mange bakterier var der på dette tidspunkt? Opgave 2. Biltrafik over smal bro (CAS er tilladt). I en trafikanalyse indgår følgende model for antallet f (v) af biler, der pr. minut kan passere en smal bro: 17 v f ( v) = 2 0,008 v + 0,2 v + 4 hvor v (km/time) er den fart, bilerne kører med. a) Bestem f (v). b) Hvor hurtigt skal bilerne køre, for at flest biler kan passere broen pr. minut?

15 Opgave 3. Arealberegning (CAS er ikke tilladt. Lommeregner er tilladt). Opgave 4. Beregning og fortolkning af integral (Oliefelt) (CAS er ikke tilladt. Lommeregner er tilladt). Udvindingen af olie fra et bestemt oliefelt kan for perioden med god tilnærmelse beskrives ved modellen f ( t) = 0,006 t + 0,12 t + 1,8 2 hvor t er antal år efter 1965, og f (t) er den årlige udvundne oliemængde (mio. ton pr. år). a) Bestem 25 f ( t) dt. 0 b) Hvad fortæller dette tal om olieudvindingen?

16 Eksamensspørgsmål December Januar 2016 Matematik B (for selvstuderende) Bemærk: Eksamensspørgsmålene skal til enhver tid godkendes af en kommende censor. Dette betyder, at der rent principielt kan forekomme små ændringer i ordlyden af spørgsmålene. I givet fald vil disse ændringer være minimale og vil ikke gå ud over jeres forberedelsesarbejde. Geometri og trigonometri Spm. 1 (Geometri og trigonometri) Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i en retvinklet trekant. Bevis mindst en af metoderne. Spm. 2 (Geometri og trigonometri) Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i vilkårlige trekanter. Bevis arealsætningen samt sinusrelationerne for en vilkårlig trekant. Spm. 3 (Geometri og trigonometri) Du skal redegøre for, hvordan vinkler og sider bestemmes i vilkårlige trekanter. Bevis cosinusrelationerne for en vilkårlig trekant. Vækstmodeller Spm. 4 (Vækstmodeller: lineære funktioner) Du skal redegøre for den lineære funktion og betydningen af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når to støttepunkter A(x 1, y 1) og B(x 2, y 2) er givet. Sammenlign den lineære og eksponentielle vækst. Spm. 5 (Vækstmodeller: eksponentielle funktioner) Du skal gøre rede for eksponentielle funktioners egenskaber, herunder halverings- og fordoblingskonstanter. Udled formlen til bestemmelse af enten fordoblingskonstanten eller halveringskonstanten. Spm. 6 (Vækstmodeller: eksponentielle funktioner) Du skal gøre rede for eksponentielle funktioners egenskaber og betydningen af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når to støttepunkter A(x 1, y 1) og B(x 2, y 2) er givet. Spm. 7 (Vækstmodeller: potensfunktioner) Du skal gøre rede for potensfunktioner og potensvækst og om den procentvise ændring af y-værdien, når x-værdien ændres med en bestemt procent. 16

17 Spm. 8 (Vækstmodeller: potensfunktioner) Du skal gøre rede for potensfunktioners egenskaber og betydningen af konstanterne a og b. Du skal vise, hvordan a og b bestemmes, når to støttepunkter A(x 1, y 1) og B(x 2, y 2) er givet. Andengradspolynomier Spm. 9 (Andengradspolynomier) Forklar, hvad vi skal forstå ved et polynomium. Fremsæt den generelle form for et andengradspolynomium. Gør rede for betydningen af koefficienterne a, b, c, og diskriminanten d for grafens udseende. Dernæst bestem toppunktets koordinater. Spm. 10 (Andengradspolynomier) Forklar, hvad det vil sige at bestemme rødderne i et polynomium. Efterfølgende Udled formlen til bestemmelse af rødderne i et andengradspolynomium. Spm. 11 (Andengradspolynomier) Forklar, hvordan man faktoriserer et andengradspolynomium. Find produktet samt summen af de to rødder i et andengradspolynomium. Verificér nu, at din påstand er korrekt. Differentialregning Spm. 12 (Differentialregning) Forklar hvad det vil sige at en funktion er differentiabel i et punkt x 0 med differentialkvotienten f (x 0). Find Ved hjælp af tretrinsreglen differentialkvotienten for funktionen f(x) = ax 2. Spm. 13 (Differentialregning) Forklar, hvad det vil sige, at en funktion er voksende eller aftagende. Gør rede for sammenhængen mellem fortegnet for den afledede funktion (til en funktion) og monotoniforholdene for selve funktionen. Spm. 14 (Differentialregning) Gør rede for sammenhængen mellem differentialkvotient og tangentlinjens hældningskoefficient. Bevis efterfølgende formlen for tangenten til grafen for en funktion i et punkt x 0. 17

18 Integralregning Spm. 15 (Integralregning) Forklar hvad det vil sige at finde en stamfunktion til en funktion f. Hvad vil det sige at bestemme samtlige stamfunktioner til en given funktion. Nævn nogle formler for at finde stamfunktioner til standard funktionstyper. Bevis dem ved hjælp af integrationsprøven. Bevis en af formlerne (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx (f(x) - g(x))dx = f(x)dx - g(x)dx kf(x)dx = k f(x)dx Spm. 16 (Integralregning) Definer og forklar arealfunktionen og gør rede for dens egenskaber. Forklar sammenhængen mellem areal og stamfunktion. Forklar hvordan man bestemmer arealet mellem to grafer. Statistik Spm. 17 (Statistik) Forklar kortfattet, hvad en χ 2 -fordeling er. Forklar hvad man kan bruge en chi-i-anden test til og giv et par eksempler på en anvendelse. Inddrag begreberne nulhypotese, antal frihedsgrader, signifikansniveau, teststørrelse og p-værdi. 18