OPGAVER 2.g INFINITESIMALREGNING VEKTORGEOMETRI. x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Transkript

1 OPGAVER g INFINITESIMALREGNING VEKTORGEOMETRI -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

2 Indholdsfortegnelse INFINITESIMALREGNING VEKTORGEOMETRI FACITLISTE 58 INFINITESIMALREGNING Opgave 000: Du skal ved hjælp af formler i Ecel finde de første 0 tal i de diskrete funktioner, F n F n F n, n med nedenstående der opfylder differensligningen begyndelsesværdier Begyndelsesværdierne skal stå i cellerne B og B, mens alle tallene skal stå i cellerne A-A0 Alle A-cellerne skal indledes med et lighedstegn =, dvs der skal stå formler i disse F 0 er angivet Tjek dit resultat med facitlisten, hvor a) F og F b) F 4 og F 7 c) F og F d) F og F e) F 8 og F 5 Opgave 00: Anvend Ecel til at bestemme kapitalerne op til K 50 (dvs til og med 50 fremskrivninger) ud fra differensligningen K K r n n n ; 0,,,,4,5, med nedenstående vækstrater og startkapitaler Vækstraten og startkapitalen skal stå i cellerne B og B, mens kapitalerne skal stå i cellerne A-A50, hvor alle celler skal indledes med et = Tjek dit resultat med facitlisten, hvor K50 er angivet a) K 500 r 7% 0 b) K 900 r % 0 c) K 58 r 9% 0 Opgave 004: Anvend Ecel til at bestemme F 5 i de diskrete funktioner, der er løsninger til differensligningen F n 4 F n F n F n F n ; n med nedenstående begyndelsesværdier: a) F F F F 4 b) F F F 0 F 4 Opgave 006: Anvend Ecel til at bestemme funktionsværdier for de diskrete funktioner, der er P n P n P n P n ; n med løsninger til differensligningen nedenstående begyndelsesværdier Angiv i facitlisten, hvilke funktionsværdier den pågældende funktion antager: a) P 4 P 7 P b) P 6 P 5 P c) P 4 P 5 P 9

3 Opgave 000: Anvend Maples symboler og (anvend Tab til at bevæge dig fra den ene indtastning til den næste) til at bestemme følgende buelængder: a) Delen af grafen for 0, f : i intervallet b) Én hel svingning på grafen for g : sin c) Delen af grafen for h : i intervallet 0, Opgave 00: Hvilket resultat giver Maple, hvis man prøver at bestemme buelængden for den del af grafen for f :, der ligger i intervallet 0,? Giver det mening? Opgave 004: Hvad er buelængden for den del af parablen givet ved ligningen y G 5 ;, der ligger over -aksen? Opgave 006: Hvilken buelængde giver formlen for buelængde for en halv enhedscirkel? Opgave 000: Angiv for nedenstående mængder min A,inf A,ma Aog sup A, eller angiv med --, at de ikke findes: Mængden A min A inf A ma A sup A,7 0,0,,9,, 4,,,,,, Vm e Vm sin Vm 4 Opgave 00: Bestem, hvad funktionen Dm f hjælp): \,e f : ln, hvor vi begrænser definitionsmængden til, går mod for følgende grænseovergange (tegn evt grafen i Maple som a) b) c) e Opgave 0: Bestem, hvad funktionen f : cos, 0 går mod for følgende grænseovergange, eller afgør, at der ikke kan siges noget generelt om dette: a) 0 b) c) d) Opgave 04: Bestem, hvad funktionen f : går mod i følgende situationer: a) 0 b) 0 c) d)

4 Opgave 06: Bestem, hvad funktionen f går mod i følgende situationer, eller afgør, at der ikke kan siges noget generelt om det: a) 0 Opgave 00: Du vil for : e f vise f for 0 Angiv det største, du kan forsvare dig med, når fjenden kommer med følgende : 8 a) 0005 b) c) 0 Opgave 0: Du vil for f : e f vise, at 0 for Angiv det mindste M, du kan forsvare dig med, når fjenden kommer med følgende : 0 a) 0005 b) c) 0 Opgave 04: Vis ved hjælp af Definition 6 (dvs find M), at 0 for Opgave 06: Vis ved hjælp af Definition 5 (dvs find ), at e e for Opgave 00: Bestem grænseværdier for følgende udtryk ved grænseovergangen 6 8 a)6 9 b) c) d) 9 5 Opgave 0: Bestem om muligt grænseværdierne for følgende udtryk ved grænseovergangen 0eller afgør, at en grænseværdi ikke findes 4 a) 6 4 b) 5 c) d) 5 7 e e) f ) g) h) 5 8 i) j) Opgave 08: Bevis Sætning for k f b) 0 c) 0 d) e) f) Opgave 09: Bevis Sætning for produktfunktionen og kvotientfunktionen Opgave 040: Nedenfor er konklusionen omkring 0 afgørende for, om den pågældende funktion er kontinuert eller ej Afgør for hver funktion, om den er kontinuert eller ikke kontinuert 4

5 f 0 f 0 for 0 : Opgave 04: Afgør i hvert af nedenstående tilfælde, om Opgave 050: For nedenstående funktioner og de angivne 0 -værdier, skal du gøre følgende ) Opskriv differenskvotienten for det pågældende 0 ) Lad Maple tegne en graf for differenskvotienten Maple kan ikke anvende som variabel, så du skal erstatte med i dit Maple-udtryk (bemærk, at Maple ikke opdager, at differenskvotienten ikke er defineret for 0) ) Bestem differentialkvotienten (tangenthældningen) i 0 ved at aflæse grænseværdien for differenskvotienten for 0 a) f : 4 0 b) f : 0 c) f : e 0 0 d) f4 : cos 0 e) f : ln 5 0 Opgave 060: Bestem ved hjælp af Maple ligningerne for tangenterne til funktionernes grafer i de angivne punkter Tjek dit resultat ved i Maple at plotte graferne for funktionerne og tangenterne i samme koordinatsystem og se, at den rette linje ER tangent til kurven a) f : 4 7 P, f b) f : sin e P, f c) f : 5 P, f Opgave 070: I hvert koordinatsystem er tegnet graferne for en funktion og dens afledede funktion Angiv i hvert tilfælde hvilken af graferne, der svarer til selve funktionen 5

6 Opgave 07: Konstruér efter bedste evne tangenter i forskellige punkter og benyt hældningerne til at tegne grafen for den afledede funktion af f Opgave 080: Benyt tretrinsreglen til at vise, at nedenstående funktioner er differentiable, og bestem forskrifter for de afledede funktioner Tjek dit resultat med Maple ved at definere funktionen og bede Maple udregne f ' a) f : b) f : 5 c) f : d) f : 7 4 e) f : f ) f : g) f : 9 h) f : k i) f : j) f : k) f : l) f : m) f : n) f4 : o) f5 : p) f6 : 7 Opgave 08: Benyt tretrinsreglen til at vise, at f : a b c er differentiabel, og bestem forskriften for den afledede funktion Tjek dit resultat med Maple y Opgave 000: Vi ser på differentialligningen y ' 0 a) Undersøg, om f : er en løsning til differentialligningen b) Anvend Maple til at bestemme den fuldstændige løsning til differentialligningen c) Hvilken værdi af konstanten i den fuldstændige løsning svarer til f? Opgave 00: Vi ser på differentialligningen N t N ' t a) Undersøg, om N : t t er en løsning til differentialligningen b) Anvend Maple til at bestemme den fuldstændige løsning til differentialligningen c) Er N : t t 7 en løsning til differentialligningen? d) Er N : t t 5 en løsning til differentialligningen? 6

7 Opgave 004: Vi husker, at a) Undersøg, om dy ' og ser på differentialligningen y d f : er en løsning til differentialligningen b) Anvend Maple til at bestemme den fuldstændige løsning til differentialligningen I ' t I t t Opgave 006: Vi ser på differentialligningen a) Anvend Maple til at bestemme den fuldstændige løsning til differentialligningen b) Er t t t en løsning til differentialligningen? 4 c) Er t e t en løsning til differentialligningen? Opgave 008: Vi ser på differentialligningen y '' y ' y sin( ) a) Anvend Maple til at bestemme den fuldstændige løsning til differentialligningen b) Er 7e cos( ) en løsning til differentialligningen? c) Er e sin( ) sin cos en løsning til differentialligningen? 4 dy Opgave 00: Det oplyses, at f er en løsning til differentialligningen y, og at punktet d P 4,0 ligger på grafen for f a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P Opgave 0: Det oplyses, at f er en løsning til differentialligningen P, ligger på grafen for f 7 y' y, og at punktet a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P b) En anden tangent til grafen for f har ligningen y7 5 Bestem koordinatsættet til tangentens røringspunkt på grafen for f Opgave 00: Grafen for funktionen f går gennem linjeelementet, 7; Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i Opgave 0: Det oplyses, at y5er ligningen for tangenten til grafen for f i 4 Bestem et linjeelement, som grafen for f går igennem Opgave 00: Se på differentialligningen y ' y a) Indtegn en masse linjeelementer (lad være med at bruge for lang tid på præcision tegn hældninger på øjemål) og se, om du kan gennemskue, hvordan graferne for løsningerne ser ud b) Løs differentialligningen med Maple og tegn nogle grafer for løsninger, så du kan se, om din vurdering fra a) er rigtig Opgave 0: Se på differentialligningen y ' y a) Indtegn en masse linjeelementer og se, om du kan gennemskue, hvordan graferne for løsningerne ser ud b) Løs differentialligningen med Maple og tegn nogle grafer for løsninger, så du kan se, om din vurdering fra a) er rigtig

8 Opgave 040: Bestem ved hjælp af Maple den partikulære løsning til differentialligningen y ', hvis graf går gennem punktet 0,6 y Fastsæt også definitionsmængden for løsningen N ' t N t 4t, for hvilken det Opgave 04: Bestem ved hjælp af Maple den løsning til gælder, at 04 N 7 Opgave 050: Den hastigheden, hvormed temperaturen T af vand i et glas ændrer sig, er proportional med differensen af omgivelsernes temperatur T0 og vandets temperatur Angiv en differentialligning, der beskriver situationen Opgave 05: Differensen af en funktion f s væksthastighed og funktionsværdi er proportional med kvadratroden af kvotienten af argumentet og funktionsværdien Opskriv differentialligningen Opgave 000: Bestem ved hjælp af Maple arealet af den punktmængde M, der afgrænses af grafen for f :, førsteaksen samt linjerne med ligningerne og 7 Opgave 00: Bestem ved hjælp af Maple arealet af den punktmængde M, der afgrænses af førsteaksen og grafen for funktionen f : sin ; 0, Opgave 004: Bestem ved hjælp af Maple arealet af den punktmængde M, der afgrænses af førsteaksen, grafen for f : og linjen med ligningen Opgave 006: Bestem ved hjælp af Maple arealet af den punktmængde M, der afgrænses af de to koordinatakser samt grafen for f : 9 Opgave 008: Bestem ved hjælp af Maple arealet af den punktmængde M, der afgrænses førsteaksen og grafen for funktionen f : 5 6 Opgave 00 (opgaven fortsætter på næste side): På figuren ses grafen for funktionen f Funktionens nulpunkter er angivet med blåt, og arealerne af de fire punktmængder M, M, M og M, der dannes af grafen for f og førsteaksen er angivet 4 8

9 Bestem nedenstående bestemte integraler og gør det med en rigtig opskrivning 5 5 f d f d f d A A ) (eks: M M4 5 a) f d b) f d c) f d d) f d e) f d g) f d h) f d i) f d 6 5 Opgave 0: Nedenfor ses grafen for funktionen f, der har nulpunkterne -8, -6, -, og 9 Grafen afgrænser sammen med førsteaksen fire punktmængder M, M, M og M 4 Følgende bestemte integraler er oplyst: f d f d f d 0 f d Bestem 9 8 AM, A,, og M A M A M f d Opgave 04: Det oplyses, at f d 7, f d, f d 4 og f d f d f d f d f d Bestem,, og 5 Opgave 00: Bestem arealet af den punktmængde M, der afgrænses af graferne for funktionerne f : og g : Opgave 0: Bestem arealet af den punktmængde M, der afgrænses af graferne for funktionerne f : e og g : 7 4 Opgave 04: Bestem arealet af den punktmængde M, der afgrænses af graferne for funktionerne f og g givet ved cos og 4 og 0 f g samt linjerne givet ved ligningerne 9

10 Opgave 06: Bestem arealet af den punktmængde M, der afgrænses af grafen for funktionen f : 7 og linjen med ligningen y 9 Opgave 08: Bestem arealet af den punktmængde M, der afgrænses af graferne for funktionerne f :, g : og h : Opgave 09: Find arealet af de punktmængder, der beskrives i det følgende Du skal have fokus på fortegnene, dvs du må ikke bare ende ud med et negativt tal og så opdage, at den numeriske værdi passer, hvorefter du smider fortegnet væk Begynd med at tegne grafen/graferne, så du kan opskrive udregningerne korrekt a) Punktmængden, der afgrænses af linjerne med ligningerne og 4, førsteaksen samt grafen for funktionen f : e b) Punktmængden, der afgrænses af linjerne med ligningerne og 7, førsteaksen samt grafen for funktionen f : e c) Punktmængden, der afgrænses af linjerne med ligningerne og 6 samt graferne for funktionerne f : 5 og g : d) Punktmængden, der afgrænses af graferne for funktionerne f : 9 og g : 5 5 e) Punktmængden, der afgrænses af koordinatakserne og grafen for funktionen f : cos 0, f) Punktmængden beliggende i første kvadrant, der afgrænses af koordinatakserne og grafen e e for funktionen f : 5 g) Punktmængden beliggende i første kvadrant, der afgrænses af koordinatakserne og graferne for funktionerne f : 6 og g : e h) Punktmængden, der afgrænses af begge koordinatakser og graferne for funktionerne f : 0, og g : Opgave 040: Lad funktionen f være givet ved forskriften f Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden afgrænset af grafen for f, førsteaksen og linjerne med ligningerne og 4drejes 60 omkring -aksen Opgave 04: Grafen for funktionen f : 6 5 danner sammen med førsteaksen en punktmængde M Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen Opgave 044: Grafen for funktionen 4 f : danner sammen med førsteaksen tre punktmængder Bestem det samlede rumfang af de omdrejningslegemer, der fremkommer, når disse tre punktmængder drejes 60 omkring førsteaksen Opgave 046: Grafen for funktionen f : cos danner i intervallet, sammen med førsteaksen to punktmængder Bestem det samlede rumfang af de to omdrejningslegemer, der fremkommer, når disse to punktmængder roteres 60 omkring førsteaksen 0

11 Opgave 050: Graferne for funktionerne f : 9 6 og g : 7 afgrænser en punktmængde M Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring førsteaksen Opgave 05: I første kvadrant afgrænser begge koordinatakser sammen med graferne for funktionerne f : cos og g : ln en punktmængde M Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen Opgave 054: Grafen for funktionen f : 9 5 afgrænser sammen med linjen med ligningen y en punktmængde M Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring linjen med ligningen y Opgave 056: Graferne for funktionerne f : 0, g : og h : log 5 afgrænser en punktmængde M Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen Opgave 070: Bestem længden af den del af grafen for funktionen ligger i første kvadrant Opgave 07: Bestem længden af grafen for f : sin i intervallet 0, f : 8, der Opgave 074: Bestem omkredsen af den punktmængde, der afgrænses af graferne for funktionerne f : og g : Opgave 076: Bestem omkredsen af den punktmængde, der afgrænses af begge koordinatakser og grafen for funktionen f : Opgave 078: Bestem omkredsen af den punktmængde, der afgrænses af graferne for funktionerne f : e, g : 4 og h : 5 Opgave 080: Bestem overfladearealet af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden afgrænset af grafen for funktionen drejes 60 omkring førsteaksen f : Opgave 090 (fortsætter på næste side): På nedenstående figur ses graferne for 0,8 f : 0, cos og førsteaksen e og g : 0,6 En vase af glas dannes ved, at området i første kvadrant, der afgrænses af koordinatakserne, graferne for funktionerne samt linjen med ligningen, roteres 60 omkring -aksen Alle mål er i dm

12 a) Hvor meget vand kan vasen indeholde? b) Hvor meget glas skal anvendes til vasen? c) Hvor stort er arealet af glasfladen på toppen af vasen? d) En dråbe løber fra vasens kant til bunden af vasen Hvor langt løber den? e) Hele vasen (yderside, inderside, top og bund) skal males Hvad er arealet af det område, der skal males? f) Hvor højt står vandet i vasen, når der er påfyldt liter vand? g) Hvor højt over bordoverfladen befinder dråben fra spørgsmål d) sig, når den har bevæget sig,7 dm? (Hvis Maple volder problemer, kan du feks forsøge med Numerically Solve from Point ) Opgave 09: Graferne for funktionerne f og g med forskrifterne f 8 9 g og 7 afgrænser to punktmængder Mog M a) Bestem det samlede areal af Mog M I først kvadrant ligger en punktmængde M, der afgrænses af begge grafer samt begge koordinatakser b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen Graferne for f og g skærer hinanden tre steder, og, hvor c) Bestem længden af det buestykke på grafen for f, der ligger mellem og Grafen for g afgrænser sammen med aksen og linjen d) Bestem a, så arealet af M 4 er 0 a, hvor a, en punktmængde M 4 Opgave 094 (fortsætter på næste side) : Tre funktioner f, g og h er givet ved forskrifterne: f g h log 5 Graferne for de tre funktioner afgrænser sammen med de to koordinatakser en punktmængde M a) Bestem arealet af M b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring -aksen c) Bestem omkredsen af M

13 Graferne for de tre funktioner afgrænser tilsammen en punktmængde M d) Bestem arealet af M e) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring -aksen f) Bestem omkredsen af M Graferne for f og g danner sammen med y-aksen en punktmængde M g) Bestem arealet af M h) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring -aksen i) Bestem omkredsen af M Grafen for f afgrænser sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen a, hvor a 0, en punktmængde M 4 j) Bestem a, så arealet af M 4 er 8 Graferne for f, g og h, y-aksen og linjen med ligningen y 4 danner en punktmængde M 5 k) Bestem arealet af M 5 l) Bestem omkredsen af M 5 Grafen for g afgrænser sammen med y-aksen og linjen givet ved y 8 en punktmængde M 6 m) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M 6 drejes 60 omkring -aksen n) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M 6 drejes 60 omkring y-aksen Opgave 096: To funktioner f og g er givet ved forskrifterne: 4 f cos g ln Graferne for de to funktioner afgrænser sammen med koordinatakserne en punktmængde M a) Bestem arealet af M b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring -aksen c) Bestem omkredsen af M d) Bestem overfladearealet af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring -aksen Opgave 0500: Bestem uden brug af Maple, men gerne ved hjælp af en oversigt, følgende størrelser Husk at tjekke facit efter hvert resultat, så du ikke kommer til at skulle aflære en forkert fremgangsmåde (Husk, at målet er, at du skal kunne resultaterne udenad): a) e ' b) ' c) ' d) ' e) ' f ) ' g) ' h) ' i) ' j),5 ' k) 5, ' l),9 ' m) 6,4 ' n) ' o) ' p) ' 7,9 q) ' r) ' s) 9 ' t) 0 ' u) ' v) e ' y) ln ' z) sin '

14 Opgave 050: Bestem uden brug af Maple, men gerne ved hjælp af en oversigt, følgende størrelser (Husk, at målet er, at du skal kunne resultaterne udenad): 5 4 7,7 a) d b) d c) d d) d e) d f ) d g) d h) d i) 7 d j) 5 d k) d l) d m) e d n) 4 d o) 8 d p) d q) 0, d r) ln d Opgave 0504: Bestem uden brug af Maple, men gerne ved hjælp af en oversigt, følgende størrelser (Husk, at målet er, at du skal kunne resultaterne udenad): a) ' b) 9 ' c) ' d) ' e),8 ' f ) e ' g) ln ' h) ' 4 6 d d 5 9 i) sin ' j) cos ' k) tan ' l) log ' m) ' n) 9 ' o) p) d d e d sin d cos t d ln p d d t d s ) ) ) ) ) ) ) d y d a q r s u v w z) d d dt dt ds dp dy da 5 4 Opgave 0506: Bestem uden brug af Maple, men gerne ved hjælp af en oversigt, følgende størrelser (Husk, at målet er, at du skal kunne resultaterne udenad): a) sin d b) cos d c) d d) d e) tdt f ) kdk 6 t a y sin g) sin t dt h) e dt i) 4 da j) d k) cos d cos l) e d e m) e dy n) e d sin o) 5 d p) kd q) kdk r) 9dt Opgave 0508: Bestem uden brug af Maple, men gerne ved hjælp af en oversigt, følgende størrelser: 4 sin cos 4 a) d b) d c) ' d) d e) d p f ) sin ydy g) d d dp d y 4 y d cos d e d sin d e 4 dcos d y d dy h) i) j) cos d k) l) m) '' n) 5 d ' b Opgave 050: Udregn i hånden ved anvendelse af skrivemåden f d F F b F a a følgende bestemte integraler Tjek efter hvert spørgsmål svaret ved at indtaste det bestemte integral i Maple a) d b) d c) d d) cos d e) sin d e 9 0 ) e f d g) ) ) ) 0 d h d i d j d 0 Opgave 05: Bestem ved udregninger i hånden arealet af den punktmængde M, der afgrænses af grafen for f :, førsteaksen og linjen med ligningen 5 Opgave 054: Bestem ved udregninger i hånden arealet af den punktmængde M, der i første kvadrant afgrænses af grafen for f :, andenaksen og linjen givet ved y 5 Opgave 050: Bestem ved udregninger i hånden nedenstående afledede funktionsudtryk d 4 d7sin 4 a) 6 ' b) ln ' c) d) e) 5 ' f ) 4 ' d d b a 4

15 Opgave 05: Bestem ved udregninger i hånden nedenstående ubestemte integraler a) 5 d b) 6 d c) d d) 6 d e) d f ) 4cos d 5 8 Opgave 054: Udregn følgende bestemte integraler i hånden Tjek facit med Maple e 5 a) 4 d b) 5e ) sin ) 7 ) ) 7 0 d c 0 d d d e d f d 0 Opgave 056: Bestem en ligning for tangenten til grafen for f : 5 i punktet, f Opgave 058: Grafen for funktionen f : afgrænser sammen med førsteaksen og linjen med ligningen en punktmængde M Bestem ved udregninger i hånden rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 om førsteaksen Opgave 050: Differentiér i hånden funktionerne givet ved nedenstående funktionsforskrifter (Tjek resultaterne ved at definere funktionerne i Maple og efterfølgende indtaste ): a) f b) g 9 6 c) h e sin 5 d) i ln 8 5 e) j 5 f ) k 6cos 9 4 Opgave 05: Udregn i hånden følgende ubestemte integraler: 5 a) d b) d 4 c) e 4 cos sin d d) 4 5d 5,,7 e) 6 d f ) 4 d Opgave 054: Udregn i hånden følgende bestemte integraler og tjek facit med Maple: a) 4 d b) e d c) cos sin d Opgave 055: Undersøg, om funktionen f : e er en løsning til differentialligningen dy y e d Opgave 056: Grafen for f : 6 5 afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde M i fjerde kvadrant Bestem ved udregninger i hånden arealet af M Opgave 058: Find ved udregninger i hånden de to steder (-værdier), hvor grafen for funktionen f : 7 har vandrette tangenter Opgave 0540: Udregn i hånden nedenstående differentialkvotienter Tjek resultatet med Maple 4 a) cos ' b) sin ln ' c) e ' d) 5 ' ln cos d d t t e) f ) g) h) d d dt dt Opgave 054: Lad funktionen f være givet ved d 5 d t ln t f e dy Bestem d 5

16 Opgave 0544: Undersøg, om f : e cos er en løsning til differentialligningen y tan y ' Opgave 0546: Udregn i hånden nedenstående differentialkvotienter Tjek resultatet med Maple a b c d,5 ) 4 sin ' ) ln ' ) 5tan ' ) e ' p y d d y d sin t cos t d sin p e) f ) g) h) dy dt d dp Opgave 0548: Udregn i hånden nedenstående differentialkvotienter Tjek resultatet med Maple ) sin 5 ' ) sin cos e ' ) 5 a b c,5 ' Opgave 0550: Udregn i hånden følgende integraler ved hjælp af partiel integration Tjek resultatet med Maple (husk, at Maple ikke angiver konstanten ved ubestemte integraler) 4 ) e ) cos ) ) sin a d b d c d d d Opgave 055: Udregn i hånden følgende integraler ved hjælp af partiel integration Tjek resultatet med Maple (husk, at Maple ikke angiver konstanten ved ubestemte integraler) 6 a) 7 ln d b) cos d c) sin cos d d) 4e d Opgave 0554: Beregn følgende bestemte integraler i hånden og tjek med Maple: ) ln a) cos d b d Opgave 0560: Bestem følgende afledede funktioner i hånden og tjek med Maple t cos e d d ln 4 t a) ' b) ' c) ' d) e) sin cos e d dt Opgave 056: Undersøg, om f : er en løsning til differentialligningen y y ' e e y Opgave 0564: Lad g: y sin y Bestem dg ved udregninger i hånden dy y Opgave 0566: Bestem ved udregninger i hånden en ligning for tangenten til grafen for funktionen : P, f f i punktet e Opgave 0568: Bestem følgende afledede funktioner i hånden og tjek med Maple a a e d d sin cosa sin ln a) ' b) ' c) ' d) e) ln 5 e da d 6

17 Opgave 0570: Bestem følgende afledede funktioner i hånden og tjek med Maple: cos d 5 d e sin d 4 a) cos ' b) ln ' c) d) e) d d d sin y d t 5t 4 d 7 d s 5s s 4 f ) sin ' g) h) i) sin ' j) dt dy ds Opgave 057: Bestem for funktionen f : e 4 i hånden differentialkvotienten i Opgave 0574: Undersøg, om cos g: e er en løsning til differentialligningen ' sin y y Opgave 0576: Bestem følgende afledede funktioner i hånden og tjek med Maple: d cos e d sin ln a a b c d d da ) ) ) ' ) cos ' cos d ln cos e cos e d d t e) ' f ) g) h) ln sin d dt dy Opgave 0580: Bestem følgende integraler i hånden og tjek facit med Maple (Husk, at Maple ikke angiver integrationskonstanten c for de ubestemte integraler): sin a) 5 cos 5 7 d b) d c) 6sin cos d 0 cos cosln 8 6 e 6 d) d e) d f ) d Opgave 058: Beregn følgende bestemte integraler i hånden og tjek med Maple Tegn desuden graferne i de pågældende intervaller og tænk over fortolkningen af det bestemte integral: ) a d d) 4 d 5 8 b) e d e) e sin ln d c) cos sin 8 d Opgave 0584: Beregn følgende bestemte integral og tjek med Maple: 4sin cos 0 d Muligvis kunne du finde et resultat, mens Maple ikke kan finde et pænt, reelt tal Hvorfor går det galt? Og hvorfor har Maple ret? Opgave 0586: Bestem følgende ubestemte integraler i hånden og tjek facit med Maple (Husk, at Maple ikke angiver integrationskonstanten c): 5 4ln a) e d b) 4 cos 5 d c) d 9 6 cos d) d e) 4sin e d f ) 4 cos4 d g) d h) cos sin d i) cos d 7

18 Opgave 0588: Beregn følgende bestemte integraler i hånden og tjek resultatet med Maple Plot desuden grafen i det pågældende interval og tjek, at dit resultat giver mening: 4 e 5 ln w ln 9 4 e 9 5 a) 4 d b) e d c) d d) dt t 0 ln 5 e 4 ) cos cos (Facit er Denne notation kan Maple vist ikke anvende) e d f ) cos 5 d g) 7 dw h) cos d Opgave 0589: Beregn følgende ubestemte integraler i hånden og tjek resultatet med Maple a) d b) 5e d c) 4 5 d w 4 6 e 7 4 d) ln 9 d e) d f ) sin d 5 6 4, sin 7 g) cos 5 4 d h),0,5 d i) 6e d 5 Opgave 0600: Funktionen F : 4 sin er en stamfunktion til funktionen f Hvilke af følgende funktioner er også en stamfunktion til f? F : 5 sin F : 4 sin 5 F : 4 cos F : 4 sin F : 4 sin F : 7 4 sin F : 4 sin F : 4 sin F : e Opgave 060: Bestem til : 6 5 Opgave 06: Bestem til f : e 8 f den stamfunktion F, hvis graf går gennem, 5 P den stamfunktion F, hvis graf går gennem 0,9 P Opgave 064: Bestem til f : cos sin den stamfunktion F, hvis graf går gennem P, Opgave 066: Bestem til : e P cos Opgave 068: Bestem til f : den stamfunktion F, hvis graf går gennem P,9 4 f den stamfunktion F, hvis graf går gennem 0,4 Opgave 060: Bestem ved eksakte udregninger i hånden en ligning for tangenten til grafen for f ln 5, f funktionen f givet ved forskriften i punktet Opgave 06: Bestem ved eksakte udregninger i hånden arealet af den punktmængde M, der afgrænses af grafen for f : e, førsteaksen og linjerne med ligningerne og 4 Opgave 064:Undersøg, om Opgave 066: Bestem til : e 9 f : ln er en løsning til differentialligningen y y y ' ln ' f den stamfunktion F, hvis graf går gennem,5 P Opgave 068: Bestem ved eksakte udregninger i hånden en ligning for tangenten til grafen for : 7, f f i punktet 8

19 Opgave 060: Vi ser på funktionen f : og den punktmængde M, der afgrænses af grafen for f, førsteaksen og linjen med ligningen Da grafen aldrig skærer -aksen, er M ikke begrænset mod højre Bestem i de følgende opgaver en værdi for den søgte størrelse eller afgør, at størrelsen er uendelig stor: a) Arealet af M b) Overfladearealet af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring førsteaksen c) Rumfanget af ovennævnte omdrejningslegeme Opgave 06: Undersøg, om funktionen f med forskriften differentialligningen: y ' 8 y Opgave 0640: Nedenfor ses grafen for funktionen førsteaksen og grafen for f f 4 er en løsning til f : sin Punktmængden M afgrænses af a) Bestem arealet af M b) Bestem omkredsen af M c) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring førsteaksen d) Bestem overfladearealet af ovenstående omdrejningslegeme e) Bestem f s gennemsnitsværdi i intervallet 0, Opgave 0650: Bestem middelværdien for a), b) 0, c) 0,0 Opgave 065: Bestem middelværdien for f : cos i følgende intervaller: i intervallet,8 f : 4 7 Opgave 0654: Find i 0650 a) og 065 alle de steder i det pågældende interval, hvor funktionerne antager deres middelværdi Opgave 0656: Bestem i hånden differentialkvotienterne for følgende funktioner og tjek resultatet med Maple: ln a b c d cos ) ) )sin )e Opgave 0700: Bestem ved udregninger i hånden, om eller ingen af delene f : sin er voksende, aftagende Opgave 070: Bestem ved udregninger i hånden, om ingen af delene f : e er voksende, aftagende eller Opgave 0704: En funktion f er løsning til differentialligningen y' y 0 Er f voksende, aftagende eller ingen af delene? 9

20 Opgave 0706: Bestem ved udregninger i hånden, om f : ln 4 eller ingen af delene er voksende, aftagende dy y Opgave 0708: En funktion f er løsning til differentialligningen e 0 Er f voksende, d aftagende eller ingen af delene? Opgave 070: Bestem ved hjælp af fortegnsskemaer monotoniforhold og lokale ekstremumssteder for nedenstående funktioner Når du tjekker facit, er det vigtigt, at du også lægger mærke til, om dit fortegnsskema er identisk med facitlistens Dvs der må hverken være angivet mere eller mindre a f ) : (Regnes i hånden) b g 5 4 ) : (Regnes med Maple) c) h : cos 0,4 (Regnes med Maple) 4 Opgave 070: Bestem ved hjælp af differentialregning koordinatsættene til parablernes toppunkter og tjek med Maples maimize eller minimize (afhængig af fortegnet på a-værdien): a) y 6 8 b) f : c) g 5 d) y 5 4 Opgave 070: Bestem værdimængderne for følgende funktioner ud fra de angivne fortegnsskemaer, funktionsværdier og beskrivelser af grænseovergange: Opgave 0740: Angiv monotoniforholdene for de funktioner, der er løsninger til de pågældende differentialligninger y dy dy a) y ' e 5 4 b) sin y e c) d d y Opgave 0750: Bestem de steder, hvor graferne for følgende funktioner har vendetangenter Tjek dit svar ved at plotte grafen for funktionen sammen med vendetangenterne: a f b g 4 ) : 4 ) : 5 00 c h d p e q 5e ) : ) : 5 9 ) : 5 0,0 0

21 Opgave 075: Bestem den mindste væksthastighed for f : Opgave 0760: Bestem monotoniforholdene for følgende funktioner ved at anvende metoden med afledede af højere orden (bortset fra spørgsmål e, hvor der skal mere til): a) f : b) f : c) f : d) f 5 4 : sin e) f5 : e 9 4 Opgave 0770: Bestem det sted, hvor grafen for f : 4 5har vendetangent Opgave 077: Bestem den maksimale væksthastighed for f : 5 7 Opgave 0774: Bestem en ligning for vendetangenten for grafen for f : 4 6 Opgave 0776: Angiv det mulige antal vendetangenter for graferne for følgende funktionstyper: a) Eksponentialfunktioner b) Logaritmefunktioner c) 4 gradspolynomier d) 5 gradspolynomier e) 6 gradspolynomier f) 7 gradspolynomier g) Sinusfunktionen h) Konstantfunktioner Opgave 0780: En lillebitte beholder til et ret lille viskelæder skal konstrueres af et lillebitte stykke pap ( cm 6 cm) Den skal stilles op ad en væg og har derfor kun brug for sider (væggen udgør den fjerde side) Den kan derfor foldes efter at have klippet to kvadratiske hjørner med sidelængden af papstykket som vist på figuren a) Angiv et udtryk for rumfanget V af beholderen som funktion af b) Bestem den værdi for, der giver det størst mulige rumfang Opgave 078: En landmand har 0 m trådhegn til rådighed til at lave en rektangulær indhegning op mod en å Hvad er det størst mulige areal af indhegningen? Opgave 0784: En ikke alt for god svømmer er kommet for lang ud på havet (0 m fra strandkanten) og er ved at drukne En livredder skal redde personen Livredderen befinder sig 0 m fra strandkanten, og langs strandkanten er der 80 m hen til det stedet lige ud for den druknede Det er tungt sand, så m livredderen kan kun løbe med farten s på sandet, men svømmer med farten m 8 s Den stiplede violette bane på figuren angiver livredderens rute Hvad skal være for at gøre ruten hurtigst mulig?

22 Opgave 0800: Lad f : cos Bestem det 8 taylorpolynomium med udviklingspunkt Opgave 080: Lad f : Bestem det 6 taylorpolynomium med udviklingspunkt Opgave 0804: Tegn graferne for taylorpolynomierne sammen med graferne for funktionerne i opgaverne 0800 og 080 Prøv at udvide med flere led og se, om man i begge opgaver kan få noget ud af at fortsætte med flere led Opgave 080: Bestem ved at udvikle omkring 0 den taylorrække, der svarer til cos Opgave 08: Differentiér rækken fra 080 ved ledvis differentiation og differentiér taylorrækken svarende til sin Opgave 084: Differentiér taylorrækken svarende til Stemmer det med vores viden? e Stemmer det med vores viden? Opgave 000: Bestem ved udregninger i hånden den fuldstændige løsning til differentialligningen y' cos samt den partikulære løsning, hvis graf går gennem punktet P, Tjek dine resultater med Maple Opgave 00: Bestem ved udregninger i hånden den fuldstændige løsning til differentialligningen dy 0 samt den partikulære løsning, hvis graf går gennem punktet d P 6,7 Tjek dine resultater med Maple Opgave 004: Bestem ved udregninger i hånden den fuldstændige løsning til differentialligningen dy ; 0 samt den partikulære løsning, hvis graf går gennem punktet P e,5 d Tjek dine resultater med Maple Opgave 006: Undersøg, om f : 7er en løsning til differentialligningen e y' e Opgave 00: Find de partikulære løsninger til nedenstående differentialligninger, hvis grafer går gennem de angivne punkter (benyt løsningsformlen) Tjek resultatet med Maple a) y ' y ; P 0,7 dy b) 5 y ; P0, 4 d c) f ' f ; P,6 d) y ' y ; P,8 e Opgave 0: Antallet N af C-4-kerner som funktion af tiden t målt i år er en løsning til differentialligningen: dn 0, 000 N dt Det oplyses, at N a) Bestem N 0 b) Bestem det tidspunkt, hvor der er 0 kerner tilbage

23 Opgave 00: Bestem i hånden den fuldstændige løsning til følgende differentialligninger og tjek resultatet med Maple: dy a) 6 y d dy b) 4 y d c) y ' y d) f ' f e) y ' y dy f) 5y 4 d Opgave 0: Bestem til følgende differentialligninger i hånden den partikulære løsning, hvis løsningskurve går igennem det angivne punkt Tjek resultatet med Maple a) y ' 6y 4 ; P 0,5 dy b) y 9 ; Q 0, 7 d c) y ' 8 4 y ; R,7 d)5 f ' 5 f ; S, e 5 Opgave 04: Et glas vand med temperaturen 80 C placeres i et rum med temperaturen 0 C Efter 0 minutter er vandets temperatur 9 C Bestem proportionalitetskonstanten k i Newtons afkølingslov, når temperaturen regnes i C og tiden i minutter Opgave 06: Hastigheden v af et fnug, der falder mod jorden, er som funktion af tiden t målt i sekunder efter faldets begyndelse en løsning til differentialligningen dv 50 v 98 dt Faldets længde måles i meter v' t, når vt 0,0 og fortolk resultatet a) Bestem b) Bestem vt, når det oplyses, at fnuggets begyndelseshastighed er 0 Opgave 00: Bestem i hånden til følgende differentialligninger den partikulære løsning, hvis løsningskurve indeholder det angivne punkt Tjek med Maple dy a) y e ; P 0, d ) ' e ; 0,5 b y y Q 6 c) y ' y, 0 ; R, dy d) 4 6 y ; S, 0 d Opgave 040: Bestem det andengradspolynomium, der er en løsning til differentialligningen: dy y 4 6 d

24 Opgave 04: Bestem i hånden den fuldstændige løsning til følgende differentialligninger ved først at bestemme det polynomium, der er en partikulær løsning Tjek med Maple dy a) y 5 b) y ' y 6 0 c) y ' y d dy Opgave 050: Bestem hog g i nedenstående differentialligninger på formen h g y d : y cos y dy 4 a) y ' e b) y ' c) y e d) y ' y e) y ' y d Opgave 05: Angiv i hvert af nedenstående tilfælde, om man kan benytte metoden Separation af de variable, og skriv i bekræftende fald, hvad h og g er (konstanter kan placeres både i h og g, så h og g er ikke entydige) dy y dy a) y ' y b) c) y ' y d) 4y 5 e) y y ' d d y dy sin dy f ) y ' e g) h) y ' y 4 y i) y y j) y y ' d y d Opgave 060: Bestem i hånden til den angivne differentialligning den partikulære løsning, hvis løsningskurve går gennem det angivne punkt: cos dy 6 a) y ', y 0, P, b), y 0, P 0, y d y dy c) y, P, d) y ' y, y 0,, P,4 d dy e) y ' y, P, g) y, P, d Opgave 070: I en dyrebestand opfylder antallet af individer N som funktion t målt i uger dn 6 differentialligningen: 6,00 N0000 N dt a) Hvad er den øvre grænse for antallet af individer i bestanden? b) Hvor mange individer er der i bestanden på det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst? c) Hvad er den største væksthastighed, der opnås? Opgave 07: Antallet N af præriehunde i zoo s bestand af sorthalede præriehunde er en løsning til dn differentialligningen: 0, 0005 N t600 N t ; t 0 dt Tiden t er angivet i antal år efter 980, og i 985 var der 50 præriehunde i bestanden a) Hvad er bestandens væksthastighed, når der er 00 præriehunde i bestanden? b) Forklar, hvad tallet 600 i modellen fortæller om bestanden, og bestem, hvor mange præriehunde, der er i bestanden, når væksthastigheden er størst c) Bestem forskriften Nt for den funktion N, der beskriver bestanden, og bestem det årstal, hvor væksthastigheden for bestanden er størst Opgave 074: I et forsøg lukkes nogle californiske glathovedfisk (Alepocephalus tenebrosus) ud i et bassin med konstant tilførsel af fiskefoder Det viser sig, at den hastighed, hvormed antallet A af fisk vokser til tidspunktet t er proportional med produktet af antallet af fisk til tiden t og forskellen mellem 750 og antallet af fisk til tiden t Det viser sig, at væksthastigheden er 0, når antallet af individer er 50 a) Opskriv en differentialligning, som antallet af individer A må opfylde 4

25 5

26 dy y Opgave 090: En funktion f er løsning til differentialligningen d 5, og punktet P,7 ligger på grafen for f Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P Opgave 09: Om antallet N af dagligt besøgende til en særudstilling på et museum som funktion af tiden t målt i døgn fra åbningsdagen oplyses det, at væksthastigheden for antallet af besøgende er proportional med produktet af kvadratroden af tiden og differensen mellem 5000 og antallet af besøgende Proportionalitetsfaktoren er 0,05 Opstil den differentialligning, som antallet af dagligt besøgende er en løsning til Opgave 09: På en meget lille planet kastes en bold op i luften, og højden h af boldens position over planetoverfladen målt i meter kan som funktion af tiden t målt i sekunder efter, at bolden slippes, beskrives ved differentialligningen h ' t 0, 06 0 h t ; t 0 Det oplyses, at højden, når bolden slippes, er 4 meter over planetoverfladen a) Bestem ht b) Bestem, hvornår bolden rammer planetoverfladen Opgave 09: Den russiske sø Ladoga er rig på fisk specielt fisk i laksefamilien (Salmonidae) Lystfiskerne på søen skal passe på ikke blive for længe på vandet, så de har godt styr på dagslængden, der (målt i timer) kan beskrives ved modellen f ( t) 6,59 sin(0,067 t, 95), ; 0 t 65, hvor t er tiden målt i døgn efter januar a) Benyt modellen til at bestemme dagslængden ved Ladoga-søen til t = 50 b) Bestem f '(00) og redegør for, hvad dette tal fortæller dy Opgave 094: En adfærdsbiolog har forsøgt at anvende differentialligningen y 4 5 til at d beskrive adfærden hos en sekstakket savkirurgfisk (Prionurus microlepidotus) Undersøg om funktionen f bestemt ved f ( ) e er en løsning til differentialligningen Opgave 095: Spændingsfaldet U (målt i volt) over en elektrisk pære er som funktion af tiden t (angivet i ms) givet ved forskriften: U t 40sin t 0,5 ; 0 t 0 0 og fortolk resultatet a) Bestem U '7 b) Angiv det tidsrum, hvor spændingsfaldet aftager c) Angiv det tidspunkt, hvor spændingsfaldet vokser hurtigst Opgave 00: Udregn Wroński-determinanten W f, g for følgende par af funktioner: k k a) f :, g : sin b) f : sin, g : cos c) f : e, g : e d) f : 4, g : e) f : cos, g : e h) f : cos k, g : sin k i) f : sin, g : k sin j) f : e, g : e k) f : 8, g: Opgave 0: Bestem i hånden den partikulære løsning til differentialligningen y'' 6 y, hvis løsningskurve indeholder punkterne,og, 7 Tjek med Maple 8 4 Opgave : Bestem i hånden den partikulære løsning til differentialligningen y'' 64y 0, der indeholder linjeelementet 0,5; 4 Tjek med Maple 6

27 Opgave 4: Bestem i hånden den partikulære løsning til differentialligningen y '' 0, hvis løsningskurve indeholder punkterne,7 og 9,8 Tjek med Maple Opgave 6: Prøv i hånden at bestemme den partikulære løsning til differentialligningen y'' 9y 0, der går gennem punkterne, 4og,7 Hvad går galt? Hvad 6 siger Maple? Hvorfor går det galt? Opgave 0: Omskriv udtrykket 4sin cos til formen A sin k Maple ved at plotte graferne oven i hinanden Tjek med Opgave : Omskriv udtrykket 5sin 8cos til formen A sin k Maple ved at plotte graferne oven i hinanden Opgave 4: Omskriv udtrykket 7cos 6 til formen A sin k plotte graferne oven i hinanden Tjek med Tjek med Maple ved at Opgave 6: Bestem amplituden for den løsning til differentialligningen y'' 8 y, hvis løsningskurve indeholder punkterne,og, 5 7 Opgave 0: Bestem den fuldstændige løsning til følgende differentialligninger (tjek med Maple): a) y '' 4 y ' y 0 b) y '' 6 y ' 9 y 0 c) y '' 4 y ' 0 y 0 d y dy d) 9 0 y 0 d d e) f '' 6 f ' 0 y 0 f ) y '' 0 y ' 50 y 0 Opgave : Bestem til nedenstående differentialligninger de partikulære løsninger, der går gennem de angivne punkter (tjek med Maple): a) y '' 8 y ' 65 y 0 P 0,9og P, 4 b) y '' y ' y 0 P 0,4 og P, c) y '' 8 y ' y 0 P 0,6og P, Opgave 60: Se på den partikulære løsning f til differentialligningen dy y d, hvis løsningskurve indeholder punktet 0, Den kan vi ikke løse analytisk (prøv at se Maples løsning!) Vi ønsker at finde en tilnærmet værdi til f Bestem denne værdi med nedenstående metoder og skridtlængder: Euler: a) 0, b) 0,0 c) 0,00 Heun: d) 0, e) 0,0 f) 0,00 7

28 Opgave 6: Svar på samme spørgsmål som i 60, men denne gang for den partikulære løsning dy til differentialligningen sin y, hvis løsningskurve indeholder d,5 Opgave 70: Se på den partikulære løsning f til differentialligningen dy y d, hvis løsningskurve indeholder punktet,4 Den kan vi ikke løse Vi ønsker at finde en tilnærmet værdi til f 5 a) 0, b) 0, 0 c) 0, 00 Opgave 80: Følgende funktioner er givet: f y Bestem denne værdi med RK4 med skridtlængderne: :, y Bestem i hånden f 7,6, f,9, g,, og g 4,0,5 g :, y, z y 4 z 7 og og tjek resultatet med Maple ved først at definere funktionen og bagefter skrive f 7,6, f,9, g,, og g 4,0,5 Opgave 8: Lad f :, y, z sin cos e z y Bestem tre punkter uden gengangere af et argument, hvor funktionsværdierne er ens Tjek ved indtastning i Maple Opgave 90: Bestem de partielle afledede og y for funktionerne f :, y cos y, g :, y y, h :, y Opgave 9: Bestem de partielle afledede, og y z g :, y, z cos zy Opgave 94: Bestem for y og :,, p :, y y 4y y Tjek med Maple og z h y z y Tjek med Maple f :, y, z e y z sin :,, sin f y z y z, for funktionerne følgende størrelser og tjek resultatet med Maple: f, y, z f, y, z f, y, z, og y z, y, z,, 5, y, z5,0,, y, z 9,,6 Opgave 00: Bestem for nedenstående funktioner,, og y y y a) f :, y sin 5 ln y b) g :, y e y y c) :, Tjek med Maple h y Opgave 0: Bestem for følgende funktioner koordinatsættene til de stationære punkter og afgør, om det er lokale minimumspunkter, lokale maksimumspunkter eller sadelpunkter Regn nogle af opgaverne i hånden og andre i Maple a) f :, y y 6 0y 50 b) f :, y y y c) f :, y y 6 0y 4 y d) f :, y e e e e 4 sin y y y e) f :, y 6 y 6y 5y 9 f ) f :, y cos y 5 6 y 8

29 Opgave 0: Foretag lineær regression på følgende data ved udregning af S, Sy, S og Sy og tjek resultaterne med Gym-pakkens LinReg a),,,7, 6, og 8,7 b) 7, 4,,, 0,4, 4,8og 5,9 c) 7, 5,,, 0,og 4,6 Opgave 0: Foretag både eksponentiel regression og potensregression på følgende data (med metoderne fra Eksempel 9 og Eksempel 0) Tjek resultaterne med EpReg og PowReg fra Gym-pakken: a),6,,6, 6,87 og 7,97 b),,,7, 5,6 og 9,6 Opgave : Foretag forskellige regressioner på Logger Pro-måden (benyt ovenstående data), og tjek med Logger Pro s resultater Opgave 40: Udregn følgende dobbeltintegraler i hånden og tjek med Maple: e e 4 4 a) e ln y ddy b) e ln y dyd c) cos y ddy d) cos y dyd Opgave 4: Udregn følgende tripleintegraler i hånden og tjek med Maple: y y y a) e z ddydz b) e z dzddy c) e z dydzd Opgave 50: Beregn rumfanget mellem graferne og y-planen for følgende funktioner i de angivne områder: y a) f :, y sin cos y ;,, b) g :, y y y 50 ; 5,5 5,5 c) h :, y e ln y ; 0,0 0,0 9

30 Opgave 00: Se på følgende differentialligningssystem, der beskriver en henfaldskæde: dn A ka NA dt dnb ka N A kb NB dt dnc kbnb dt Og lad A : t ka N A kb N B a) Lad k og k 0,5 Bestem for den partikulære løsning, hvor A B 0 N 0 0, N 0 0og N 0 0, aktiviteten til tiden t 5 A B C b) Lad k 0,5 og k Bestem for den partikulære løsning, hvor A B 0 N 0 0, N 0 0og N 0 0, det tidspunkt, hvor aktiviteten er størst A B C c) Lad k og k 0, Bestem for den partikulære løsning, hvor A B 0 0 N 0 0, N 0 0 og N 0 0, det maksimale antal kerner af typen B, A B C der findes undervejs i henfaldsprocessen 0 d) Vi lader N N N 0 0, 0 0og 0 0 Bestem hvilke grafer, der hører A B C sammen med hvilke henfaldskonstanter: Opgave 0: Se på SIR-modellen med N I Hvad er det højeste 6 6 0, start, 0 og =0, antal inficerede (syge), der ifølge modellen findes på et tidspunkt under epidemien? Opgave : Se på SIR-modellen med N I 6 7 0, start, 0 og =0,04 a) Hvad er det højeste antal inficerede (syge), der ifølge modellen findes på et tidspunkt under epidemien? b) Hvor mange i populationen har ikke været ramt af sygdommen, når epidemien er overstået? 0

31

32 VEKTORGEOMETRI Opgave 500: Angiv vektorerne a, b, c, d, f, g og h med koordinater: Opgave 5004: Angiv - med udgangspunkt i basen e, e y - koordinaterne for følgende vektorer: AB, BA, AC, CA, DE, ED, CB, BE og CE Opgave 5007: Indtegn i et koordinatsystem vektorerne: a, b, c, d, f, g og h Opgave 500: Angiv koordinaterne til vektorerne,, og a b c d, når basen er, v v :

33 Opgave 505: Tegn et koordinatsystem med basis e, ey, e z Afsæt følgende vektorer: a ; b 6 ; c 8 ; d 0 ; f Opgave 500: Lad a b c d a) Definér disse fire vektorer i Maple b) Udregn følgende matematiske udtryk i hånden og tjek efter hver udregning med Maple, om du har regnet rigtigt: a b, a b, b a, c d, a, b, c, a d, b 5 c Opgave 50: Lad a b c 0 d 7 5 a) Definér disse fire vektorer i Maple b) Udregn følgende matematiske udtryk i hånden og tjek efter hver udregning med Maple, om du har regnet rigtigt: a b, a b, a d, c d, a, b, c, a d, b 5 c Opgave 500: Lad a b c 7 Hvilken linearkombination af 7 Opgave 50: Lad a b c 4 6 Bestem s og t, således at s a t b c Opgave 50: Løs ligningssystemet a og bsvarer til c? 5 4 a b ; G Opgave 505: Bestem i nedenstående tilfælde om muligt de linearkombinationer s a t b, der svarer til c Tegn situationerne i koordinatsystemet på næste side og tjek på den måde facit a) 7 a b c 5 9 b) 6 8 a b c 7 5 c) d) e) 4 5 a b c a b c a b c 5 5 0

34 Opgave 507: Lad 0 a og b 0 Bestem for hver af nedenstående vektorer s og t, således at s a t b svarer til vektoren: , 4 c, d, f, g, h og i , 6 Opgave 5040: Bestem i hvert tilfælde om muligt - den eller de linearkombinationer af a, bog c, der svarer til d Overvej, hvis der ikke netop er én linearkombination, hvorfor dette er tilfældet a) a 7, b 4, c 6 og d b) a 6, b 7, c 4 og d c) a 6, b 9, c 0 og d d) a 6, b 9, c 0 og d e) a 0, b, c 0 og d

35 Opgave 5045: Bestem den linearkombination af a, b, c, d, f, g og h, der svarer til w a, b, c 8, d 7, f 7, g, h 4 og w Opgave 5050: I planen er givet punkterne A B C D E Bestem stedvektorerne til hvert af de fem punkter 7,,,6, 0,9,, 5 og, Opgave 505: I rummet er givet stedvektorerne OA 6, OB 9, OC 0 og OD Bestem koordinatsættene til punkterne A, B, C og D Opgave 5055: I planen er givet punkterne A8,, B 4,, C 6,5og D 9, Bestem vektorerne CA, AB, BD, BA og DC Tjek dine resultater ved i Maple at definere stedvektorerne til punkterne og anvende AB OB OA Det er vigtigt, at du ser nøje efter, om du også har fortegnene rigtige Opgave 5057: I rummet er givet punkterne A 5,, 4, B7, 9,0, C,8,5 og D,0, Bestem vektorerne CA, AB, BD, BA og DC Tjek dine resultater ved i Maple at definere stedvektorerne til punkterne og anvende AB OB OA Det er vigtigt, at du ser nøje efter, om du også har fortegnene rigtige Opgave 5060: I planen er givet punktet D7, og vektoren Bestem koordinatsættet til punktet L Opgave 506: I rummet er givet punktet H 4,, 7 og vektoren Bestem koordinatsættet til punktet K 8 DL 6 4 KH Opgave 5064: I rummet er givet vektorerne OB 7, AB 8 og AC 6 Bestem koordinatsættet til punktet C Opgave 5066: I planen er givet vektorerne EO, ER, KR og KP 5 Bestem koordinatsættet til punktet P 5

36 Opgave 5067: I planen er givet vektorerne Bestem BD Opgave 5068: I rummet er givet Bestem s, t og u BA, CO, OA og CD 5 4 s OA 8, DC 5, BA 5, DO t og BC 9 7 u Opgave 5070: I planen er givet punkterne A 5,, B7, 6og C, Punkterne danner en trekant ABC Bestem vektorerne AM a, BM b og CM c, der går fra vinkelspidserne til midtpunkterne af de modstående sider Indtegn punkterne og tjek, at udregningerne gav de rigtige resultater: Opgave 5075: ABCD er et parallelogram, hvor A,, B5, og D7, 4 koordinaterne til punktet C Bestem Opgave 5077: ABCD er et parallelogram, hvor A5, 4,, B,, 7og D6,, 8 koordinaterne til punktet C Opgave 5080: På en ret linje l i planen ligger punktet 5,, og Angiv en parameterfremstilling for linjen l Opgave 508: r Angiv en parameterfremstilling for linjen l Bestem r er en retningsvektor for l 8 er en retningsvektor for den rette linje l, som punktet P0 5,0, ligger på Opgave 508: En ret linje l er angivet ved parameterfremstillingen: y 5 t 6 ; t z 4 Angiv et punkt, der ligger på linjen, samt en retningsvektor for linjen Opgave 508: En ret linje l er angivet ved parameterfremstillingen: t ; t y 5 Angiv et punkt, der ligger på linjen, samt en retningsvektor for linjen 6

37 Opgave 5084: En ret linje l, der går gennem origo, har en retningsvektor Angiv en parameterfremstilling for linjen l Opgave 5085: En ret linje l går gennem punkterne 5,, 7og,, 4 Angiv en parameterfremstilling for linjen l Opgave 5086: En ret linje l går gennem punkterne, og 4,7 Angiv en parameterfremstilling for linjen l 7 r 4 Opgave 5090: En ret linje l i planen er givet ved parameterfremstillingen: 5 l : t ; t y Hvilke fem punkter på linjen svarer til henholdsvis t 0, t, t, t og t? Opgave 509: En ret linje l i planen er givet ved parameterfremstillingen: 4 l : y s ; s z 9 7 Hvilke fem punkter på linjen svarer til henholdsvis s 0, s, s 5, s 0og s? Opgave 509: En ret linje l i planen er givet ved parameterfremstillingen: 9 l : t ; t y a) Find et punkt, der ligger på linjen, og find en retningsvektor for linjen b) Find to andre punkter end ovenstående og find to andre retningsvektorer c) Ligger punktet 6, på linjen? d) Ligger punktet, på linjen? Opgave 509: En ret linje l i planen er givet ved parameterfremstillingen: 7 l : y t 4 ; t z 5 a) Find et punkt, der ligger på linjen, og find en retningsvektor for linjen b) Find to andre punkter end ovenstående og find to andre retningsvektorer c) Ligger punktet 5,4, 7 på linjen? d) Ligger punktet,8, på linjen? 4 5 Opgave 5094: Et ret linjestykke er givet ved parameterfremstillingen t ; t [,] y Bestem linjestykkets endepunkter 7

38 Opgave 500: Bestem en parameterfremstilling for de rette linjer, der går gennem nedenstående punkter: a) 4, 7 og, b),8 og, c) 5, 8 og, 8 d), 6 og, Opgave 50: Bestem en parameterfremstilling for de rette linjer, der går gennem nedenstående punkter: a),, 5 og 7,, 4 b), 6, 4 og,,0 c) 5,, og 5,8, d) 7, 4, og, 4, Opgave 50: Bestem en parameterfremstilling for den rette linje l, der går gennem punktet og er parallel med den rette linje m, der går gennem punkterne,7, 5, 9, 6,,5 Opgave 50: Bestem en parameterfremstilling for de rette linjer givet ved følgende ligninger: a) y 5 ; G b) y 4 ; G c) y 7 ; G d) y ; G 9 5 e) y 8 ; G f ) ; G Opgave 5: Bestem ligningen på formen y a b ; G nedenstående parameterfremstillinger: a) t ; t y 5 6 b) t ; t y 7 5 c) 4 t ; t y 5 d) 9 t ; t y 5 e) 4 t ; t y 0 f) 6 9 t ; t y 0 for de rette linjer angivet med Opgave 5: Bestem den spidse vinkel, som følgende rette linjer danner med -aksen: 8 og

39 a) y 6 9 ; G b) t ; t y 7 5 c) y 4 ; G 4 4 d) t ; t y 5 4 Opgave 50: Det oplyses, at planen indeholder punktet4,,, og at og er 5 retningsvektorer for Angiv en parameterfremstilling for 7 y s t 6 ; s, t z Opgave 5: Planen er givet ved parameterfremstillingen a) Hvilket punkt i planen får man ud fra talparrene st, 0,0, st,,0 og,,4 b) Hvilke af punkterne 4,5,4, 5,7,6, 0,0,0, 5,8, og,8,9 ligger i planen? st? Opgave 5: Bestem en parameterfremstilling for den plan, der går gennem punkterne A5,0,, B,,6 og C7,,4, og svar efterfølgende på: a) Ligger punktet 0,0,4 i planen? b) Ligger punktet 4,, i planen? c) Ligger punktet 9,6, 6 i planen? Opgave 54: I rummet er givet et punkt P6,,7 og en ret linje 8 l : y 5 t ; t z a) Undersøg, om punktet P ligger på linjen l b) Bestem en parameterfremstilling for den plan, der indeholder både P og l Opgave 56: I rummet er givet de rette linjer l : y 4 t 5 og z 7 a) Vis, at punktet,4, ligger på begge linjer 5 6 m : y 0 s 4 z 6 7 b) Bestem en parameterfremstilling for den plan, der indeholder begge linjer 5 cos t Opgave 540: Angiv radius og centrum for cirklen C: ; t 0, y sin t cos t Opgave 54: Angiv radius og centrum for cirklen C: 6 ; t y 9 sin t Opgave 54: Angiv en parameterfremstilling for cirklen med centrum i 7, og radius 5 Opgave 54: Angiv en parameterfremstilling for cirklen med centrum i 0,6 og radius 9

40 8 Opgave 546: En ret linje l er givet ved l : y t ; t z 5 4 Angiv en parameterfremstilling for den rette linje m, der er en parallelforskydning af l med 4 langs -aksen, - langs y-aksen og 6 langs z-aksen 9 y 8 s 6 t ; s, t z 4 5 Angiv en parameterfremstilling for den plan, der er en parallelforskydning af Opgave 548: En plan er givet ved med 9 langs -aksen, 5 langs y-aksen og - langs z-aksen 9 cos t Opgave 549: Angiv radius og centrum for cirklen C: 4 ; t 0, y sin t Opgave 560: Bestem længden af følgende vektorer i planen og tjek efterfølgende resultatet med Gym-pakkens len eller Maples norm(,) eller : cos a, b, c, d, e og f sin 7 Opgave 56: Bestem de værdier for t, for hvilke nedenstående vektorer har længden 5 4 t 0 7 a) a b) b c) c d) d t t t Opgave 56: Bestem længden af følgende vektorer i rummet og tjek efterfølgende resultatet med Gym-pakkens len eller Maples norm(,) eller : ,5 a, b, c, d 84, e og f 0, ,5 Opgave 56: Bestem de værdier for t, for hvilke nedenstående vektorer har længden 4 5 t a) a t b) b 4 c) c t d) d 0 t 0 Opgave 564: Bestem længden af følgende vektorer og tjek efterfølgende resultatet med Gympakkens len eller Maples norm(,) eller : 6 0,5 0,5 65 a, b, c, d, e 0 og f 5 7 0,5 4 0,5 40

41 Opgave 570: I planen er givet punkterne A5,9, B, og C 7,4 Bestem AB, AC, BC og AB BC Opgave 57: I rummet er givet punkterne A 6,, 4, B6,6,0og C 7,, Bestem AB, AC, BC og AB BC Opgave 580: Følgende vektorer er givet a, b, c, d og f Bestem følgende skalarprodukter i hånden og tjek resultatet med Maple: ab, cd, ac, d f, ba og d c Opgave 58: Følgende vektorer er givet: a, b 6, c 6 og d 7 Bestem følgende skalarprodukter i hånden og tjek resultatet med Maple: ab, ad, bc, bd, cd og d c Opgave 584: Følgende vektorer er givet: a) Bestem den værdi for t, hvor ad 0 b) Bestem den værdi for t, hvor ac 0 c) Bestem den værdi for t, hvor a c d) Bestem den værdi for t, hvor cb 0 e) Bestem den værdi for t, hvor b c Opgave 586: Følgende vektorer er givet: a) Bestem den værdi for t, hvor ab 0 b) Bestem den værdi for t, hvor ac 0 c) Bestem de værdier for t, hvor bc 0 d) Findes der en værdi for t, hvor a b? e) Findes der en værdi for t, hvor a c? t 9 4 a, b, c og d 7 4 t t 4 t a 5, b 4 og c t t 4 Opgave 590: Bestem vinklen mellem vektorerne a og b Tjek resultatet ved at 7 anvende Gym-pakkens kommando vinkel 4 Opgave 59: Bestem vinklen mellem vektorerne a og b Tjek resultatet ved at 6 7 anvende Gym-pakkens kommando vinkel 4

42 6 5 Opgave 594: Bestem vinklen mellem vektorerne a og b Tjek resultatet ved at anvende Gym-pakkens kommando vinkel 4 Opgave 596: Bestem vinklen mellem vektorerne a 5 og b Tjek resultatet ved at 7 anvende Gym-pakkens kommando vinkel 4 Opgave 598: Bestem t-værdien, så vinklen mellem vektorerne a og b er 45 t 7 Opgave 500: I følgende spørgsmål er angivet to ikke-parallelle vektorer Angiv i hvert tilfælde ved hjælp af prikproduktet, om vinklen mellem vektorerne er stump, ret eller spids Tjek dit resultat med Gym-pakkens vinkel: a) a og b b) a og ) og 5 b c a b 9 7 d) 6 4 a 6 og b e) a og b f ) a 8 og b 8 8 Opgave 50: Bestem i nedenstående spørgsmål uden hjælpemidler den eller de værdier for t, for hvilken vektorerne er ortogonale Tjek dit resultat ved at anvende den fundne værdi for t og Gym-pakkens vinkel, hvor du skal få vinklen 90 5 t 0 t 9 a) a og b b) a t og b c) a og b 5 t t 9 t t t 5 t d) a og b e) a og b f ) a 4 t t 7 og b t t 6 t Opgave 50: Bestem koordinater til a b, ca og da ved at konstruere projektionerne og aflæse koordinaterne grafisk 4

43 Opgave 5: Bestem to vektorer aog b, hvor Opgave 50: Bestem i hvert af nedenstående tilfælde Tjek dit resultat med Gym-pakkens proj a) a og b 6 6 c) a og b 9 Opgave 54: Bestem den værdi for t, hvor a b a b 8 4 og b a 8 a og b b a 5 b) a og b 4 7 d) a og b , når 5 4 a og b t Opgave 540: Bestem længden af projektionerne af de to vektorer på hinanden, dvs Tjek dit resultat med Gym-pakkens len og proj, dvs, len proj a b a og b 4 a) a og b b) a 6 og b c) a og b d) a 0 og b 0 Opgave 550: Bestem tværvektoren til hver af følgende vektorer Tjek med Gym-pakkens hat: a, b, c, d, f og g Opgave 55: Bestem til hver af følgende vektorer en vektor, der er ortogonal med den pågældende vektor Tjek dit resultat med Gym-pakkens vinkel 4 5 6, a, b, c, d, f og g 9 7,9 0 7 Opgave 554: Benyt tværvektor-begrebet til at afgøre, om følgende vektorpar er parallelle Tjek dit resultat med Gym-pakkens vinkel, hvor du skal få 0 eller 80, hvis du er kommet frem til, at vektorparret er parallelle vektorer: a) a og b b) a og b 4 6 c) 4 4 a og b d) a og b 4 Opgave 560: Bestem om vinklerne v, v, v, v, v, v og v er positive eller negative: ab ba ac bc ad bd c d b a 4

44 Opgave 570: Udregn determinanten det ab, for følgende vektorpar Tjek dit resultat med Gympakkens det a) 4 a og b b) a og b c) 8 a og b d) a og b Opgave 57: Udregn determinanten det ab, for følgende vektorpar Tjek dit resultat med Gympakkens det a) a og b b) a og b c) a og b d) a og b 4 Opgave 574: Afgør i hvert af nedenstående tilfælde, om vektorparret er parallelt, og bestem, hvis det ikke er tilfældet, arealet af det parallelogram, som vektorerne udspænder, samt om omløbsretningen fra atil ber positiv eller negativ a) a og b b) a og b c) a og b d) a og b Opgave 576: Bestem arealet af de trekanter, der udspændes af nedenstående vektorpar 5 0 a) a og b b) a og b c) a og b d) a og b Opgave 578: Bestem arealet af de trekanter, hvor hjørnerne er placeret i følgende punkter: a) A, 7 B, C 9,8 b) A, 6 B 5, C 8, 7 c) A, B, 7 C, 6 d) A,9 B 5, C, 4 Opgave 580: Udregn krydsproduktet a b af nedenstående vektorpar Tjek efterfølgende dit resultat med Maple og tjek ved hjælp af prikproduktet, at abstår vinkelret på både aog b Hvis abbliver nulvektoren, så overvej hvorfor det skete 6 a) a 5 og b 4 b) a og b c) a 8 og b d) a 5 og b 0 e) a og b 9 f ) a 0 og b

45 Opgave 58: Find en vektor, der står vinkelret på både aog b Tjek dit resultat ved at se, om prikproduktet mellem den fundne vektor og hver af vektorerne aog bgiver a) a 7 og b b) a 0 og b c) a og b d) a 8 og b e) a og b 4 f ) a 0 og b Opgave 584: Bestem i følgende tilfælde arealet af det parallelogram, der udspændes af de to vektorer, eller afgør, at de to vektorer er parallelle 4 6 a) a og b 7 b) a og b c) a 5 og b d) a og b 9 e) a og b f ) a og b 4 Opgave 586: Bestem arealet af de trekanter, der udspændes af nedenstående vektorer Opgave 588: Vektorerne a) a 4 og b b) a og b c) a og b a og b 5 udspænder sammen med punktet P en plan 4 Bestem en retningsvektor r for planen, der opfylder raog r a Opgave 500: Afgør (ja/nej) i hvert af nedenstående tilfælde om n er en normalvektor til linjen l: 5 6 a) n l : t ; t y c) n l : t ; t y 4 7 e) n l : t ; t y b) n l : y 7 t ; t z 5 6 d) n l : y 6 t 5 ; t 4 z 5 f ) n l : y 9 t ; t z 6 Opgave 50: Aflæs normalvektorer for følgende rette linjer (svaret er selvfølgelig ikke entydigt, da der er uendelig mange normalvektorer til en linje): a) 5 y 9 0 ; G b) 7 y 5 0 ; G c) 4 y 0 ; G d) y 8 0 ; G e) y 6 0 ; G f ) 7 ; G 45

46 Opgave 5: Bestem retningsvektorer til linjerne fra opgave 50 (igen ikke entydige svar) Opgave 5: Bestem ligninger for de rette linjer, der har nedenstående normalvektorer og går gennem de angivne punkter: 7 5 a) n P0 5, b) n P0 6, c) n P0, d) n P0 9, e) n P0 0, 5 f ) n P0 0, 4 0 Opgave 54: På linjen l, som n 7 a) Bestem en ligning for linjen l er en normalvektor til, ligger punktet P, b) Bestem en ligning for den linje m, der er parallel med l og går gennem Q4, c) Bestem en ligning for den linje k, der er ortogonal med l og går gennem R,5 Opgave 55: På linjen l, som n 6 a) Bestem en ligning for linjen l er en normalvektor til, ligger punktet P 4,0 b) Bestem en ligning for den linje m, der er parallel med l og går gennem Q 0, c) Bestem en ligning for den linje k, der er ortogonal med l og går gennem O 0,0 0 Opgave 56: På linjen l, som n 5 a) Bestem en ligning for linjen l er en normalvektor til, ligger punktet P, b) Bestem en ligning for den linje m, der er parallel med l og går gennem Q 0,4 c) Bestem en ligning for den linje k, der er ortogonal med l og går gennem O 0, Opgave 57: To rette linjer er givet ved ligningerne: l : t y ; G m : 4 7y 5 ; G a) Bestem t, så linjen l går gennem punktet P 7,4 b) Bestem den værdi for t, for hvilken linjerne l og m er parallelle c) Bestem den værdi for t, for hvilken linjerne l og m er ortogonale Opgave 58: Om linjen l oplyses det, at t,og 9, ligger på linjen Bestem t n l 4 er en normalvektor til linjen, og at punkterne t Opgave 59: Om linjerne k, l, m og s oplyses det, at l m og s m, at normalvektor til l, at punktet 7, 46 n l er en P ligger på s og linjen k er givet ved ligningen 7 t y 5 a) Bestem en ligning for linjen s b) Bestem en retningsvektor for linjen m c) Bestem den værdi for t, for hvilken linjerne k og m er parallelle d) Bestem den værdi for t, for hvilken linjerne k og m er ortogonale

47 Opgave 50: Bestem gerne med hjælp fra Maples krydsprodukttegn en normalvektor til følgende planer (svaret er ikke entydigt): a) y 7 t s 8 ; t, s b) y 5 t s 4 ; z 5 4 z t, s c) y t 7 s 0 ; t, s d) y 8 t 0 s 0 ; z 5 z 58 0 t, s Opgave 50: Angiv normalvektorer til følgende planer: a) 4 5y z 9 0 ; G b) 7 y z 5 0 ; G c) 4y z 8 0 ; G d) z 5 0 ; G e) y 4z 7 ; G f ) y 6 ; G Opgave 5: Angiv ligninger for de planer, der går gennem nedenstående punkter og har de angivne normalvektorer: 8 a) n 5 P0 4,, 6 b) n P0,5, c) n 5 P0 4,, d) n P0,5, e) n 0 P0 0,, 7 f ) n P0 0 9, 0, 58 Opgave 5: For hvilken t-værdi er n t,,4 Opgave 5: Hvilken værdi skal s have i ligningen n,7, en normalvektor til 4 6y 8z 0? 9 s y 6z 7 0 ; G skal være en normalvektor for planen?, hvis Opgave 540: Bestem ligninger for planerne angivet ved nedenstående parameterfremstillinger: a) y 5 t s ; t, s b) y 5 t s ; t, s z 7 4 z c) 5 0 y 0 t 0 s ; t, s d) y t 5 s 4 ; t, s z 7 z e) y 4 t 0 s 0 ; t, s f ) y t s 0 ; t, s z 5 0 z 0 Opgave 54: Bestem ligninger for de planer, der indeholder de tre angivne punkter: a) A 7, 4,, B 9,, 4 og C,5, b) A,5,, B, 8, 7 og C,9, 4 c) A,5,, B, 4, 6 og C 8,, 7 d) A 0, 6,, B 4, 9, og C 5,, 4 e) A, 4,, B,, og C 5, 4, f ) A,,, B,, 4 og C,, 47

48 Opgave 544: Bestem værdien af t, så planerne og er parallelle: : 4 t y 4z 79 0 : y u s ; u, s z Opgave 5400: Bestem skæringspunktet mellem -aksen og linjen t ; t y Opgave 540: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem y-aksen og cirklen givet ved ligningen: 6 y 6y 7 0; G Opgave 540: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem z-aksen og kuglen givet ved ligningen: 6 y 8y z z 45 0 ; G Opgave 540: Bestem skæringspunkterne mellem de tre koordinatplaner og den rette linje l: 5 l : y t 6 ; t z 4 Opgave 5404: Bestem skæringspunkterne mellem de tre koordinatakser og planen : 6 4 y t s ; t, s z 5 Opgave 5405: Bestem skæringspunkterne mellem yz-planen og planen med ligningen: 7 y z 0 ; G Opgave 5406: Bestem skæringspunkterne mellem z-planen og kuglen med ligningen: y 4y z 6z 6 0 ; G Opgave 5407: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem yz-planen og planen : 7; G Opgave 5408: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem de tre koordinatakser og linjen: 0 Opgave 5409: Linjen l : y y0 t 5 ; t z z l : y 9 t 8 ; t z 4 skærer alle tre koordinatakser Bestem 0, y0, z 0 Opgave 540: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem nedenstående linjer eller afgør, at de er parallelle eller sammenfaldende: 7 a) l : s ; s m : t y 5 5 y ; t 5 4 b) l : s ; s m : t y 6 y 8 6 ; t 5 c) l : s ; s m : t y 4 y 9 ; t d) l : s ; s m : t y 4 y 9 ; t

49 Opgave 54: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem nedenstående linjer eller afgør, at de er parallelle eller sammenfaldende: 5 a) l : t ; t m : 5y 0 ; G y 4 b) l : y 9 0 ; G m : t ; t y c) l : 6 5y 0 ; G m : t ; t y 7 5 d) l : s y ; s m : 9 0y 4 0 ; G Opgave 54: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem nedenstående linjer eller afgør, at de er parallelle eller sammenfaldende: a) l : t ; t m : y ; G y 7 b) l : y 5 ; G m : t y 5 ; t c) l : y 7 ; G m : t y 8 ; t 5 d) l : s ; s m : y 4 5 ; G y Opgave 540: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem nedenstående linjer eller afgør, at de er vindskæve, parallelle eller sammenfaldende: a) 4 5 l : y 7 s 5 ; s m : y 8 t 9 ; t z 6 z 0 5 b) 8 5 l : y s 4 ; s m : y t 8 ; t z 5 9 z 8 c) 0 l : y s ; s m : y 6 t 5 ; t z 7 4 z d) l : y s 5 ; s m : y 7 t 0 ; t z z 4 49

50 Opgave 54: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem nedenstående linjer eller afgør, at de er vindskæve, parallelle eller sammenfaldende: a) 8 l : y 5 s 4 ; s m : y 5 t 7 ; t z z b) 6 7 l : y s 5 ; s m : y 5 t 5 ; t z z 0 6 c) l : y s 5 ; s m : y 8 t ; t z 6 z 9 d) l : y 4 s ; s m : y t ; t z 0 7 z 6 5 Opgave 54: To meget små bolde bevæger sig langs linjer beskrevet ved følgende parameterfremstillinger, hvor s og t angiver tider målt med det samme ur: l : y 7 s 5 ; s m : y 4 t ; t z 8 z 0 a) Skærer de to boldes baner hinanden? b) Støder de to bolde sammen? Opgave 544: To meget små bolde bevæger sig langs linjer beskrevet ved følgende parameterfremstillinger, hvor s og t angiver tider målt med det samme ur: l : y 7 s ; s m : y 5 t ; t z 7 z a) Skærer de to boldes baner hinanden? b) Støder de to bolde sammen? Opgave 545: To bolde med radier på bevæger sig langs linjer beskrevet ved følgende parameterfremstillinger, hvor s og t angiver tider målt med det samme ur: 4 7 l : y 8 s 5 ; s m : y 4 t ; t z z a) Skærer de to boldes baner hinanden? b) Støder de to bolde sammen? Opgave 540: Bestem evt skærings- eller røringspunkter mellem nedenstående linjer og cirkler Regn først i hånden, tjek efterfølgende med Maple ved at indtaste samtlige ligninger i et ligningssystem og kig til sidst i facitlisten: a) C : y 6y 5 0 ; G l : t ; t y b) C : 7 y 8y 7 0 ; G l : t ; t y c) C : 4 y 6y 6 0 ; G l : t ; t y

51 Opgave 54: Bestem eventuelle skærings- eller røringspunkter mellem cirklerne Det er tilladt at benytte Maple til udregningen C : 4 y 0y 56 0 ; G C : 0 y 6y 0 ; G Opgave 5440: Bestem eventuelle skærings- eller røringspunkter mellem følgende kugler og rette linjer Det er tilladt at anvende Maple: 6 4 z 0 a) 8 y 0y z 4z 6 0 ; G l : y t ; t 4 5 z 9 7 b) y 6y z 8z 9 0 ; G l : y 5 t ; t 4 c) 0 y 6y z z 99 0 ; G l : y t ; t z 7 0 Opgave 5450: Bestem eventuelle skæringspunkter mellem følgende linjer og planer (det er tilladt at anvende Maple): a) : y t 4 s 6 ; t, s l : y u 7 ; u z 8 5 z b) : 6 y z 5 0 ; G l : y u ; u z c) : y t 6 s 4 ; t, s l : y u ; u z 7 z d) : y t s ; t, s l : y 7 u ; u z 5 z e) : 5y z 0 ; G l : y u ; u z Opgave 5460: Bestem en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem følgende planer Tjek dit resultat ved at finde to punkter på skæringslinjen og se, om de ligger i begge planer a) : 7 y z 8 0 ; G : 5y 4z 5 0 ; G b) : y z 0 ; G : 4 y z 0 ; G 9 5 c) : y t s ; t, s : 8y z 5 0 ; G z d) : y 5 t s ; t, s : y 0 u v ; u, v z z 7 5 5

52 Opgave 5470: Bestem projektionen Q af punktet P på linjen l Tjek dit facit ved at kontrollere, at punktet Q ligger på linjen l, og at QP r eller QP n a) P, 7 l : 6y 0 ; G b) P 5, l : t ; t y 9 8 c) P 6, l : 5 7 y 9 0 ; G d) P 0,0 l : t ; t y 7 e) P 5, 4 l : ; G f ) P 4, l : t ; t y 0 Opgave 5480: Bestem projektionen Q af punktet P på linjen l: a) P, 6, 4 8 l : y t ; t b) P 5, 4, l : y t 5 ; t z 5 7 z 6 c) P 5,, 8 0 l : y 4 t 5 ; t d) P 0, 0, l : y t 0 ; t z z 0 0 Opgave 5490: Bestem projektionen Q af punktet P på planen : 6 a) P 4,, :7 y 4z 8 0 ; G b) P 9,, 4 : y t 7 s 9 ; t, s z c) P 4,, : 5y 9z 5 0 ; G d) P 0, 0, 0 : y 0 t s 0 ; ts, z 0 0 Opgave 5500: Bestem projektionen Q af P på det angivne objekt: a) P 9, Cirklen: 8 y y 5 0 ; G l l b) P 6,, Kuglen: 0 y 8y z 8z 7 0 ; G c) P,7 Cirklen: 8 y 0y 0 ; G d) P,, 7 Kuglen: 8 y 6y z z 5 0 ; G Opgave 550: Bestem projektionen af linjen l på planen på to måder Både ved at projicere to punkter ned i planen og ved at anvende metoden fra Øvelse Tjek, at du får parallelle retningsvektorer med de to metoder 9 a) l : y t ; t z 4 : 5 y z 0 ; G 5 b) l : y t ; t z : y 8z 7 0 ; G 9 c) l : y t 8 ; t z 4 : 5 y z 59 0 ; G 5

53 Opgave 550: Bestem den spidse vinkel mellem følgende objekter: 9 a) Linjerne l : t ; t og m : s ; s y 5 y 5 7 b) Planerne :7 y z 8 0 ; G og : 5 4y 7z 9 ; G 6 5 c) Linjen l : y t ; t og planen : 4 y 8z 8 0 ; G z d) Linjerne l : y t 6 ; t og m : y s 5 ; s z z 0 4 Opgave 55: Bestem den stumpe vinkel mellem følgende objekter: 6 a) Linjerne l : 5y 8 ; G og m : t ; t y 9 b) Planerne :6 y z 8 0 ; G og : y 8 t s 7 ; t, s z c) Linjen l : y u ; u og planen : y 0 t s ; t, s z z d) Linjerne l : y 0 t 0 ; t og m : y 0 s ; s z z 0 Opgave 5600: Bestem afstanden mellem følgende cirkler: a) C : 7 y 4 8 ; G C : y 6 ; G b) C : y 9 65 ; G C : 8 y 8 ; G c) C : y 4 89 ; G C : y 8 6 ; G d) C : 9 y 44 ; G C : y 49 ; G Opgave 560: Bestem afstanden mellem følgende cirkler: a) C : y 6y 6 0 ; G C : 6 y y 76 0 ; G b) C : 0 y 6y 9 ; G C : 50 y 8y 80 0 ; G c) C : 4 y 0y 7 0 ; G C : 4 y 0y 0 0 ; G d) C : 4 y 48y 6 ; G C : 78 y 8y 58 0 ; G Opgave 5604: Bestem afstanden mellem følgende kugler: a) K : y 7 z 9 00 ; G K : y 5 z 7 4 ; G b) K : 6 y z 64 ; G K : 6 y 8 z 8 ; G c) K : 4 y z ; G K : y z 49 ; G d) K : y 7 z 44 ; G K : 50 y 6 z 5 59 ; G 5

54 Opgave 560: Bestem afstanden mellem nedenstående punkter og linjer i planen: a) P 7, : 4y 4 0 ; G b) P 6, : 5 8y 4 0 ; G c) P 5, : y 6 5 ; G d) P, 4 : y 7 ; G Opgave 56: Bestem afstanden mellem nedenstående punkter og linjer i planen: a) P 5, 7 : 5y 6 ; G b) P, : 7 y ; G c) P4, 4 : y ; G d) P, 5 : y ; G e) P, 6 : 5 ; G Opgave 564: Lad Pt,være et punkt i planen og : 8 45y 7 0 ; G en ret linje a) Bestem de værdier for t, for hvilke punktet ligger i afstanden 5 fra linjen b) De to mulige t-værdier fra spørgsmål a) svarer til to punkter Ligger punktet midt mellem de to punkter på den rette linje? c) Er svaret på spørgsmål b) et tilfælde? Opgave 566: Bestem de punkter på cirklen C, der har afstanden til den rette linje l: C : 6 y 4y 5 0 ; G : 4 y 7 0 ; G Opgave 5640: Bestem afstanden mellem nedenstående linjer: a) l : y 9 0 ; G m : 9 6y 5 0 ; G b) l :4 y 5 0 ; G m :8 y 7 0 ; G c) l : y 5 ; G m : y 5 4 ; G d) l : y 9; G m : y ; G e) l :6 y 7 0 ; G m : y ; G f ) l : y ; G m : y 8 ; G g) l :5 y 0 ; G m : 5 6y 9 0 ; G Opgave 5650: Afgør, om nedenstående rette linjer skærer eller tangerer cirklerne, eller beregn afstanden d mellem cirklen og den rette linje a) A: 5 y 6 ; G : 4 y 4 0 ; G b) A: y 8 65 ; G : 7 4y 09 0 ; G c) A: 49 y 484 ; G : 77 6y 6 0 ; G d) A: y 5 8 ; G : 4 y 0 0 ; G 54

55 Opgave 5660: Bestem afstanden fra følgende punkter til planerne a) P 5,6, : y z 0 ; G b) P, 7, : y 4z 0 ; G c) P, 7, : 6 7y z 45 0 ; G d) P 5,8, : 4y 6z 8 0 ; G Opgave 5670: Bestem afstanden mellem nedenstående planer: a) : 4 y 4z 0 ; G : 6 y 6z 0 ; G b) : 7 y 5z 5 0 ; G : y z 9 0 ; G c) : 66 44y z 56 0 ; G : 99 6y 68z 66 0 ; G d) : 7 y z 4 0 ; G : 9 y z 0 ; G Opgave 5680: Bestem afstanden mellem nedenstående linjer og planer: 4 a) l : y 6 t 5 ; t z 5 : 5 y z 8 0 ; G 7 6 b) l : y t ; t z 9 : y z 5 0 ; G Opgave 5690: Afgør følgende om nedenstående planer og kugler: ) Skærer planen kuglen? I så fald skal radius for skæringscirklen beregnes ) Er planen en tangentplan til kuglen? ) Er der ingen fælles punkter? I så fald skal afstanden d fra planen til kuglen bestemmes a) : 84y 5z 67 0 ; G K : y 4 z ; G b) : 7 6y 6z 90 ; G K : 5 y z 7 49 ; G c) : 6 9y z 9 0 ; G K : 6 y 4 z 9 89 ; G Opgave 5700: Bestem afstanden mellem nedenstående punkter og linjer: a) P 6,,5 4 9 l : y 8 t ; t b) P, 0,9 l : y 4 t ; t z z 5 4 c) P 9,, 0 l : y 4 t ; t d) P 0, 0, 0 l : y 0 t ; t z z

56 Opgave 570: Afgør for nedenstående linjer og kugler, om linjen skærer eller tangerer kuglen, eller bestem afstanden d mellem linjen og kuglen: a) 6 l : y 0 t ; t z 8 K : 8 y z 7 9 ; G b) 6 l : y 4 t 5 ; t z 7 8 K : 5 y 7 z 49 ; G c) 7 l : y 6 t 4 ; t K : 9 y z 6 ; G z 5 d) 4 l : y t ; t z 7 5 K : 7 y 5 z 4 9 ; G Opgave 570: Bestem afstanden d mellem nedenstående linjer: a) l: y 0 s ; s l: y 8 t ; t z 8 z b) 4 6 l: y 7 s ; s l: y t 4 ; t z 5 z 0 c) 4 0 l: y s 5 ; s l: y 5 t ; t z 7 6 z 7 4 Opgave 570: Bestem ligninger for de tangenter, der rører den pågældende cirkel i det angivne punkt P a) 4 y 6 ; G P 5, 6 b) 7 y ; G P 5, 5 c) 8 y 6 ; G P 8,5 d) y 5 ; G P, 7 Opgave 5740: Bestem ligninger for de tangentplaner, der rører den pågældende kugle i det angivne punkt P a) y z 9 8 ; G P 4,, b) y 7 z ; G P,,5 c) y 4 z 4 ; G P,, d) y z 4 ; G P,, 56

57 Opgave 5800: På et temmelig skævt hus med en heller ikke alt for lige udestue har man forgæves forsøgt at pynte på skævhederne ved at placere en (skæv) flagstang oven på taget af udestuen: Tagfladen ADBC ligger i en plan Udestuens tag CEGF ligger i planen med ligningen: y 50 z Flagstangens knop er placeret i punktet H, og en retningsvektor for selve flagstangen er r 9 Alle længder måles i enheden meter a) Bestem en ligning for den plan, som tagfladen ADBC er en del af b) Bestem arealet af den skæve, men dog plane, tagflade ADBC c) Bestem vinklen v mellem hustaget og taget på udestuen (se figuren) d) Bestem afstanden fra flagstangens knop H til den plan, som udestuens tag er en del af e) Bestem koordinatsættet til det punkt J, hvor flagstangen er sat fast på udestuens tag f) Bestem den spidse vinkel mellem flagstangen og udestuens tag Opgave 580: Givet er punkterne A6,,5, B4,,0, C, 9,, D8,,, E 7,6,5og F,, a) ABCD ligger i en plan Bestem en ligning for b) Bestem arealet af ABCD c) Bestem afstanden fra punktet E til planen d) Linjen l går gennem punkterne E og F Bestem skæringspunktet mellem l og e) Bestem vinklen mellem l og Opgave 5804: En konæserokke (Rhinoptera bonasus) har næsten form som et parallelogram 4 4 udspændt af vektorerne a og b (se figuren) a) Bestem vinklen mellem vektorerne a og b b) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne a og b c) Bestem projektionen af b på a 57

58 Opgave 5806: En fisker fisker efter rødøjede rundsild (Etrumeus teres) og har installeret en fiskeradar på sin kutter, der afsøger et cirkulært område med kutteren i centrum og en radius på 50 meter a) Opskriv cirkelligningen, C, der beskriver afsøgningsområdets rand, når kutteren placeres i origo (0,0) og afstandene måles i meter En stime af rødøjede rundsild svømmer i en ret linje fra punkt P(-00,50) til Q(0,-50), mens kutteren ligger stille b) Afgør om kutteren ved hjælp af sin fiskeradar har chance for at opdage fiskestimen Opgave 5808: En bladpjaltefisk (Phycodurus eques) kan dreje kroppen, så retningerne af munden og bagkroppen i et koordinatsystem t 6 kan beskrives ved vektorerne a og b t Bestem den værdi af t, hvor a og ber ortogonale Opgave 580: Bestem t, så vektorerne 7 a og b er ortogonale t 5 4, 6 P, ligger på cirklen Bestem en Opgave 58: En cirkel har centrum i C, og punktet ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i P 4 8 Opgave 58: Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a og b A 6,,7, B,0,9, C 8,,5, D,, 6 og E 4,, 5 Opgave 58: a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punkterne A, B og C b) Bestem en parameterfremstilling for den linje l, der går gennem punkterne D og E, og bestem skæringspunktet mellem linjen l og planen c) Bestem den stumpe vinkel mellem linjen l og planen Opgave 584: A,4,6, B4,,6, C 7,6,0, D 6,,6 og E,5, 4 Den plan, der indeholder punkterne A, B og C, er givet ved ligningen : 4 y 5z 60 0 a) Vis, at punktet D ligger i planen, og at punktet E ikke ligger i planen b) Vis, at firkant ABCD ikke er et parallelogram c) Bestem arealet af firkant ABCD d) Bestem en ligning for den kugle K, der har centrum i E og som tangentplan FACITLISTE 000: a) 8040 b) c) d) e) : a) b) 945,554 c) 0, : a) b) : a) 0,, 4 og 7 b) -6, 0, 5, og c) -9, -5, -5 og 4 000: a),47894 b) 7,64096 c) 00: 58

59 004:, : 000: Mængden A min A inf A ma A sup A, , , ,9,, 4, -4-4,,,,, Vm e Vm sin - - Vm a) f for b) f 0 for c) f for e 00: a) f for 0 b) c) f 0 for d) a) f for 0 b) f for 0 0: 04: c) f 0 for d) f 0 for 06: d) f 4 for e) f 0 for f ) a) f for 0 b) f for 0 c) f for 0 00: a) 0, b) 0, c) 9, : a) M 5, 9874 b) M,5955 c) M 69, : M 06: ln e 00: a) b) 0 c) d) : a) 4 b) 6 c) -- d) 0 e) f ) e g) h) -- i) 8 j) 040: a) Ikke kontinuert b) Kontinuert c) Ikke kontinuert d) Kontinuert e) Kontinuert f) Ikke kontinuert 04: a) Nej b) Ja c) Nej d) Nej e) Nej g) Ja 050: a) 0,5 b) 6 c) d) - e) 070: a) B b) A c) A d) B e) A f ) B 07: 59

60 000: a) f er en løsning b) f k k c) 00: a) N er en løsning b) t t k eller t t k c) Ja d) Nej 004: a) f er ikke en løsning b) k e t 006: a) t t t k e b) Ja c) Nej 4 008: a) f k e sin ke cos cos sin b) Nej c) Ja : a) y 8 0: a) y : y b),6 60

61 0: 4,7;5 f 6 ; : N t t t : dt 050: k T T 0 dt 05: ' f f k f 000: AM 00: AM 004: AM 006: AM 8 008: AM : a) 0 b) -47 c) 0 d) e) -989 g) 865 h) 84 i) -5 0: A, A, A, A 95, f d 94 M M M M : f d 5, f d, f d 4 og f d : AM 8 0: AM 0, : AM 5, : AM 6, : AM, : a) 9,487 b) 666,7 c) 4,86 d) 5,057 e),07 f) 6,56 g),7854 h),09 040: V 980,9 04: V 07, 044: V 06,9 046: V 050: V 6785,84 05: V, : V 6, : V 956, : lbue 6, 07 07: lbue 7, : O 85,

62 076: O, : O 8, : Aoverflade 0,96548 a) V, 08dm b) V 6,86dm c) A, 00dm d) l, 9 dm e) A 44, 07 dm 090: f ) h,dm g) h 0, 98dm 09: a) AM M,875 b) VM,8957 c) lb 6,0 d) a 7, : a) A 4, 068 b) V 8, 645 c) O 0, 98 d) A 0, 590 M M M e) V 6, 668 f ) O 4, 787 g) A 0,894 h) V, 784 M M i) O, 565 j) a, 5949 k) A 0, 6006 l) O,85 M M5 M5 m) V 45, 054 n) V 56, y a) A, 9665 b) V 68, 4909 c) O,6745 d) A 47, M M : a)e b ) 4 c)7 d ) e) 4 f ) 5 g) h ) 8 4, i) 7 j),5 k)5, l),9 7,4,9 m) 6, 4 n),9 o) ) p q) r) s)0 t)0 u)0 v) 0 y) ) cos z ,7 050: a) c b) c c) c d) c e) c f ) c g) c h) ln c i) 7 c j)5 c k) c l) c,5 4, , m)e c n) c o) c p) c ) r) ln c ln 4 ln 8 q c ln ln 0, ) ln b)ln 9 9 )ln d) ln ) ln,8,8 f ) e g) h) 4 4 log e 8 5 i) cos j) sin k) l) m) 9 n) 0 o)6 p) ln 5 5 cos 0504: a c e 4 s q) e r)cos s) 5 t u) sin t v) ln w) ) z) 4a p y a) cos c b)sin c c) c d) c e) t c f ) k c 7 a t g) cos t c h)e c i) c j) c k) cos c l) e 5 c ln : 7 y sin m)e c n)e c o)5 c p) k c q) k c r) 9t c : a) 4 b) 5 c c) d) c e)cos p f ) cos y c g) sin 05: 054: y h) i)e j)sin c k) sin l)e y m)0 n)5 5 AM 50 AM a) 4 b) c) 4 ln d)7 cos e)5 f ) 050: 6

63 5 05: a) 4 c b) 6 c c) c d) c 4 e)8ln c f ) 4sin c 056: y : V 7 05: a) 7 c b) c c) e 4sin cos c , 40,7 d) 4ln 5 c e) c f ) c ln 7 055: Ikke en løsning 056: AM 058: og 4 054: 4e 0544: Det er en løsning 056: Det er en løsning 0564: 0566: y e e 057: 0574: Ikke en løsning 0600: F, F5, F7 og F 8 F : F e : 064: F 066: F e 5 sin cos 068: F 060: y7 sin 8 06: AM ee 064: Det er en løsning F e 9 e 066: 068: yln ln 7 060: a) b) c) V 06: Ikke en løsning 0640: a) A b) l 6,96 c) V d) A 4, 44 e) f gen 0650: a) f b) f 0 c) f : f 0654: a) 0, og 0, b) 5, : f er voksende 070: f er hverken voksende eller aftagende 0704: f er aftagende 0706: f er aftagende 0708: f er voksende 6

64 64

65 070: 070: a) Vm f 6,9 b) Vm g, 8, c) Vmh, 4,9, 0740: a) f er voksende i intervallerne, 4og, og aftagende i intervallet 4, b) f er voksende i intervallet,0og aftagende i intervallet 0, c) f er aftagende i intervallet, og voksende i intervallet, 075: vmin 70, : a) f er voksende i intervallerne, 4og 7, og aftagende i intervallet 4,7 b) f er aftagende i intervallerne, 6og, og voksende i intervallerne6, og, c) f er voksende i intervallet 0, og aftagende i intervallet, d) f4 er aftagende i, 8og 04,74 og voksende i 8, 04og 74, e) f5 er aftagende i intervallerne, 4, 4, og, 0770: : vmaks : y : a) 0 b) 0 c) 0, og d), og e) 0,,, og 4 f),,, 4 og 5 g) Uendelig mange h) Uendelig mange a) V 8 b) cm 0780: 078: 800 m 0784: 5,m 0800: ma 5 7 p8! 5! 7! : p : cos! 4! 6! 8! 0! 006: Det er en løsning 0: a) 984 b) 98 år 04: k 0, 06 65

66 06: a) v' t 4,8, hvilket vil sige, at når hastigheden af fnugget er 0,0 m s, er hastighedens 040: m væksthastighed (dvs accelerationen) p 4 49 e, t t 4,8 b) vt s 050: ), y e b) h, g y cos y ) e, d) h, g y y ), a h g y c h g y y e h g y y 4 05: a) Ja, h, g y y b) Ja, h, g y y c) Nej d) Ja, h 5, g y 4y e) Ja, h, g y y sin y f ) Ja, h e, g y e g) Ja, h, g y ) Nej i) Ja, h, y ) Nj e y h g y j a) f : sin 4 ; b) f : 6 ; c) f : 4 8 ; : 6 e) f : e ) : e ; 0 d) f : ; ; g f 070: a) 0000 b) 5000 c) 50 individer pr uge 07: a) 5 præriehunde pr år b) 600 er den øvre grænse for antallet af præriehunde 600 Der er 00 præriehunde, når væksthastigheden er størst c) Nt år99 0,t 49, e da dt : A 750 A 00: ) cos sin ) ) ) e cos s a b c k d)0 e in h) k i)0 j) 5e k)0 6: A 7,9 60: a),87066 b),05994 c),0678 d),04877 e),06678 f ), : a) 48,7907 b) 5,865 c) 5,978 d) 5,8464 e) 54,077 f ) 54,09 70: a) 4,89674 b) 4, c ) 4, : a) (,-5) Lokalt minimum b),, Sadelpunkt d) (0,0) Lokalt minimum e) (-,-) ma, (-,5) sadel, (,-) sadel, (,5) min f ) 8955, 0Lokalt minimum, (0,0) Sadelpunkt, 8955,0 Lokalt minimum 50: av ) 8 ) 5000 bv cv ) 964,47 a) A 5 8, 0 b) t 0,5754 c) N,94 0 d),,, 4 00: 8 0 0: Imaks : a) I 484 b) S 0755 maks slut B, maks : a b c d f g h : AB, BA, AC, CA, DE, ED, CB, BE, CE

67 5007: Bemærk, at placeringen kan vælges frit Det er kun længden og retningen, der skal passe: 500: 0 4 a b c d : a 5 b 50: s 8 t 50: ab,,4 507: c : s, t 4,9, d : s, t 7,, f : s, t, 7, g : s, t 7,0, h : s, t 0,9 og i : s, t 84, : a) 5a 4b 7 c b) a 0b 6 c c) Ingen linearkombinationer Vektorerne a, bog c ligger i samme plan (hver af dem kan skrives som en linearkombination af de to andre), og d ligger ikke i denne plan d) Uendeligt mange linearkombinationer, da a, bog gang ligger i samme plan som de tre andre vektorer e) 8a 5b c 5045: 5a b 4c d 7 f 4 g h : OA, OB, OC, OD, OE A 4, 6,, B,9,5, C 4,0,, D 0,0,0 505: 5060: L 5,9 506: K 8,6, : C 0,7, 5066: P, 5067: BD : s, t 7 og u 5075: C 5, : C 4, 5, 4 c er de samme som før, men da d denne 67