Lotka-Volterra modellen

Transkript

1 Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016

2

3 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Titel: Lotka-Volterra modellen Tema: Sædvanlige differentialligninger Projektperiode: Semesterprojekt, matematik Efterårssemesteret 2016 Projektgruppe: G4-105 Deltagere: Lizette Ravn Andersen Peter Løfqvist Henriksen Iben Ravnborg Jensen Simon Nicolai Nielsen Rikke Maarbjerg Piechnik Christian Serup Ravn Thorsen Vejleder: Jon Johnsen Oplagsantal: 9 Synopsis: Dette projekt omhandler Lotka-Volterra modellen, der beskriver udviklingen i et økologisk system med rovdyr og byttedyr, hvor byttedyrene har adgang til uendelige mængder føde, mens rovdyrenes eneste fødegrundlag er byttedyrene. For at kunne bestemme modellens ligevægtspunkter og deres type, introduceres første og anden ordens differentialligninger, forskellige begreber dertil og løsninger heraf. Derefter beskrives systemer af lineære første ordens koblede differentialligninger, samt tilhørende begreber og løsningsformer. Til sidst beskrives grafisk analyse af faseportrætter, herunder ligevægtspunkter og nulkliner, samt linearisering af ikke-lineære systemer. Ud fra den beskrevne teori findes Lotka-Volterra ( modellens to ligevægtspunkter, c (0, 0) og d, a ), som bestemmes til at være b henholdsvis et ustabilt saddelpunkt og et stabilt centrum. Sidetal: 65 Bilagsantal: 0 Afsluttet: 20. december 2016 Side I af 65

4

5 Forord Denne rapport er udarbejdet af en gruppe matematikstuderende på 3. semester ved Aalborg Universitet. Sædvanlige differentialligninger er det overordnede tema for semestret. Rapporten er skrevet med henblik på, at læseren har et basalt kendskab til lineær algebra, differential- og integralregning. Der vil igennem rapporten fremtræde referencer, og disse vil være samlet i en litteraturliste bagerst. Der er i rapporten anvendt kildehenvisning efter Vancouver-standarden. Det er i starten af hvert afsnit nævnt, hvilke kilder det er baseret på, og ved citeringer er kilden nævnt ved citatet. Aalborg Universitet, 20. december 2016 Lizette Ravn Andersen Peter Løfqvist Henriksen Iben Ravnborg Jensen Simon Nicolai Nielsen Rikke Maarbjerg Piechnik Christian Serup Ravn Thorsen Side III af 65

6

7 Symboloversigt Her ses en oversigt over de anvendte symboler i projektet, samt deres betydning. x(t): Byttedyrspopulationen til tiden, t, i Lotka-Volterra modellen y(t): Rovdyrpopulationen til tiden, t, i Lotka-Volterra modellen a og b: Positive vækstkonstanter for byttedyrspopulationen i Lotka-Volterra modellen c og d: Positive vækstkonstanter for rovdyrpopulationen i Lotka-Volterra modellen ρ(t): Integrationsfaktor i forbindelse med lineære differentialligninger L{f(t)}: Laplace-transformationen af funktionen f(t) W : Wronski-determinant Side V af 65

8

9 Indhold Forord Symboloversigt III V 1 Indledning & problemformulering Initierende problem Problemanalyse Problemformulering Problemafgrænsning 3 2 Sædvanlige differentialligninger Første ordens differentialligninger Separable ligninger Lineære ligninger Anden ordens differentialligninger Homogene lineære ligninger 7 3 Laplace-transformation Laplace-transformation Den inverse Laplace-transformation Begyndelsesværdiproblemer 16 4 Systemer af lineære koblede differentialligninger Systemer af første ordens koblede differentialligninger Løsning af lineære systemer af første ordens koblede differentialligninger Løsning af homogene lineære systemer af koblede første ordens differentialligninger Egenværdimetoden til løsning af homogene systemer 27 5 Stabilitet & ligevægt Ligevægt Grafisk repræsentation Retningsfelt Nulkliner Stabilitet Typer af ligevægtspunkter Maksimalt definitionsinterval 42 Side VII af 65

10 5.6 Ligevægtspunkter i lineære systemer Reelle egenværdier med multiplicitet 1 og samme fortegn Reelle egenværdier med multiplicitet 1 og modsatte fortegn Reelle egenværdier med multiplicitet Kompleks-konjugerede egenværdier med realdel forskellig fra Rent imaginære egenværdier Opsummering Linearisering i nærheden af et ligevægtspunkt Stabilitet af ligevægtspunkt i et næsten lineært system 53 6 Lotka-Volterra modellen Linearisering af Lotka-Volterra modellen Nulkliner i Lotka-Volterra modellen Grafisk analyse af ligevægtspunkt 58 7 Konklusion 63 Litteratur 65 Side VIII af 65

11

12

13 Kapitel 1 Indledning & problemformulering 1.1 Initierende problem Rovdyr og byttedyr lever ikke i fred og harmoni, men begge populationer kæmper for deres egen overlevelse. Rovdyrene, som er øverst i fødekæden, har intet at frygte og vil kun æde byttedyrene for at få stillet deres sult. Byttedyrene kæmper for at holde deres population i live og for at finde føde. Dette er altså et biologisk system, som består af to forskellige populationer. Det er dog ikke kun biologer, der kan have interesse i at undersøge sådanne systemer. To matematikere udviklede, uafhængigt af hinanden, et system af koblede differentialligninger, som anvendes til undersøgelse af populationer. Denne model kaldes Lotka-Volterra efter de to matematikere, som opfandt modellen: Alfred J. Lotka og Vito Volterra. Alfred J. Lotka og Vito Volterra kom frem til modellen i henholdsvis 1925 og Vito Volterra ( ) var en italiensk og kendt matematiker. Han fik ideen til denne model fra sin svigersøn, der var biolog, som spurgte efter matematisk hjælp efter at have studeret størrelsen på populationer af forskellige fiskearter i Adriaterhavet før, under og efter 1. Verdenskrig. Svigersønnen observerede de største rovdyrpopulationer i havet under og lige efter krigen, da fiskeriet var meget begrænset i denne tid. Han konkluderede derfor, at rovdyr- og byttedyrspopulationerne var i ligevægt under krigen, da det intense fiskeri før og efter krigen forstyrrede balancen. Dette gjorde, at rovdyrene ikke havde lige så meget føde, og derfor var rovdyrpopulationen mindre. Dette havde Volterras svigersøn dog ingen biologisk forklaring på, og derfor søgte han Volterras hjælp til at udforme en matematisk model til at forklare hændelserne. Alfred J. Lotka ( ) var en amerikansk matematisk biolog, som selvstændigt lavede mange tilsvarende modeller, som Vito Volterra gjorde på næsten sammen tid. Alfred J. Lotkas primære eksempel på et rovdyr-byttedyrsystem blev lavet ud fra en plantepopulation og et planteædende dyr, som var afhængig af, at planterne var til stede. Dette afsnit, samt det følgende, er baseret på [1]. Side 1 af 65

14 1.2 Problemanalyse Et biologisk system af to populationer kan beskrives ved hjælp af et system af koblede differentialligninger, såsom Lotka-Volterra-modellen: dx ( ) dt = a b y(t) x(t), dy ( ) dt = c + d x(t) y(t) De to populationstørrelser er henholdsvis byttedyr, x(t), og rovdyr, y(t). I modellen indgår også fire positive konstanter: a, b, c og d. Den øverste ligning i (1.1) beskriver populationen af byttedyr til tiden, t, og den nederste beskriver populationen af rovdyr til tiden, t. De to populationer vil fluktuere forskudt af hinanden, da de to populationsstørrelser påvirker hinanden. Det antages, at byttedyrene har ubegrænset adgang til føde, og ikke har andre trusler end rovdyrene, der er afhængige af byttedyrene, som deres eneste føde. Hvis der ingen rovdyr er, vil byttedyrenes population stige eksponentielt, det vil sige, hvis x(t) vokser til tiden, t, så vil: dx dt = a x(t) Sådan hænger det dog ikke sammen, da der er rovdyr, som giver en negativ komponent i byttedyrenes vækstrate. Dernæst antages det, at hyppigheden af rovdyrenes jagt på byttedyrene er proportional med hyppigheden af møder mellem rovdyr og byttedyr, som kan føre til et eller flere byttedyrs død. Disse antagelser medfører konklusionen, at den negative komponent af byttedyrenes vækstrate er proportional med produktet af rovdyrenes, y(t), og byttedyrenes, x(t), populationsstørrelser: dx dx ( ) = a x(t) b y(t) x(t) dt dt = a b y(t) x(t) (1.2) Derefter betragtes rovdyrpopulationen. Hvis der ingen byttedyr er, vil rovdyrene intet få at æde, og populationsstørrelsen vil aftage eksponentielt: dy = c y(t) dt Igen, sådan hænger det ikke sammen, da rovdyrene har adgang til føde. Det vil sige, den føde der bruges til at understøtte væksten af rovdyrene er proportional med byttedyrpopulationen, hvilket derfor leder frem til følgende model: (1.1) dy dy ( ) = c y(t) + d y(t) x(t) dt dt = c + d x(t) y(t) (1.3) Ud fra ligning (1.2) og (1.3) ses det, at de to populationer, x(t) og y(t), er afhængige af hinanden. Denne afhængighed er beskrevet ved Lotka-Volterra modellen, som er et system af to koblede differentialligninger, som ses i ligning (1.1). Denne model kunne være interessant at belyse ved hjælp af teori om differentialligninger. Derudover er det interessant at undersøge, om der nogensinde opstår ligevægt mellem byttedyrene og rovdyrene, hvilket resulterer i følgende problemformulering. Side 2 af 65

15 1.3 Problemformulering Har Lotka-Volterra modellen ligevægtspunkter, og i så fald hvordan kan de og deres type bestemmes? 1.4 Problemafgrænsning I rapporten er tre forskellige eksistens- og entydighedssætninger indskrevet, men de bevises ikke, der henvises kun til hvor de står skrevet. Der findes to udgaver af Lotka-Volterra modellen: En med to forskellige arter, hvor en population af rovdyr har en population af byttedyr som eneste fødegrundlag, og en anden med to konkurrerende populationer. I denne rapport undersøges kun førstnævnte udgave af modellen. Det vil sige, at modellen med konkurrerende arter, som kæmper om samme føde, ikke beskrives. Fænomenet grænsecyklus beskrives ikke, da det ikke kan beskrives og analyseres ved hjælp af de nævnte løsningsmetoder i denne rapport. Side 3 af 65

16 Kapitel 2 Sædvanlige differentialligninger En differentialligning beskriver forholdet mellem en funktion og dens afledte, hvor sædvanlige differentialligninger kun indeholder funktioner af én uafhængig variabel. Følgende ligning er et eksempel på en sædvanlig differentialligning, da den kun indeholder én uafhængig variabel, nemlig t, hvor y(t) er en funktion, som afhænger af t: a 1 y (t) a 2 y (t) + a 3 y(t) = f(t) Indeholder en differentialligning to eller flere uafhængige variable, kaldes den en partiel differentialligning. Den første afledte af en funktion, f(t), beskriver, hvorvidt f(t) er stigende eller aftagende i punktet t, og den første afledte vil derfor være ens for alle værdier af den uafhængige variabel, hvis funktionen, f(t), er lineær. Mange funktioner kan differentieres flere gange, og dermed findes der differentialligninger af forskellige ordener, da ordenen afhænger af den højeste afledte. En n te ordens differentiallignings højeste afledte er en n te ordens afledt. Dermed indeholder første ordens differentialligninger kun en første afledt, og anden ordens differentialligninger indeholder en dobbeltafledt og eventuelt også en første afledt. I dette kapitel vil første og anden ordens differentialligninger blive beskrevet, samt løsningsmetoder dertil. 2.1 Første ordens differentialligninger Generelt kan en sædvanlig første ordens differentialligning skrives som: dy dt = f( t, y(t) ) (2.1) Løsningen til differentialligningen vil være funktionen y(t). Der findes forskellige former for første ordens differentialligninger, og nogle af dem vil blive beskrevet i det følgende. Side 4 af 65

17 2.1.1 Separable ligninger Det følgende afsnit er baseret på [2] (s ) med mindre andet er angivet. En første ordens differentialligning siges at være separabel, hvis f ( t, y(t) ) i ligning (2.1) kan skrives som et produkt af to funktioner af henholdsvis t og y(t); dy dt = g(t)h( y(t) ) hvor f ( t, y(t) ) = g(t)h ( y(t) ). Når dette er tilfældet, kan ligningen omskrives, så variablene separeres og sættes på hver sin side af lighedstegnet på de intervaller, hvor h(y(t)) 0, således at: dy dt = g(t)h( y(t) ) 1 h ( y(t) ) dy dt = g(t) Den generelle løsning kan nu findes ved at bestemme stamfunktionen med hensyn til t på begge sider, og derefter isoleres funktionen y(t). Hvis det ikke er muligt at isolere y(t), vil der være tale om en implicit løsning til differentialligningen. Eksempel 1. Bestemmelse af mulige løsninger til en separabel første ordens differentialligning Det ønskes at finde mulige løsninger til ligningen: y (t) = y(t) sin(t) (2.2) Ligningen er allerede skrevet som et produkt af to funktioner, hvor g(t) = sin(t) og h(y(t)) = y(t), så variablene separeres således: 1 y(t) y (t) = sin(t) Begge sider integreres med hensyn til t, og højresiden integreres ved substitution, jævnfør sætning 8.22 i [3] (s. 147): ( ) 1 y(t) y (t) dt = sin(t) dt ln y(t) + c 1 = cos(t) + c 2 Funktionen y(t) kan nu isoleres; y(t) = e cos(t)+c = e c e cos(t) y(t) = ±e c e cos(t) = k e cos(t) hvor k = ±e c, k R\{0}. Dette er en løsning til ligning (2.2), hvor y(t) = 0 ikke er defineret. Dog ses det af samme ligning, at y(t) 0 også er en løsning, men denne kan dog ikke findes ved ovenstående metode. Side 5 af 65

18 2.1.2 Lineære ligninger Det følgende afsnit er baseret på [2] (s ) med mindre andet er angivet. En anden form for første ordens differentialligninger er de lineære, for hvilke det gælder, at differentialligningen kan skrives som; dy + P (t)y(t) = Q(t) (2.3) dt hvor P (t) og Q(t) er koefficient-funktioner, der er kontinuerte på et interval. Lineære første ordens differentialligninger løses ved hjælp af en integrationsfaktor, ρ(t) = e P (t) dt, der multipliceres på hvert led i ligningen: dy dt e P (t) dt + P (t)e P (t) dt y(t) = Q(t)e P (t) dt (2.4) Det gælder om differentiering af et produkt af to funktioner, at ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x), jævnfør sætning 7.6 i [3] (s. 113). Venstresiden i ligning (2.4) svarer til højresiden i ovenstående regel, hvor f(x) = y(t) og g(x) = e P (t) dt. Da det gælder, at ( P (t) dt ) = P (t), kan venstresiden i ligning (2.4) skrives som den afledte af et produkt, der ses som venstresiden af følgende ligning: ( y(t)e P (t) dt ) = Q(t)e P (t) dt Denne ligning integreres: y(t)e P (t) dt = ( Q(t)e P (t) dt ) dt Derefter kan funktionen, y(t), isoleres, da e P (t) dt 0 for alle t, og 1 e = P (t) dt P (t) dt e : y(t) = e P (t) dt ( Q(t)e P (t) dt ) dt (2.5) Hermed er ligningens generelle løsning fundet. Bemærk, at e P (t) dt også multipliceres på integrationskonstanten. Eksempel 2. Bestemmelse af mulige løsninger til en lineær første ordens differentialligning Det ønskes at finde mulige løsninger til ligningen: y (t) 2y(t) = t 2 Da differentialligningen allerede er skrevet på formen vist i ligning (2.3), hvor P (t) = 2 og Q(t) = t 2, findes ρ(t): ρ(t) = e 2 dt = e 2t Side 6 af 65

19 Herefter sættes disse værdier ind i formlen for den generelle løsning set i ligning (2.5): y(t) = e 2t t 2 e 2t dt Ved hjælp af partiel integration, hvor f(x)g(x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx, udregnes integralet, jævnfør sætning 8.23 i [3] (s. 148), hvor f(x) = t 2 og g(x) = e 2t : ( y(t) = e 2t t 2 e )dt 2t (( = e 2t 1 2 t2 e 2t 1 2 te 2t 1 ) ) 4 e 2t + c = 1 2 t2 1 2 t e2t c Dermed er den generelle løsning til differentialligningen fundet. 2.2 Anden ordens differentialligninger Det følgende afsnit er baseret på [2] (s , 107, ) med mindre andet er angivet. En anden ordens differentialligning indeholder, i modsætning til en første ordens differentialligning, et led med en dobbeltafledt funktion. For linearitet i forhold til anden ordens differentialligninger gælder de samme betingelser, som for lineære første ordens differentialligninger. En lineær anden ordens differentialligning har formen: a 1 y (t) + a 2 y (t) + a 3 y(t) = f(t) (2.6) Her er a 1 F \{0} og a 2, a 3 F konstante koefficienter, som også kan være funktioner af t, og y (t) og y (t) er henholdsvis den dobbeltafledte og første afledte funktion af y(t) Homogene lineære ligninger I dette afsnit vil der blive lagt vægt på den generelle løsning til den homogene lineære anden ordens differentialligning. Der tages udgangspunkt i ligning (2.6), der er homogen, hvis f(t) 0: a 1 y (t) + a 2 y (t) + a 3 y(t) = 0 (2.7) Da a 1 0 divideres der med a 1 på alle led, så følgende udtryk fås; y (t) + py (t) + qy(t) = 0 (2.8) hvor p = a 2 a 1 og q = a 3 a 1. Det giver mulighed for at indføre følgende sætning: Side 7 af 65

20 Sætning 2.1: Generelle løsninger til homogene differentialligninger ([2] s. 107) Lad y 1 (t) og y 2 (t) være to lineært uafhængige løsninger til den homogene lineære anden ordens differentialligning; y (t) + py (t) + qy(t) = 0 hvor p og q er kontinuerte på det åbne interval I. Hvis y(t) er en vilkårlig løsning til ligningen, y (t) + py (t) + qy(t) = 0, på I, så eksisterer konstanter, c 1 og c 2, således: y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) t I (2.9) Der ses på udtrykket e rt, hvor det bemærkes, at: (e rt ) = re rt og (e rt ) = r 2 e rt En vilkårlig afledt af e rt er altså en konstant multipliceret udtrykket selv. Da e rt 0, kan y(t) i ligning (2.7) med fordel erstattes af e rt : a 1 r 2 e rt + a 2 re rt + a 3 e rt = 0 Det gælder, at y(t) = e rt er en løsning, hvis r er en rod i det karakteristiske ligning: a 1 r 2 + a 2 r + a 3 = 0 Når diskriminanten, d, er positiv, fås to forskellige værdier af r, nemlig r 1 og r 2. Hvis d = 0, er r 1 = r 2, og der vil være tale om en dobbeltrod. Tredje og sidste mulighed er, at d < 0, hvilket resulterer i to forskellige komplekse rødder. For de tre forskellige tilfælde af d gælder, jævnfør ligning (2.9) i sætning 2.1: To forskellige rødder, r 1 r 2, giver løsningen: y(t) = c 1 e r1t + c 2 e r2t. Dobbeltroden, r, giver løsningen: y(t) = c 1 e rt + c 2 te rt. To komplekse rødder, r = α ± βi, giver løsningen: y(t) = c 1 e αt cos(βt) + c 2 e αt sin(βt). Forskellige rødder Når d > 0 er r 1 r 2, og y 1 (t) = e r1t og y 2 (t) = e r2t er løsninger til den homogene differentialligning. Den generelle løsning er y(t) = c 1 e r1t + c 2 e r2t med vilkårlige konstanter c 1 og c 2. Side 8 af 65

21 Eksempel 3. Forskellige rødder Betragt følgende ligning: y (t) + 5y (t) 6y(t) = 0 Den karakteristiske ligning anvendes, og det fås, at: r 2 + 5r 6 = 0 Diskriminanten beregnes til at være 49, så da d > 0 har differentialligningen forskellige rødder, r 1 = 1 og r 2 = 6. Dermed er den generelle løsning: y(t) = c 1 e t + c 2 e 6t Dobbeltrod Når d = 0, har den karakteristiske ligning dobbeltrod, r, og y 1 (t) = e rt og y 2 (t) = te rt er løsninger til den homogene differentialligning. Dette betyder, at; y(t) = c 1 e rt + c 2 te rt er den generelle løsning, hvori c 1 og c 2 er konstanter. Eksempel 4. Dobbeltrod Betragt ligningen: y (t) + 10y (t) + 25y(t) = 0 Diskriminanten beregnes til at være 0, hvormed den karakteristiske ligning har en dobbeltrod, og r = 5. Den generelle løsning vil derfor være: y(t) = c 1 e 5t + c 2 te 5t Komplekse rødder Når d < 0 har den karakteristiske ligning komplekse rødder, r = α ± iβ, og den generelle løsning til den homogene differentialligning er: y(t) = c 1 e αt cos(βt) + c 2 e αt sin(βt) Side 9 af 65

22 Eksempel 5. Komplekse rødder Betragt ligningen: y (t) 6y (t) + 10y(t) = 0 Diskriminanten beregnes til at være 4, så da d < 0 har den karakteristiske ligning komplekse rødder, der udregnes til r = 3 ± i. Altså er α = 3 og β = 1. Dermed er den generelle løsning: y(t) = c 1 e 3t cos(t) + c 2 e 3t sin(t) Side 10 af 65

23 Kapitel 3 Laplace-transformation Laplace-transformation kan benyttes til løsning af blandt andet begyndelsesværdiproblemer, og vil i dette kapitel blive beskrevet, samt hvordan den kan anvendes til at løse differentialligninger. 3.1 Laplace-transformation Dette afsnit er baseret på [2] (s , , ) med mindre andet er angivet. Laplacetransformationen defineres som følgende: Definition 3.1: Laplace-transformation Givet en funktion, f(t), hvor t 0, da er Laplace-transformationen af f(t) defineret som følgende; ( F (s) = L{f(t)} = e st f(t) ) dt for alle værdier af s, hvor det uegentlige integral konvergerer. Bemærk, at F (s) ikke er en stamfunktion til f(t), men er Laplace-transformationen af f(t). Definition 3.2: Uegentligt integral ([3] s. 149) Lad f : [a, [ R være en kontinuert funktion. Da siges det uegentlige integral; at være konvergent, hvis udtrykket; a b a 0 f(t) dt f(t) dt har en grænseværdi for b. I så fald gælder: a f(t) dt = lim b b a f(t) dt Hvis grænsen ikke eksisterer, siges det uegentlige integral at divergere eller ikke at eksistere. Side 11 af 65

24 Forud for sætning 3.1 og bevis for Laplace-transformationen, indføres en definition for eksponentielt begrænsethed af en funktion. Definition 3.3: Eksponentielt begrænset funktion ([4] s. 320) En funktion, f(t), kaldes eksponentielt begrænset for t 0, hvis der eksisterer ikke-negative konstanter M, c og T, så: f(t) Me ct t T Til beviset for sætning 3.1 er følgende observation baseret på korollar 8.6 og sætning 8.10 i [3] (s. 136 og 141) nødvendig: Betragt de integrable funktioner, f(x), g(x) og h(x). Lad f(x) g(x), og lad h(x) = g(x) f(x) 0. Da gælder det om h(x), at: Derfor gælder følgende ulighed: h(x) 0 b a h(x) dx 0 b h(x) dx = b ( ) b g(x) f(x) dx 0 g(x) dx a a a a b f(x) dx (3.1) Sætning 3.1: Laplace-transformation Lad funktionen, f(t), være kontinuert, stykkevist glat for t 0 og eksponentielt begrænset, når t +. Da eksisterer Laplace-transformationen, F (s), af f(t): F (s) = 0 ( e st f(t) ) dt Mere præcist, hvis f(t) overholder betingelserne i definition 3.3, så vil Laplacetransformationen, F (s), eksistere for alle s > c. Bevis Lad f(t) være kontinuert, stykkevist glat for t 0 og eksponentielt begrænset, når t +. Lad {a n } n=1 være den følge, hvor: a n = N 0 ( e st f(t) ) dt (3.2) Det skal vises, at {a n } n=1 er en Cauchy-følge. Lad ε > 0 være givet. For at {a n } n=1 er en Cauchy-følge, skal følgende være opfyldt: ε > 0 N 0 N : (N + p), N N 0 a N+p a N < ε Det ses, jævnfør sætning 8.12 og 8.11 i [3] (s ), at: N+p ( a N+p a N = e st f(t) ) N ( dt e st f(t) ) dt = 0 0 N+p N ( e st f(t) ) dt Side 12 af 65

25 Da f(t) er kontinuert på intervallet [ N + p, N ], er f(t) integrabel, jævnfør sætning 8.9 i [3] (s. 139), og derfor gælder det, jævnfør sætning 8.10 i [3] (s. 141), at: N+p N ( e st f(t) ) dt N+p N e st f(t) dt = N+p N ( e st f(t) ) dt Da f(t) er eksponentielt begrænset, jævnfør definition 3.3, kan f(t) erstattes med Me ct, og jævnfør observationen gjort i forbindelse med ligning (3.1), fremkommer følgende ulighed: N+p N Sidste del af udtrykket integreres: ( e st f(t) ) N+p ( dt e st Me ct) N+p dt = M e (c s)t dt M N [ ] N+p ( ) 1 e (c s)(n+p) c s e(c s)t = M e(c s)n N c s c s N Der ses på udtrykket e(c s)n. Da s > c, er c s < 0, og e(c s)n c s samme gælder for udtrykket e(c s)(n+p). Det fås heraf, at: c s lim N ( M N+p N ) ( e (c s)t) dt = 0 0 for N. Det Da følgende ulighed gælder; 0 a N+p a N M N+p N ( e st e ct) dt ses det, at a N+p a N 0 for N, og følgen, {a n } n=1, opfylder betingelserne for en ( Cauchy-følge. Jævnfør ligning (3.2), konvergerer e st f(t) ) dt, og af definition 3.1 fås det, at Laplace-transformationen af f(t) er: 0 F (s) = 0 ( e st f(t) ) dt Side 13 af 65

26 I tabel 3.1 nedenfor ses eksempler på Laplace-transformationer af forskellige funktioner: L{f(t)} a) L{1} b) L{t} c) L{t 2 } d) L{t N } e) L{e at } f) L{e at t N } F (s) 1 s, hvor s > 0 1 s 2, hvor s > 0 2 s 3, hvor s > 0 N!, hvor s, N > 0 sn+1 1 s a, hvor s > a N!, hvor s, N > 0 (s a) N+1 Tabel 3.1: Elementære Laplace-transformationer ([2] s. 271). Eksempel 6. Udregning af a) i tabel 3.1 Betragt en funktion med f(t) 1 for t 0. Det ses, at: b 0 e st 1 dt = Da 1 s e sb 0 for b, fås det, at: [ 1 ] b s e st = 1 0 s e sb + 1 e s 0 = 1 s s e sb + 1 s L{1} = 1 s for s > Den inverse Laplace-transformation For at kunne løse en første eller anden ordens lineær differentialligning ved hjælp af Laplacetransformation er kendskab til den inverse Laplace-transformation nødvendigt. Afsnittet er baseret på [2] (s. 271) og [5] (s. 7-8). Ved at udnytte lineariteten af Laplace-transformationen er det med den inverse Laplace-transformation muligt at bestemme f(t) ud fra F (s) ved hjælp af elementære Laplace-transformationer, der ses i tabel 3.1. Dette resulterer i, at den inverse Laplace-transformation eksisterer og er defineret som følgende: Side 14 af 65

27 Definition 3.4: Invers Laplace-transformation Hvis Laplace-transformationen af f(t) er F (s), siges den inverse Laplace-transformation af F (s) at være f(t), og det skrives som: L 1 {F (s)} = f(t) Eksempel 7. Bestemmelse af den inverse Laplace-transformation Funktionen, F (s) = 7, er givet, og den inverse Laplace-transformation, f(t), findes: s 3 } Udtrykket f(t) = L 1 {F (s)} = L 1 { 7 s 3 { } 1 = 7 L 1 s 3 1 s 3 kan ud fra punkt e i tabel 3.1, skrives som L{e3t }. Derfor fås: f(t) = 7 L 1{ L{ e 3t } } = 7 e 3t Det kan i nogle tilfælde være mere kompliceret at finde den inverse Laplace-transformation af en funktion, hvis funktionen ikke er på en af de elementære former set i tabel 3.1. Hvis dette er tilfældet, kan funktionen omskrives til en sum af elementære former, og dette kan gøres ved stambrøksdekomposition ([6] s. 565). Nedenfor ses et eksempel på en funktion, som ikke er på en af de elementære former set i tabel 3.1. Eksempel 8. Invers Laplace-transformation Den inverse Laplace-transformation af følgende ligning skal bestemmes: F (s) = 2s 3 (s + 2)(s 3) Det ses, at F (s) ikke er på en af de elementære former set i tabel 3.1, så F (s) omskrives ved hjælp af stambrøksdekomposition; 2s 3 (s + 2)(s 3) = A s 3 + B s + 2 (3.3) hvor A og B er konstanter. Ved at multiplicere med (s + 2)(s 3) på alle led i ligningen, fås: 2s 3 = A(s + 2) + B(s 3) Side 15 af 65

28 Ved substitution af s = 3 for at finde A, ses det, at A = 3, og ved substitution af s = 2 5 for at finde B, ses det, at B = 7. Herefter indsættes værdierne for A og B i ligning (3.3), 5 og følgende udtryk fås: F (s) = L{f(t)} = { } 1 Da L 1 = e at, jævnfør tabel 3.1, er: (s a) 3 5 s s + 2 f(t) = 3 5 e3t e 2t 3.3 Begyndelsesværdiproblemer Et begyndelsesværdiproblem er en givet differentialligning med tilhørende betingelser, som f(t) og f (t) skal overholde for en specifik værdi af den uafhængige variabel. En løsning til et begyndelsesværdiproblem er derfor en bestemt løsning til differentialligningen, som overholder betingelserne for f(t) og f (t). Uden betingelser for f(t) og f (t), er der uendeligt mange løsninger til differentialligningen, hvis en løsning eksisterer, og det er muligt at opskrive den generelle løsning, hvor der indgår vilkårlige konstanter. Ud fra begyndelsesværdierne for en funktion kan konstanterne bestemmes, og en bestemt løsning er fundet. Dette afsnit er baseret på [2] (s ) med mindre andet er angivet. For at løse et begyndelsesværdiproblem ved brug af Laplace-transformation kan følgende fremgangsmåde benyttes: 1. Den givne ligning Laplace-transformeres. 2. Herefter isoleres F (s). 3. Løsningen, f(t), findes som den inverse Laplace-transformation af F (s). Eksisterer en løsning til et sådant begyndelsesværdiproblem, er løsningen entydig, jævnfør følgende sætning: Sætning 3.2: Eksistens og entydighed for lineære ligninger ([2] s. 114) Lad funktionerne, p 1 (t), p 2 (t),..., p n (t) og g(t), være kontinuerte på det åbne interval, I, der indeholder punktet, a. Lad også n konstanter, b 0, b 1,..., b n 1, være givet. Så har den n te ordens lineære ligning; f (n) (t) + p 1 (t)f (n 1) (t) p n 1 (t)f (t) + p n (t)f(t) = g(t) en entydig løsning på intervallet, I, som opfylder de n begyndelsesbetingelser: f(a) = b 0, f (a) = b 1,..., f (n 1) (a) = b n 1 Side 16 af 65

29 Med henblik på at kunne løse begyndelsesværdiproblemer er nedenstående sætning betydningsfuld. Sætning 3.3: Laplace-transformation af højere ordens afledte Antag, at funktionen, f(t), er kontinuert differentiabel, og at f(t) og dens afledte opfylder betingelserne i definition 3.3 og sætning 3.1 på side 12. Så eksisterer L{f (n) (t)}, når s > c, og: L{f (n) (t)} = s n L{f(t)} s n 1 f(0) s n 2 f (0)... f (n 1) (0) = s n F (s) s n 1 f(0)... sf (n 2) (0) f (n 1) (0) Bevis Det bevises først, at den første afledte af Laplace-transformationen eksisterer, altså n = 1. Det skal vises, at L{f (t)} = s F (s) f(0). Jævnfør definition 3.1 og 3.2 på side 11 gælder det, at: Efter partiel integration ([6] s. 539) fås: ( L{f (t)} = lim N ( = lim N = s lim N N L{f ( (t)} = lim e st f (t) ) dt (3.4) N 0 s N 0 N 0 ( (e st ) f(t) ) dt + [ e st f(t) ] N 0 ) ( e st f(t) ) dt + e sn f(n) f(0) ( ) N e st f(t) dt 0 ) ( + lim e sn f(n) ) lim f(0) N N Første led kan skrives som s F (s), jævnfør definition 3.1 og 3.2 på side 11, og sidste led kan skrives som f(0). Da f(t) Me ct, gælder det for andet led, at: 0 e sn f(n) e sn Me cn = Me (c s)n Det ses, at Me (c s)n 0 for N, når s > c. Altså må e sn f(n) 0 for N. Derfor gælder det altså, at: L{f (t)} = s F (s) f(0) Det kan nu bevises, at den anden afledte af Laplace-transformationen eksisterer, altså n = 2, og det skal vises, at L{f (t)} = s 2 F (s) s f(0) f (0). Bemærk, at L{f (t)} kan skrives som: L{f (t)} = L{(f (t)) } Side 17 af 65

30 Da det før blev vist, at L{f (t)} = s F (s) f(0), vil det gælde, at: L{f (t)} = s L{f (t)} f (0) = s (s F (s) f(0)) f (0) = s 2 F (s) sf(0) f (0) Dermed er det vist, at L{f (t)} = s 2 F (s) s f(0) f (0). Det kan analogt vises for alle n. I det følgende eksempel vil Laplace-transformation blive benyttet til at løse et begyndelsesværdiproblem. Så kan F (s) bestemmes, hvor Laplace-transformationen, grundet dens linearitet, anvendes på leddene hver for sig. Eksempel 9. Løsning af et begyndelsesværdiproblem Der tages udgangspunkt i ligningen, f (t) 5f(t) = 17 10t med begyndelsesværdierne, f(0) = 2, f (0) = 0. Laplace-transformationen anvendes på begge sider af lighedstegnet: L{f (t) 5f(t)} = L{17 10t} Heraf ses det, at: L{f (t)} 5L{f(t)} = L{17} 10L{t} (3.5) Leddene i ovenstående ligning bestemmes enkeltvis. Først bestemmes L{f (t)}: Dernæst bestemmes 5L{f(t)}: L{f (t)} = sf (s) f(0) = sf (s) + 2 5L{f(t)} = 5F (s) Til sidst bestemmes L{17} og 10L{t}, hvor det, jævnfør tabel 3.1 på side 14 punkt a) og b), gælder, at: L{17} = 17 s og 10L{t} = 10 s 2 De fundne udtryk indsættes i ligning (3.5), og F (s) isoleres: sf (s) + 2 5F (s) = 17 s 10 s 2 (s 5)F (s) = 2s2 + 17s 10 s 2 F (s) = 2s2 + 17s 10 s 2 (s 5) Side 18 af 65

31 Den inverse Laplace-transformation til F (s) bestemmes for at finde løsningen, f(t), til begyndelsesværdiproblemet. Inden da anvendes stambrøksdekomposition af F (s) for at få elementære funktioner beskrevet i tabel 3.1: F (s) = 2s2 + 17s 10 s 2 (s 5) = A (s 5) + B s + C s 2 (3.6) Dernæst bestemmes konstanterne, A, B og C. Der multipliceres med s 2 (s 5) på begge sider af lighedstegnet: 2s s 10 = A s2 (s 5) (s 5) + B s2 (s 5) s = As 2 + Bs(s 5) + C(s 5) = (A + B)s 2 + (C 5B)s + ( 5)C + C s2 (s 5) s 2 Konstanterne, A, B og C, isoleres ved at løse ligningssystemet bestående af de tre ligninger med tre ubekendte: Disse værdier indsættes i ligning (3.6): 5C = 10 C = 2 C 5B = B = 17 B = 3 A + B = 2 A 3 = 2 A = 1 F (s) = 1 s 5 3 s + 2 s 2 Herefter anvendes den inverse Laplace-transformation på F (s): { } { } { } 1 1 1s f(t) = L 1 3 L L 1 s 5 s 2 = e 5t 3 + 2t Den inverse Laplace-transformation til Y (s) er altså: f(t) = e 5t 3 + 2t Side 19 af 65

32 Kapitel 4 Systemer af lineære koblede differentialligninger Udviklingen i Lotka-Volterra modellen beskrives ved et system af første ordens koblede differentialligninger. Dette kapitel er derfor tilføjet for at beskrive definitioner og begreber i forbindelse med sådanne systemer og løsning af disse. 4.1 Systemer af første ordens koblede differentialligninger Systemer af koblede differentialligninger består af ligninger, der har fælles uafhængig variabel. Afsnittet er baseret på [2] (s ) med mindre andet er angivet. Generelt kan et system bestående af to første ordens differentialligninger skrives som: f ( t, x(t), y(t), x (t), y (t) ) = 0, g ( t, x(t), y(t), x (t), y (t) ) = 0 Dette system er et første ordens system, hvor den uafhængige variabel er tiden, t, og to afhængige variable, x og y. Når et sådant system løses, findes to funktioner, x(t) og y(t), der løser begge ligninger over samme interval. Et system siges at være lineært, hvis det kun består af lineære differentialligninger, der er beskrevet i afsnit på side 6, eller homogent, hvis det kun består af homogene ligninger, som er beskrevet i afsnit på side 7. Systemer kaldes autonome, hvis de alene består af autonome differentialligninger, hvilket betyder, at den uafhængige variabel ikke fremgår direkte, hvilket vil sige, at f g 0 og 0. En autonom første ordens t t differentialligning kan generelt skrives som: dy dt = f( y(t) ) Den uafhængige variabel, t, indgår i den afledte funktion og via y(t) i overstående ligning. Hvis den uafhængige variabel er tid, kaldes det autonome system tidsinvariant. Løsningerne til f(y) = 0 er såkaldte ligevægtspunkter for den autonome differentialligning. Side 20 af 65

33 Et system kan være af højere orden end første orden, men kan transformeres til et ækvivalent system bestående af første ordens differentialligninger, hvilket gør det lettere at løse systemet. Sætning 4.1 beskriver transformationen af en n te ordens differentialligning, der i sig selv ikke udgør et system, men repræsenterer et n te ordens system: Sætning 4.1: Transformation af n te ordens differentialligning ([7] s ) Lad n N +, og lad a 0 (t),..., a n 1 (t) og g(t) være differentiable funktioner. Funktionen, x(t), er en løsning til den n te ordens lineære differentialligning; x (n) (t) + a n 1 (t)x (n 1) (t) a 1 (t)x (t) + a 0 (t)x(t) = g(t) hvis og kun hvis funktionerne, x 0 (t) := x(t), x 1 (t) := x (t),..., x n 1 (t) := x (n 1) (t), er en løsning til systemet bestående af n lineære differentialligninger: x 0(t) = x 1 (t) x 1(t) = x 2 (t). x n 2(t) = x n 1 (t) x n 1(t) = a n 1 (t)x n 1 (t)... a 0 (t)x 0 (t) + g(t) Bevis Antag, at funktionen, x(t), er en løsning til den n te ordens lineære differentialligning: x (n) (t) + a n 1 (t)x (n 1) (t) a 1 (t)x (t) + a 0 (t)x(t) = g(t) (4.1) Bemærk, at denne løsning er n gange differentiabel, idet den løser en n te ordens differentialligning. Nu indføres funktionerne x 0 (t) := x(t), x 1 (t) := x (t),..., x n 1 (t) := x (n 1) (t). Derfor kan differentialligningen skrives som et system bestående af n lineære første ordens differentialligninger: x 0(t) = x (t) = x 1 (t) x 1(t) = x (t) = x 2 (t). x n 2(t) = x (n 1) (t) = x n 1 (t) x n 1(t) = x (n) (t) = a n 1 (t)x (n 1) (t)... a 1 (t)x (t) a 0 (t)x(t) + g(t) = a n 1 (t)x n 1 (t)... a 1 (t)x 1 (t) a 0 (t)x 0 (t) + g(t) Hvis det omvendt gælder, at x 0 (t),..., x n 1 (t) løser det ovenstående system, udgør disse en vektorfunktion med n indgange, der hver især er mindst én gang differentiabel. Så gælder det, at: Side 21 af 65

34 x 1 (t) = x 0(t) x 2 (t) = x 1(t) = x 0(t). x n 1 (t) = x n 2(t) = x (n 1) 0 (t) x n 1(t) = x (n) 0 (t) Det ses altså successivt, at x 0 er n gange differentiabel og løser derfor ligning (4.1), og systemet kan derfor skrives som den givne n te ordens differentialligning: g(t) = x n 1(t) + a n 1 (t)x n 1 (t) a 1 (t)x 1 (t) + a 0 (t)x 0 (t) = x (n) 0 (t) + a n 1(t)x (n 1) 0 (t) a 1 (t)x 0(t) + a 0 (t)x 0 (t) Det ses af sætning 4.2, at løsningen er entydig, og i mange tilfælde vil det altså være tilstrækkeligt at kunne løse et første ordens lineært system. Sætning 4.2: Eksistens og entydighed for lineære systemer ([2] s. 334) Lad funktionerne, p 11 (t), p 12 (t),..., p nn (t), og funktionerne, f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t), være kontinuerte på det åbne interval, I, som indeholder punktet, a. Lad også n konstanter, b 1, b 2,..., b n, være givet. Så har systemet; x 1(t) = p 11 (t)x 1 (t) + p 12 (t)x 2 (t) p 1n x n (t) + f 1 (t) x 2(t) = p 21 (t)x 1 (t) + p 22 (t)x 2 (t) p 2n x n (t) + f 2 (t). x n(t) = p n1 (t)x 1 (t) + p n2 (t)x 2 (t) p nn x n (t) + f n (t) (4.2) en entydig løsning på intervallet, I, som opfylder de n begyndelsesbetingelser: x 1 (a) = b 1, x 2 (a) = b 2,..., x n (a) = b n 4.2 Løsning af lineære systemer af første ordens koblede differentialligninger I dette afsnit beskrives en metode, hvormed det er muligt at løse et autonomt system af koblede homogene lineære første ordens differentialligninger. Dette er tilføjet, da det er relevant i forbindelse med analyse af løsninger til ikke-lineære systemer. Dog vil denne sammenhæng blive beskrevet nærmere i kapitlet om stabilitet og ligevægt, i dette afsnit præsenteres løsningsmetoder blot. Side 22 af 65

35 Der vil blive vist en metode til at finde den generelle løsning til et homogent lineært første ordens system med konstante koefficienter på formen: x 1(t) = a 11 x 1 (t) + a 12 x 2 (t) a 1n x n (t) x 2(t) = a 21 x 1 (t) + a 22 x 2 (t) a 2n x n (t).. x n(t) = a n1 x 1 (t) + a n2 x 2 (t) a nn x n (t) (4.3) Dette kan skrives som x (t) = A x(t), hvor A = [a ij ] for i, j = 1, 2,..., n Løsning af homogene lineære systemer af koblede første ordens differentialligninger Dette underafsnit indeholder vigtige resultater i forbindelse med, hvordan et homogent system af lineære første ordens differentialligninger løses. Den vigtigste sætning, sætning 4.5 på side 26, fortæller, at for at finde den generelle løsning til et homogent system af n første ordens differentialligninger er det nok at finde n lineært uafhængige løsninger. Løsningerne kaldes lineært uafhængige, hvis ingen af løsningerne kan skrives som en linearkombination af de øvrige løsninger. Denne sætning bevises sidst i dette underafsnit, da det er nødvendigt først at beskrive nogle sætninger, der skal anvendes i beviset. Afsnittet er baseret på [2] (s ) med mindre andet er angivet. Sætning 4.3: Vektorrum af løsninger Lad et homogent system af n lineære første ordens differentialligninger på et åbent interval, I, være givet ved x (t) = P (t) x(t), og lad x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) være n løsninger til systemet på I. Da gælder, at hvis c 1, c 2,..., c n er konstanter, er linearkombinationen; også en løsning til systemet på I. x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t) Bevis Lad et homogent lineært system af n første ordens differentialligninger på det åbne interval, I, være givet ved x (t) = P (t) x(t), hvor P (t) er en n n matrix, og hver indgang heri er en funktion af t. Lad nu x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) være n løsninger til systemet på I, og sæt derudover: Så gælder det, at: x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t) x i (t) = P (t) x i (t) i = 1, 2,..., n Side 23 af 65

36 Dermed fås; x (t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t) = c 1 P (t) x 1 (t) + c 2 P (t) x 2 (t) c n P (t) x n (t) = P (t)(c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t)) = P (t) x(t) hvilket derfor viser, at x(t) er en løsning til systemet. Sætning 4.4: Wronski-determinanter for løsninger Lad x (t) = P (t) x(t) være et homogent system af n lineære første ordens differentialligninger, hvor P (t) er en n n matrix, hvor alle indgange antages at være kontinuerte på et åbent interval, I. Antag at x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) er n løsninger til x (t) = P (t) x(t). Lad X(t) = [ x 1 (t) x 2 (t)... x n (t) ] være matricen med de n løsninger som søjler, og benævn determinanten af denne matrix W. Så gælder det, at: 1. Hvis x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) er lineært afhængige på I, så er W (t) = 0 ved ethvert punkt på I. 2. Hvis x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) er lineært uafhængige på I, så er W (t) 0 ved ethvert punkt på I. Denne determinant benævnes ofte Wronski-determinanten. Bemærk, at { x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)} er lineært afhængigt på et interval, I R, hvis der eksisterer konstanter, c 1, c 2,..., c n R, hvor mindst én er forskellig fra nul, således: c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t) = 0 t I Vær dog opmærksom på, at ligningen skal gælde med de samme konstanter for alle t I. For at kunne bevise sætning 4.4 skal følgende lemma bruges. Lemma 1: Lineær uafhængighed for løsninger til systemer ([8] s. 47) Lad x (t) = A x(t) have løsninger, x 1 (t), x 2 (t),..., x k (t), og betegn løsningsrummet V. Da er følgende udsagn ækvivalente: 1. x 1, x 2,..., x k er lineært uafhængige i V 2. t : x 1 (t), x 2 (t),..., x k (t) er lineært uafhængige i R n 3. t 0 : x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 ),..., x k (t 0 ) er lineært uafhængige i R n Side 24 af 65

37 Bevis 1) 2): Det bevises kontrapositivt, at 1) 2), derfor tages der udgangspunkt i 2). Antag, der eksisterer et t 0, så x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 ),..., x k (t 0 ) er lineært afhængige i R n. Altså; λ 1 x 1 (t 0 ) + λ 2 x 2 (t 0 ) λ k x k (t 0 ) = 0 for passende (λ 1, λ 2,..., λ k ) (0, 0,..., 0). Betragt begyndelsesværdiproblemet: Problemet løses af: x (t) = A x(t) x(t 0 ) = 0 (4.4) k k x(t) = λ i x i (t) og af y(t) 0 da x(t 0 ) = λ i x i (t 0 ) = 0 (4.5) i=1 i=1 Da ligning (4.4) løses af ligning (4.5), giver sætning 4.2, at; x(t) y(t) 0 fordi de begge løser samme begyndelsesværdiproblem. Dermed er x 1, x 2,..., x k lineært afhængige i V for et sæt af skalarer (λ 1, λ 2,..., λ k ) (0, 0,..., 0), altså er det vist, at 2) 1). Dermed er det bevist kontrapositivt, at 1) 2). 2) 3): Det er trivielt. 3) 1): Antag, at λ 1, λ 2,..., λ n i R opfylder, at: λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k = 0 i V (4.6) Særligt kan der indsættes t = t 0, og der fås: λ 1 x 1 (t 0 ) + λ 2 x 2 (t 0 ) λ k x k (t 0 ) = 0 i R n (4.7) Da t 0 i 3) har den egenskab, at x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 ),..., x k (t 0 ) er lineært uafhængige i R n, så giver ligning (4.7), at: λ 1 = 0, λ 2 = 0,..., λ k = 0 Da fås via ligning (4.6), at x 1, x 2..., x k er et lineært uafhængigt sæt i V. Side 25 af 65

38 Bevis for sætning 4.4 Punkt 2): Hvis x 1, x 2,..., x n er lineært uafhængige på I, så giver implikationen 1) 2) i lemma 1, at x 1 (t), x 2 (t)..., x n (t) er lineært uafhængige i R n for ethvert t I. Dermed er; W (t) = det [ x 1 (t) x 2 (t)... x n (t) ] 0 t I da det fra sætning i [9] (s ) vides, at når vektorerne er lineært uafhængige, er determinanten forskellig fra nul. Punkt 1): Hvis x 1 (t 1 ), x 2 (t 1 )..., x n (t 1 ) er lineært afhængige i R n, så er 2) i lemma 1 ikke opfyldt. Da viser implikationen 2) 3) i lemmaet, at 3) ikke er opfyldt. Det vil sige, at x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 ),..., x n (t 0 ) er lineært afhængige for alle t 0 R. Ud fra sætning i [9] (s ) vides det, at når vektorerne er lineært afhængige, så er determinanten lig nul. Sætning 4.4 på side 24 medfører, at det kun er nødvendigt at bestemme determinanten for en enkelt værdi af t, for at se om løsningerne er lineært uafhængige eller afhængige, da det samme vil gælde for samtlige t I. Sætning 4.5: Generelle løsninger til homogene systemer Lad x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) være n lineært uafhængige løsninger til den homogene lineære ligning x (t) = P (t) x(t) på det åbne interval, I, hvor P er en n n matrix, hvor alle indgange er kontinuerte. Hvis x(t) er en løsning til x (t) = P (t) x(t) på I, så eksisterer konstanter, c 1, c 2,..., c n, således at den generelle løsning til systemet er givet ved: x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t) t I Bevis Lad et system af n differentialligninger på I være givet ved x (t) = P (t) x(t). Lad a I, lad x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) være n lineært uafhængige løsninger til x (t) = P (t) x(t) og lad x(t) være en given løsning til systemet. Så er; y(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t) også en løsning til x (t) = P (t) x(t), jævnfør sætning 4.3 på side 23. Det vises nu, at der eksisterer konstanter, c 1, c 2,..., c n, således at: y(a) = c 1 x 1 (a) + c 2 x 2 (a) c 1 x n (a) = x(a) (4.8) Det vil sige, at der findes en løsning, y(t), som opfylder den samme begyndelsesværdibetingelse, som x(t) for et fastholdt punkt, a, på I. Lad X(t) være den n n matrix med søjlevektorerne, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t), og lad c være søjlevektoren med indgange, c 1, c 2,..., c n. Så kan ligning (4.8) skrives som: Side 26 af 65

39 X(a) c = x(a) Det vides, at x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) er lineært uafhængige per antagelse. Det betyder, at Wronskideterminanten er 0, jævnfør sætning 4.4, og dette betyder, at matricen, X(a), er inverterbar ([10] s. 200). Det betyder derfor, at: X(a) 1 X(a) c = X(a) 1 x(a) c = X(a) 1 x(a) Altså eksisterer der konstanter, c 1, c 2,..., c n, som opfylder ligning (4.8). Det vil sige, at løsningerne, x(t) og y(t), med de konstanter, c 1, c 2,..., c n, der netop er fundet, opfylder den samme begyndelsesværdibetingelse. Altså gælder det ifølge sætning 4.2 på side 22, at: y(t) = x(t) t I Dermed er det bevist, at enhver løsning kan skrives som: x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) + + c n x n (t) Egenværdimetoden til løsning af homogene systemer Metoden for at løse et system som ligning (4.3) på side 23 kaldes egenværdimetoden. Før metoden beskrives, er det nødvendigt at definere nogle begreber. Afsnittet er baseret på [2] (s ) med mindre andet er angivet. Definition 4.1: Egenværdier og egenvektorer for n n matrix ([10] s. 294) Lad A være en n n matrix. En ikke-nulvektor, v, kaldes en egenvektor for A, hvis A v er et multiplum af v. Det vil sige A v = λ v for en skalar, λ. Denne skalar kaldes egenværdien for A tilhørende v. Som bekendt er egenværdierne for A de værdier, λ, som opfylder: det(a λi) = 0 Dette leder frem til følgende definition: Definition 4.2: Karakteristisk polynomium og ligning ([10] s. 302) Ligningen; det(a λi) = 0 kaldes den karakteristiske ligning for A og; kaldes det karakteristiske polynomium. det(a λi) Side 27 af 65

40 Når determinanten skrives ud, fås den karakteristiske ligning på formen: ( 1) n λ n + b n 1 λ n b 1 λ + b 0 = 0 Løsningerne til ligningen er egenværdierne for A. Det betyder, at n n matricen, A, har præcis n egenværdier, hvis egenværdierne tælles med multiplicitet ([11] s. 1). Egenværdierne kan desuden både være komplekse og reelle. Sætning 4.6: Egenværdiløsninger til x (t) = A x(t) ([2] s. 368) Lad λ være en egenværdi til en koefficientmatrix, A, i følgende første ordens lineære system: x (t) = A x(t) Hvis v er en egenvektor tilhørende λ, så gælder, at; er en ikke-triviel løsning til systemet. x(t) = v e λt For at løse det homogene, konstant-koefficient, n n system, x (t) = A x(t), gøres følgende: 1. Først løses den karakteristiske ligning for egenværdierne, λ 1, λ 2,, λ n for matricen, A, som kan være reelle, komplekse, forskellige eller med multiplicitet > Hvis muligt findes n lineært uafhængige egenvektorer, v 1, v 2,..., v n, tilhørende disse egenværdier. Punkt 2 er ikke altid muligt, men når det er, fås n lineært uafhængige løsninger, jævnfør sætning 4.4 på side 24: x 1 (t) = v 1 e λ1t, x 2 (t) = v 2 e λ2t,..., x n (t) = v n e λnt Hvis dette er tilfældet er den generelle løsning af x (t) = A x(t) en linearkombination af disse n løsninger. Det vil sige: x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) c n x n (t) Det vil nu blive beskrevet, hvordan egenværdimetoden anvendes for følgende tilfælde af egenværdier for et 2 2 system: Reelle egenværdier med multiplicitet 1, komplekse egenværdier med multiplicitet 1 og reelle egenværdier med multiplicitet 2. Egenværdimetoden for reelle egenværdier med multiplicitet 1 Hvis hver egenværdi i systemet er reel, og alle har multiplicitet 1, er det muligt at finde en tilhørende egenvektor for hver enkelt egenværdi. Hvis dette er tilfældet, gælder det, at løsningsvektorerne, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t), er lineært uafhængige. Givet et konkret eksempel kan denne påstand altid bekræftes ved brug af Wronski-determinanten beskrevet i sætning 4.4. Følgende eksempel er tilføjet for at give en forståelse for, hvorledes egenværdimetoden anvendes, når egenværdierne er reelle med multiplicitet 1. Side 28 af 65

41 Eksempel 10. Egenværdimetoden for reelle egenværdier, multiplicitet 1 Betragt følgende system af første ordens koblede differentialligninger med konstante koefficienter: x 1(t) = 8x 1 (t) 6x 2 (t), x 2(t) = 6x 1 (t) + 12x 2 (t) Dette kan omskrives til en koefficient-matrix på formen: [ ] 8 6 x (t) = x(t) 6 12 Ud fra koefficient-matricen udregnes egenværdierne til at være λ 1 = 6 og λ 2 = 10, som er reelle og begge [ har multiplicitet 1. For λ 1 = 6 beregnes den tilhørende egenvektor til at 3 være v 1 =, og jævnfør sætning 4.6 på foregående side bestemmes løsningsvektoren: 1] x 1 = [ 3 1] e 6t For λ 2 = 10 beregnes den tilhørende egenvektor til at være v 2 = 4.6 bestemmes løsningsvektoren: x 2 = [ 1 3] e 10t De to egenværdier og tilhørende egenvektorer giver altså de to løsninger: [ ] [ ] 3 1 x 1 = e 1 6t og x 2 = e 3 10t [ ] 1, og jævnfør sætning 3 Da de to egenværdier er forskellige, betyder det, at de tilhørende egenvektorer er lineært uafhængige. Derfor er W (0) 0, og jævnfør sætning 4.4 på side 24 er x 1 (t) og x 2 (t) lineært uafhængige som funktioner. Det vil sige, at den generelle løsning af systemet er: [ ] [ ] 3 1 x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) = c 1 e 1 6t + c 2 e 3 10t Dette kan også skrives på skalarform: x 1 (t) = c 1 3e 6t + c 2 e 10t x 2 (t) = c 1 e 6t 3c 2 e 10t Egenværdimetoden for komplekse egenværdier med multiplicitet 1 Egenværdimetoden kan også anvendes på komplekse egenværdier. Problemet bliver dog at egenvektorerne får komplekse koordinater, hvilket resulterer i komplekse løsninger, men der ønskes reelle løsninger. Da det antages, at A udelukkende har reelle indgange, betyder det dermed, at Side 29 af 65

42 koefficienterne i den karakteristiske ligning vil være reelle. Derfor skal enhver kompleks egenværdi optræde, som kompleks-konjugerede par. Det antages at; λ = p + qi og λ = p qi er et par af kompleks-konjugerede egenværdier. Hvis v er egenvektor tilhørende egenværdien λ, således at; (A λi) v = 0 så fås følgende, når denne løsning kompleks-konjugeres; (A λi)v = 0 eftersom A = A og I = I, da matricernes indgange er reelle. Desuden er v kompleks-konjugeret, v, en egenvektor tilhørende λ. Den kompleks-konjugerede af en vektor er defineret komponentvis. Altså er v = a bi. Løsningen med komplekse værdier tilhørende λ og v er da givet ved: x(t) = ve λt = ve (p+qi)t = ( a + bi)e pt( cos(qt) + i sin(qt) ) Det vil sige: x(t) = e pt( a cos(qt) b sin(qt) ) + ie pt( b cos(qt) + a sin(qt) ) Hvis x(t) kompleks-konjugeres, fås ve λt, og det ses, at den kompleks-konjugerede egenværdi og egenvektor er indeholdt i x(t), men da λ også er en egenværdi for matricen, A, med tilhørende egenvektor, v, er x(t) også en løsning til det homogene differentialligningssystem. Da systemet netop er homogent, vil; x 1 (t) = 1 2 x(t) x(t) også være en løsning, jævnfør sætning 4.5 på side 26. Dette er den reelle del af løsningen, x(t), da; x(t) + x(t) a + bi + a bi x 1 (t) = = = a 2 2 hvor det for simpelhedens skyld er indført, at: a = e pt( a cos(qt) b sin(qt) ) og b = e pt( b cos(qt) + a sin(qt) ) Jævnfør sætning 4.5 er; x 2 = 1 2i x(t) 1 2i x(t) også en løsning, og dette er den imaginære del af løsningen, x(t): x 2 = x(t) x(t) 2i = a + bi (a bi) 2i Da både den reelle og den imaginære del af løsningen med komplekse værdier også i sig selv er løsninger, fås to løsninger med reelle værdier tilhørende de kompleks-konjugerede egenværdier, p±qi: = b Side 30 af 65

43 x 1 (t) =Re[ x(t)] = e pt( a cos(qt) b sin(qt) ) x 2 (t) =Im[ x(t)] = e pt( b cos(qt) + a sin(qt) ) Det kan vises, at de samme to løsninger med reelle værdier fås ved at tage henholdsvis den reelle og imaginære del af ve λt. Det betyder, at det kun er nødvendigt at se på én af de to egenværdier, da samme resultat opnås, ligegyldigt om det bestemmes ud fra λ eller λ. Derfor er egenværdimetoden lidt anderledes for komplekse egenværdier: 1. Først findes en løsning, x(t) = ve λt, tilhørende den komplekse egenværdi, λ, hvor x(t) har komplekse løsninger. 2. Derefter findes den reelle del, x 1 (t), og den imaginære del, x 2 (t), for at få to lineært uafhængige løsninger med reelle værdier tilhørende de to kompleks-konjugerede egenværdier, λ og λ. Eksempel 11. Egenværdimetoden for komplekse egenværdier, multiplicitet 1 Betragt følgende system af koblede differentialligninger med konstante koefficienter: x 1(t) = 3x 1 (t) 4x 2 (t) x 2(t) = 4x 1 (t) + 3x 2 (t) Ud fra dette konstrueres koefficientmatricen: [ ] 3 4 A = 4 3 Herudfra er det muligt at finde egenværdierne ved hjælp af den karakteristiske ligning: [ ] 3 λ 4 det(a λi) = 0 = 0 λ 4 3 λ 2 6λ + 25 = 0 Løses denne andengradsligning fås de kompleks-konjugerede egenværdier: λ = 3 4i og λ = 3 + 4i Når λ = 3 4i indsættes i (A λi) v = 0 fås: [ ] [ ] 3 (3 4i) 4 a = 4 3 (3 4i) b [ ] 0 0 [ ] [ ] 4i 4 a 4 4i b = [ ] 0 0 Ligningssystemet kan løses, hvis a = 1 og b = i. Det vil sige, at; [ 1 v = i] er en kompleks egenvektor tilhørende den komplekse egenværdi, λ = 3 4i. Den tilhørende løsning, x(t) = ve λt af x (t) = A x(t), med komplekse værdier er: Side 31 af 65

44 x(t) = [ ] 1 e i (3 4i)t = [ ] 1 e i 3t( cos(4t) i sin(4t) ) [ ] cos(4t) i sin(4t) = e 3t i cos(4t) + sin(4t) Derudfra findes den reelle og den imaginære del: [ ] [ ] cos(4t) sin(4t) x 1 (t) =Re[ x(t)] = e 3t og x sin(4t) 2 (t) =Im[ x(t)] = e 3t cos(4t) Det vil sige, at den generelle løsning til x (t) = A x(t) med reelle værdier er: [ ] x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) = e 3t c1 cos(4t) c 2 sin(4t) c 1 sin(4t) + c 2 cos(4t) Skrevet på skalarform bliver det: x 1 (t) = e 3t( c 1 cos(4t) c 2 sin(4t) ) x 2 (t) = e 3t( c 1 sin(4t) + c 2 cos(4t) ) Egenværdimetoden for egenværdier med multiplicitet 2 Dette underafsnit, baseret på [2] (s ), omhandler de to muligheder, der fås, hvis et homogent system af to førsteordens differentialligninger på formen x (t) = A x(t) har en egenværdi med multiplicitet 2. Én mulighed er, at det er muligt at finde to lineært uafhængige egenvektorer til denne egenværdi. Hvis dette er tilfældet, anvendes sætning 4.6 på side 28 til at finde den generelle løsning for systemet. Hvis der til gengæld ikke findes to lineært uafhængige egenvektorer, da giver sætning 4.6 kun en enkelt uafhængig løsning, x 1 (t) = v 1 e λt. Derfor er det nødvendigt at finde endnu en løsning, der er lineært uafhængig af den foregående, før det er muligt at beskrive den generelle løsning til systemet. Dette kan lade sig gøre, hvis det er muligt at finde vektorer, v 1, v 2 0, således følgende betingelser er opfyldt: (A λi) v 1 = 0 (4.9) (A λi) v 2 = v 1 (4.10) Betingelsen i ligning (4.9) viser, at v 1 skal være en egenvektor med tilhørende egenværdi, λ. Derfor er v 1 e λt en løsning til systemet som før, hvis systemet, x (t) = A x(t), har egenværdien λ med tilhørende egenvektor v 1. Hvis der derudover eksisterer en vektor v 2 0, der opfylder (4.9) og (4.10), da er x 2 (t) = ( v 1 t + v 2 )e λt også en løsning til systemet, og x 1 (t) og x 2 (t) er lineært uafhængige løsninger. Før den generelle løsning til systemet skrives, testes det, hvorvidt den fundne x 2 (t) overhovedet er en løsning, det vil sige om udsagnet x 2(t) = A x 2 (t) er sandt: x 2 (t) = ( v 1 t + v 2 )e λt Side 32 af 65

45 På grund af kædereglen fås: Ud fra ligningerne (4.9) og (4.10) fås: x 2(t) = v 1 e λt + λ( v 2 + t v 1 )e λt = ( v 1 + λ v 2 )e λt + tλ v 1 e λt x 2(t) = A v 2 e λt + t A v 1 e λt = A( v 2 + t v 1 )e λt = A x 2 (t) Dermed er den generelle løsning til systemet, jævnfør sætning 4.5 på side 26, givet ved; x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) = c 1 v 1 e λt + c 2 ( v 1 t + v 2 )e λt for vilkårlige konstanter, c 1 og c 2. For at finde vektoren, v 2 0, ses det ud fra ligning (4.9) og (4.10), at vektoren opfylder: 0 = (A λi) v 1 = (A λi) ( (A λi) v 2 ) = (A λi) 2 v 2 Dermed ses det, at det er tilstrækkeligt at finde en vektor, v 2 0, der opfylder (A λi) 2 v 2 = 0, således: v 1 = (A λi) v 2 = 0 Ifølge en fundamentalsætning i lineær algebra er det altid muligt for en egenværdi med multiplicitet 2 at finde enten en egenvektor og en vektor, som opfylder ligning (4.9) og (4.10), eller to lineært uafhængige egenvektorer tilhørende samme egenværdi ([2] s. 401). Side 33 af 65

46 Kapitel 5 Stabilitet & ligevægt Lotka-Volterra modellen er et system af koblede differentialligninger på formen; dx dt = f( x(t), y(t) ), dy dt = g( x(t), y(t) ) (5.1) hvor den uafhængige variabel, t, ikke fremstår direkte. Normalt ses x og y som positionsvariable i xy-planen og t som tidsvariabel. I det kommende afsnit ses der nærmere på et tidsinvariant system, altså et autonomt system med tid som den uafhængige variabel, da analysen af systemet og visualiseringen af dets løsninger er lettere end for et system, hvor t indgår direkte. 5.1 Ligevægt Hvis løsningen gennem punktet, (x, y ), givet ved x(t) x og y(t) y, eksisterer, betyder det samtidigt, at der ikke eksisterer andre løsninger gennem dette punkt, jævnfør sætning 3.2 på side 16. Derudover gælder det, at hvis punktet, (x, y ), opfylder kravene i definition 5.1, kaldes punktet også et ligevægtspunkt. Definition 5.1: Ligevægtspunkt ([2] s. 488) Et punkt, (x, y ), i et autonomt system af koblede differentialligninger på formen i ligning (5.1) siges at være et ligevægtspunkt, hvis punktet, (x, y ), opfylder: f(x, y ) = g(x, y ) = 0 Et ligevægtspunkt kaldes også et kritisk punkt. Side 34 af 65

47 Eksempel 12. Ligevægtspunkt i et system af autonome differentialligninger Det ønskes at finde ligevægtspunkterne i systemet: dx dt = 60x(t) 4x(t)2 2x(t)y(t), dy dt = 36y(t) 4y(t)2 2x(t)y(t) (5.2) Der ses på følgende to ligninger, hvor ligevægtspunktet, (x, y ), skal være opfyldt for begge: 60x 4x 2 2xy = x(60 4x 2y) = 0, 36y 4y 2 2xy = y(36 4y 2x) = 0 Det betyder, at der både gælder; x = x 2y = 0 og; y = y 2x = 0 Det ses hurtigt, at hvis både x = 0 og y = 0 vil der være et ligevægtspunkt i (0, 0), da begge funktioner kun er afhængige af x og y. Hvis x = 0 og y 0, fås y = 9. Hvis x 0 og y = 0, fås x = 15. Hvis både x og y er forskellige fra 0, løses følgende to ligninger med to ubekendte: 60 4x 2y = y 2x = 0 Løses dette fås x = 14 og y = 2. Det betyder, at systemets fire ligevægtspunkter er henholdsvis (0, 0); (0, 9); (15, 0) og (14, 2). Hvis x(t) og y(t) repræsenterer populationen af henholdsvis rovdyr og byttedyr, og hvis begge populationer er konstante, følger det, at ligningerne i (5.2) kun tillader tre ikke-trivielle muligheder for ligevægtspunkter: Enten 0 rovdyr og 9 byttedyr, eller 15 rovdyr og 0 byttedyr, eller 14 rovdyr og 2 byttedyr. Særligt gælder der for ligevægtspunktet, (14, 2), at den beskriver den eneste mulighed for, at systemet består af både rovdyr og byttedyr i sameksistens med hinanden. Side 35 af 65

48 5.2 Grafisk repræsentation Hvis begyndelsespunktet, (x 0, y 0 ), ikke er et ligevægtspunkt, så er den tilsvarende bane en kurve i xy-planen, hvor punktet, (x, y), bevæger sig langs kurven, efterhånden som t vokser. Det er muligt at vise det autonome system af koblede differentialligningers forløb grafisk ved at konstruere et billede, der viser systemets ligevægtspunkter sammen med løsningskurver i xy-planen. Sådan et billede kaldes et faseportræt, da det viser faserne i systemet og indikerer, hvordan de ændrer sig med tiden. Et faseportræt indeholder et retningsfelt, der konstrueres ved at tegne vektorer med hældninger; y (t) x (t) = f ( ) x(t), y(t) g ( x(t), y(t) ) hvor disse vektorer beskriver hældningerne til tangentlinjerne for løsningskurverne for det autonome system af koblede differentialligninger. Denne hældning er defineret som ([6] s. 828): dy dx = lim t t 0 y(t) y(t 0 ) x(t) x(t 0 ) (5.3) Retningsfelt For at danne sig et indtryk af hvorledes løsninger til en differentialligning forløber, kan en grafisk repræsentation af potentielle løsningers tangenthældninger udnyttes. Givet en begyndelsesværdibetingelse er det muligt ved brug af differentialligningen at bestemme den afledtes værdi i dette punkt. Dette kan udnyttes til at bestemme et retningsfelt. For at kunne bevise at vektorerne fra systemet beskriver hældningerne for tangentlinjerne til løsningskurverne introduceres følgende lemma, hvor: [ ( )] ( ) f x(t), y(t) h x(t), y(t) := g ( x(t), y(t) ) Lemma 2: Differentiabilitet af løsninger for systemer Lad ϕ (t) = h ( x(t), y(t) ) være et differentialligningssystem. Så vil løsningen, ϕ(t), være k + 1 gange differentiabel, hvis h ( x(t), y(t) ) er k gange differentiabel. Bevis Antag, at h ( x(t), y(t) ) er k gange differentiabel. Da ϕ(t) er en løsning til ligningssystemet; ϕ (t) = h ( x(t), y(t) ) og differentiering er en lineær afbildning, er ligheden bevaret under differentiering. Det vil sige, at hvis højresiden differentieres k gange, så er ϕ(t) differentieret k + 1 gange. Sætning 5.1: Hældning for løsningskurver Lad v være en retningsvektor for differentialligningssystemet, ϕ (t) = h ( x(t), y(t) ), til tiden, t. Så vil v beskrive hældningen for løsningskurvens tangent til tiden, t. Side 36 af 65

49 Bevis Lad v være en retningsvektor til tiden, t 0, til differentialligningssystemet; ϕ (t) = h ( x(t), y(t) ) og antag, at ϕ(t) er en løsning til dette differentialligningssystem. Denne løsning kan opdeles komponentvis, så: x (t) = f ( x(t), y(t) ) og y (t) = g ( x(t), y(t) ) Det skal vises, at hældningen for løsningskurven er lig hældningen for retningsvektoren, v, og dette gøres først for første-komponenten, x(t). Hældningen kan bestemmes i et punkt, τ x, i intervallet, ]t; t 0 [ eller ]t 0 ; t[, ved hjælp af Middelværdisætningen (sætning 7.12 i [3] s. 119). Uden tab af generalitet vælges intervallet, ]t; t 0 [. Middelværdisætningen kræver, at x(t) er differentiabel i intervallet, ]t; t 0 [. Ved at bruge lemma 2 ses det, at en første ordens differentiallignings løsningskurver altid vil være differentiable af første orden i intervallet, de eksisterer på. Derfor er x(t) også differentiabel i intervallet. Altså gælder det ifølge Middelværdisætningen, at: x(t) x(t 0 ) t t 0 = x (τ x ) Ved at addere x (t 0 ) + x (t 0 ) på højre side i overstående ligning, hvilket er muligt, da det er lig 0, og efterfølgende multiplicere med (t t 0 ) på begge sider, fås: x(t) x(t 0 ) = (t t 0 ) (x (τ x ) x (t 0 ) + x (t 0 ) ) = (t t 0 ) x (t 0 ) + (t t 0 ) (x (τ x ) x (t 0 ) ) (5.4) Det ses, at denne ligning har samme form som et førsteordens Taylorpolynomium udviklet ud fra t 0 ([6] s. 684). Det betyder, at når t t 0 vil x (t 0 ) beskrive hældningen på første-komponenten af tangenten for løsningskurven i punktet, t 0. Ved at dividere med (t t 0 ) på begge sider fås: Det ses af definition 7.1 i [3] (s. 111), at; x(t) x(t 0 ) t t 0 = x (t 0 ) + x (τ x ) x (t 0 ) x(t) x(t 0 ) t t 0 x (t 0 ) for t t 0 og derfor må det nødvendigvis gælde, at x (τ x ) x (t 0 ) 0 for t t 0. Da x (τ x ) x (t 0 ) 0 for τ x t 0, skal det vises, at τ x t 0 for t t 0. Eftersom τ x ]t; t 0 [ gælder det, at t < τ x < t 0, så når t t 0 vil t 0 < τ x < t 0, og ifølge definition 3.1 i [3] (s. 34) er τ x = t 0, når τ x < t 0 og t 0 < τ x. Det betyder, at x (τ x ) x (t 0 ) 0 for t t 0. Det kan vises analogt for y(t) i punktet, τ y. Disse to komponenter udgør ϕ(t). Derfor kan hældningen af løsningskurven beskrives som hældningen af tangenten til tiden, t 0. Denne hældning er ϕ (t 0 ), som er lig retningsvektoren, v, til tiden, t 0. Altså beskriver v hældningen for løsningskurvens tangent til tiden, t 0. Side 37 af 65

50 Bemærk, at da faseportrættet er to-dimensionelt, vil der kun være en første- og andenakse, kaldet x- og y-aksen. Det vil sige, at hældningerne er betegnet dy dx, som er lig med y (t) x (t). Denne lighed bestemmes ud fra ligning (5.3), hvor ϕ(t) = ( x(t), y(t) ) er en løsningskurve. Ifølge ligning (5.4) fås det, at; y(t) y(t 0 ) = (t t 0 )y (t 0 ) + (t t 0 ) ( y (τ y ) y (t 0 ) ) x(t) x(t 0 ) = (t t 0 )x (t 0 ) + (t t 0 ) ( x (τ x ) x (t 0 ) ) hvilket indsættes i ligning (5.3): ( dy dx = lim (t t 0 )y (t 0 ) + (t t 0 ) y (τ y ) y (t 0 ) ) t t 0 (t t 0 )x (t 0 ) + (t t 0 ) ( x (τ x ) x (t 0 ) ) ( y (t 0 ) + y (τ y ) y (t 0 ) ) = lim t t0 x (t 0 ) + ( x (τ x ) x (t 0 ) ) Da både τ x t 0 og τ y t 0 for t t 0, ses det derfor, at: dy dx = y (t 0 ) x (t 0 ) Da t 0 er vilkårligt valgt, gælder dette for alle t i intervallet, og det kan generelt skrives som: 5.3 Nulkliner dy dx = y (t) x (t) Dette afsnit omhandler nulkliner og er baseret på [12] (s. 3). Nulkliner bruges til at analysere og beskrive faseportrættet og betegnes x-nulkliner og y-nulkliner, hvis x og y er de to afhængige variable. I faseportættet er x-nulklinerne løsninger til f(x, y) = 0, mens y-nulklinerne er løsninger til g(x, y) = 0. Bemærk, at x (t) = f ( x(t), y(t) ), så f ( x(t), y(t) ) beskriver hældningen af x(t), og ligeledes beskriver g ( x(t), y(t) ) hældningen af y(t). Dette kan også formuleres som følgende definition: Definition 5.2: Nulkliner Betragt et autonomt system af to koblede differentialligninger: dx dt = f( x(t), y(t) ) dy dt = g( x(t), y(t) ) Da er x-nulkliner de punkter, (x, y), som løser ligningen: f ( x, y ) = 0 Ligeledes er y-nulkliner de punkter, (x, y), der løser ligningen: g(x, y) = 0 Side 38 af 65

51 Sætning 5.2: Nulkliner En skæring mellem en x-nulklin og en y-nulklin resulterer i et ligevægtspunkt. Bevis Lad en vilkårlig x-nulklin og en vilkårlig y-nulklin skære i punktet (x, y ), så vil; som er definitionen på et ligevægtspunkt. f(x, y ) = g(x, y ) = 0 Den følgende tabel viser retningen af banerne, når nulklinerne kendes. f(x, y) > 0 f(x, y) = 0 f(x, y) < 0 g(x, y) > 0 g(x, y) = 0 0 g(x, y) < 0 Tabel 5.1: Retning af løsningskurver for forskellige værdier af f(x, y) og g(x, y) ([12] s. 3). 5.4 Stabilitet Følgende afsnit er baseret på [2] (s ). Hvis der for enhver afstand, ε > 0, fra ligevægtspunktet eksisterer en afstand, δ > 0, fra ligevægtspunktet, således at hvis begyndelsespunktet starter indenfor afstanden δ, medfører det, at løsningen, x(t) = ( x(t), y(t) ), forbliver indenfor afstanden ε for alle t > 0. Det betyder, at ligevægtspunktet er stabilt, jævnfør følgende definition: Definition 5.3: Stabilt ligevægtspunkt Lad x være et ligevægtspunkt, x 0 være et begyndelsespunkt og x(t) være en løsning til x (t) = f( x(t)). Da siges ligevægtspunktet, x, at være stabilt, hvis: ε > 0 δ > 0 : x 0 x < δ x(t) x < ε t > 0 Et ligevægtspunkt, der ikke er stabilt, kaldes ustabilt. Som en stærkere egenskab kaldes et ligevægtspunkt, x, asymptotisk stabilt, hvis hver løsningskurve, som starter tilstrækkeligt tæt på x, konvergerer mod x for t +. Det følger også af definition 5.4: Side 39 af 65

52 Definition 5.4: Asymptotisk stabilt ligevægtspunkt Lad x være et stabilt ligevægtspunkt, x 0 være et begyndelsespunkt og x(t) være en løsning til x (t) = f( x(t)) med x(0) = x 0. Da siges ligevægtspunktet, x, at være asymptotisk stabilt, hvis: δ > 0 : x 0 x < δ lim t x(t) = x Definitionerne viser, at stabilitetsforhold omhandler, hvordan alle løsningerne i nærheden af ligevægtspunktet forløber. Hvorvidt punktet er stabilt, ustabilt eller asymptotisk stabilt kan bestemmes ved at se på typen af ligevægtspunktet. 5.5 Typer af ligevægtspunkter Dette afsnit beskriver forskellige typer af ligevægtspunkter og er baseret på [2] (s ) med mindre andet er angivet. For at forstå hvordan ligevægtspunktets type afspejles i faseportrættet, er det nødvendigt at definere begrebet udprikket kugle: Definition 5.5: Udprikket kugle ([3] s. 99) Lad x R n. Ved en udprikket kugle med centrum, x, og r > 0, forstås mængden: Ḃ r (x) = {y R n 0 < y x < r} Lad A R n, og lad f : A R være en reel funktion defineret på A. Hvis x R n, og hvis der eksisterer en udprikket kugle Ḃr(x), hvor f er defineret på, så siges f at være defineret i nærheden af x. Det vil sige, der eksisterer et r > 0, så Ḃr(x) A. Der findes forskellige typer af ligevægtspunkter, der afhænger af hvordan løsningskurverne i faseportrættet forløber i nærheden af ligevægtspunktet, x. Definition 5.6: Knude Et ligevægtspunkt, x, kaldes en knude, hvis enten: Alle løsningskurver med x(0) Ḃr( x ) for et passende r > 0 enten går mod eller væk fra ligevægtspunktet, når t +, eller Alle løsningskurver med x(0) Ḃr( x ) for et passende r > 0 tangerer en ret linje, der går gennem ligevægtspunktet. En knude siges at være egentlig, hvis der ikke findes to forskellige par af løsningskurver, som tangerer den samme lige linje gennem ligevægtspunktet. Modsat kaldes en knude uegentlig, hvis alle løsningskurver, undtagen et enkelt par, tangerer den samme rette linje gennem ligevægtspunktet. Side 40 af 65

53 Figur 5.1: Asymptotisk stabil egentlig knude Figur 5.2: Asymptotisk stabil uegentlig knude Figur 5.3: Ustabil uegentlig knude Derudover kaldes en knude et dræn, hvis alle løsningskurver går mod ligevægtspunktet, og en kilde, hvis alle løsningskurver går væk fra ligevægtspunktet. Dette betyder samtidig, at et dræn er et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt, og en kilde er et ustabilt ligevægtspunkt. Derfor er origo i figur 5.1 et egentligt dræn, hvorimod origo i figur 5.2 er et uegentligt dræn. På figur 5.3 ses et faseportræt, hvor origo er en kilde. Hvis der er præcis to løsningskurver, der går mod ligevægtspunktet for t +, og to løsningskurver, der går mod ligevægtspunktet for t, kaldes ligevægtspunktet et saddelpunkt. Et centrum er et stabilt ligevægtspunkt, hvor alle løsningskurver danner lukkede kredse, som repræsenterer periodiske løsninger, omkring ligevægtspunktet. Side 41 af 65

54 Figur 5.4: Saddelpunkt Figur 5.5: Centrum Et spiralpunkt er et ligevægtspunkt, hvor alle løsningskurver med x(0) Ḃr( x ) for et passende r > 0 enten spiralerer væk fra eller mod ligevægtspunktet. Hvis det spiralerer væk fra ligevægtspunktet, er det ustabilt. Omvendt hvis det spiralerer mod ligevægtspunktet, er det asymptotisk stabilt. Figur 5.6: Asymptotisk stabilt spiralpunkt Maksimalt definitionsinterval Det har indtil videre været antaget, at differentialligningernes løsninger har været defineret på ] ; [, men det er ikke altid tilfældet. Ifølge følgende sætning gælder det generelt for ikke-lineære systemer, at begyndelsesværdiproblemers løsninger er entydige på et lille interval: Side 42 af 65

55 Sætning 5.3: Eksistens- og entydighedssætning ([13] s. 27) Betragt begyndelsesværdiproblemet; x (t) = f ( t, x(t) ), x(t 0 ) = x 0 hvor f : A R n og A R R n er et åbent interval. Lad f x i kontinuerte på A, hvor i = {1, 2,, n}. eksistere og være Hvis (t 0, x 0 ) A og δ, ε > 0, som opfylder; [t 0 δ; t 0 + δ] B ε ( x 0 ) A så eksisterer et delinterval, ]a; b[ [t 0 δ; t 0 + δ], og en løsning, ϕ : ]a; b[ R n, som er entydig på delintervallet. For eksempel vil løsningen til begyndelsesværdiproblemet; dx dt = 1 + x(t)2, x(0) = 0 (5.5) være x(t) = tan(t), og denne løsning er kun defineret på intervallet kaldes det maksimale definitionsinterval for ligning (5.5). Definition 5.7: Maksimalt definitionsinterval ([8] s. 42) Lad M være løsningsmængden til begyndelsesværdiproblemet: Så vil intervallet ]α; β[ defineres som; ] π 2 ; π [. Dette interval 2 y (t) = f(t, y (t)) y(t 0 ) = y 0 (5.6) α = inf {τ ϕ M : ϕ er defineret på ]τ; t 0 ]} β = sup {µ ϕ M : ϕ er defineret på [t 0 ; µ[} hvor τ og µ er vilkårlige værdier, der indgår i intervallet, som løsningen, ϕ, er defineret på. Dette interval, ]α; β[, kaldes det maksimale definitionsinterval. Derfor vil løsninger til en differentialligning være defineret på et maksimalt definitionsinterval. Det vil sige, at en løsning til et begyndelsesværdiproblem er entydig, jævnfør følgende sætning: Sætning 5.4: Entydighed af maksimal løsning ([8] s. 42) Betragt en differentialligning med begyndelsesværdiproblemet, set i ligning (5.6), og lad M være den ikke-tomme løsningsmængde. Så eksisterer en entydigt bestemt løsning, ϕ(t) M, defineret på det maksimale definitionsinterval, ]α; β[. Side 43 af 65

56 Bevis Lad ]α; β[ være det maksimale definitionsinterval fra definition 5.7, og τ 0 ]α; β[ være vilkårligt givet. Forsøgsvist sættes ϕ(τ 0 ) fra sætning 5.4 til at være givet ved ϕ(τ 0 ) = ϕ 1 (τ 0 ), hvor ϕ 1 (t) er en vilkårlig løsning defineret på intervallet, ]τ 1 ; t 0 ], hvor τ 1 < τ 0 t 0. Lad også ϕ 2 (t) være en løsning defineret på intervallet, ]τ 2 ; t 0 ], hvor τ 2 < τ 0 t 0. Sæt: T = {τ > max(τ 1, τ 2 ) t [τ; t 0 ] : ϕ 1 (t) = ϕ 2 (t)} Det er klart, at t 0 T, da t 0 er en begyndelsesværdibetingelse, så s = inf(t ) opfylder: max(τ 1, τ 2 ) s t 0 Antag nu, at s > max(τ 1, τ 2 ). Da ϕ 1 (s) = ϕ 2 (s) på grund af kontinuiteten af ϕ 1 (t) og ϕ 2 (t), og fordi ethvert τ ]s; t 0 ] opfylder, at τ [τ; t 0 ] med τ T, så eksisterer et s T. Så findes δ > 0, så ϕ 1 (t) og ϕ 2 (t) er definerede på intervallet, [ s δ; s + δ]. Derfor eksisterer et mindre delinterval, ] s δ 0 ; s + δ 0 [, hvorpå løsningerne er defineret entydigt, jævnfør sætning 5.3. Dette er i modstrid med, at s = inf(t ). Det viser altså, at s må være lig max(τ 1, τ 2 ). Specielt fås, at: ϕ 1 (τ 0 ) = ϕ 2 (τ 0 ) Det betyder, at ϕ(t) = ϕ 1 (t) for alle t ] max(τ 1, τ 2 ); t 0 ]. Da α = max(τ 1, τ 2 ), jævnfør definition 5.7, er ϕ 1 (t) = ϕ 2 (t) på intervallet ]α; t 0 ]. Entydigheden af løsningernes funktionsværdier på intervallet, [t 0 ; β[, kan bevises analogt. Altså kan ϕ(t) generelt defineres på det maksimale definitionsinterval, ]α; β[, ved at sætte ϕ(τ 0 ) = ϕ 1 (τ 0 ) for en vilkårlig løsning, ϕ 1 (t), defineret i en omegn af τ 0 i intervallet, ]α; β[. Da ϕ 1 (t) er differentiabel i en omegn af τ 0, gælder dette også for ϕ(t), og: ϕ (t) = ϕ 1 (t) = f ( t, ϕ 1 (t) ) = f ( t, ϕ(t) ) Altså er ϕ(t) en entydig løsning til begyndelsesværdiproblemet på det maksimale definitionsinterval, hvilket kaldes den maksimale løsning. Bemærk, at det af beviset også ses, at enhver løsning til begyndelsesværdiproblemet, set i ligning (5.6), er en restriktion af den maksimale løsning, ϕ(t). Det gælder desuden, at da en løsning til et begyndelsesværdiproblem er entydig, jævnfør sætning 5.4, kan to løsninger med samme begyndelsesværdibetingelse ikke krydse hinanden i faseportrættet, idet de er ens. Desuden gælder det, at to forskellige løsninger til samme differentialligning, givet forskellige begyndelsesværdibetingelser, heller ikke kan krydse hinanden i faseportrættet. Løsningerne vil også være ens, selvom de krydser samme punkt til forskellige tidspunkter, da deres funktionsværdier vil være ens. Dette ses tydeligt ved eksemplet med ligning (5.5). Side 44 af 65

57 5.6 Ligevægtspunkter i lineære systemer Metoden diskuteret i afsnit på side 27, angående egenværdimetoden anvendes i dette afsnit, baseret på [2] (s ) med mindre andet er angivet, til at undersøge ligevægtspunktet, (0, 0) i det lineære system; x (t) = A x(t) (5.7) hvor A er en konstant-koefficientmatrix. Det bemærkes, at det givne system i ligning (5.7) altid har et ligevægtspunkt i (0, 0), men dette punkt er kun isoleret, hvis matricen, A, er inverterbar, da det homogene ligningssystem, a x(t) + b y(t) = 0, c x(t) + d y(t) = 0, i dette tilfælde kun har (0, 0) som løsning. Dette betyder derfor, at ad bc 0, og dermed er λ = 0 ikke en egenværdi for et isoleret ligevægtspunkt, (0, 0). I det kommende antages det, at (0, 0) er et isoleret ligevægtspunkt, hvilket betyder, at de to egenværdier for 2 2 matricen, A, begge er forskellige fra nul. Typen af det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), afhænger derfor af, hvorvidt de to egenværdier, λ 1, λ 2 0, tilhørende matricen, A, er: reelle, med multiplicitet 1 og samme fortegn, reelle, med multiplicitet 1 og modsatte fortegn, reelle og med multiplicitet 2, kompleks-konjugerede med realdel 0 eller rent imaginære tal. Disse fem tilfælde vil blive diskuteret i de kommende underafsnit. Det viser sig, at hver af disse tilfælde repræsenterer henholdsvis en knude, som enten er egentlig eller uegentlig, et saddelpunkt, et spiralpunkt, eller et centrum. Dette vil også blive diskuteret videre i de kommende underafsnit Reelle egenværdier med multiplicitet 1 og samme fortegn Hvis egenværdierne er reelle med multiplicitet 1 og samme fortegn, [ da har ] matricen, A, lineært x(t) uafhængige egenvektorer, v 1 og v 2, og den generelle løsning, x(t) =, er givet ved: y(t) x(t) = c 1 v 1 e λ1t + c 2 v 2 e λ2t Denne løsning beskrives bedst ved det skæve uv-koordinatsystem, som er vist på figur 5.7: Side 45 af 65

58 Figur 5.7: Det skæve uv-koordinatsystem bestemt ud fra egenvektorerne, v 1 og v 2 ([2] s. 503). Her er u, v-akserne bestemt ud fra egenvektorerne. Da er uv-koordinatfunktionerne, u(t) og v(t), til punktet, x(t), der flytter sig afhængig af t, bestemt ved deres afstande fra origo målt i retningerne parallelt til egenvektorerne. Dermed er en løsningskurve til systemet, der opfylder begyndelsesværdibetingelserne, u 0 = u(0) og v 0 = v(0), givet ved: u(t) = u 0 e λ1t, v(t) = v 0 e λ2t (5.8) Dette er en parametrisk kurve, der er defineret som: Definition 5.8: Parametisk kurve ([6] s. 728) En parametrisk kurve, C, i xy-planen er et par af funktioner; x = f(t), y = g(t) der giver x(t) og y(t) som kontinuerte funktioner af parameteren, t [a; b]. Hvis v 0 = 0, ligger løsningskurven på u-aksen, og ligeledes hvis u 0 = 0, ligger løsningskurven på v-aksen. Derimod hvis både u 0 og v 0 er forskellige fra nul tager den parametiske kurve i ligning (5.8) formen v(t) = Cu(t) k, hvor k = λ 2 > 0 og C = v 0 λ λ 2. Denne udledning af C og k er fundet 1 λ u 1 0 ved først at isolere t i u(t): u(t) = u 0 e λ1t u(t) u 0 = e λ1t Da u(t) og u 0 begge er positive, er det muligt at tage den naturlige logaritme på begge sider, og t kan dermed isoleres: ( ) 1 u(t) ln = t λ 1 u 0 Side 46 af 65

59 Dette t indsættes i v(t): ( ) v(t) = v 0 e λ2 1 u(t) λ ln 1 u 0 = v 0 u λ 2 λ 1 0 = C u(t) k u(t) λ 2 λ 1 Bemærk, at fordi λ 1, λ 2 har samme fortegn er k > 0, og da λ 1 λ 2 er k 1. Dette giver derfor to muligheder: Når k > 1, tangerer løsningskurverne i (0, 0) på u-aksen. Når 0 < k < 1, tangerer løsningskurverne i (0, 0) på v-aksen. Derfor giver dette en uegentlig knude. Desuden fås to muligheder for egenværdiernes fortegn: Hvis λ 1, λ 2 > 0, vil løsningskurverne bevæge sig væk fra origo for t. I så fald er ligevægtspunktet, (0, 0), en kilde. Hvis λ 1, λ 2 < 0, vil løsningskurverne gå mod origo for t. I så fald er ligevægtspunktet, (0, 0), et dræn. Disse to punkter ses af ligning (5.8) ved at indsætte λ 1 og λ 2 og lade t, og derefter se om udtrykket går mod 0 eller. Dermed er nedenstående sætning bevist: Sætning 5.5: Ligevægtspunkt i et system med λ 1 λ 2 med samme fortegn Lad matricen, A, have egenværdierne λ 1 λ 2 med samme fortegn. Hvis λ 1 > λ 2 > 0, er det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), en kilde, og hvis λ 1 < λ 2 < 0, er det isolerede ligevægtstpunkt, (0, 0), et dræn Reelle egenværdier med multiplicitet 1 og modsatte fortegn Her fås samme situation som beskrevet i 5.6.1, nu er tilfældet dog, at λ 1 og λ 2 har modsatte fortegn, det vil sige λ 2 < 0 < λ 1. Nu ligger løsningskurverne med u 0 = 0 eller v 0 = 0 på u- og v-akserne gennem ligevægtspunktet, (0, 0). Når u 0, v 0 0 tager løsningskurverne formen v(t) = Cu(t) k, hvor k = λ 2 λ 1 < 0. De ikke-lineære løsningskurver ligner hyperbler, og dermed vil ligevægtspunktet, (0, 0), være et ustabilt saddelpunkt. Side 47 af 65

60 5.6.3 Reelle egenværdier med multiplicitet 2 Egenværdierne er i dette tilfælde givet ved λ = λ 1 = λ 2 0. Nu afhænger karakterisationen af ligevægtspunktet af, om koefficientmatricen, A, har to lineært uafhængige egenvektorer, v 1 og v 2, eller ej. Hvis den har, fås de skæve uv-koordinater som beskrevet før, og løsningskurverne er nu givet ved: u(t) = u 0 e λt, v(t) = v 0 e λt Da λ 1 = λ 2, er k = 1. Derfor er løsningskurverne med u 0 0 alle på formen v(t) = Cu(t), og ligger derfor på en ret linje gennem origo. Derfor er ligevægtspunktet (0, 0) en egentlig knude. Det er en kilde, hvis λ > 0, og et dræn hvis λ < 0. Hvis egenværdien λ 0 kun har en enkelt tilhørende egenvektor, v 1, eksisterer der alligevel en generaliseret egenvektor, v 2, således at (A λi) v 2 = v 1 og det lineære system, x (t) = A x(t), har to lineært uafhængige løsninger; x 1 (t) = v 1 e λt, x 2 (t) = ( v 1 t + v 2 )e λt som set i afsnit på side 32. Det er stadig muligt at anvende de skæve uv-korrdinater ved brug af v 1 og v 2. Da fås u(t) og v(t) som; u(t) = (u 0 + v 0 t)e λt, v(t) = v 0 e λt (5.9) hvor u 0 = u(0) og v 0 = v(0) som tidligere. Hvis v 0 = 0, ligger løsningskurven på u-aksen. Hvis ikke fås en ikke-lineær løsningskurve med tangenthældningen (jævnfør afsnit på side 36): dv du = dv dt du dt = λv 0 e λt v 0 e λt + λ(u 0 + v 0 t)e λt = λv 0 v 0 + λ(u 0 + v 0 t) Det ses, at dv 0 for t, så det følger, at hver løsningskurve er en tangent til u- du aksen. Derfor er (0, 0) en uegentlig knude. Hvis λ < 0, ses det af ligning (5.9), at knuden er et dræn. Derimod er knuden en kilde, hvis λ > 0. Med disse resultater er følgende sætning bevist: Sætning 5.6: Ligevægtspunkt i et system med λ 1 = λ 2 Lad koefficientmatricen, A, have egenværdien, λ 0, med multiplicitet 2. Hvis koefficientmatricen har to lineært uafhængige egenvektorer tilhørende λ, er det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), en egentlig knude. Hvis λ > 0, er (0, 0) en egentlig kilde, og hvis λ < 0, er (0, 0) et egentligt dræn. Hvis matricen kun har én egenvektor tilhørende λ, er (0, 0) en uegentlig knude. Hvis λ > 0 er (0, 0) et uegentligt dræn, og hvis λ < 0, er (0, 0) en uegentlig kilde. Side 48 af 65

61 5.6.4 Kompleks-konjugerede egenværdier med realdel forskellig fra 0 Antag at koefficientmatricen, A, har egenværdierne, λ = p + qi og λ = p qi, hvor p, q 0. Desuden er de tilhørende kompleks-konjugerede egenvektorer, v = a + bi og v = a bi. Da gælder, som set i afsnit på side 29, at det lineære system, x (t) = A x(t), har to uafhængige løsninger med reelle værdier givet ved: x 1 (t) = e pt( a cos(qt) b sin(qt) ), x 2 (t) = e pt( b cos(qt) + a sin(qt) ) (5.10) Det betyder, at komponenterne, henholdsvis x(t) og y(t), i enhver løsning, x(t) = c 1 x 1 (t)+c 2 x 2 (t), svinger mellem positive og negative værdier for t. Det vil sige, at ligevægtspunktet (0, 0) er et spiralpunkt. Hvis den reelle del, p, af egenværdierne er negativ, ses det af ligning (5.10), at x(t) 0 for t, og (0, 0) er dermed et asymptotisk stabilt spiralpunkt. Hvis p derimod er positiv, er ligevægtspunktet et ustabilt spiralpunkt. Med disse argumenter er nedenstående sætning bevist: Sætning 5.7: Ligevægtspunkt i et system med λ = p ± qi, hvor p, q 0 Lad koefficientmatricen, A, have kompleks-konjugerede egenværdier, λ = p ± qi, hvor p, q 0. Da er det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), et spiralpunkt. Hvis p > 0, er (0, 0) et ustabilt spiralpunkt, og hvis p < 0, er (0, 0) et asymptotisk stabilt spiralpunkt Rent imaginære egenværdier Hvis koefficientmatricen, A, har kompleks-konjugerede imaginære egenværdier, λ = qi og λ = qi, med tilhørende kompleks-konjugerede egenvektorer, v = a + bi og v = a bi, anvendes ligning (5.10) med p = 0. Det ses, at der fås følgende uafhængige løsninger til det lineære system, x (t) = A x(t): x 1 (t) = a cos(qt) b sin(qt), x 2 (t) = b cos(qt) + a sin(qt) Enhver løsning hertil, givet ved x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t), beskriver en ellipse med centrum i origo i xy-planen. Dette betyder derfor, at (0, 0) er et stabilt centrum. Dermed er følgende sætning bevist: Sætning 5.8: Ligevægtspunkt i et system med λ = ±pi Lad koefficientmatricen, A, have rent imaginære egenværdier, λ = ±qi, hvor q 0. Da er det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), et stabilt centrum. Side 49 af 65

62 5.6.6 Opsummering For at opsummere de forskellige resultater beskrevet i de foregående underafsnit indføres tabel 5.2. Tabellen beskriver typen af et ligevægtspunkt, (0, 0), i systemet, x (t) = A x(t), med det(a) 0, som afhænger af egenværdierne, λ 1, λ 2 0. Egenværdier for A Type af ligevægtspunkt Stabilitet λ 1 > λ 2 > 0 Uegentlig kilde Ustabilt λ 1 < λ 2 < 0 Uegentligt dræn Asymptotisk stabilt λ 1 = λ 2 > 0 Egentlig/uegentlig kilde Ustabilt λ 1 = λ 2 < 0 Egentligt/uegentligt dræn Asymptotisk stabilt λ 1 < 0 < λ 2 Saddelpunkt Ustabilt λ 1, λ 2 = p ± qi med p < 0, q 0 λ 1, λ 2 = p ± qi med p > 0, q 0 Spiralpunkt Spiralpunkt Asymptotisk stabilt Ustabilt λ 1, λ 2 = ±qi med q 0 Centrum Stabilt Tabel 5.2: Typen af det isolerede ligevægtspunkt, (0, 0), i systemet, x (t) = A x(t), samt dets stabilitet bestemt ud fra egenværdierne til matricen, A. 5.7 Linearisering i nærheden af et ligevægtspunkt I nogle tilfælde er det muligt at beskrive stabilitetsforhold omkring et ligevægtspunkt, selvom systemet er ikke-lineært. Dette gøres ud fra stabiliteten af et ligevægtspunkt i et passende lineært system. Dette vil blive beskrevet nærmere i dette afsnit. Afsnittet er baseret på [2] (s ). Betragt løsningerne til følgende autonome system af to koblede første ordens differentialligninger i nærheden af et isoleret ligevægtspunkt, (x, y ): dx = f(x(t), y(t)), dt (5.11) dy = g(x(t), y(t)) dt (5.12) Et ligevægtspunkt kaldes isoleret, hvis der i nærheden af punktet ikke findes andre ligevægtspunkter. Det vil sige, der findes en udprikket kugle med centrum i (x, y ) og radius, r > 0, hvori der ingen andre ligevægtspunkter er. Det antages, at funktionerne, f og g, er kontinuert differentiable i nærheden af (x, y ). Det antages, uden tab af generalitet, at x = y = 0. Årsagen er, at hvis ikke dette er tilfældet, laves substitutionen, u(t) = x(t) x, v(t) = y(t) y. Da er dx dt = du dy og dt dt = dv, og derfor fås systemet; dt Side 50 af 65

63 du ( ) dt = f(u(t) + x, v(t) + y ) = f 1 u(t), v(t) dv ( ) dt = g(u(t) + x, v(t) + y ) = g 1 u(t), v(t) der har (0, 0) som ligevægtspunkt. Dette er en måde at få et ligevægtspunkt (0, 0) i xy-planen til at blive afbildet over i et ligevægtspunkt, (0, 0), i uv-planen, uden at faseportrætternes udseende ændres. For at forstå brugen af linearisering anvendes nedenstående definition: Definition 5.9: Taylorpolynomiet af første orden med to variable Lad f ( x(t), y(t) ) være kontinuert differentiabel i nærheden af et punkt, (x, y ). Da er Taylorpolynomiet af første orden udviklet ud fra punktet, (x, y ), givet ved; f ( x(t), y(t) ) = f(x, y ) + f x (x, y ) ( x(t) x ) + fy (x, y ) ( y(t) y ) + R1 ( x(t), y(t) ) hvor R 1 (x(t), y(t)) kaldes restleddet. Definitionen, samt at f ( x(t), y(t) ) = f ( u(t)+x, v(t)+y ), anvendes til at omskrive f ( x(t), y(t) ) : f ( x(t), y(t) ) = f(u(t) + x, v(t) + y ) = f(x, y ) + f x (x, y ) ( u(t) + x x ) + fy (x, y ) ( v(t) + y y ) + R1 ( u(t), v(t) ) = f(x, y ) + f x (x, y )u(t) + f y (x, y )v(t) + R 1 (u(t), v(t)) Her udgør R 1 ( u(t), v(t) ) restleddet, som skal opfylde betingelsen: lim (u,v) (0,0) ) R 1 (u(t), v(t) u(t)2 + v(t) = 0 2 Hvis Taylors formel også virker på funktionen, g, på samme vis under antagelse af, at (x, y ) er et isoleret ligevægtspunkt, således f(x, y ) = g(x, y ) = 0, fås systemet; du dt = f x(x, y )u(t) + f y (x, y )v(t) + R 1 ( u(t), v(t) ), dv dt = g x(x, y )u(t) + g y (x, y )v(t) + S 1 ( u(t), v(t) ) (5.13) ( ) ( ) hvor R 1 u(t), v(t) og det analoge restled, S1 u(t), v(t), opfylder: ( ) R 1 u(t), v(t) (u(t) ) 2 ( ) = 2 + v(t) lim (u,v) (0,0) lim (u,v) (0,0) S 1 ( u(t), v(t) ) (u(t) ) 2 + ( v(t) ) 2 = 0 (5.14) Side 51 af 65

64 Det betyder, at når u(t) og v(t) er små, så er R 1 ( u(t), v(t) ) og S1 ( u(t), v(t) ) meget små. Hvis de ikke-lineære led, R 1 ( u(t), v(t) ) og S1 ( u(t), v(t) ), fratrækkes ligning (5.13), resulterer det i det lineære system givet ved: u (t) = f x (x, y )u(t) + f y (x, y )v(t), v (t) = g x (x, y )u(t) + g y (x, y )v(t) (5.15) Idet ligning (5.13) er ækvivalent med det oprindelige ikke-lineære system; u (t) = f(x + u(t), y + v(t)), v (t) = g(x + u(t), y + v(t)) indikerer betingelserne i ligning (5.14), at det lineariserede system i ligning (5.15) nærmer sig ( ) det ikke-lineære system, når u(t), v(t) er tæt på (0, 0). Antag nu, at (0, 0) også er et isoleret ligevægtspunkt i ligning (5.15), og at ligning (5.14) er opfyldt. Da siges systemet, x (t) = f ( x(t), y(t) ), y (t) = g ( x(t), y(t) ), at være næsten-lineært i nærheden af det isolerede ligevægtspunkt, (x, y ). Det vil sige, der eksisterer en udprikket kugle med centrum i (x, y ) og radius, r > 0, hvori der ikke er andre ligevægtspunkter. I så fald er dets linearisering ved (x, y ), givet ved det lineære system i ligning (5.15). Dette [ betyder ] u(t) altså, at denne linearisering er det lineære system, u (t) = J u(t), med u(t) =, hvis v(t) koefficientmatricen er den såkaldte Jacobimatrix givet ved: [ ] fx (x J(x, y ) =, y ) f y (x, y ) g x (x, y ) g y (x, y ) Eksempel 13. Linearisering i nærheden af et ligevægtspunkt Betragt følgende system af ikke-lineære koblede differentialligninger: x (t) = 3x(t) x(t) 2 x(t)y(t) = x(t) ( 3 x(t) y(t) ) y (t) = y(t) + y(t) 2 3x(t)y(t) = y(t) ( 1 + y(t) 3x(t) ) (5.16) Dette system har (1, 2) som ligevægtspunkt, og Jacobimatricen tilhørende ligning (5.16) er: [ ] 3 2x y x J(x, y) = 3y 1 + 2y 3x Det vil sige, at Jacobimatricen med punktet (1, 2) er: [ ] 1 1 J(1, 2) = 6 2 Det betyder derfor, at lineariseringen af systemet ved dets ligevægtspunkt, (1, 2), er det lineære system: u (t) = u(t) v(t), v (t) = 6u(t) + 2v(t) Side 52 af 65

65 5.7.1 Stabilitet af ligevægtspunkt i et næsten lineært system Ved at anvende lineariseringen i et ligevægtspunkt i et næsten lineært system, som beskrevet i afsnit 5.7, er det muligt at bestemme typen af ligevægtspunktet i det næsten lineære system ud fra stabilitetsforholdet for ligevægtspunktet i det lineariserede system. Dette vil blive beskrevet nærmere i dette afsnit, som er baseret på [2] (s ). I afsnit 5.6 på side 45 blev det vist, hvorledes egenværdier kan bruges til at bestemme, om et isoleret ligevægtspunkt er henholdsvis stabilt, asymptotisk stabilt eller ustabilt i et lineært system givet ved x (t) = A x(t). Den følgende sætning, som postuleres uden bevis, fortæller hvorledes denne metode kan udvides til at bestemme stabilitetsforhold for et ligevægtspunkt i et næsten lineært system. Sætning 5.9: Stabilitet i næsten lineære systemer ([2] s. 508) Lad λ 1 og λ 2 være egenværdierne til koefficientmatricen for det lineære system, givet ved; dx = a x(t) + b y(t), dt dy = c x(t) + d y(t) dt med ad bc 0. Antag at dette system er forbundet med det næsten lineære system: (5.17) Da gælder: dx dt = a x(t) + b y(t) + R 1(x(t), y(t)), dy dt = c x(t) + d y(t) + S 1(x(t), y(t)) (5.18) 1. Hvis λ 1 = λ 2 R, er (0, 0) i ligning (5.18) enten en knude eller et spiralpunkt. Det er asymptotisk stabilt, hvis λ 1 = λ 2 < 0, og hvis λ 1 = λ 2 > 0 er det ustabilt. 2. Hvis egenværdierne er rent imaginære og λ = ±qi, er (0, 0) i ligning (5.18) et centrum eller spiralpunkt og kan være stabilt, asympototisk stabilt eller ustabilt. 3. Hvis hverken punkt 1. eller 2. er gældende, er (0, 0) i ligning (5.18) af samme type og stabilitet som ligevægtspunktet, (0, 0), i ligning (5.17). Det betyder altså, at hvis de to egenværdier er forskellige og ikke rent imaginære, kan typen og stabiliteten af ligevægtspunktet i det næsten lineære system i ligning (5.18) bestemmes ved analyse af det tilhørende lineære system i ligning (5.17). Sammenhængen mellem et ligevægtspunkts type og dets egenværdier for det lineariserede system er givet i tabel 5.3. Side 53 af 65

66 Egenværdier i lineariseret system Type af ligevægtspunkt i næsten lineært system Stabilitet λ 1 < λ 2 < 0 Uegentligt dræn Asymptotisk stabilt λ 1 = λ 2 < 0 Knude eller spiralpunkt Asymptotisk stabilt λ 1 < 0 < λ 2 Saddelpunkt Ustabilt λ 1 = λ 2 > 0 Knude eller spiralpunkt Ustabilt λ 1 > λ 2 > 0 Uegentlig kilde Ustabilt λ = p ± qi med p < 0, q 0 Spiralpunkt Asymptotisk stabilt λ = p ± qi med p > 0, q 0 Spiralpunkt Ustabilt λ = ±qi med q 0 Centrum eller spiralpunkt Stabilt, asymptotisk stabilt eller ustabilt Tabel 5.3: Sammenhæng mellem egenværdier i et lineariseret system og ligevægtspunkter i et næsten lineært system. Eksempel 14. Sammenhæng mellem ligevægtspunkter i lineariserede og næsten lineære systemer Betragt ligningssystemet med ligevægtspunkt i (2, 2): Altså er den tilhørende Jacobimatrix: x (t) = x(t) 2 + 3x(t) + 4y(t) = f ( x(t), y(t) ), y (t) = 8 + x(t)y(t) + 2y(t) = g ( x(t), y(t) ) J(x, y) = [ 4x ] y x + 2 Jacobimatricen for ligevægtspunktet, (2, 2), er: [ ] 11 4 J(2, 2) = 2 4 Det tilhørende lineære system er derfor: u (t) = 11u(t) + 4v(t) v (t) = 2u(t) + 4v(t) Dette system har egenværdier λ 1 = 12 og λ 2 = 3. Derfor vides det, at egenværdierne i det lineariserede system er reelle, positive og forskellige. Altså er ligevægtspunktet, (2, 2), i det næsten lineære system en ustabil, uegentlig kilde, jævnfør sætning 5.9 og tabel 5.3. Side 54 af 65

67 Kapitel 6 Lotka-Volterra modellen Lotka-Volterra modellen er et system bestående af to koblede første ordens differentialligninger, som beskriver forholdet mellem to populationer af arter, byttedyr, x(t), og rovdyr, y(t): dx ( ) dt = a b y(t) x(t), dy ( ) dt = c + d x(t) y(t) Byttedyrene er ikke nødvendigvis en dyreart, men kan også være en planteart, og rovdyrene vil i så fald være en planteæder. Modellen er begrænset i sin oprindelige form, da det her antages, at der er tale om et lukket økologisk system, hvilket sjældent er tilfældet i naturen. Altså har byttedyrene uendelige mængder af føde og trues kun af rovdyrene, som til gengæld kun har byttedyrene som fødekilde. Modellen kan dog stadig anvendes til at give et overblik over det økologiske system, og i tilfælde hvor begrænsningerne har for stor betydning, kan modellen eventuelt udvides med flere parametre. Det vil dog ikke blive gjort i dette projekt. (6.1) 6.1 Linearisering af Lotka-Volterra modellen Modellens ligevægtspunkter kan findes ved at bestemme løsningen, (x, y), til ligningerne: ( ) a b y x = 0, (6.2) ( ) c + d x y = 0 (6.3) Det ses for ligning (6.2), at enten er x = 0 eller y = a, mens det for ligning (6.3) gælder, b at enten er x = c ( c d eller y = 0. Derfor fås to ligevægtspunkter, nemlig (0, 0) og d, a ). b Ligevægtspunkternes type kan bestemmes ved hjælp af linearisering af systemet som beskrevet i afsnit 5.7 på side 50, hvor Jacobimatricen anvendes: [ ] a b y b x J(x, y) = d y c + d x Side 55 af 65

68 Først ses på Jacobimatricen for ligevægtspunktet, (0, 0): [ ] a 0 J(0, 0) = 0 c Det ses, at J(0, 0) er en diagonalmatrix, hvorfor diagonalerne er dens egenværdier, jævnfør proposition i [9] (s. 94). Altså er egenværdierne λ 1 = a og λ 2 = c. Da a > 0 og c < 0, har de to egenværdier forskellige fortegn, så ifølge tabel 5.2 er der tale om et ustabilt saddelpunkt. ( c Jacobimatricen for ligevægtspunktet, d, a ), er: b ( c J d, a ) = b 0 b c d 0 Det ses, at den karakteristiske ligning for denne matrix er: ( (0 λ)(0 λ) b c d d a ) = 0 λ 2 + b c d a = 0 λ 2 + c a = 0 b d b d a b Når λ isoleres, ses det, at λ = ±i ( c a. Idet egenværdierne er et rent imaginært komplekskonjugeret par, er ligevægtspunktet, c d, a ), enten et centrum eller et spiralpunkt, og kan være b stabilt, asymptotisk stabilt eller ustabilt, jævnfør sætning 5.9 på ( side 53. Altså er en nærmere c analyse nødvendig for at bestemme typen af ligevægtspunktet, d, a ). b 6.2 Nulkliner i Lotka-Volterra modellen Som beskrevet er ligevægtspunkterne for Lotka-Volterra modellen henholdsvis (0, 0) og ( c d, a b ). Dermed bliver x-nulklinerne linjerne x = 0 og y = a, og y-nulklinerne bliver linjerne y = 0 og b x = c. Da modellen omhandler populationer, er det kun relevant at betragte x, y 0, hvilket d betyder, at x-nulklinen, y = a b, og y-nulklinen, x = c, opdeler faseportrættet i fire områder, der d kaldes basisområder, og retningen i disse områder bestemmes. Først bestemmes retningen af vektorfeltet på y-nulklinen, x = c, henholdsvis over og under x-nulklinen, y = a. Dette gøres ved brug af et, som indikerer, hvor langt over eller under d b ( c x-nulklinen punktet befinder sig. Punktet, d, a ) b +, indsættes i øverste ligning i (6.1): x (t) = a c d b c ( a ) d b + = a c d b c ( a ) d b + a c c(a + ) = = c d d Side 56 af 65

69 Hvis < 0, befinder punktet sig under x-nulklinen og x (t) > 0. Det betyder, at vektorerne peger direkte mod højre, hvis punktet befinder sig på y-nulklinen, jævnfør tabel 5.1 på side 39. Ligeledes hvis > 0, befinder punktet sig over x-nulklinen og x (t) < 0, hvilket medfører, at vektorerne peger direkte mod venstre, hvis punktet befinder sig på y-nulklinen, jævnfør tabel 5.1. Dette betyder derfor, at retningsfeltet peger mod højre over og mod venstre under x-nulklinen. På samme vis bestemmes retningen i retningsfeltet for x-nulklinen, y = a, til højre og b venstre for y-nulklinen, x = c, ved ligeledes at anvende, der i dette tilfælde benyttes til d at ( bestemme, hvor langt til højre eller venstre for y-nulklinen punktet befinder sig. Punktet, c d +, a ), indsættes i nederste ligning i (6.1) på side 55: b y (t) = c a ( c ) b + d d + a c a + a(c + ) = = a b b b Hvis < 0, ligger punktet til venstre for y-nulklinen og y (t) < 0, hvilket betyder, at vektorerne i retningsfeltet er aftagende. Tilsvarende hvis > 0, ligger punktet til højre for y-nulklinen, hvilket betyder, at y (t) > 0, og dermed er vektorerne i retningsfeltet voksende. Til højre for y-nulklinen peger vektorfeltet altså direkte opad, og til venstre for y-nulklinen peger vektorfeltet direkte nedad, når punktet befinder sig på x-nulklinen. Figur 6.1: Retningsfelt og nulkliner for Lotka-Volterra modellen ([14] s. 241). Af denne analyse kan det konkluderes, at vektorfeltet bevæger sig rundt om ligevægtspunktet mod urets retning, som det ses på figur 6.1. Ud fra dette kan det dog ikke konkluderes, hvorvidt løsningskurverne danner lukkede kredse, udadgående spiraler eller ( indadgående spiraler. Dermed c er det ikke muligt at bestemme typen af ligevægtspunktet, d, a ), nærmere ved hjælp af b nulklinerne, end det blev gjort i afsnit 6.1, og yderligere analyse er derfor nødvendigt. Side 57 af 65

70 6.3 Grafisk analyse af ligevægtspunkt Analysen af Lotka-Volterra modellen ( har vist, at (0, 0) er et saddelpunkt. Det er interessant at c undersøge ligevægtspunktet, d, a ), da dets type endnu ikke er kendt, og da dette ligevægts- b punkt er det eneste, der giver mulighed for sameksistens mellem ( rovdyr og byttedyr. Retningerne c i første kvadrant kendes, men typen af ligevægtspunktet, d, a ), kan ikke bestemmes ud fra b ovenstående analyse, men det vides, at ligevægtspunktet enten er et centrum eller et spiralpunkt. Derfor vil det i det følgende blive undersøgt, hvorvidt ligevægtspunktet er et centrum eller et spiralpunkt. Hvordan x og y afhænger af hinanden vil nu blive undersøgt ved at se på forløbet af x(t) og y(t) i basisområderne opdelt af x-nulklinen, y = a b, og y-nulklinen, x = c d. Da x (t) er strengt voksende over x-nulklinen, jævnfør figur 6.1, vil x(t) være en bijektion, og derved findes dens inverse, t = τ(x). Da det vides, at y(t) eksisterer, kan udtrykket for t indsættes i y(t) i området over x-nulklinen, så y(τ(x)) = y(x) eksisterer i dette område. Det kan gøres analogt for området under x-nulklinen, hvor x (t) er strengt aftagende. Altså eksisterer y(x) i hele første kvadrant af xy-koordinatsystemet. Samtidig ses det, at y (t) vil være strengt voksende til højre for y-nulklinen, og strengt aftagende til venstre for y-nulklinen. Dermed kan det analogt vises, at x(y) eksisterer i hele første kvadrant af xy-koordinatsystemet. Forholdet mellem y (x) og x (y) undersøges nu. Først ses på: dy dx = y(x) ( ) c + d x x ( a b y(x) ) (6.4) Der er tale om en separabel ligning, jævnfør afsnit på side 5, så variablene separeres: a b y(x) y(x) dy dx = c + d x x Udtrykket integreres, og venstresiden integreres ved substitution, jævnfør sætning 8.22 i [3] (s. 147): ( ) ( ) a b y(x) dy c + d x dx = dx y(x) dx x a ln( y(x) ) b y(x) + c 1 = c ln( x ) + d x + c 2 Integrationskonstanterne samles på højresiden som C, og eksponentialfunktionen anvendes på ligningen; e a ln( y(x) ) b y(x) = e c ln( x )+d x+c y(x) a e b y(x) = x c e d x C (6.5) hvor C = e C. Det ses, at y(x) ikke kan isoleres, hvorfor ovenstående er en implicit løsning til ligning (6.4). Side 58 af 65

71 Der ses nu på: dx dy = x(y) ( ) a b y y ( c + d x(y) ) Den implicitte løsning til denne differentialligning udregnes analogt som ved ligning (6.4), og det fås, at: x(y) c e d x(y) C = y a e b y (6.6) Da ligning (6.5) og (6.6) er ens, på nær hvilken variabel der anses for at være den uafhængige variabel, kan både x og y betragtes som uafhængige variable. Derfor kan den implicitte løsning skrives som; x c e d x C = y a e b y og følgende funktioner kan derfor indføres: z(y) = y a e b y og w(x) = C x c e d x Der ses på z(y) og w(x) i koordinatsystemet, set i figur 6.2, i henholdsvis anden og fjerde kvadrant, samt på z(y) = w(x) i tredje kvadrant, hvori den lineære sammenhæng er repræsenteret. Ekstremaerne af funktionerne, z(y) og w(x), definerer området i første kvadrant, hvorpå løsningskurven er begrænset. Ekstremaet for w(x) definerer afgrænsningerne for y-aksen, mens ekstremaet for z(y) definerer afgrænsningerne for x-aksen. Denne afgrænsning vil nu blive undersøgt. Først tages der udgangspunkt i, hvordan w(x) begrænser løsningskurven, jævnfør Figur 6.2: Koordinatsystem, hvori funktionerne w(x) og z(y) er afbilledet i henholdsvis anden og fjerde kvadrant, samt funktionen z(y) = w(x) i tredje kvadrant. De to nulkliner, x-nulklinen for y = c og d y-nulklinen for x = a, og ligevægtspunktet, ( c, ) a b d b, hvis type ønskes bestemt, er desuden markeret i første kvadrant. Figuren er baseret på figur i [8] (s. 25). Side 59 af 65

72 figur 6.3. Der ses på fjerde kvadrant, hvor der tages udgangspunkt i w(x) s minimum. Der føres en vandret linje gennem tredje kvadrant, hvor den skærer funktionen, z(y) = w(x). Fra dette punkt føres en lodret linje op gennem anden kvadrant, hvor denne skærer funktionen, z(y), to gange. Fra hvert af disse to punkter føres en vandret linje gennem første kvadrant, der definerer løsningskurvens mindste og største y-værdi, y min og y max. Figur 6.3: Illustration af hvordan afgrænsningen for y(x) i første kvadrant aflæses ud fra w(x) s minimum og z(y) s maksimum, markeret med henholdsvis røde og grønne stiplede linjer. De sorte stiplede linjer er x-nulklinen, y = c, og y- d nulklinen, x = a. Baseret på figur i [8] (s. 25). b Figur 6.4: Illustration af, at y(x) danner en kreds om ligevægtspunktet, ( c, ) a d b, hvormed dette punkt er et centrum med start i begyndelsesværdibetingelsen, (x 0, y 0). Afgrænsningen for y(x) er markeret med blå, mens aflæsning af y 0 ud fra x 0 er markeret med rød. Baseret på figur i [8] (s. 25). Dernæst tages der udgangspunkt i, hvordan z(y) begrænser løsningskurven, jævnfør figur 6.3. Fra maksimummet tilhørende z(y) føres en lodret linje ned gennem tredje kvadrant, hvor den skærer funktionen, z(y) = w(x), og fra dette punkt føres en vandret linje gennem fjerde kvadrant, hvor den skærer w(x) to gange. Til sidst føres en lodret linje fra hvert af disse to punkter op gennem første kvadrant, og disse linjer definerer den mindste og største x-værdi, x min og x max. Med disse fire afgrænsninger ses det, at løsningskurven er afgrænset af et rektangulært område i første kvadrant, jævnfør figur 6.3. Derfor vil der være tale om et centrum, idet løsningskurven ikke kan spiralere, og det vides, at ligevægtspunktet enten er et spiralpunkt eller et centrum fra tidligere analyse. ( c At ligevægtspunktet, d, a ), er et centrum bekræftes nu ved at se på en vilkårlig be- b gyndelsesværdibetingelse, (x 0, y 0 ). Hvis det antages, at dette punkt, (x 0, y 0 ), er i basisområdet nederst til højre, så følges retningsvektorerne, ( jævnfør figur 6.1, og det ses, y(x) er voksende, når x er voksende, indtil yderpunktet, x max, a ) rammes, hvorefter y(x) er voksende, når b ( c x er aftagende. Dette vil fortsætte, indtil yderpunktet, max) d, y, rammes, og herefter er Side 60 af 65

73 ( y(x) aftagende, når x er aftagende, indtil yderpunktet, x min, a ), rammes, hvorefter y(x) er ( b c aftagende, når x er voksende. Når yderpunktet, min) d, y rammes, skifter retningen igen, så y(x) er voksende, når x er voksende, og der tages nu udgangspunkt i samme basisområde, som punktet for begyndelsesværdibetingelsen er i. Herfra vokser x, indtil førstekoordinaten for (x 0, y 0 ) rammes. Det aflæses via funktionerne, w(x), z(w) og z(y), at y(x 0 ) er lig y 0, jævnfør figur 6.4. Derfor rammes (x 0, y 0 ) igen, og dermed er der tale om en lukket kreds. Det samme gør sig gældende, hvis begyndelsesværdibetingelsen, (x 0, y 0 (), er i ét af de tre andre basisområder c eller er et af yderpunkterne. Altså er ligevægtspunktet, d, a ), et centrum. b Bemærk, at figur 6.4 ikke er et faseportræt for Lotka-Volterra modellen, idet akserne er ændrede. Desuden ses det også, at (0, 0) ikke er et saddelpunkt, som det allerede er bestemt. For grafisk at vise de konklusioner, der er gjort om modellen i dette kapitel, ses der i figur 6.5 et eksempel på et faseportræt for Lotka-Volterra modellen. Modellen er i denne figur givet ved: x (t) = 400x(t) 8x(t)y(t), y (t) = 300y(t) + 4x(t)y(t) Figur 6.5: Eksempel på Lotka-Volterra modellen med x (t) = 400x(t) 8x(t)y(t) og y (t) = 300y(t) + 4x(t)y(t) med ligevægtspunkterne (0, 0) og (75, 50). Side 61 af 65

74 Det ses, at konstanterne er a = 400, b = 8, c = 300 og d = 4, og det stabile centrum er (75, 50). Det ses af figur 6.5, at der er flere løsningskurver til dette system, og disse repræsenterer forskellige begyndelsesværdibetingelser. Hvis der ingen pludselige ændringer sker i populationerne, hvor individer fjernes eller tilføres, vil det økologiske system altid følge samme løsningskurve. Hvis individer fjernes, for eksempel hvis jægere skyder dyr, vil systemet springe til en ny løsningskurve og følge denne, indtil en eventuel ny ændring sker. Hvorvidt det sker til en løsningskurve tættere på eller længere væk fra det stabile centrum afhænger af, hvornår i perioden individer fjernes. Det ses særligt, at hvis der fjernes individer fra rovdyrpopulationen i et punkt på løsningskurven, der befinder sig over x-nulklinen, y = a, springer systemet til en løsningskurve tættere på det b stabile centrum, og omvendt under samme x-nulklin. Ligeledes, hvis der fjernes individer fra byttedyrspopulationen i et punkt på løsningskurven, der befinder sig til højre for y-nulklinen, x = c, springer systemet til en løsningskurve tættere på det stabile centrum, og omvendt til d venstre for samme y-nulklin. Side 62 af 65

75 Kapitel 7 Konklusion Formålet med denne rapport er at undersøge, hvorvidt Lotka-Volterra modellen har ligevægtspunkter, og i så fald hvilken type de er. Lotka-Volterra modellens ligevægtspunkter er fundet til at være; ( c (0, 0) og d, a ) b da det er i disse punkter, at x (t) = y (t) = 0. Efter linearisering af Lotka-Volterra modellen ved hjælp af Jacobimatricer, er typen af de to ligevægtspunkter bestemt. Egenværdierne for Jacobimatricen i ligevægtspunktet, (0, 0), resulterer i et rent imaginært kompleks-konjugeret par af egenværdier, hvilket ( betyder, at (0, 0) er et saddelpunkt. Egenværdierne for Jacobimatricen c i ligevægtspunktet, d, a ), resulterer i ens egenværdier med rent imaginære værdier. Dette b betyder, at ligevægtspunktet enten kan være et centrum eller et spiralpunkt, og efter en grafisk analyse konkluderes det, at løsningskurverne ( danner lukkede kredse omkring ligevægtspunktet. c Det betyder, at ligevægtspunktet, d, a ), er et stabilt centrum. b Side 63 af 65

76 Litteratur [1] Duke University: Predator-Prey Models. Sidst besøgt: 7. oktober [2] C. Henry Edwards & David E. Penny: Elementary Differential Equations. Pearson Education Inc., 6. udgave, [3] Ebbe Thue Poulsen: Funktioner af en og flere variable - Indledning til matematisk analyse. Institut for Matematik, Aarhus Universitet, 1. udgave, 3. oplag, [4] Compiled by Morten Nielsen, Aalborg University: An introduction to Complex Numbers and Differential Equations. Pearson Education Limited, 2. udgave, [5] Nikolaj Hess-Nielsen: Introduktion til Laplace transformen. Sidst revideret marts Sidst besøgt: 15. december [6] William Briggs, Lyle Cochran & Bernard Gillett: Calculus Early Transcendentals. Pearson Education Limited, 2. udgave, [7] Bernd S. W. Schröder: A Workbook for Differential Equations. Wiley, 1. udgave, [8] Karl Gustav Andersson & Lars-Christer Böiers: Ordinära differential-ekvationer. Studentlitteratur, 2. udgave, [9] Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele & Anne Schilling: Linear Algebra As an Introduction to Abstract Mathematics. University of California, sidst opdateret den 2. januar, [10] Lawrence E. Spence, Arnold J. Insel & Stephen H. Friedberg: Elementary Linear Algebra - A Matrix Approach. Pearson Education Inc., 2. udgave, [11] Dr. David Butler: Facts About Eigenvalues. -handout.pdf Sidst besøgt: 15. december Side 64 af 65

77 [12] Bard Ermentrout: Nullclines and phaseplanes. bard/classes/mth3380/pplect.pdf Sidst besøgt: 9. december [13] Horia Cornean: Notes for Analyse 1 and Analyse 2. Sidst revideret 9. april cornean/analyse2_f15/noter-analyse1og pdf Sidst besøgt: 15. december [14] Morris W. Hirsch, Stephen Smale & Robert L. Devaney: Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Elsevier, 2. udgave, Side 65 af 65

78