OM KAPITLET RUMGEOMETRI. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse

Transkript

1 OM KPITLET I dette kapitel om rumgeometri skal eleverne arbejde med at tegne rumlige figurer med et digitalt værktøj, som kan tegne i 3D. De skal undersøge og lære forskellige formler til beregning af rumfang og overfladeareal af forskellige rumlige figurer. Derudover skal eleverne arbejde med forskellige måleenheder, de skal arbejde med massefylde, og endelig skal de arbejde med Pythagoras læresætning til at beregne længden af diagonaler og rumdiagonaler En del opgaver i dette kapitel er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. Til disse opgaver anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse tilfælde gives der ofte eksempler.

2 ELEVMÅL FOR KPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan anvende forskellige metoder til at fremstille og undersøge rumlige figurer kan undersøge og beregne overfladeareal, rumfang, højder eller sidelængder af forskellige rumlige figurer kan omskrive mellem forskellige måleenheder kan beregne vægt ud fra massefylde kan undersøge og beregne diagonaler og rumdiagonaler PRINTRK 10 Rumlige figurer U5 irkeludsnit E7 egreber og fagord Rumgeoemtri MTERILER Saks Lim eller tape Terninger DIGITLE VÆRKTØJER Dynamisk geometriprogram 3D-program (skal kunne designe 3D printbare ting) FGLIGE EGREER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er udgangspunktet for arbejdet med kapitlet. rumfang overfladeareal udfoldninger massefylde Pythagoras læresætning rumdiagonaler

3 PRINTRK 10 Rumlige figurer FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 1 Hvis man fx nummererer siderne på terningen, eller på anden måde kan se forskel på dem, vil der være mange forskellige udfoldninger. På den afbildede terning er alle sider ens, så to forskellige udfoldninger anses for ens, hvis de leder til kongruente polygoner. Der er da disse udfoldninger:

4 OPGVE 2 De kan nedsænke stenene én ad gangen i akvariet og måle, hvor høj vandstanden så er. Den sten, der giver anledning til den højeste vandstand, er den største. OPGVE 3 De fire kasser har regnet oppefra disse rumfang: cm cm cm cm3. Det er altså kasse nr.2, der har det største rumfang. Kasserne kan indeholde = 16, = 24, = 15 og = 6 skumterninger, så det er også kasse nr. 2, der kan indeholde flest terninger. Spildpladsen er kassens rumfang (spørgsmål ) minus 133 (rumfanget af én terning) gange antal terninger i kassen (spørgsmål ). Dette giver: Kasse Spild = cm = cm = cm = cm 3 D Det er således mest spildplads i kasse nr. 4. Vink til eleverne, hvis de skal finde alle de mulige kasser: Vink 1: rug i første omgang længdeenheden terningkant før I regner om til cm (1 terningkant = 13 cm). Vink 2: Find primtalsopløsningen af 24 og 36. Kassen med 24 skumterninger. Primtalsopløsningen af 24 er Det bruger vi til at finde de mulige kassestørrelser: Kantlængder i terningkanter Kantlængder i cm Kantlængder i terningkanter Kantlængder i cm Det er oplagt, at ikke alle disse mulige kassestørrelser er realistiske i praksis.

5 Kassen med 36 skumterninger. Primtalsopløsningen af 36 er Det bruger vi til at finde de mulige kassestørrelser: Kantlængder i terningkanter Kantlængder i cm cm Kantlængder i terningkanter Kantlængder i cm Kantlængder i terningkanter Kantlængder i cm Det er også her klart, at ikke alle disse mulige kassestørrelser er realistiske i praksis. KTIVITET: RUMLIGE FIGURER Ingen faste facits

6 UNDERSØGELSE: SMMENHÆNGE MELLEM RUMLIGE FIGURER DEL 1 -D Ingen faste facits. E Den søgte sammenhæng mellem grundfladeareal G, højde h og rumfang V er naturligvis V = h G Der er kun denne sammenhæng, men den kan naturligvis også skrives h = V G og G = V h MTERILER Digitale værktøjer FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 4 Ingen faste facits. Makkerdiskussion om grundflade. Eleverne skal tegne fem figurer efter eget valg. På systemets hjemmeside ligger tre GeoGebra-filer med forslag til, hvordan tre af figurerne kunne se ud. (MULTI8_side140_opgave4-cylinder, MULTI8_side140_opgave4-kasse og MULTI8_side140_opgave4-kegle) Undersøgelse af det valgte geometriprograms muligheder for at måle rumfang og overfladeareal i forskellige tilfælde. I svarene herunder er rumfang og overflade ikke målt men beregnet (i de tilfælde, hvor det kan lade sig gøre). Kasse: Rumfang: 150 Overfladeareal: 190 Kegle: Kan ikke måles oplysning om højden mangler. Prisme: Kan ikke måles oplysning om grundfladeareal mangler. ylinder: Rumfang: 8 82 = ,50 Overflade: = ,25 Kan ikke måles. Kan ikke måles. Kan ikke måles. DEL 2 Og alle tre repræsentationer må anses for at være rigtige. -D Ingen faste facits. E Også her er der flere muligheder for at udtrykke den søgte sammenhæng: V(pyramide)= 1 3 V(prisme) Og V(prisme)=3 V(pyramide) egge er rigtige svar på opgaven, men det er i al mindelighed den første, vi er ude efter. F-G Ingen faste facits.

7 FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 5 Det gule polyeder: V = = 300 cm 3. Keglen: = ,95 cm 3. Det grønne prisme: 5 64 = 320 cm 3. ylinderen: = ,33 cm 3. OPGVE 6 Resultaterne angives her med to decimaler. h = 6,98 cm h = 2,84 cm h = 36,00 cm D G = 8,77 cm 2 E r = 3,25 cm F h = 4,50 cm OPGVE 7 Ingen faste facits.

8 Man skal derfor være opmærksom på, at der i bogens første oplag er en trykfejl i denne formel. Den rigtige formel er: O = π r r 2 + h 2 MTERILER Digitale værktøjer 4 papir Saks Lim eller tape Intet fast facit. Til den samlede overflade O bidrager cylinderen med en grundfladecirklen ( r 2 ) og cylinderens krumme overflade(2 r h 1). Keglen bidrager med sin krumme overflade ( r r 2 + h 2 2 ). I alt får man derfor O = r r h 1 + r r 2 + h 2 2 = r (r + 2h 1 + r 2 + h 2 2 ) Præsentation for et andet makkerpar. PRINTRK U5 irkeludsnit FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 8 Tegning i et geometriprogram. lle tre figurer kan udfoldes (men GeoGebra kan kun udfolde pylyedre). Undersøgelse af mulighederne for at bestemme overfladearealerne med programmet eller på anden måde. Udfoldningerne består af: ylinderen: Et rektangel og to cirkler. Det gule prisme: Tre rektangler og to trekanter. Den blå kasse: Seks rektangler. Overfladearealerne er: ylinderen: O = 345,58 cm 2 Det gule prisme: O = 357,44 cm 2 Den blå kasse: O = 70 cm 2 OPGVE 9 Vi vil lade det være underforstået, at der er tale om en samlet figur, hvor keglen er anbragt ovenpå cylinderen, og hvor grundfladeradius i kegle og cylinder er den samme. Vi betegner den fælles grundfladeradius med r, cylinderens højde med h 1 og keglens højde med h 2. I forbindelsen med besvarelsen af punkt vil eleverne formentlig få brug for formel nr. to for den krumme oveflade af en kegle fra sidens teoriafsnit.

9 UNDERSØGELSE: RUMFNG DEL 1 - emærk, at man nu kan bruge sine formler fra opgave 9. Figur ylinder Kegle Kugle Grundfladeradius/Radius Højde Rumfang 4 4,19 4 4,19 4 4, Samlet overfladeareal ,66 (1 + 17) 3 16, ,57 D Kuglen har det mindste rumfang. DEL 2 Klippe-klistre-arbejde. - Når man som her fremstiller en kegle ud fra et cirkeludsnit, er der to mål, der fuldstændig bestemmer keglens udseende, højde, overfladeareal osv. Det er cirkeludsnittets radius og cirkeludsnittets centervinkel. I regnearket MULTI8_kap8_RUM FNG_DEL2 kan man i de gule celler 3 og 4 indtaste en vilkårlig radius R og en centervinkel v (0 < v < 360 ) og aflæse de dermed forbundne resultater for keglen. Det væsentlige mål er radius R i den cirkel, de fire cirkeludsnit er dannet af (de gule udklipscirkler fra U5.1-U5.3). Den kan afhænge af den benyttede printer. I resultaterne herunder er alle mål udtrykt ved R. Forudsætningen for beregningerne er, at de fire centervinkler v på cirkeludsnittene er hhv. 240, 180, 120 og 90. De numeriske resultater er beregnet ud fra forudsætningen R = 10 cm og angivet med to decimaler. emærk, at eleverne skal regne ud fra mål, de tager på de udklippede og sammenklistrede kegler. Man må derfor påregne nogen aflæsnings- og måleusikkerhed, som kan bevirke, at elevernes resultater vil afvige en del fra nedenstående, ligesom de ikke vil være i stand til at angive samme nøjagtighed.

10 Kegle 1 Kegle 2 Kegle 3 Kegle 4 v = 240 v = 180 v = 120 v = 90 Skrå sidelængde s R 10 cm R 10 cm R 10 cm R 10 cm Grundfladeradius r 2 3 R 1 2 R 1 3 R 1 4 R 6,67 cm 5,00 cm 3,33 cm 2,50 cm Højde 1 3 R R R R 15 7,45 cm 8,66 cm 9,43 cm 9,68 cm Rumfang 4πR πr πR r πr ,90 cm 3 226,72 cm 3 109,70 cm 3 63,37 cm 3 Samlet overfladeareal πr2 3 4 πr2 4 9 πr πr2 349,07 cm 2 235,62 cm 2 139,63 cm 2 98,17 cm 2 D Sammenligning. Der er en funktionssammenhæng mellem grundfladeradius r og højde h: Til enhver grundfladeradius r (0 < r < R) hører netop én højde h, der kan findes ved hjælp af Pythagoras: h = R 2 r 2 Kegle 2 har det største rumfang. Kegle 1 har det største overfladeareal. E Intet fast facit.

11 OPGVE 14 realet af Sanders fars mark er cm m 2 1,5 km 2 Intet fast facit. Elevforklaring. FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 10 - Ingen faste facits. Elevfremstillet regneark. OPGVE 11 - Ingen faste facits. OPGVE 12 1 m 2 = cm 2 0,001 m 2 = 10 cm 2 1 km 2 = m 2 1 m 3 = cm 3 1 m 3 = 1000 L 500 L = 0,5 m cm 3 = 0,006 m 3 Intet fast facit. OPGVE 13 Rumfanget af svømmebassinet er cm dm m 3 Intet fast facit men generelt vil man nok vælge den måleenhed, der giver de pæneste eller mest overskuelige tal hvad det så end vil sige. Helst ikke noget med mange afsluttende nuller i heltalsdelen og ikke noget med mange nuller efter kommaet før der komme cifre, der er forskellig fra nul. Hvis et måleresultat fx kan udtrykkes som i måleenhed 1, som 45,8 i måleenhed 2 og som 0, i måleenhed 3, vil man vælge måleenhed 2. Elevforklaring.

12 OPGVE 16 Ingen faste facits. Eleven skal finde tre eksempler på trekantede prismer med rumfanget ,42 cm 3 (= 356,37 dm 3 = 0,35637 m 3 ). FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 15 3D-model af pyramider. Den kan jo se ud på mange måder, så dette er kun et forslag. OPGVE 17 Den halvcirkelformede tagrende har omkredsen 200 mm = 20 cm. Den tilsvarende hele cirkel har en omkreds på 40 cm og dermed en radius r på 40 : (2 ) = 6,37 cm. Dette er også radius i halvcirklen. Den halvcirkelformede tagrende på 3 m kan derfor indeholde 0,5 6, = ,41 cm 3 vand (ca. 19,1 L). Intet fast facit. Tagrenden med det halvcirkelformede tværsnit kan indeholde mest vand. OPGVE 18 Ud fra de givne oplysninger fås massefylden for guld til : ,4 = 19,30 g/cm 3. Hvis barren var af sølv, ville den veje ,7 g. Målene angives i metersystemet (m 2, m 3 ). OPGVE 19 Hver guldbarre har rumfanget: :19,3 = 647,67 cm 3. Intet fast facit. Grundfladeareal Rumfang Mykerinos ,70 m ,45 m 3 OPGVE 20 Elevafhængigt svar. En person med et rumfang på ca. 48 L ( cm 3 ) vejer ca. 49,344 kg. Khefren ,82 m ,51 m 3 Kheops ,72 m ,49 m 3 fstand til top. Mykerinos Khefren Kheops Midt på siden 84,09 m 173,41 m 186,35 m Fra et hjørne 99,27 m 204,08 m 219,08 m

13 UNDERSØGELSE: FLUEN OG EDDERKOPPEN DEL 1 - Ingen faste facits. DEL 2 Undersøgelsen vedrører en af kasserne fra DEL 1, og kan derfor ikke foretages konkret her. Vi kan imidlertid behandle opgaven generelt. MTERILER Digitale værktøjer 4 papir Saks Lim eller tape Tommestok eller meterlineal Herunder er vist en isometrisk tegning af et lokale med længde l, bredde b og højde h. Lokalet er set skråt oppefra, og loftet tænkes fjernet. Desuden er tegnet en isometrisk udfoldning af rummet (uden loft). Edderkoppens position E og fluens position F er markeret på tegningen af rummet, men ikke på ud foldningen. Længde l, bredde b og højde h er skrevet på nogle af udfoldningssiderne. FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 21 - Makkerdiskussion og elevforklaring D Fra : Diagonal d = = 289 = 17 cm. Fra : Længde l = = 576 = 24 cm. OPGVE 22 D E Intet fast facit. Der er fire (lige lange) rumdiagonaler i en kasse. Der er i alt (hvis vi medregner låget ) 16 diagonaler i en kasse 12 sidediagonaler og 4 rumdiagonaler. Elevforklaring. Rumdiagonalen d i en kasse med længde l, bredde b og højde h kan beregnes ved d = l 2 + b 2 + h 2. Hvis vi indtegner edderkoppens og fluens position på den plane udfoldning skifter problemet at finde den korteste rute mellem E og F karakter. For ligesom vi ved fra vores verdensberømte landsmand Victor orge, at den korteste vej mellem to mennesker er et smil, så ved vi fra matematikken, at den korteste vej mellem to punkter i en plan er et ret linjestykke. Så vi kan forbinde E og F med et ret linjestykke, og så har vi den korteste afstand mellem de to punkter:

14 DEL 3 Hvis fluen ville være så venlig at bevæge sig væk fra hjørnet er opgaven lidt lettere, idet vi ikke behøver at medtage i overvejelserne, at hjørnet har to billedpunkter ved udfoldningen. Hvis vi ved, hvor langt og på hvilken flade flue og edderkop har flyttet sig fra deres hjørner (og det ved eleven jo, da det er ham/hende, der bestemmer det!), kan opgaven igen løses ved at betragte udfoldningen. Oven i købet kan vi se, at EF er hypotenuse i den retvinklede trekant EFG med kateterne l + h og b. Den korteste rute fra E til F kan derfor beregnes ved hjælp af Pythagoras: I eksemplet, som er skitseret herunder forestiller vi os, at edderkoppen bevæger sig ud på gulvet, mens fluen bevæger sig på endevæggen. Linjestykket EF bliver så hypotenuse i en retvinklet trekant med katetelængderne (l + b e 1 f 2) og (b e 2 f 1) og kan derfor beregnes ved hjælp af Pythagoras. EF = (l + h) 2 + b 2 Så er problemet løst næsten. For der er et men, som skyldes, at fluen har valgt at anbringe sig præcist i et hjørne af værelset. Når man foretager en udfoldning af en kasse, vil visse hjørner i kassen blive afbildet i to forskellige punkter på udfoldningen. Punktet F fra kassen kunne lige så godt tænkes overført i punktet F på udfoldningen herunder. DEL 4 - Igen er det udfoldningen af cylinderen (uden top og bund), der løser problemet. KTIVITET: DIGONLER OG RUMDIGONLER Nu er EF hypotenuse i den retvinklede trekant EF G og kan beregnes til Ingen faste facits EF = (b + h) 2 + l 2 Så længden af den korteste rute for edderkoppen er altså det mindste af tallene EF og EF. Hvis vi bruger punktafstanden i de isometriske retninger på det isometriske papir som længdeenhed gælder om den tegnede kasse, at l = 4, b = 3 og h = 2. Vi får da: EF = (4 + 2) = 45 EF = (3 + 2) = 41 I dette tilfælde er det altså 41 ( 6,4 længdeenheder), der er den korteste rute for edderkoppen.

15 DEL 5 -D Elevforklaringer. DEL 6 ylinderens rumfang er 25 cm 3. DEL 7 Hvis rumdiagonalen er 7 meter, er værelset 2,52 m højt. 10 meter, er værelset 7,57 m højt. MTERILER Digitale værktøjer PRINTRK E8 egreber og fagord - Rumgeometri FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEM: DESIGN DEL 1-3 Ingen faste facits. EVLUERING Eleverne skal på denne side evaluere de mål, fagord og begreber, de har arbejdet med gennem kapitlet. DEL 1 -E Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. DEL 2 - Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. DEL 3 - Ingen faste facits. DEL 4 Keglen: h = 8 cm. (1 ml = 1 cm 3 ) Prismet: G = 16,5 dm 2. (1 L = 1 dm 3 ) Elevforklaring.

16 FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TRÆN 1 FÆRDIGHEDER OPGVE 1 Rumfang af Figur 1: V = 72 cm 3. Figur 2: V = 122,5 m 3. Figur 3: V = 452,39 m 3. Figur 4: V = 268,08 cm 3. Figur 5: V = 282,73 m 3. Figur 6: V = 41,67 cm 3. Det samlede overfladeareal af Figur 1: Overfladen kan ikke beregnes. Figur 2: O = 154 m 2. Figur 3: O = 365,99 m 2. Figur 4: O =201,06 cm 2. Figur 5: O = 245,04 cm 2. Figur 6: O = 80,90 cm 2. Udfoldningsskitser med mål. Flere muligheder, bl.a. disse. emærk, at den trekantede grundflade i prismet ikke er bestemt ved sidemålene, så mange trekanter er mulige. realet skal være 12 cm 2. Her er valgt en grundlinje på 6 og en højde på 4 ( = 12), hvorved prismets 2 endetrekanter kan komme til at blive ligebenede trekanter med målene 5, 5 og 6 cm. OPGVE 2 - Ingen faste facits. OPGVE 3 D E F G H 5023 g 3,905 km 2,3 L 8,10 m cm 37,015 kg 6005 m 0,105 L OPGVE 4 Rumfang af 25 g sølv: 2,358 cm 3 Vægt af 100 cm 3 guld: 1930 g (1,93 kg) Rumfang af 1 kg jern: 127,23 cm 3 D Vægt af 2 cm 3 platin: 43 g OPGVE 5 Rumdiagonalen i den blå kasse er ,85. Rumdiagonalen i den grønne kasse er ,23.

17 TRÆN 2 FÆRDIGHEDER OPGVE 1 Rumfang af Figur 1: V = ,74 cm 3. Figur 2: V = 31, ,17 m 3. Figur 3: V = ,67 cm 3. Figur 4: V = ,99 cm 3. Figur 5: V = 121 m 3. Figur 6: V = ,67 m3. Det samlede overfladeareal af Figur 1: O = ,62 cm 2. Figur 2: O = ,25 268,17 m 2. Figur 6: O = 168 m 2. Udfoldningsskitse af figur 2 med mål. Mange muligheder fx denne: E 0,07 km 2 F 300 ml G 2,5 L H 7500 cm 2 OPGVE 5 Man skal bruge vægten og rumfanget af MULTI 8. Intet fast facit. Man må forvente lidt variation i svarene primært på grund af uenighed om rumfanget. Tre ml guld vejer 57,9 g. D 130 g kobber fylder 14,61 cm 3. OPGVE 6 Intet fast facit. OPGVE 2 D E Højden bliver 14,61 cm. Grundfladeradius 3,257 cm. Kugleradius 4,46 cm. Kuglerumfang 371,69 cm 3. Pyramidehøjde = 25 cm. Kassens bredde er 35 cm. Kassens overfladeareal er cm 2. OPGVE 3 Intet fast facit. OPGVE m 0,025 kg 3 m 2 D 560 L

18 Den grønne kasse: De tre sidediagonaler måler: 5 34 ( 29,15 cm), 769 ( 27,73 cm) og 3 41 ( 19,21 cm). Rumdiagonalerne måler: ,53 cm. Den blå kasse: De tre sidediagonaler måler: 9,25 ( 3,04 m), 14,21 ( 3,77 m) og 19,54 ( 4,42 m). Rumdiagonalerne måler 21,5 4,64 m. FITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TRÆN 1 PROLEMLØSNING OPGVE 1 Vi går ud fra, at skibets bredde (56 m) kan benytte fuldt ud til lastning af containere. Hvis containernes længderetning er den samme som skibets kan der så være 22 containere i skibets bredde. Hvis containernes længderetning er skibets bredderetning kan der være 9 containere i bredden. Det fuldt lastede skib kan transportere ,16 m 3 gods. OPGVE 2 - Ingen faste facits. OPGVE 3 Rumfanget af hver lille pyramide er 1 3 1,5 1,52 = 1,125 cm 3. Hver pyramide vejer 1,125 1,325 1,49 g. sta kan lave 1000:1, chokoladepyramider. TRÆN 2 PROLEMLØSNING OPGVE 1 Hver glasplade vejer 576 kg. OPGVE 2 -D Ingen faste facits. OPGVE 3 D Det udvendige rumfang af kobberrøret er 605 cm ,7 cm 3. Det indvendige rumfang af kobberrøret er 451,25 cm ,6 cm 3. Det fysiske rumfang af kobberrøret er 153,75 cm 3 483,0 cm 3. Kobberrøret vejer 4,2987 kg. OPGVE 4 Rumdiagonalen er 3 m 1,73 m lang. OPGVE 4 Sandsækkens rumfang er cm 3. Sandsækken vejer ,7 g (ca. 35,6 kg) plus vægten af det læderhylster, der omgiver stofresterne. OPGVE 5 Rumdiagonalen i bagagerummet er ,4 cm lang. Det er mindre end de længste ski (171 cm), så alle fire par ski kan ikke være i bagagerummet. OPGVE 5 Rumfang: Overflade: Den grønne kasse: 4500 cm 3. Den blå kasse: 13,23 m 3. Den grønne kasse: 1710 cm 2. Den blå kasse: 36,26 m 2.

19 OPGVE 6 Dette regneark udregner rumindholdet i liter ud fra omkredsen af bolden: Har Lucas fodboldtræner ret? De fleste vil nok sige Nej. ndre vil måske sige Nogenlunde. Hvis omkredsen af bolden er mellem 71 cm og 74,5 cm vil rumindholdet i liter være mellem 6,04 L og 6,98 L så det kunne være et bud på omkreds til en str. 6 bold hvis man ønsker, at trænerens påstand skal gælde.