Projekt 8.1 Andengradspolynomier og andengradsligningen
|
|
- Thorvald Mortensen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ISBN Projekt 8.1 Andengradspolynomier og andengradsligningen (Dette projekt er hentet fra kapitel i B-bogen. Det rummer således en mulighed for at gøre arbejdet med andengradspolynomier færdig på dette trin) Indhold 1 Betydningen af koefficienterne a, b og c.... Parablens symmetri og toppunkt... 4 Prototypen for andengradspolynomiet Andengradspolynomiet p ( x) 1 x p ( ) a x p () a x a x b x c... 4 a x... 4 Andengradspolynomiet Bestemmelse af forskrift ud fra graf - andengradsregression Andengradsligningen Grafisk løsning af andengradsligningen Anvendelser af andengradspolynomiet Eksempel: Hvor bred skal stien være? Eksempel: Cosinusrelationerne... 0 Andengradspolynomier er en ny type funktioner, som bygger videre på førstegradspolynomier, der har forskriften f ( x) a x b. Førstegradspolynomier kender vi fra C-bogen, hvor de blev kaldt for lineære funktioner. Øvelse 1: a) Førstegradspolynomiets består af to led et konstant led og et førstegradsled. Angiv disse. Vi siger, at førstegradspolynomiet indeholder to parametre (tal). Disse kaldes også førstegradspolynomiets koefficienter. b) Angiv disse, og forklar betydningen af disse parametre i relation til førstegradspolynomiets graf. c) Giv et bud på, hvad man forstå ved et nulte-gradspolynomium. Overvej fx, hvordan grafen for en sådan funktion ser ud. Andengradspolynomiet opstår ud fra førstegradspolynomiet ved, at vi tilføjer et andengradsled til de to eksisterende led i forskriften. Et andengradsled er et led, hvor x opløftes til anden potens. Definition: Andengradspolynomium Et andengradspolynomium er en funktion med forskriften p( x) a x b x c, a 0 Parametrene a, b og c kaldes andengradspolynomiets koefficienter. Den ovenstående forskrift kaldes standardformen for andengradspolynomiet. Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
2 ISBN Øvelse : Angiv koefficienterne a, b og c i de følgende andengradspolynomier: a) p( x) x 7x 5 b) p( x) 0,5x x 3,5 c) p( x) 4x x 1 d) p() x x e) p x f) p( x) 3x 9x ( ) x 4 1 Betydningen af koefficienterne a, b og c I forskriften for andengradspolynomiet indgår som nævnt de tre koefficienter a, b og c. De har hver for sig en karakteristisk betydning for parablens form og beliggenhed i koordinatsystemet. Øvelse 3: Betydningen af a, b og c Vi vil nu undersøge betydningen af andengradspolynomiets koefficienter ved hjælp af skydere i et værktøjsprogram, ligesom vi gjorde med koefficienterne a og b i den lineære funktion i C-bogen. a) Tegn en graf for andengradspolynomiet p() x a x b x c med en skyder for hver af parametrene a, b og c. Brug fx x-intervallet fra -5 til 5 og y-intervallet fra -10 til 10. Sæt som udgangspunkt alle skyderne på værdien 1, og husk: Variabelkontrol, dvs. sæt undervejs de inaktive skydere på 1. b) Tilføj grafen for den konstante funktion f( x) c, svarende til den konstante del af andengradspolynomiet. Hvad sker der med graferne for f og p, når vi varierer på parameteren c? Hvilken betydning har parameteren c for parablens beliggenhed? Hvad sker der med parablen, hvis c har værdien 0? Hvordan kan vi aflæse fortegnet for c? c) Tilføj grafen for den lineære funktion g( x) b x c, svarende til den lineære del af andengradspolynomiet. Hvad sker der med graferne for g og p, når vi varierer på parameteren b? Hvilken betydning har parameteren b for parablens beliggenhed? Hvad sker der med parablen, hvis b har værdien 0? Hvordan kan vi aflæse fortegnet for b? d) Tilføj grafen for andengradspolynomiet h() x a x, svarende til andengradsleddet i andengradspolynomiet. Skjul evt. de foregående hjælpefunktioner f og g. Hvad sker der med graferne for h og p, når vi varierer på parameteren a? Hvilken betydning har parameteren a? Hvad sker der med parablen, hvis a får den forbudte værdi 0? Hvordan kan vi aflæse fortegnet for a? 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
3 ISBN Øvelse 4: Nedenfor ses fire parabler. Aflæs fortegnene for koefficienterne a, b og c for det tilhørende andengradspolynomium. Øvelse 5: Skitser grafen for en parabel der opfylder betingelserne: a) a 0, b 0 og c 0 b) a 0, b0 og c 0. c) a 0, b 0 og c 0. Vi har i det foregående eksperimenteret med parablers form og beliggenhed og også udledt en lang række karakteristiske egenskaber for parablen udtrykt ved dens koefficienter a, b og c. Vi opsamler nu de vigtigste af disse egenskaber, som vi alt i alt har fundet frem til: Sætning 1: Betydningen af koefficienterne a, b og c i et andengradspolynomium p() x a x b x c. Betydningen af a: Fortegnet for a: Hvis a er negativ, vender parabelgrenene nedad (parablen er sur) Hvis a er nul, er der ikke tale om et andengradspolynomium. Grafen udarter da til en ret linje. Hvis a er positiv, vender parabelgrenene opad (parablen er glad) Størrelsen af a: Hvis a ligger tæt på 0, er krumningen lille og parablen derfor meget flad. Hvis a ligger langt fra 0, er krumningen stor og parablen derfor meget smal Betydningen af b: Koefficienten b angiver parablens hældning omkring skæringspunktet med y-aksen. Sammen med koefficienten a kontrollerer b også b placeringen af symmetriaksen for parablen, der er givet ved x a. Fortegnet for b: Hvis b er negativ, er andengradspolynomiet aftagende omkring skæringspunktet med y-aksen. Hvis b er nul, er hældningen omkring skæringspunktet nul og parablen skærer y-aksen i sit toppunkt. Hvis b er positiv, er andengradspolynomiet er voksende omkring skæringspunktet med y-aksen. Betydningen af c: 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
4 ISBN Koefficienten c angiver skæringspunktet med y-aksen. Fortegnet for c: Hvis c er negativ, skærer parablen y-aksen under x-aksen. Hvis c er nul, går parablen gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0). Hvis c er positiv, skærer parablen y-aksen over x-aksen. Øvelse 6: Hvor ligger parablens toppunkt i forhold til y-aksen, hvis a og b har samme fortegn? Hvor ligger det, hvis a og b har modsat fortegn?. Parablens symmetri og toppunkt Vi vil nu undersøge parablens form nærmere. Vi vil starte med det simpleste andengradspolynomium p() x x, den såkaldte prototype med enhedsparablen som graf. Derfra vil så arbejde os frem mod at vise, at alle graferne for vilkårlige andengradspolynomier har samme form som prototypen. Hvis vi kan forstå prototypen, kan vi altså forstå dem alle!. Prototypen for andengradspolynomiet Enhedsparablen er særlig simpel. Den er tydeligvis symmetrisk omkring y-aksen, fordi kvadratet på tallene x og x er det samme. Den har toppunkt i (0,0), som er et globalt minimum for funktionen, fordi alle kvadrattal er positive eller i det mindste 0, og derfor er alle y- værdierne større end eller lig med 0. p ( x) 1 x Endelig går den gennem punktet (1,1). Når vi går én ud fra toppunktet (hvad enten vi går fremad eller bagud langs x-aksen), går vi altså samtidigt én op. Fortsætter vi med at gå én fremad (eller bagud), gennemløber vi på samme måde alle kvadrattallene 4, 9, 16, 5,. Tilvæksterne svarer netop til de ulige tal 1, 3, 5, 7, og de voksende stigningstal viser, hvordan parablen bliver mere og mere stejl i takt med, at vi fjerner os fra toppunktet. Faktisk vokser stigningen jævnt; dette vil vi præcisere, når vi går i gang med differentialregningen. Andengradspolynomiet p ( ) a x a x Hvis fx a har værdien, ser vi at alle y-værdier bliver dobbelt så store. Det viser at grafen er blevet strakt ud med en faktor i lodret retning ud fra x- aksen, dvs. alle y-værdierne blevet to gange så store. Men derudover er formen uændret, dvs. grafen er stadigvæk symmetrisk omkring y-aksen. Tilsvarende hvis a har værdien -3, så har alle y-værdierne skiftet fortegn, og de er samtidigt blevet numerisk tre gange så store. Denne gang vender parablen altså grenene nedad, men derud over har den samme form. Da parablen denne gang går gennem punkterne ( 1, a) og (1, a ), ser vi, at når vi går én ud fra toppunktet, går vi samtidigt stykket a op (eller ned, hvis a er negativ). Konstanten a regulerer altså parablens krumning: For små værdier af a (tæt på 0) er parablen meget bred og den krummer kun lidt, mens den for store værdier af a (langt over 1) er meget slank og krummer voldsomt. 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
5 ISBN Andengradspolynomiet p () a x a x b x c Vi vil nu prøve at forstå sammenhængen mellem parablen og y a x b x c (samme a-værdi!). Vi kan forstå det ud fra en tabel-repræsentation, en graf-repræsentation og en symbolsk repræsentation. Den symbolske repræsentation er den mest generelle, men for at skyde os ind på ideen, kigger vi først på tabel- og grafrepræsentationerne. Når vi tegner graferne for andengradspolynomierne, kan vi tydeligt se slægtsskabet med enhedsparablen: De har et tydeligt toppunkt, der er tydeligvis symmetri, og de ser ud til at krumme på samme måde. Øvelse 7: Tabel-repræsentation y ax a) Benyt et værktøjsprogram til at bestemme funktionstabellen for p x x x, hvor skridtlængden for x er 1. ( ) 4 7 b) Find toppunktet for parablen i tabellen, og vælg et udsnit af tabellen, fx 7 punkter på hver side af toppunktet (dvs. 15 i alt), så du tydeligt kan se hvordan funktionsværdien vokser, når du bevæger dig væk fra toppunktet. c) Bestem tilsvarende en funktionstabel for prototypen tabel. p ( x) 1 x, og udvælg på samme måde 15 punkter i denne d) Sammenlign nu de to funktionstabeller med udgangspunkt i de to toppunkter opstil fx de to tabeller ved siden af hinanden i et regneark, således at de to toppunkter står i samme række. Hvilken sammenhæng ser du mellem x-værdierne i samme række? Lad fx og en tilfældig x-værdi i tabellen for p 1 og opskriv sammenhængen mellem værdierne i samme række i de to funktionstabeller. x 1 være en tilfældig x-værdi i tabellen for p Besvar nu de samme spørgsmål for andengradspolynomierne: 1) p( x) x 5x 8, der sammenholdes med p ( x) x 1 ) p( x) x 3x 4, der sammenholdes med p ( x) x Øvelse 8: Graf-repræsentationen a) Tegn grafen for andengradspolynomiet x 1 og ( ) 4 7 x x. Beskriv på lignende vis sammenhængen mellem y- p x x x i et dynamisk geometriprogram og afsæt toppunktet for parablen ved hjælp af et passende værktøj. Tegn også grafen for prototypen p ( x) 1. b) Tegn den forskydningsvektor (orienteret linjestykke), der forbinder toppunktet (0,0) for enhedsparablen med toppunktet for parablen y x 4x 7. Hvis du parallelforskyder (0,0) langs denne forskydningsvektor, fører parallelforskydningen altså toppunktet fra enhedsparablen over i toppunktet for den forskudte parabel. c) Afsæt nu et frit punkt på enhedsparablen og parallelforskyd det langs den ovenstående forskydningsvektor. Hvad observerer du, når du trækker i punktet? Hvad fortæller det, om de to parabler? d) Prøv derefter at besvare de samme spørgsmål for graferne for andengradspolynomierne: 1) p( x) x 5x 8, der sammenholdes med ) p( x) x 3x 4, der sammenholdes med p ( x) 1 x p ( x) x x De foregående øvelser kunne tyde på, at grafen for andengradspolynomiet p() x a x b x c 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk har samme form som grafen for p ( ) a x a x. Hvis vi kan vise dette, vil vi altså netop have påvist, at alle parabler har samme form, og at det kun er beliggenheden, der adskiller dem. Vi vil derfor nu undersøge, hvad der sker, når vi parallelforskyder grafen for andengradspolynomiet p ( ) a x a x med det vandrette stykke h og det lodrette stykke k. Vi vil benytte en blanding af geometriske og symbolske argumenter. Vi starter derfor med at tegne grafen for p ( ) a x a x og afsætter et frit punkt (x 0,y 0) på grafen.
6 ISBN Dette punkt forskydes med det vandrette stykke h og det lodrette stykke k over i punktet (x,y). Der gælder derfor sammenhængen x x h 0 y y k 0 Når det uafhængige punkt gennemløber parablen vil det afhængige punkt nu gennemløbe den forskudte parabel. Denne kan derfor enten tegnes som det geometriske sted frembragt af det afhængige punkt (x,y) drevet af det uafhængige punkt ( x0, y 0). Eller den kan tegnes som sporet af det afhængige punkt (x,y). Vi ønsker nu at finde funktionsforskriften for den forskudte parabel. ( x, y ) 0 0 y ax Det uafhængige punkt ( x0, y0) ligger på parablen y a x, så derfor skal punktets koordinater passe ind i forskriften, dvs. y0 a x0 (*) Det afhængige punkt (, ) er givet ved ( x 0 h, y 0 k), dvs. x x0 h og y y0 k Når vi isolerer hhv. og får vi x 0 xy x0 x h og y0 y k Dette indsættes i (*): y k ax h Når vi isolerer y, får vi: y ax h k y 0 Forskriften for den forskudte parabel er altså givet ved p() x a x h k. Men er det nu også et andengradspolynomium? Ja, for vi kan gange parentesen ud og omskrive den til standardformen: y a ( x h) k Ligningen for den forskudte parabel y a ( x h x h ) k Gang parentesen ud (kvadratsætningen) y a x a h x a h k Gang ind i parentesen med a y a x a h x a h k ( ) ( ) Saml leddene til standardformen y a x b x c Sæt ba h og c ah k 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
7 ISBN Vi spørger nu: Kan alle andengradspolynomier frembringes på denne måde? Svaret er bekræftende. Hvis vi starter med et andengradspolynomium p() x a x b x c, så kan vi nemlig finde et h og et k, der opfylder ligningerne: og c ah k Det er nemmest at finde h, dvs. det vandrette forskydningsstykke: ba h b a h b h a Divider -a over Øvelse 9 Overvej at denne værdi samtidig er x-koordinaten for toppunktet. Således at symmetriaksen for parablen har ligningen: b x a. Det er noget mere kompliceret at finde udtrykket for k, men for fuldstændighedens skyld udleder vi også en formel for k, dvs. det lodrette forskydningsstykke: c ah k k c ah b k c a a Isoler k Indsæt det fundne udtryk for h b c a 4 Brug en potensregel ab kc 4a Brug en brøkregel: a ganges på i tælleren b kc 4a Forkort det ene a væk i tæller og nævner 4ac b k 4a 4a Omskriv c til en brøk med samme nævner 4ac b k 4a Sæt på fælles brøkstreg b 4ac k 4a Sætter minus ud foran brøken d k Kald tælleren for d (diskriminanten) 4a Vi samler ovenstående i hovedsætningen for parabler: Sætning : Parablens form og beliggenhed toppunkt og symmetrilinje Grafen for andengradspolynomiet p() x a x b x c har samme form som parablen med forskriften p ( ) a x a x, idet den er en parallelforskydning af denne. b b d Parablen er symmetrisk omkring den lodrette linje x og har toppunkt i,, hvor d er den a a 4a såkaldte diskriminant for andengradspolynomiet givet ved d b 4a c. Koefficienten a bestemmer parablens krumning: Går vi stykket 1 vandret ud fra toppunktet, skal vi gå stykket a lodret op (hvis a er positiv) og ellers lodret ned (hvis a er negativ). 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
8 ISBN Øvelse 10: Den ovenstående måde at analysere en funktion ud fra en prototype er standard for mange funktioner, ikke blot for andengradspolynomier. Prototypen f 0(x) genererer en hel funktionsfamilie ud fra vandrette og lodrette forskydninger samt vandrette og lodrette skaleringer. På hjemmesiden er der et projekt, hvor vi dykker dybere ned i funktionsfamilier frembragt ud fra en prototype og bl.a. får et gensyn med den eksponentielle vækst. Øvelse 11: Vi har flere gange brugt begrebet krumning uden at præcisere, hvad vi forstår herved. Der findes forskellige krumningsmål for kurver og grafer, og vi vil under differentialregningen vende tilbage med de præcise definitioner. På hjemmesiden ligger en kort første introduktion til begrebet. 3. Bestemmelse af forskrift ud fra graf - andengradsregression Vi kan ud fra grafen bestemme værdien af de tre koefficienter a, b og c i forskriften for andengradspolynomiet. Dvs. vi kan ikke alene bestemme fortegnet for de tre konstanter, men deres faktiske værdi. Eksempel: Bestemmelse af forskrift ved løsning af ligningssystem Der er givet følgende graf og tilhørende punkter for en funktion, som vi får oplyst er et andengradspolynomium: Vi ved at et andengradspolynomium har en forskrift på formen p() x a x b x c Vi skal bestemme a, b og c. Ud fra forskriften og de tre opgivne punkter opstilles tre ligninger med de tre ubekendte a, b og c: Punkt Indsætter i Udregner funktionsværdien udtrykt ved (,1) p( ) 1 4a b c 1 p 9a 3b c (4,5) p(4) 5 16a 4b c 5 (3,) (3) px ( ) Man kan godt bestemme a, b og c i hånden. Men det nemmeste er at bruge solve-kommandoen i et værktøjsprogram: Konklusion: Det søgte andengradspolynomium har forskriften p( x) x x. 1 3 Øvelse 1: Grafen for et andengradspolynomium f går igennem punkterne (, 8), (1,3) og (10, 5). Bestem forskriften for f ved løsning af et ligningssystem. 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
9 ISBN Øvelse 13: a) Argumenter for, at man ikke kan bestemme forskriften for andengradspolynomiet ud to punkterb) Givet tre punkter i et koordinatsystem. Kan man altid bestemme et andengradspolynomiet, hvis graf går gennem de valgte tre punkter? c) Hvad gør man, hvis man kender 4 punkter? Eksempel: Bestemmelse af forskrift ved andengradsregression Hvis vi kender flere end tre punkter og punkterne ikke passer præcist med forskriften for et andengradspolynomium, selvom vi har en formodning om, at der ligger et andengradspolynomium bag datapunkterne, så skal vi bruge en anden metode. Lad os fx se på billedet af et springvand. Billedet kan lægges ind i et dynamisk grafprogram, sammen med et passende koordinatsystem, hvorved vi kan aflæse koordinaterne til et passende antal punkter: Vi vælger at tro på, at dråberne bevæger sig stort set som en kanonkugle, dvs de følger en parabelbue. Sammenhængen mellem de to variable, længden x og højden y af dråbens vej fra hanen til landing i bassinet, må derfor kunne beskrives ved et andengradspolynomium. Virkeligheden er altid noget grumset i forhold til teorien, men man kan sige, at det vi tror på, er, at der bag målepunkterne ligger nogle ideelle teoretiske værdier, som vi ikke umiddelbart kan se, men som målepunkterne er en genspejling af. De teoretiske værdier ligger præcist på en parabel, men på grund af bl.a. måleusikkerhed ligger målepunkterne spredt tilfældigt rundt omkring den teoretiske parabel. Værktøjsprogrammerne har en indbygget metode, der kaldes andengradsregression, til at tegne den bedst mulige parabel gennem datapunkterne. Metoden kaldes også kvadratisk regression. Ligesom ved lineær regression bygger metoden på mindste kvadraters metode. Til hvert datapunkt knyttes det punkt på parablen, der har den samme x- værdi. Det lodrette linjestykke, det såkaldte residual, mellem datapunktet og grafpunktet udspænder et kvadrat. Det er summen af disse residualkvadraters arealer, der udgør et mål for hvor god modellen er. I en andengradsregression bestemmes koefficienterne a, b og c nu således, at summen af residualkvadraternes arealer er mindst mulig. Der findes formler for a, b og c, der er indbygget i værktøjsprogrammet. Under emnet differentialregning viser vi i detaljer hvordan man finder koefficienterne. Her bruger vi blot den indbyggede andengradsregression i værktøjsprogrammet. 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
10 ISBN Når værktøjsprogrammet udregner forskriften for det andengradspolynomium, der bedst mulig passer til de givne datapunkter, udregner den samtidigt et mål for, hvor godt andengradspolynomiet og regressionsgrafen passer med målepunkterne. Dette mål har i matematik symbolet og kaldes ofte forklaringsgraden. I kapitel 9 om statistik går vi nærmere ind i den såkaldte regressionsanalyse og får et mere præcist billede af, hvilken rolle forklaringsgraden spiller i vurderingen af andengradsregressionen. r Et godt grafisk værktøj til at svare på, hvor godt andengradspolynomiet passer med målepunkterne, er det såkaldte residualplot, som vi også kender fra lineær, eksponentiel og potens regression. Øvelse 14: a) Benyt et værktøjsprogram til at bestemme såvel forklaringsgraden som residualplottet for den ovenstående andengradsregression. b) Vurder om forskellen mellem model og målepunkter kan tilskrives rene tilfældigheder, eller om der er tale om en systematisk afvigelse. Øvelse 15: a) Bestem toppunktet for den parabel, som springvandet frembringer. b) Hvor højt op over hanens munding kommer springvandet? Eksempel: Bestemmelse af forskrift ved kvadratisk regression Når man kaster en bold, så vil bolden følge en bestemt kurve, der ifølge Galileis bevægelseslove bør ligne en parabel (vi ser bort fra luftens modstand mod bevægelsen). Et sådant kast kan optages med et lille kamera og analyseres i et værktøjsprogram. Det gøres ved at indlægge et passende koordinatsystem og udnytte, at afstanden mellem de to røde kegler er sat til 3.00 m. Når man spoler filen frem billede for billede kan man nu afsætte boldens centrum som en prik og få aflæst såvel tidspunktet som x- og y-koordinaterne. På hjemmesiden kan du hente den originale tabel med datapunkterne her nøjes vi med et udsnit: t = 0 s 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
11 ISBN Tid t (s) Længde x (m) Højde y (m) t = 0.s Vi ønsker at analysere baneformen og fokuserer derfor på sammenhængen mellem x og y. Vi plotter datapunkterne i et koordinatsystem og udfører andengradsregression, se figurerne. t = 0.4 s Vi finder som vist forskriften: y 0,44x 1,14x,19 Her passer konstantleddet,19 meget godt med den højde bolden slippes i (,0). Tilsvarende passer førstegradskoefficienten 1,14 meget godt med hældningen for tangenten. t = 0.6 s Øvelse 16 Udnyt formlen for hældningskoefficienten af en linje bestemt af to punkter på de to første dataværdier i tabellen til at give et bud på tangentens hældning. t = 0.8 s Øvelse 17: a) Hvad bliver forklaringsgraden for regressionen i eksemplet ovenfor? b) Tegn også et residualplot for regressionen mellem længden x og højden y og vurder om forskellen mellem model og målepunkter kan tilskrives rene tilfældigheder, eller om der er tale om en systematisk afvigelse. Øvelse 18: Bestem toppunktet for parablen, og bestem dermed boldens maksimale højde over gulvet. 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
12 ISBN Andengradsligningen I det foregående så vi, at konstanten c i andengradspolynomiet f() x ax bx c bestemmer parablens skæring med y-aksen. I det følgende vil vi undersøge parablens beliggenhed i forhold til x-aksen og se på, hvordan vi kan bestemme en parabels eventuelle skæringspunkter med x-aksen. Øvelse 19: En parabels beliggenhed i forhold til x-aksen kan beskrives ved en af følgende tre situationer: 1. Parablen skærer ikke x-aksen. Parablen rører x-aksen i et punkt 3. Parablen skærer x-aksen i to punkter. Overvej i hvert tilfælde, hvordan parablen ligger, når a 0 og når a 0 Når vi vil bestemme mulige skæringspunkter for en parabel med x-aksen, så skal vi løse ligningen skal bestemme de x-værdier, der giver funktionsværdien nul.. f( x ) 0, fordi vi Dvs. vi skal løse ligningen ax bx c 0. Vi kalder denne type ligning for en andengradsligning, fordi højestegradsleddet er et andengradsled. Sætning 3: Andengradsligningens løsningsformel Antallet af løsninger til andengradsligningen ax bx c 0 andengradsligningens diskriminant d b 4a c : afhænger af fortegnet for d 0 d 0 d 0 Andengradsligningen har ingen løsning. Andengradsligningen har netop én løsning: b x a b d Andengradsligningen har to løsninger: x og a b x a d Beviset for sætning 3 følger nedenfor 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
13 ISBN Eksempel: Løsning af en andengradsligning Vi skal løse ligningen x x8 0 Løsningsmetode 1 Ligningen løses med brug af løsningformlen. I andengradsligningen x x8 0 er a 1, b og Diskriminanten d bliver så d Dvs. andengradsligningen har to løsninger: c x 4 og x 1 1 Vi kan kontrollere om løsningerne er korrekte ved at indsætte de fundne værdier i andengradsligningen: Løsning x 4 : Løsning Da vi i begge tilfælde får nul, så er begge de fundne løsninger korrekte, og der findes ikke flere! Konklusion: Ligningen har løsningerne x = -4 og x =. x : Løsningsmetode Ligningen løses med brug af en solve-kommando. Solve( x x8 0,x) x 4 and x Konklusion: Ligningen har løsningerne x = -4 og x =. Bemærk: Hvis andengradsligningen ingen løsninger har, så vil værktøjsprogrammet svare med False. Løsningsmetode 3 Ligningen løses grafisk: Vi tegner grafen, og ser om grafen skærer x-aksen. Hvis den gør det, så benytter vi værktøjsprogrammets muligheder for at bestemme disse skæringspunkters x-koordinater. Vi angiver hvilken metode, vi bruger. Konklusion: Ligningen har løsningerne x = -4 og x =. Øvelse 0 Løs følgende andengradsligninger. Du skal anvende hver af de tre løsningsmetoder mindst én gang: a) x 1x 0 0 b) x x 3 0 c) x 4x 0 d) 3x 5x L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
14 ISBN Bevis for sætning 3. Bevisets ide er at omskrive ligningen ved hjælp af en af kvadratsætningerne: ( e f ) e e f f, hvor vi her har anvendt e og f, fordi der er så mange andre symboler i spil. Men det særligt smarte er her, at vi anvender den baglæns : e e f f ( e f ), fordi vi så ender med en ligning, hvor vi bare kan tage kvadratroden. Vi løser andengradsligningen ved at omskrive skridt for skridt: ax bx c 0 4a x 4abx 4ac 0 Gange med 4a a x 4abx 4ac 0 Udnyt ( ax) 4abx 4ac 0 4, så alle faktorer i 1. led er kvadrater Anvend potensregel på første led ( ) 4 4 ax abx ac Træk 4ac fra på begge sider ( ax) 4abx b b 4ac Læg til på begge sider ( ax) ax bb b 4ac Omskriv det andet led til et dobbelt produkt, så vi har to kvadrater og et dobbeltprodukt på højre side ( ax b) b 4ac Anvend den første kvadratsætning, og omskriv højresiden til et kvadrat med to led (se øvelse nedenfor) ( ) Erstat ax b d b b 4ac med d, som er ligningens diskriminant Nu vil vi tage kvadratroden, men vi må passe på, vi må ikke tage kvadratroden af negative tal: Vi er derfor nødt til at opdele i flere tilfælde: d 0 ( ax b) d Ingen løsning! Den omvendte funktion til at kvadrere er at tage kvadratroden, men vi ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal, så derfor har ligningen ingen løsning. d 0 ( ax b) 0 ax b 0 Anvend kvadratroden og udnyt 0 0 ax b Træk b fra på begge sider b Divider med a x a d 0 ( ax b) d ax b d eller ax b d Anvend kvadratroden. Vi får muligheder, idet både ( d) d og ( d) d ax b d eller ax b d Træk b fra på begge sider b d b d Dividerer med a x eller x a a Hermed har vi bevist sætning L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
15 ISBN Øvelse 1 I beviset ovenfor anvendte vi den første kvadratsætning: Kvadratet på en toleddet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt til omskrivningen: ( ax) ax bb ( ax b) Vi bruger her kvadratsætningen omvendt, dvs. vi går fra kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt (dvs. fra to kvadrater og et dobbeltprodukt) til kvadratet på en to-leddet størrelse (dvs. et kvadrat med to led). Denne proces kaldes kvadratkomplettering, og de fleste værktøjsprogrammer har typisk en indbygget kommando, fx CompleteSquare, der kan gennemføre omskrivninger på denne måde. Undersøg dit eget værktøj! Øvelse : Kinesisk andengradsligning En gammel kinesisk by er omgivet af en kvadratisk mur. I midten af hver af siderne er der en byport. 0 meter foran porten i nord står der et træ. Hvis man går 14 meter direkte væk fra porten i syd og dernæst 1775 meter til højre kan man lige netop skimte træet. Hvor stor er byen? Benyt tegningen nedenfor til at opstille en andengradsligning, og løs problemet. Øvelse 3: Babylonisk andengradsligning På babylonske lertavler har man fundet regnestykker, som faktisk er opstilling og løsning af andengradsligninger. Her er et eksempel fra lertavlen BM (let tilrettet tekst): Jeg har lagt arealet til to tredjedele af siden i mit kvadrat og det er 0;35. Du tager 1, koefficienten. To tredjedele af 1 er 0;40. Halvdelen deraf, 0;0, ganger du med 0;0, (og resultatet) 0;6,40 lægger du til 0;35, og (resultatet) 0;41,40 har 0;50 til kvadratrod. 0;0 som du gangede med sig selv, trækker du fra 0;50 og 0;30 er (siden i) kvadratet. I C-bogen så vi hvordan babylonierne regnede i 60-talssystem, så de tal, der er gengivet i teksten er skrevet i 60- talssystemet. a) Omskriv de tal, der indgår i teksten til 10-talssystemet som vist i nedenstående beregning (bemærk, at semikolon skiller de hele tal fra decimalerne), idet vi anvender et værktøjsprogram ved det sidste lighedstegn: 0;6, b) Lad nu x betegne siden i kvadratet, og opstil en andengradsligning, der svarer til teksten. c) Løs den fundne andengradsligning, og kontroller derved det resultat, som teksten foreskriver. 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
16 ISBN Grafisk løsning af andengradsligningen Da løsning af andengradsligningen ax bx c 0 svarer til at bestemme x-koordinaten i skæringspunkterne mellem parablen p() x ax bx c og x-aksen, formulerer vi nu sætning 3 i en grafisk udgave: Sætning 4: Grafisk løsning andengradsligningen Antallet af skæringspunkter mellem parablen for andengradspolynomiet afhænger af diskriminanten d b 4ac på følgende måde: p() x ax bx c og x-aksen d 0 d 0 d 0 Parablen skærer ikke x-aksen Parablen rører x-aksen netop ét sted, nemlig i det punkt, hvor Parablen skærer x-aksen to steder, nemlig i de to punkter, hvor: b d x eller a b d x a b x a Løsningerne til andengradsligningen ax bx c 0 kaldes også for andengradspolynomiets rødder. Eksempel: Negativ diskriminant ingen skæringspunkter ingen rødder For andengradspolynomiet p ( x) x x 1 1 har koefficienterne følgende værdier, Diskriminanten d bliver: d Konklusion: Andengradspolynomiet har ingen rødder, dvs. parablen skærer ikke x-aksen. a 1 b 1 og c L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
17 ISBN Eksempel: Diskriminant nul et skæringspunkt en rod For andengradspolynomiet p ( x) x 4x 4 er koefficienterne,. Diskriminanten d bliver: d Parablen skærer altså x-aksen i ét punkt. Vi bestemmer x-koordinaten i skæringspunktet: 4 4 x 1 Konklusion: Andengradspolynomiet har en rod, og parablen skærer x- aksen i punktet (,0). a 1 b 4 og c 4 Eksempel: Positiv diskriminant to skæringspunkter to rødder For andengradspolynomiet p ( x) x 6x 5 3 er koefficienterne, b 6og. Diskriminanten d bliver: a 1 c 5 d Parablen skærer altså x-aksen i to punkter. Vi bestemmer x-koordinaten i hvert af de to skæringspunkter: ( 6) ( 6) x 1 eller x Konklusion: Andengradspolynomiet har to rødder, og parablen skærer x- aksen i de to punkter (1,0)og (5,0). Øvelse 4 Bestem diskriminanten for andengradspolynomierne, og undersøg om parablerne skærer, rører eller ikke- skærer x- aksen: a) f x x x ( ) 8 b) g( x) x x 4 c) h( x) x 8x 6 Eksempel: Rod i et polynomium Vi vil undersøge om er en rod i andengradspolynomiet f x x x. ( ) En rod i et andengradspolynomium er en løsning til andengradsligningen 3x 10x 3 0. Hvis derfor er en rod, så skal x gøre ligningen sand. Vi får: Konklusion: er ikke en rod i. f Øvelse 5 Undersøg, om følgende andengradspolynomier har nogen rødder, og bestem i givet fald disse: a) f( x) x 1x 0 b) g( x) 3x 40x 00 c) h( x) 5x 30x 100 d) i( x) 4x 100x 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
18 ISBN Eksempel: Skæring mellem parabel og vandret linje Vi tegner graferne for de to funktioner og g( x) x x 4 i samme koordinatsystem. Vi ser, at der er et skæringspunkt, og bestemmer dette til ( 1,3). Vi kan også beregne koordinaterne til skæringspunktet. I skæringspunktet er funktionsværdierne for de to funktioner ens. Dvs. vi skal løse ligningen: fx ( ) 3 f ( x) g( x) 3 x x 4 0 x x 1 Træk 3 fra på begge sider x 1 x x 1 Anvend løsningsformlen Diskriminanten var 0 y-koordinaten må være 3, da er konstant lig med 3. Konklusion: Skæringspunktet mellem parablen og linjen er punktet ( 1,3). Øvelse 5 f a) For hvilke værdier af k er der henholdsvis ingen, ét eller to skæringspunkter mellem parablen i eksemplet ovenfor og linjen med ligning y k. Giv en grafisk løsning, ved at lade f ( x) k, og indføre en skyder for k. b) Løs ligningen g( x) k ved beregning, og anvend din viden om diskriminantens betydning for antallet af løsninger til at svare på, for hvilke værdier af k ligningen har henholdsvis ingen, én eller to løsninger. Eksempel: Skæring mellem parabel og skrå linje Vi tegner graferne for de to funktioner f ( x) x 10 og g( x) x x 4 i samme koordinatsystem. Vi ser, at der er to skæringspunkter, og bestemmer disse til (,4) og (,1). Vi kan også beregne koordinaterne til skæringspunkterne. I skæringspunkterne er funktionsværdierne for de to funktioner ens. Dvs. vi skal løse ligningen: f ( x) g( x) x 8 x x 4 4 x Reducer ligningen x eller x y-koordinaterne kan vi bestemme ved indsættelse i en af funktionsforskrifterne. Her vælger vi f, fordi det giver den simpleste beregning: f( ) ( ) 8 4 og f() 8 1 Konklusion: Parablen og den skrå linje skærer hinanden i punkterne (,4) og (,1). 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
19 ISBN Øvelse 6 (Især for A-niveau) Vi ser nu på de to funktioner og g( x) x x 4 Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem, idet du indfører en skyder for a. f ( x) ax a) For hvilke værdier af a er der henholdsvis ingen, ét eller to skæringspunkter mellem parablen og linjen med ligning y a x. Giv en grafisk løsning. b) Løs ligningen x x 4 a x ved beregning, og anvend din viden om diskriminantens betydning for antallet af løsninger til at svare på, for hvilke værdier af a ligningen har henholdsvis ingen, én eller to løsninger. 5. Anvendelser af andengradspolynomiet En række optimeringsproblemer involverer andengradspolynomier. Optimale løsninger er i sådanne tilfælde ofte knyttet til toppunktet. Vi vil demonstrere at anvendelsen af andengradspolynomier har et bredere felt. 4.1 Eksempel: Hvor bred skal stien være? Familien Jensen har lige anlagt et svømmebassin, der har form som et rektangel. Svømmebassinet er 8 meter langt og 4 meter bredt. Som kronen på værket ønsker de at lægge et lag kunstigt græs rundt langs svømmebassinet, hvor de kan ligge og slappe af oven på svømmeturen. De har købt 50 m kunstigt græs på et godt tilbud i den lokale tømmerhandel. Det kunstige græslag skal have samme bredde hele vejen rundt langs kanten af svømmebassinet. Problem: Gør rede for, at bredden x af det kunstige græslag skal opfylde ligningen 4 x 4 x 50 0 og bestem bredden af græslaget. Løsning: Vi tegner først en skitse af situationen Vi ser da at græslaget består af fire kvadrater med arealet x og fire rektangler med arealerne 8x, 4x, 8x og 4x. Tilsammen har kvadraterne derfor arealet 4 x og rektanglerne arealet 4x 8 x 4 x. Men det samlede areal skulle være 50 m, hvorfor der må gælde 4x 4x50 4x 4x 50 0 Vi skal så løse denne andengradsligning for at finde bredden. Vi bemærker først, at venstresiden er et andengradspolynomium, hvis graf er en glad parabel, som skærer y-aksen i 50. Den må derfor nødvendigvis skære x-aksen to steder, den ene gang i et negativt tal (som ikke kan bruges i modellen), og den anden gang i et positivt tal (den søgte bredde). Vi ser også at parablen skærer y-aksen med den positive hældning 4, dvs. den positive løsning ligger tættest på 0. Vi kan selvfølgelig aflæse skæringspunkterne med x-aksen på grafen. 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
20 ISBN Vi ser da, at den søgte bredde er 1.64 m, men vi kan også løse ligningen ved hjælp af formlen for andengradsligningen, hvor vi kun vælger den positive: 4x 4x 50 0, a 4, b 4, c 50 b b ac x a 8 8 Eller blot ved hjælp af solve i et værktøjsprogram kontroller fx beregningen ovenfor ved denne metode. Vi finder altså igen at den søgte bredde er 1,64 m. Øvelse 7 Hvilken bredde skal familien benytte, hvis de i stedet beslutter at sætte et hegn op langs en af bassinets langsider, og de derfor kun skal lægge græs ud langs de resterende tre sider? 4.. Eksempel: Cosinusrelationerne Da vi i C-bogen lærte om trigonometriske beregninger i vilkårlige trekanter beskrev vi, hvilke trekantstilfælde, der klares ved hjælp af sinusrelationerne, og hvilke der klares ved hjælp af cosinusrelationerne. Hvis vi var nødt til at bruge sinusrelationerne kunne vi risikere at gå i sinusfælden. Øvelse 8 Hvad er sinusfælden. Illustrer det med følgende eksempel: Vi får oplyst om trekant ABC, at, siden a er 1 og siden b er 10. Vi får yderligere oplyst, at ønsker at bestemme siden c og de øvrige vinkler. a) Konstruer trekanten ud fra de opgivne mål. Bruger du oplysningen om at geometriprogrammet give svaret på længden af siden c. b) Beregn c) Hvordan ville konstruktionen have forløbet, hvis vi ikke havde fået at vide, at A er 37 B med brug af sinusrelationerne og beregn dernæst siden c. B er stump. Vi B er stump i din konstruktion? Lad B er stump? Situationen, hvor vi kender en side og en vinkel overfor hinanden samt kender endnu en side, kan også løses med brug af cosinusrelationerne. I øvelsen ovenfor bliver vi spurgt om siden c. Hvis vi opskriver den af cosinusrelationerne, hvor kan indsætte mest mulig information, får vi følgende: a b c bc cos( A ) 10 1 c 1c cos(37) Indsæt de opgivne talværdier 0 c 1cos(37) c1 10 Roker rundt i ligningen 0 c 18,37c 44 Udregn koefficienterne Dette er en andengradsligning i den ubekendte c. Hvis vi vil løse den med brug af formlen finder vi først d 18, ,46. Dvs. der er to løsninger! Hvis vi løser den med brug af en solve-kommando kan det se således ud: solve( c 18,37c 44 =0,c) c=,83 or c=15,54 Der er altså to løsninger til siden c, og dermed to forskellige trekanter som løsning. 1. trekantsmulighed: c =,83 giver følgende beregning af B : a c b cos( B) ac 10,83 1 cos( B) Indsæt talværdier 10,83 cos( B) 0,636 Udregn brøken B 19,5 Anvend cos 1 Endelig får vi C : C , ,5 017 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
21 ISBN trekantsmulighed: c = 15,54 giver følgende beregning af Endelig får vi C a c b cos( B) ac B : 10 15,54 1 cos( B) 1015,54 Indsæt talværdier cos( B) 0,636 Udregn brøken B 50,5 : C ,5 37 9,5 Anvend Hvis vi fik oplyst at B er stump, så så vi bort fra tilfælde. I modsat tilfælde ville der være to trekanter som løsning til opgaven. Det særlige ved anvendelsen af cosinusrelationerne er, at vi er helt sikre på resultatet, her er ingen fælde. cos L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.dk
Funktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereProjekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereProjekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereTilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet
Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereProjekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!
Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereNår eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:
Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereLouise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde
Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereArealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereDet grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.
Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereProjekt Pascals trekant
ISBN 988089 Projekter: Kapitel 9 Projekt 9 Pascals trekant Projekt 9 Pascals trekant Et af målene i dette afsnit er at generalisere kvadratsætningerne, så vi fx umiddelbart og uden nødvendigvis at bruge
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereKapitel 8. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse 8.2
Kapitel 8 Øvelse 8.2 Til Maria Pia broen bruger vi de tre punkter (0,0), (80,60) og (160,0). Disse er indtegnet i et koordinatsstem og vi har lavet andengradsregression. Og Garabit broen: Øvelse 8.8 Definitionsmængden
Læs mereGrafregnerkravet på hf matematik tilvalg
Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereStudentereksamen i Matematik B 2012
Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereMundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.
Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.
Læs mereMatematik i grundforløbet
Mike Vandal Auerbach Matematik i grundforløbet y x www.mathematicus.dk Matematik i grundforløbet. udgave, 208 Disse matematiknoter er skrevet til matematikundervisningen i grundforløbet (som det ser ud
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereLavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f
Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereFunktioner - supplerende eksempler
- supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereAnvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereMatematik A-niveau Delprøve 1
Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det
Læs mere