Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
|
|
|
- Anna Maria Sommer
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne: OP a a a 3 Komposanterne langs de tre akser. OP a i + a j + a k 3 Side af 49
2 Længden OP Tegning z P(a,a,a3) OP a a x a a y Længden OP OP H + a 3 OP a + a + a 3 OP a + a + a 3 3 Skalar produkt. Vi har a a a a 3 3 Side af 49
3 . Skalar produkt (version ) a a a a 3 3 a a + a + a Skalar produkt (version ) a a cos( v) 4. Grafisk fortolkning a 3 Eksempel VI har 5 a Hvad er vinkel v? 8 Side 3 af 49
4 - Længderne a ( ) ( ) Skalar produkt 5 a a a 94 ( ) ( ) a a 94 4 Vinkel v cos ( v) v π acos v 40.deg Side 4 af 49
5 a cos v a cos cos ( v) ( v) v 40, ( ) a a Ortogonale vektorer Der gælder a a 0 da cos( 90 ) 0 Side 5 af 49
6 5 Ligning for planet. Tegning a n c P0 P (,, ) P x y z P( x, y, z). Vi har a. Normal vektor Normal vektor: a n c I planet.. Et fast punkt Et fast punkt P x, y, z ( ) I planet. Side 6 af 49
7 c. Et vilkårligt punkt Punkt P x, y, z ( ) I planet. 3. Snedig analyse Da n er vinkelret på planet og P0 P ligger i planet: n P P 0 0 n P P 0 a x x0 y y0 0 c z z 0 ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z a x + y + c z a x0 y0 c z0 0 a x + y + c z + d 0 a, og c er koordinaterne for normalvektoren. d Side 7 af 49
8 6 Eksempel. Vi har P 0 ( 4,5, 6) ligger i plan a, der har normalvektoren: 5 n 8 0 Ligning for plan d.. Ligning for plan a ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z ( x ) ( y ) ( z ) x + 8y 0z x + 8y 0z d 7 Eksempel 3. Vi har Plan a har ligningen: x + 5y 9z + 0 Vi har et punkt med ligningen: Q 0,, ( ) Som ligger i plan, der er parallelt med plan a. Bestem ligningen for plan. Side 8 af 49
9 . Ligning for plan a. Forklaring Eftersom de to planer er parallelle er normalvektoren den samme. a n 5 c 9 Vi kender punkt Q, så vi har faktisk ligningen.. Ligningen ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z ( x ) ( y ) ( z ) x + 5 y 9 z x + 5 y 9 z + 33 Side 9 af 49
10 8 Krydsprodukt. Vi har c a x 3 a a a a 3. Krydsprodukt a. Ortogonalitet Der gælder: c a c. Længden c a v sin ( ) Side 0 af 49
11 c. Grafisk fortolkning Arealet af a parallelogrammet er givet ved: A c a v sin ( ) 3. Krydsprodukt Hvis a a og a a 3 3 Så har krydsproduktet c Koordinaterne: c c c c 3 Hvor: a c a c a a a c3 a Side af 49
12 9 Tagflade eksempel. De tre hjørnepunkter A B C ( 3, 4,0) ( 5,, 7) ( 7,8,). De to vektorer 5 3 AB AC De tre koordinater c a a c 8 3 c a a c 6 0 c 3 a a 0 c Side af 49
13 4. Normalvektoren Tagfladen har altså normalvektoren: 8 n c Et fast punkt Vi vælger et fast punkt: P 0 A(3,4,0) 6. Ligning for plan ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z ( x ) ( y ) ( z ) x + 6y + 88 z x + 6y + 88z Tagets areal A c A c + c + c 3 A A 95,937m Side 3 af 49
14 8. Mathcad Tal vi kender 3 OA 4 OB OC 0 De to vektorer AB OB OA AB AC OC OA AC De tre koordinater n AB AC n Ligningen for planet Vi vælger punktet OA som det faste punkt, og indsætter i ligningen. 8 ( x 3) + 6 ( y 4) + 88 ( z 0) 0 simplify 8 x y + 88 z 0 Tagets areal c 8 c 6 c A c + c + c 3 A Side 4 af 49
15 0 Skæringsvinkel mellem to planer. Tegning n n α 4x + 3y z β x + y + 3z 0. Vi indser Vinklen v er givet ved vinklen mellem de to normalvektorer: n og n 3. Vektor n 4 n 3 n + + n 6 ( ) 4 3 Side 5 af 49
16 4. Vektor n n 3 n n ( ) Skalarprodukt 4 n n 3 3 n n Eller ( ) ( ) n 3 n 4 n n Vinkel v cos ( v) n n 6 4 v acos 364 n n 6 4 v 4.79deg Side 6 af 49
17 Afstand fra punkt til plan. Tegning a n c P0 P QP P0 Q. Planens ligning Hvis punkt P ligger i plan alpha: n P P 0 n P P 0 0 a x + y + c z + d 0 Side 7 af 49
18 3. Snedig analyse n P P n P Q + QP (, ) ( ) n P0 P n P0 Q + n QP n P P n QP 0 ( ) 0 n P0 P n QP cos v hvor v 80 DIST dist n P0 P n cos ( v) a x + y + c z + d DIST a + + c ± DIST P d ( ) a x + y + c z + d a + + c Side 8 af 49
19 Eksempel 5. Tegning P ( 0, 5,30) DIST(P,d)? P ( 0,5,30) d 3x + 4y + 5z Vinkelret afstand (, ) DIST P d (, ) DIST P d ( ) DIST P, d 44, 69 a x + y + c z + d a + + c Side 9 af 49
20 3 Linjer i rummet. Tegning r OP 0 OP. Parameterfremstilling Linjer i rummet eskrives ved vektorfunktionen: OP OP + t r t 0 Hvor: r er retningsvektoren T er parameteren (Tiden målt i sek) OP 0 er stedvektoren til det faste punkt P0 OP t er stedvektoren til det variale punkt p, der kører langs med linjen l, når t varierer. 3. D Det er helt analogt i D Side 0 af 49
21 4 Eksempel 6. Vi har Der ligger to punkter A, 4,5 ( ) ( 3, 7, ) B På linjen l. Retningsvektor 3 5 r AB Den faste vektor OP 0 Vi vælger OP0 OA Parameterfremstilling OP OP + t r t 0 x 5 y 4 + t 3 z 5 7 x 5 t y t z 5 7 t Side af 49
22 5. Skæring med x-y-plan a. Tegning. Beregning af t z t 0 5 t 7 c. Beregning af skæringspunkt p x 5 83 y z Side af 49
23 5 Skæring mellem linje og plan. Tegning x 5 l y + t 9 z 3 8 t R Plan α : x + 4y + 6z 5 0 Bestem skæringspunktet P.. Beregning af t x + 4y + 6z 5 0 ( t) ( t) ( t) t t t t t 94 Side 3 af 49
24 3. Beregning af P x 5 3 y 9 94 z 3 8 x 94 9 y 94 z Skæringsvinkel mellem linje og plan. Tegning ϕ? r Plan d: 4x + 3y z Linje l: x y 3 + t z 4 3 Side 4 af 49
25 . Normal vektor 4 n 3 n + + n 6 ( ) Retningsvektor r 3 r + + ( ) Skalar produkt 4 n r 3 3 n r Vinkel v cos cos ( v) ( v) v 83,98 n r n r ( ) ( ) 6 4 Side 5 af 49
26 6. Skæringsvinklen ϕ 90 v 6, 0 7 Afstand fra punkt til linje. Tegning P0 P r Linje l: OP OP0 + t r. Vi indser sin ( v) DIST mod sin P P hyp 0 3. Vi indser endvidere r P P r P P v 0 0 sin ( ) 4. Snedig sustitution r P P r P P 0 0 DIST P P 0 (, ) DIST P l r P0 P r Side 6 af 49
27 8 Eksempel 7. Prolemstilling Linje l: hvor t R x 3 t l : y + t z 8 t PunktP DIST P l ( 3,7,) (, )?. Retningsvektor 3 r r ( ) ( ) 3. Vektor P o P 3 P0 P 7 5 ( 8) 9 4. Kryds produkt c r P P c 0 c 3 hvor c a3 3 a ( ) 5 9 c Side 7 af 49
28 c c 3 3 a c c a 9 ( ) ( ) a 3 a ( ) Længden af kryds produktet r P P r P P 0 6. Konklusion ( ) (, ) DIST P l r P0 P r 0 DIST ( P, l) 0, 05 Side 8 af 49
29 9 To linjer i rummet. De 4 muligheder To linjer i rummet kan være: Sammenfaldende Parallelle Skærende Vindskæve 0 Eksempel 8. To linjer x l : y + t z 4 x n : y 3 + t z 5. Vinklen mellem retningsvektorerne a. Vektor r r r + + ( ). Vektor r 6 r r ( ) + ( ) + 3 Side 9 af 49
30 c. Skalarprodukt r r r r d. Vinkel v cos ( v) ( ) ( ) ( ) r r 7 r r 6 3 V 6,3 e. Vi ved nu Linjerne er enten skærende eller vindskæve. 3. To ligninger for t og s + t s + t 3 s 3 s s + t 3 t 4. Kontrol for z l : z 4 t 4 n : z 5 + s Side 30 af 49
31 5. Konklusion Da z-koordinaterne er forskellige, er linjerne vindskæve. Eksempel 9 Vektorer r 5 r Længerne r 77 r 3 77 Skalar produkt r r 3 Vinklen cos( v) r r r r r v acos r r r v 0deg Vi ved Linjerne er enten paralelle eller sammenfaldende. Kontrol af det faste punkt på linje l a. Vi har P 0 (,,3). Kontrol for x + 0 s solve, s 0 Side 3 af 49
32 c. Kontrol for y + 5 s solve, s 5 d. Kontrol af z + 8 s 3 solve, s 8 e. Konklusion Da de 3 værdier for s er forskellige, ligger P 0 ikke på linje n. De to linjer er derfor parallelle. Side 3 af 49
33 Afstand mellem vindskæve linjer. Tegning r Linje l P dist PP Dist Q QP Q n PQ P r Plan a Linje l. Parameterfremstillingerne l : OP OP + t r l : OP OP + s r 3. Plan a Plan α indeholder linjen l, og planen er parallel med linjen l. Side 33 af 49
34 4. Normalvektor for plan a r er parallel med plan a. r er parallel med plan a. Altså har plan a en normalvektor n givet ved: n r r 5. Vi indser Dist (l,l ) Dist(P,a) Da det hele er parallelt. 6. Snedig analysen n PP n PQ + QP (, ) ( ) n PP n PQ + n QP n PP n QP 0 n P P n QP cos v v 80 eller 0 n PP n QP ± QP n PP n ± DIST l l ( ) ( ) n PP n ( ) Side 34 af 49
35 3 Skæringslinjen mellem to planer. Tegning l:? α : 3x y + z 5 0 β : 4x + y + 3z 8 0. Snedig analyse a. Vi har 3x y + z 5 0 4x + y + 3z 8 0. Sustitution x t Side 35 af 49
36 c. Vi har nu 3t y + z 5 0 4t + y + 3z 8 0 6t y + 4z 0 0 addition 4t + y + 3z 8 0 0t + z 8 0 z 8 t 0 d. Ligning for y 3t y + z 5 0 y 3t + z 5 ( ) y 3t + 8 t 0 5 y 3t t 5 y 3 7 t 3. Konklusion Skæringslinjen har altså parameterfremstillingen: x 0 l : y 3 t 7 + t R z 8 0 Side 36 af 49
37 4 Eksempel 0. Tegning l:? α : x + y + z 5 0 β :3x + 4y + 5z 6 0. Snedig analyse a. Vi har x + y + z 5 0 3x + 4y + 5z 6 0. Sustitution x t x 0 + t Side 37 af 49
38 c. Vi har nu x + y + z 5 0 3x + 4y + 5z 6 0 4x + 4y + 4z 0 0 sutraktion 3x + 4y + 5z 6 0 t z 4 0 z 4 + t d. Ligning for y t + y + z 5 0 y t z + 5 ( ) y t 4 + t + 5 y 9 t 3. Konklusion Skæringslinjen har altså parameterfremstillingen: x 0 l : y 9 + t t R z 4 Side 38 af 49
39 5 Kuglens ligning. Tegning. Vi har Centrum: C(a,,c) Radius r Punnktet på kuglen P(x,y,z) Side 39 af 49
40 3. Vi indser P ligger på kuglen: CP r x y z r x + y + z r + + ( ) ( ) ( ) x a + y + z c r Kuglens ligning Side 40 af 49
41 6 Tangentplan til kuglen. Tegning C P CP a n CP Centrum C: (,,3). Tangent punkt på kuglen P:(4,5,6). Fast punkt i plan a ( 4,5,6 ) (,, ) P x y z Normalvektor til plan a 4 3 a n CP c Side 4 af 49
42 4. Ligning for tangent plan a ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z ( x ) ( y ) ( z ) x + 3y + 3z x + 3y + 3z Skæring mellem kugle og linje. Tegning P 0 P. Vi har Kuglen: ( x ) ( y ) ( ) Linje l: x y 3 + t z 4 5 Side 4 af 49
43 3. Ligning for t Vi sustituerer: ( t ) ( t ) ( t ) ( t) ( t) ( t) t 4t + + t t t + 8t 7 30t + 8t Vi indser D > 0 To skæringspunker D 0 Et skæringspunkt D < 0 Ingen skæring 5. Diskriminaten Du 4 D B A C D ( ) D 944 > 0 6. Beregning af t. Tal deffinitioner A : 30 B : 8 C : 4. Generel formel for rødderne x B + D B : x A : A 3. Koordinat for rødderne D x 0.77 x.038 Side 43 af 49
44 7. Skæringspunkterne x 4, 076 P : y 3 + (, 038),96 IND z 4 5,90 x 0, 458 P : y 3 0, 77 3, 77 + UD z 4 5 7,855 8 Parameterfremstilling for plan. Tegning OP 0. Vi har P: Fast punkt i plan a p : Vektor i plan a q : Vektor i plan a 3. Parameter fremstilling OP OP0 + t p + S q vektor i plan a Hvor: S*t: To uafhængige parametre Side 44 af 49
45 9 Projektion af vektor på vektor. Tegning a c. Vi har a) c ) a a? a x 3. Snedig analyse a a + c a x + c a x + c ( ) a x + + c ( ) a x + 0 a x Side 45 af 49
46 4. Konklusion Vektor a s projektion på vektor, er altså givet ved a a Helt analogt til projektion i D. 30 Projektion af vektor på plan. Tegning n a c a α Plan a. Vi har a) c n c x n ) a n Side 46 af 49
47 3. Snedig analyse a a + c α a a + x n α a n a + x n n ( α ) a n a n + x n n α a n 0 + x n a n x n ( ) 4. Sammenfatning a a + c α a a c α a a x n α a n aα a n n Side 47 af 49
48 3 Eksempel. Ligning for plan Plan a: 3x 4y + 7z 0 0 a 4 6. Normal vektor 3 n 4 7 n n n ( ) Skalar produkt 3 a n a n a n 3 ( ) Side 48 af 49
49 4. Sammenfatning a n aα a n n 3 3 aα aα aα ,703 aα 5,730,973 ( ) Side 49 af 49
Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...
Afstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Afstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Analytisk Geometri og Vektorer
Matematikprojekt om Analytisk Geometri og Vektorer Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 19 November 2010 Indhold I Analytisk plan og rum-geometri................. 3 I
Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...
A U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A
ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A ht MAT A ht 008-009 Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen, Klaus Marthinus og Systime A/S Kopiering og anden gengivelse af dette
M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Vektorregning. Vektorer som lister
10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning
Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!
Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse
Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer
VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus
Matematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus
Ugesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2
Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 -----------------------------------------------------DELPRØVE 1------------------------------------------------------- Opgave 1 - Reduktion
MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution Kruses Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela N.
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner
Afstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Vektorregning for 11. årgang.
Vektorregning for 11. årgang. 1. Vektorer side 1-2 2. Linjer side 2 -. Planer side - 7. Skæring mellem linje og plan side 8-9 A1: Om at tegne rumlige figuer side 0-1 A2: Løsning af ligningssystemer side
MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Delmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83
RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne
10/11/2013 Avedøreværket. Matematik og IT. Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4
1/11/213 Avedøreværket Matematik og IT Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4 Indhold Forord... 2 Matematik... 3 a) Bestem koordinaterne til punkt B i grundfladen... 4 b) Opstil en
Q (0, 1,0) MF(161): y a( x) y b( x) har løsningen: y e b( x) bx ( ) e dx e e dx e dx e. y e 8e. Delprøve uden hjælpemidler: kl
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle,
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for
Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Svar på opgave 337 (Februar 2017) ny version d. 21/3-2017
Svar på opgave 337 (Februar 07) ny version d. /3-07 I nedenstående besvarelse er der problemer med manglende ^ (hat) over visse vektorer. Evt. papirkopi kan rekvireres hos Jens Carstensen. Opgave: I ABC
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter
Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.
Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010
Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel
Delmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
INTRODUKTION TIL VEKTORER
INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Matematik A-niveau Delprøve 1
Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Matematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Matematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Matematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
a) angiv en parameterfremstilling for den plan, der indeholder landingsbanen ikke som del af besvarelsen
Opgave 1 Lufthavnen Airtowns landingsbane kan tilnærmelsesvist beskrives som (del af) en plan. Med et passende indlejret koordinatsystem (hvor koordinatværdierne kan tolkes som målt i km, -planen er den
Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Vejledende besvarelse
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100
Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX A Steffen Podlech Hold 2.E Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel
Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide
![[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide](/thumbs/62/47343789.jpg "[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide")
[PJ] QuickGuide.dfw 07-04-003 QuickGuide Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx /3 får du 0.66666 og ikke 0.66667. Du kan altså ikke
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Maple 17 A-Niveau Copyright Knud Nissen 2013
Maple 17 A-Niveau Copyright Knud Nissen 2013 1 2D-vektorer i Maple... 1 1.1 Gympakken... 1 1.2 Indtastning af vektorer... 1 1.3 Regning med vektorer... 3 cirkulær reference - kun hvis du ikke bruger pile...
7. Rumgeometri med Derive
7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2011 Htx Sukkertoppen,
Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.
Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2018/19 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HTX Matematik
Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus
XII Vektorer i planen
Side 1 0101 Afsæt i et koordinatsystem vinklerne 135º og 20º og deres retningspunkter. 0102 Tegn i et koordinatsystem 4 forskellige repræsentanter for vektoren v = 5 3. 0103 Afsæt vektorerne p = 2, q =
Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.
Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når
Vektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Delmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-Jun. 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik
Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen
Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige
STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk
1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015
DELPRØVE 1 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1, maj 2008 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne.