Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe."

Transkript

1 Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger til disse. Man kender måske allerede ligningen x 2 = 2y 2. Hvis der var en heltalsløsning hertil, som ikke var nulløsningen, så ville division med y 2 give at 2 var et rationalt tal. Vi skal siden vise, at det er forkert på to forkellige måder. Det er dog faktisk ganske let at vise og måske kender du allerede et bevis. Helt så nemt går det ikke med ligningen x 2 +y 2 15z 2 = 7, men det viser sig, at der slet ingen løsninger er. Vi vil først udvikle lidt teori, baseret på elementær algebra, især om grupper og restklasseringe, med henblik på at gøre løsningen af nogle ligninger med heltalskoefficienter lidt enklere. 1.1 Kompositioner og grupper Ved en komposition i en mængde M forstås en afbildning M M M, dvs. hvis vi har givet a, b M, får vi knyttet et nyt element a b M. Eksempler 1.1. Hvis M er de hele tal Z vil der ved (a, b) a + b være defineret en komposition. Men (a, b) (a b), (a, b) a 2 b og (a, b) a er også kompositioner. Derimod er (a, b) (a + b)/2 ikke en komposition i Z, men f.eks. i Q eller C. Definition 1.2. En gruppe er en ikke tom mængde G udstyret med en komposition, som opfylder følgende 3 aksiomer: (A) Den associative lov: For alle a, b, c G er (a b) c = a (b c). (N) Eksistens af neutralt eller identitetselement: Der findes et e G, således at for alle a G er a e = e a = a. (I) Eksistens af inverse: For alle a G findes et b G så a b = b a = e. Bemærkninger 1.3. (1) En gruppe har kun ét neutralt element: Hvis e og e begge er neutrale i gruppen G, så er e = e e = e. 1

2 (2) Elementet b i betingelsen om inverse (I) er også entydigt bestemt: For hvis b og b begge er inverse til a, vil der gælde b = b e = b (a b ) = (b a) b = e b = b. (I beregningen har vi brugt betingelserne (N), (I), (A), (I) og (N) i denne rækkefølge!) Det entydigt bestemte inverse element til a i gruppen G betegnes a 1. (3) I en gruppe G gælder der forkortningsregler. : Antag at a, b, c G. Hvis a b = a c, så er b = c. Vi har nemlig b = e b = (a 1 a) b = a 1 (a b) = a 1 (a c) = (a 1 a) c = e c = c. Øvelse 1.4. Vis, at den anden forkortningsregel også gælder i en gruppe G : Hvis a c = b c, så er a = b. Øvelse 1.5 I eksemplerne på kompositioner i 1.1 kan man overveje hvilke af betingelserne for en gruppe, hver af disse eksempler opfylder. Eksempel/Øvelse 1.6. Lad M være en mængde og betragt samtlige delmængder af M, P(M). Altså A P(M), hvis A er en delmængde af M. På P(M) har vi en komposition A B := A B, altså fællesmængdedannelse. Overvej om vi herved har en gruppekomposition. Svaret er nej, der er dog bl.a. et neutralt element! Kan du finde andre kompositioner i P(M)? Definition 1.7. Hvis kompositionen på M opfylder a b = b a for alle a, b M kaldes den abelsk eller kommutativ. Hvis en gruppe er udstyret med en abelsk komposition, kaldes gruppen for en abelsk eller en kommutativ gruppe. Kender du en gruppe som ikke er abelsk? Ellers se nedenfor. Definition 1.8. Hvis gruppen G har endelig mange elementer, kaldes G en endelig gruppe. Antallet af elementer i G kaldes gruppens orden og betegnes G eller ord(g). Hvis G har uendelig mange elementer siger vi, at G har uendelig orden. For en endelig gruppe G kan man i princippet opstille en såkaldt multiplikationstabel med G rækker og søjler som er indiceret ved G s elementer. Hvor rækken indiceret ved a G møder søjlen indiceret ved b G skrives elementet a b. Hvis der bare er tale om en komposition på en endelig mængde kan man naturligvis på tilsvarende måde opstille en kompositionstabel. 2

3 Eksempel 1.9. Her er en multiplikationstabel for en endelig ikke-abelsk gruppe med 6 elementer, den symmetriske gruppe S 3. Hvert element i nedenstående tabel repræsenterer en permutation af mængden {1, 2, 3}, altså en bijektiv afbildning af {1, 2, 3} på sig selv. Her repræsenterer eksempelvis (132) afbildningen 1 1, 2 3, 3 2. Kompositionen er sammensætning af afbildninger. Check selv, at gruppen ikke er abelsk. (123) (132) (213) (231) (312) (321) (123) (123) (132) (213) (231) (312) (321) (132) (132) (123) (312) (321) (213) (231) (213) (213) (231) (123) (132) (321) (312) (231) (231) (213) (321) (312) (123) (132) (312) (312) (321) (132) (123) (231) (213) (321) (321) (312) (231) (213) (132) (123) Sætning Lad (G, ) være en gruppe og H en ikke ikke-tom delmængde af G. Antag at H opfylder (i) Hvis a, b H, da er a b H. (ii) Hvis a H, da er a 1 H. Så er (H, ) en gruppe. Bevis: Da den associtiative lov gælder for elementerne i G gælder den selvfølgelig også for elementerne i delmængden H. At G s neutrale element e faktisk er med i delmængden H (og derfor også er H s neutrale element) ses som følger. Vælg et a H. (H er antaget ikke-tom.) Ifølge (ii) er så a 1 H og derfor ifølge (i) også e = a a 1 H. Definition Hvis (i) og (ii) fra ovenstående sætning gælder for den ikke-tomme delmængde H af gruppen G, så kaldes H en undergruppe i G. En undergruppe af G er altså ifølge sætningen selv en gruppe. Definition Antag at g er et element i gruppen G. Vi definerer så g 0 = e, g 1 = g, g 2 = g g og for n 3 induktivt g n = g g n 1. Hvis n < 0, så er n > 0 og vi kan derfor bruge det forrige til at definere g n = (g n ) 1. Hermed er så g n defineret for alle n Z. Disse elementer kaldes g s potenser. Man kan vise, at nogle af de velkendte potensregneregler for fx. de reelle tal også gælder for potenserne af et element i en gruppe, nemlig følgende: 3

4 For g G, m, n Z har vi (1.13) g m g n = g m+n, (g m ) n = g mn. Beviset for (1.13) er ikke svært, men lidt besværligt og vi udelader det her. Øvelse Vis ved hjælp af Sætning 1.10 og (1.13) at hvis G er en gruppe og g G, så er < g >:= {g n n Z} en abelsk undergruppe i G. Denne undergruppe kaldes den af g frembragte cykliske undergruppe i G. Definition En undergruppe H af gruppen G kaldes cyklisk, hvis der findes et g G med H =< g >. I dette tilfælde kaldes H også elementet g s orden og betegnes ord(g). Øvelse Beregn ordenerne af alle elementer i den symmetriske gruppe S 3 ved hjælp af tabellen i Eksempel Restklasser (sideklasser) i abelske grupper I den næste del af dette kapitel vil vi antage at gruppen G er abelsk og (som man ofte gør for abelske grupper) betegne gruppens komposition med + (i stedet for som hidtil.) Endvidere vil vi betegne det neutrale element med 0 (i stedet for e) og det inverse til elementet a G med a (i stedet for a 1.) Hvis a, b G så betegner a b elementet a + ( b). Øvelse Overvej hvad nedenstående betyder i den abelske gruppe (G, +) og vis at det er rigtigt: ( a) = a, a (b + c) = (a b) c, (b c) = c b, 0 = 0. Nu kommer en meget vigtig definition for det følgende: Definition Lad (G, +) være en abelsk gruppe, H en undergruppe i G og a G. Delmængden [a] H = {a + h h H} = a + H kaldes for a s restklasse (eller sideklasse) modulo H. Specielt er [0] H = H. (Overvej dette.) Det er vigtigt at gøre sig klart, at restklasserne altså er delmængder i G. 4

5 Eksempel Lad G = Z være gruppen af hele tal (med sædvanlig addition som komposition.) Lad H = 2Z være delmængden af Z bestående af alle lige hele tal. Det er let at se (brug Sætning 1.10) at H er en undergruppe i G. Hvordan ser så restklasserne modulo H ud? (i) Antag at a Z er lige. Så er a H = 2Z. Nu er H en undergruppe, så hvis h H, vil også a + h H. Vi har derfor, at [a] H = {a + h h H} H. Men der gælder faktisk lighedstegn, fordi vi også har H [a] H. Vi kan nemlig fremstille h H som h = a + h, hvor h = a + h H. (Overvej hvorfor a + h H.) Vi slutter at for et vilkårligt lige tal a gælder [a] H = H. Fx. er altså [10] H = [ 36] H = [0] H = H i dette eksempel, fordi både 10 og -36 er lige hele tal. (ii) Antag at a Z er ulige. Skriv a = 1 + 2k, hvor k er et helt tal. Vi har at 2k H og derfor er a [1] H. Da H er en undergruppe ser vi, at hvis b = a+h [a] H, h H så er b = 1+(2k +h) [1] H. Vi får altså [a] H [1] H. Som ovenfor kan man nu let se, at der må gælde [a] H = [1] H. Vi slutter at for et vilkårligt ulige tal a gælder [a] H = [1] H. Fx. er altså [11] H = [ 37] H = [1] H i dette eksempel, fordi både 11 og -37 er ulige hele tal. Sammenfattende ser vi, at der reelt kun er 2 forskellige restklasser modulo H = 2Z i G = Z, nemlig [0] H som er mængden af alle lige tal og [1] H, som er mængden af alle ulige tal. Dette eksempel illustrerer nogle generelle vigtige egenskaber ved restklasser (sideklasser). Lemma Lad H være en undergruppe af den abelske gruppe G. Lad a, b G. Betragt delmængderne [a] H og [b] H. Hvis [a] H [b] H, så er [a] H = [b] H. Det betyder at enten er to restklasser sammenfaldende eller også er de er disjunkte. Der gælder [a] H = [b] H a b H. Bevis: Antag at [a] H [b] H. Vælg c [a] H [b] H. Der findes så h 1, h 2 H, så c = a+h 1 = b+h 2. Det betyder,at hvis a b = h, så er h = h 2 h 1 H, da h 1, h 2 H og H er en undergruppe. Hvis nu h H er vilkårlig, så vil vi vise, at a + h [b] H = b + H. Men a+h = 0+a+h = (b b)+a+h = b+(a b)+h = b+(h +h) b+h = [b] H. Hermed er vist, at [a] H [b] H. Den anden inklusion vises på samme måde. Vi har vist, at hvis [a] H [b] H, så er a b H og [a] H = [b] H. På den anden side ser vi, at hvis [a] H = [b] H, så er specielt a = a + 0 [a] H og dermed i [b] H. Så a = b + h for et h H og dermed a b = h H. 5

6 Hvis A, B G, så kan vi definere en ny delmængde A + B G ( summen af A og B) ved A + B = {a + b a A, b B} Det viser sig nu, at summen af to restklasser er en ny restklasse: Lemma Lad H være en undergruppe af den abelske gruppe G. Lad a, b G. Betragt delmængderne [a] H, [b] H og [a+b] H i G Der gælder for disse delmængder, at [a] H + [b] H = [a + b] H. Bevis: Lad a + h 1 [a] H, b + h 2 [b] H, hvor h 1, h 2 H. Så er (a + h 1 ) + (b + h 2 ) = (a+b)+(h 1 +h 2 ) [a+b] H. Så [a] H +[b] H [a+b] H. På den anden side har vi, at hvis h H er vilkårlig, så er (a+b)+h = (a+0)+(b+h) [a] H +[b] H. Derfor gælder inklusionen [a + b] H [a] H + [b] H også. Definition Lad H være en undergruppe af den abelske gruppe G. Vi definerer G/H = {[a] H a G}. Så G/H er mængden af alle restklasser i G modulo H. Eksempel Lad G = Z, H = 2Z som i eksempel 1.19 Så er G/H = {[0] H, [1] H }. 1.3 Faktorgrupper Vi må nu gøre opmærksom på, at restklassen [a] H har to forskellige identiteter, idet den både er en delmængde af G og et element i mængden G/H. Det vil (forhåbentlig) altid være klart fra sammenhængen, hvilken identitet [a] H har i en given situation. Men faktisk er det den mængdeteoriske identitet fra Lemma 1.21 om restklasser, som ligger bag den kendsgerning, at det muligt at definere en gruppestruktur (addition) på elementerne i G/H. Det bliver gjert som følger: For [a] H, [b] H G/H defineres [a] H + [b] H = [a + b] H. Man må så overveje, om dette er veldefineret. Når man fx. skriver [a] H involverer dette et valg af elementet a i restklassen [a] H. Som vi har set i Lemma 1.20, er [a] H = [a + h] H, når h H. Hvis vi vælger andre elementer 6

7 a a H, b [b] H, skal vi sikre os, at [a + b] H = [a + b ] H. Men det følger faktisk fra Lemma 1.21(!) Sætning (G/H, +) er en abelsk gruppe, der kaldes faktorgruppen for G modulo H. Bevis: Vi skriver i det følgende [a] for [a] H, når a G. Vi skal blandt andet vise den associative lov. Dette gør vi først: For alle a, b, c G anvender vi definitionen af + i G/H og den associative lov i G til følgende beregning: [a] + ([b] + [c])) = [a] + [b + c] = [a + (b + c)] = [(a + b) + c] = [a + b] + [c] = ([a] + [b]) + [c]. Det neutrale element i G/H er [0], hvor 0 er det neutrale element i G : For [a] G/H er jo [0] + [a] = [0 + a] = [a] = [a + 0] = [a] + [0]. Det inverse element til [a] G/H er [ a]. (Overvej dette!) Det er klart, at G/H er abelsk, fordi G er det. Bemærkning Hvis gruppen G er endelig har alle restklasser til H i G det samme antal elementer, nemlig H. (Det skyldes, at afbildningen h a + h er en bijektion mellem H og [a] H = a + H. Denne afbildning er oplagt surjektiv. At den er injektiv følger fx. fra forkortningsreglen, Bemærkning 1.3(3). Der er G/H sideklasser, så alt i alt vil G = G/H H. Dette resultat er kendt som Lagranges sætning. Specielt vil H s orden være divisor i G s orden. Da ordenen af et element i G også er ordenen af en undergruppe i G, ser vi at ordenen af et element i G er en divisor i G s orden. 1.4 Restklasser i gruppen af de hele tal Vi forlader nu den generelle teori for (abelske) grupper og studerer et meget vigtigt eksempel, som også vil føre til en række talteoretiske anvendelser. Definition og bemærkninger Lad h N være et naturligt tal. Så er hz = {ha a Z} en undergruppe i (Z, +). Faktorgruppen Z/hZ betegnes også Z h. Elementerne i Z h vil vi betegne [a] h eller bare [a], hvis det er underforstået, hvad h er. (Det ovenstående har også mening for h = 0. Her hz = {0} og Z h kan identificeres med Z.) 7

8 En vigtig egenskab ved de hele tal er, at man kan lave division med rest. Det betyder, at hvis h N og a Z, så findes det entydigt bestemte hele tal m, r (m for multiplum og r for rest,) hvor 0 r < h og a = mh + r. Med denne notation er det så klart (ifølge Sætning 1.20), at [a] h = [r] h, idet a r hz. Vi ser altså, at restklassen [r] h består netop af alle de hele tal a, som har samme rest r efter division med h. Dette forklarer nok navnet restklasse. Specielt har vi, at for a, b Z gælder [a] h = [b] h h (a b). At h (a b), skrives også ofte a b (mod h) og man siger at a og b er ækvivalente modulo h. Vi ser nu, at selv om både Z og hz er uendelige grupper, så er Z h endelig og består præcis af elementerne [0] h, [1] h,..., [h 1] h. Derfor er Z h = h. Bemærk, at (Z h, +) er en cyklisk gruppe frembragt af [1] h. Se (1.15). Før vi går videre vil vi bruge division med rest til at beskrive alle undergrupper i (Z, +), fordi vi vil få brug for det senere i Sætning Sætning Lad H være en undergruppe af Z. Så findes et h Z, h 0, således at H = hz. Bevis: Hvis H = {0} kan vi vælge h = 0. Antag derfor, at der findes et a H, a 0. Enten er a > 0 og dermed a N eller også er a < 0 og dermed a N. Under alle omstændigheder er N H. Lad h være det mindste tal i N H. Det betyder, at hvis r H og 0 r < h, så er r = 0. (Overvej dette). Da h H og H er en undergruppe af Z, må hz H. Det er fordi hz jo præcis indeholder potenserne af h, jfr. Definition 1.12: Da vores komposition er +, er den n-te potens af h netop hn. Lad nu a H være vilkårlig. Brug divison med rest til at skrive a = hm + r, hvor 0 r < h. Som vi har set er hm H og da a H må også r = a hm H. Ifølge det ovenstående må r = 0 og derfor a hz. Vi har nu vist, at H = hz, så sætningen er bevist. 8

9 1.5 Restklasseringe Vi har ovenfor betragtet Z h som en gruppe med addition. Men som man fx. har bemærket på side 4 i Thue Poulsens bog er Z også en ring, idet man også har en multiplikation. Ud fra denne multiplikation vil vi konstruere en multiplikation af Z h s elementer. Vi definerer denne som følger: [a] h [b] h = [ab] h. Vi må igen overveje, om dette er veldefineret. Hvis [a] h = [a ] h og [b] h = [b ] h, så gælder a a = hm, b b = hm for passende m, m Z. Vi får ab a b = ab ab + ab a b = a(b b ) + (a a )b = h(am + mb ) hz. Dermed er også [ab] h = [a b ] h. ifølge Sætning Lad h Z. Så er Z h = Z/hZ en ring. Bevis: Vi skal vise egenskaberne i Kapitlet 1.1 Talområder i Thue Poulsens bog , 1.8 og 1.10 vedrører kun addition og det klarer Sætning Ideen i beviset for resten af relationerne er den samme som i Sætning Brug definitionen af addition og multiplikation i Z h og så den tilsvarende relation for ringen Z. Her er fx. beviset den distribitive lov 1.7: [a]([b] + [c]) = [a][b + c] = [a(b + c)] = [ab + ac] = [ab] + [ac] = [a][b] + [a][c], hvor vi har udeladt h i [..] h Beviset for resten af relationerne overlades til læseren. 1.6 Anvendelser i talteori Vi kan nu give en række talteoretiske anvendelser af restklasseringene Z h. Vi starter faktisk med at regne i Z 8. Som forberedelse bemærker vi først at for n Z er (2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1 = 4n(n + 1) + 1 og at n(n + 1) altid er lige. Heraf følger at hvis a er ulige, så vil a 2 1 være delelig med 8. Hvis a er lige, så giver a 2 rest 0 eller 4 efter division med 8. Dette kan i Z 8 udtrykkes som følger: Lad [a] 8 Z 8. Så er [a 2 ] 8 = [a] 2 8 et af elementerne [0] 8, [1] 8, [4] 8. Nu får vi brug for følgede: En sum k + l + m kan ikke være lig 7, når k, l, m {0, 1, 4}. Dette ses let ved at prøve sig frem. For Z betyder dette, at en sum af tre hele kvadrattal ikke kan have rest 7 efter division med 8. Og i Z 8 får vi: Lemma Lad [k], [l], [m] Z 8. Så er [k] 2 + [l] 2 + [m] 2 [7]. 9

10 Vi kan nu besvare et af spørgsmålene fra side 1. Sætning Ligningen x 2 + y 2 15z 2 = 7 har ingen heltallige løsninger. Bevis: En grund til, at x 2 + y 2 15z 2 = 7 ingen løsninger har i Z er, at den ingen løsninger har i Z 8 (!). Vores plan er så et sige at spille ringene Z og Z 8 ud mod hinanden. I det følgende er [a] = [a] 8 for a Z. Antag at k, l, m er hele tal, der opfylder ligningen k 2 + l 2 15m 2 = 7. Det betyder specielt at [k 2 + l 2 15m 2 ] = [7]. Nu bruger vi definitionerne af addition og multiplikation i Z 8 og får [k 2 +l 2 15m 2 ] = [k 2 ]+[l 2 ]+[ 15m 2 ] = [k] 2 +[l] 2 +[ 15][m] 2 = [k] 2 +[l] 2 +[m] 2. Her har vi brugt, at [1] = [ 15] ifølge 1.26, således at [ 15][m] 2 = [m] 2. Ved at sammenligne de to ovenstående ligninger fås [k] 2 + [l] 2 + [m] 2 = [7], hvilket strider mod Lemma Så antagelsen, at x 2 + y 2 15z 2 = 7 har en heltallig løsning, har ført til en modtrid i Z 8. Vi kan også behandle spørgsmålet om heltalløsninger til ligningen x 2 = 2y 2 ved at regne i Z 3. Først bemærkes at [k 2 ] 3 = [0] 3, hvis 3 k og [k 2 ] 3 = [1] 3, hvis 3 k. (Fx. er (3n + 2) 2 = 3(3n 2 + 4n + 1) + 1.) Lad os nu antage, at k, l Z med k 2 = 2l 2 og at der ingen fælles divisorer er i k og l. Dette er ingen indskrænkning: Hvis k = pk og l = pl, så kan man dividere ligningen k 2 = 2l 2 med p 2 og får en ny mindre løsning k 2 = 2l 2. Vi har nu [k 2 ] 3 = [2] 3 [l 2 ] 3 = [l 2 ] 3. Da [1] 3 [1] 3 = [ 1] 3 = [2] 3 er ifølge det ovenstående den eneste mulighed at [k] 3 = [l] 3 = [0] 3. Det betyder, at k, l må have en fælles faktor 3, modstrid. Vi har vist Sætning Ligningen x 2 = 2y 2 har ingen heltalsløsninger. Det vil senere blive præsenteret et andet bevis for denne sætning, som udnytter primtalsfaktoriseringen af hele tal. Det kan også være nyttigt at regne i restklasseringe for at vise divisibilitetsresultater. Her er en sætning, som leverer et modeksempel til Fermats formodning om, at 2 k + 1 er et primtal, når k er af formen 2 n, hvor n er et naturligt tal eller 0. Vi har jo at = 3, = 5, = 17, = 257, = alle er primtal, men... 10

11 Sætning Der gælder, at , så er ikke et primtal. Bevis: Lad os regne i ringen Z 641. Vi skal så bare vise at [ ] = [0]. Ved at bruge regnereglerne i Z 641 fås først [5][2] 7 = [5][128] = [640] = [ 1]. Ved at opløfte denne ligning til fjerde potens fås [5] 4 [2] 28 = [1]. Vi får nu, at [ ] = [16][2 28 ]+[1] = [ ][2] 28 +[1] = [5] 4 [2] 28 +[1] = [1]+[1] = [0], som ønsket. Øvelse Vis at 341 ( ). (Tip: Man kan fx. vise, at 11 og 31 går op i tallet). Vi vil nu vise, at nogle af restklasseringene Z h er legemer. Se Thue-Poulsens bog og disse noters kapitel 3 for definitionen af et legeme. En kommutativ ring er et legeme, hvis at ethvert element ulig nul i ringen har en invers ved multiplikation. Sætning Lad p være et primtal. Så er Z p et legeme. Bevis: Lad [a] [0]. Så er p a. Vi skal vise, at [a] har en multiplikativ invers [m] i Z p, (som altså skal opfylde [m][a] = [1].) Betragt dertil delmængden H = {ma + np m, n Z} af Z. Det følger let fra Sætning 1.10, at H er en undergruppe i Z. Ifølge Sætning 1.27 kan vi finde et h N, så H = hz. Det betyder, at for alle elementer b H gælder h b. Da a H og p H fås h a, h p. Da p er et primtal, må gælde h = p eller h = 1. Hvis h = p må p = h a, en modstrid til valget af a. Derfor er h = 1. Fra definitionen af H fås nu, at h = 1 = ma + np, hvor m, n Z. Det betyder, at i Z p gælder [1] = [m][a] + [n][p] = [m][a], da [p] = [0]. Dermed er [m] den søgte multiplikative inverse til [a]. Øvelse Antag at h ikke er et primtal. Vis at Z h ikke er et legeme. (Tip: Vælg p h, p 1, p h. Vis, at [p] ikke kan have en multiplikativ invers [m] i Z h.) Definition og bemærkning Sætning 1.34 viser, at når p er et primtal og Z p = Z p \ {[0]}, så er Z p en multiplikativ gruppe af orden (p 1). Sætning (Fermat s lille sætning) Lad p være et primtal og a et positivt helt tal. Så gælder p (a p a). Bevis: Betragt elementet [a] Z p. Hvis [a] = [0], så vil p a og dermed også p (a p a). Hvis [a] [0], så er [a] element i den multiplikative gruppe 11

12 Z p af orden p 1. Fra Bemærkning 1.25 følger, at hvis t = ord([a]), så vil t (p 1). Skriv (p 1) = ts. Så er ifølge potensreglerne (1.13) [a] p 1 = [a] ts = ([a] t ) s = [1] s = [1]. Det betyder at [a p 1 1] = [0], altså p (a p 1 1). Så gælder også, at p a(a p 1 1) = a p a. Sætning (Wilson s sætning) Lad p være et primtal. Så gælder p (p 1)! + 1. Bevis: Det er oplagt at Wilson s sætning gælder, når p = 2, og for p = 3 finder vi 2! + 1 = 3, så her gælder sætningen også. Antag nu at p er et primtal 5. Sæt M = {[2], [3],.., [p 2]} som delmængde af Z p. Vi har tidligere set at ethvert element ulig 0 i Z p har en multiplikativ invers. M er netop denne mængde af elementer ulig 0 i Z p pånær [1] og [p 1] = [ 1], som er deres egne inverse. Hvis vi kan vise at det inverse (ved multiplikation) til et element [a] M er et andet element [a ] M forskelligt fra [a], da følger Wilson s sætning som følger: Produktet af elementerne fra M (som netop er [(p 2)!]) giver nu [1], fordi hvert produkt [a][a ] er [1]. Vi udregner så [(p 1)! + 1] = [(p 1)!] + [1] = [(p 2)!(p 1)] + [1] = [p 1] + [1] = [0] og beviset er afsluttet. Vi mangler så at indse, at intet element i M har sig selv som invers. Antag at [a] M og at [a][a] = [1]. Vi får [0] = [a 2 1] = [a 1][a + 1]. Da [a] M, er hverken [a 1] = [0] eller [a + 1] = [0], da ellers [a] / M. Ved at gange ovenstående ligning med det inverse til [a 1] fås [a + 1] = [0], en modstrid. I den sidste del af dette kapitel beskæftiger vi os med spørgsmålet: For hvilke naturlige tal n har ligningen x 2 + y 2 = n en heltallig løsning, altså hvilke naturlige tal er en sum af to kvadrattal? Dette er et klassisk problem fra talteorien, som blev løst af Fermat. Den vanskeligste del af problemet er at bevise Sætning 1.41 nedenfor, som siger, at alle primtal på formen 4k + 1 er en sum af to kvadrattal. Vores fremstilling følger Kapitel 4 fra 2. udgave af BOGEN. Lad os med det samme bemærke, at det følger fra bemærkningerne før Lemma 1.29, at Lemma Hvis a, b Z, så er [a 2 ] 4 lig [0] 4 eller [1] 4 og derfor er [a 2 +b 2 ] 4 forskellig fra [3] 4. En sum af to kvadrattal har altså ikke rest 3 efter division med 4. Lemma Lad p være et primtal. Betragt ligningen x 2 + [1] = [0] i Z p. Den har 12

13 to løsninger, hvis p = 4k + 1, én løsning for p = 2 og ingen løsninger for p = 4k + 3. Bevis: Lemmaet er selvfølgelig rigtig for p = 2 (Løsning: x = [1] 2.) Antag, at p er ulige og betragt (som i beviset for sætning 1.38) delmængden M = {[2], [3],.., [p 2]} af Z p. Da [0], [1], [p 1] = [ 1] ikke er løsninger til x 2 +[1] = [0], kan eventuelle løsninger kun findes i M. Vi ved fra tidligere, at M består af par af elementer [a], [a] 1, hvor der altid gælder [a] [a] 1. Det er klart, at hvis [a] M, så er også [a] = [ a] M. (Fx. er jo både [2] og [2] = [p 2] i M.) Man kan nu spørge om elementparrene [a], [a] 1 og [ a], [ a] 1 kan være sammenfaldende for et [a] M. Hvis det er tilfældet må vi have [a] = [ a] eller [a] = [ a] 1. Den første mulighed kan udelukkes: Hvis [a] = [ a] er [2a] = [a] + [a] = [0]. Så må p 2a og dermed p a, da p er ulige. Men p a betyder [a] = [0], modstrid. Hvis den anden mulighed [a] = [ a] 1 optræder, så er [a][ a] = [1] eller [a] 2 + [1] = [0], dvs. [a] og [ a] er løsninger til x 2 + [1] = [0]. Vi har så også, at (x [a])(x [ a]) = x 2 + [1], så der kan ikke være flere løsninger end [a], [ a]. Elementerne i M, der ikke er løsninger, kommer altså i grupper med 4 elementer i hver: [b], [b] 1, [ b], [ b] 1. Da der jo højst kan være to løsninger i alt, ser vi, at der løsninger, præcis når 4 M. Da M] = p 3, følger vores resultat. Sætning Lad p være et ulige primtal. Hvis p = 4k + 1, så er p en sum af to kvadrattal. Hvis p = 4k + 3, så er p ikke en sum af to kvadrattal. Bevis: Det sidste udsagn følger fra Lemma Antag at p = 4k + 1 og betragt mængden L = {(b, c) b, c Z, 0 b, c < p} Lad t være det største naturlige tal p, så L har (t + 1) 2 elementer. Endvidere må selvfølgelig t + 1 > p, ifølge definitionen af t og derfor er L = (t + 1) 2 > p, så der er mindst p + 1 elementer i L. Lad [a] Z p opfylde [a] 2 = [ 1]. Sådan et element [a] eksisterer ifølge Lemma Betragt afbildningen d : L Z p givet ved d(b, c) = [b ac]. Vi har set, at L har flere elementer end Z p. Der findes derfor to forskellige elementer (b 1, c 1 ), (b 2, c 2 ) L med samme billede under d, altså d(b 1, c 1 ) = d(b 2, c 2 ). (Overvej dette.) Vi får nu at [b 1 b 2 ] = [a][c 1 c 2 ], hvor vi altså må have b 1 b 2 eller c 1 c 2. Lad nu b = b 1 b 2, c = c 1 c 2, som er de absolutte værdier af differenserne 13

14 mellem de hele tal b 1 og b 2 (henholdsvis c 1 og c 2. ) Så b og c er ikke begge nul. Vi vil vise at b 2 + c 2 = p, hvormed beviset er afsluttet. Først bemærkes, at både b og c ligger mellem 0 og t. (Overvej dette.) Derfor er a 2 +b 2 2t 2 < 2p. Vi har endvidere i Z p, at [b] 2 = [b 1 b 2 ] 2 = [a] 2 [c 1 c 2 ] 2 = [c] 2, altså [b 2 + c 2 ] = [0]. Hermed har vi at b 2 + c 2 b 2 + c 2 < 2p, må b 2 + c 2 = p, som ønsket. > 0 og at p b 2 + c 2. Da Ved hjælp af Sætning 1.41 er det relativt nemt at beskrive alle naturlige tal som er en sum af to kvadrattal. Vi udelader beviset, som fx. kan findes i BOGEN. Sætning (Summer af to kvadrattal) Lad n N. Skriv n som et produkt af forskellige primtalspotenser: n = p m 1 1 p m p ms s. Så gælder, at n er en sum af to kvadrattal, præcis når følgende betingelse er opfyldt: Hvis et primtal p i i faktoriseringen har formen 4k + 3, så skal m i være lige. Eksempler Tallet 35 = 5 7 er ikke en sum af to kvadrattal, da 7 forekommer i første potens (ulige potens). Men tallet 245= er en sum af to kvadrattal, 245 =

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Note om endelige legemer

Note om endelige legemer Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

2. Gruppen af primiske restklasser.

2. Gruppen af primiske restklasser. Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik 2AL, vinteren

Matematik 2AL, vinteren EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Mordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003

Mordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003 Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske

Læs mere

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16 Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

MAT YY. Elementær Talteori. Søren Jøndrup

MAT YY. Elementær Talteori. Søren Jøndrup 1 MAT YY Elementær Talteori Søren Jøndrup Kapitel 1 Gruppeteori. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger til disse. Man kender måske allerede ligningen

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Algebra2 Obligatorisk opgave

Algebra2 Obligatorisk opgave Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Rasmus Sylvester Bryder 20. februar 2009 1 F08 opgave 1 (i) Der skal gøres rede for at [2] er en primisk restklasse i Z/49, og den inverse dertil skal ndes. Altså skal gælde, at

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab. Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Elementær Matematik. Tal og Algebra

Elementær Matematik. Tal og Algebra Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Differentiation af Potensfunktioner

Differentiation af Potensfunktioner Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Facitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].

Facitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X]. Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere