Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018"

Transkript

1 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave at forklare, hvordan man kommer frem til facit i de enkelte opgaver. Der er altså ikke afkrydsningsfelter, der er kun facit og tilhørende udregninger. Udregningerne er meget udpenslede, så de este kan være med.

2 Indhold Problem Problem 2 4 Problem 6 Problem 4 7 Problem 5 8 Problem 6 9 Problem 7 Problem 8 2 Problem 9 Problem 4 Problem 5 Problem 2 7 Problem 2 Problem 4 2 2

3 Problem Hvilke udsagn om ligningssystemet er sande? Svar: x + 2x 2 + 2x = x + 7x 2 + x = x + x 2 x = 8 Lad os bare rækkereducere totalmatricen. Vi får: Dette betyder, at x = 8x x 2 = 7 + x x er fri variabel, hvilket kan opsummeres med x 8 x 2 = 7 + x. x Da x er en fri variabel er der uendeligt mange løsninger. Endvidere giver specikke værdier for x konkrete løsninger. Vi har: 8 6 x = ( 2) = =. 2 2 Det betyder, at hvis x = 2, så skal x = og x 2 = før dette er en løsning. Endvidere prøves for x = : 8 2 x = 7 + =. Vi ser altså, at x = skal medføre, at x = 2 og x 2 =, før dette er en løsning til systemet. INDHOLD

4 Problem 2 I opgaven undersøges matricen A =. Hvilke af de følgende påstande er korrekte? u = er en egenvektor for A. For at u er en egenvektor, skal der gælde, at Au = λu. Vi har: + ( ) + ( ) 4 Au = = + + ( ) ( ) = = 4 = 4u + ( ) + ( ) ( ) 4 Det ses, at Au = 4u, hvorfor u er en egenvektor for A med egenværdien 4. v = er en egenvektor for A. Vi har: + ( ) + Av = = + + ( ) = = v + ( ) + ( ) Det ses, at Av = v, hvorfor v er en egenvektor for A med egenværdien. w = 2 er en egenvektor for A. Det ses, at: + ( ) ( 2) + 4 Aw = 2 = + ( 2) + ( ) = 8 = 4 2 = 4w + ( ) ( 2) + ( ) 4 Det ses, at Aw = w, hvorfor w er en egenvektor for A med egenværdien 4. u og w har samme tilhørende egenværdi. Nej, u havde egenværdien 4, hvorimod w havde egenværdien 4. INDHOLD 4

5 v og w er lineært afhængige. Nej, for de er begge egenvektorer med forskellige tilhørende egenværdier. A er diagonaliserbar. Ja. A er en -matrix. Og vi har fundet forskellige egenværdier for A, nemlig -4, og 4. Multipliciteten er for hver af egenværdierne, hvormed A er garanteret diagonaliserbar. 4 A er similær med diagonalmatricen. 4 Ja. Da A er diagonaliserbar er det muligt at opskrive A = P DP, hvor søjlerne i P indeholder egenvektorerne, og D er diagonalmatricen med egenværdierne. Da diagonalmatricen, D, kan skrives som en af følgende , 4,, 4, 4, jævnfør diagonaliseringen af A, er A altså også similær med disse matricer, hvilket inkluderer den i opgaven. A er invertibel (regulær). Ja. Da nulvektoren ikke er en egenværdi, er A invertibel. INDHOLD 5

6 Problem A er en m 2-matrix og B er en n 4-matrix, sådan at C = AB er en 4 4. A er standardmatricen for en lineær transformation S : R 2 R m, B er standardmatricen for en lineær transformation T : R 4 R n, og C er standardmatricen for en lineær transformation U : R 4 R 4.. Hvilket værdier antager m og n? Husk, at C = AB. Det betyder, at (m 2)(n 4) = 4 4. For at A og B skal kunne ganges sammen, så skal n = 2. Ellers er det ikke et gyldigt produkt. Endvidere giver 4 4-delen, at m = 4 for at slutproduktet har de rigtige dimensioner. 2. Hvilke af udsagnende kan umuligt være sande? Vi opsummerer lige de kendte detaljer: A hører til S og er en 4 2-matrix. B hører til T og er en 2 4-matrix. C hører til U og er AB. Surjektivitet: Husk, at hvis en lineær afbildning skal være surjektiv, skal der være pivot i alle rækker. Da A har færre søjler end rækker, kan A umuligt være surjektiv. Da B har færre rækker end søjler, kan der sagtens være pivot i alle rækker i B. Det er altså muligt, at B er surjektiv. Surjektivitet betyder, at hele kodomænet (værdimængden) bliver ramt. I og med, at C = AB, så uanset om B er surjektiv (rammer hele sit kodomæne), så har vi fastslået tidligere, at A ikke kan ramme hele sit kodomæne (være surjektiv). Derfor kan C heller ikke være surjektiv. Injektivitet: Husk, at hvis en lineær afbildning skal være injektiv, skal der være pivot i alle søjler. Da A har færre søjler end rækker, kan A altså godt være injektiv. Da B har færre rækker end søjler, kan B altså ikke have pivot i alle søjler, og derfor kan B umuligt være injektiv. Hvis en matrix ikke er injektiv, ndes der andre vektorer i nulrummet end nulvektoren. Det vil sige, at der ndes en vektor v Null B, hvilket betyder, at Bv =. Betragt derfor: Cv = ABv = A =, for v Null B. Helt konkret vil en vektor i nulrummet af B også ligge i nulrummet af C. Derfor kan C umuligt være injektiv, når B umuligt kan være injektiv. INDHOLD 6

7 Problem Her ses på matricen A = 2 6 og b = 8, c =, d = 2 6. Er d indeholdt i søjlerummet Col A? Nej, d har en dimension for meget til at kunne ligge i søjlerummet for A. 2. Er b indeholdt i søjlerummet Col A? Vi betragter matricen [A b] og rækkereducerer: Der er pivot i de første søjler - hvorfor der ikke er pivot i den sidste. Dermed må b ligge i søjlerummet for A.. Er c indeholdt i nulrummet Null A? Hvis dette er sandt skal Ac =. Vi tjekker: ( 2) + + = 2 + ( ) = Altså ligger c ikke i Null A.. Er d indeholdt i nulrummet Null A? Hvis dette er sandt skal Ad =. Vi tjekker: ( 2) + ( ) + = ( ) + ( ) + 6 = ( ) + Altså ligger d ikke i Null A = 4 2 = 4 INDHOLD 7

8 Problem 5 Hvilken af de følgende vektorer stemmer overens med produktet Ab af matricen [ ] A = 5 og vektoren b =? Svar: [ ] Ab = 5 = ( ) ( 2) 5 + ( ) ( 2) = ( 2) =. 9 INDHOLD 8

9 Problem 6 Opgaven tager udgangspunkt i ligningssystemet x + x =. Opskriv totalmatricen [A b]. Denne er blot x + 2x 2 5x = 2x + x 2 2x = Opskriv den reducerede trappematrix for A Hvilken af de følgende påstande er sand? Systemet er KONSISTENT, da der ikke er pivot i sidste søjle. Vi ser endvidere, at x = x x 2 = 4 + x x er fri, hvorfor løsningerne til ligningssystemet kan skrives: x x 2 = + x 4. x Da x er en fri variabel er der uendeligt mange løsninger. For en givet værdi af x kan x og x 2 ndes for, at de er løsninger. Vi tjekker: x 2 x = x 2 = + 4 = 5. x Dette stemmer over ens med x = 2, x 2 = 5, x = er en blandt ere af systemets løsninger. For god ordens skyld lad os tjekke den anden mulighed: x x = x 2 = + 4 = + 2 =. x Dette stemmer ikke over ens med x = 2, x 2 =, x = som løsning. INDHOLD 9

10 Problem Ligningen Ax = b betragtes for A = og b =. Det oplyses, 2 2 at totalmatricen [A b] er rækkeækvivalent med den reducerede echelonmatrix Hvilke søjler i matricen A er pivotsøjler? Dette er søjlerne og, da det er de første ikke-nul indgange i deres respektive rækker OG søjler, hvilket ses i den reducerede trappematrix af totalmatricen. 2. Hvad er rangen af matricen A? Der er 2 pivotsøjler i A, derfor er rangen 2.. Hvad er nulliteten af A? Husk på, at den rækkereducerede matrix, der ses, er totalmatricen på trappeform. Der er kun 4 søjler i A, og 2 af disse er pivot. Nulliteten er søjler, der ikke er pivot, hvilket altså må være de resterende Har ligningen Ax = b en løsning x = (x, x 2, x, x 4 ) hvori x 2 =? Da søjle 2 og 4 ikke er pivotsøjler, er x 2 og x 4 frie variable. Det vil sige, at hvis vi blot vælger en værdien for x 2, så vil der altid være en løsning, da systemet er konsistent. Som en lille sidenote kan det bemærkes, at da x 4 også er en fri variabel, så vil der stadig være uendeligt mange løsninger trods en fastsættelse af værdien for x Ligningen Ax = b har som partikulærløsning: Totalmatricen giver os følgende ligheder x = 2 + 2x 2 x 4 x 2 er fri x = x 4 x 4 er fri. Dette betyder, at alle løsninger kan skrives x 2 2 x 2 x = + x 2 + x 4. x 4 INDHOLD

11 Vælges x 2 = 2 og x 4 = : x x 2 x = x =. Da x 2 = og x 4 = blandt andet medfører, at x =, kan x = ( 2,,, ) IKKE være en løsning. Vi prøver igen med x 2 = og x 4 = : x 2 2 x 2 x = + = 2. x 4 Da x 2 = og x 4 = blandt andet medfører, at x =, kan x = ( 2,,, ) IKKE være en løsning. Vi prøver med den sidste for x 2 = og x 4 = : x x 2 x = + + =. x 4 Dette stemmer perfekt over ens med svaret x = ( 2,,, ), som derfor er en løsning. INDHOLD

12 Problem 8 2 I opgaven undersøges tre vektorer a = 2, b = og c = 4 i R. Bemærk, 2 t at den sidste koordinat t i vektoren c er et variabelt reelt tal.. a, b og c er lineært afhængige vektorer for hvilke(n) værdi(er) af t? Vi opstiller en matrix og rækkereducerer: t 2 t + 6 Hvis vektorerne ikke må være lineært afhængige, må der ikke være pivot i alle søjlerne. Den eneste måde at undgå dette på er ved at lade t = 6, således der fås en nulrække. 2. a, b og c udspænder R for hvilke(n) værdi(er) af t? Dette er det modsatte tilfælde af før. Vektorerne udspænder kun R, hvis der er pivot i alle søjlerne fra før. Det vil sige, at t 6. Dette er dog lidt et snydespørgsmål, da t = 6 ikke er det eneste svar. For t = 2 er også et svar, da 2 6. Medmindre man er en matematiker, der arbejder med gruppeteori, men det gør I ikke, så glem den her fodnote. INDHOLD 2

13 Problem 9 Her ses på to 5 5-matricer A og B. Desuden er v en egenvektor for A med tilhørende egenværdi -, og w = Av er en egenvektor for B med egenværdi 5.. Er w altid en egenvektor for B 2 = BB? Da w er en egenvektor for B med egenværdien 5, ved vi, at Bw = 5w pr. denition. Altså er B 2 w = BBw = B5w = 5Bw = 5 5w = 25w. Altså er w en egenvektor for B 2 med egenværdien Er v altid en egenvektor for BA? Vi ved, at Av = v, Av = w og Bw = 5w. Derfor er BAv = Bw = 5w = 5Av = 5 ( )v = 5v. Altså er v en egenvektor for BA med egenværdien 5.. Er v altid en egenvektor for AB? Ja, denne er altid det samme som nummer 2 i det givne setup og egenværdien er altid λ λ 2, som er de to oplyste egenværdier ganget sammen. Se eventuelt mine noter for lineær algebra. Husk, at w = Av, og da Av = v er w = v, hvorfor v = w. Vi ser at ABv = ABw = 5 Aw = 5Av = 5 ( )v = 5v. INDHOLD

14 Problem De tre vektorer u =, u 2 = 4 og u = udgør en basis B for R. 4 Hvis man anvender Gram-Schmidt processen på B, så fremkommer der en ortogonal basis bestående af vektorerne v, v 2 og v. Hvilken udsagn gælder? Svar: Husk den generelle formel for Gram-Schmidt processen er v n = u n v u n v 2 v... v n u n v n 2 v n. ) Vi sætter altid v = u. 2) Vi nder først længden (kvadreret) af v og prikproduktet mellem v og u 2 : v 2 = ( ) 2 +( ) 2 = 2, v u 2 = 4 = ( )+ 4+( ) ( ) = ++ = 2. Da v u 2 v 2 = 2 2 = er v 2 = u 2 v = u 2 u = 4. ) Vi laver igen indledende udregninger: v 2 2 = 4 2 = 6 v u = = + ( ) + ( ) ( 4) = = 4 4 v 2 u = 4 = + 4 ( ) + ( 4) = 4 + = 4. 4 Dermed er v = u v u v 2 v v 2 u v 2 2 v 2 = u 4 2 v v 2 = u 2v + 4 v 2. Det ses, at 'eren ikke passer til 'ingen af delene'. INDHOLD 4

15 Problem I denne opgave betragtes de følgende 4 matricer: [ ] [ ] 2 2 A =, B =, C =, D =. 2 2 Er det sandt, at. A og B er inverse til hinanden? Vi ganger og ser: [ ] [ ] [ AB = = + 2 ] = [ ] Vi ser, at de giver identitetsmatricen, hvorfor de er inverse til hinanden. 2. C og D er inverse til hinanden? Jeg er doven. Gang selv matricerne sammen og se, at du får identitetsmatricerne. Tillykke, du har nu vist, de er hinandens inverse.. A er diagonaliserbar. Ja. Da A er en (øvre) trekantsmatrix ses egenværdierne på diagonalen. Disse er altså og. Der er altså to forskellige egenværdier, hvorfor de hver kun har multiplicitet. Dermed er A diagonaliserbar. 4. B er diagonaliserbar. Ja, fordi B er invers til A, og A er diagonaliserbar, er B også diagonaliserbar. Dette skyldes: A = P DP B = A = (P DP ) = P D P. Et andet argument, der kan bruges er ved at se, at B også er en trekantsmatrix, hvorfor egenværdierne og / står på diagonalen. Disse er forskellige, så multipliciteten af egenværdierne er. Dermed er B diagonaliserbar. 5. C er diagonaliserbar. Denne er også en trekantsmatrix, så egenværdierne og /2 kan aæses. Det ses, at har multiplicitet 2. Vi skal altså tjekke, om egenrummet har dimension 2. Vi trækker fra på diagonalen: 2 =. Der er altså 2 pivotsøjler. Dette betyder, der kun er fri variabel, hvorfor egenrummet også kun har dimension. Da dimensionen af egenrummet () ikke er lig med multipliciteten af den egenværdi, der blev trukket fra (egenværdien har multiplicitet 2), er C ikke diagonaliserbar. INDHOLD 5

16 6. D er diagonaliserbar. Nej, da C og D er inverse til hinanden, og C ikke er diagonaliserbar, da er D heller ikke diagonaliserbar. INDHOLD 6

17 Problem 2 I denne opgave tages udgangspunkt i vektoren u = lineær transformation T : R 2 R 2, som opfylder: T (u) = u og T (v) = v. [ ] og v = [ ] i R 2 og i en Lad A = [a a 2 ] være standardmatricen for transformationen T (a og a 2 er altså søjlevektorerne i A).. u og v er ortogonale. Vi prikker de to vektorer: u v = [ ] [ ] = ( ) + =. Da prikproduktet er, er vektorerne ortogonale. 2. Hvilke af vektorerne u og v er egenvektorer for T? Begge, da T (u) = u har u tilhørende egenværdi. Ligeledes giver T (v) = v, at v er en egenvektor med egenværdien -. Vektorerne u og v udgør en ortonormal basis for R 2. Vi ved allerede, at u og v er ortogonale - det ændrer en skalering ikke på. Vi skal altså blot tjekke, hvad længden af de to vektorer er. Det er samme tal, der indgår med forskellige fortegn, så de har samme længde: u = =. Da længden af u (og v) er, og det er denne enhed, der divideres med, er der altså tale om en ortonormal base, der vektorerne ender med at have længde. 4. a = [ ].8..6 Vi ved, at og er egenværdier til T og dermed dennes standardmatrix A. Disse er forskellige, og da A er en 2 2-matrix er det de eneste med multiplicitet. Dette betyder, at A kan diagonaliseres ved A = P DP. Her indeholder P egenvektorerne og D egenværdierne, så de fremtræder i samme orden. Et bud: P = [ ], D = [ Vi kan nu nde P ved at bytte rundt på diagonalen og ændre fortegn på antidiagonalen og dividere med determinanten for P : 2 [ ] P = = [ ]. ( ) 2 Grundet resultatet fra før, kan man faktisk bruge de vektorer som matrix og lade denne stå som P. Dermed kan denne blot transponeres for at nde den inverse, da disse vil være ortogonale matricer. ]. INDHOLD 7

18 Dermed er A = P DP = [ ] [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] Vi ser, [ da alle ] elementerne skal divideres med grundet skalaren ude foran, at.8 a = a 2 = [ ].6.8 Ja, se forrige opgave A er en ortogonal matrix Lad os blot gange A og A sammen. Hvis det giver identitetsmatricen, så er de ortogonale: AA = [ ] [ ] = [ ] 8 ( 8) = [ ] = I ( 8) Da AA = I er A en ortogonal matrix. 7. Er T (u) T (v) = u v for alle vektorer u og v i R 2? Ja. Faktisk er dette en anden måde at sige, at A er en ortogonal matrix på. Eksaminator er dog lidt irriterende, når vedkommende vælger at bruge 'vilkårlige' u og v i en opgave, hvor samme vektorer er deneret til noget specikt. Så jeg kalder lige de vilkårlige vektorer for w og w 2. Man kunne eventuelt prøve at vise opgave 6 ved at lave udregningen i 7'eren. Vi ved, at u og v er ortogonale, så de udspænder hele R 2. Vi kan altså lave alle vektorer som en linearkombination af disse: Dermed er w = α u + β v, w 2 = α 2 u + β 2 v. T (w ) T (w 2 ) = T (α u + β v) T (α 2 u + β 2 v) = (α T (u) + β T (v)) (α 2 T (u) + β 2 T (v)) = (α u β v) (α 2 u β 2 v) = α u α 2 u β v α 2 u + α u ( β 2 )v β v ( β 2 )v. Husk, at u og v er ortogonale, så u v =. Ovenstående reduceres altså til: T (w ) T (w 2 ) = α u α 2 u β v α 2 u + α u ( β 2 )v β v ( β 2 )v Lignende udregning fås ved: = α u α 2 u + β v β 2 v w w 2 = (α u + β v) (α 2 u + β 2 v) = α u α 2 u + β v β 2 v = T (w ) + T (w 2 ). Så det stemmer over ens med, hvad vi fandt ud af i forrige opgave. A er ortogonal. - Og opgave 7 er et klart ja. INDHOLD 8

19 8. Afbildningen T beskriver i planen: En spejling. Dette er grundet, at vi er i to dimensioner, hvor A er en ortogonalmatrix med egenværdierne og -. Alle disse elementer samlet medfører en spejling. INDHOLD 9

20 Problem Her ses på 5 5-matricer A og B, som opfylder, at det A = og det AB = 6.. Hvilken værdi har det( A)? Husk, at det er 5 5-matricer. Derfor fås: 2. Hvilken værdi har det(2a) Vi bruger samme regneregel og opnår:. Hvilken værdi har det B? Vi ser, at det( A) = ( ) 5 det(a) = ( ) =. det(2a) = 2 5 det A = 2 ( ) = 96 det(ab) = det(a) det(b) = 6 det(b) = 4. Hvilken værdi har det((b A) )? Transponering ændrer ikke determinanten, vi har: 6 det(a) = 6 = 2. det((b A) ) = det(b A) = det(b ) det(a) = det(b) det(a) = 2 ( ) = 6. INDHOLD 2

21 Problem 4 Følgende kommandoer indtastes i MATLABs Command Window: A = [ ; 2 -; 2 - ]; b = [4; ; 2]; T = [A b];. Hvad er størrelsen af matricen T? Mellemrum indikerer søjleskift, og semikolon indikerer rækkeskift. Der er søjler i A og i b. Der er rækker for begge. Derfor er T en 4-matrix. 2. Ligningssystemet Ax = b har en entydig løsning x. Hvilken af følgende kombinationer af MATLAB kommandoer beregner x? Det gør: R = rref(t); x=r(:,4) Her rækkereducerer kommandoen R = rref(t) nemlig matricen T. Kommandoen x=r(:,4) indikerer, at x skal være 4. søjle og række (:). I MATLAB indikerer (:), at det skal være alle. Da kolon står først, er det altså alle rækker, der er tale om, hvilket er dem, vi vil have fat i, når vi har rækkereduceret en totalmatrix. INDHOLD 2

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. februar, 3. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede

Læs mere

Prøveeksamen A i Lineær Algebra

Prøveeksamen A i Lineær Algebra Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Underrum - generaliserede linjer og planer

Underrum - generaliserede linjer og planer 1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.

Læs mere

Eksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger

Eksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den 9. februar, 4. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Eksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger

Eksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z

Læs mere

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem

Læs mere

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1 Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 30. januar 2004 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley;

D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley; LINEÆR ALGEBRA 2. februar 2007 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley; man kan også anvende Third Edition (men ej anden

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

LiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5

LiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer

Læs mere

Lokalt ekstremum DiploMat 01905

Lokalt ekstremum DiploMat 01905 Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,

Læs mere

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere