Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
|
|
- Lilian Fog
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver kan løses uafhængigt af opgave 1. Opgave 1 (Tilstandsrum) Når man laver kunstig intelligens til rutefinding, lagerrobotter, satelitter, brætspil, computerspil og en lang række andre anvendelser, prøver man ofte at få en fornemmelse af hvor svært problemet er ved at kigge på størrelsen af tilstandsrummet. Tilstandsrummet er hvor mange forskellige tilstande et system kan være i, og man bruger ofte teknikker indenfor det område af matematikken der hedder kombinatorik for at udregne det. Betragt f.eks. et helt trivielt 1-personers spil, hvor den sorte brik skal flyttes fra den ene ende af brættet til den anden: Der er 5 felter som brikken kan stå på, og derfor bliver størrelsen af tilstandsrummet 5. a) Betragt et spil med 2 brikker (vist nedenfor), hvor brikkerne kan flyttes rundt på alle felter uafhængigt af hinanden, undtagen at der ikke må være 2 brikker på samme felt. Hvad er da størrelsen af tilstandsrummet? Hvordan ændrer størrelsen af tilstandsrummet sig hvis den røde brik ikke kan springe over den sorte, det vil sige, den røde brik altid er til højre for den sorte? Og hvordan ændrer størrelsen af tilstandsrummet sig hvis begge brikker er sorte? LØSNING. Størrelsen af tilstandsrummet er 5 4 = 20: Den sorte brik kan stilles på 5 forskellige felter, og den anden kan derefter stilles på 4 forskellige. Hvis rød ikke kan springe over sort, er der = 10 muligheder: Rød kan stå på 4 forskellige felter når sort er længst til venstre, på 3 forskellige felter når sort er på det næste felt, osv. Hvis begge brikker er sorte er der også kun 10 muligheder. Grunden til størrelsen af tilstandsrummet er relevant for kunstig intelligens er, at det giver en øvre grænse på hvor mange muligheder den kunstige intelligens skal tænke igennem for at løse sit problem. Lad os prøve at tage brætspil som eksempel. I kryds-og-bolle er størrelsen 1
2 af tilstandsrummet 5478, hvilket gør det utroligt nemt at lave et computerprogram som kan spille kryds-og-bolle optimalt. I skak er størrelsen af tilstandsrummet 10 17, og allerede af dette kan man få en fornemmelse af at det er meget sværere at lave et computerprogram som er god til at spille skak (hvilket det ganske rigtigt er). I brætspillet Go er størrelsen af tilstandsrummet , hvilket giver en indikation af at det er endnu sværere (hvilket det også netop er). Det er derfor ikke overraskende at det allerede i 1997 lykkedes at lave et computerprogram som kunne blive verdensmester i skak (IBMs Deep Blue), men først sidste år, i 2017, lykkedes det at lave et computerprogram som blev verdensmester i Go (Google DeepMinds AlphaGo). b) Også hvis vi vil programmere robotter til at kunne løse navigationsproblemer, må vi se på størrelsen af det tilstandsrum de befinder sig i. For hvert af nedenstående eksempler skal du finde størrelsen af tilstandsrummet. Vi antager at der kun kan være 1 robot på hvert felt. LØSNING. I den første er størrelsen 14: der er 14 felter den blå robot kan være på. I den anden er der = 182: for hvert af de 14 felter den blå kan være på, kan den grønne være på hvert af de 13 andre. Opgave 2 (Korteste løsning) En anden vigtig ting indenfor problemløsning med kunstig intelligens er at finde længden af en korteste løsning. Hvis det handler om rutefinding på en GPS eller i Google Maps svarer det til at finde den korteste rute fra A til B. Hvis det handler om at styre en robot, vil man ofte måle længden af en løsning i antallet af operationer som robotten skal udføre. Betragt følgende eksempel: Robotten skal navigere hen til det blå flag, og den kan kun flytte ét felt af gangen, enten op, ned, til venstre eller til højre. Når robotten flytter sig ét felt kalder vi det et træk ligesom i 2
3 brætspil. En korteste løsning er i dette tilfælde den korteste vej til det blå flag målt i antal træk. På eksemplet ovenfor har den korteste løsning længden 6, da robotten skal foretage følgende træk: 1. venstre, 2. venstre, 3. venstre, 4. op, 5. op, 6. højre. Der er også en anden løsning: at gå mod uret rundt. Men den løsning er længere: 1. højre, 2. højre, 3. op, 4. op, 5. venstre, 6. venstre, 7. venstre, 8. venstre. Faktisk er der uendeligt mange løsninger, for robotten kan altid flytte sig frem og tilbage mellem to felter så længe den nu gider inden den til slut går hen til flaget. Løsninger som disse er i virkeligheden en slags simple computerprogrammer, som de kunne se ud på en robot: De fortæller robotten præcist hvad den skal gøre i hvilken rækkefølge. Et sådant program er ikke i sig selv kunstig intelligens, det bliver først kunstig intelligens når robotten selv finder løsningerne. Det område af kunstig intelligens som handler om at få robotter eller anden kunstig intelligens til selv at finde løsninger til problemer kaldes automatiseret planlægning. Det bygger i vid udstrækning på forskellige områder af diskret matematik, især kombinatorik, algoritmik, induktion, rekursion og logik. Der er lidt diskret matematik i gymnasiet, især på A-niveau, men ellers er det noget man først for alvor ser på universitetet. a) Betragt følgende eksempel, hvor den grønne robot skal hen til det grønne flag: Find en korteste løsning, skriv den op på samme form som ovenfor, og angiv dens længde. LØSNING. En korteste løsning er: 1. venstre, 2. venstre, 3. op. Den har længden 3. Når der er mere end én robot bliver tingene en smule mere kompliceret. Vi vælger her at antage at kun én robot kan bevæge sig ad gangen, men de behøver ikke nødvendigvis bevæge sig turbaseret (skiftevis grøn og blå) som i almindelige brætspil. Det kan f.eks. være at den ene robot først bevæger sig halvdelen af vejen, så bevæger den anden sig i mål, og til slut bevæger den første sig også i mål. Når vi snakker om en løsning skal vi derfor specificere hvem der bevæger sig i hvert træk. Hvis grøn skal bevæge sig op i det 5. træk kan vi f.eks. skrive 3
4 det som 5. grøn: op. Betragt følgende eksempel: Her er en korteste løsning følgende: 1. blå: højre, 2. blå: højre, 3. blå: op, 4. blå: op, 5. blå: venstre, 6. blå: venstre, 7. blå: venstre, 8. blå: venstre, 9. grøn: højre, 10. grøn: højre, 11: grøn: op. Længden er 11. Bemærk at længden af en korteste løsning med 2 robotter ikke er lig med summen af en korteste løsning med kun den blå robot (som vi ovenfor fandt til 6) og en korteste løsning med kun den grønne robot (som du fandt løsningen til i spørgsmål a). b) Betragt nu følgende eksempel, hvor begge robotter igen skal til deres respektive målflag: Her er der kun 4 felter, og robotterne skal bytte plads. Hvert træk er enten at flytte ét felt med uret eller ét felt mod uret. Vi kalder disse træk og drej mod uret. Find en korteste løsning, skriv den op på samme form som ovenfor, og angiv dens længde. LØSNING. 1. grøn:, 2. blå:, 3. grøn:, 4. blå:. Længden er 4. 4
5 Opgave 3 (Strategier) Ovenfor fandt vi løsninger, hvor vi bestemte hvad begge robotter skulle gøre. Men normalt vil det jo være robotterne selv der hver især skal beslutte hvad de vil gøre. Og så er det ikke længere nok at skrive en løsning op som en række af træk, for man ved jo ikke nødvendigvis hvad den anden robot har tænkt sig at gøre. I eksemplet ovenfor, hvor robotterne skulle bytte plads, kan det være at robotterne har planlagt at bevæge sig hver sin vej rundt, og så vil de støde sammen (eller den ene robot vil mislykkes). For at løse sådanne problemer laver man en anden type af løsning som kaldes en strategi. En strategi er ikke en simpel række af træk, men en matematisk funktion, som til hver mulig tilstand knytter det træk som robotten skal foretage i den tilstand. Man kan illustrere en strategi som en tabel, hvor der for hver mulig tilstand er angivet hvad robotten skal gøre i tilstanden. Hver robot har så sin egen strategi. I eksemplet ovenfor kan den grønne robot lave strategien vist til venstre på figur 1, hvor vi har byttet de to robotter ud med farvede cirkler, for at gøre det tydeligere. Den første linje viser f.eks. at at den grønne robot har planlagt at starte med at dreje med uret. Hvis det lykkes for den blå robot at bevæge sig mod uret inden den grønne laver sit første træk, vil den grønne i stedet bevæge sig mod uret. Det ses af tredje linje i strategien nedenfor. a) Udfyld resten af strategien for den blå robot i figur 1. Tænk over hvad der vil give mest mening for den blå robot at gøre i hver tilstand. Målet er stadig at både den blå og grønne robot ender på det felt hvor deres eget flag er. LØSNING. Se figur 2. b) Du skal nu afprøve strategierne fra spørgsmål a. Klip de to cirkler ud af figur 3 og brug dem som robotter. Sæt dem til at starte med på hinandens flag. Kast så med en mønt for at finde ud af hvem der skal foretage et træk. Hvis du slår plat, skal den grønne bevæge sig, ellers den blå. Den som skal bevæge sig, skal bevæge sig ifølge strategierne i tabellen i figur 1. Efter første træk kaster du mønten igen, og bruger igen dens udfald til at bestemme hvem der skal rykke. Sådan fortsætter du, med ét møntkast per træk. Så snart du når til en tilstand hvor den ene robots træk hedder skal du ikke længere kaste mønten, men blot følge strategien for den anden robot, indtil den også når til. Forhåbentlig ender det så med at de to robotter ender hvor de skal og ikke støder ind i hinanden undervejs. Hvis de ikke ender hvor de skal, eller hvis de støder ind i hinanden, er der noget galt med stratagierne, og du må prøve at rette din strategi for blå. Prøv at spille spillet nogen gange og se hvor mange træk der bliver brugt i alt hver gang (at vente tæller også som et træk). I sidste spørgsmål ovenfor viser du kun at strategierne virker ved at afprøve dem nogen gange. Normalt vil man forsøge at give et matematisk bevis for at en strategi er korrekt, og måske også at det er den bedste (den som giver de korteste løsninger). I kunstig intelligens prøver man ofte at give et matematisk bevis for at en bestemt metode til at lægge strategier altid giver en korrekt strategi (eller altid den bedst mulige). Dette kan af og til være ret udfordrende, især i det tilfælde hvor robotterne ikke engang nødvendigvis ved hvor de andre robotter skal hen. Det er stadig et aktivt forskningsområde. Anvendelserne er naturligvis ikke kun robotter på spilleplader, men generelt robotter der skal koordinere deres handlinger i forhold til hinanden, f.eks. når de gerne vil samarbejde eller hjælpe hinanden. 5
6 vent vent Figur 1: Strategier for den grønne og blå robot. 6
7 vent vent Figur 2: Løsning 7
8 Figur 3: 8
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereSandsynlighed og kombinatorik
Sandsynlighed og kombinatorik Indholdsfortegnelse... 1 Simpel sandsynlighed... 2 Kombinatorik... 4 Sandsynlighed ved hjælp af kombinatorik... 7 Udregningsark... 8 side 1 Simpel sandsynlighed 1: Du kaster
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik
Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,
Læs mereSkak, backgammon & dam
Skak, backgammon & dam da Spillevejledning Varenummer: 349 582 Made exclusively for: Tchibo GmbH, Überseering 18, 22297 Hamburg, Germany www.tchibo.dk Tchibo GmbH D-22290 Hamburg 92630AB6X6VII 2017-07
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereLærervejledning. Beskriv ideen med spillet i plenum, herunder dets funktion og de tre vigtigste pointer med spillet:
Lærervejledning Få ord på trafikken! Har jeres skole en trafikpolitik? Hvis ikke, kan et spil TrafikPanik være det første skridt. Her kan du læse om spillet, og hvordan du bruger det i trafikundervisningen.
Læs mereSpilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier
Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereLÆR SKAK+MAT MED. Dansk Skoleskak. Elevhæfte
LÆR SKAK+MAT MED Dansk Skoleskak Elevhæfte Tal-bræt 1 8 7 6 5 4 3 2 1 a b c d e f g h elevhæfte 3 1. udgave - 1. oplag 2016 ISBN: 978-87-93516-05-2 Dansk Skoleskak LÆR SKAK+MAT MED DUFFY! 3 Navn: Skole:
Læs mereDer er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.
SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder
Læs mere1gma_tændstikopgave.docx
ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereSide 1 af 8. Vejledning
Side 1 af 8 Vejledning Art. nr. 2079006 Pedalo - Stort spillebræt - spilsamling Læs og opbevar venligst vejledningen De efterfølgende sider indeholder spilanvisning til disse spil: Generel Information:
Læs mereKÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.
2015 60 minutter Navn og klasse Del 1 3 point pr. opgave 1. A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang er længst? A A B
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereLøsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.
Løsninger til 2015 60 minutter Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave 1. 2 3 15 A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang
Læs mereMattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed
Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik
Læs merePartners er et spil med mange klare regler og en masse uskrevne regler, som varierer alt efter, hvem man spiller sammen med.
DM-GUIDEN 2. udgave Forord Velkommen til DM i Partners! Partners er et spil med mange klare regler og en masse uskrevne regler, som varierer alt efter, hvem man spiller sammen med. Ideen med spillet har
Læs mereSum af. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Samlet sum. Navn
Afrund beløb Sum af alle beløb til hele kroner Nr. 27 Navn Runde 1 Runde 2 Runde 3 Runde 4 Runde 5 Runde 6 Samlet sum Navn Runde 1 Runde 2 Runde 3 Runde 4 Runde 5 Runde 6 Sum af alle beløb til hele kroner
Læs mereLÆR SKAK+MAT MED. Dansk Skoleskak. Elevhæfte
LÆR SKAK+MAT MED Dansk Skoleskak Elevhæfte Tal-bræt 1 8 7 6 5 4 3 2 1 a b c d e f g h elevhæfte 1 1. udgave - 1. oplag 2016 ISBN: 978-87-93516-03-8 Dansk Skoleskak LÆR SKAK+MAT MED DUFFY! 1 Navn: Skole:
Læs mereEleverne kan med egne ord beskrive, hvordan de med eksperimenter og problemløsning vil strukturere deres arbejde.
Trækfuglen Opgaveark Matematik, 1.-5. klasse Omfang: Fra 1 lektion og opefter Spil dig klog Også børnene i Dhakas slum elsker at lege og spille, når de har tid. Ofte sidder de og spiller forskellige former
Læs mereTegn og gæt gennemsnittet
Tegn og gæt gennemsnittet Nr. Gruppeaktivitet. Kast en -sidet terning. Terningeslaget angiver et gennemsnit. Tegn gennemsnittet med to eller tre forskellige søjler på kopiarket, og giv arket videre til
Læs mereKOPIARK. Format 2.klasse Kopiside
KOPIARK Format 2.klasse Kopiside nr. 1 Stranden Strimler til at skrive navne i. A4 A3 Format 3. klasse Kopiark Elevbog side 5 Format bh. kl. Alinea Kopiark Elevbog side 7 Stranden nr. 2 Søjler til registrering
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereStatistik og sandsynlighed
Statistik og sandsynlighed Statistik handler om at beskrive og analysere en stor mængde data. som I eller andre har indsamlet. Det kan fx være tal, der fortæller om, hvor mange lynnedslag der er i Danmark
Læs mereFlick em Up! Inden spillets start. Scenarie (opsætning) Hold. Lad os spille! Runder. Inden spillet kan starte skal I vælge: En flade at spille på
Flick em Up! Inden spillets start Inden spillet kan starte skal I vælge: En flade at spille på Et scenarie Hvilke hold I skal være på. Den bedste flade at spille på. Flick 'em Up! kan spilles på de fleste
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereTRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn
TRIX Træningshæfte Side J a o u - - - - - - e t u r i g v b n Fra oven p FACITLISTE Forfra Fra siden Jubii Side Side Femkanter Veksle mønter Farv rødt Farv gult Jubii Positionssystemet Øverst: Eksperimenter
Læs mereFP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.
FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet
Læs mereBeat the Clock Sorteringsnetværk
Aktivitet 8 Beat the Clock Sorteringsnetværk Resumé Selvom computer er hurtige, er der en grænse for, hvor hurtigt de kan løse et problem. En måde at speed e det op på er at bruge flere computere til at
Læs mere4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi
Læs mereSkak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik
1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat
Læs mereFør-skoleskak Undervisningsbog
Før-skoleskak Undervisningsbog Dansk Skoleskak - leg og læring Før-skoleskak - undervisningsbog Dansk Skoleskak 1. udgave, 1. oplag 2013 ISBN: 978-87-87800-88-4 Udgiver Dansk Skoleskak - Skoleskak.dk Før-skoleskak
Læs mereHer følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:
BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som
Læs mereFP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.
FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet
Læs mere5, 10 og 1 4, 5 og 6 7, 11 og 4. 2, 3, 5 og 4 0, 1, 5 og 2 5, 2, 4 og 3. 2, 3, 4 og 1 4, 2 og 3 1, 8, 4 og 3. 5, 3 og 1 3, 4,og 5 3, 4 og 2
skrig Nr. 63 5, 0 og 4, 5 og 6 7, og 4, 3, 5 og 4 0,, 5 og 5,, 4 og 3, 3, 4 og 4, og 3, 8, 4 og 3 5, 3 og 3, 4,og 5 3, 4 og 5, 3, 3 og 7, 3 og, 4, 4 og, -, 3 og 6 6, 3, og 6 og 3, 4, 0 og 9 4 og 4 og 4
Læs mereTAKEAWAY TEACHING. Bliv inspireret til at undervise i studiestrategier TEMA: RAMMESÆTNING AF SAMARBEJDE I STUDIEGRUPPER
TAKEAWAY TEACHING Bliv inspireret til at undervise i studiestrategier v TEMA: RAMMESÆTNING AF SAMARBEJDE I STUDIEGRUPPER Udviklet af Rose Alba Broberg, CUDiM TAT tema: Rammesætning af Samarbejde i Studiegrupper,
Læs mereSeniorspejder: Stifindere
Seniorspejder: Stifindere Formål Dette mærke er for dem der vil blive vaskeægte ruteræve. Tanken med mærket er at spejderne får praktisk erfaring med orientering. De skulle gerne blive ægte ruteræve med
Læs mereRækkefølgen af faserne i en spilleomgang Nedenfor ses et resumé af faserne i en spilleomgang, som SKAL udføres i nævnte rækkefølge.
14538i08 2/18/00 4:31 PM Page 1 Rækkefølgen af faserne i en spilleomgang Nedenfor ses et resumé af faserne i en spilleomgang, som SKAL udføres i nævnte rækkefølge. Forstærkningsfase - 1/3 af de besatte
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKorncirkler og matematik
Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur (struktur opbygget af et endeligt antal enkeltdele) blandt mange mulige. Eksempler:
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereZhezz. Spillevejledning
Zhezz Spillevejledning Et bræt opdelt i 264 felter og klodser som gør det muligt fra brættets midte, at opbygge flere felter i en ny dimension og lave et 3D landskab. 1 Zhezz Spillets profil En anderledes
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereJEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer
JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen Brug låget i
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereSPHERO 2.0 undervisningsforløb til mellemtrinnet i matematik Polygoner og vinkler
SPHERO 2.0 undervisningsforløb til mellemtrinnet i matematik Polygoner og vinkler Fælles mål 2014 Matematik Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende geometriske
Læs mereKompetenceområder Kompetencemål Færdigheds- og vidensmål. baggrund af egne og andres spørgsmål
Månestenen Opgaveark Matematik og N/T, 1.-5. klasse Omfang: 2-4 lektioner Kamelgrublerier I dette opgaveark finder du en række aktiviteter, der styrker eleverne i at blive bedre problemløsere. Eleverne
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereDen gamle togkonduktør
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG LOGIK SVÆR Den gamle togkonduktør Grubleren En pensioneret togkonduktør går en gang i døgnet en tur med sin hund. Han kommer altid forbi broen over banen og altid på et tilfældigt
Læs mereMatematik A og Informationsteknologi B
Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDARTREGLER. Ikke alle darts scorer
DARTREGLER Hvem skal starte? Almindeligt træningsspil kan afgøres ved, at hver spiller kaster en dart. Den, der rammer nærmest bull, starter. Denne form for afgørelse kaldes»middle for diddle«. I nogle
Læs mereSpillets formål og opsætning
Steffen Benndorf og Reinhard Staupe Kun for sjov! Spillere: 2-6 Alder: 8 år og op Spilletid: ca. 15 minutter Spillets formål og opsætning Hver spiller for sit eget ark papir (der er seks forskellige ark)
Læs mereLoddevejledning til samling af CanSat-shields
Loddevejledning til samling af CanSat-shields Vejledning til lodning af komponenter på CanSat-shield til Arduino Nedenstående vejledning illustrerer, hvordan komponenterne skal loddes på CanSat-shield'et
Læs mereDen måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition.
Komposition - om at bygge et billede op Hvis du har prøvet at bygge et korthus, ved du, hvor vigtigt det er, at hvert kort bliver anbragt helt præcist i forhold til de andre. Ellers braser det hele sammen.
Læs mereKyndig biavler syner for andre
Kyndig biavler syner for andre Er du uddannet kyndig biavler, må du syne andres bier og udstede sundhedsattest på dem. Det kan biavlerne have brug for i tilfælde af, at de skal flytte deres bier eller
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 26. maj 2009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning
Læs mereKombinatorik og Sandsynlighedsregning
Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereformler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereHop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.
Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDet forrykte kortspil for hele familien. For 2-10 spillere fra 6 år
Indhold 112 kort 1 sæt regler Det forrykte kortspil for hele familien. For 2-10 spillere fra 6 år SPILLET IDE Det gælder om at være at komme af med alle kort fra hånden, for derved at score så få minuspoint
Læs mereDisse regioner er her omkranset med respektive farver: sort og hvid, og bærer navnet: - Create land eller Opbyg eget rige -
Zhezz for 2 ZHEZZ er en ny og anderledes version af skak. Som noget helt unikt, kan brættets sort/hvide felter bygges op i et 3D landskab, hvor det er muligt for nogle af spillets brikker at rykke op.
Læs mereGo, go, go Søren Wengel Mogensen
4 Blokkens spil Go, go, go Søren Wengel Mogensen Du har set Russell Crowe gøre det i A Beautiful Mind. Nu skal du gøre det i Famøs. Der er selvfølgelig tale om at spille go. Go er meget kort navn for et
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereZBC Vordingborg Marcus Rasmussen, Oliver Meldola, Mikkel Nielsen 17/02 2015. The Board Game
The Board Game 1 Målgruppe Før vi kom på vores spil, havde vi lidt en ide om hvad det ville komme til at blive. Vi så på spillet Cards against humanity og vores spil ville blive lidt som det, da der vil
Læs mereE-MAIL WINDOWS LIVE MAIL
E-MAIL WINDOWS LIVE MAIL Erik Thorsager, Esbjerg. 3. udgave: Live Mail Side 1 Windows Live Mail Hvordan skriver og sender jeg en e-mail? Det engelske ord mail betyder post. E står for elektronisk. E-mail
Læs mereBaggrund for XP turnering
Turnering Baggrund for turnering -turneringen blev en realitet i forbindelse med projektet Bring Minoriteterne i Spil (BMIS). Behovet for en ny turneringsform opstod i arbejdet på en række skoler, hvor
Læs mereBroer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.
Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereFang Prikkerne. Introduktion. Scratch
Scratch 2 Fang Prikkerne All Code Clubs must be registered. Registered clubs appear on the map at codeclubworld.org - if your club is not on the map then visit jumpto.cc/ccwreg to register your club. Introduktion
Læs mereKunstig intelligens. Thomas Bolander, Lektor, DTU Compute. Siri-kommissionen, 17. august Thomas Bolander, Siri-kommissionen, 17/8-16 p.
Kunstig intelligens Thomas Bolander, Lektor, DTU Compute Siri-kommissionen, 17. august 2016 Thomas Bolander, Siri-kommissionen, 17/8-16 p. 1/10 Lidt om mig selv Thomas Bolander Lektor i logik og kunstig
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereUndo Jo flere jo bedre! 1/9
Undo Jo flere jo bedre! + 1/9 Indholdsfortegnelse Målgruppen.... Side 3 Redegørelse for spillet...side 4 Produktionen..Side 6 Dokumentation for spiltest....side 7 Spilvejledning......Side 8 Regelhæfte.....Side
Læs mereTitel. Data om læremidlet:
Titel Tema: Fag: Målgruppe: Blue-Bot Blue-Bot robotterne Engelskfaget 0. 4. klasse Data om læremidlet: QR-kode Fører til posten i mitcfu 6 Blue-bot 1 dockingstation Opgaveark Udgiver: PodConsult Udgivelsesår:
Læs mereBumser og Drager. Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+
Bumser og Drager Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+ Spillet indeholder: 1 Spilplade (T-shirt) 1 Figur 8 Røde terninger 60 Dårlig Ide kort 6 Karakterplader 6 Vinder emblemer 12 Eventyrkort
Læs mereMatematik i stort format Udematematik med åbne sanser
17-09-2010 side 1 Matematik i stort format Udematematik med åbne sanser Fredag d. 17. september kl. 11.15-12.15 Næsbylund Kro, Odense Mette Hjelmborg 17-09-2010 side 2 Plan Hvad er matematik i stort format?
Læs mereHukommelsesspil. Introduktion. Scratch
Scratch 2 Hukommelsesspil All Code Clubs must be registered. By registering your club we can measure our impact, and we can continue to provide free resources that help children learn to code. You can
Læs mereSortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Læs mereIndhold Forklaring til kortene Antal trylletricks Spillets mål Trick nr. 1: BANK PÅ BUNKEN Materiel Hemmelig forberedelse
DK Fra 8 til 99 år 1 tryllekunstner + publikum Indhold: 61 kort (et spil med 48 kort + 6 kort med bagside på begge sider + 1 kort kort + 6 tryllekort med gule pailletter) Forklaring til kortene: 4 familier
Læs mereTal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?
Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de
Læs mereF I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING
F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple
Læs mereLeg og bevægelse. Eleverne kan i grupper samarbejde om en leg/spil. De kan overholde regler i en leg eller et spil.
Månestenen Opgaveark Idræt 1.-5. klasse Omfang: Varierende Leg og bevægelse Motion og bevægelse er en fast del af skoleskemaet. I dette opgaveark får du inspiration til forskellige lege-, spil-, og bevægelsesaktiviteter,
Læs mere