Erik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
|
|
- Poul Overgaard
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Erik Vestergaard Opgaver i Lineære funktioner og modeller
2 Erik Vestergaard Erik Vestergaard, Haderslev. Teknik. Aflæse forskrift fra graf Tegne graf ud fra forskrift Aflæse funktionsværdier grafisk: Kender, skal finde.... Beregne funktionsværdier: Kender, skal finde Løse simpel ligning grafisk: Kender, skal finde.... Løse simpel ligning ved beregning: Kender, skal finde Beregne forskrift ud fra to punkter på graf.... Beregn grafens skæringspunkt med -aksen Løse ligning af tpen f() = g() grafisk.... Løse ligning af tpen f() = g() ved beregning.... Bestemme -tilvæksten for en given -tilvækst.... Opstille og regne på lineære modeller Lineær regression og fortolkning af a og b... 5
3 Erik Vestergaard 3 Eksempel (Aflæse forskrift fra graf) Den lineære funktion med grafen () til højre må have forskriften f( ) 3 fordi grafen skærer -aksen i og fordi der er en - tilvækst på 3, hver gang vokser med. Tilsvarende har den lineære funktion med graf () forskriften f( ), fordi grafen skærer -aksen i og -tilvæksten er, hver gang vokser med., () () - Opgave (Aflæse forskrift fra graf) Aflæs forskrifterne for hver af de fem lineære funktioner med graferne nedenfor. (3) () (5) () - () - () () (3) () (5)
4 Erik Vestergaard Opgave 3 (Tegn graf ud fra forskrift) Tegn i nedenstående koordinatsstem graferne for følgende lineære funktioner: () f( ) 3 () f( ) 5 (3) f( ) () f( ) Eksempel (Aflæse funktionsværdier grafisk: Kender, skal finde ) Til højre er tegnet graferne for to lineære funktioner. Funktionsværdier for f i fås ved at "gå" hen til på -aksen, op til grafen og hen til -aksen. Her aflæses tallet. Da skrives: f() Tilsvarende, fås funktionsværdien for g i til at være: g( ) 3 En funktionsværdi er et tal, nemlig -værdien, der hører til den aktuelle -værdi! g ( ) f( )
5 Erik Vestergaard 5 Eksempel 5 (Beregning af funktionsværdier: Kender, skal finde ) Vi kigger på de to funktioner: f( ) og g( ). Funktionsværdien for f i udregnes ved at udskifte alle forekomster af i forskriften med og regne: f() Funktionsværdien for funktionen g i : g( ) ( ) 3 3 NB! Da funktionerne i dette eksempel netop har graferne i eksempel, får vi samme resultater som i eksempel. Opgave (Aflæse funktionsværdier grafisk: Kender, skal finde ) På figuren nedenfor er afbildet graferne for to lineære funktioner f og g. Du skal ved aflæsning angive følgende funktionsværdier i de tomme felter: f() f(5) g( ) g() Husk at markere aflæsningerne på graferne, ligesom i eksempel! f( ) g( ) -
6 Erik Vestergaard Opgave 7 (Udregn funktionsværdier) Lad f( ) 3og g( ). Bestem funktionsværdierne nedenfor (husk mellemregninger som i eksempel 5): f() f(5) g( ) g() NB! Fik du samme resultater som ved aflæsning i opgave? Eksempel (Løs simpel ligning grafisk: Kender, skal finde ) Til højre er tegnet graferne for to lineære funktioner f og g. Løs følgende to ligninger grafisk: f( ) g( ) 7 I begge tilfælde kender vi altså - værdien og skal finde, sagt lidt løst. Derfor "går" vi fra den pågældende -værdi vandret hen til grafen og ned/op til -aksen og aflæser løsninger. Vi kan skrive: f( ) 5,5 g( ) ,5-7 f( ) g( ) Bemærkning 9 Der er altså tale om løsninger af ligninger i eksempel. Ligninger kan generelt set have ingen løsninger, én løsning, flere løsninger eller uendeligt mange løsninger!
7 Erik Vestergaard 7 Eksempel (Løs simpel ligning ved beregning: Kender, skal finde ) Lad f( ) og g( ). a) Løs ligningen f( ) 9. b) Løs ligningen g( ) 7. Løsninger: a) f( ) 9 9 5,5 Først lægges til på begge sider af lighedstegnet, derefter divideres med på begge sider. b) g( ) 7 7 Først trækkes fra på begge sider af lighedstegnet, derefter ganges med på begge sider af lighedstegnet. NB! Funktionerne i denne opgave har netop de grafer, som er vist i eksempel. Vi ser, at vi får samme resultater som i eksempel. Opgave (Løs simpel ligning grafisk: Kender, skal finde ) Nedenfor er afbildet graferne for to funktioner. a) Løs ligningen f( ) grafisk. b) Løs ligningen g( ) grafisk. NB! Husk at markere løsningerne! f( ) g ( )
8 Erik Vestergaard Opgave (Løs simpel ligning ved beregning: Kender, skal finde ) Giver funktionerne f( ) 7 og g( ) 3. a) Løs ligningen f( ) ved beregning. b) Løs ligningen g( ) ved beregning. NB! Funktionerne har netop de grafer, som blev vist i opgave. Får du de samme løsninger som i opgave? Eksempel 3 (Beregne forskrift ud fra to punkter på grafen) a) Grafen for en lineær funktion f går igennem punkterne (,3) og (,7). Beregn forskriften for f. b) Grafen for en lineær funktion g går igennem punkterne (,) og (3, ). Beregn forskriften for g. Løsninger: a) a 7 3 b a 3 3 Heraf fås f( ). b) a 5 3 ( ) 5 b a ( ) ( ) Heraf fås g( ).
9 Erik Vestergaard 9 Opgave (Beregne forskrift ud fra to punkter på grafen) I hver af nedenstående delspørgsmål skal du beregne forskriften for den lineære funktion, hvis graf passerer igennem de to angivne punkter. a) (,) og (,5) b) (,) og (,) c) (,) og (,) d) (,7;,) og (5,;,9)
10 Erik Vestergaard Opgave 5 (Beregne forskrift ud fra to punkter på grafen) Bestem forskriften for den lineære funktion f, som opflder f( ) og f(3). Eksempel (Beregn grafens skæring med -aksen) Lad f( ). Beregn det punkt, hvor grafen skærer -aksen. Løsning: Da punkter på -aksen har -koordinat, skal vi altså løse ligningen f( ). Vi er dermed i et specialtilfælde af opgavetpen fra eksempel. f( ) Grafens skæringspunkt med -aksen har altså koordinaterne (,). Opgave 7 (Beregn grafens skæring med -aksen) a) Lad f( ) 3 3. Beregn det punkt, hvor grafen skærer -aksen. b) Lad f( ). Beregn det punkt, hvor grafen skærer -aksen.
11 Erik Vestergaard Eksempel (Løse ligning af tpen f () = g() grafisk) Graferne for de lineære funktioner f og g er afbildet i koordi- natsstemet til højre. Løs ligningen f( ) g( ) grafisk. f( ) Løsning: f( ) g( ),7 jf. markeringen på grafen. NB! Vi søger altså de værdier af, for hvilket f og g giver samme -værdi. Det svarer til at bestemme skæringspunktet mellem de to grafer og vælge -koordinaten (ikke begge koordinater!). - -,7 - g( ) Eksempel 9 (Løse ligning af tpen f () = g() ved beregning) Givet de to lineære funktioner: f( ) 3 og g( ). Løs ved beregning ligningen f( ) g( ). Løsning: Vi indsætter blot udtrkkene for f( ) og g( ) og løser ligningen: f( ) g( ) 3 3 3,5 3,5 7 I sidste skridt forlænger vi lige med i tæller og nævner for at få en brøk mellem hele tal. Tallet /7 er den eksakte løsning. I kommatal er det,7357 Bemærk, at da graferne fra eksempel netop er graferne for f og g i denne opgave, så skulle vi gerne få samme løsning. Det gør vi også op til den nøjagtighed, der med rimelighed kan aflæses med. Ved grafisk løsning tillades en lille afvigelse, da man ikke kan aflæse nøjagtigt! Opgave (Tegne graf, aflæse og beregne løsning til ligning af tpen f () = g()) Givet de to lineære funktioner: f( ) 3og g( ) 5. a) Tegn graferne for de to funktioner i koordinatsstemet på næste side. b) Løs ligningen f( ) g( ) grafisk. c) Løs ligningen f( ) g( ) ved beregning. Får du det samme som i b) eller tæt på?
12 Erik Vestergaard Eksempel (Bestemme -tilvæksten for en given -tilvækst) Lad f( ),7,9. a) Hvor meget vokser funktionsværdien med, når gives en positiv tilvækst på 5? b) Samme spørgsmål, hvis gives en tilvækst på. Løsninger: En omskrivning af formlen for a giver: a a. a) a,7 5 3,5 Når vokser med,7, vil funktionsværdien eller altså vokse med 3,5. b) a,7 ( ) 7 Når aftager med, vil funktionsværdien eller altså aftage med 7. Opgave (Bestemme -tilvæksten for en given -tilvækst) Lad f( ). Hvad sker der med funktionsværdien (-værdien), hvis vokser med 5? Samme spørgsmål, hvis aftager med 3.
13 Erik Vestergaard 3 Eksempel 3 (Opstille simpel lineær model) En kunde hos et elselskab skal betale et fast månedligt abonnement på kr. Derudover skal kunden betale,35 kr. pr. kwh energi, denne forbruger. Opstil en simpel lineær model, som angiver kundens månedlige udgifter til el som funktion af den forbrugte mængde energi i perioden. Løsning: Det er altid godt at gøre sig klart, hvad og skal betde (med enheder): : Antal brugte kwh. : Den samlede månedlige pris i kr. EL kwh Det er ret indlsende, at man får den variable del af prisen ved at gange antal kwh med prisen pr. kwh, altså,35 (hvis vi undertrkket enheden på de,35). Derefter lægges den faste pris til. Altså alt i alt:,35 Forskriften kan bruges til at udregne ting, men det vil vi overlade til en senere opgave. Opgave (Opstille simpel lineær model m. m.) Der er 5 liter vand i en beholder. Der tappes vand fra beholderen med en konstant hastighed på,5 liter i timen. a) Opstil en simpel lineær model, som beskriver indholdet af vand i beholderen som funktion af tiden efter start. Beskriv først med ord hvad og skal stå for, inklusiv enheder. b) Hvornår er der liter vand tilbage i beholderen? Løs som ligning. c) Hvor længe går der, før beholderen er tom? Løs igen som ligning.
14 Erik Vestergaard Opgave 5 (Opstille simpel lineær model) Et taa-firma tager et startgebr på 3 kr. og derudover kr. pr. kørt km. a) Opstil en simpel lineær model, som beskriver prisen for at køre i taaen som funktion af antal kørte km. Beskriv først med ord hvad og skal stå for, inklusiv enheder. b) Hvor meget koster det at køre 3 km? Hjælp: Udregn resultatet som en funktionsværdi. c) Hvor langt kan man køre for kr.? Hjælp: Optil ligning. d) Den lineære model er ikke helt realistisk. Der er et forhold ved taa-kørsel, som den ikke tager højde for. Hvilken? Opgave (Regne videre med simpel lineær model) I denne opgave skal du arbejde videre med den lineære model fra eksempel 3. En måned får kunden en regning på 5 kr. Hvor mange kwh havde kunden brugt den måned? Hjælp: Opstil ligning ud fra den lineære model og løs ligningen.
15 Erik Vestergaard 5 Eksempel 7 (Lineær regression med fortolkninger af a og b) I et forsøg med en væske i et måleglas anbragt på en vægt har man foretaget sammenhørende målinger af vægtens visning og væskemængden. Det har givet anledning til måleresultaterne i tabellen herunder til venstre. Ved at plotte punkterne ind i et koordinatsstem har man registeret, at der op til usikkerheder er tale om en lineær sammenhæng. Derfor er det relevant at udføre lineær regression på data. I dette tilfælde er Microsoft Ecel blevet benttet, men det kan i princippet være et vilkårligt program, som kan gøre det., g (ml) (g) 59,,5 3 7, 5 9,3 7, 3, 9, Vægt (g) Vægt som funktion af væskemængde =,77 + 5, Væskemængde (ml) Resultatet er, at den lineære sammenhæng er,77 5,, hvor er antal ml væske i måleglasset og er vægtens visning i gram. Vi skal give en fortolkning af a og b i den lineære sammenhæng: Vi ved, at b er grafens skæring med -aksen. Men det svarer til at, hvilket vil sige, at der er ml væske i måleglasset. Det betder, at vi kan fortolke b som massen af det tomme måleglas. Måleglasset vejer altså ca. 5, g. Hvad angår a,77, så ved vi, at den angiver -tilvæksten ved en -tilvækst på. Det betder her, at hvis vi kommer en ekstra ml væske i måleglasset, så øges vægtens visning med,77 g. Den ekstra ml væske vejer altså,77 g. Den opmærksomme læser vil måske opdage, at det betder, at masseflden (eller densiteten) af væsken er,77 g/ml. NB! Egentlig har a og b også enheder på her, det er bare de færreste programmer, som kan håndtere det. Men man kan tænke sig til det: Hældningskoeficienten a har altid den enhed, som fremkommer ved at dividere enheden på -aksen med enheden på -aksen. Konstantleddet b har altid samme enhed som den på -aksen. Det kan hjælpe én med at komme til fortolkningerne, hvis man indser dette!
16 Erik Vestergaard Opgave (Lineær regression med fortolkninger af a og b m. m.) I et forsøg hælder man en mængde vand i en elkedel og tænder for elkedlen. I tabellen til højre er angivet vandets temperatur som funktion af tiden. Enhederne står i parentes. a) Foretag lineær regression på data med et eller andet redskab, som kan angive forskriften for den bedste lineære sammenhæng og tegne punkter og grafen for den lineære sammenhæng. Hvor godt passer linjen til data? b) Opskriv tdeligt med ord og enheder, hvad og betder i modellen. (s) ( C),7 3, , 5,3 57,,9 5, c) Giv en fortolkning af a og b i den konkrete model. Du skal inddrage de konkrete tal og bruge enheder. Hvad fortæller a og b? d) Bent modellen til at give et bud på, hvad vandets temperatur var efter 9 sekunder. e) Bent modellen til at give et bud på, hvor lang tid der går, før temperaturen når 95 C.
17 Erik Vestergaard 7 Opgave 9 (Fortolkning af a og b i en lineær model) Indenfor naturgeografi arbejder man med en såkaldt standardatmosfære. Den indeholder en model over trkkets og luftens temperaturs afhængighed af højden over jordoverfladen. Hvad angår temperaturens afhængighed, har man følgende model i Troposfæren:,5 5 hvor er højden over jordoverfladen regnet i km og er temperaturen i C. Giv en fortolkning af a g b i den lineære sammenhæng. Prøv også at sætte enheder på.
Lineære funktioner. Erik Vestergaard
Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereDefinition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5
Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereResidualer i grundforløbet
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereExcel tutorial om lineær regression
Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereKapitel , altså 360. Hvad er matematik? 1 ISBN
Kapitel 1 Øvelse 1.4 En forklaring kan være, at man gerne vil se hvor godt modellen passer med de historiske data man allerede kender. Hvis modellen ikke passer med disse, kan man heller ikke forvente,
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereMinut pris. (efter 4 timer : 0,69 pr minut) Happii Basiic 0 0,60 sekund Lebara 0,49 0,19 minut
Mobilaftaler Se alle mulige selskaber: http://telepristjek.dk/ Mobil-priser efterår 2010. Hvad er mon billigst nu? Besvar opgaverne på de følgende sider, mindst til og med opgave 4 Teleselskaber Abonnement
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereOpgaver i lineær regression
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Opgaver i lineær regression Opgave 1 I Troposfæren op til en højde af ca. 12 km over jordoverfladen aftager lufttemperaturen på en regelmæssig måde. istock.com/ttsz
Læs mereFUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13
En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for
Læs mereRegneoperationerne plus og minus er hinandens omvendte regneoperation og at gange og dividere er hinandens omvendte regneoperation.
Ligninger Eksempel 1. Et eksempel på en ligning er 2x 4 = 10 En ligning er et matematisk udtryk hvor der indgår et lighedstegn. I en ligning indgår der et bogstav, en ukendt størrelse/variabel. Dette bogstav
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereFunktioner. Funktioner Side 150
Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereEn funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.
Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereFunktioner - supplerende eksempler
- supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige
Læs mereMatematik i grundforløbet
Mike Vandal Auerbach Matematik i grundforløbet y x www.mathematicus.dk Matematik i grundforløbet. udgave, 208 Disse matematiknoter er skrevet til matematikundervisningen i grundforløbet (som det ser ud
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC
Læs mereUdledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
s.1/5 For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel,
Læs mereTak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16
Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereHøjere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler
Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 008 HHX08-MAB Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereTERMINSPRØVE APRIL 2018 MATEMATIK. Kl
TERMINSPRØVE APRIL 2018 1p MATEMATIK tirsdag den 10. april 2018 Kl. 09.00 12.00 Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 1 time kun med den centralt udmeldte formelsamling. Delprøve 2: 2 timer med alle
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereFormler & algebra - Fase 2 Omskriv & beregn med variable
Navn: Klasse: Formler algebra - Fase Omskriv beregn med variable Vurdering fra til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring. Jeg kan opstille en linjes ligning, når jeg
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereEksempler på mindstekrav for matematik C og matematik B
Indhold Indledning... Grundlæggende regnefærdigheder: procentregning og indekstal, regningsarternes hierarki reduktion, regler for regning med potenser og rødder, logaritmer.... Funktionsbegrebet: repræsentationsformer,
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereEksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.
Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)
Læs mereProjekt Lineær programmering i to variable
Projekt 5.5 - Lineær programmering i to variable. Den grundlæggende ide i lineær programmering Håndtering af optimeringsproblemer er et af de store anvendelsesområder inden for differentialregningen. Det
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.
Læs mereDelprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren
Matematik B, 5 december 2014 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mere1. Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6%.
Kapitel 4 Øvelse 43 1 Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6% Konstantfaktoren er 117, fremskrivningsfaktoren er 1,61 og vækstraten er 61% 3 Konstantfaktoren er 0,84,
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mere1. Installere Logger Pro
Programmet Logger Pro er et computerprogram, der kan bruges til at opsamle og behandle data i de naturvidenskabelige fag, herunder fysik. 1. Installere Logger Pro Første gang du installerer Logger Pro
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereMatematik A og Informationsteknologi B
Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og
Læs mereMatematik Grundforløbet
Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereDifferentialregning 2
Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mere(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2
MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDTU. License to Thrill
XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs merepraktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær
praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereAPPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Læs merelineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1
Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Vestegnen, Albertslund Gymnasievej 10, 2620
Læs mereMatematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2
Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereAnalyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi
Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereQ (0, 1,0) MF(161): y a( x) y b( x) har løsningen: y e b( x) bx ( ) e dx e e dx e dx e. y e 8e. Delprøve uden hjælpemidler: kl
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle,
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b
Læs mereBrugervejledning til Graph (1g, del 1)
Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereProgression frem mod skriftlig eksamen
Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver
Læs mereOm at finde bedste rette linie med Excel
Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs merebrikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt
brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk
Læs mereformler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mere