Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018

Transkript

1 Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018

2 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde Produktmængde Funktioner Polynomier Generelle egenskaber Eksponentielle udviklinger eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Trigonometriske funktioner Grænseovergange Hvad er en grænseovergang? Kontinuitet

3

4 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde Produktmængde Funktioner Polynomier Generelle egenskaber Eksponentielle udviklinger eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Trigonometriske funktioner Grænseovergange Hvad er en grænseovergang? Kontinuitet

5 Aksiomer og den matematiske metode 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem 3) Hvad vil det sige at deducere? 4) Hvordan skal vi vælge vores aksiomer? Ikke-redundans, konsistens og komplethed. 5) Gõdels sætning.

6 Euklids Aksiomer 1) Mellem to punkter kan altid trækkes en ret linje. 2) Ethvert linjestykke kan forlænges til en vilkårligt lang ret linje. 3) Givet et vilkårligt linjestykke kan tegnes en cirkel, som har linjestykket som radius og centrum i et af endepunkterne. 4) Alle rette vinkler er ens. 5) Parallel postulatet: Hvis to linjer skærer en tredje linje, så summen at de to indre vinkler er mindre end to rette vinkler, da skærer de to linjer hinanden, hvis de forlænges nok.

7 Zermelo-Fräenkels Aksiomer Definition: En mængde A er en samling af objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). Russells paradoks: I en by bor der en barber, som kun barberer alle dem, som ikke barberer sig selv. Men hvem barberer barbereren? Zermelo-Fräenkels aksiomer 1) Der eksisterer en mængde, hvori ingen elementer er medlem. 2) For ethvert par af mængder findes der en mængde bestående af netop alle elementer fra de to første mængder. 3)... 4) I enhver ikke-tom mængde A, der findes et element a A, som ikke har elementer tilfælles med A.

8 Formalistisk struktur Definition Afgrænsning og beskrivelse af et begreb. Lemma Hjælperesultat. Bruges om et mindre resultat, som bruges i beviset for en et større resultat (en sætning). Sætning Et vigtigt resultat. Korollar Følgeresultat. Bruges om et resultat, der følger (næsten) direkte af en sætning eller er et vigtigt specialtilfælde af en sætning.

9

10 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde Produktmængde Funktioner Polynomier Generelle egenskaber Eksponentielle udviklinger eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Trigonometriske funktioner Grænseovergange Hvad er en grænseovergang? Kontinuitet

11 Introduktion Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. 2) Simple, uendelige mængder: B = {b 1, b 2, b 3,... }. 3) Talmængderne N, Z, Q, R. 4) Mængder med betingelser: X = {x R z R : x z = z} og Y = {x R n Z : 2n = x} 5) Intervaller: [a, b] = {x R a x b} [a, b) = {x R a x < b} [a, ) = {x R a x} (, b) = {x R x < b}

12 Definitioner Definition 1 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x X : x A def x B Bemærkning 2 Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne. Sætning 3 Der er kun én mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Definition 4 Den entydige mængde uden elementer kaldes den tomme mængde og betegnes med.

13 Delmængder Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B. Med symboler har vi hvor vi benævner X vores univers. A B def x X : x A x B Bemærkning 6 Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A A. Bemærkning 7 Hvis man skal vise, at en mængde A er en delmængde af en mængde B, gælder det om at vise, at ethvert element i A også er et element i B. Det gøres ved at undersøge et vilkårligt element i A og vise, at det også ligger i B. Derfor starter beviser af denne type med ordene Lad x A. Eksempel 8 Vis at {x R x 2 < 4} {x R x < 5}

14 Delmængder Sætning 9 Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er en mængde, så gælder det A Sætning 10 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis og kun hvis (A B) (B A). Bemærkning 11 Hvis man vil vise, at to mængder A og B er lig hinanden, er det ofte lettest at vise, at A B og B A.

15 Fællesmængde Definition 14 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x X (x A) (x B)} eller x X : x A B (x A) (x B) Bemærkning 15 Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i begge mængder. Eksempel 16 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 17 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at A B A, og A B B

16 Foreningsmængde Definition 18 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der er i A eller/og i B kaldes for foreningsmængden af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x X (x A) (x B)} eller x X : x A B (x A) (x B) Bemærkning 19 Når man skal vise, at et element ligger i foreningsmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder. Eksempel 20 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 21 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af foreningsmængden at A A B og B A B

17 Produktmængde Definition 24 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Definition 25 Lad A og B være mængder, hvor A X, B Y. Vi definerer produktmængden af A og B som A B = {(a, b) X Y a A, b B} hvor X Y = {(x, y) x X, y Y} er vores univers. Eksempel 26 Betragt mængderne A = {1, 2} og B = {a, b, c}. Bestem A B. Bemærkning 27 Vi skriver ofte A 2 i stedet for A A, A 3 i stedet for A A A osv.

18 Produktmængde Eksempel 28 Hvordan kan R illustreres? Hvad med R 2? R 3? R n? Eksempel 29 Opskriv sandhedsmængden for (1, 2] [3, 4]. Illustrer herefter mængden i planen. Definition 30 Lad A 1, A 2,..., A n være mængder. Produktmængden mellem disse mængder er da givet ved A 1 A 2... A n = {(x 1, x 2,, x n ) x 1 A 1, x 2 A 2,..., x n A n }

19

20 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde Produktmængde Funktioner Polynomier Generelle egenskaber Eksponentielle udviklinger eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Trigonometriske funktioner Grænseovergange Hvad er en grænseovergang? Kontinuitet

21 Funktioner - Intuition En funktion f : A B sætter elementer fra mængden A i relation til elementer i B. Vi har dog ét krav: For ethvert a A skal være netop ét b B.

22 Funktioner - Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! 1) A er en endelig mængde. 2) f opfører sig ensartet for alle elementer i A. 3) f opfører sig ensartet i delmængder af A. 4) f kan ikke skrives med de sædvanlige regneoperationer.

23 Funktioner - Stringent Definition: En relation R defineres som en ordnet tripel (X, Y, G), hvor G er en delmængde af X Y. Mængderne X og Y kaldes henholdsvis domænet og codomænet hørende til relationen, mens G kaldes relationens graf. Definition: En relation f = (X, Y, G) kaldes en funktion, hvis der for alle x X eksisterer netop ét y Y, så (x, y) G. Mere formelt 1) x X, y Y : (x, y) G. 2) x X, y 1, y 2 Y : (x, y 1 ) G (x, y 2 ) G y 1 = y 2. Den unikke værdi y for f i x noteres f(x). Vi noterer funktionen f : X Y. Eksempel Lad f : N R være givet ved forskriften f(x) = πx + 4. Da er f en relation, hvor X = N Y = R G = {(x, y) N R y = πx + 4}

24 Polynomier Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 (x) = ax 2 + bx + c, a 0 - Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene. - Størrelsen af a (og b) har betydning for stejlheden af parablen. - Konstantleddet c angiver skærring med Y-aksen. - Men hvad så med b? Vi husker formlen for løsning af andengradsligninger, ax 2 + bx + c = 0, nemlig x = b ± b 2 4ac 2a

25 Faktorisering af Andengradspolynomier Lemma: Lad r 1, r 2 være rødder for polynomiet P(x) = ax 2 + bx + c, a 0, altså P(r 1 ) = 0 og P(r 2 ) = 0 Da gælder r 1 + r 2 = b a og r 1 r 2 = c a Sætning: Lad P være et andengradspolynomium på formen P(x) = ax 2 + bx + c, a 0 Lad endvidere r 1, r 2 være rødder for P. Da gælder P(x) = a(x r 1 )(x r 2 ), a 0

26 Toppunkt for Andengradspolynomier Sætning: Lad P være et andengradspolynomium på formen P(x) = ax 2 + bx + c, a 0 Da har P sit toppunkt T i ( T = b ) 2a, b2 4ac 4a

27 Opsummering og Opgaver Lad P : R R være givet ved forskriften Da har P følgende rødder P(x) = ax 2 + bx + c, a 0 r 1 = b + b 2 4ac 2a og r 2 = b b 2 4ac 2a Toppunktet for P er givet ved følgende formel ( T = b ) 2a, b2 4ac 4a P kan faktoriseres som P(x) = a(x r 1 )(x r 2 )

28 Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet Lad f : X Y være en funktion. Injektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige tilhørende funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. Vi har altså, at f er injektiv, hvis x 1, x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Til enhver værdi y Y er der altså HØJST én værdi x X, så f(x) = y. Surjektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst ét x X, så f(x) = y. Vi har altså, at f er surjektiv, hvis y Y, x X : f(x) = y Til enhver værdi y Y er der altså MINDST én værdi x X, så f(x) = y. Bijektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv. Vi har altså, at f er bijektiv, hvis y Y,!x X : f(x) = y Til enhver værdi y Y er der altså NETOP én værdi x X, så f(x) = y.

29 Inverse funktioner Definition: Lad f : X Y og g : Y Z være to funktioner. Vi definerer da den sammensatte funktion g f : X Z ved x X : g f(x) = g(f(x)) Definition: Lad f : X Y være en funktion. Den inverse funktion til f betegnes f 1 : Y X og opfylder 1) x X : f 1 f(x) = x og 2) y Y : f f 1 (y) = y Opgave Hvad skal der gælde om f, før vi med sikkerhed kan sige, at der findes en f 1, som opfylder både 1) og 2)? - Er 1) opfyldt, når f er injektiv? Er 2) opfyldt? - Er 1) opfyldt, når f er surjektiv? Er 2) opfyldt? - Hvornår er både 1) og 2) opfyldt? HUSK: f 1 : Y X er kun en funktion, hvis der for alle y Y findes NETOP ÉT x X, så f 1 (y) = x.

30 Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. 3) En funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. 4) En funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst et x X, så f(x) = y. 5) En funktion f : X Y er bijektiv, hvis den er både injektiv og surjektiv. 6) En funktion f : X Y har en invers funktion f 1 : Y X, hvis og kun hvis f er bijektiv.

31 Eksponentielle udviklinger Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). Funktioner af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder - Renteformlen givet ved K n = K 0 (1 + r) n hvor K n angiver antal kroner i banken efter n terminer, når man har sat K 0 kroner ind på en konto med rente r. - Stråling fra radioaktivt stof aftager (dvs. 0 < a < 1) eksponentielt, hvor a og b afhænger af det specifikke stof. - Temperaturforskellen mellem en varm småkage og den konstante stuetemperatur aftager eksponentielt.

32 Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. 3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1 12 = 8, 3%. 4) Nykredit Bank tilbyder dig en daglig rente på = 0, %. Alle banker forlanger, at du låser din formue i 1 år! Hvilket tilbud tager du? Og hvorfor? SVAR: K 1 = (1 + 1) 1 = 2, ( K 2 = ) 2 = 2, ( K 12 = ) 12 = 2, ( K 365 = ) 365 =

33 Det naturlige tal e Definition: Vi definerer det naturlige tal e ved e = lim n ( n ) n Lad os omdefinere eksponentielle udviklinger. Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = b e kx, k 0, b > 0 Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne k og b. - Konstanten b angiver skærringspunktet med X-aksen. - Når k < 0 er funktionen aftagende. Når 0 < k er funktionen voksende.

34 Eksponentialfunktioner Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = a x, a > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentialfunktion. Vi kan da sige følgende om grafen for f. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Skæringspunktet med Y-aksen er altid (0, 1). Vi har særlig interesse i den naturlige eksponentialfunktion f(x) = e x Denne funktion har nemlig super pæne egenskaber - som vi skal se senere. Til slut ser vi at funktionen f : R R + givet ved forskriften f(x) = a x er bijektiv. Specielt er den naturlige eksponentialfunktion bijektiv.

35 Opgaver Lad f : R R være en eksponential udviklingen, dvs. f(x) = b e kx, k 0, b > 0 Det oplyses at k < 0. 1) Skitser grafen for f. 2) Det oplyses, at f(0) = 4. Hvad kan vi sige om b? 3) Det oplyses, at f(2) = 4e 1. Hvad kan vi sige om k? Antag at det oplyses f(x 1 ) = y 1 og f(x 2 ) = y 2. Vis at ( e k y2 = y 1 ) 1 x 2 x 1

36 Logaritmefunktioner Lad f : R R + være givet ved forskriften f(x) = a x, hvor a > 0 og a 1. Vi definerer nu den entydigt bestemte funktion g : R + R, som opfylder x R : g f(x) = x og x R + : f g(x) = x Vi vil fremover angive g ved forskriften g(x) = log a (x) (læs: logaritmen med grundtal a af x). Særligt definerer vi den naturlige logaritme ln = log e. For at udregne log a (x) skal man spørge: Hvilket tal skal a opløftes i for at få x? Sætning: For alle a, b R + og n R gælder følgende 1) log(a) + log(b) = log(ab). 2) log(a) log(b) = ( ) a log b. 3) log(a n ) = n log(a). Sætning: Lad a, b R + med a, b 1 og x R +. Da fås følgende relation log a (x) = log b(x) log b (a)

37 Opsummering og Opgaver Sætning: For alle a, b R + og n R gælder følgende 1) ln(a) + ln(b) = ln(ab). 2) ln(a) ln(b) = ( ) a ln b. 3) ln(a n ) = n ln(a). Huskeregel For at udregne log a (x) skal man spørge: Hvilket tal skal a opløftes i for at få x?

38 Enhedscirklen Definition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Enhedscirklen kan altså illustreres grafisk således. Enhedscirklen har radius 1, og derfor er omkredsen 2π.

39 Enhedscirklen Lad os nu tænke os, at vi starter i punktet (1, 0) og bevæger os afstanden x langs enhedscirklen cirkelbue mod urets retning. Vi når da et bestemt punkt på enhedscirklen. Punktets koordinater i planen giver os mulighed for at definere cosinus og sinus.

40 Enhedscirklen Definition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet. Definition: Vi definerer sin(x) som andenkoordinaten til punktet. Hvis x > 2π når vi hele vejen rundt på enhedscirklen og må påbegynde et nyt omløb. Vi ser altså at cos(x + n 2π) = cos(x) og sin(x + n 2π) = sin(x), n N

41 Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer.

42 Sinus og cosinus Sætning (idiotformlen): For alle x R gælder at sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Sætning (additionsformlerne): For alle x, y R gælder at sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) Sætning(overgangsformlerne): For alle x R gælder at sin(x + π 2 ) = cos(x) cos(x + π 2 ) = sin(x)

43 Sinus og cosinus Grafen for henholdsvis sinus og cosinus er en bølge. Dette er en af årsagerne til deres mange anvendelser - fx i fysik.

44

45 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde Produktmængde Funktioner Polynomier Generelle egenskaber Eksponentielle udviklinger eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Trigonometriske funktioner Grænseovergange Hvad er en grænseovergang? Kontinuitet

46 Hvad er en grænseovergang? - Intuition Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R ligge tæt på X, så f er defineret tæt på a. Hvis a X er f(a) veldefineret, men har ingen betydning for grænseværdien. Derimod er værdien for f(x), hvor x ligger vilkårligt tæt på a, afgørende. Hvis der findes et tal b R, så f(x) ligger tæt ved b, når blot x ligger tilstrækkeligt tæt ved a, da siger vi at f(x) konvergerer mod b i grænseovergangen for x gående mod a. eller f(x) b, når x a lim f(x) = b x a Hvis der ikke findes b R, så f(x) nærmer sig b, når x nærmer sig a, siger vi at f(x) divergerer i grænseovergangen for x gående mod a.

47 Hvad er en grænseovergang? - Intuition Lad f : R R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R være et punkt i X, så f er defineret tæt på a. Hvis f(x) vokser (aftager) uden en øvre (nedre) grænse, når x nærmer sig a, siger vi at f(x) divergerer. Vi skriver eller f(x), når x a lim f(x) = x a Hvis f(x) nærmer sig en værdi b R, når x vokser (aftager) uden en øvre (nedre) grænse, siger vi igen f(x) konvergerer og skriver eller f(x) b, når x lim f(x) = b x

48 Hvad er en grænseovergang? - Eksempler Lad f : R R være givet ved forskriften f(x) = x x Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 0. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 0. x f(x) ?? Lad g : R R være givet ved forskriften g(x) = 13 x 7 Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 7. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 7. x f(x) ??

49 Hvad er en grænseovergang? - Stringent Lad f : X R være en funktion, hvor X R og lad a ligge i eller tæt på X. Lad endvidere b R. Vi siger da, at f har b som grænseværdi ved grænseovergangen x a, x X (læs: x gående mod a fra X), og vi skriver f(x) b for x a, x X eller lim x a f(x) = b for x X hvis ε > 0 δ > 0 x X : x a < δ f(x) b < ε For alle ε større end 0, der findes et δ større end 0, så for alle x der ligger i X gælder: NÅR afstanden fra x til a er mindre end δ, SÅ er afstanden fra f(x) til b er mindre end ε.

50 Hvordan finder man grænsen stringent? Lad f : ( 1, ) \ {0} R være givet ved forskriften f(x) = x x Vi undersøger grænseovergangen x 0. Vi har tidligere set, at grænseværdi b = 1 2 er et oplagt gæt. Vi får f(x) 1 x = 1 x 2 = 2 x x 2x = ( x + 1 1) 2 ( ) x 2 2x x 0 2x hvor ( ) følger da, for x > 0 fås og for x < 0 fås Vi kan altså vælge δ = ε. x = x x = x = x x = 1 x x 1 = x = x

51

52 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde Produktmængde Funktioner Polynomier Generelle egenskaber Eksponentielle udviklinger eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Trigonometriske funktioner Grænseovergange Hvad er en grænseovergang? Kontinuitet

53 Kontinuitet Definition: Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Vi siger, at f er kontinuert i a X, hvis f(x) f(a) for x a, x X eller lim x a f(x) = f(a) for x X altså hvis ε > 0, δ > 0, x X : x a < δ f(x) f(a) < ε Definition: Vi siger at en funktion f : X R er kontinuert, hvis f er kontinuert i ethvert a X.