Projekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Transkript

1 Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne, osinusreltionerne og relformlerne. Men er fines også en firkntstrigonometri me osinusreltioner og relformler. et er genstnen for ette projekt. Projektet hr hovesgelig teoretisk krkter. et kn suppleres f projekt. i kpitel, hvor vi åe rejer eksperimentelt og teoretisk me løsning f geometriske optimeringsopgver, vs. opgver, hvor vi uner estemte etingelser skl estemme et størst mulige rel eller minst mulige omkres. Sætning (osinusreltionen for firknter) For en konveks firknt me sierne,, og smt igonlerne e og f og igonlvinklen v gæler: + = + e f v os evis igonlerne e og f eler hinnen i stykkerne e, e, f og f. igonlvinklen overfor sien kles v. e øvrige igonlvinkler er 80 v, v og 80 v. Ve t nvene osinusreltionerne på e fire treknter uspænt f igonlstykkerne og unytte t os(80 v) = os( v) fås : = e + f e f os( v) = f + e + f e os( v) = e + f e f os( v) = f + e + f e os( v) Lægger vi ligningerne for og smmen og tilsvrene for + = e + e + f + f e f + e f os( v) + = e + e + f + f + e f + e f os( v) og smmen fås: Trækker vi em ernæst fr hinnen fås enelig en funmentle smmenhæng: ( ) + + = e f + e f + e f + e f os( v) = e + e f + f os( v) = e f os( v) Herf følger påstnen ve t rykke om på leene. e f v f e Øvelse : Hv sker er, hvis sien klpper smmen, vs. vi sætter = 0? Hvilken sætning svrer et til? emærkning: Vi kn speielt se på tilfælet, hvor igonlvinklen v er ret. I så fl gæler os(v) = 0 og erme fås: + = +. Men hvis er på en nen sie gæler, t + = +, så må også os(v) = 0. Vi hr erfor vist: Sætning (Pythgors for firknter) igonlerne i en konveks firknt me sierne,, og står vinkelret på hinnen, netop når summen f kvrterne på moståene sier er ens: + = + emærkning: enne sætning viser l.. t enten er igonlvinklen i en firknt me fire opgivne sier,, og lti ret eller også liver en et lrig! 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

2 Hv er mtemtik? Øvelse : Hv sker er, hvis sien klpper smmen, vs. vi sætter = 0? Hvilken sætning svrer et til? Sætning 3 (relformlen for firknter) For en konveks firknt me sierne,, og smt igonlerne e og f og igonlvinklen v gæler: T = e f sin( v). evis: Som før eler igonlerne e og f hinnen i stykkerne e, e, f og f. igonlvinklerne er v, 80 v, v og 80 v. Ve t nvene relformlen for treknter på e fire treknter fremrgt f igonlerne og unytte t e sin(80 v) = sin( v) fås : f v T = e f sin( v), T = e f sin( v) T = e f sin( v), T = e f sin( v) 3 4 f e Lægger vi e fire reler smmen fås netop: T = T + T + T + T 3 4 ( ) ( e e ) ( f f ) sin( v) = e f + e f + e f + e f sin( v) = + + = e f sin( v) Øvelse 3: Hv sker er, hvis sien klpper smmen, vs. vi sætter = 0? Hvilken sætning svrer et til? enne relformel er en simpleste for en firknt, men en fines også i to nre vrinter. Vi kn nemlig els eliminere igonlerne e og f, els eliminere igonlvinklen v. Sætning 4 (lterntive relformler) relet T for en konveks firknt me sierne,, og smt igonlerne e og f og igonlvinklen v opfyler e følgene to smmenhænge: T = + + tn( v) 4 ) (hvor et forusættes t igonlvinklen v ikke er ret! Hvis vinklen er ret er tngens ikke efineret). + + ) T = e f L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

3 Hv er mtemtik? evis: Ugngspunktet er relformlen og osinusreltionen, er omskrives på formen: 4T = e f sin( v) + + = e f os( v) ) Ve ivision f e to ligninger me hinnen går igonlerne e og f u og vi finer: 4T sin( v) = = tn( v) os( v) ( + ) ( + ) 4 T = + + tn( v) ) Ve t kvrere e to ligninger og lægge em smmen går v u i krft f trigonometriens Pythgors: sin ( v) + os ( v) =. Først kvreres e to ligninger: ( ) 6 T = 4 e f sin ( v) + + = 4e f os ( v) ernæst lægges e to ligninger smmen: Isoleres ( ) 6 T = 4e f sin ( v) + 4 e f os ( v) = 4 e f sin ( v) + os ( v) = 4 e f T fr enne ligning fås netop en ønskee formel. For en firknt me fste sielænger,, og er forskellen på kvrtsummerne for e moståene sier, vs. ( + ) ( + ), nu en konstnt. e to nye relformler viser erfor t relet f en konveks firknt me givne sielænger fhænger på simpel vis f els igonlvinklen v (hvis enne ikke er ret), els f igonlernes proukt e f. en første formel viser, t relet f firknten T er proportionlt me tngens til en spise igonlvinkel v, vs. tn(v). Når vi eformerer en firknt hvor igonlvinklen v ikke er ret finer vi erfor et størst mulige rel, netop når en spise igonlvinkel er størst mulig (iet tngensfunktionen er voksene for spise vinkler). en nen formel viser tilsvrene, t forskellen mellem kvrtet på relet T og kvrtet på et hlve igonlproukt e f er konstnt. Men et viser t kvrtet på relet vs., er størst mulig, netop når kvrtet på igonlprouktet, vs. ( e f), er størst muligt. Men erme gæler også, t relet T er størst muligt, netop når igonlprouktet e f er størst muligt (iet kvrtfunktionen er voksene for positive tl). Sætning 5 For en konveks firknt me fste sielænger,, og topper e følgene tre størrelser erfor smtiigt:. Firkntens rel T.. Firkntens spise igonlvinkel v. 3. Firkntens igonlproukt e f. erme hr vi på elementær vis gjort ree for e fleste f e oservtioner vi (forhåentligt) hr gjort i vores eksperimentelle unersøgelse f firkntens rel. Vi mngler nu kun t gøre nærmere ree for e præise omstænigheer, hvoruner firkntens rel er mksimlt. T 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

4 Hv er mtemtik? ykliske firknter og Ptolemios sætning Vi vil nu se nærmere på firknter, er hr en omskrevet irkel såklte ykliske firknter. Vinklerne i en yklisk firknt er supplementvinkler. et skyles t en periferivinkel er hlvt så stor som en ue, en spæner over. To moståene vinkler, fx og, i en yklisk firknt spæner over hele irklens omkres, vs. 360, + = 80 hvorfor e to vinkler tilsmmen spæner over et hlve grtl, vs. + = 80. et omvente gæler også, som et fremgår f en følgene sætning. Sætning 6 En firknt er yklisk, netop når moståene vinkler er supplementvinkler. Men ikke lot er er en simpel forinelse mellem e fire vinkler i en yklisk firknt. er er også en simpel forinelse mellem e fire sier,, og smt igonlerne og i en yklisk firknt: Sætning 7 (Ptolemios sætning) Prouktet f igonlerne i en yklisk firknt er lig me summen f proukterne f e moståene sier: = + evis Vi fsætter punktet E på igonlen, så vinklerne ve, vs. E og er lige store: Men vinklerne ve og er også lige store, e spæner over smme ue. e to treknter E og er ltså ensvinklee og erme ligennee, hvorfor vi slutter: E = E = E På smme måe er treknterne og E ensvinklee, fori vinklerne ve per konstruktion er lige store, mens vinklerne ve og spæner over smme ue. enne gng slutter vi erfor t er gæler: E = E = Lægger vi e funne ligninger smmen fås: + = E + E = ( E + E) = Herme er sætningen vist. enne vigtige smmenhæng går tilge til en store græske stronom Ptolemios fr et net århunree, er gjore en til en hjørnesten i en græske trigonometri. E Øvelse 6 Hv svrer Ptolemios sætning til for et rektngel? 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k

5 Hv er mtemtik? Øvelse 7 ) I en irkel me imeteren spæner periferivinklen v over koren. Vis t = sin(v) (se figur ). ) Gøre ree for, t hvis én f igonlerne i en yklisk firknt er en imeter, vil firknten være oelt retvinklet me igonlen som fælles hypotenuse. ntg t imeteren er. Vis t Ptolemios sætning netop svrer til itionsformlen for sinus, vs. (se figur ); sin( + ) = sin( ) os( ) + sin( ) os( ) sin(v) v Figur. Figur 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k