Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
|
|
- Christian Michael Pedersen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave at forklare, hvordan man kommer frem til facit i de enkelte opgaver. Der er altså ikke afkrydsningsfelter, der er kun facit og tilhørende udregninger. Udregningerne er meget udpenslede, så de este kan være med.
2 Indhold Opgave 3 Opgave 4 Opgave 3 5 Opgave 4 6 Opgave 5 8 Opgave 6 0 Opgave 7 Opgave 8 Opgave 9 3 Opgave 0 5 Opgave 7 Opgave 9
3 Opgave En funktion er deneret ved for reelle variable x og y. f(x, y) = e y x a. Find et udtryk for niveaukurven f(x, y) =. Vi ser, at e y x =. Hvis vi nu tager den naturlige logaritme på hver side: ( log e y x) = log bliver dette til y x = 0, da ln() = 0. Vi kan da bare lægge x til på begge sider og opnår derfor: y = x. b. Hvilken vektor er parallel med f(0, 0)? Vi dierentierer først f(x, y) i forhold til både x og y. Husk, at vi skal bruge kædereglen. Det vil sige, at vi dierentierer den ydre funktion e z i forhold til z, hvilket bare giver e z. Vi sætter da z = y x, hvilken dierentieres i forhold til både x og y, hvilket givet henholdsvis x og. Kædereglen giver nu, at: f x (x, y) = e z z x = e y x ( x) = xe y x, f y (x, y) = e z z y = e y x = e y x. Indsætter vi punktet (0, 0) i disse opnås: Altså er f x (0, 0) = 0 e 0 0 = 0, f y (0, 0) = e 0 0 = e 0 =. f(0, 0) = 0,. Det vil sige, at alle vektorer, der kan skrives k 0, er parallelle med f(0, 0). Eksempelvis er 0, = 0, en parallel vektor. c. Find udtrykket for den partielle aedede f xy. Husk, at f xy = f yx, hvorfor vi kan vælge at dierentiere i forhold til y først. Men det gjorde vi i forrige opgave, hvilket gav: Men det er jo lige præcis f(x, y). f y (x, y) = e y x. f y (x, y) = e y x = f(x, y). Hvis vi dierentierer f y i forhold til x fås f yx. Men hvis vi dierentierer denne, så svarer det til at dierentiere f(x, y), da disse er ens. Altså er f yx = f x (x, y) = xe y x, hvor vi fandt sidste lighed i forrige opgave. Nemt. INDHOLD 3
4 Opgave En parametrisk kurve i rummet er givet ved r(t) = 3 t3, t, t, hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. a. Find det korrekte udtryk for farten v(t). Vi skal dierentiere hver indgang i forhold til t. Vi får: r (t) = t,, t Farten er givet ved Vi får altså v(t) = v(t) = (x ) + (y ) + (z ). (t ) + + ( t) = (t ) + + t. Bemærk, at (t ) = t 4 og =, men jeg lave ikke denne omskrivning, da den nuværende måde er mere belejlig. Husk nu på kvadratsætningen (a + b) = a + b + ab. Hvis vi sætter a = t og b =, da det er disse to udtryk, der har potensen, så får vi (t + ) = (t ) + + t = (t ) + + t. Men det er præcis, hvad der står i kvadratroden. Vi kan altså lave følgende omskrivning: v(t) = (t ) + + t = (t + ) = t +. b. Hvad er buelængden fra t = 0 til t = 3? Vi skal blot integrere farten over dette tidsinterval: 3 0 v(t) dt = 3 0 t + = [ ] 3 3 t3 + t = ( ) ( ) = = =. c. Bestem accelerationsvektoren for kurven til t =. Accelerationsvektoren til et tidspunkt t er blot r (t). Vi har: r (t) = t, 0,. Indsættes tiden t = fås: r () =, 0, = 4, 0,. INDHOLD 4
5 Opgave 3 To komplekse tal er givet ved z = 5e π 3 i og z = i a. Hvad er z på standard form? ( ) 3 i. Vi husker, at e iθ = cos θ + i sin θ. Vi får altså: ( ( ( z = 5e π π ) ( π )) ) 3 i 3 = 5 cos + i sin = i = i. b. For alle komplekse tal w og w gælder, at w = w og w w = w w. Hvad er z z. Vi bruger regnereglerne og får: z z = z z. Vi kan hurtigt aæse længden, modulus, af et komplekst tal, der er på polær form. Fra z ser vi, at det er 5. Længden er nemlig den, der er ganget på e iθ. Vi mangler blot at udregne z : ( ) (3 ) z = 3 i i = i 3 i 9 9 = + ( ) = = = 4 = 5 = 5. Vi indsætter nu værdierne: z z = z z = 5 5 = 5 5 = 5 = 50. INDHOLD 5
6 Opgave 4 En homogen anden ordens dierentialligning er givet ved y + 3y y = 0. a. Find den fuldstændige løsning til dierentialligningen. Vi betragter det karakteristiske polynomium og nder rødderne: r + 3r = 0. Diskriminanten er da, D = 3 4 ( ) = = 5. Dermed er r = 3 ± 5 = 3 ± 5 4 Da vi har to reelle rødder bruger vi løsningsformen = {. hvorfor løsningen til opgaven er y(t) = c e r t + c e r t, y(t) = c e t + c e t. Alternativt kan man bytte rundt på konstanterne (det er jo stadig uspecicerede konstanter): y(t) = c e t + c e t. Det oplyses, at x p (t) = t er en partikulær løsning til x + 3x x = t +. Find den entydige løsning til begyndelsesværdiproblemet givet ved x + 3x x = 4t +, x(0) = 0, x (0) = 0. Bemærk først, at den partikulære løsning gælder for en højre side, hvor der står t +. I opgaven oplyses 4t +. Dette kan også skrives som (t + ). Altså er der blot ganget på. Fordi det er en konstant, der er ganget på, kan vi bruge superpositionsprincippet, hvor vi blot ganger samme tal på løsningen, altså. Den partikulære løsning til vores begyndelsesproblem er altså t 4. Vi fandt den fuldstændige løsning til den homogene dierentialligning i opgave a (det er lige meget, om der står x eller y, resultatet er gyldigt, selv hvis der havde stået ξ). Denne kan vi sætte sammen med den oplyste partikulære løsning, hvorved vi opnår: x(t) = c e t + c e t t 4. INDHOLD 6
7 Vi indsætter t = 0: x(0) = c e 0 + c e = c + c 4 = 0 c = 4 c. Vi kan også dierentiere x(t), således x (t) ndes: x (t) = c e t + c e t. Vi benytter så begyndelsesbetingelsen x (0) = 0: x (0) = c e 0 + c e 0 = c + c = 0. Bruger vi c = 4 c fra før, nder vi, at c + c = 0 (4 c ) + c = 8 + c + c = 5 c = 0. Gang med og divider med 5 på begge sider, og vi nder c : c = 0 0 = 5 5 = 4. Vi kan så indsætte denne værdi for c i c = 4 c : Vores løsning bliver da c = 4 c = 4 4 = 0. x(t) = 0e t + 4e t t 4 = 4e t t 4. INDHOLD 7
8 Opgave 5 En funktion er givet ved for en reel variabel x. f(x) = x + a. Find den dobbelt aedede f (x). Vi dierentierer først f én gang ved at bruge kædereglen. Lad y = x +. Hvis vi dierentierer y i forhold til y fås: ( y) = y. Dette svarer til den 'ydre funktion' dierentieret i kædereglen, hvor vi blot erstatter y med x +. Den ydre funktion dierentieret er altså givet ved. Den indre (x +) funktion er blot y = x +, hvilken vi dierentierer i forhold til x. Dette giver selvfølgelig y = x. Kædereglen giver os nu, at f (x) = y y = En anden måde, at skrive dette kan være f (x) = x (x + ) = x x +. x x + = x(x + ), som, jeg personligt synes, er lettere at dierentiere. Vi ser, at f indeholder et produkt, hvilket er mellem x og (x + ). Produktreglen siger i ord: 'Den ene dierentieret ganget med den anden udierentieret. Dette lægges sammen med den ene udierentieret ganget med den anden dierentieret'. Vi ved, at x dierentieret er. Så problemet ligger i (x + ). Lad y være som tidligere, så kan dette skrives y. Hvis vi dierentierer denne bliver dette til y = y 3. Vi kan da erstatte y med x +, hvorfor den ydre funktion dierentiereet bliver: (x + ) 3. Den indre funktion ved vi allerede fra tidligere, at den er x dierentieret. Altså bliver den aedede af (x + ) til x(x + ) 3. Produktreglen giver os nu, at f (x) = x ( x(x + ) 3 ) + ( ) (x + ). På brøkform bliver dette ( ) f x (x) = x + (x + ) (x + ) x = (x + ) 3 + (x + ). Vi kan forlænge den sidste brøk med (x + ) og få: x f (x) = + (x + ) 3 (x + ) x = (x + ) 3 + x + (x + ) 3 = (x + ) 3 = (x + ) x +. Bemærk, sidste omksrivning skyldes, at z 3 = ( z) 3 = ( z) z = z z. INDHOLD 8
9 b. Opskriv udtrykket for et anden ordens taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x = 0. Vi bruger formlen P (x) = f(0) + f (0)(x 0) + f (0)(x 0) = f(0) + f (0)x + f (0)x. Vi skal altså blot nde ud af, hvad f(0), f (0) og f (0) er. Vi får: f(0) = 0 + = = f 0 (0) = 0 + = 0 = 0. f (0) = Dermed er taylorpolynomiet: (0 + ) 0 + = = =. P (x) = + 0x + x = + x. INDHOLD 9
10 Opgave 6 Et område R i planen består af alle punkter inden for og på trekanten med hjørner i punkterne A = (, 0), B = (0, 0), C = (0, ). Et legeme med massetæthed δ(x, y) = x y dækker området R. a. Beskriv området R med uligheder. Vi tegner lige trekanten først: Vi kan se, at x ligger mellem og 0. Vi kan altså sige x 0. Endvidere går y fra 0 til. MEN, vi skal lige være opmærksomme på, at den afhænger af værdien af x. Den øvre grænse for y er nemlig den rette linje mellem A og C. Vi kan udregne en sådan linje ved at sige y = y y x x (x x ) + y. Vi sætter C = (x, y ) = (0, ) og A = (x, y ) = (, 0). Vi får: y = 0 (x 0) + = x +. 0 ( ) Vores variabel y er altså opadtil begrænset af linjen x +. Vores grænser er da x 0, 0 y x +. b. Hvad er den korrekte formel som giver legemets masse? Eftersom y i vores uligheder afhænger af x, skal y være den inderste integrationsvariabel, og dermed er x yderst. Funktionen vi skal integrere er tæthedsfunktionen, δ(x, y), når vi vil nde en masse. 0 x+ 0 δ(x, y) dy dx = 0 x+ 0 x y dy dx. Havde det været et areal eller volumen, I skulle nde, så ville funktionen, der skulle integreres, ikke være δ men. INDHOLD 0
11 Opgave 7 Et område R i planen består af alle punkterne med koordinater (x, y) som opfylder to uligheder x + y, 0 x. Find værdien af planintegralet Svar: R x x + y da. Vi kigger på polær integration! Husk, at x + y = r og x = r cos θ (sidste bruges lidt senere, lige nu skal vi først omskrive uligheder). Uligheden x + y kan da skrives r. Det betyder jo bare, at r, da kvadratroden af er. Endvidere kigger vi kun på positive radia. Derfor er 0 r. Derudover ser vi fra 0 x, at x skal være positiv. Det betyder, at vi kigger på. og 4. kvadrant. Altså skal vinklen variere fra π til π. π θ π. Hvis du hellere vil bruge 3π frem for π, så må du også det. Vi har nu vores grænser i det polære plan. Nu skal vi bare lige omskrive funktionen, der skal integreres, til polære koordinater. Men fra det første jeg noterede i denne opgave, så kan vi lave følgende omskrivning x x + y r cos θ r = cos θ r. En anden ting vi skal huske, når vi går fra kartesiske koordinater til polære koordinater, når vi integrerer, er, at vi skal gange med et r. Altså fås integralet π π 0 cos θ r dr dθ = r = = = π π π π π π π π 0 cos θ cos θ dr dθ 0 cos θ[r] 0 dθ cos θ dθ dr dθ = [sin θ] π π ( π ) ( = sin sin π ) = ( ) =. Ellers ville vi ende med at tage samme areal gange, hvis vi lod - være den nedre grænse. Det vill være fjollet. INDHOLD
12 Opgave 8 En ade F i rummet er bestemt ved ligningen F (x, y, z) = 0, hvor F (x, y, z) = cos(z) + z + xy x. a. Find ligningen for tangentplanen til F i punktet P = (, 0, 0). Vi dierentierer adens ligning i forhold til både x, y og z: F x (x, y, z) = y x, F y (x, y, z) = x, F z (x, y, z) = sin(z) +. Vi indsætter nu punktet i disse funktioner: F x (P ) = 0 =, F y (P ) =, F z (P ) = sin(0) + =. Tangentplanen er nu givet ved F x (P )(x P x ) + F y (P )(y P y ) + F z (z P z ) = 0, hvorfra vi får (x ) + (y 0) + (z 0) = x + + y + z = 0. Isoleres z opnås z = x y z = x y. Fra ligningen F (x, y, z) = 0, hvad er den partielle aedede z z i punktet P? Vi skal have fat i implicit funktionssætningen. Men for at holde det simpelt: Husk tilbage på formlen z x = F/ x F/ z = F x. F z Vi har fra forrige opgave, at F x (P ) = og F z (P ) =. Vi indsætter z x = = =. INDHOLD
13 Opgave 9 En funktion er givet ved for reelle variable x og y. f(x, y) = x xy + a. Bestem denitionsmængden for f. Vi skal se, hvornår det 'går godt' for funktionen. Oftest er det lettest at spørge sig selv, 'hvornår går det egentligt galt?' - Vi ser, at der er en kvadratrod. Vi må ikke tage kvadratroden af noget negativt i det reelle tilfælde. Derfor har vi kravet: x xy + 0. Vi kan så rokere rundt på tingene, som det passer. Så lad os lægge xy til på begge sider: x + xy, hvilket også kan skrives xy x +. b. Hvilket af punkterne er et kritisk punkt for f? Lad os dierentiere skidtet i første omgang. Det kræver brug af kædereglen. Så lad z = x xy +. Vi ved, at ( z ) = z, hvilket er den ydre funktion dierentieret. Hvis vi så dierentierer z i forhold til henholdsvis x og y ndes den indre funktion dierentieret: z x = 4x y, z y = x. Vi får altså de aedede til at være f x (x, y) = (4x y) z = (4x y) x xy +, f y(x, y) = ( x) z = ( x) x xy +. Der er to muligheder nu. Enten kan vi indsætte alle punkterne givet i opgaven. Jeg har ikke skrevet dem ind, for det gider jeg ikke. Den anden er at nde alle kritiske punkter matematisk. Det gør vi ved at sætte de aedede lig med 0, og nde de par af x og y, der opfylder disse ligninger: f x (x, y) = 0 (4x y) x xy + = 0 f y (x, y) = 0 ( x) x xy + = 0. Det gode er, at vi blot kan gange med nævneren på begge sider i begge ligninger. Men når vi ganger med den på højre side bliver det bare et nul. Når vi ganger den på venstre forsvinder nævneren. Vi står altså tilbage med: 4x y = 0 x = 0. INDHOLD 3
14 Det fremgår af den sidste, at x skal være 0. Indsættes den i ligningen ovenover nder vi, at 4 0 y = 0 y = 0. Altså skal både x og y være 0. Punktet (0, 0) er altså det eneste kritiske punkt. c. Hvad er den retningsaedede D u f(p ) i punktet P = (0, ) og. retning givet ved enhedsvektoren u =, Vi nder først gradientvektoren i punktet P, da f(p ) = f x (P ), f y (P ), bliver f(p ) = (4 0 ) 0 0 +, ( 0) = 0 0 +, 0. Altså er f(p ) =, 0. Vi kan nde D u f(p ) ved at sige f(p ) u. Det giver D u f(p ) =, 0, = + 0 = + 0 = 4. d. Hvilken enhedsvektor peger i den retning, hvor f aftager hurtigst i punktet P? Enhedsvektoren i retningen, hvor f aftager hurtigst, ndes ved at sige Vi kender allerede f(p ) f(p ). f(p ) =, 0. Længden af gradientvektoren kan ses med det samme, da den ene koordinat er 0, hvorfor længden af vektoren er den absolutte værdi af den koordinat, som ikke er 0. Vi har, at f(p ) =. Dermed er, 0 =, 0 =, 0. Altså aftager f altså hurtigst i retningen, 0. INDHOLD 4
15 Opgave 0 Betragt følgende første ordens dierentialligning dy dx = 3y + yx. a. Dierentialligningen er seperabel. Ja. En dierentialligning er seperabel, hvis vi kan skrive den på formen P (y) dy dx = G(x). Det vil sige en funktion, der kun afhænger af y ganget på dierentialkvotienten. Og en funktion, der kun afhænger af x som står isoleret på højre side. Hvordan opnår vi det? Jamen hvis vi dividerer med y på begge sider i dierentialligningen, så får vi dy y dx = 3 + x. Så hvis vi lader P (y) = og G(x) = 3 + x, så har vi pludseligt formen. Derfor er y det et ja. b. Dierentialligningen har en løsning, der opfylder betingelsen y(0) =. Hvad er y() for denne løsning? Vi omskriver ligningen fra før til dy = 3 + x dx y ved at gange med dx på begge sider. Vi integrerer nu på begge sider y dy = 3 + x dx. Disse integraler bliver da til ln y = 3x + x + C, hvor C er en konstant. Vi nder nu C ved at bruge begyndelsesbetingelsen: ln = C = C. Dermed er ln y = 3x + x + ln. Vi opløfter nu til potens af eksponentialfunktionen og får ( e ln y = y = exp 3x + ) x + ln = exp (3x + ) x. Højresiden er altid positiv, så vi kan droppe absolut-værdierne ved y. Vi prøver at indsætte på x's plads: y = exp (3 + ) ( 6 = exp + ) = e 7. INDHOLD 5
16 c. Dierentialligningen har en anden løsning, der opfylder betingelsen y (0) =. Hvad er y(0) for denne løsning? Vi kan faktisk indsætte dette direkte i vores dierentialligning. dy dx = 3y + yx. Vi erstatter dy dx med y (0) =, og indsætter y(0) på y's plads samt sætter x = 0: = 3y(0) + 3y(0) 0 = 3y(0) y(0) = 3. INDHOLD 6
17 Opgave En kurve i planen er givet ved x = cos(t) + t y = t + t +. a. For hvilken værdi af t går kurven gennem punktet P = (, )? Lad os kigge på den udtrykket for y og indsætte på dennes plads. Vi får = t + t + 0 = t + t = t(t + ). Vi kan aæse de to muligheder for t af denne. Det er kun 0 og, der løser ligningen t + t + = (eller ligningen t(t + ) = 0). Vi kan hurtigt sige, at ikke kommer til at give x =, da cos( ) så skulle give 3. Men cosinus kan ikke overstige. Vi prøver så med 0 og ser, at x = cos =. Altså skal t = 0. b. Hvad er kurvens krumning i P? Vi skal dierentiere udtrykkende to gange: x (t) = sin(t) +, x (t) = cos(t), y (t) = t +, y (t) =. Vi indsætter nu t = 0 i disse: x (0) = sin 0+ =, x (0) = cos 0 =, y (0) = 0+ =, y (0) =. Krumningens formel er givet ved x y x y (x ) + (y ) 3. Indsættes de fundne værdier fås ( ) + 3 = = 4 = c. Hvilken parametrisering af tangentlinjen til kurven i punktet P har konstant fart? Lad os først opstille en parametrisering af tangentlinjen til kurven i punktet P. Vi bruger punktet P som vores 'startpunkt'. Endvidere gav forrige opgave, at x (0) = og y (0) =. Her er x og y hældningerne, det vil sige, de skal ganges på t. Punktet P = (, ) står isoleret. Konkret betyder det, at linjen kan parametriseres + t, + t. Lad os dierentiere indgangene i denne (vi skal bruge aedede for at nde farten af en kurve). Vi får,. INDHOLD 7
18 Farten er da v(t) = + = + 4 = 5. Bemærk, det er kun hældningen, der skal påvirkes, da startpunktet ikke har indydelse på farten. Vi dividerer altså kun hældningerne og får: + t 5, + t 5. INDHOLD 8
19 Opgave Figuren nedenfor viser grafen for en funktion r = f(θ), 0 θ π, afbildet i polære koordinater. En af forskrifterne i listen svarer til guren. Hvilken? f (θ) = sin(4θ) cos(4θ), f (θ) = sin(4θ), f 3 (θ) = cos(4θ), f 4 (θ) = θ sin(4θ), f 5 (θ) = cos(θ), f 6 (θ) = + sin(θ). Svar: Jeg bruger udelukkelsesmetoden og har derfor givet funktionerne forskellige numre. Jeg aæser på guren, at θ = 0 skal give en radius på. Vi indsætter: f (0) = sin(4 0) cos(4 0) = 0 =, f (0) = sin(4 0) = 0 =, f 3 (0) = cos(4 0) = =, f 4 (0) = 0 sin(4 0) = 0 f 5 (0) = cos( 0) =, f 6 (0) = + sin( 0) =. Det er altså kun f 3 og f 5, der opfylder, at f(0) =. Vi ser til gengæld, at funktionen går helt ud til 3. Men da cos ikke kan få større værdier end, kan f 5 ikke ramme værdier større end. Derfor skal det være f 3, der er svaret, da denne trods alt har cos(4θ), så hvis cosinus-ledet bliver bliver funktionsværdien 3. Dette er altså det eneste mulige svar. INDHOLD 9
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013
Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereReeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014
Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereReeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereReeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013
Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereÆstetik og reduktioner Matematisk takt og tone. Mikkel Findinge
Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone Mikkel Findinge Indhold Indledning. Hvad er god matematisk skik?...................... Starttips før ulvehyl 4. Primtalsfaktorisering...........................
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereKomplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015
Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereKapitel 1. Planintegraler
Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mere