gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

Transkript

1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[ Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge det foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden brug kræver forfatterens skriftlige tilladelse (gud@ruc.dk). 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold Den grafiske form for et.gradspolynomium vil være en parabel. Illustration 1: Eksempel på en parabel. Funktionen er angivet. Det matematiske udtryk vil være på formen: y = ax bx c eksempelvis: y = x x 4 Her angiver bogstaverne a, b og c en koefficient der er ganget på hhv..grads-, 1.grads og 0.gradsleddet, da polynomiet ligeledes kan skrives som: y = a x b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 For alle parabler på denne form, gælder at definitionsmængden Dm(f) = ]- ; [ og parabel.odt Side 1 /1 Jakob Gudmandsen:

2 værdimængden er fra toppunktets y-værdi til ±. De tre parametre a, b, og c giver hhv. følgende resultat på parablens form: a angiver hvor stejl parablen er: jo større a-koefficient jo stejlere er kurven og vice versa. Er a positiv vender parablen opad, med toppunktet som den nedre grænse for værdimængden, og er a negativ vender parablen nedad, med toppunktet som den øvre grænse for værdimængden. b angiver i princippet parablens hældning i det punkt hvor parablen skærer.aksen (yaksen). Desuden er den et resultat af 1.gradsproduktet ved multiplikation mellem to toleddede størrelser (se afsnit vedr. faktorisering senere, 1.3 Faktorisering). c er den værdi, hvor grafen skærer.aksen Tolkning af koefficienterne Som nævnt herover gør a-koefficienten sig gældende med fortegn og størrelse, ift. om parablen vender opad eller nedad, ligesom dens stignings størrelse. Her tages udgangspunkt i den trivielle parabel y = x : Den trivielle parabel har toppunkt og nulpunkt i Origo. 1.gradskoefficienten medfører en forskydning på skrå ved den rette linje y = bx, som i princippet lægges til.gradsleddet. Dvs. at fortegn og størrelse af b-koefficienten angiver den skrå retning, som parablen er forskudt fra Origo /.aksen (herunder b=). Illustration : Den trivielle parabel, tillagt hhv. 1. og 0.gradsled 0.gradsleddet medfører en simpel parallelforskydning i lodret plan, da alle polynomiets værdier tillægges c-værdien (herover c = ). 1. Fixpunkter Der er umiddelbart op til fire interessante fixpunkter på grafen for.gradspolynomiet, hvoraf mindst to er generelle: 1..1 Skæring med.aksen: x = 0 Som nævnt herover angiver c-koefficienten hvilken værdi på.aksen, som parablen skærer denne i. På ovenstående eksempel (Illustration 1) er c-værdien lig -4, hvilket tydeligt kan ses parabel.odt Side /1 Jakob Gudmandsen:

3 ved dennes skæring af.aksen i y = -4. Dvs. at vi har et punkt i (x,y) = (0,c). 1.. Skæring med 1.aksen: Nulpunkter y = 0 De punkter hvor grafen skærer 1.aksen (x-aksen) har det til fælles, at y-værdien er lig 0: y = 0 ax bx c = 0 x = b± d a hvor d = b 4ac De(n) x-værdi(er) der findes herved kaldes ligeledes polynomiets rødder. Koefficienten d kaldes diskriminanten, som er et udtryk for flere forhold ved parablen: for d > 0 kan der findes rødder, illustreret ved at parablen skærer 1.aksen gange for d = 0 kan der findes 1 rod, illustreret ved at parablen kun rører 1.aksen og derved er rodens x-værdi den samme som toppunktets x-værdi for d < 0 kan der ikke findes rødder, bl.a. da det ikke er muligt at tage kvadratroden af et negativt tal. Dette betyder, at grafen for.gradspolynomiet ikke når ned/op til 1.aksen, hvorved en opadgående parabel med positiv a-koefficient vil udelukkende have positive funktionsværdier og en parabel med negativ a-koefficient vil udelukkende have negative funktionsværdier. For eksemplet på Illustration 1 fås der: d = 4 4 = 36 x = ± 36 = { x = 1 x = Dvs. at grafen skærer 1.aksen i x = -1 og x =, hvilket harmonerer fint med grafen. Det er altså ikke alle parabler, som har et eller to nulpunkter. Bevis for nulpunkter: Alle punkter på 1.aksen har.koordinaten lig nul, y = 0): ax bx c=0 4a 4a x 4abx 4ac=0 b 4a x 4abx 4ac b =b 4ac 4a x 4abx b =b 4ac Udtrykket til højre for lighedstegnet er nu lig diskriminanten ligesom der kan benyttes kvadratet af en toleddet størrelse på udtrykket til venstre: parabel.odt Side 3 /1 Jakob Gudmandsen:

4 d =b 4ac ax b = ax ax b b Herved kan udtrykket reduceres til: Herved fås der: ax b =d ax b=± d ax= b± d x= b± d a Her skal opmærksomheden henledes på diskriminantens fortegn og størrelse, da der ikke kan tages kvadratroden af negative tal (ingen løsninger), kvadratroden af 0 (nul) er lig 0 (en løsning) og kvadratroden af et positivt tal vil give løsninger til både + d og - d (to løsninger) Toppunkt Toppunktet kan findes ved, at indsætte koefficienterne i flg. ligning: x, y = b a ; d 4a Eksemplet på Illustration 1 har koefficienterne a =, b = - og c = -4, hvilket medfører: x, y = 36 ; 4 = 1 ; 9 0,5 ; 4,5 Dette er toppunktets koordinater i x,y-planet, hvilket harmonerer fint med grafen på Illustration 1. Bevis for toppunktsformlen findes i mange udgaver, hvoraf det mest udbredte er på baggrund af symmetribetragtninger (se vejledning derom andetsteds), hvor det kan konstateres, at toppunktes x-værdi må ligge præcis midt i mellem de to rødders x-værdier. Bevis for toppunkt udfra symmetribetragtninger Der tages udgangspunkt i en parabel med to rødder (nulpunkter), dvs. med diskriminanten større end 0. Resultatet er gældende for alle parabler, også dem med en eller ingen rødder, hvor der så skal ændres på.gradspolynomiets konstant-led (c), således at det er muligt at finde to punkter, som har fælles y-værdi. Funktionen for.gradspolynomiet er på formen: y = ax bx c...hvor rødderne kan findes som beskrevet i afsnit 1..Skæring med 1.aksen: Nulpunkter y = 0. parabel.odt Side 4 /1 Jakob Gudmandsen:

5 For at beregne koordinaterne til parablens toppunkt, benyttes her symmetri-betragtninger, da parablen er symmetrisk om en lodret akse, som skærer parablen i netop toppunktet - symmetriaksen. Illustration 3: Parabel for.gradspolynomium med to rødder Det vil sige at toppunktets x-værdi må ligge præcis midt i mellem parablens to rødder. Jfr. illustrationen herover har toppunktet koordinaterne (xt;yt) og må afstanden mellem den ene rod og toppunktets x-værdi være: x 1 x t = x 1 x x t x t = x 1 x 1 x = x 1 x 1 x Da afstanden mellem de to rødder er x x1 kan udsagnet udtrykkes ved: x t = x 1 x x 1 x t = x 1 x Ved indsættelse af røddernes værdier fås: parabel.odt Side 5 /1 Jakob Gudmandsen:

6 x t b d a = x t = x t x t b d a b d b d 4a = b 4a = b a Dette stemmer fint overens med formelsamlingens udtryk for toppunktets x-værdi. Da y = f(x) kan vi med værdien for x-koordinatet nu finde y-koordinatet med indsættelse i udtrykket for.gradspolynomiet: y t y t = ax t bx t c = a b a b b a c y t y t = b 4a b a c y t = b 4ac 4a = b b 4ac 4a y t, b 4ac = d = d 4a Hermed er det vist, at parablens toppunkt ligger i punktet: T p : x t ; y t = b a ; d 4a Bevis for toppunkt monotoniforhold Et andet bevis for toppunktet, er med udgangspunkt i monotoniforhold, hvor der søges for hvilken x-værdi at tangentens hældning er lig 0, dvs. dy/dx0 = 0. Ved at betragte den afledede funktion fås: parabel.odt Side 6 /1 Jakob Gudmandsen:

7 y = ax bx x dy dx = ax b dy dx = 0 x = b a Dette harmonerer med x-værdien fundet vha. symmetribetragtninger. Da y = f(x) kan vi nu finde y-koordinatet med indsættelse i udtrykket for.gradspolynomiet, på samme sæt som beskrevet tidligere: y t = d 4a Hermed er det vist (igen), at parablens toppunkt ligger i punktet: T p : x t ; y t = b a ; d 4a 1.3 Faktorisering Når der kan findes nulpunkter til et.gradspolynomium (jfr. 1.. Nulpunkter), kan dette ligeledes deles op i faktorer. De to nulpunkter/rødder udgør nemlig grundlaget for den ellers generelle form y=ax +bx+c: y= x r 1 x r y=x x r 1 r r 1 r Dvs. at leddet (r1+r)=b og r1r=c. I de tilfælde hvor stigningskoefficienten a er forskellige fra 1, bliver det lidt mere kompliceret: y=a x r 1 x r y=a x r 1 r x r 1 r y=ax a r 1 r x a r 1 r Herved bliver 1.grads- og 0.gradkoefficienterne til a(-r1-r)=b og ar1r=c. I ovenstående eksempel på Illustration 1 vil polynomiet derfor kunne skrives som: parabel.odt Side 7 /1 Jakob Gudmandsen:

8 y= x 1 x y= x 1 x 1 y=x 1 x 1 y=x x 4 For polynomier af højere orden end, er der ikke nogen generel løsning af nulpunkter/rødder, hvorfor der enten må 'gættes' rødder eller anvendes CAS Areal mellem graf og 1.aksen Ved at tage det bestemte integrale kan arealet findes på sædvanlig vis: A = a b f x dx = [ F x ]a b = F b F a I dette tilfælde vil det være: r A= r1 ax bx cdx=[ a 3 x3 b x cx k ]r1 A= a 3 r 3 b r cr k a 3 r 3 1 b r 1 cr 1 k r I eksemplet på Illustration 1 vil beregningen blive: A= 1 x x 4dx k k A= 0 3 k 7 3 k = 7 3 = 9 Det bemærkes at det fundne areal er negativt, hvilket er grundet i det bestemte integrale, som giver negative værdier for graf under 1.aksen, y < 0. I dette tilfælde må arealet beregnes som numerisk værdi, A Areal ift. omsluttende rektangel Som lille kontrol, er arealet for ethvert vinkelret symmetrisk område ved parablens toppunkt lig med /3 af den omsluttende rektangels areal. 1 CAS = Computer Algebra System, ex.vis TI-89 Titanium; Derive el.lign. parabel.odt Side 8 /1 Jakob Gudmandsen:

9 Illustration 4: Arealet af parabelspids med omsluttende rektangel I ovenstående skitse (Illustration 4) er rødderne x=-1 og x=3, hvilket giver en afstand på 4, og toppunktet ligger 4 over 1.aksen, giver det: A retangel = r r 1 y t = = 16 A parabel = 3 A retangel = 16 10, Brændpunkt Der er i princippet flere måder at udregne en parabels brændpunkt, med baggrund i hvilke egenskaber der fokuseres på Brændpunkt som spejlfokus Brændpunktet har de geometriske egenskaber, at en linje der tager sit udgangspunkt i punktet F, vil ved spejling i parablen (punktet P) forsætte parallel med parablens symmetriakse. Det er dette fænomen som bl.a. udnyttes i lygter og satellitmodtagere. Ved spejling menes der det fysiske fænomen, at indgangsvinkel er lig udgangsvinkel, hvilket kan regnes på med udgangspunkt i tangentens hældning dy/dx0 og v = tan-1(dy/dx0). Herunder arbejdes med den trivielle parabel y = ax. parabel.odt Side 9 /1 Jakob Gudmandsen:

10 Illustration 5: Parablens tangent som spejl Når vinklen (v) mellem lodrette akse og tangenten i punktet P er lig vinklen mellem tangenten og linjen til brændpunktet F, må vinklen (w) mellem vandrette akse og linjen FP være: v = dy tan 1 dx 0 PF w = v = tan w = tan v = tan tan 1 dy dx 0 Tangentens hældning kan findes ved den 1. afledede af udtrykket for parablen, y = ax : f ' x 0 = ax 0 PF v = tan 1 ax 0 = tan tan 1 ax 0 Her er det på sin plads at kigge på nogle relationer / omformuleringsregler fra trigonometrien: parabel.odt Side 10 /1 Jakob Gudmandsen:

11 tan v = cot v = 1 tan v tan v tan v = 1 tan v 1 tan tan 1 ax 0 tan tan 1 ax 0 = cot tan 1 ax 0 = tan tan 1 ax 0 = tan tan 1 ax 0 1 tan ax 0 = 4ax 0 1 ax 0 cot tan 1 ax 0 = 1 ax 0 = 4a x 0 1 4ax 0 4ax 0 Dette udtryk kan indsættes som hældningen i en ret linje FP på formen: y y 0 = x x 0 Indsat værdierne for f(x0) og f'(x0) fås: y ax 0 = 4 a x a x 0 x x y= x 4a x 0 1 x 0 0 4a x 0 For brændpunktet på.aksen F = (0,k), gælder at x = 0, hvorved linjen FP vil være: y F = 0 4a x 0 1 x 0 = x 0 4a x 0 4ax 0 y F = 1 4a Denne løsning er det samme som y-værdien for brændpunktet, da yf = k Brændpunkt ud fra alternativ definitionen for parabel Alternativt kan der tages udgangspunkt i en parabel, med toppunktet i Origo (0,0) hvor det gælder at: Givet tre punkter i planet; F, P og Q, hvor P er alle punkter samme afstand til punktet F (brændpunkt) som til punktet P på en given linie m (ledelinie). Her gælder det at: PF = P Q Dvs. at afstanden fra brændpunkt F = (0,k) til punktet P = (x0,ax0 ) på parablen er samme som parabel.odt Side 11 /1 Jakob Gudmandsen:

12 afstanden fra punktet P til Q = (x0,-k) på ledelinjen m. Illustration 6: Parablen udtrykt vha. brændpunkt og ledelinje Dette medfører følgende sammenhæng: FP = x 0 0 ax 0 k og PQ = ax 0 k FP = PQ k ax 0 k a x 0 4 x 0 = k ax 0 k a x 0 4 x 0 = 4ax 0 k k= 1 4a En givens parabels brændpunkt vil altså ligge på symmetriaksen og med en afstand 1/(4a) fra toppunktet, hvor a er polynomiets.gradskoefficient. I tidligere eksempel på Illustration 1 vil brændpunktet være 1/8 højere oppe end toppunktet, givende koordinaterne F = (0,5 ; -31/8). parabel.odt Side 1 /1 Jakob Gudmandsen: