MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen

Transkript

1 MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO

2 Oversigt Invertible og lokalt invertible funcktioner af en variabel af flere variable

3 Invertibel funktion f : U V En funktion f : U V er invertibel hvis der for ethvert y V findes netop et x U så f (x) = y. Funktionen f : U V er invertibel hvis og kun hvis der findes en invers funktion U V : f 1 sådan at f 1 f og f f 1 er identitetsfunktioner. Den inverse funktion: For y V find det x U så f (x) = y. Da er f 1 (y) = x. Lokalt invertibel funktion f : (R n, x 0 ) (R n, y 0 ) En funktion f : R n R n er lokalt invertibel nær x 0 R n hvis der findes omegne U R n af x 0 og V R n af f (x 0 ) så V f U : U V er invertibel. Den lokale inverse nær x 0 : For y f (x 0 ) find det x x 0 så f (x) = y. Da er f 1 (y) = x.

4 Invertible og lokalt invertible funktioner R R f : R R, f (x) = x 3, er invertibel med invers f 1 (y) = 3 y. f : R R, f (x) = x 2, er ikke invertibel. f : R R, f (x) = x 2, er lokalt invertibel nær ethvert x 0 0. Den lokale inverse nær x 0 er f 1 (y) = { y x0 > 0, y x 2 0 y x 0 < 0, y x 2 0 f : R R, f (x) = x 2, er ikke lokalt invertibel nær x 0 = 0: For y 0 findes ikke et entydigt bestemt x 0 så x 2 = y.

5 Eksempel på lokal invers f (x) f (x) = x 2 + 2x < 3 2 y > > y 1 1 x

6 Invers funktion sætning for f : R R y = ax + b har en entydig løsning for x a 0 y = f (x) har nær x 0 en entydig løsning for x f (x 0 ) 0 Hvis f : R R er C 1 og x 0 R så gælder: f har en lokal invers nær x 0 f (x 0 ) 0 og den lokale inverse f 1 har i f (x 0 ) differentialkvotient df 1 dy (f (x 0)) = df dx (x 0) 1 f (x 0 + x) y 0 + a x x 0 + a 1 y f 1 (y 0 + y)

7 Lokale inverse x 2 g 2 f f y 0 x 1 g 1 Hvis f (x 1 ) = y 0 og f (x 2 ) = y 0 og f (x 1 ) 0, f (x 2 ) 0, så findes lokale inverse defineret nær y 0 og med værdier nær x 1 og x 2. g 1 (y 0 + y) x 1 + f (x 1 ) 1 y g 2 (y 0 + y) x 2 + f (x 2 ) 1 y

8 Invertible funktioner R n R n Invers funktion sætning handler om at løse ligninger Antag at vi har en ligning af formen f (x) = y, f : R n R n, x R n, y R n Kan vi finde x udtrykt ved y? Problemet er altså Hvornår kan vi entydigt løse ligningen f (x) = y for x? Findes der en funktion g : R n R n så f (x) = y x = g(y)

9 Invers Funktion Sætning Antag at X, Y R n er åbne, f : X Y er C 1. f er lokalt invertibel nær x 0 Df (x 0 ) er invertibel det Df (x 0 ) 0 Den lokale invers f 1 nær x 0 er C 1 med Jacobi matrix i f (x 0 ) D(f 1 )(f (x 0 )) = Df (x 0 ) 1 Den lineære approximation til den lokale inverse nær x 0 er f 1 (f (x 0 ) + y) x 0 + Df (x 0 ) 1 y for y 0.

10 af flere variable Implicit givne lineære funktioner A m n matrix, B invertibel m m matrix x 1 A. + B x n y 1. y m = b 1. b m y 1. = B 1 y m b 1. b m B 1 A Hvis matricen B foran y er invertibel, så kan vi bruge ligningen Ax + By = b til at finde y udtrykt ved x. De fri variable x parametriserer løsningsmængden og y er implicit givet som funktion af x. ( ) m ligninger n + m variable ( ) m bundne variable n fri variable x 1. x n

11 af flere variable for begyndere Antag at F : R R R er funktionen F(x, y) = ax + by hvor y = b 0. 1 Vi kan løse ligningen F(x, y) = c for y. Vi får nemlig at F(x, y) = c y = 1 b c 1 b ax 2 Den afledte funktion af funktionen y(x) implicit givet ved ligningen F(x, y) = c er ( ) y 1 x = a b = y x 3 Den lineære approksimation til funktionen y(x) er ( ) 1 y(x 0 + x) y 0 y (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) x

12 af flere variable Implicit Funktion Sætning i variable Antag at F : R R R er C 1, F(x 0, y 0 ) = 0 og y (x 0, y 0 ) 0. 1 Der findes en omegn U af x 0 og en omegn V af y 0 så ligningen F(x, y) = 0 for ethvert x i U har netop en løsning y = y(x) i V. 2 (x, y(x)) + (x, y(x)) y (x) = 0 for alle x U x y x (implicit differentiation) ( ) y 3 1 x (x) = (x, y(x)) (x, y(x)) for alle x U y x ( ) 4 1 y(x 0 + x) y 0 y (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) x for x tæt ved 0 (lineær approksimation)

13 af flere variable Cardioide Tangenten til F 1 (0) x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0 er graf for funktionen y = y 0 x (x 0,y 0 ) (x x y (x 0,y 0 ) 0) når y (x 0, y 0 ) 0 F(x, y) = (x 2 + y 2 2x) 2 4(x 2 + y 2 ), (x 0, y 0 ) = (1 + 2, 1 + 2) x (x 0, y 0 ) = 4(x y 2 0 2x 0)(x 0 1) 8x 0 y (x 0, y 0 ) = 4y 0 (x y 2 0 2x 0) 8y 0

14 af flere variable Lemniscate F(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 2(x 2 y 2 ) DF (x 0, y 0 ) = ( x y ) = (4x 0 (x0 2 + y 0 2 1) 4y 0(x0 2 + y )) 0-niveauet for F omkring (x 0, y 0 ) er en graf hvis y 0 0. Hvis y 0 0 så er F 1 (0) nær (x 0, y 0 ) graf for en funktion y = y(x) med y(x 0 ) = y 0 og y (x 0 ) = x 0(1 x 2 0 y 2 0 ) y 0 (1 + x y 2 0 )

15 af flere variable for let øvede Med et (lineært) ligningssystem bestående af 2 ligninger med 5 ubekendte 2x 1 + x 2 x 3 + y 1 + y 2 = 3 3x 1 2x 2 + x 3 + 2y 2 3y 2 = 4 ( ) ( ) ( ) x 1 1 y1 + = ( y1 y 2 ) = ( x 2 x 3 y 2 ( ) 3 4 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) x x x 3 kan vi bruge de to ligninger til at udtrykke to variable (y 1 og y 2 ) ved de andre tre (fri) variable (x 1, x 2 og x 3 ) hvis matricen foran y 1 og y 2 er invertibel. Løsningsmængden kan parametriseres ved de tre fri variable x 1, x 2, x 3.

16 af flere variable Implicit Funktion Sætning handler om at løse ligninger Hvis vi har m ligninger med n + m ubekendte skrevet på formen F(x, y) = 0, F : R n R m R m, x R m, y R n kan vi bruge dem til at udtrykke m variable ved de resterende n fri variable? Kan vi isolere y på den ene side af lighedstegnet? F 1 (x, y) = 0 y 1 = y 1 (x) F(x, y) = 0?. F m (x, y) = 0 Findes der en funktion y : R n R m så F(x, y) = 0 y = y(x). y m = y m (x) y = y(x) Kan vi parametrisere løsningsmængden F 1 (0) ved de n fri x-variable?

17 af flere variable Linearisering Antag F(x 0, y 0 ) = b. Ligningen F(x 0 + x, y 0 + y) = b lineariserer til ligningen ( ) ( ) x (x 0, y 0 ) y (x x 0, y 0 ) = 0 y som vi kan bruge til at bestemme y = y (x 1 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) x hvis matricen y (x 0, y 0 ) er invertibel.

18 af flere variable Implicit Funktion Sætning Antag at F : R n R m R m er C 1, F(x 0, y 0 ) = 0 og y (x 0, y 0 ) er invertibel. 1 Der findes en omegn U af x 0 og en omegn V af y 0 så ligningen F(x, y) = 0 for ethvert x U har netop en løsning y = y(x) V. 2 (x, y(x)) + (x, y(x)) y (x) = 0 for alle x U x y x (implicit differentiation) ( ) y 3 1 x (x) = (x, y(x)) (x, y(x)) for alle x U y x ( ) 4 1 y(x 0 + x) y 0 y (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) x for x tæt ved 0 (lineær approksimation)

19 af flere variable Koodinatfunktioners gradienter er ortogonale til F 1 (0) Antag F : R n R m og F(x 0 ) = 0 hvor F 1 (x 0 ) DF (x 0 ) =. F m (x 0 ) har fuld rang. Tangentrummet i x 0 til F 1 (0) T x0 F 1 (0) = x 0 + DF(x 0 ) 1 (0) = x 0 +{ F 1 (x 0 ),..., F m (x 0 )} er det (n m)-dimensionale underrum af R n med ligning DF(x 0 )(x x 0 ) = 0 for det består af de vektorer der afsat fra x 0 er vinkelret på gradienterne for de m koordinatfunktioner.

20 af flere variable Hvis x 3 y 3 + 2z 3 xyz = 1 kan vi finde z? F(x, y, z) = x 3 y 3 + 2z 3 xyz F(1, 1, 1) = 1 (1, 1, 1) = (2, 4) (x, y) (1, 1, 1) = (5) z Løsningsmængden F 1 (1) nær (1, 1, 1) kan parametriseres med fri variable (x, y) og en funktion z = z(x, y) med z (1, 1) = (x, y) z (1, 1, 1) 1 (1, 1, 1) = ( 2/5, 4/5) (x, y) z(1 + x, 1 + y) x y F (1 + x, 1 + y, x y) 0

21 af flere variable Hvis x 3 xy + z 2 = 1, x + y + z = 1 kan vi finde y, z? (y, z) x ( x F(x, y, z) = 3 xy + z 2 x + y + z ), F(1, 0, 0) = ( ) 1 1 Løsningsmængden F 1 (1, 1) er en kurve i R 3 ( ) (1, 0, 0) = (x, y, z) = ( ) ( ) (1, 0, 0) 1 (1, 0, 0) = = (y, z) x ( ) ( ) ( ) x (y, z)(1 + x) + ( x) = x ( ) 1 F(1 + x, 3 x, 4 x) 1 ( ) 3 4

22 af flere variable Implicit FS = Invers FS Lad f : R n R n med invertibel Df (y 0 ). Funktionen F : R n R n R n, F(x, y) = x f (y) har invertibel y. Derfor findes g : R n R n så x = f (y) F (x, y) = 0 y = g(x) Lad F : R n+m R m med invertibel y (x 0, y 0 ). Så har (x, y) (x, F(x, y)) en invers, Φ = (Φ 1, Φ 2 ). Vi har F(x, y) = 0 (x, F(x, y)) = (x, 0) (x, y) = Φ(x, 0) (x, y) = (Φ 1 (x, 0), Φ 2 (x, 0)) x = Φ 1 (x, 0), y = Φ 2 (x, 0)