Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
|
|
- Viggo Vestergaard
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt og elegant. De følgende sider viser hvordan; det er dog ikke alt der er idel fryd og gammen: der skal forskellige lidt tekniske krumspring til for simpelt hen at kunne definere den flerdimensionale normalfordeling. På side 7f gives en kort genopfriskning af notation, definitioner og sætninger fra lineær algebra. Flerdimensionale stokastiske variable En n-dimensional stokastisk variabel X kan opfattes som et talsæt af n endimensionale stokastiske variable, eller som en stokastisk vektor i V R n ) hvis koordinater i standardkoordinatsystemet er n endimensionale stokastiske variable. Middelværdien af X er talsættet bestående af middelværdierne af de enkelte koordinater: EX EX 2 EX. EX n eller den vektor EX for hvilken E u, X ) u, EX for alle u V i begge tilfælde forudsættes det at alle de optrædende endimensionale stokastiske variable har middelværdi. Variansen af X er den symmetriske positivt semidefinitte matrix hvis i, j)-te element er CovX i, X j ): VarX VarX CovX, X 2 ) CovX, X n ) CovX 2, X ) VarX 2 CovX 2, X n ) CovX n, X ) CovX 2, X n ) VarX n
2 Lineære normale modeller ) Side 2 af 8 eller variansen er den symmetriske, positivt semidefinitte lineære afbildning VarX for hvilken Cov u, X, v, X ) u, VarX)v for alle u, v V eller variansen er den kvadratiske form u Var u, X ). I alle tilfælde forudsættes det at alle de optrædende endimensionale stokastiske variable har endeligt andet moment. Ud fra definitionerne viser man let SÆTNING. Lad X være en n-dimensional stokastisk variabel, og antag at X har middelværdi og varians. Hvis A er en lineær afbildning fra R n til R p [eller en p n-matrix], og b er en konstant vektor i R p [eller en p -matrix], så er EAX + b) AEX) + b VarAX + b) AVarX)A For en endimensional stokastisk variabel X gælder som bekendt at hvis VarX 0, så er X med sandsynlighed konstant. Her er en generalisation til flerdimensionale stokastiske variable: SÆTNING.2 Lad X være en n-dimensional stokastisk variabel med middelværdi 0 og varians Σ. Så gælder at X med sandsynlighed ligger i billedrummet for Σ. BEVIS Lad L være billedrummet for Σ. Sætningens påstand er at PX L) eller sagt på en anden måde: PX L ). Lad d dim L. Hvis d 0, er der intet at vise, så antag at d > 0. Vælg en basis u, u 2,..., u d for L. Da L er nulrummet for Σ Korollar A.2), er Var u j, X ) u j Σu j 0, og derfor er P u j, X 0), dvs. PX u j ). Da X L X u j, j, 2,..., d, er P X L ) P d {X u j } j hvor det sidste lighedstegn kommer af at en fællesmængde af endeligt eller tælleligt) mange hændelser med sandsynlighed er en hændelse med sandsynlighed. KOROLLAR.3 Hvis X har middelværdi µ og varians Σ, så ligger X med sandsynlighed i sideunderrummet {µ + Σu : u R n }.
3 Lineære normale modeller ) Side 3 af 8 2 Den flerdimensionale normalfordeling I dette afsnit skal vi indføre den flerdimensionale normalfordeling og vise at hvis X er n-dimensionalt normalfordelt med parametre µ og Σ, og hvis A er en p n-matrix og b en p -matrix, så er AX + b p-dimensionalt normalfordelt med parametre Aµ + b og AΣA. Da man kan komme ud for at fordelingen med sandsynlighed er koncentreret på et ægte sideunderrum jf. Korollar.3), kan man ikke uden videre benytte en generel definition baseret på tæthedsfunktioner. I stedet går vi frem i flere skridt. DEFINITION Den n-dimensionale regulære normalfordeling med middelværdi µ og varians Σ > 0 er den n-dimensionale fordeling hvis tæthedsfunktion er f x) ) 2π) n/2 det Σ /2 exp 2 x µ) Σ x µ), x R n ) Den n-dimensionale standardnormalfordeling er den n-dimensionale regulære normalfordeling med middelværdi 0 og varians I. Bemærkninger:. Den endimensionale regulære normalfordeling er den sædvanlige endimensionale normalfordeling. 2. Hvis Σ σ 2 I, reducerer tæthedsfunktionen ) til f x) 2πσ 2 ) n/2 exp 2 x µ 2 /σ 2), x R n svarende til at X, X 2,..., X n er uafhængige og X j er normalfordelt med middelværdi µ j og varians σ Den todimensionale regulære normalfordeling med parametre µ [ µ µ 2 er omtalt i DeGroot Afsnit 5.2. ] [ og Σ σ 2 ρσ σ 2 ρσ σ 2 σ2 2 ] SÆTNING 2.4 Hvis X er regulært normalfordelt med parametre µ og Σ, og hvis A er er en bijektiv lineær afbildning af R n, så er Y AX regulært normalfordelt med parametre Aµ og AΣA.
4 Lineære normale modeller ) Side 4 af 8 BEVIS Ifølge sætningen om transformation af tætheder se f.eks. DeGroot side 65-6) er tæthedsfunktionen for Y gy) det A f A y) ) exp 2 A y µ) Σ A y µ) 2π) n/2 det Σ /2 det A 2π) n/2 detaσa ) /2 exp 2 y Aµ) AΣA ) y Aµ) ) KOROLLAR 2.5 Hvis X er regulært normalfordelt med parametre 0 og I, og hvis A er er en ortogonal afbildning af R n, så er Y AX ligeledes regulært normalfordelt med parametre 0 og I. Indtil videre har vi kun defineret normalfordelinger med regular variansmatrix. Imidlertid har vi brug for også at kunne tale om normalfordelinger med en singulær variansmatrix; inspireret af Sætning. kunne man forestille sig en definition i retning af følgende: Den n-dimensionale normalfordeling med middelværdi µ og varians Σ 0 er den fordeling der fremkommer ved at transformere den n-dimensionale normalfordeling med afbildningen x µ + Ax hvor A er indrettet sådan at AA Σ. For at en sådan definition skal være brugbar, er der forskelligt der skal afklares: ) Findes der altid et A? iflg. Sætning A.3 ja) 2) Hvis der er flere forskellige A-er således at AA Σ, får man så samme fordeling? Det udtaler nedenstående lemma sig om. LEMMA 2.6 Antag at X er n-dimensionalt normalfordelt med parametre 0 og I. Hvis A og B er to lineære afbildninger af R n sådan at AA BB, så har de to stokastiske vektorer AX og BX samme fordeling. BEVIS SKITSEMÆSSIGT) Problemerne kommer af at A og B) ikke er bijektive. Betragtet som afbildning fra RA ) til RAA ) er A bijektiv Sætning A.0), så vi kan lave en bijektiv afbildning hvor G er en eller anden ortogonal transformation fra N A) til N AA )) R n RA ) N A) RAA ) N AA ) R n x x + x 2 Ax + Gx 2 y med omvendt afbildning A y + G y 2 y + y 2 y hvor A y er det entydigt bestemte element i RA ) der ved A afbildes over i y. Tæthedsfunktionen for Y er proportional med exp 2 xy) 2 ), og xy) 2 A y 2 + y 2 2. Vi søger fordelingen af Y AX) og skal derfor integrere y 2
5 Lineære normale modeller ) Side 5 af 8 ud. Derved får vi noget der afhænger af A y. Påstanden er nu at den måde som A y afhænger af y på, ikke involverer A, men kun AA BB ). For det første afhænger opspaltningen y y + y 2 kun af AA. Dernæst er A y det entydigt bestemte punkt af formen A z for hvilket AA z y hvor z er entydigt bestemt modulo N A ) RA) RAA ). Herefter kan vi tillade os at fremsætte følgende definition: DEFINITION 2 Den n-dimensionale normalfordeling med middelværdi µ og varians Σ 0 er den fordeling der fremkommer ved at transformere den n-dimensionale normalfordeling med middelværdi 0 og varians I med en afbildning x µ + Ax hvor A er en lineær afbildning af R n således at AA Σ. Der eksisterer altid et sådant A.) Vi kan nu vise SÆTNING 2.7 Hvis X er normalfordelt med parametre µ og Σ, så er Y b + CX normalfordelt med parametre b + Cµ og CΣC. Bemærk at sætningen ikke forudsætter at X og Y har samme dimension. BEVIS Lad os sige at X er n-dimensional og Y er p-dimensional. Ifølge antagelsen kan X fås som X µ + AU hvor U er n-dimensionalt normalfordelt med parametre 0 og I, og AA Σ. Så er Y b + Cµ) + CAU. Hvis n p, er vi nu færdige fordi CA)CA) CAA C CΣC ). Hvis p < n, har N CA) RA C ) dimension højst p, så ved et passende ortogonalt) koordinatskift i R n hvorunder den n-dimensional standardnormalfordeling er invariant, jf. Korollar 2.5) kan vi opnå at CAU kun afhænger af U, U 2,..., U p, dvs. CAU BV hvor V er p-dimensionalt normalfordelt med parametre 0 og I, og BB CA)CA) CΣC. Hvis p > n, skriver vi U som CV, hvor C er den lineære afbildning af R p ind i R n som består i at smide de sidste p n koordinater væk. Så er Y b + Cµ) + CAB)V hvor CAB)CAB) CΣC. SÆTNING 2.8 Antag at X n-dimensionalt normalfordelt med middelværdivektor 0 og og variansmatrix σ 2 I. Hvis V L L 2... L k er en ortogonal opspaltning og p, p 2,..., p k de tilsvarende projektioner, så er de stokastiske vektorer p X, p 2 X,..., p k X uafhængige; p j X er normalfordelt med middelværdi 0 og varians σ 2 p j, og p j X er χ 2 -fordelt med skalaparameter σ 2 og dim L j frihedsgrader.
6 Lineære normale modeller ) Side 6 af 8 BEVIS Da x 2 p x 2 + p 2 x p k x 2, bliver den simultane normalfordelingstæthed et produkt af de marginale tæthedsfunktioner, hvoraf uafhængigheden følger. At p j X er normalfordelt med de nævnte parametre, følger af Sætning 2.7. Der findes en ortogonal transformation A af R n sådan at hvis vi sætter Y AX, så er p j X 2 en sum af dim L j forskellige Y 2 i -er, og da Y i-erne er uafhængige og normalfordelte med parametre 0 og σ 2 Korollar 2.5), er fordelingen af p j X 2 en χ 2 -fordeling af den nævnte slags. 2. Opgaver OPGAVE 2. Gennemgå ræsonnementerne i beviset for Lemma 2.6 for en konkret matrix A. Det vil sige: tag et passende n f.eks. n 3) og nogle talværdier for elementerne i A f.eks. A optrædende objekter nærmere er. [ ] ) og find ud af hvad de i beviset 3 Lineære normale modeller Vi vil studere statistiske modeller af formen X X, X 2,..., X n ) er n-dimensionalt normalfordelt med middelværdivektor µ og variansmatrix σ 2 I. Om parametrene vides at µ er et punkt i underrummet L af V R n, og at σ 2 > 0. Modellen er en lineær normal model fordi middelværdien tilhører et lineært underrum L. Likelihoodfunktionen svarende til en observation x er Lµ,σ 2 ) 2π) n/2 σ 2 exp x µ 2 ) ) n/2 2 σ 2 Lad p være ortogonalprojektionen af V på L. Da x px px µ, er x µ 2 x px 2 + px µ 2 hvoraf følger at Lµ,σ 2 ) Lpx,σ 2 ) for ethvert σ 2, dvs. maksimaliseringsestimatet for µ er px. Ved sædvanlige metoder finder man at Lpx,σ 2 ) maksimaliseres når σ 2 er lig x px 2 /n dim L). Fra Sætning 2.8 anvendt på X µ ved vi at X px 2 er χ 2 -fordelt med n dim L frihedsgrader og skalaparameter σ 2, specielt har den middelværdi n dim L)σ 2. Alt i alt gælder derfor
7 Lineære normale modeller ) Side 7 af 8 SÆTNING 3.9 Middelværdivektoren µ estimeres ved ˆµ px, altså projektionen af x ned på L. Variansparameteren σ 2 estimeres centralt ved s 2 n dim L x px 2. Maksimaliseringsestimatoren for σ 2 er σ 2 n x px 2. Vektoren x px er residualvektoren. Størrelsen x px 2 er residualkvadratsummen. Tallet n dim L er antallet af frihedsgrader for variansskønnet og/eller residualkvadratsummen. Man kan bestemme ˆµ af relationen x ˆµ L som i realiteten er dim L lineære ligninger med lige så mange ubekendte; disse ligninger kaldes normalligningerne fordi de udtrykker at x ˆµ er normal til L). Antag nu at der foreligger en hypotese om middelværdien) af formen H 0 : µ L 0 hvor L 0 er et underrum af L. Under H 0 er maksimaliseringsestimaterne hhv. p 0 x og n dim L 0 x p 0 x 2, og kvotientteststørrelsen er hvor Q Lp 0x, n x p 0x 2 ) Lpx, n x px 2 ) x px 2 ) n/2 x p 0 x 2 x px 2 x px 2 + px p 0 x 2 + px p 0x 2 ) n/2 x px 2 ) n/2 + dim L dim L 0 n dim L F F Man forkaster for store værdier af F. dim L dim L px 0 p 0 x 2 n dim L x. px 2 ) n/2 Det følger af Sætning 2.8 at under H 0 er tælleren og nævneren i F-størrelsen stokastisk uafhængige χ 2 -fordelte med skalaparametre σ 2 /dim L dim L 0 ) hhv. σ 2 /n dim L) så de er hver især centrale skøn over σ 2 ), og F-størrelsen bliver derfor F-fordelt med dim L dim L 0 ) og n dim L) frihedsgrader. Hermed er estimations- og testproblemerne i princippet løst. Vi kan så gå over til at se hvordan det tager sig ud i konkrete modeller. A Resultater fra lineær algebra Det er overalt underforstået at der er tale om endeligdimensionale reelle vektorrum med indre produkt.
8 Lineære normale modeller ) Side 8 af 8 A. Notation Vektorrummet betegnes typisk V. Underrum betegnes L, L, L 2,... Vektorer betegnes normalt med fede bogstaver x, u, v osv.). Nulvektoren er 0. Lineære afbildninger [og deres matricer] betegnes ofte med bogstaver som A og B; den transponerede til A betegnes A. Nulrummet for A betegnes N A) og billedmængden range ) RA). Den identiske afbildning [enhedsmatricen] betegnes I. Skalarproduktet eller det indre produkt af u og v skrives u, v, og længden af u skrives u. Det ortogonale komplement til underrummet L betegnes L. Ortogonalprojektionen af V på underrummet L er den lineære afbildning p af V ind i sig selv for hvilken px L og x px L for alle x V. A.2 Forskellige definitioner En symmetrisk lineær afbildning [en matrix] A er positivt semidefinit hvis x, Ax 0 [x Ax 0] for alle x; den er positivt definit kort: A > 0 hvis ulighedstegnet er skarpt for alle x 0. A.3 Forskellige resultater SÆTNING A.0 Lad A være en lineær afbildning af R n ind i R p. Da gælder at RA) og N A ) er hinandens ortogonale komplementer i R p ). KOROLLAR A. RA) RAA ). BEVIS FOR KOROLLAR A. Vi vil vise at N A ) er lig N AA ). Det er klart at førstnævnte er en delmængde af sidstnævnte. Vi behøver derfor kun vise at AA u 0 A u 0: Antag at AA u 0; ifølge sætningen er da A u RA ), og da A u pr. definition også tilhører RA ), må A u nødvendigvis være 0. KOROLLAR A.2 Lad A være en symmetrisk lineær afbildning af R n ind i sig selv. Da gælder at RA) og N A) er hinandens ortogonale komplementer. SÆTNING A.3 Hvis A er symmetrisk og positiv semidefinit, så findes en symmetrisk positiv semidefinit matrix A /2 således at A /2 A /2 A.
Den lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereSupplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable
IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereFejlstrata. Vi forestiller os at V har. 1) Et underrum L. 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W W m
Fejlstrata Vi forestiller os at V har 1) Et underrum L 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W 1 +... + W m Underrummene W i kaldes fejlstrata. Typisk eksempel på en fejlstratumdekomposition:
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs merePoul Thyregod, introslide.tex Specialkursus vid.stat. foraar Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k
Dagens program: Likelihoodfunktion, begreber : Mandag den 4. februar Den generelle lineære model score-funktion: første afledede af log-likelihood har middelværdien nul observeret information: anden afledede
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereDel II. Den lineære normale model
Del II Den lineære normale model 301 302 Kapitel 9 Normalfordelinger på vektorrum Vi vil i dette kapitel give en fremstilling af teorien for normalfordelinger (også kaldet Gaussiske fordelinger) på endeligdimensionale
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereEKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer sider
EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer 2008 5 sider Formaliteter Eksamen er en 24-timers eksamen, der udleveres mandag den 23/6-2008 klokken 0.00 og afleveres tirsdag den 24/6-2008 inden klokken 0.00.
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereTransformation: tætheder pår k
Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k I dette kapitel vil vi angribe følgende version af transformationsproblemet: Lad X 1,, X k være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P), sådan at den
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereMiddelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0
Middelværdi og varians Middelværdien af en diskret skalarfunktion f(x), for x = 0, N er: µ = N f(x) N x=0 For vektorfuktioner er middelværdivektoren tilsvarende: µ = N f(x) N x=0 Middelværdien er en af
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereLineære normale modeller (4) udkast
E6 efterår 1999 Notat 21 Jørgen Larsen 2. december 1999 Lineære normale modeller (4) udkast 4.5 Regressionsanalyse 4.5.1 Præsentation 1 Regressionsanalyse handler om at undersøge hvordan én målt størrelse
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mere