Projekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri
|
|
- Karl Bonde
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x = a. Tilsvarende har vi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet 3 p 3 ( x) = a x + x + c x + d altid er symmetrisk omkring punktet, p3 3a 3a. Men for polynomier af højere grad er det mere kompliceret. Allerede ved fjerdegradspolynomiet ehøver grafen derfor ikke have en symmetriakse. Øvelse 1: ) Tegn grafen for et tilfældigt fjerdegradspolynomium. I dit CAS-værktøj findes fx sandsynligvis en kommando noget i retning af randpoly(x,), der fremringer en forskrift for et tilfældigt fjerdegradspolynomium med heltallige koefficienter mellem -1 og 1. Er det nemt at finde et symmetrisk fjerdegradspolynomium? Inden vi kigger nærmere på fjerdegradspolynomierne ser vi lidt nærmere på symmetri for et vilkårligt polynomium. Sætning 1: Grafen for et polynomium er symmetrisk omkring y-aksen x =, hvis og kun hvis polynomiet kun indeholder led af lige grad: px ( ) p( x) = a + a x + a x +... Øvelse : a) Indskriv for et generelt polynomium p6 ( x ) af grad 6. Gør rede for at hvis grafen er symmetrisk omkring y- aksen skal der gælde p( x) = p( x). Udregn differensen p( x) p( x). ) Gør nu rede for at grafen for sjettegradspolynomiet netop er symmetrisk omkring y-aksen, når de ulige led mangler. c) Gennemfør nu et generelt argument for vilkårlige polynomier. Man siger at polynomiet er en lige funktion, hvis det kun indeholder led af lige grad og grafen dermed er symmetrisk omkring y-aksen. Sætning : Grafen for et polynomium px ( ) er symmetrisk omkring egyndelsespunktet (,), hvis og kun hvis polynomiet kun indeholder led af ulige grad: p( x) = a x + a x + a x L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-118 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk
2 Hvad er matematik? Øvelse : a) Indskriv for et generelt polynomium af grad 5. Gør rede for at hvis grafen er symmetrisk omkring (,) skal der gælde p( x) = p( x). Udregn summen p( x) + p( x). ) Gør nu rede for at grafen for femtegradspolynomiet netop er symmetrisk omkring (,), når de lige led mangler. c) Gennemfør nu et generelt argument for vilkårlige polynomier. p 5 ( x) Man siger at polynomiet er en ulige funktion, hvis det kun indeholder led af ulige grad og grafen dermed er symmetrisk omkring (,). Hos grafen for et polynomium af lige grad vender de yderste grene samme vej. Derfor kan grafen for et polynomium af lige grad godt have aksesymmetri, men ikke punktsymmetri. Hos grafen for et polynomium af ulige grad vender de yderste grene modsat. Derfor kan grafen for et polynomium af ulige grad godt have punktsymmetri, men ikke aksesymmetri. Første del: Symmetriske fjerdegradspolynomier Vi går så over til at se nærmere på symmetrien for fjerdegradspolynomier. Her er der chance for aksesymmetri. Vi skal altså undersøge hvad der skal til for at grafen er symmetrisk omkring den lodrette linje x= x. Vi kigger derfor på den forskudte graf svarende til polynomiet q( h) = p( x + h). Her skal grafen være symmetrisk omkring den lodrette linje h =, dvs. andenaksen i de forskudte koordinater (h, y). Vi udregner derfor forskriften for det forskudte polynomium med et CAS-værktøj, hvor expand(,h) samler udtrykket efter potenser af h: 3 p( x): = a x + x + c x + d x + e exp and( p( x + h), h) ( ) ( 6 3 ) 3 3 ( a x 3 x c x d) h ( a x x c x d x e) 3 = a h + a x + h + a x + x + c h L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-118 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk
3 Hvad er matematik? Det kan se lidt overvældende ud, men essensen af udtrykket er at det forskudte polynomium q også er et fjerdegradspolynomium. Men hvis det skal være symmetrisk omkring andenaksen h =, skal alle leddene af lige grad forsvinde: a x + = 3 a x + 3 x + c x + d = Den første etingelse sikrer at tredjegradsleddet forsvinder, den anden at førstegradsleddet forsvinder. Da førstegradsleddet netop angive hældningen af grafen ved skæring med anden-aksen h =, siger den anden etingelse lot at aksetangenten skal være vandret. Den første etingelse kan umiddelart løses med hensyn til a x + = x = Vi ser altså: Sætning 3: Fjerdegradspolynomiet aksetangenten i 3 p( x) = a x + x + c x + d x + e er symmetrisk, hvis og kun hvis x = er vandret. I givet fald er grafen symmetrisk omkring den lodrette akse x =. x : Bemærkning: Hvis du kan lidt differentialregning er det altså simpelt at kontrollere om et givet fjerdegradspolynomium er symmetrisk ved at kontrollere om aksetangenten er vandret ved at udregne p ( ). Ellers kan du fx udregne det forskudte polynomium som vist ovenfor. Anden del: Løsningen af symmetriske fjerdegradsligninger Symmetriske fjerdegradspolynomier udgør en særligt simpel type fjerdegradspolynomium, l.a. fordi den er sammensat af to andengradspolynomier og derfor kan en symmetrisk fjerdegradsligning nemt løses! 3 Sætning : Fjerdegradspolynomiet y = p( x) = a x + x + c x + d x + e er symmetrisk hvis og kun hvis det kan sammensættes af to andengradspolynomier y = f( u) = a u + u + c, u = g( x) = a1 x + 1 x + c, dvs. p( x) = f( g( x)). I givet fald arver det symmetrien fra det inderste andengradspolynomium, dvs. 1 1 u = g( x) = a x + x + c. 18 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-118 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk
4 Hvad er matematik? Øvelse 3: a) Find sammensætningen af de to andengradspolynomier y = f( u) = u + u 3, u = g( x) = x x Vis at sammensætningen liver et symmetrisk fjerdegradspolynomium med samme symmetriakse som andengradspolynomiet g( x) = x x. ) Gør rede for at sammensætningen af to vilkårlige andengradspolynomier y = f () u = a u + u + c og u = g( x) = a x + x + c giver et symmetrisk fjerdegradspolynomium med samme symmetriakse som andengradspolynomiet g( x) = a1 x + 1 x + c1. Brug gerne dit CAS-værktøj til at hjælpe dig med udregningerne. Øvelse : 3 a) Gør rede for at fjerdegradspolynomiet p( x) = x + x 3x x + er et symmetrisk fjerdegradspolynomium. Vis at det kan sammensættes af to andengradspolynomier ved at udføre forskydningen q() h = p + h. Vink: Opløs først det forskudte polynomium som en sammensætning af to andengradspolynomier og. ) Gør på samme måde rede for at et vilkårligt symmetrisk fjerdegradspolynomium kan sammensættes af andengradspolynomier. y = f() u u= h qh ( ) Vi mangler at vise at vi kan løse en vilkårlig symmetrisk fjerdegradsligning ved at reducere den til andengradsligninger. Eksempel: Vi ser på den symmetriske fjerdegradsligning fra øvelse 3 ovenfor: 3 x x x + 1x + 5= Øvelse 5: Løs ligningen såvel grafisk som symolsk ved hjælp af dit CAS-værktøj. Du skulle da gerne finde fire rødder til ligningen der kan udtrykkes ved hjælp af kvadratrødder. Men hvor kommer disse fire rødder fra? Ja ifølge teorien kan vi forskyde fjerdegradspolynomiet så vi slipper for leddene af ulige grad. Symmetriaksen er givet ved x = = = 1 1 Vi finder derfor 3 p( x): = x x x + 1x + 5 q( h): = p(1 + h) q( h) = h 8h + 1 Sætter vi x= 1+ h og dermed h= x 1 fås altså opløsningen p( x) = h 8h + 1, h = x 1 3 Men det viser jo netop at fjerdegradspolynomiet p( x) = x x x + 1x + 5 kan opløses i de to andengradspolynomier y = f( u) = u 8u + 1 u = g( x) = ( x 1) 18 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-118 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk
5 Hvad er matematik? For at løse andengradsligningen 3 x x x + 1x + 5= løser vi derfor først den yderste ligning u værdier af u. 8u+ 1 = og derefter den inderste ligning ( x 1) = u med de fundne Øvelse 6: Løs de to andengradsligninger i hånden og kontrollér at det giver de samme løsninger til fjerdegradsligningen som dit CAS-værktøj fandt. Øvelse 7: 3 a) Løs fjerdegradsligningen x x + x + x 3=. ) Formulér nu en generel strategi til løsning af symmetriske fjerdegradsligninger. Kommentar: Asymmetriske fjerdegradsligninger er langt sværere at løse. Her kan man i stedet enytte en faktorisering af fjerdegradspolynomiet i to andengradspolynomier som udgangspunkt for løsningen. Det kan du løse mere om i projekt 3.5. Også symmetriske fjerdegradsligninger kan løses ved opløsning i produkt af to andengradspolynomier. Symmetriakserne for de to andengradspolynomier skal så lot ligge symmetrisk omkring symmetriaksen for fjerdegradspolynomiet. Fx kan fjerdegradspolynomiet to andengradspolynomier på formen x x + 1 og x ( x x + 1) ( x + x + 1) = x + ( ) x + 1 Vi skal derfor lot sætte =, hvorved vi finder + x + 1. Ganger vi ud fås x + 1 = ( x x + 1) ( x + x + 1) Læg mærke til at de to andengradspolynomier ikke har nogen rødder. x + 1 med symmetriaksen x = opløses i 18 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-118 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk
6 Hvad er matematik? Tredje del: Prototyper for symmetriske fjerdegradspolynomier De symmetriske fjerdegradspolynomier minde meget om tredjegradspolynomierne i deres struktur. Ligesom tredjegradspolynomiet har de fire frie parametre. Symmetrietingelsen inder nemlig den ene parameter: 3 p( x): = a x + x + c x + d x + e 8 3 a c expand p + h, h = a h + h + 8 a a d a c + 56 a e 6 a d + 16 a c 3 h a 56 a Da fjerdegradspolynomiet er symmetrisk omkring symmetriaksen må gælde: 3 8 a d a c + = ( ) a c d = 8 a x = skal det lineære led forsvinde, dvs. der Førstegradskoefficienten d er altså låst af de øvrige tre koefficienter (a,, c). Ligesom tredjegradspolynomierne kan de symmetriske fjerdegradspolynomier derfor transformeres over i tre grundlæggende prototyper. I første omgang flytter vi polynomiet, så symmetriaksen ligger i y-aksen. Vi kan altså gerne antage at det symmetriske fjerdegradspolynomium er på formen: p( x) = x + C x + E Her har vi også skaleret y-koordinaten ved at dividere igennem med a. Ved en samtidig skalering af x- og y- koordianter kan vi nu også normere koefficienten til x : x s s s p( ) = x + C x + s E k k k Da vi ikke må ændre koefficienten til x k p( ) = x + k C x + k E k x må der gælde s= k dvs. skaleringen tager formen: Vi kan altså ikke ændre fortegnet på C, hvorfor der netop liver tre prototyper svarende til de tre mulige fortegn for C, dvs. -1, og +1. Til sidst kan vi ændre konstantleddet med en lodret forskydning. 18 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-118 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk
7 Hvad er matematik? Der dukker da de følgende tre prototyper op: 1 p ( x) = x x + p ( x) = x = ( x ) = ( x + ) Doelt rønd Flad rønd Stejl rønd Øvelse 8: p 1 ( x) 3 p ( x) = x + x + c) Bestem toppunkterne for. Gør rede for hvordan antallet af løsninger til ligningen afhænger af parameteren k, og angiv en løsningsformel i hvert parameterområde. d) Gør rede for hvordan antallet af løsninger til ligningen løsningsformel i hvert parameterområde. e) Gør rede for hvordan antallet af løsninger til ligningen en løsningsformel i hvert parameterområde. x = k x x + = k afhænger af parameteren k, og angiv en x + x + = k afhænger af parameteren k, og angiv Fjerde del: Rødderne i et symmetrisk fjerdegradspolynomium Hvis et tal x kan udtrykkes alene ved hjælp af hele tal, de fire regneoperationer og en enkelt kvadratrod, er det faktisk løsning til en pæn andengradsligning, dvs. en andengradsligning med heltallige koefficienter. Vi vil ikke eviser det i alle detaljer men lot gennem et simpelt eksempel vise hvordan man finder andengradsligningen. Eksempel: Givet tallet x = + 3. Find den pæne andengradsligning den stammer fra. Løsning: Vi udnytter vores CAS-værktøj til at isolere kvadratroden og ophæve den med en kvadrering. Det kan fx se således ud: eq1: = x = + 3 % x = + 3 eq: = eq1 % x = 3 eq3: = eq % ( x ) = 3 eq: = eq3 3 % x x + 1 = Tallet x = + 3 er altså rod i andengradsligningen x x+ 1=. Den kan vi selvfølgelig nu løse og derved finde den anden rod, men vi kan også ræsonnere således: Skifter vi fortegn på kvadratroden, dvs. ser i stedet på tallet x = 3 vil vi finde frem til den samme andengradsligning, når vi kvadrerer for at slippe af med roden! 18 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-118 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk
8 Hvad er matematik? Øvelse 9: f) Givet tallet x = Find den pæne fjerdegradsligning, som den er rod i. g) Hvad hedder de andre rødder? Hvordan ligger de fire rødder i forhold til hinanden? Er fjerdegradsligningen symmetrisk? h) Givet tallet x = c + a +. Find den pæne fjerdegradsligning, som den er rod i. i) Hvad hedder de andre rødder? Hvordan ligger de fire rødder i forhold til hinanden? Er fjerdegradsligningen symmetrisk? Øvelse 1: j) Givet tallet x = Find den pæne fjerdegradsligning, som den er rod i. k) Hvad hedder de andre rødder? Hvordan ligger de fire rødder i forhold til hinanden? Er fjerdegradsligningen symmetrisk? l) Givet tallet x = c + a+. Find den pæne fjerdegradsligning, som den er rod i. m) Hvad hedder de andre rødder? Hvordan ligger de fire rødder i forhold til hinanden? Er fjerdegradsligningen symmetrisk? Hvad kan vi konkludere ud fra de to øvelser? Hvad fortæller de om løsningerne til symmetriske fjerdegradsligninger? Hvad fortæller de om løsningerne til asymmetriske fjerdegradsligninger? 18 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-118 Køenhavn K Tlf: info@lru.dk
Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet
Læs mereTilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet
Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereProjekt 8.1 Andengradspolynomier og andengradsligningen
ISBN 978877066879 Projekt 8.1 Andengradspolynomier og andengradsligningen (Dette projekt er hentet fra kapitel i B-bogen. Det rummer således en mulighed for at gøre arbejdet med andengradspolynomier færdig
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereArealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2018 Institution Hansenberg Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Thomas Voergaard
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereProjekt Pascals trekant
ISBN 988089 Projekter: Kapitel 9 Projekt 9 Pascals trekant Projekt 9 Pascals trekant Et af målene i dette afsnit er at generalisere kvadratsætningerne, så vi fx umiddelbart og uden nødvendigvis at bruge
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs mereProjekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb
Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereLidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen
Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Vi laver et hop til renæssancens Norditalien. Her udarbejdede nogle matematiker i begyndelsen af 1500-tallet algoritmer for tredje- og fjerdegradsligningerne.
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs merePolynomier. Ikast Ib Michelsen
Polynomier Ikast 017 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Polynomier Sidst ændret: 31. Januar ca kl 151 Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Andengradspolynomium og andengradsligning...7 Definition af
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereSupplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1
Side 1 Funktion Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1001 Figuren viser grafen
Læs mereUndersøgelse af funktioner i GeoGebra
Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereProjekt 6.3 Løsning af differentialligningen y
Projek 6.3 Løsning af differenialligningen + c y 0 Ved a ygge videre på de løsningsmeoder, vi havde succes med ved løsning af ligningerne uden ledde y med den enkelafledede, er vi nu i sand il a løse den
Læs mereAndengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereKapitel 7. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse Øvelse a = 3 0, = 8 2,6 3 = 25 3, , =
ISBN 978877066879 Kaitel 7 Øvelse 71 1 3 4 ( x + 6) ( x 4) (y + 3 z) (y 3 z) (m + 10) Øvelse 74 a 3 5 = 4,6 49 7 = 7,0 3 0,1875 16 = 8,6 3 = 5 3,57148 7 = 10 0, 76930 13 = Stregerne over tallene efter
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/juni 2020 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Det
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereLektion 3 Sammensætning af regnearterne
Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereGrafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer
Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine
Læs mereOpvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3
eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereMike Vandal Auerbach. Funktioner.
Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2018 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe MATEMATIK B Lene Kærgaard Jensen
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK Matematik B Sami Hassan Al-beik
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2018 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe / GSK MATEMATIK B Lene Kærgaard
Læs mereMATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...
Læs mereDifferentialligninger nogle beviser og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Differentialligninger nogle eviser og modeller Vi skal i dette lille tillæg give elegante eviser for de fuldstændige løsninger til følgende typer af differentialligninger:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution Silkeborg Business College - handelsgymnasiet Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereLineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2
Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B, halvårshold (ny
Læs mereMatematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:
Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår 2019, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen
Læs mereBrugervejledning til Graph (1g, del 1)
Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela
Læs mere