Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
|
|
- Emilie Thøgersen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale principper og idéer til hvordan man fx vurderer størrelsen af et tal, opstiller en formel, opstiller ligninger, løser ligninger og ligningssystemer og omskriver uligheder. For at blive god til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen er det allervigtigste at løse mange opgaver, og derfor er der også en masse opgaver hvor mange har været stillet som opgaver til. runde. Til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen er de første ti opgaver multiple choice-opgaver med fem svarmuligheder, mens de sidste ti opgaver skal besvares med et positivt helt tal. Derfor er opgaverne her en blanding af multiple choice-opgaver og opgaver hvor facit er et positivt helt tal. Der er løsningsskitser til alle opgaver bagerst. Vurder størrelsen af et tal For at vurdere hvilket af to tal der er størst, har man ofte brug for at omskrive tallene så man har dem på en sammenlignelig form. Det er umiddelbart svært at vurdere størrelsen af en kvadratrod så hvis mindst et af to tal indeholder en kvadratrod, og man ønsker at undersøge hvilket der er størst, så sammenligner man ofte tallene i anden for at slippe af med kvadratroden. Eksempel For at vurdere hvilket af følgende tal der er størst, A) 4 B) C) 6 D) 0 sammenligninger vi først de to brøker A og C: Altså kan vi udelukke C. 4 > 6, da 4 > 6. For at sammenligne A, B og D tager vi tallene i anden da der indgår kvadratrødder i to af udtrykkene: 4 6 A) = 9, B) ( ) =, D) 0 = 0 9. Da B er størst når vi har taget tallene i anden, er det også det største blandt de oprindelige tal fordi de alle er positive. Opgave. Hvilket af følgende tal er størst? A) 4 B) 0,47 C) 4 7 D) ( 4 ) E) 7 40 Opgave. Hvilket af følgende tal er mindst? A) 0 B) C) 0 00 D) Opgave. Hvilket af følgende tal er størst? (Georg Mohr 00, opgave ) 00 E) A) 408 B) 0 C) D) Opgave 4. Hvilket af følgende tal er størst? A) 4 4 B) (4 ) ( 4 ) C) D) 0 4 E) (Georg Mohr 04, opgave 6) 86 E) 04 (Georg Mohr 0, opgave 5) (Georg Mohr 007, opgave 5) Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
2 Find en formel I de næste opgaver skal der opstilles en formel ud fra nogle oplysninger. Her er der nogle variabel, og man skal ud fra disse variable opstille et formeldtryk for noget der afhænger af disse variable. Eksempel Det tager 5 minutter at udfylde et bestemt spørgeskema på computer. Der er x personer der skal udfylde spørgeskemaet i løbet af en time. Vi vil nu opstille en formel for hvor mange computere der er brug for. For at finde en formel for dette, bemærker vi først at der er 60 minutter på en time, og at der derfor er 60 5 = personer pr. computer der kan udfylde spørgeskemaet i løbet af en time. Hvis x personer skal udfylde spørgeskemaet i løbet af en time, skal der altså bruges x computere. Dette tal skal selvfølgelig rundes op til nærmeste hele tal da vi kun regner i hele computere. Opgave 7. Til en sammenkomst laver n personer hver s liter suppe. Suppen skal fyldes i store dunke der hver rummer d liter. Hvor mange dunke er der mindst brug for når hver dunk kun må fyldes halvt op? A) ns d B) d s n C) s d n D) nd s E) ns d (Georg Mohr 00, opgave 9) Opgave 8. I et udstillingsområde på n meter gange n meter føres publikum gennem udstillingen ad en meter bred gang fra hjørnet A til hjørnet B som vist på figuren. B n meter Opgave 5. I IceIceIce koster en vaffel med to kugler is 5 kroner, en vaffel med tre kugler 0 kroner, en vaffel med fire kugler 5 kroner, osv. Hvor mange kroner koster en vaffel med n kugler? A n meter A) 5n + 5 B) 5n + 0 C) 5n + 5 D) n + 5 E) (n ) Opgave 6. Til et selskab sættes n pæne 8-mandsborde af den viste type i forlængelse af hinanden. Hvor mange pladser bliver der? A) n B) 7n + C) n(n ) + D) 6n + E) 8(n ) (Georg Mohr 009, opgave ) Hvor mange m er der tilovers til udstillingen når gangarealet fraregnes? A) n n + B) n 4n + C) n n 5 D) n 4n E) n n 0 (Georg Mohr 07, opgave ) Opgave 9. Til et selskab på p personer beregnes s liter saft pr. person. Saften hældes på kander der hver rummer m liter, og kanderne fordeles på n borde. Hvor mange kander står der i gennemsnit på hvert bord? A) s p m n B) p m n s C) m s p n D) p n s m E) n m p s (Georg Mohr 08, opgave 6) Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
3 Opgave 0. Adam er i gang med at bygge en figur med mange rækker. Han er lige blevet færdig med række nr. n. Hvor mange tændstikker skal han bruge for at udbygge figuren så den består af n + rækker? Ligninger række nr. række nr. række nr. A) n + B) n + (n + ) + + (n + ) C) (n + ) D) n + (n + ) E) n (Georg Mohr 0, opgave ) Når man har en ligning, kan man fx undersøge om et bestemt tal er en løsning, eller man kan løse ligningen. Hvis man har flere ligninger, kan man kombinere dem og undersøge hvad man samlet kan slutte ud fra ligningerne. Nogle gange skal man selv indføre passende variable og opstille flere ligninger som man derefter løser. Eksempel For at undersøge om noget er en løsning til en ligning, sætter man ind i ligningen. Fx er x = ikke løsning til ligningen x =, da x = Til gengæld er x = 4 løsning til ligningen x x =. =, da Opgave. I hvilken af følgende ligninger er x = 5 løsning? A) (x ) + (x 6) = 0 B) (x 4) + (x 5) = 0 C) (x ) + (x 7) = 0 D) (x 5) 4 + (x ) 4 = 0 E) (x ) 5 + (x 5) 5 = 0 Opgave. Ligningen x + 5 x = 45x + x har tre løsninger. En af løsningerne er: (Georg Mohr 00, opgave 6) A) x = B) x = C) x = 5 D) x = 5 E) x = 5 Opgave. Hvis n+ = 7, så er n +9 lig med A) 7 B) 4 C) 49 D) 6 E) 5 Eksempel Når vi skal løse ligningen (x + ) + (x + 4) = 0, (Georg Mohr 0, opgave ) (Georg Mohr 00, opgave ) udnytter vi at noget i anden ikke kan være negativt. Da summen af (x +) og (x + 4) skal give nul, må de derfor begge være nul. Det betyder at både x + = 0 og x + 4 = 0, hvilket er sandt netop når x =. Derfor er x = eneste løsning til ligningen. Opgave 4. Hvor mange reelle tal x opfylder at (x ) + (x 8) + (x ) 4 + (x 4) 4 = 0? A) 0 B) C) D) E) 4 (Georg Mohr 009 s, opgave ) Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
4 Eksempel Nu skal vi se på hvad man kan slutte ud fra nogle ligninger. Tallene a, b og c opfylder at a b + b c = og a + b + c =. Hvad kan man heraf med sikkerhed slutte? A) a, b og c er alle positive B) a, b og c er alle negative C) hvis a og c er negative, da er b negativ D) mindst et af de tre tal er 0 Da (a, b c ) = (,, ) og (a, b, c ) = (,, ) begge er løsninger til ligningssystemet, kan man ikke med sikkerhed slutte hverken A, B eller D. Hvis a og c begge er negative, betyder det at a + c er negativ. Da (a + c )b = a b + b c =, må b også være negativ. Derfor kan man med sikkerhed slutte C. Opgave 5. De tre hele tal a, b og c opfylder at a + b = b + c = c + a +. Hvilket af tallene a, b og c er størst? A) a B) b C) c D) de er alle lige store E) det kan ikke afgøres (Georg Mohr 05, opgave 4) Opgave 6. Det oplyses at tallet x = 4 er en løsning til følgende ligning: a + b x + 6 = c x. Hvad kan på denne baggrund sluttes om ligningen a + b x = c x? A) x = er løsning B) x = 4 er løsning C) x = 8 er løsning D) x = 6 er løsning E) ingen af delene Opgave 7. Om tallet a ved man at (Georg Mohr 06, opgave 4) Opgave 8. Om tre tal x, y og z vides at x y + z = 0. Hvad kan heraf udledes? A) alle tallene x, y og z er 0 B) x y + z = 0 C) mindst et af tallene x, y og z er negativt D) hvis tallet z er 0, er mindst et af tallene x og y også 0 E) hvis tallet x er negativt, er mindst et af tallene y og z positivt (Georg Mohr 0, opgave 8) Opgave 9. Tallene x, y, z og w opfylder x +y = z + w og z +w = x + y. Hvilket af følgende udsagn er ikke nødvendigvis korrekt? A) y + w = (z + x ) B) x z = w y C) 4x + y = 4z + w D) z + w = (z + w y ) + y E) z + x = y + w Opgave 0. Tallene a, b, c og d opfylder ligningerne: (Georg Mohr 0, opgave 9) a + b c = d, a b + c = d, a + b c = d, a b + c = d. Hvad kan heraf sluttes? A) a = b og d = 0 B) b = c og a = 0 C) a = c og d = 0 D) b = d og a = 0 E) a = d og c = 0 Opgave. Hvilket positivt helt tal n opfylder at (Georg Mohr 006, opgave ) Hvad er 07a = 0. 07( a ) ? (Georg Mohr 07, opgave ) n(n+)(n+6) (n+97)(n+00) = (00 n)(0 n)(06 n) (497 n)(500 n)? (Georg Mohr 07, opgave 5) 4 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
5 Eksempel - Indfør variable og opstil ligninger Emma samler på ispinde, ølkapsler og klistermærker. Når hun skal regne ud hvor meget hendes samling er værd, plejer hun at regne med at 4 ispinde svarer til 7 ølkapsler, og at 0 klistermærker svarer til ølkapsler. Hvor mange klistermærker går der på 6 ispinde? (Georg Mohr 0, opgave ) For at svare på dette indfører vi først variable: Kald værdien af en ispind for i, værdien af en ølkapsel for o og værdien af et klistermærke for k. Vi ved at 4i = 7o og 0k = o, og altså er i = 7 0 4o og o = k. Dermed er 6i = o = o = 0 0 k = k = 5k. Seks ispinde svarer derfor til 5 klistermærker. Man man også være lidt smart og direkte se at ispinde svarer til ølkapsler som svarer til 70 klistermærker, og altså at 6 ispinde svarer til 5 klistermærker. Opgave. I gården står der tohjulede cykler, trehjulede cykler og firehjulede barnevogne. Der er dobbelt så mange barnevogne som der er trehjulede cykler, og der er tre gange så mange tohjulede cykler som der er barnevogne. I alt er der 84 hjul. Hvor mange trehjulede cykler er der? (Georg Mohr 0, opgave ) Opgave. Anna mangler kun at afslutte to fag for at være færdig med sin uddannelse. Hvis hun får i dem begge, bliver gennemsnittet af hendes karakterer nøjagtig 8. Hvis hun får 0 i begge fag, bliver det nøjagtig 7. Hvor mange fag består uddannelsen af? (Georg Mohr 0, opgave 5) Opgave 4. Summen af 8 på hinanden følgende hele tal er 8. Hvad er det midterste af de 8 tal? (Georg Mohr 07, opgave 7) Opgave 5. Ved et valg i to runder med kandidaterne P, P og P går kun P og P videre til anden runde. I første runde fik P 5% af stemmerne. Hans vælgere forventes i anden runde at fordele sig med 0% til P og 80% til P, og P forventes hermed at opnå i alt 55% af stemmerne i anden runde. Hvor mange procent af stemmerne fik P i første runde? Uligheder (Georg Mohr 008, opgave ) Nu skal vi se på hvordan man kan omskrive uligheder og vurdere hvor stor en variabel er, eller hvor stor en variabel er i forhold til en anden. Dette afsnit er markant sværere end de andre. Regning med uligheder Man må lægge samme tal til eller trække samme tal fra på begge sider af ulighedstegnet: Hvis a < b, da er a ± c < b ± c. Man må gange med et positivt tal på begge sider af ulighedstegnet: Hvis a < b og c > 0, da er a c < b c. Man må dividere med et positivt tal på begge sider af ulighedstegnet: Hvis a < b og c > 0, da er a c < b c. Man må lægge to ligheder sammen: Hvis a < b og c < d, da er a + c < b + d. Man må opløfte begge sider i en anden hvis begge sider er positive: Hvis a < b og a og b er positive tal, da er a < b. Man må tage kvadratroden på begge sider hvis begge sider er positive: Hvis a < b og a og b er positive tal, da er a < b. 5 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
6 Eksempel Tallene a og b ligger begge mellem 0 og, dvs. 0 < a < og 0 < b <. Hvilket af følgende tal har ikke nødvendigvis denne egenskab? A) a +b B) a b C) a + b D) a b a +b (Georg Mohr 009, opgave 7) A) Først lægger vi ulighederne 0 < a < og 0 < b < sammen og får 0 < a + b <. Derefter dividerer vi med og får 0 < a +b <. Tallet a +b ligger derfor også mellem 0 og. B) Når uligheden 0 < a < ganges igennem med b, fås 0 < a b < b. Dette er tilladt da b er positiv. Da 0 < a b, er 0 < a b. Nu udnytter vi yderligere at b <, dvs. at a b < b <. Da a b < hvor begge størrelser er positive, må vi tage kvadratroden på begge sider, dvs. a b < =. Tallet a b ligger derfor også mellem 0 og. D) Som i B fås 0 < a b < b. Nu dividerer vi med det positive tal a + b og får a b a +b < b a +b. Brøken b a +b må være mindre end da nævneren er større end tælleren. Altså er a b a b a +b <. Da både tæller og nævner i brøken a +b er positive, må den være større end 0. Tallet a b a +b ligger derfor også mellem 0 og. Opgave 7. Om tre positive tal x, y og z ved vi at x > y > 4z. Hvad kan med sikkerhed sluttes? A) x < y < z B) x > y > z C) x > 4y > 5z D) x > 5y > 7z E) x > y > 5z (Georg Mohr 07, opgave 4) Opgave 8. Lad a være et tal så 0 < a <. Hvilket af følgende udsagn er sandt? A) a > a B) a > a C) a > a D) a > E) a > a Opgave 9. Om de to tal x og y oplyses at Hvad er den størst mulige værdi af y? 4x y + 06 x Opgave 0. Bestem det mindste hele tal n så (Georg Mohr 06, opgave 8) C) Tallet a + b ligger derimod ikke altid mellem 0 og. Hvis fx a = b =, er a + b = = + =. for alle x n. x 0 00x 7 + > 0 (Georg Mohr 04, opgave 9) Opgave 6. Hvad kan man slutte af oplysningerne a < b + c og b < a + c? A) c = 0 B) a = b C) a + b < a + b + c D) c < 0 E) a +b < c Opgave. Et positivt helt tal n opfylder at der findes præcis ét positivt helt tal k så 54n < 55k < 56n. Hvad er den størst mulige værdi af n? (Georg Mohr 0, opgave 0) 6 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
7 Blandede opgaver Opgave. Hvor mange løsninger har ligningen x (x ) + x (x ) x (x )(x ) = 0? (Georg Mohr 007, opgave ) Opgave. Et positivt helt tal kaldes et palindrom hvis det skrives ens forfra og bagfra. For eksempel er et palindrom, men 7 er det ikke. Det oplyses at x er et 4-cifret palindrom, og at x + 85 er et 5-cifret palindrom. Hvad er x? (Georg Mohr 06, opgave 5) Opgave 4. Sæt a 0 = og a = 5 og derefter a = a a 0, a = a a,... Hvad sker der med tallene a n i det lange løb? A) tallene bliver større og større B) fra et vist trin er alle tallene positive C) fra et vist trin er alle tallene negative D) tallene nærmer sig 0 E) tallene gentager sig periodisk (Georg Mohr 00, opgave 9) Opgave 5. Bestem tallet (Georg Mohr 08, opgave 9) 7 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
8 Løsningsskitser Opgave Svar: C). Da 4 7 >, mens alle de andre tal er mindre end, er 4 7 det største af tallene. Opgave Svar: A). Der gælder at A < E < D < B og A < C da 0 00 < 0 00 < < og 0 00 < Husk at når tælleren bliver større, så bliver brøken større, og når nævneren bliver større, så bliver brøken mindre. Opgave Svar: E). Først omskrives B, D og E til en kvadratrod: B) 0 = D) = = 4 4 = 04 E) 04 = 4 04 = 4 04 = 86. Nu er A) 408, B) 400, D) 04 og E) 86, og det er klart at E er størst blandt disse. Nu vurderer vi hvilket af E og C der er størst: C) = < = 8, da 08 < 8 = 4 E) 86 > 8, da 86 > 8 = 784. Altså er E størst. Opgave 4 Svar: B). Vi omskriver alle udtrykkene så de er på formen n m, for at vi bedre kan sammenligne deres størrelse: A) 4 4 = 4 ( ) = 4 6 = 9 4. B) (4 ) ( 4 ) = ( ) ( ) = = 9 5. C) D) = 4 = = 8 4. E) 4 45 = 4 ( ) 5 = 0 = 9. Det er oplagt at A, C og E er mindre end B. Da 0 4 = 9 4 < 9 4 = 9 5, er B størst. Opgave 5 Svar: C). Læg mærke til at prisen stiger 5 kroner for hver ekstra kugle. Derfor koster det 5 kroner pr. kugle. Desuden koster vaflen 5 kroner, da en vaffel med to kugler koster 5 kroner, en med tre kugler 0 kroner, osv. En vaffel med n kugler koster derfor 5n + 5 kroner. Opgave 6 Svar: D). Langs siderne af hvert bord sidder der 6 personer, dvs. at der sidder 6n personer langs siderne af n borde. Desuden sidder der en person for hver bordende af det lange bord, dvs. ekstra personer. Når n borde sættes i forlængelse af hinanden, er der derfor plads til 6n + personer. Opgave 7 Svar: A). Da n personer hver laver s liter suppe, er der i alt n s liter suppe. I hver dunk må der fyldes d liter suppe. Derfor skal der mindst bruges dunke. ns d = ns d Opgave 8 Svar: B). De tre lodrette gange er n meter lange og meter bredde, dvs. de har areal n m. De to vandrette gangstykker er tilsammen n + meter lange og meter bredde, dvs. de har areal på n + m. Der er 4 gangstykker a meter som indgår i både lodrette og vandrette gangstykker, så dem har vi talt med to gange. Det samlede gangareal er derfor n + (n + ) 4 = 4n. Derfor er det samlede udstillingsområde n (4n ) = n 4n +. Opgave 9 Svar: A). Da der er p personer, og der beregnes s liter saft per person, skal der bruges p s liter saft. Da hver kande rummer m liter, skal der være p s m kander. Da der er n borde, må der derfor i gennemsnit stå p s nm kander på hvert bord. Opgave 0 Svar: C). Når man skal udbygge figuren så den består af n+ rækker, skal man bruge tændstikker mere til overkanten af række n +. Desuden skal man bruge n + tændstikker lodret og (n +) tændstikker vandret. Samlet skal man bruge + (n + ) + (n + ) = (n + ). Opgave Svar: C). Ved at indsætte x = 5 i de fem ligninger kan vi se at x = 5 kun er løsning til C. 8 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
9 A) (5 ) + (5 6) = 0 B) (5 4) + (5 5) = 0 C) (5 ) + (5 7) = + ( ) = 0 D) (5 5) 4 + (5 ) 4 = 4 0 E) (5 ) 5 + (5 5) 5 = Opgave Svar: B). Ved at indsætte de fem muligheder i ligningen ses at kun x = er løsning. Her vises kun udregningerne for x =. Vi udregner først ventresiden og derefter højresiden: x + 5 x = + 5 = og 45x + x = 45 + = Opgave Svar: E). Først løses ligningen n+ = 7 : Altså er n +9 = 4 +9 = 5. n + = 7 n + = 7 n = 4. Opgave 4 Svar: A). Bemærk først at ingen af de fire led i (x ) + (x 8) + (x ) 4 + (x 4) 4 kan være negative. Da deres sum skal være lig 0, skal de alle være lig 0. Altså skal x = 0, x 8 = 0, x = 0 og x 4 = 0 på samme tid, men det er der ingen x der opfylder. Derfor har ligningen ingen løsninger. Opgave 5 Svar: B). Vi har a + b = c + a + og dermed b = c + 4, dvs. b er større end c. Vi har desuden b + c = c + a + og dermed b = a +, dvs. b større end a. Altså er b størst. Opgave 6 Svar: A). Da x = 4 er løsning til a + b x + 6 = c x, må a + b = c 4 a + b = c. Dette viser at x = er løsning til a + b x = c x. Opgave 7 Svar: 90. Da 07a = 0, er 07a 07 = 0 og dermed 07( a ) 07 = 07a 07 = 0. Nu er 07( a ) = = 90. Opgave 8 Svar: D). Hvis z = 0, er x y = 0. Ifølge nulreglen betyder det at mindst et af tallene er 0. Derfor kan vi udlede D. Da (x, y, z ) = (0, 0, 0) og (x, y, z ) = (,, ) begge løser ligningen, kan vi udelukke A, B, C og E. Opgave 9 Svar: E). A) y + w = (z + x ) fås ved at lægge de to ligninger sammen. B) x z = w y fås ved at omskrive x + y = z + w. C) 4x + y = 4z + w fås ved at lægge de to ligninger sammen: venstresiden i den første med højresiden i den anden og omvendt. D) z +w = (z +w y )+ y fås ved at isolere x i x +y = z +w og indsætte dette i z + w = x + y. E) z +x = y +w er ikke altid korrekt da fx løsningen (x, y, z, w ) = (,,, ) ikke opfylder denne ligning. Opgave 0 Svar: B. De første to ligninger giver a + b c = d = a b + c og dermed b = c b = c. Hvis det indsættes i første ligning, fås a = d. Hvis det indsættes i sidste ligning, fås a = d. Altså er a = a, dvs. a = 0. Dermed kan man slutte B. Man kan ikke slutte A, C, D og E da a = d = 0 og b = c = er løsninger til alle ligningerne. Opgave Svar: 00. På venstresiden står n(n + )(n + 6) (n + 97)(n + 00) som er 0 tal ganget sammen hvor det mindste er n, og det næste hele tiden er større end det foregående. På højresiden står (00 n)(0 n)(06 n) (497 n)(500 n) som er 0 tal ganget sammen hvor det mindste er 00 n, og det næste hele tiden er større end det foregående. Altså må n = 00 n hvis der skal gælde ligningstegn, dvs. n = Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
10 Opgave Svar: 8. Kald antallet af trehjulede cykler for x. Altså er der x barnevogne og x = 6x tohjulede cykler. I alt er der derfor hjul. Dette giver at x = = x + 4 x + 6x = x = 8 og altså 8 trehjulede cykler. Opgave Svar: 0. Kald antallet af fag for n. Da hendes gennemsnittet bliver nøjagtigt 8, hvis hun får i de to sidste fag, må summen af karakterne af de fag hun allerede har afsluttet, være 8n = 8n 4. Da hendes gennemsnittet bliver nøjagtigt 7, hvis hun får 0 i de to sidste fag, må summen af karakterne af de fag hun allerede har afsluttet, også kunne skrives som 7n = 7n 4. Altså er 8n 4 = 7n 4, og derfor n = 0. Uddannelsen består altså af 0 fag. Opgave 4 Svar: 8. Kald det midterste af de 8 tal for n. Da er der 40 tal før n og 40 tal efter n. Da summen af de 8 tal er 8, må 8 = (n 40)+(n 9)+ +(n )+n +(n +)+ +(n +9)+(n +40) = 8n = 4 n. Altså er n = 8 4 = 4 = 8. Opgave 5 Svar: 40. Lad x % være andelen af stemmer som P fik i første runde. I første runde fik P 5% af stemmerne, og da hans vælgere forventes i anden runde at fordele sig med 0% til P og 80% til P, må P forventes at få x % + 0,8 5% = x %+0% i anden runde. Da vi yderligere ved at P faktisk forventes at opnå i alt 55% af stemmerne i anden runde, kan vi opstille ligningen: x % + 0% = 55%. Altså er x = 55 0 = 5. I første runde fik P derfor 00% 5% 5% = 40% af stemmerne. Opgave 6 Svar: C). Ved at lægge ulighederne sammen fås a + b < a + b + c. Dermed er 0 < c, og altså 0 < c. Derfor kan vi slutte at C) a + b < a + b + c. Da fx (a, b, c ) = (0,, ) opfylder begge uligheder, kan man ikke slutte hverken A, B, D eller E. Opgave 7 Svar: C). Bemærk først at x = 5, y = og z = opfylder uligheden. Ved at indsætte x = 5 og y = i ulighederne A, B, D og E ses at de ikke holder, dvs. dem kan vi ikke med sikkerhed slutte. At x > y betyder at x = x > y = 9 y > 4y, dvs. vi kan slutte at x > 4y. At y > 4z betyder at 4y = 4 y > 4 4z = 6 z > 5z, dvs. vi kan slutte at 4y > 5z. Altså kan vi med sikkerhed slutte C. Opgave 8 Svar: B). Hvis 0 < a <, er a <. Da a er positiv, kan vi dividere begge sider med a og få a < a. Derfor er B) sand. De andre udsagn er ikke sande for noget a i intervallet, fx ikke for a = 4 : A) a > a er ikke sand da 4 < 4 =. C) a > a er ikke sand da 4 < =. 4 D) a > er ikke sand da 4 = 64 <. E) a > a er ikke sand da 4 = 6 < 4. Alle andre udsagn end B) kan i virkeligheden omskrives til a x > for et positivt tal x, og det er ikke sandt når 0 < a <. Opgave 9 Svar: 6. Ulighederne viser at 4x x + 06 og altså x 06. Den sidste ulighed viser at y x, og kombineret med x 008 fås y 008, dvs. y 008 = 6. Det er muligt med y = 6 når x = 008 = 504. Altså er 6 den størst mulige værdi af y. 0 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
11 Opgave 0 Svar:. Omskriv først uligheden: x 7 (x 00) + > 0. Nu ses at venstresiden er negativ hvis x 0, mens den er positiv hvis x, da 0 < 00 <. Derfor er n = det mindste hele tal så uligheden gælder for alle x n. Opgave Svar: 55. Omskriv først uligheden ved at dividere med 55: n < k < n. Hvis n = 55, bliver uligheden 54 < k < 56, og der findes præcis et helt positivt tal k der opfylder dette. Hvis n 56, så er og n < n < n, n < n + < n + 55 n = n. I dette tilfælde opfylder både k = n og k = n + uligheden, og der findes derfor mindst to hele positive tal k som opfylder uligheden. Opgave Svar:. Først sættes x uden foran en parentes det femcifrede palindrom 9a a er på formen 0b 0, hvor b er et ciffer. Derfor må a = 0, dvs. a 9 = 0 5 = 49 og dermed a = 4. Altså er x = 9449 og x + 85 = 00. Opgave 4 Svar: E. Hvis man regner de første tal i følgen ud, får man:, 5,,, 5,,, 5,.... Da det næste tal i følgen er bestemt ud fra de to foregående, kan vi se at følgen gentager sig og bliver periodisk da vi når tilbage til de to tal som vi startede med i samme rækkefølge. Følgen består altså af tallene 5,,,, 5, gentaget i det uendelige i denne rækkefølge. Dermed kan vi udelukke A, B, C og D, mens E er sand. Opgave 5 Svar: Vi omskriver produktet P : P = =... = = = 000 = = x (x ) + x (x ) x (x )(x ) 0 = x ( (x ) + (x ) (x )(x )) 0 = x ( x + + x (x x + )) 0 = x ( x + x ). Ifølge nulreglen er x = 0 eller x + x = 0. Andengradsligningens diskriminant er mindre end 0, dvs. den har ingen løsninger. Derfor er x = 0 eneste løsning, og ligningen har dermed præcis løsning. Opgave Svar: Bemærk først at x er firecifret, mens x +85 er femcifret. Det betyder at x = Da x er et palindrom, må x = 9a a 9, hvor a er et ciffer. Desuden er 9a a = 085. Det betyder at Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Algebra, 08, Kirsten Rosenkilde.
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik
Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mere4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.
. Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereBrøker og forholdstal
Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereFormler & algebra - Fase 2 Omskriv & beregn med variable
Navn: Klasse: Formler algebra - Fase Omskriv beregn med variable Vurdering fra til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring. Jeg kan opstille en linjes ligning, når jeg
Læs mereGrundliggende regning og talforståelse
Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVejledning til Excel 2010
Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...
Læs mereGrundlæggende færdigheder
Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts Kombinatorik
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 Kombinatorik Disse noter er en introduktion til kombinatorik og starter helt fra bunden, så en del af det indledende er sikkert kendt for dig allerede
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKun beregnet billetpris. Korrekt regneudtryk, ingen facit.
Opgavenummer 1.1 200 2 46 108 Hun skal have 108 kr. retur. Korrekt regneudtryk, korrekt facit og korrekt konklusion (bidrager positivt til helhedsindtryk). 46 46 92 200 92 108 Hun skal have 108 kr. tilbage.
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereBasal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:
Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser
Læs mereGrundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste
Læs mereMATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs merei tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale
Læs mereRettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version
Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning
Læs mereRegneoperationerne plus og minus er hinandens omvendte regneoperation og at gange og dividere er hinandens omvendte regneoperation.
Ligninger Eksempel 1. Et eksempel på en ligning er 2x 4 = 10 En ligning er et matematisk udtryk hvor der indgår et lighedstegn. I en ligning indgår der et bogstav, en ukendt størrelse/variabel. Dette bogstav
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBrug af brøker. Men brøker kan også bruges til at beskrive andet end størrelser Kapitlet handler om noget af det, brøker kan bruges til at beskrive.
Brug af brøker Brøker er tal ligesom de hele tal. På tallinjen er der uendelig mange brøker imellem de hele tal. Vi kan beskrive mange af de størrelser vi har brug for med brøker - fx længder og rumfang.
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereOm brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling
Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereVariable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0
Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereSymbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereOpgave 1. På hvor mange måder kan nedenstående skema fyldes ud med kryds og boller?
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde, hvordan man beregner sandsynligheden
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereMattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed
Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mere