Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer

Transkript

1 Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0

2 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter Egenskaber for funktioner Omvendt funktion Sammensatte funktioner...8

3 Funktioner og deres grafer. Funktioner Vi skal i dette kapitel se lidt nærmere på funktioner og deres grafer. En funktion er en forskrift, hvor man kan finde funktionsværdien ved at indsætte i et regneudtrk. Funktioner betegnes traditionelt med bogstaverne f, g og h. Allerede kendte eksempler på funktioner er en lineær funktion: f( = 3, Hvis man vil finde funktionsværdien i -, indsætter man - på plads: f(-)= (-) - 3 = -5. Kvadratfunktionen: f( =. F.eks. er f(3) = 3 = 9 Kvadratrodsfunktionen:, 0. F.eks. er f ( 5) 5 5 Man skriver ofte = f(, og kalder for funktionsværdien, svarende til. Hvis man indtegner sammenhørende værdier af (, ) = (, f() i et koordinatsstem, får man grafen for funktionen. Vi vil nu give en mere formel definition af funktioner og deres generelle egenskaber. Funktionsbegrebet er egentlig et specialtilfælde af et mere omfattende afbildningsbegreb, men i de senere år anvendes de to begreber ofte snonmt. Vi vil derfor holde os til funktioner. Definition: Lad der være givet to mængder A og B. Ved en funktion f:a B. (læses A ind i B), forstår man en forskrift, der til ethvert element i A, kntter et og kun ét element =f( i B. A kaldes for definitionsmængden for f, skrives Dm(f) og B kaldes for dispositionsmængden for f. Værdimængden for f, skrives Vm(f), er de værdier, som f( antager, når gennemløber hele definitionsmængden. Lidt mere formelt skrevet: Vm( f ) { B, A} Eksempler Vi vil kun beskæftige os med talmængder, men det er ikke underforstået i definitionen. Man kunne f.eks. tænke sig en funktion, der til enhver dansk statsborger lader svare personens CPR-nummer. Det omvendte vil også være en funktion, da der til et personnummer kun svarer en person. Hvis man definerer en funktion, ved til hver person, at lade

4 Funktioner og deres grafer svare personens højde, så er det også en funktion (En person har kun en højde), men det omvendte er ikke en funktion. Til en højde svarer der i almindelighed mange personer. Ser vi på kvadratrodsfunktionen, så er Dm(f) = R {0} R\R -.(Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal). Værdimængden er den samme: R {0}. Hvis nemlig og er et ikke negativt tal, så kan man altid finde et, så, nemlig: =. I princippet kan man selv råde over definitionsmængden, men når man omtaler definitionsmængden, forstår man i almindelighed den mest omfattende definitionsmængde. Vi vil bestemme definitionsmængde og værdimængde for funktionerne:, og g( og h( For f( må nævneren ikke blive nul, så Dm(f) = { +5 0}={ -5}. I almindelighed underlader man mængdeparenteserne og skriver blot: Dm(f): -5. For at bestemme værdimængden, skal vi altså undersøge for hvilke, ligningen har en løsning. 5 Hvis vi f.eks. vil undersøge om tilhører værdimængden, skal vi undersøge, hvorvidt der findes et, så =f(. Vi skal altså forsøge at løse ligningen: Der gælder således: f(-7) =, så ligger i værdimængden. Vi undersøger nu for hvilke ligningen Ligningen kan omformes til har en løsning Man ser, at ligningen har løsninger for alle, så værdimængden er Vm(f) = { }. Eller blot: Vm(f):. For g( må nævneren ikke blive nul så: Dm(g) ={ - 9 0} ={ 3-3}. Eller blot: Dm(g): 3-3. For at bestemme værdimængden skal vi som før bestemme de, for hvilket ligningen: 9 9 Ligningen kan omformes til:. En brøk er positiv, når tæller og nævner har samme fortegn. Betingelsen for løsninger er derfor har løsninger. 9 0 ( ) ( 9 0 0) ( 9 0) ( 9 0) Vm(g): 0 9 For h( gælder det, at man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal, så Dm(h) ={ } =={ }. Værdimængden bliver som før alle positive tal og nul. Nedenfor er vist dele af graferne for de 3 funktioner, tegnet med et (ældre) matematikprogram.

5 Funktioner og deres grafer 3 Det er dog i de færreste tilfælde, at det er muligt at bestemme værdimængden for en funktion som beskrevet ovenfor. Vi vil udvikle langt mere effektive metoder, når vi når til differentialregningen.. Grafen for en funktion Hvis der er givet et koordinatsstem, definerer man grafen for en funktion, givet ved regneforskriften =f(, og hvor såvel definitionsmængde som værdimængde er delmængder af de reelle tal. {(, ) ; Dm( f )} Skal man selv tegne en funktionsgraf, så gøres det i almindelighed ved at man laver en funktionstabel i et passende interval: En funktionstabel for f( = ½ -+3, kunne se ud som følger:. f() = ½ = f( 3,5 9 5,5 3,5,5 3 5,5 Ved at forbinde punkterne med en glat kurve, får man et udsnit af grafen, som vist på figuren nedenfor.

6 Funktioner og deres grafer 4 Det er sjældent, at man tegner grafer i hånden længere. Man anvender i stedet et IT-redskab. Hvorledes man bærer sig ad, afhænger af hvilket matematikprogram eller hvilken matematikregner man anvender.. grafers skæring med koordinat akser Når man skal tegne en graf, er det naturligt, at undersøge om, i givet fald hvor grafen for funktionen skærer koordinatakserne. Dette er meget simpelt: Skæring med. aksen f (0) og skæring med. aksen 0 Vi vil bestemme skæringen med koordinatakserne for de 3 funktioner, og g( 5 9 og h( 3, som vi har behandlet ovenfor. 0 f ( 0) og g ( 0) og g( 0 0 L Ø =g( skærer ikke.aksen h (0) er ikke defineret. = h( skærer ikke. aksen. h ( To grafers skæringspunkter Hvis man ønsker at bestemme eventuelle skæringspunkter mellem graferne for funktionerne = f( og = g(, så skal man løse ligningen: f( = g( Denne ligning udtrkker nemlig, at de to funktioner har den samme funktionsværdi for samme. I almindelighed kan det godt være forbundet med ret komplicerede regninger at finde skæringspunkterne mellem to grafer, hvis det da ikke løses numerisk med et matematikprogram. For to lineære funktioner er det dog altid simpelt. Hvis linierne har forskellig hældningskoefficient, har de altid et skæringspunkt Find skæringspunktet mellem funktionerne f( = og g( = ½ f( = g( f ( 6 ) Egenskaber for funktioner En funktion siges, at være opadtil begrænset, hvis der findes et tal K, således at f( K for alle Dm( f ). Skrevet lidt mere formelt: K : Dm( : K

7 Funktioner og deres grafer 5 På samme måde defineres en funktion til at være nedadtil begrænset, hvis der findes et tal k, således at k for alle Dm( f ). Skrevet lidt mere formelt: k : Dm( : k Hvis en funktion både er begrænset opadtil og nedadtil, siges funktionen at være begrænset.. Funktionen er såvel begrænset opadtil af, som nedadtil af 0. Af funktionerne, og g( 5 9 og h( 3, er hverken f eller g begrænsede, mens h er nedadtil begrænset af 0. En funktion siges, at have en størsteværdi (eller maimum) M, hvis der findes (mindst) en funktionsværdi, som er større elle lig med de øvrige. Størsteværdien skrives M=ma(f). Skrevet lidt mere formelt: M f ) : Dm( : M Det understreges, at f, skal antage sin størsteværdi i mindst et punkt. Tilsvarende defineres mindsteværdi (minimum): m=min(f).. ( 0 m f ) : Dm( : m Det understreges, at f, skal antage sin mindsteværdi i mindst et punkt. ( 0 Eksempler En lineær funktion f( =a + b er (for a forskellig fra nul) ikke begrænset, den har hverken en størsteværdi eler mindsteværdi. Funktionen f( = er både opadtil og nedadtil begrænset af og 0. Den har størsteværdi, idet f(0)=, men den har ingen mindsteværdi, idet f( > 0 for alle. En funktion siges at være voksende, hvis der for alle gælder, at hvis vokser, så vokser f( også. Udtrkt mere formelt:, Dm( f ) : f ( ) Tilsvarende gælder at f er aftagende, hvis der for alle gælder, at hvis vokser, så aftager f(. Udtrkt mere formelt: Dm( f ) : f ( ) f ( ), Endelig siges en funktion at være konstant, vis den har samme funktionsværdi for alle., Dm( f ) : f ( )

8 Funktioner og deres grafer 6 En funktion, der enten er voksende eller aftagende kaldes monoton. At bestemme de intervaller, hvor en funktion er enten voksende eller aftagende, kaldes at bestemme funktionens monotoniintervaller. Det er forbundet med ret store vanskeligheder, at vise direkte, hvor en funktion er voksende eller aftagende, så vi vil udskde det til differentialregningen. Vi vil dog vise, at en lineær funktion f( = a + b er voksende for a>0, aftagende for a<0, og konstant for a =0, samt at funktionen er voksende. Vi nøjes med at vise, at f( = a + b er aftagende for a<0. De to andre muligheder bevises helt analogt. a 0 a a a b a b f ( ) f ( ) Vi viser dernæst at baglæns. er voksende. Her begnder vi med funktionsværdierne men arbejder os ensbetdende f ( ) f ( ) En funktion kan godt have samme funktionsværdi for forskellige værdier af. F.eks. hvis f( =, så er f(-3) = f(3) = 9. Det omvendte kan derimod ikke være tilfældet. En funktion har ifølge definitionen netop én funktionsværdi. En funktion, der ikke for noget har samme funktionsværdi for forskellige -værdier kaldes for injektiv. Udtrkt mere formelt:, Dm( f ) : f ( ) Det er indlsende, at en monoton funktion er injektiv, men der findes også andre muligheder, f.eks. hvis man tillader funktioner, der springer i et punkt (diskontinuerte funktioner). Hvis en funktion er injektiv, vil enhver vandret linie (parallel med. aksen) skære grafen i højst et punkt. Omvendt for en ikke injektiv funktion, vil man kunne tegne mindst en vandret linie, der skærer grafen i mere end et punkt. For at undersøge om en funktion = f( er injektiv, kan man (forsøge at) løse ligningen = f( med hensn til. Hvis f er injektiv, må der højst være en løsning. Vi vil vise at funktionen Ligningen kan omformes til er injektiv, hvilket altså betder at ligningen højst har en løsning , så man ser, at ligningen har netop én løsning for -, så f( er injektiv. 4. Omvendt funktion Hvis en funktion er injektiv, kan man danne dens omvendte funktion ved til ethvert i værdimængden, at lade svare det, som har som funktionsværdi.

9 Funktioner og deres grafer 7 På grafen svarer dette til at man til et på.aksen, går vandret ud og ved skæringspunktet med grafen aflæser man. Den omvendte funktionsforskrift til f skrives f - og læses f i minus første. Det er vigtigt, at notere sig, at f - ikke er det samme som /f. Definitionen på omvendt funktion kan skrives lidt mere formelt: f ( ) For at finde den omvendte funktion, skal man altså løses ligningen f ( med hensn til. Definitionsmængden for den omvendte funktion bliver herefter værdimængden for funktionen og omvendt. Dm( f ) Vm( f ) og Vm( f ) Dm( f ) Disse forhold er søgt illustreret på figuren nedenfor: De to funktioner og f ( ) har samme grafiske billede, da de er ensbetdende, men da man er vant til at anvende som den uafhængige variabel, skiver man i almindelighed i stedet for f ( ). Det betder, at koordinatsættet (,) bliver til (,. Vi så tidligere, at en ombtning af koordinaterne betder en spejling i linien =.

10 Funktioner og deres grafer 8 Heraf følger, at grafen for f ( ) er en spejling af grafen for =f( i linien =. Udregner man f ( f ( )), ses, at tager man først den omvendte funktion af et tal og derefter funktionsværdien af resultatet, så får man tallet. Tilsvarende kan man indse, at f ( ) f ( ). Der gælder altså de to identiteter: f ( ) f ( ) og f ( f ( )) Vi vil bestemme den omvendte funktion til. Vi har før vist, at den er injektiv, og vi har løst ligningen 5 5 med hensn til, til at give:. Den omvendte funktion bliver således: 5 5 Dm(f - ) : og Vm(f - ): -5 Definitions- og værdimængde for f -, følger af at vi tidliger har bestemt: Dm(f) : -5 og Vm(f):. For > 0 er funktionen f( = voksende, og dermed injektiv. Vi bestemmer den omvendte funktion: 0 hvoraf følger f ( ) og dermed og er altså hinandens omvendte funktioner. De to grafer er vist på figuren nedenfor, sammen med linien =. 5. Sammensatte funktioner 3 Ser vi på funktionen h ( 3,, så kan opfattes som værende sammensat af to funktioner, nemlig: 3 og g(. Udregner man f.eks. funktionsværdien i 6, så skal man først udregne f(6) = 9 og dernæst g(9) = 3. Vi kan altså skrive: h(6) = g(f(3)). Mere generelt kan man udtrkke dette: h( g( )

11 Funktioner og deres grafer 9 Man siger at h er sammensat af de to funktioner f og g.for den resulterende forskrift anvender man betegnelse h g f er defineret ved: h g f, som læses g bolle f g g( ), Vm( f ) Dm( g) Den sidste betingelse er nødvendig, da man ellers ikke kan udregne g(f(). Vi vil udregne de sammensatte funktioner g f og f g, hvor g( = + og f( = 3 +. g g( ) g(3 ) (3 ) f g( f ( g( ) f ( ) 3( ) 3 8 Man ser at i almindelighed vil f g( være forskellig fra g f (. Der er ingen problemer i at sammensætte flere en to funktioner: h g h( g( )) Som vist ovenfor er funktionssammensætning i almindelighed ikke kommutativ, men den er den er associativ. Der gælder således i alle tilfælde: h ( g f )( ( h g) Resultatet er nemlig i alle tilfælde h(g(f()).