Endeligdimensionale vektorrum

Transkript

1 Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v, a = 0} Eksempel: Rummet M k af reelle k k matricer p1/16

2 Lineære afbildninger En afbildning L : X Y er lineær hvis 1) L(x + x ) = Lx + Lx for alle x, x X 2) L(cx) = c Lx for alle x X, c R Eksempel: Lad A være en n n matrix, og betragt afbildningen L : M n M n givet ved LX = AXA T for alle X M n p2/16

3 Rummet af lineære afbildninger Definition: Systemet af alle lineære afbildninger X Y kaldes Lin(X, Y) Bemærk at Lin(X, Y) selv er et vektorrum, dim Lin(X, Y) = dim X dim Y Gåde: Indse at formlen L A (X) = AXA T for alle X M k definerer en afbildning M k Lin(M k, M k ) når A L A Er denne afbildning lineær? p3/16

4 Lineære afbildninger og matricer En k m matrix er et rektangulært talskema, A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a k1 a k2 a km En k m matrix A repræsenterer en lineær afbildning L A : R m R k, L A x 1 x 2 x m = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a k1 a k2 a km x 1 x 2 x m p4/16

5 Lineære afbildninger matricer Ethvert element i Lin(R m, R k ) har en matrixrepræsentation Men: En matrix er et dødt talskema En lineær afbildning er levende! Matricer er nyttige til konkrete regninger Matricer er nyttige, når man diskuterer deres visuelle fremtræden: diagonalmatricer, øvre trekantsmatricer, blokmatricer, Læresætning: matricer er et regneteknisk hjælpemiddel, lineære afbildninger er det essentielle p5/16

6 Det duale rum Det duale rum til X er X = Lin(X, R) Elementerne i X kaldes funktionaler Hvis X har et indre produkt, kan enhver vektor v X gøres en funktional, L v (x) = x, v Sætning Alle funktionaler har denne form Mere præcist, afbildningen X X givet ved v L v er en isomorfi Advarsel Hvis vi skifter indre produkt på X så ændrer det identificeringen mellem X og X p6/16

7 Adjungerede afbildninger Lad X og Y have indre produkter Sætning Til enhver afbildning L Lin(X, Y) findes en entydigt bestemt adjungeret lineær afbildning L Lin(Y, X), der opfylder at Lx, y = x, L y for alle x, y Bemærk at (L ) = L Vi ser at er en parring (isomorfi) Lin(X, Y) Lin(Y, X) konstrueret ved hjælp af de indre produkter Hvis X = R k og Y = R m har det sædvanlige indre produkt, så vil (L A ) = L A T p7/16

8 Normer af lineære afbildninger Hvis X og Y er normerede vektorrum, og hvis L : X Y er lineær, sættes L = sup{ Lx x 1} Observation: L < - når rummene er endeligdimensionale Der gælder at Lx L x for alle x X (L er Lipschitz) Lemma: er en norm på Lin(X, Y) (operatornorm) Hvis man skifter norm på X og/eller Y får man en anden operatornorm på Lin(X, Y) p8/16

9 Bilineære afbildninger En afbildning B : X Y Z er bilineær hvis 1) B(x + x, y) = B(x, y) + B(x, y) for alle x, x X, y Y 2) B(x, y + y ) = B(x, y) + B(x, y ) for alle x X, y, y Y 2) B(cx, dy) = cd B(x, y) for alle x X, y Y, c, d R Gåde: Indse at formlen H A,B (X) = AXB T for alle X M k definerer en bilineær afbildning M k M k Lin(M k, M k ) når (A, B) H A,B p9/16

10 Bilineær afbildning Eksempel Evalueringsafbildningen ev : Lin(X, Y) X Y, givet ved ev(l, x) = L x for L Lin(X, Y), x X er bilineær p10/16

11 Rummet af bilineære afbildninger Definition: Systemet af alle bilineære afbildninger X Y Z kaldes Bil(X, Y; Z) Bemærk at Bil(X, Y; Z) selv er et vektorrum, dim Bil(X, Y; Z) = dim X dim Y dim Z Dette rum kan udstyres med en operatornorm: B = sup{ B(x, y) x 1, y 1} p11/16

12 Bilineære afbildninger lineære afbildninger Bemærk: X Y er et vektorrum En afbildning H : X Y Z kan i princippet være både lineær og bilineær Men hvis den er begge dele, må den være identisk 0: H(x, y) (1) = H(x, 0) + H(0, y) = H(x, 0 y) + H(0 x, y) (2) = 0 H(x, y) + 0 H(x, y) = 0 hvor (1) skyldes linearitet, og (2) bilinearitet p12/16

13 Bilineære afbildninger og matricer En k m matrix A giver anledning til en bilineær afbildning B A : R k R m R (en bilinearform) ved matrixmultiplikation, B A (x, y) = x T A y for x R k, y R m Alle bilineære afbildninger fra R k R m ind i R kan repræsenteres på denne måde Bilineære afbildninger ind i R l kræver trevejsskemaer for en matrixrepræsentation p13/16

14 Den naturlige parring Hovedsætning De to vektorrum er isomorfe Lin(X, Lin(Y, Z)) og Bil(X, Y; Z) Isomorfien er givet ved at A Lin(X, Lin(Y, Z)) sendes over i (x, y) A(x)(y) p14/16

15 Midddelværdi af vektorvariabel Definition Hvis Y : (Ω, F, P) Y er målelig og opfylder at Y dp <, så er Y integrabel og E Y er elementet i Y bestemt ved E Y, v = E Y, v for alle v Y p15/16

16 Varians af vektorvariabel For y Y og z Z er y z : Y Z R afbildningen y z (y, z ) = y, y z, z for y, y Y, z, z Z Det er let at se at y z er bilineær Og at (y, z) y z er en bilineær afbildning Y Z Bil(Y, Z; R) Definition En stokastisk variabel Y med værdier i Y har 2 moment hvis E Y 2 < I bekræftende fald defineres variansen som bilinearformen V Y = (Y E Y ) (Y E Y ) dp Det er nemt at forstå hvordan V Y virker som bilinearform: V Y (y 1, y 2 ) = Cov ( Y, y 1, Y, y 2 ) p16/16