Gamle eksamensopgaver (MASO)
|
|
- Michael Thorsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren , opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren , opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet n! 10 n n! (2n)! e u u 2 + v x 2 y 2 = 1 u 3 u + v 2 xy sin u = 1 i en omegn af punktet (x, y, u, v) = (1, 0, 0, 1) fastlægger u og v som C -funktioner u = g 1 (x, y), v = g 2 (x, y) af x og y. Beregn funktionalmatricen Dg i punktet (1, 0), hvor g = ( g 1 g 2 ). Opgave 3. (Vinteren , opgave 3) Betragt afbildningen F : R 2 R 2 givet ved F (x, y) = (e 2y + x(1 + y), 2e xy 3y). Gør rede for, at der findes en åben omegn U omkring punktet (2, 0), således at F afbilder U injektivt på en åben omegn V = F (U) omkringe F (2, 0), og således at den omvendte afbildning G: F (U) U til restriktionen af F til U er en C -afbildning. Bestem funktionalmatricen DG i punktet F (2, 0). Opgave 4. (Vinteren , opgave 8) Betragt følgende lineære program: (P ) Maksimer 2x 1 + x 2 under hensyn til bibetingelserne og fortegnskravene x 1 0, x 2 0, x 3 0. x 1 x 2 6x 3 = 3 7x 1 + 3x 2 + 2x 3 5 (a) Omform (P ) til et kanonisk lineært program (Q). (b) Find samtlige tilladte basisløsninger til (Q). (c) Opskriv det duale program (P ) til (P ) og find en tilladt løsning til (P ). (d) Begrund, at (P ) og (P ) har optimale løsninger. (e) Find en optimal løsning til (P ). c:\notes\h2\maso\eo.tex
2 EO 2 Opgave 5. (Vinteren , opgave 3) Lad f 0, f 1, f 2 være reelle funktioner på R 3, definerede ve f 0 (x, y, z) = y, f 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 4 f 2 (x, y, z) = x 2 y z. a) Gør rede for, at f 0 har et globalt minimum under bibetingelserne f 1 = 0, f 2 = 0. b) Bestem et punkt (x 0, y 0, z 0 ) hvori f 0 har globalt minimum under bibetingelserne f 1 = 0, f 2 = 0. Opgave 6. (Vinteren , opgave 6) Vi betragter et lineært optimeringsprogram (P ) Minmier C t X under betingelsen AX = B og X 0, hvor ( ) 0 A = B t = ( ) a) Find samtlige basisløsninger til (P ). b) Bestem de optimale basisløsninger. c) Opskriv det duale problem og løs det. Opgave 7. (Vinteren , opgave 1) Vis, at summen C t = ( ) s = n=2 1 n ln n er endelig og opfylder ln ln 2 s ln ln ln 2. Opgave 8. (Vinteren , opgave 2) Det oplyses, at der findes to følger af naturlige tal, l n og k n, som opfylder: l n når n, l n voksende, k n når n, k n voksende både l n og k n består af ulige tal samt k n π 1 l n ln 2 for alle n.
3 EO 3 a) Find b) Find lim inf og lim sup af følgen Vink: Husk at k n er en delfølge af følgen lim cos(k n). n n cos n. n n. Opgave 9. (Vinteren , opgave 4) a) Vis, at ligningen ze y + cos(xz) = 1 fastlægger z som en funktion z = g(x, y) i en omegn af punktet (0, 0, 0). b) Bestem g x (0, 0), g y (0, 0), g x (0, 0). Opgave 10. (Vinteren , opgave 5) Vi betragter afbildningen S : R 2 R 2, givet ved S(x 1, x 2 ) = (e x 1 e x 2, x 1 + x 2 ), defineret på hele R 2 og med værdimængden hele R 2. a) Vis, at DS er regulær i alle punkter i R 2. b) Vis, at S er injektiv. Opgave 11. (Vinteren , opgave 1) Lad følgen a 0, a 1,..., a n,... være givet rekursivt ved med udgangselementerne a 0 = 0, a 1 = 1. a n = 1 2 (a n 1 + a n 2 ) for n 2 (i) Vis ved induktion efter n, at der for alle n = 0, 1, 2,... gælder a n = 2 (1 ( 12 ) 3 )n. (ii) Vis at følgen a n er konvergent og bestem grænseværdien. (iii) Gør rede for at delfølgen a 0, a 2, a 4,... er strengt voksende og at delfølgen a 1, a 3, a 5,... er strengt aftagende.
4 EO 4 Opgave 12. (Vinteren , opgave 2) Lad X = {(x 1, x 2 ) R 2 0 < x 1 < x 2 }. Betragt transformationen f fra X til R 2 bestemt ved at f (x 1, x 2 = (y 1, y 2 ) hvor ( ) ( ) x1 + x 2 x2 x 1 ( ) y 1 = log, y 2 = log. 2 2 (i) Skitsér mængden X R 2. (ii) Beregn transformationen f s Jacobi matrix og gør rede for at dens determinant er positiv i hele X. (iii) Vis at transformationen f er enentydig (injektiv) og find den inverse transformation til f ved at løse ligningssystemet ( ) m.h.t. x 1 og x 2. Opgave 13. (Vinteren , opgave 3) Lad x = (2, 2, 1), y = (2, 1, 2), z = (1, 1, 1) R 3. Lad A = Aff (x, y, z). (i) Vis, at x, y og z er affint uafhængige. (ii) Gør rede for, at man for alle t R kan skrive (t, t, 1) som en affin kombination af x og z. (iii) Vis, at A = {(a, b, c) R 3 a + b + c = 1}. (iv) Gør rede for, at A er en hyperplan i R 3. Bestem w R 3, d R så A = H(w, d). Opgave 14. (Vinteren , opgave 4) (i) Vis, at rækken 2n 1 n er divergent. n (ii) Vis, at rækken 2n 1 n 2 er konvergent, og giv en (endelig) øvre grænse for dens n sum. Svaret kræves begrundet. Opgave 15. (Vinteren , opgave 5) Lad X = Y = [0, [. Betragt korrespondencen F : X Y givet ved F (x) = [x, x + 4] og funktionen f : X Y R givet ved f (x, y) = x 4y + y 2. (i) Skitsér grafen for korrespondencen F. (ii) Beregn værdifunktionen V : X R givet ved (iii) Beregn korrespondencen V (x) = max{f (x, y) y F (x)}. Y (x) = {y F (x) f (x, z) f (x, y) for alle z F (x)} og skitsér dens graf inde i F s. (iv) Forklar ud fra skitserne for F og Y, at disse har lukket graf.
5 EO 5 Opgave 16. (Vinteren , opgave 6) Betragt ligningssystemet { e 2u + x(2 + u) + y = 0 ( ) 2e xu + cos(y + v) + 3v = 12. (i) Vis, at punktet (x, y, u, v) = (1, 3, 0, 3) passer i begge ligninger. (ii) Gør rede for, at ( ) fastlægger u og v som funktioner af x og y i en omegn af dette punkt. (iii) Beregn u x, u y, v x og v y i dette punkt. Opgave 17. (Vinteren , opgave 7) Lad S R n og lad S være S s komplementærmængde i R n, (så S er mængden af elementer i R n, der ikke er indeholdt i S). (i) Antag, at x 0 S (randen af S). Vis, at der findes følger (x k ) S, (y k ) S således at x k x 0 og y k x 0. (Vink: Vælg for alle k N x k og y k i n-kuglen B(x 0, 1 k ) = K(x0, 1 k )). (ii) Antag, at x R n er fælles grænseværdi for følgerne (x k ) og (y k ), hvor (x k ) S og (y k ) S. Vis, at x S. Opgave 18. (Vinteren , opgave 1) a) Begrund for hver af nedenstående 3 rækker, at den er konvergent. 1) ln(2)ln(3) ln(n) n=2. n! 2) sin 2 (n) 2 n. 3) ln(n 1 n ) sin( 1 n ). b) Find en majorant for summen af rækken ln(n 1 n ) sin( 1 n ). Opgave 19. (Vinteren , opgave 2) Find de komplekse løsninger til ligningerne a) z z + 41 = 0. b) z 6 = 64. Løsningerne ønskes angivet eksakt og på formen a + ib. Opgave 20. (Vinteren , opgave 3) Lad A være den delmængde af R 3, der er bestemt ved A = {(x, y, z) R 3 x 2 4x + y 2 0 og z 0 og x + z 4}. a) Tegn en skitse af A. b) Begrund, at A er kompakt.
6 EO 6 Opgave 21. (Vinteren , opgave 4) Lad funktionen F : R 6 R 3 være givet ved F (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) = 2x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 4 + x 2 x 5 + x 3 x 6 4. x x x2 3 2x x x2 6 a) Begrund, at ligningen F (x) = 0 fastlægger en differentiabel funktiong = (g 1, g 2, g 3 ) defineret på en omegn U af punktet (1, 1, 1) i R 3 og med værdier i R 3 således at G(1, 1, 1) = (2, 1, 1) og (x 1, x 2, x 3 ) U : F (x 1, x 2, x 3, g 1 (x 1, x 2, x 3 ), g 2 (x 1, x 2, x 3 ), g 3 (x 1, x 2, x 3 )) = 0. b) Bestem Jacobimatricen G (1, 1, 1). c) Lad h : R 3 R være givet som h(y 1, y 2, y 3 ) = y 1 y 2 2 y3 3, og lad k : U R være givet ved k = h G. Beregn den retningsafledede af k i punktet (1, 1, 1) efter retningen (1, 2, 0). Opgave 22. (Vinteren , opgave 5) a) Minimer f 0 (x 1, x 2, x 3 ) = 2x x2 2 + x2 3 2x 2 + 2x 3 under bibetingelserne 4x x2 2 + x2 3 8 og x 1 + x 2 1 og x 1 x 2 1. b) Vis, at funktionen sin((2x x2 2 + x2 3 2x 2 + 2x 3 )/25) har minimum i samme punkt som f 0 under de samme bibetingelser. Opgave 23. (Vinteren , opgave 6) a) Lad C 1 og C 2 være de lukkede konvekse delmængder af R 2, som er givet ved C 1 = {(x, y) R 2 x 0 og x 2 y 2 1}. C 2 = {(x, y) R 2 y 0 og y 2 x 2 1}. Find en hyperplan H(u, α) som separerer C 1 og C 2. b) Lad C 1 og C 2 være de åbne kugler i R 3, givet ved C 1 = K(( 1, 1, 0), 1) C 2 = K((0, 1, 2), 1). Begrund, at C 1 og C 2 er disjunkte og konvekse. Find en separerende hyperplan H(u, α) som opfylder sup{u c 1 c 1 C 1 } < α < inf{u c 2 c 2 C 2 }.
7 EO 7 Opgave 24. (Vinteren , opgave 7) Der er givet et standard minimeringsproblem (P) (P) Minimer x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 under bibetingelserne 6x 1 x 2 +4x 3 4x 4 2 x 1 +2x 2 x 4 0 4x 1 x 3 3x 4 1 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0. a) Opskriv det duale problem (P ). b) Begrund, at (P) og (P ) begge har optimale løsninger. c) Opskriv det til (P) hørende kanoniske minimeringsproblem. d) Løs (P) og (P ). Opgave 25. (Juli 1997, opgave 1) a) Afgør, om rækken (n!) 2 (2n)! er konvergent. b) Vis, at rækken n er konvergent med sum mindre eller lig 1/2. (1+n 2 ) 2 Opgave 26. (Juli 1997, opgave 2) Find samtlige rødder i ligningen Løsningerne bedes angivet på formen a + ib. z 5 z 3 + z 2 1 = 0. Opgave 27. (Juli 1997, opgave 3) a) Lav en skitse af mængden M givet ved M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 x + y + z 1}. b) Begrund, at M er kompakt. c) Vis, at ( 1 2, 2 1, 1 2 ) er et indre punkt af M. Opgave 28. (Juli 1997, opgave 4) Mængderne A og B i R 3 er givet ved A = {(x, y, z) R 3 x + y + z 1} B = {(x, y, z) R 3 x 2 + 4x + y 2 4y + z 2 4z 9} a) Begrund, at A og B er konvekse. b) Vis, at A og B er disjunkte. c) Find en separerende hyperplan H og angiv tilhørende åbne halvrum J 1 og J 2 således at A J 1 og B J 2.
8 EO 8 Opgave 29. (Juli 1997, opgave 5) Betragt minimeringsproblemet. Minimer 3x 4 + 9y 4 6x 2 y 2 under bibetingelserne x 1, y 1, y 2 2y 0. a) Vis, at problemet er konvekst. b) Find den optimale løsning og angiv den tilhørende Kuhn Tucker vektor. Opgave 30. (Juli 1997, opgave 6) Der er givet et lineært optimeringsproblem (P ). (P ) Minimer x 1 + 3x 2 + x 3 under bibetingelserne 3x 1 +2x 2 4 x 1 +x 2 1 x 1 +2x 2 + x 3 4 x 1 0, x 2 0, x 3 0. a) Opskriv det duale problem (P ). b) Opskriv det til (P ) hørende kanoniske problem (Q). c) Vis, at både (P ) og (P ) har optimale løsninger. d) Løs (P ) og (P ). Opgave 31. (Vinteren , opgave 1) a) Der er givet nedenstående 2 rækker med positive led Bevis, at begge rækker er konvergente. b) Talfølgen (x n ) n N er givet rekursivt ved (n + 5)!2 n ( ) n (n+1)n (n + 3)!3 n ;. n + 1 x 1 = 0 x n+1 = x n + cos x n. Som sædvanligt opfattes x n som buemålet, dvs. enheden er radianer når cos x n skal beregnes. Vis, at (x n ) n N er en begrænset voksende talfølge. Begrund, at følgen (x n ) n N er konvergent og bestem dens grænseværdi. Vink: En skitse af enhedscirklen, hvor buen med længde x n er indtegnet, er en hjælp. Opgave 32. (Vinteren , opgave 2) Løs ligningen z z z = 0. Løsningerne bedes angivet på formen a + ib.
9 EO 9 Opgave 33. (Vinteren , opgave 3) Lad M være den delmængde af R 3 der består af de punkter (x, y, z) som opfylder følgende uligheder. x 2 2x + y 2 4y 4 x 2 2x + y 2 4y z 2 5 x 2 2x + y 2 4y + z 3 z 0. a) Lav en skitse af M s snit med planen y = 2. b) Lav en skitse af M og begrund, at M er kompakt. c) Begrund, at (1, 2, 1) er et indre punkt i M. Opgave 34. (Vinteren , opgave 4) Der er givet en funktion F : R 6 R 3 ved F (x) = (f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x)) hvor f 1 (x 1,..., x 6 ) = e x 3x 4 x 1 x 3 f 2 (x 1,..., x 6 ) = sin(x 1 x 4 + x 2 x 5 + x 3 x 6 ) f 3 (x 1,..., x 6 ) = x 1 x 3 x 2 x 3 x 1 x 6 x 2 x 6 + x 3 x 4 + x 3 x 5 + x 4 x 6 + x 5 x 6. a) Lad k være et naturligt tal. Begrund, at funktionerne f 1, f 2, f 3 alle er af klasse C k. b) Vis, at F (1, 0, 1, 0, 1, π) = (0, 0, 0) og begrund, at der findes en differentiabel afbildning G defineret på en omegn W af (1, 0, 1) i R 3 med værdier i R 3 således at G(1, 0, 1) = (0, 1, π) og for alle z W gælder F (z, G(z)) = (0, 0, 0). c) Beregn Jacobimatricen J G (1, 0, 1) for G i punktet (1, 0, 1). Lad H : R 3 R 2 være givet ved H(y 1, y 2, y 3 ) = (y 1 y 2, y 1 + y 2 ) og lad K : W R 2 være givet som K = H G. d) Beregn Jacobimatricen J K (1, 0, 1) for K i punktet (1, 0, 1). Opgave 35. (Vinteren , opgave 5) Der er givet minimeringsproblemet min x 4 + 3x 2 y 2 + y 4 + z 2 u.b. x 0, 1 x + y + z, z 0. a) Vis, at problemet kan omskrives til et konkavt maksimeringsproblem. b) Løs problemet og find Kuhn Tucker vektoren hørende til det konkave problem. Det skal af besvarelsen klart fremgå hvorledes løsningen er fundet.
10 EO 10 Opgave 36. (Vinteren , opgave 6) Der er givet et lineært optimeringsproblem (P) Maksimer 2x 1 3x 2 +x 3 under bibetingelserne 3x 1 + 2x 2 + x 3 4 x 1 + x 2 + x 3 2 x 1 + 2x 2 + x 3 6 x 1 0, x 2 0, x 3 0. a) Opskriv det duale problem (P ). b) Bevis, at (P) har en optimalløsning. c) Opskriv det til (P) hørende kanoniske problem. d) Løs både (P) og (P ). Opgave 37. (August 1998, opgave 1) i) Lad a være et ikke negativt reelt tal. Der er givet 3 rækker ( a n )n, (n 2 + n)a n, (n!)a n. Find for hver række mængden af de reelle tal a for hvilke rækken er konvergent. ii) Lad a 1 være et reelt tal større end 1. Definer successivt a n+1 = 1 2 (a n + a n ) for n 1. Begrund, at (a n ) n N er en konvergent talfølge og bestem dens grænseværdi. Opgave 38. (August 1998, opgave 2) Løs ligningen z 6 2z 5 + 3z 4 4z 3 + 6z 2 8z + 4 = 0. Løsningerne bedes angivet på formen z = a + ib. Opgave 39. (August 1998, opgave 3) Der er givet en delmængde M af R 3 ved ulighederne (x, y, z) R 3 : (x, y, z) M y 2 2y + z 2 2z og x 2 3x 0. i) Tegn en skitse af M. ii) Begrund, at M er kompakt. iii) Find et indre punkt i M og begrund ud fra definitionen af et indre punkt, at det valgte punkt er indre.
11 EO 11 Opgave 40. (August 1998, opgave 4) Der er givet en funktion F : R 4 R 2 ved F (x, y, u, v) = (sin(u 2 v 2 x + y) + (1 + u) 4 1, e xyuv x 2 ). i) Begrund, at der findes en omegn W af (1, 1) i R 2 og en differentiabel funktion G defineret på W med værdier i R 2 således at for G = (g 1, g 2 ) gælder G(1, 1) = (g 1 (1, 1), g 2 (1, 1)) = (0, 1) og (x, y) W : F (x, y, g 1 (x, y), g 2 (x, y)) = (0, 0). ii) Bestem Jacobimatricen for G i punktet (1, 1). Lad H : R 2 R 2 være givet ved H(s, t) = (cos(s 2 t 2 ) + sin(t), e s2 +t 2 + s). iii) Vis, at H(0, 0) = (1, 1) og begrund, at funktionen K = G H er defineret og differentiabel på en omegn U af (0, 0). iv) Bestem Jacobimatricen for K i (0, 0). Opgave 41. (August 1998, opgave 5) Der er givet et maksimeringsproblem maksimer ln (4 x 4 x 2 y y 2 z 2 ) under bibetingelserne x 2 + y 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0, y + z 1. i) Opskriv den tilhørende Lagrangefunktion og begrund at den er konkav som funktion af (x, y, z). ii) Løs problemet. Opgave 42. (August 1998, opgave 6) Der er givet et lineært standard maximeringsproblem (P) maksimer bibetingelserne x 1 + 2x 2 + x 3 2 x 1 + 3x 2 + x 3 3 2x 1 + x 2 + x 3 1. i) Opskriv det tilhørende duale problem (P ). ii) Begrund, at både (P) og (P ) må have optimale løsninger. iii) Opskriv det til (P) hørende kanoniske problem. iv) Løs både (P) og (P ). 7x 1 +9x 2 +13x 3 under
12 EO 12 Opgave 43. (Vinteren , opgave 1) a) Man betragter talfølgen x n = (1 a + e an ) cos(an), hvor a er et givet tal i intervallet [0, 2π]. Find lim inf n x n og lim sup n x n i tilfældene hvor a er et af tallene 0, π 5, π 4, 1, π 3, π, π, 2π. 2 For hvilke af disse værdier af a er talfølgen konvergent? b) Undersøg, for hvilke værdier af b 0 og c 0, følgende rækker er konvergente: (1) n(n 1)b n, (2) n N n N, n>c ( 1 n c 1 ). n + c Find summen af (1) i tilfælde af konvergens. Find summen af (2) i tilfældet c = 2. Opgave 44. (Vinteren , opgave 2) a) Find samtlige løsninger til ligningen z 4 = 16, angivet på formen a + ib. b) Vis, at et komplekst tal z 0 har z = 1, hvis og kun hvis z = 1/z. Opgave 45. (Vinteren , opgave 3) Man betragter funktionen { x + x 2 sin 1 x, for x R \ {0}, f (x) = 0, for x = 0. 1 Vis, at f er kontinuert og differentiabel i ethvert punkt x R, men at f ikke tilhører C 1 (R). 2 Undersøg, om der findes et interval I = [ δ, δ] med δ > 0, så at f afbilder I enentydigt på f (I). Opgave 46. (Vinteren , opgave 4) Undersøg, hvilke af følgende mængder i R 2 er kompakte: Skitsér de tre mængder. A = { (x, y) R 2 y 0, 0 x 1 y + 1 }, B = { (x, y) R 2 y 0, 1 2 x 1 y + 1 }, C = { (x, y) R 2 0 y < 3, 0 x 1 y + 1 }.
13 EO 13 Opgave 47. (Vinteren , opgave 5) Man betragter det ikke-lineære maksimeringsproblem: Maksimér f (x, y) = under bibet. x 2 + y 2 4, 2x + y 1. 9 x 2 y 2 Problemet ønskes løst; herunder opskrives problemet på form som i Sydsæter II Afsnit 4.13, og der besvares følgende: 1 Find, hvilke punkter der opfylder Kuhn Tucker s nødvendige betingelser. 2 Vis, at sådanne punkter tillige opfylder Kuhn Tucker s tilstrækkelige betingelser. Opgave 48. (Vinteren , opgave 6) Man betragter maksimeringsprogrammet: (P) Maksimér x 1 x 2 under bibet. 3x 1 + x 2 2, x 1 ax 2 1, med fortegnskravet x 1 0. Her er a er en given, positiv konstant. 1 Skitsér mængden M af tilladte løsninger til (P), for hvert a > 0. 2 Opskriv det duale program (P ), og skitsér mængden M af tilladte løsninger til (P ), for hvert a > 0. 3 Angiv, for hver værdi af a, hvilket tilfælde af Hovedsætningens fire muligheder, der indtræffer. (Hovedsætningen er Sætning 6.1 i de udleverede noter af B. Fuglede om lineær optimering.) 4 Find samtlige løsninger til (P) og (P ) med angivelse af optimale værdier, i de tilfælde hvor problemerne har løsning. Opgave 49. (August 1999, opgave 1) 1 For hvilke værdier af a er følgende række konvergent? sin(n )π + sin(2n )π n a. 2 For hvilke værdier af b er følgende række konvergent? sin 1 n n b.
14 EO 14 Opgave 50. (August 1999, opgave 2) Find samtlige løsninger til ligningen angivet på formen a + ib. Opgave 51. (August 1999, opgave 3) Man betragter følgende delmængde af R 3 : 1 Tegn en skitse af M. 2 Er M lukket? 3 Er M kompakt? (z 2 + 2z + 2)(z 3 + 3) = 0, M = { (x, y, z) R 3 z 0, x 2 + y 2 1 z + 1 }. Opgave 52. (August 1999, opgave 4) Der er givet en funktion F : R 2 R 2 ved F (x 1, x 2 ) = (x 2 1 x 2, x 1 x 2 2 ). 1 Begrund, at der findes en omegn W af (1, 1) i R 2 og en differentiabel funktion G defineret på W med værdier i R 2 således at for G = (g 1, g 2 ) gælder G(1, 1) = (g 1 (1, 1), g 2 (1, 1)) = (1, 1) og (x 1, x 2 ) W : F G(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ). 2 Bestem Jacobimatricerne for F og G i punktet (1, 1). Lad H : R 2 R 2 være givet ved H(x 1, x 2 ) = (e x 1+x 2, cos(x 1 x 2 )). 3 Begrund, at funktionen K = H G er defineret og differentiabel på W. 4 Bestem Jacobimatricen for K i (1, 1). Opgave 53. (August 1999, opgave 5) Der er givet et maksimeringsproblem maksimer f (x, y) = ln (5 x 2 xy 2y 2 ) under bibetingelserne x + 2y 1, x 0, y 0. 1 Opskriv den tilhørende Lagrangefunktion og begrund at den er konkav som funktion af (x, y). 2 Løs problemet.
15 EO 15 Opgave 54. (August 1999, opgave 6) Der er givet et lineært standard maximeringsproblem (P) maksimer x 1 + 2x 2 + 3x 3 under bibetingelserne x 1 + x 2 1 x 2 + x 3 2 x 1 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x Opskriv det tilhørende duale problem (P ). 2 Begrund, at både (P) og (P ) må have optimale løsninger. 3 Opskriv det til (P) hørende kanoniske problem. 4 Løs både (P) og (P ). Opgave 55. (December 1999, opgave 1) (a) Bestem mængden A af reelle tal a 0, så rækken a n /n 2 er konvergent, samtidig med at rækken a n /n er divergent. (b) Bestem mængden B af reelle tal b 0, så rækken nb n er konvergent, samtidig med at rækken (ln n) n b n er divergent. (c) Lad (x n ) og (y n ) være to følger af positive reelle tal, og betragt mængden C af reelle tal c 0, så rækken x n c n er konvergent, samtidig med at rækken y n c n er divergent. Begrund, at C er et interval (eventuelt tomt), altså at der for alle c 1, c 2 C og c R med c 1 c c 2 gælder c C. Opgave 56. (December 1999, opgave 2) (a) Løs ligningen z 3 2z + 4 = 0 i C. Angiv summen og produktet af løsningerne. (b) Bestem en polynomiumsligning i C af lavest mulig grad, med reelle koefficienter og med 1, 2 + i og 1 + 2i som løsninger. Afgør, om 1 + i er løsning til denne ligning. Opgave 57. (December 1999, opgave 3) Lad der være givet en følge g 1, g 2,..., g m,... af kontinuerte funktioner g m : R R. Betragt mængden W := { x R g 1 (x) g 2 (x) g m (x) }. (a) Bevis, at der for enhver konvergent talfølge (x n ) med alle x n grænseværdien tilhører W. (b) Begrund, at W er lukket. W gælder, at også
16 EO 16 Opgave 58. (December 1999, opgave 4) Betragt funktionen f : R 2 R givet ved f (x, y) := x 3 3x y for (x, y) R 2 samt niveaukurven N 2 := { (x, y) R 2 f (x, y) = 2 } svarende til niveauet 2. Lad M 2 betegne mængden af punkter (a, b) N 2, så niveaukurven N 2 i et passende åbent rektangel om (a, b) definerer x som en C 1 funktion ψ af y. (a) Skitsér N 2. Begrund, at punktet ( 1, 0) tilhører N 2, men ikke M 2. (b) Bestem mængden M 2. (c) Bestem ψ (b) for ethvert (a, b) M 2. Opgave 59. (December 1999, opgave 5) Betragt mængden S := { (x, y) R 2 x 2 y 1 og 1 y 0 }. (a) Skitsér mængden S. Begrund, at den er lukket, og at den er kompakt. (b) Afgør for ethvert (x, y) S, om FB (dvs. FøringsBetingelsen [Sydsæter II, s. 210]) for ulighederne x 2 y 1, y 0 og y 1 er opfyldt i (x, y). For ethvert a R er funktionen f a : S R givet ved f a (x, y) := x 2 +ay 2 for (x, y) S, og man betragter det ikke-lineære problem: Maksimér f a (x, y) når (x, y) S. (c)&(d) Afgør for ethvert a R samt for ethvert (x, y) S, hvori FB er opfyldt, om (x, y) er et muligt maksimumspunkt for f a ifølge KTNB (dvs. Kuhn Tuckers Nødvendige Betingelser [Sydsæter II, s. 210]). (e) Begrund for ethvert a R, at f a har et maksimumspunkt i S, og angiv dette og maksimumsværdien. Opgave 60. (December 1999, opgave 6) Betragt det generelle lineære program: (P) Maksimér 3x 1 + 5x 2 under bibetingelserne x 1 + x 2 1, 2x 1 + 2x 2 1, x 1 + 2x 2 0, x 1 x 2 0 og ingen fortegnskrav. (a) Opstil det duale program (P ). Begrund, at det er på kanonisk form. (b) Afgør hvilket af Dualitetssætningens fire tilfælde, der omfatter (P) og (P ). (c) Bestem samtlige tilladte basisløsninger til det duale program (P ). (d) Løs det duale program (P ). (e) Løs det oprindelige program (P). Opgave 61. (Juli 2000, opgave 1) (a) Bestem mængden A af a R, så rækken n(a )n er konvergent. (b) Bestem mængden B af b R, så rækken n 2 (b )n er konvergent. (c) Bestem mængden D af (k, c) R 2, så rækken nk (c )n er konvergent.
17 EO 17 Opgave 62. (Juli 2000, opgave 2) (a) Bestem en polynomiumsligning i C af lavest mulig grad, med reelle koefficienter og med i 2, 1 + i og 1 + i som løsninger. Afgør, om i 2 er løsning til denne ligning. Lad nu g være en reel konstant. (b) Løs ligningen z 3 + gz 2 + g 2 z + g 3 = 0 i C, og angiv løsningerne på formen α + iβ med α, β R. (c) Løs ligningen z 6 + g 2 z 4 + g 4 z 2 + g 6 = 0 i C, og angiv løsningerne på formen α + iβ med α, β R. Opgave 63. (Juli 2000, opgave 3) Betragt kurven N := { (x, y) R 2 x 4y 2 + y 4 = 0 }, og lad M betegne mængden af punkter (a, b) N, så N i et passende åbent rektangel om (a, b) definerer y som en C 1 funktion ϕ af x. (a) Skitsér N, og begrund, at punktet (0, 0) ikke tilhører M. (b) Bestem mængden M. (c) Bestem ϕ (a) for ethvert (a, b) M. Opgave 64. (Juli 2000, opgave 4) Betragt mængden S := { (x, y) R 2 2y x og y x }. (a) Skitsér mængden S. Begrund, at den er lukket, og at den er kompakt. Betragt ulighederne x 0, x + 2y 2 og x + y 2 1. (b) Afgør for ethvert (x, y) S, om FB (dvs. FøringsBetingelsen [Sydsæter II, s. 210]) for disse uligheder er opfyldt i (x, y). For ethvert a R er funktionen f a : S R givet ved f a (x, y) := ax 2 +y 4 for (x, y) S, og man betragter det ikke-lineære problem: Maksimér f a (x, y) når (x, y) S. (c) Afgør for ethvert a R samt for ethvert (x, y) S med x = y 2 1 < 0, om (x, y) er et muligt maksimumspunkt for f a ifølge KTNB (dvs. Kuhn Tuckers Nødvendige Betingelser [Sydsæter II, s. 210]). (d)&(e) Afgør for ethvert a R samt for ethvert (x, y) S, hvori FB er opfyldt, om (x, y) er et muligt maksimumspunkt for f a ifølge KTNB. (f) Begrund for ethvert a R, at f a har et maksimumspunkt i S, og angiv ethvert af disse og maksimumsværdien.
18 EO 18 Opgave 65. (Juli 2000, opgave 5) Betragt det generelle lineære program: (P) Maksimér x 1 + x 2 under bibetingelserne x 1 + x 2 1, 3x 2 1, x 1 x 2 1 og fortegnskravet x 1 0. (a) Opstil det duale program (P ), og afgør hvilket af Dualitetssætningens fire tilfælde, der omfatter (P) og (P ). (b) Omform (P ) til et program (Q) på kanonisk form. (c) Bestem samtlige tilladte basisløsninger til programmet (Q), og løs dette. (d) Løs det duale program (P ). (e) Løs det oprindelige program (P). Opgave 66. (November 2000, opgave 1) (a) Betragt funktionerne ϕ, f : [ 1, [ R givet ved henholdsvis ϕ(x) = (1 + x ln x) 1 og f (x) = (1 + x ln x) 2 (1 + ln x). Bestem de afledede funktioner ϕ og f. (b) Afgør, om rækken (1 + n ln n) 2 (1 + ln n) er konvergent. (c) Afgør, om rækken (1 + n ln n) 2 ln(n 2 ) er konvergent. Opgave 67. (November 2000, opgave 2) (a) Løs ligningen z 2 +z +1 = 0 i C, bestem summen og produktet af løsningerne, og udregn z 3 for enhver løsning. (b) Løs ligningen z 6 = 1 i C, angiv løsningerne på formen α + iβ med α, β R, og bestem summen og produktet af løsningerne. Opgave 68. (November 2000, opgave 3) Betragt mængden W := { (x, y) R 2 x 1 og e x 1 1 y 2 ln x }. (a) Antag, at (x k, y k ) er en konvergent punktfølge i R 2 med grænsepunkt (a, b), og antag, at (x k, y k ) W for alle k N. Begrund, at (a, b) tilhører W. (b) Begrund, at der findes r R, så 2 ln x < e x 1 1 for x > r. Begrund, at W er kompakt. Opgave 69. (November 2000, opgave 4) Betragt kurven N := { (x, y) R 2 x 2 y 2 + x 3 = 0 }. Lad L betegne mængden af punkter (a, b) N, så N i et passende åbent rektangel om (a, b) definerer y som en C 1 funktion ϕ af x, og lad M betegne mængden af punkter (a, b) N, så N i et passende åbent rektangel om (a, b) definerer x som en C 1 funktion ψ af y. (a) Skitsér N, og begrund, at punktet (0, 0) hverken tilhører L eller M. (b) Bestem mængderne L og M. Angiv ϕ(a) og bestem ϕ (a) for ethvert (a, b) L. Angiv ψ (b) for ethvert (a, b) M. (c) Bestem et størst muligt åbent rektangel W = A B om (1, 2), så der findes C 1 funktion α : A B med N W = { ( x, α(x) ) x A }. Bestem et eksplicit udtryk for α(x), og udregn α (x) for alle x A.
19 EO 19 Opgave 70. (November 2000, opgave 5) Betragt mængden S := { (x, y) R 2 x 3 y og x 3 y 1 }, funktionerne f 1, f 2, f 3 : R 2 R givet ved henholdsvis f 1 (x, y) := x 2 2y, f 2 (x, y) := x 2 2y og f 3 (x, y) := 6x 2 2y samt de tre optimeringsopgaver: (P 1 ) (P 2 ) (P 3 ) Maksimér f 1 (x, y) når (x, y) S ; Maksimér f 2 (x, y) når (x, y) S ; Maksimér f 3 (x, y) når (x, y) S. (a) Skitsér mængden S. Begrund, at den er kompakt. (b) Formulér problemerne (P 1 ), (P 2 ) og (P 3 ) ovenfor som Kuhn Tucker problemer. Afgør for ethvert (x, y) S, om FøringsBetingelsen FB er opfyldt i (x, y). (c) Løs problemet (P 1 ). (d) Løs problemet (P 2 ). (e) Løs problemet (P 3 ). Opgave 71. (November 2000, opgave 6) Betragt det generelle lineære program: (P) Maksimér x 1 2x 2 5x 3 under bibetingelserne x 1 x 2 x 3 1, x 1 + x 2 3x 3 = 1 og fortegnskravene x 1 0, x 2 0. (a) Omform (P) til et program (Q) på kanonisk form. (b) Opstil det duale program (P ), og afgør hvilket af Dualitetssætningens fire tilfælde, der omfatter (P) og (P ). (c) Bestem samtlige tilladte basisløsninger til programmet (Q), og løs dette. (d) Løs det oprindelige program (P). (e) Løs det duale program (P ). Opgave 72. (december 2001, opgave 1) I denne opgave betragtes talfølgen (x n ) bestemt ved x n = ln(n2 + n) ln(n 2 ) + n. (1) Begrund, at der for alle n 2 gælder følgende uligheder: ln n n x n 3 ln n. n (2) Begrund, at x n 0 for n. (3) Begrund, at rækken x n er divergent. (4) Begrund, at rækken xn 2 er konvergent.
20 EO 20 Opgave 73. (december 2001, opgave 2) (1) Bestem de komplekse løsninger z til ligningen (z i) = 0. Løsningerne ønskes angivet på formen z = x + iy, med eksakte værdier af x og y. (2) Angiv produktet af løsningerne. Opgave 74. (december 2001, opgave 3) For hver given værdi af tallet a bestemmes en delmængde S a af R 2 : S a := {(x, y) y 2 x 1 + ay 2 }. (1) Skitser S a for nogle forskellige værdier af a. Skitserne skal illustrere, hvordan formen på S a ændrer sig med a. (2) Angiv de værdier af a, for hvilke S a er konveks. (3) Angiv de værdier af a, for hvilke S a er en afsluttet (også kaldet lukket) delmængde af R 2. (4) Angiv de værdier af a, for hvilke S a er kompakt. Opgave 75. (december 2001, opgave 4) Punktet (x, y, z) = (0, 0, 1) opfylder ligningen (*) x 3 + y 3 + z 3 xyz 1 4 x 1 4 y = 1. (1) Begrund, at ligningen nær punktet bestemmer z som en (differentiabel) funktion z = g(x, y), altså at der findes en funktion g(x, y) defineret i et rektangel R omkring (0, 0), bestemt ved uligheder, R : x δ, y δ, og et positivt tal ε således, at der for hvert (x, y) R findes et og kun et tal z, så z 1 ε og ligningen (*) gælder, nemlig z = g(x, y). (2) Det kan vises, at man i (1) kan tage ε = δ = 1 2. Dette må antages i resten af besvarelsen, og kræves ikke eftervist. Begrund, at funktionen ϕ(t) = g ( 1 2 t, 1 3 t) er en differentiabel funktion, defineret for t < 1, og bestem differentialkvotienten ϕ (0) svarende til t = 0. Opgave 76. (december 2001, opgave 5) Betragt følgende lineære program på standardform: (P ) Maksimer 3x 1 x 2 6x 3 5x 4 under hensyn til bibetingelserne, 2x 1 + 2x 2 x 3 x 4 1, x 1 x 2 2x 3 + x 4 1, og med alle fire variable x j 0. (1) Opstil det duale program (P ). (2) Skitser mængden af tilladte løsninger til (P ). (3) Løs det duale program (P ). (4) Opskriv de ligninger, der ifølge Sætning 4.7 [F, side 4.5] må gælde for koordinaterne til en optimal løsning x til (P ). (5) Løs problemet (P ).
21 EO 21 Opgave 77. (vinteren , opgave 1) Bestem for hver af de efterfølgende rækker de positive værdier af tallet k for hvilke rækken er konvergent: n 2( k + 1 ) n, ( k + 1 ) n, 1 (k n n n ) n. n Bestem dernæst de par (k, a), hvor k > 0 og a er et vilkårligt reelt tal, for hvilke følgende række er konvergent: 1 (k n a + 1 ) n. n Opgave 78. (vinteren , opgave 2) (a) Bestem de komplekse løsninger z til ligningen (z 2 + 2i) 2 + 2i = 0. Løsningerne ønskes angivet på formen z = x + iy, med eksakte værdier af x og y. (b) Angiv (eksakt) de numeriske værdier af løsningerne. (c) Angiv summen og produktet af løsningerne. Opgave 79. (vinteren , opgave 3) Lad T R 3 være delmængden bestående af de punkter (x, y, z), hvis koordinater opfylder følgende fire uligheder: x 0, y 0, z 0, 3x + 2y + z π 2. (a) Begrund, at T er kompakt. (b) Løs følgende maksimeringsproblem: Maksimer funktionen e x sin z for (x, y, z) T. Opgave 80. (vinteren , opgave 4) Lad S R 3 være delmængden bestående af de punkter (x, y, z), hvis koordinater opfylder følgende betingelser: e x cos y + e x sin z + sin y cos z = 0, e x sin y + e x cos z cos y sin z = 0, y 6. (a) Vis, at der findes præcis et punkt (x, y, z) S med z = 0, nemlig punktet (0, 0, 0). (b) Begrund, at der findes to differentiable funktioner ϕ(t) og ψ(t), definerede i et passende interval omkring t = 0, dvs for ε < t < ε med ε > 0, således, at (ϕ(t), ψ(t), t) S for ε < t < ε. Angiv værdierne ϕ(0) og ψ(0). (c) Bestem differentialkvotienterne ϕ (0) og ψ (0).
22 EO 22 Opgave 81. (vinteren , opgave 5) Betragt for et positivt reelt tal k følgende lineære program på standardform: (P k ) Maksimer x 2y under bibetingelserne og altså x 0 og y 0. x y 6, y x 4, (6 k)x ky 0, (a) Skitser mængden S k af tilladte løsninger for nogle udvalgte værdier af k. Skitserne skal illustrere de forskellige muligheder for udseendet af S k. (b) Bestem de værdier af k for hvilke (P k ) har en maksimal løsning, og angiv for hver af disse værdier af k samtlige maksimale løsninger. (c) Opstil det duale program (P k ). (d) Bestem de værdier af k for hvilke Dualitetssætningens tilfælde 1. indtræffer for (P k ) og (P k ). Besvar det samme spørgsmål for tilfældene 2., 3., og 4.
Gamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereLINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
Læs mereMASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereOptimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver
Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereKirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino
12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereUGESEDDEL 12 LØSNINGER. x
UGESEDDEL 2 LØSNINGER Opgave Betragt ligningssystemet af formen Ax = b: ( ) 2 x ( ) x 2 2 =. 4 x Der eksisterer ingen løsning x = (x, x 2, x ) 0, thi venstresiden i første ligning er da 0, medens højresiden
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereStørste- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereLineær programmering. Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0. Vores metode er også nytteløs her. Ekstrema- teori og praksis
Lineær programmering Ekstrema- teori og praksis Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0 Vores metode er også nytteløs her MAT3, EFTERÅR 2011 GROUP G3-112 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AALBORG UNIVERSITET 16. DECEMBER
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereG r u p p e G
M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G 3-1 1 7 V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereNote om interior point metoder
MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereStatisk Optimering. Jesper Michael Møller
Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK 2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereMatematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING
Matematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING 1999 Indhold Talfølger, rækker og komplekse tal, noter ved Tage Gutmann Madsen, omredigeret til HHK af Gerd Grubb: 1 De reelle tal 1 5 2 Reelle talfølger 6 19 3 Uendelige
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereGRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002
GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger,
Læs mereIKKE-LINEÆR OPTIMERING
IKKE-LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Konvekse funktioner 1 2 Optimering uden bibetingelser 1 3 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder 2 4 Optimering under bibetingelser givet
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereStatisk Optimering. Jesper Michael Møller
Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK 2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering
Læs mereMATEMATISK ANALYSE OG STATISK OPTIMERING EN LØSNINGSMANUAL
MATEMATISK ANALYSE OG STATISK OPTIMERING EN LØSNINGSMANUAL Den definitive guide til H2(mat.) kurset MASO ved Copenhagen Business School København, 203 204 Forfattet af SIMON ELLERSGAARD NIELSEN Københavns
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereStatisk Optimering. Jesper Michael Møller
Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereUgeseddel 12(10.12 14.12)
Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereNøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mere