Henrik Bulskov Styltsvig
|
|
- Anita Nissen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Introduktion til Fuzzy logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks Roskilde Telefon: Fax:
2 Fuzzy mængder / Fuzzy logik Fuzzy logik formalisme til håndtering af vag, upræcis, usikker viden giver mulighed for at repræsentere vage ord / begreber som,f.eks. høj, god, dygtig,... ofte, sjældent, meget, nogengange,... Fuzzy logik / Fuzzy mængde teori grader af sandhed/ grader af medlemskab introduceret af Lotfi Zadeh i 1965 baseret på ideen om "mange-værdiet logik" introduceret af Jan Lukasiewicz Henrik Bulskov Styltsvig 2
3 Fuzzy mængder / Fuzzy logik baseret på ideen om at alt må beskrives ved gradueringer modellering af vagt begreb som "høj" i boolesk logik skarpt afgrænset f.eks. defineret ved "højde > 180 cm." SAND = 1.0 Høj FALSK = cm. ~ "ikke høj" og 181 cm ~ "høj" i fuzzy logik er flydende overgang mulig: højder kan gradueres i forhold til begrebet "høj" Henrik Bulskov Styltsvig 3
4 Fuzzy mængder / Fuzzy logik eksempel høje mænd: Henrik Bulskov Styltsvig 4
5 Fuzzy systemer Fuzzy system kendetegnet ved at der arbejdes med fuzzy mængder, dvs. mængder, hvor der bestemmes grader af medlemsskab (i intervallet [0,1]) for elementer fuzzy logik, dvs. logik, hvor sandhedsværdien for et udsagn er en værdi v [0,1] med 0 og 1 som ekstremer repræsenterende hhv. falsk og sand og hvor en sandhedsværdi 0<v<1 angiver en grad af sandhed for udsagnet (Fuzzy mængde) (Fuzzy logik) Grad til hvilken "x er element i M" er = den graduerede (fuzzy) sandhedsværdi for udsagnet Henrik Bulskov Styltsvig 5
6 Krisp mængde Universel mængde (Universe of Discourse) et domæne / et "univers" hvori vi definerer mængder Krisp mængde almindelig, ikke-fuzzy mængde (indført for at skelne fra fuzzy mængde) Karakteristisk funktion for krisp mængde mængde A på Universel mængde X kan defineres ved funktion 0 f A : X {0,1}, hvor f A ( x) 1 hvis x A hvis x A (eksempel på s. 3) Henrik Bulskov Styltsvig 6
7 Fuzzy mængde Fuzzy mængde defineres ved medlemsfunktion som svarer til den karakteristiske funktion for en krisp mængde Medlemsfunktion for fuzzy mængde (det mest populære funktionssymbol til medlemsfunktioner: ) fuzzy mængde A på Universel mængde X kan defineres ved funktion A A ( x) 0 hvis x ikke i A ï : X {0,1}, hvor 0 < A ( x) < 1 hvis x delvis i A ï A( x) 1 hvis x i A Værdier for medlemsfunktionen angiver grader af medlemskab i den fuzzy mængde A (eksempel på s. 3) Henrik Bulskov Styltsvig 7
8 Fuzzy Mængde Notation til fuzzy mængde ofte benyttes eksplicit noterede fuzzy mængder, der skrives som summationer over medlemsgrad/element-led X = {x 1,x 2,,x n } A = A (x 1 )/x 1 + A (x 2 )/x A (x n )/x n eller A = i=1,,n A (x i )/x i normalt noteres kun elementer med grad af medlemsskab A > 0 dog er det ofte bekvemt - og det er tit nødvendigt - at beskrive mængden ved et funktionsudtryk for medlemsfunktionen og afbilde denne Henrik Bulskov Styltsvig 8
9 Fuzzy Mængde, Notation Eksempel Diskret universel mængde: HELTAL = {0,1,2, } Fuzzy mængde LILLE-HELTAL LILLE-HELTAL = 1/0 + 1/1 +.9/2 +.7/3 +.5/4 +.3/5 +.1/6 LILLE-HELTAL (0)=1, LILLE-HELTAL (1)=1, LILLE-HELTAL (2)=0.9, LILLE-HELTAL (3)=0.7, LILLE-HELTAL (4)=, LILLE-HELTAL (5)=0.3, LILLE-HELTAL (6)=0.1, LILLE-HELTAL (x)=0 når x>6 Eksempel Kontinuert universel mængde: REELLE-TAL = [0, ] Fuzzy mængde LILLE-TAL: 1.0 LILLE-TAL Efterår Henrik 13 Bulskov Styltsvig
10 Linkvistisk variabel, linkvistisk værdi Linkvistisk værdi (fuzzy term) en linkvistisk værdi (fuzzy term) er et (vagt) begreb, der referer til en given fuzzy mængde, f.eks. høj på en universel mængde af højder gammel på en universel mængde af af aldre beskrives ved fuzzy mængder Lingvistisk variabel en lingvistisk variabel er en variabel over størrelser, der kan antage lingvistiske værdier f.eks en variabel over personer, der kan antage lingvistiske værdier for højde såsom "høj", "lav",... Henrik Bulskov Styltsvig 10
11 Linkvistisk modifikator Linkvistisk modifikator (Linguistic hedge) en funktion der modificerer en fuzzy mængde der modellerer termer som "meget", "lidt", "forholdsvis", "noget i retning af",... f.eks. "meget F" = F 2 "forholdsvis F" = F 1/2 (eksempel på s. 3) Henrik Bulskov Styltsvig 11
12 Linkvistisk modifikator udvalg af modifikatorer fra bogen Henrik Bulskov Styltsvig 12
13 Linkvistisk modifikator udvalg af modifikatorer fra bogen Henrik Bulskov Styltsvig 13
14 Problem med modificering Ofte benyttes simple medlemsfunktioner som f.eks trapezoide funktioner, hvor der kunne anvendes mere afrundede kontinuerte funktioner Problem Støtten og kernen for en medlemsfunktion A (x), dvs. hhv: støtten: {x A (x) > 0} kernen: {x A (x) = 0} ændres ved simpel modificering på en kontinuert afrundet medlemsfunktion men ændres IKKE ved simpel modificering på en trapezoide / stykkevis lineær medlemsfunktion Henrik Bulskov Styltsvig 14
15 Fuzzy mængder, operationer komplementær-mængde (complement) delmængde (containment/subset) fællesmængde (intersection) foreningsmængde (union) krispe tilfælde: Henrik Bulskov Styltsvig 15
16 Fuzzy aggregeringsoperationer Komplementærmængde A (x)=1- A (x) 1.0 Høj Ikke Høj Henrik Bulskov Styltsvig 16
17 Fuzzy aggregeringsoperationer Delmængde A B hvis A (x) B (x) f.eks. "Omkring 190" "Høj" fordi "omkring 190" (x) "høj" (x) 1.0 Høj Omkring Henrik Bulskov Styltsvig 17
18 Fuzzy aggregeringsoperationer Fællesmængde A B (x)=min( A (x), B (x)) 1.0 Høj Omkring Høj Omkring Henrik Bulskov Styltsvig 18
19 Fuzzy aggregeringsoperationer Foreningsmængde A B (x)=max( A (x), B (x)) 1.0 Høj Omkring Høj Omkring Henrik Bulskov Styltsvig 19
20 Fuzzy Logik A (x) kan tolkes som en sandhedsværdi for udsagnet x er medlem af A A kan således tolkes som et logisk atom vi har en "isomorfi" imellem et fuzzy mængde system og et fuzzy logik system, hvor f.eks. foreningsmængde svarer til disjunktion fællesmængde svarer til konjunktion negation svarer til komplementærmængde Vi kan således angive sandhedsværdi for udtryk A B ved A B (x)=min( A (x), B (x)) A B ved A B (x)=max( A (x), B (x)) A ved A (x)= 1 - A (x) Fuzzy logik kan betragtes som en generalisering af boolesk logik Henrik Bulskov Styltsvig 20
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Ordensvægtet aggregering Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42. Roskilde Universitetscenter Universitetsve Postboks 26 4 Roskilde Telefon: 4674 2 Fax: 4674 372 www.dat.ruc.dk Behov for aggregering
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002
Databaser, efterår 2002 ER-modellen Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mereER-modellen. Databaser, efterår Troels Andreasen. Efterår 2002
Databaser, efterår 2002 ER-modellen Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Regelbaserede ekspertsystemer Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Data Mining Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Målsætning Data
Læs mereKIS, efterår 2003. Henrik Bulskov Styltsvig. Efterår 2003
Introduktion til KI/Intelligente systemer KIS, efterår 2003 Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mere3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.
3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereFunktionel afhængighed
Databaser, efterår 2002 Funktionel afhængighed Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereNormalisering, del 2
Databaser, efterår 2002 Normalisering, del 2 Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mere16. december. Resume sidste gang
16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mere16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang
16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret
Læs mereIteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber
Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereDatabasesystemer. Databaser, efterår Troels Andreasen. Efterår 2002
Databaser, efterår 2002 Databasesystemer Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mereBegrænsninger i SQL. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen
Databaser, efterår 2002 Begrænsninger i SQL Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereAalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem
Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereOpgaver. Henrik Bulskov Styltsvig. Efterår 2003
Regelbaserede ekspertsystemer Opgaver Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mereRepræsentation af tal
Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)
Læs mereDesign ved normalisering
Databaser, efterår 2002 Design ved normalisering Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereUdsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013
Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative):
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereDagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler
Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment
Læs mereStatistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning
Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:
Læs mereOpgaver i Regelbaserede Ekspertsystemer
Opgaver i Regelbaserede Ekspertsystemer Opgave 1 Herunder er fire forskellige årsager til ondt i halsen, halsbetændelse, forkølelse, influenza og kyssesyge. Udled en række produktionsregler der kan afgøre
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereRepræsentation af tal
Repræsentation af tal DM534 Rolf Fagerberg Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, decimaltal (kommatal)) Bogstaver Computerinstruktion
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereMeddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.
Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereI forrige kapitel har vi allerede foregrebet en del af resultaterne fra det kapitel, der begynder her.
KAPITEL V INDLEDNING I forrige kapitel har vi allerede foregrebet en del af resultaterne fra det kapitel, der begynder her. Forudsætningerne for disse resultater er en analyse af den særlige "menneskelige
Læs mereIntroduktion til prædikatlogik
Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereUML til kravspecificering
UML til kravspecificering UML mini-kompendium - til brug i forbindelse med modellering af kravspecifikationer. Copyright 2006 Teknologisk Institut, IT-Udvikling Aktivitetsdiagram 2/9 Aktion Aktionsnavn
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereInformation Integration
Databaser, efterår 2002 Information Integration Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072
Læs mereRepræsentation af tal
Repræsentation af tal DM534 Rolf Fagerberg Mål Målet for disse slides er at beskrive, hvordan tal repræsenteres som bitmønstre i computere. Dette emne er et uddrag af kurset DM548 Computerarkitektur og
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Onsdag den. august 200, kl. 9.00.00 Opgave (25%) Lad A = A[] A[n] være et array af heltal. Længden af det længste
Læs mereObjektorientering og databaser
Databaser, efterår 2002 Objektorientering og databaser Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) 2 årigt HF Matematik C Andreas
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder 2. udgave. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder 2. udgave Jesper Lützen Juli 2019 ii Indhold Introduktion ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?..................
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF enkeltfag Matematik
Læs mereVariable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0
Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3
Læs mere{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereAlgoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version
Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereGenetiske fuzzy systemer
Genetiske fuzzy systemer Af: Rune Kappelgaard & Simon W. Olsen Resumé: Fuzzy logic er et stringent logiksystem med et ubegrænset antal sandhedsværdier, der har vist sig at være et effektivt grundlag for
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereMålgruppe. Læseren henvises til læsevejledningen på side 5, hvor der gives en kort præsentation af afsnittene i rapporten. - iii -
Abstract I denne rapport udvikles et geografisk informations system (GIS) baseret på fuzzy logik. Denne GIS kaldes FuzzyGIS og anvendes til løsning af en problemstilling om gødningstilførelse på Sjælland.
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereHvordan virker en rejseplanner?
29. September 2004 Hvordan virker en rejseplanner? Henning Christiansen professor i datalogi, ph.d. http://www.ruc.dk/~henning Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1
Læs mereVidenskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation. Mette Dencker
Videnskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation Mette Dencker 1 Dagens program Logik Argumentation Toulmins argumentationsmodel Opgaver 2 Logik I hvad er logik? At tænke (ræsonnere) korrekt Vurdering
Læs mereDen sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs mereReeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.
Læs mereEpistemisk logik og kunstig intelligens
Epistemisk logik og kunstig intelligens Thomas Bolander, DTU Informatik Gæsteforelæsning i Kognitionsforskning II, CST, KU, efteråret 2009 Thomas Bolander, Kognitionsforskning II 09 s. 1/22 Logik Logik
Læs mereReeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mere