Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
|
|
- Augusta Laustsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave at forklare, hvordan man kommer frem til facit i de enkelte opgaver. Der er altså ikke afkrydsningsfelter, der er kun facit og tilhørende udregninger. Udregningerne er meget udpenslede, så de este kan være med.
2 Indhold Opgave 1 3 Opgave 4 Opgave 3 5 Opgave 4 6 Opgave 5 8 Opgave 6 9 Opgave 7 1 Opgave 8 11 Opgave 9 1 Opgave 1 13 Opgave Opgave 1 15
3 Opgave 1 En anden ordens dierentialligning er givet ved y + 4y + 9y. a. Find den fuldstændige løsning. Vi opstiller den karakteristiske ligning og løser den. r + 4r + 9. Diskriminanten: D (4 9) 4( 5) 1 (1i). Løsningerne bliver da: r 4 ± (1i) 1 4 ± 1i ± 5i. Dermed bliver den fuldstændige løsning: y(t) c 1 exp t cos(5t) + c exp t sin(5t). b. Find en partikulær løsning til den inhomogene dierentialligning y + 4y + 9y 13 exp 3t. Vi gætter på løsningen y p (t) A exp 3t og dierentierer: Vi indsætter i dierentialligningen: y p(t) 3A exp 3t, y p(t) 9A exp 3t. 9A exp 3t 1A exp 3t +7A exp 3t 13 exp 3t. Divider med exp 3t på begge sider: Altså er den partikulære løsning: 9A 1A + 9A 6A 13 A y p (t) 1 exp 3t. INDHOLD 3
4 Opgave En ade F i rummet er bestemt ved ligningen F (x, y, z), hvor F (x, y, z) x 3 y 3 + z 3 9. Fladen F har en tangentplan i punktet P (, 1, 1). Find en ligning for tangentplanen. Metode 1 (Udregning af tangentplan) Vi dierentierer funktionen i forhold til variablene. Vi har: F x (x, y, z) 3x, F y (x, y, z) 3y, F z (x, y, z) 6z. Indsættes punktet P (, 1, 1) fås: F x (P ) , F y (P ) 3 1 3, F z (P ) Vi opstiller nu tangentplanens ligning: hvor parenteserne kan ganges ud: 1(x ) 3(y 1) + 6(z 1), 1x 4 3y z 6 1x 3y + 6z 7 1x 3y + 6z 7. Metode (Udelukkelse): Det generelle udtryk for tangentplanens ligning er F x (P )(x P x ) + F y (P )(y P y ) + F z (P )(z P z ). Forholdet mellem x, y og z's koecienter skal være det samme uanset omskrivningen af ligningen. Ved at dierentiere F i forhold til variablene og indsætte punktet P, fandt vi ud af i metode 1, at F x (P ) 1 og F y (P ) 3. Det vil sige, at F x (P ) 4 F y (P ). Altså skal forholdet mellem koeecienterne for x og y være -4. Men der er kun én af svarmulighederne, der opfylder dette. Altså må det være 1x 3y + 6z 7. INDHOLD 4
5 Opgave 3 En plan kurve er givet ved x t t, y t + t, hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. a. Hvilket punkt på kurven svarer til parameterværdien t 1? Vi indsætter blot t 1 i kurvens ligninger: x(1) , y(1) Punktet på kurven er altså ( 1, 3). b. Hvad er kurvens krumning for t 1? Vi skal bruge formlen κ(t) x y x y (x ) + (y ) 3. Vi dierentierer altså først x og y to gange: x (t) 1 4t, x (t) 4, y (t) + t, y (t). Indsætter vi t 1 fås: x (1) , x (1) 4, y (1) + 1 4, y (1). Vi får altså: κ(1) 3 ( 4) 4 ( 3) c. For hvilken værdi af parameteren t er krumningen maksimal? Lad os betragte krumningen uden at indsætte t: κ (1 4t) ( 4) ( + t) (1 4t) + ( + t) 3 8t t (1 + 16t 8t) + (4 + 4t + 8t) t 3. Vi ser, at tælleren er konstant. Det vil altså sige, at det kun er nævneren, der afhænger af t! Hvis vi skal have den størst mulige krumning, skal vi altså blot nde det t, der gør nævneren så lille som muligt. Vi ser desuden, at nævneren kun afhænger af t gennem t, hvilket altid er positivt. Hvis vi skal gøre dette led så lille som muligt, skal vi altså sætte t, da alle andre værdier blot for nævneren til at vokse. Krumningen er altså maksimal for t. INDHOLD 5
6 Opgave 4 En funktion er givet ved f(x) (4x + 1) 1. a. Hvad er den dobbelt aedede f (x)? Vi skal bruge kædereglen. Vi sætter den ydre funktion til at være y 1/ (hvor y 4x + 1), hvilken vi dierentierer i forhold til y. Den indre funktion sættes til at være (4x + 1), hvilken dierentieres i forhold til x. Disse skal så ganges sammen til sidst: og Disse ganges sammen, og vi får: ( ) y 1 1 y y 1 1 (4x + 1) 4. 1 (4x + 1). f (x) 4 1 (4x + 1) 1 (4x + 1) 1. Det var den første aedede. Vi bruger samme fremgangsmåde til at nde den dobbelt aedede. Den indre funktion er som før. Den ydre er nu blot y 1/. Vi får ( ) y y 3 (4x + 1) 3. Ganges disse sammen fås: y 4(4x + 1) 3. b. Angiv tredje ordens Taylor polynomiet f med udviklingspunktet x. For at gøre dette så simpelt som muligt, er det vigtigt at bemærke, at udviklingspunktet er x. Det betyder, at Taylor polynomiet reduceres fra den generelle form til: P 3 (x) f() + f ()x + 1 f ()x f (3) ()x 3. Det har den konsekvens, at vi blot kan tjekke, om f() stemmer over ens med det konstante led i svarmulighederne. Om f () stemmer over ens med ledet, der har et x i svarmulighederne og så fremdeles. Vi indsætter og får: f() (4 + 1) Dette udelukker kun svarmuligheden, hvor konstanten er. Vi prøver med den næste: f () (4 + 1) Dette er der kun svar muligheder, der opfylder. Vi prøver så med den dobbelt aedede. Husk, at denne skal divideres med to i forhold til koecienten for x : 1 f () 1 ( ) 4(4 + 1) 3 1 ( 4). INDHOLD 6
7 Vi ser altså, at den eneste løsning, der opfylder de hidtil udregnede krav, er: 1 + x x + 4x 3. Havde der stadig været to muligheder, skulle vi have udregnet den tredje aedede, men det er der ingen grund til her. Set i bagklogskabens lys, skulle vi bare have valgt at udregne f ()/ fra start, da det kun er svarmuligheden, der stemmer over ens med denne koecient til x. INDHOLD 7
8 Opgave 5 En partikel bevæger sig langs en kurve i rummet. Positionsvektoren for partiklen til tiden t er r(t) e t, e t, t. a. Hvad er hastighedsvektoren v(t)? Vi dierentierer blot r(t) og får: v(t) r(t) e t, e t,. b. Hvad er farten v(t)? Vi har, at v(t) v(t). Dermed fås: v(t) (e t ) + ( e t ) + (e t ) + (e t ) + (e t + e t ) e t + e t. Hvor vi ved andet sidste lig med har anvendt en kvadratsætning, da (e t + e t ) (e t ) + (e t ) + e t e t (e t ) + (e t ) + e t t (e t ) + (e t ) +. c. Partiklen gennemløber et stykke af bevægelseskurven i tidsrummet t 1. Hvad er buelængden af dette kurvestykke? Vi skal blot integrere v(t) fra til 1. Vi har: 1 e t + e t dt [ e t e t] 1 (e1 e 1 ) (e e ) e 1 e 1. INDHOLD 8
9 Opgave 6 To komplekse tal er givet ved z i 3 i, z i 1 + i. a. Hvad er z 1 skrevet på standard form? Dette er den hurtigste måde at lave denne opgave på. Jeg har redegjort for den sikreste metode i de andre besvarelser, så tjek dem, hvis du er i tvivl. Vi kan blot forlænge brøken med det konjugerede komplekse tal til det i nævneren. Da z z z. Har vi for nævneren: (3 i)(3 + i) Da nævneren ved den forlængede brøk er et primtal, og tælleren ikke får multiplum af dette, kan vi konkludere, at svaret må være i. b. Hvad er z skrevet på polær form? Jeg orker ikke at beskrive den 'matematiske' fremgangsmåde (denne er mere af 'erfaring'). Den generelle fremgangsmåde kan ndes i de andre besvarelser. Vi indser hurtigt, at i er rent imaginært. Det vil sige, at den ligger op ad den imaginære akse. Dermed er r 1 og θ 1 π/. Ydermere ser vi, at nævneren er 1 + i, hvilken altså ligger lige imellem real- og imaginær-aksen. Dette er et meget klassisk komplekst tal, så vi ved, at r med θ π/4. Vi opstiller altså: z e π i π e π e 4 i i π 4 i e π 4 i. INDHOLD 9
10 Opgave 7 En funktion er givet ved f(x, y) 4x y 3 x y. a. Hvad er denitionsmængden for f? Det bedste spørgsmål at stille sig selv er: Kan funktionen fucke op, og i såfald hvornår sker dette? Jo, i vores tilfælde kan nævneren give problemer. Vi må jo ikke dividere med. Hvornår bliver nævneren så? Jamen, det sker når: x y y x y ± x ±x. Så lige så snart, at y x eller y x er der problemer. Så hele vores denitionsmængde er altså alle par (x, y), hvor der gælder, at y x og y x. b. Hvad kan niveaukurven med ligning f(x.y) 1 beskrives som? Vi har, at 4x y 3 x y 1. Lad os gange med nævneren på begeg sider: 4x y 3 x y x + y 4x + 3. Vi ser, at der er x og et x. Så dette kun tyde på at være en cirkel, eftersom der også er et y. Hvordan man ville faktorisere dette har jeg uddybet i tidligere besvarelser - dette gider jeg dog ikke her. Så cirklensligning bliver: (x ) + (y ) 1. Det er altså en cirkel med centrum i (, ) med radius 1. INDHOLD 1
11 Opgave 8 En funktion er deneret som f(x, y) xy 6x 3y. a. Hvad er funktionsværdien f(1, 1)? f(1, 1) b. Bestem de kritiske punkter. Vi dierentierer først funktionen i forhold til x og y: f x (x, y) y 1x, f y (x, y) xy 6y y(x 6). Kritiske punkter, giver -værdier i disse aedede funktioner. Betragt: f y (x, y) y(x 6). Denne funktion er kun, hvis y eller x 3 - de behøver dog ikke være disse værdier på samme tid. Betragt derfor f x (3, y) og f(x, ): f x (3, y) y 1 3 y 36 y ± 36 ±6. Dermed er (3, 6) og (3, 6) kritiske punkter. Endvidere ses: Altså er (, ) det sidste kritiske punkt. f y (x, ) 1x 1x x. c. Hvad er den retningsaedede D u f(p ) i punktet P ( 1, 1) og retning givet ved enhedsvektoren u 1, 1? Vi nder først gradient vektoren i punktet (husk, vi har dierentieret funktionen i forrige opgave): f x ( 1, 1) 1 1 ( 1) , f y ( 1, 1) 1( ( 1) 6) 8. Gradientvektoren er altså 13, 8. Vi skal altså blot prikke denne med u, hvormed der fås: [ ] [ ] 13 1 ( ( 8) 1) 8 1 (5) 5. d. Bestem en ligning for tangentplanen til grafen f i punktet Q (1, 1, f(1, 1)). Da ingen af hældningskoecienterne har ens forhold (forholdet mellem tallene foran x og y) på tværs af ligningerne, er det nok blot at udregne f x (1, 1) og f y (1, 1). Vi har: f x (1, 1) , f y (1, 1) 1( 1 6) 4. Den eneste ligning, der opfylder dette forhold er 11x + 4y + z 7. INDHOLD 11
12 Opgave 9 Lad g(x, y, z) arctan(x + y z ). I hvilken retning ud fra punktet P (1, 1, 1) er den retningsaedede af funktionen g størst? Svar: Dette nder vi ved formlen g(p ) g(p ). Vi dierentierer altså først g i forhold til alle variablene (brug kædereglen): g x (x, y, z) g y (x, y, z) g z (x, y, z) Indsættes punktet i disse funktioner fås: Dermed er g x (1, 1, 1) g y (1, 1, 1) g z (1, 1, 1) Længden af denne er altså: hvorfor x (x + y z ) + 1, y (x + y z ) + 1, z (x + y z ) (1 + ( 1) 1 ) ( 1) (1 + ( 1) 1 ) (1 + ( 1) 1 ) g(p ) 1, 1, 1. g(p ) 1 + ( 1) + ( 1) 3, 1 g(p ) Altså er den retning med maksimal ændring: g(p ) g(p ) 1 g(p ) g(p ) , 1, 1. 3 INDHOLD 1
13 Opgave 1 Et område R i planen består af de punkter (x, y), som opfylder ulighederne x, y, x + y 16. Hvad er værdien af integralet R x( x + y ) da. Svar: Du skal måske tegne området. Here goes: Vi ved, at y, så området er over x-aksen. Derudover er x, hvorfor området er til højre for y-aksen. Vi er altså i første kvadrant. Hvis vi betragter dette i polære koordinater, betyder det, at vores vinkel løber fra til π/. Vi har desuden, at x + y r. Det vil sige: Så vores grænser er altså: r 16 r θ π, r 4. Vi husker desuden, at x r cos θ. Dermed bliver integralet (husk at gange med r ved skift til polær integration): π 4 r cos θ r r dr dθ π π π π 64 4 cos θ r 3 dr dθ [ ] 1 cos θ dθ cos θ 4 r4 ( ) cos θ64 dθ π cos θ dθ dθ 64 [sin θ] π 64 (sin π ) sin 64. INDHOLD 13
14 Opgave 11 Et område T i rummet består af de punkter (x, y), som opfylder ulighederne x 1, y, z 5 xy. Et legeme med massefylde (densitet) δ(x, y, z) x dækker netop område T. a. Hvad er rumfanget (volumen) af T? Vi har: 1 5 xy 1 dz dy dx xy dy dx [ 5y 1 ] xy dx 1 x dx [ 1x x ] b. Hvad er massen af legemet, der dækker T? Samme integral - bortset fra, at vi integrerer over x (dvs. densiteten), frem for 1: 1 5 xy x dz dy dx x x y dy dx [ 5xy 1 ] x y dx 1x x dx [ 5x 3 x3 ] INDHOLD 14
15 Opgave 1 Figuren nedenfor viser grafen for funktionen r f(θ), θ π afbildet i polære koordinater. Svar: Hvilken af forskrifterne for f svarer til guren? Vi bemærker først, at gurens radius ligger i intervallet 1 r < 8. Vi husker, at cosinus og sinus er periodiske funktioner. Deres maksimale værdier er 1 og minimale tilsvarende -1. Det ses, at funktionerne, der indeholder disse, ikke vil kunne komme op på værdier større end eksempelvis 3. Der er altså kun mulige svar tilbage: f(θ) 1 + θ, f(θ) 1 + θ. Vi kan ikke helt udregne π i hovedet, med et grovt estimat kan vi sige, at π 3. Af Figuren ser vi, at f(θ) 4. Lad os da indsætte θ 3: 1 f (3) , f 6 (3) Vi har valgt en værdi for θ, der ligger i intervallet θ π. Figuren viser kun værdier for r, der er mindre end 8, men vi ser alligevel, at f 6 giver værdien 1. - Og vi er ikke mere end halvvejs i vinkelintervallet. Dermed kan vi udelukke f 6. Svaret er da: f (θ) 1 + θ. Derudover var f (3) 4, hvilket var den approksimativt aæste værdi på guren til θ π. Man bør dog ikke bruge approksimative udregninger til at drage konklusioner (vi kan dog bruge det her, da f 6 (3) ligger uden for guren). Brug i stedet uligheder og drag konklusioner på baggrund af dette. 1 Jeg benævner funktionerne med f og f 6 for at sige, hvilke at svarmulighederne, jeg kigger på. INDHOLD 15
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs mereReeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013
Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereReeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014
Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereReeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013
Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereReeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012
Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereTaylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier
. 17. april 008 for I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for I Givet
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mere